Download pptx - Comparaciones Múltiples JCG

Comparaciones Múltiples

Juan Camilo González – Rocío SierraDiseño de Experimentos

Departamento de Ingeniería QuímicaUniversidad de los Andes

Septiembre 2013

Perspectiva del modelo

• Comparación Simple• Hipótesis:

• Comparaciones Complejas:• Hipótesis:

• Múltiples Comparaciones:• Hipótesis:

?

?

Modelos de comparación múltiples

Selección del modelo

Maxwell E; Delaney H. Designing Experiments and Analyzing Data: a model comparison perspective. London: 2004.

Caso de estudio: Efecto del operador en la conversión química de una reacción

• ¿El operador tiene un efecto significativo en la conversión de la reacción química?• HipótesisExperiencia: 25 años en

control de plantas

Recién graduado, sin experiencia en el área

Recién graduada. Tesis en control de plantas

Experiencia: 2 años en control de plantas

• Comparaciones múltiples planificadas:

• Los operadores con experiencia difieren de los operadores recién graduados

• El desempeño del operador 2 debe ser superior al desempeño de los dos operadores recién graduados juntos.

1

2

3

4

𝜓 1=𝐻0 :𝜇1+𝜇2=𝜇3+𝜇4

𝐻1 :Al menosun𝜇𝑖difiere de los demá s𝐻0 :𝜇1=𝜇2=𝜇3=𝜇4

𝜓2=𝐻0 :𝜇2=12𝜇3+

12𝜇4

Reflejan la hipótesis que el experimentador le interesa probar

Caso de estudio: Efecto del operador en la conversión química de una reacción

• ¿El operador tiene un efecto significativo en la conversión de la reacción química?• HipótesisExperiencia: 25 años en

control de plantas




• Comparaciones múltiples no planificadas:

• El desempeño del operador 2 es superior al desempeño del operador 1

1

2

3

4

𝐻1 :Al menosun𝜇𝑖difiere de los demá s𝐻0 :𝜇1=𝜇2=𝜇3=𝜇4

𝜓 1=𝐻0 :𝜇1=𝜇2

Buscan analizar resultados no esperados o las diferencias más grandes

• El desempeño del operador 2 es superior al desempeño del operador 4

𝜓 2=𝐻0 :𝜇2=𝜇4

Contrastes a priori o planificados

Formulación de los contrastes

𝜓 1:𝜇1+𝜇2=𝜇3+𝜇4

𝜓2:𝜇2=12𝜇3+

12𝜇4

𝜓 3:𝜇3=𝜇4

Reformulando las hipótesis nulas en combinaciones lineales:

𝜓 1:(1)𝜇1+ (1 )𝜇2+(−1 )𝜇3+ (−1 )𝜇4=0

𝜓 2:(0)𝜇1+(1 )𝜇2+(− 12 )𝜇3+(− 12 )𝜇4=0𝜓 3:(0)𝜇1+ (0 )𝜇2+ (1 )𝜇3+(−1 )𝜇4=0

Formulación de los contrastes

Donde, los coeficientes de los contrastes

𝜓=∑𝑖=1

𝑎

𝑐𝑖𝜇𝑖

∑𝑖=1

𝑎

𝑐𝑖=0

Forma generalizada:

Contraste Suma1 1 1 -1 -1 02 0 1 -1/2 -1/2 03 0 0 1 -1 0

Independencia lineal de los contrastes

¿Cuantos contrastes pueden ser probados?

¿Estos contrastes proveen información redundante?

Solo se pueden especificar contrastes sin introducir redundancia

Ortogonalidad de los contrastes planeados

Contrastes linealmente independientes:

¿ se correlaciona con ?

𝑐={1−100 }

𝑑={01− 12 − 12 } y son los conjuntos de los coeficientes de los contrastes y , respectivamente

y se correlacionan porque no son ortogonales 𝑐 ∙𝑑=−1

𝑣1∙𝑣2=0Dos vectores son ortogonales si:

Ortogonalidad de los contrastes planeados

• ¿Qué diferencia hace que sean o no ortogonales?

• Si dos contrastes son ortogonales, cada uno provee información única de las diferencias de los grupos

¿El conjunto de contrastes es ortogonal?

Contraste Sumac 1 -1 0 0 0d 0 1 -1/2 -1/2 0e 1 -1/2 -1/4 -1/4 0

𝑐 ∙𝑑=−1𝑐 ∙𝑒=3/2𝑑 ∙𝑒=3 /4

Prueba estadística

La hipótesis se analiza usando una prueba F:

𝐹 0=¿ ¿

Sí, primero debo realizar el análisis de varianza de la igualdad de medias de todos los niveles del factor 𝐻1 :Al menosun𝜇𝑖difiere de los demá s

𝐻0 :𝜇1=𝜇2=𝜇3=𝜇4

Se rechaza si

𝑛=¿𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑎=¿𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟

𝐹 0=𝑀𝑆𝐶

𝑀𝑆𝐸

=𝑆𝑆𝐶 /1𝑀𝑆𝐸

𝑆𝑆𝐶=¿¿

Prueba estadística

Se rechaza si

•¿Por qué un grado de libertad en el numerador?

• Una propiedad característica de los contrastes ortogonales es la descomposición de la Suma de Cuadrados de tratamientos del ANOVA en tantos componentes ortogonales (independientes) como grados de libertad de esa fuente de variación (se dispone de un grado de libertad por componente).

Corrección del nivel de significancia

• Cuando se prueban varios contrastes, aumenta la probabilidad del error Tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera)

• Se define como el error individual por contraste y la tasa de error por familia.

• Para el caso de estudio, el numero de contrastes , y

¿1− (1−𝛼 )𝐶

¿1− (1−0 .05 )3

¿0 .143

Corrección del nivel de significancia

• Para reducir simplemente hacemos mas pequeño.• Usamos la prueba de Bonferroni:

• Si fijamos , entonces:

Contrastes ortogonales. EJEMPLO: Efecto del operador en la conversión

química de una reacción

Operador1 2 3 4

75 80 39 4569 86 47 5583 97 45 5286 96 50 45





1

2

3

4

ANOVAFuente GL SC MC F POperador 3 5698.8 1899.6 43.75 <0.01Error 12 521 43.4Total 15 6219.8

1. Hipótesis preliminares para el análisis de los contrastes:• Hipótesis 1: Los operadores con experiencia difieren de los operadores recién

graduados

• Hipótesis 2: El desempeño del operador 1 es superior al desempeño del operador 2

• Hipótesis 3: El desempeño de los operadores recién graduados son iguales

2. Contrastes:

Tabla de coeficientes:

Contraste Suma1 1 1 -1 -1 02 1 -1 0 0 03 0 0 1 -1 0

Contrastes ortogonales. EJEMPLO: Efecto del operador en la conversión

química de una reacción

Contrastes ortogonalesEJEMPLO

3. Ortogonalidad:

Contraste Suma1 1 1 -1 -1 02 1 -1 0 0 03 0 0 1 -1 0

𝐶𝜓1∙𝐶𝜓2

=∑𝑖=1

4

𝐶𝜓1∗𝐶𝜓2

=(1∗1 )+(1∗−1 )+(0∗−1 )+(0∗−1 )=¿0¿


=∑𝑖=1

4


=(1∗0 )+(1∗0 )+(−1∗1 )+(−1∗−1 )=¿0¿


=∑𝑖=1

4


= (1∗0 )+ (−1∗0 )+ (0∗1 )+ (0∗−1 )=¿ 0¿


4. Prueba F: Operador1 2 3 4

78.25 89.75 45.25 49.25

Contraste Suma1 1 1 -1 -1 02 1 -1 0 0 03 0 0 1 -1 0

𝜓 1:(∑𝑖=1

𝑎

𝑐 𝑖 𝑦 𝑖)2

=[ (1∗78 .25 )+(1∗89 .75 )+…+ (−1∗49 .25 ) ]2=(73 .5 )2=5402 .25

𝜓 2:(∑𝑖=1

𝑎

𝑐𝑖 𝑦 𝑖)2

=[ (1∗78 .25 )+ (−1∗89 .75 )+…+(0∗49 .25 ) ]2=(−11 .5 )2=132 .25

𝜓 3:= (−4 )2=16

𝐹 0=𝑀𝑆𝐶

𝑀𝑆𝐸


𝑆𝑆𝐶=¿¿


4. Prueba F:

Contraste Suma1 1 1 -1 -1 0 5402.25 42 1 -1 0 0 0 132.25 23 0 0 1 -1 0 16 2

𝐹 0=𝑀𝑆𝐶

𝑀𝑆𝐸


𝑆𝑆𝐶=¿¿

𝜓 1:𝑆𝑆𝐶=¿¿𝜓 2:𝑆𝑆𝐶=¿¿𝜓 3:𝑆𝑆𝐶=32


4. Prueba F:

ANOVAFuente GL SC MC F0 POperador 3 5698.8 1899.6 43.75 <0.01

1 5402.25 5402.25 10.37 1 264.5 264.5 0.51 1 32 32 0.06Error 12 521 43.4Total 15 6219.8

𝐹 0=𝑀𝑆𝐶

𝑀𝑆𝐸

𝐹𝛼 ,1 ,𝑁−𝑎=𝐹 0 . 016, 1 ,12=7 .85

Aplicando la prueba de Bonferroni:

Se define para ,

Contrastes a posteriori o no-planificados

Maxwell E; Delaney H. Designing Experiments and Analyzing Data: a model comparison perspective. London: 2004.