CONJUNTOS Prof.Alexandre
Mello
DEFINIÇÃO
É toda união ou reunião de elementos, objetos, números, letras, ...
Exemplos:1. A é o conjuntos das letras da palavra ARARA. A = {A, R}2. B é o conjunto dos números naturais. B = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Quando relacionamos ELEMENTO com CONJUNTO usamos os símbolos de: , e (pertence e não pertence).
) ( 7 5, 3, ,15 .4
) ( 6 ,5 4, ,3 2, 1, ,02 .3
) ( ímpar natural número é x / x0 .2
) ( ... 4, 3, 2, 1,3 .1
:Exemplos
V
V
F
F
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, TODOS os elementos de A pertencem ao conjunto B e vice versa.
Exemplos:1.Dado o conjunto A = {x / x é número inteiro maior do que zero} e o conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, ....}, então podemos afirmar que A = B?
FALSO
2. Dado o conjunto X = {1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5} e o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5} então podemos afirmar que X = B?
VERDADEIRO
CONJUNTO VAZIO
Um conjunto A é chamado de vazio quando não tem NENHUM elemento.
Aou 0 AEntão
CONJUNTO UNITÁRIO
Um conjunto A é unitário se, e somente se, A tem UM e SOMENTE UM elemento.
CONJUNTO UNIVERSO
Um conjunto A é chamado de conjunto universo quando ele tem todos os elementos que são soluções de uma determinada situação problema.
Exemplo:1.A altura de uma pessoa é dada por um número real positivo. Qual o conjunto UNIVERSO dessa situação?
O conjunto do números reais ou U = R
SUBCONJUNTOS
• Um conjunto A é subconjunto do conjunto B se, e somente se, TODOS os elementos de A pertencem ao conjunto B.
• Representamos por: BA
• Dizemos também que A é parte de B.
Exemplos:
1.Quais os subconjuntos (elementos do conjunto das partes) do conjunto:
a) X = {2, 4} 4 2, ,4 ,2 ,0)X(P
OBS.: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
b) Y = {1, 3, 5} 5 3, 1, ,5 3, ,5 1, ,3 1,,5 ,3 ,1 ,0)Y(P
c) W = {3} 1 ,0)W(P
c) S = { } 0)W(P
Conclui-se que: • Se n(X) = 0, então n(P(X)) = 1.• Se n(X) = 1, então n(P(X)) = 2.• Se n(X) = 2, então n(P(X)) = 4.• Se n(X) = 3, então n(P(X)) = 8.• ...• Se n(X) = a, então n(P(X)) = 2a
2. Dado um conjunto com 256 subconjuntos e (x + 3) elementos. Determine o valor de x. X = 5
3. Se o número de elementos do conjunto das partes do conjunto A é 1024, calcule o número de elementos de A. 10 elementos
5x 83x
22 2562 ))x(P(n2 Se 83)(x3)(xn(x)
10n(x) 22 10242 10n(x))x(n
Dados dois conjuntos, não vazios, A e B, tais que B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}e A = {1, 3, 4, 6, 7}, temos que:
3.1. COMPLEMENTAR:
8} 5, 2, {0,ABC :.Ex
A xe B x / xA-B
:é isto B, a relação em A de arcomplement o é C
B, Ase seja, ou , C é ARCOMPLEMENT no usado símbolo O
AB
AB
AB
No diagrama vamos HACHURAR (pintar) o COMPLEMENTAR de A em relação a B.
IA
B
B. a igual ser para A em falta que o é C
:OBS.AB
II.
A
B
CONJUNTOS NUMÉRICOSRevisaremos os conjuntos numéricos que são subconjuntos do conjunto
dos números REAIS o qual será o nosso UNIVERSO para o estudo de funções.
1. Conjunto dos números naturais:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
2. Conjunto dos números inteiros:
Z = {..., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
3. Conjunto dos números racionais:
Q =
*ZbeZacom,
b
ax/x
Ex.: 1
2
5
10
2
42,2
poisQ
29
0
7
0
6
00,0 poisQ
Vamos considerar também como números racionais:
Os números decimais exatos ou finitos.
Ex.: 0,5; -1,25; 5,87
Os números decimais periódicos ou infinitos.
Ex.: 0,777...; -5,1666...;
4. Conjunto dos números irracionais.
É o conjunto dos números decimais infinitos não periódicos que não podem ser escritos na forma a/b, com a e b inteiros.
Ex.:
...1415926535,3
9
10,
7
5,2
3
irracionaléxouracionaléxxR
sirracionaiQR/
Um número irracional muito importante é o número
5.Conjuntodosnúmerosreais.
R
R – Q’
(irracionais)
Q
Z N
Subconjuntos importantes de R:
negativos não reais números dos conjuntoR
positivos não reais números dos conjuntoR
nulos não reais números dos conjunto*R
EXERCÍCIOS
Qa 3
2)
Qb ...1313,2)*
3
4) Qc
*8) Rd
1. Verifique se as sentenças
abaixo são verdadeiras ou falsas.
QNe *)
QNf )*) RQg
RQZNh )
F
V
V
V
V
F
F
F
2. Determine a fração que gerou a dízima:
a) 0,333...
b) 1,666...
c) 0,2555...
d) 2,444...
e) 0,222...
f) 1,3222...
1/3
5/3
23/90
22/9
2/9
119/90
Resolução do exercício 2.
3
1
9
339
________________
...333,310
)10(...333,0)
xx
x
xxa
3
5
9
15159
________________
666,1610
)10(...666,1)
xx
x
xxb
90
232390
_________________
...555,25100
)10(...555,210
)10(...2555,0)
xx
x
xx
xxc
INTERVALOS REAISOs intervalos reais são subconjuntos de R.
Dados dois números reais a e b com a < b, temos os seguintes intervalos:
a b
1. Intervalo fechado
Intervalo: [a, b]
Conjunto:
bxaRx /
bxaRx /
bxaRx / bxaRx /
2. Intervalo aberto
a b
Intervalo: ]a, b[
Conjunto:
3. Intervalo fechado à esquerda
a b
Intervalo: [a, b[
Conjunto:
4. Intervalo fechado à direita
a bIntervalo: ]a, b]
Conjunto:
I.Intervalos limitados
II. Intervalos ilimitados
1. Conjunto:
Intervalo: ]- ∞, a]
axRx /
axRx /
axRx /
axRx /
a
2. Conjunto:
Intervalo: ]- ∞, a[
a
3. Conjunto:
Intervalo: [a, + ∞[
a
4. Conjunto:
Intervalo: ]a, + ∞[
5. Reta real
Conjunto: R
Intervalo: ]- ∞, + ∞[
0
a
EXERCÍCIOS
71/)
3/)
xRxb
xRxa
1. Represente na reta real os intervalos:
a) [3, 6[
b) ]-∞, -1/2[
2. Escreva os subconjuntos de R na notação de intervalos:
3. Escreva os intervalos na forma de conjuntos:
a) ]0, 3]
b) ]8, +∞[