CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO – perdite e cadute di tensioneverifiche dello stato tensionale allo stato limite di esercizio e verifica allo SLU.Andamento e fuso del cavo
Con riferimento alla trave in cemento armato precompresso a cavi post-tesi indicata in figura si valutino nelrispetto del D.M. 14.01.09:
1. le perdite di tensione in fase iniziale2. le cadute di tensione lente in fase esercizio3. si effettui la verifica delle tensioni allo stato limite di esercizio4. Si effettui la verifica allo stato limite ultimo della trave5. Si costruisca il fuso del cavo risultante e il fuso di Guyon corrispondente
N.B. il cavo ha una andamento parabolico
L
h
b
f
12.5 5.00 12.5
dp
AB C D
Ly
x
Dati trave
Altezza sezione h 150 cm:=
base sezione b 40 cm:=
Armatura di precompressione Ap 25 cm2:= (Armatura in trefoli stabilizzati)
lunghezza trave L 30 m:=
Freccia del cavo f 1.0 m:=
Distanza minima del cavo dallembo inferiore dp 8 cm:=
eccentricità del cavo in mezzeria ech2
dp−:= ec 67 cm=
Tiro e tensione iniziale del cavo
N0 3500 kN:= tiro a 15 gg σspiN0Ap
:= σspi 1.4 103 MPa=
Carichi esterni
Sovraccarichi caratteristici permamenti: pk 4.5kNm
:=
Sovraccarichi caratteristici accidentali qk 5.kNm
:= cond. carico quasi permanente
Fasi di costruzioneFase I: condizioni a vuoto (carico id precompressione + P.Proprio Trave)Fase II: condizioni di esercizio (carico di precomp.+P.P.trave+ Sovraccarichi perm. e acc.)
SOLUZIONE
Calcolo Caratteristiche Meccaniche dei Materiali
Calcestruzzo
Resistenza a compressionecubica a 28gg
Rck 40 MPa:=
Resistenza Cilindrica a 28gg fck 0.83 Rck:= fck 33.2 MPa=
fcm fck 8 MPa+:= fcm 41.2 MPa=Resistenza cilindrica media
Resistenza a trazione media del cls fctm 0.3 MPa
13
Rck
23
:= fctm 3.509 MPa=
Resistenza a compressione del cls al tiro(Model Code 90)
fckj fcke0.25 1
2815
−��
���
:= fckj 30.295 MPa=
Tensione massima di compressioneammissibile nel cls in condizioniiniziali
σcci 0.7 fckj:= σcci 21.207 MPa=
Tensione massima di trazioneammissibile nel cls in condizioniiniziali
σctifctm e
0.25 12815
−��
���
1.2:= σcti 2.668 MPa=
Tensione massima di compressioneammissibile nel cls in condizionidi esercizio
σcce 0.45 fck:= σcce 14.94 MPa=
Tensione massima di trazioneammissibile nel cls in condizionidi esercizio
σctefctm1.2
:= σcte 2.924 MPa=
Modulo elastico cls Ec 22000MPa0.7 fcm10
��
���
0.3:= Ec 3.364 104
MPa=
Acciaio
Modulo elastico acciaio daPrecompressione
Ep 205000 MPa:=
Tensioni caratteristicche di rottura e snervamentodell’armatura di precompressione (in trefoli) fptk 1900 MPa:= fp1k 1700MPa:=
Tensione massima ammissibilenell’armatura al tiro σpi min 0.75fptk 0.85fp1k,( ):=
σpi 1.425 103 MPa=
Tensione massima ammissibilenell’armatura in esercizio σpe 0.8fp1k:= σpe 1.36 103
MPa=
Coefficiente di omegenizzazione al tiro
nEpEc
6.093=:=
Calcolo caratteristice geometriche della sezione nelle varie fasi
si valutano le caratteristiche geometriche della sezione nelle due fasi previste nella fase dicostruzione e di esercizio della trave
Fase I (Condizioni a Vuoto: precompressione + peso proprio della trave)
In questa fase i cavi non sono solidali col calcestruzzo per cui occorre depurare la sezione dicalcestruzzo dell’area dei cavi di precompressione.
AreaAidI b h Ap−:= AidI 5.975 103
cm2=
Momento Statico
SidI b hh2 Ap h dp−( )−:= SidI 4.465 105
cm3=
Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave
yGISidIAidI
:= yGI 74.72 cm=
Momento d’inerzia
JidIb h3
12b h
h2
yGI−��
���
2+ Ap h dp− yGI−( )2
−:= JidI 1.114 107 cm4
=
Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore
WidsIJidIyGI
−:= WidsI 1.491− 105 cm3
=
WidiIJidI
h yGI−:= WidiI 1.479 105
cm3=
Nel caso specifico l’area dei cavi d’acciaio risulta essere piccola per cui l’area ideale dellasezione si potrebbe approssimare con l’area della sezione immaginata di solo calcestruzzosenza eccessivo errore. Infatti l’area e il momento d’inerzia approssimati risulterebbero
AI b h:= AI 6 103 cm2
= JIb h3
12:= JI 1.125 107
cm4=
WsIJI
yGI−:= WsI 1.506− 105
cm3= WiI
JIh yGI−
:= WiI 1.494 105 cm3
=
Fase II (Condizioni di esercizio ( precompressione + peso proprio della trave+sovraccarichi permanenti e accidentali)
In questa fase i cavi di precompressione sono sigillati nelle guaine con la malta e pertantorisultano solidali col calcestruzzo. Le grandezze geometriche ideali sono quindi le seguenti:
Area
AidII b h Ap− n Ap+:= AidII 6.127 103 cm2
=
Momento Statico
SidII b hh2 Ap h dp−( )− n Ap h dp−( )+:= SidII 4.681 105
cm3=
Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave
yGIISidIIAidII
:= yGII 76.392 cm=
Momento d’inerzia
JidIIb h3
12b h
h2
yGII−��
���
2+ Ap h dp− yGII−( )2
− n Ap h dp− yGII−( )2+:=
JidI 1.114 107 cm4
=
Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore
WidsIIJidIIyGII
−:= WidsII 1.546− 105 cm3
=
WidiIIJidII
h yGII−:= WidiII 1.604 105
cm3=
Calcolo Sollecitazioni
Peso proprio trave
pp b h 25kN
m3:= pp 15
kNm
=
Momento massimo in mezzeria al tiro
Mmax118
pp L2:= Mmax1 1.688 103
kN m=
Momenti massimi in mezzeria in esercizio
Mmax218
pp pk+( ) L2:= (Permanenti) Mmax2 2.194 103
kN m=
Mmax318
qk( ) L2:= (Variabili cond. rara) Mmax3 562.5 kN m=
Calcolo Perdite e Cadute di Tensione
Perdite per attrito
In travi in c.a.p. a cavi post-tesi, nella fase di tesatura del cavo, nasconoinevitabilmente tensioni tangenziali sulla superficie del cavo dovute all’attrito tracavo e guaina. La variazione di tensione (trazione) nel cavo si può valutare con lanota relazione :
� � � � cc f
i
0fspiattr e1
ANe1 �����
dove fc = 0.3 1/rad nel caso si utilizzino guaine metalliche� = angolo che la tangente al cavo nel punto iniziale forma con l’asse
orizzontale
Per la valutazione di � si può determinare l’equazione della parabola che descrive laforma del cavo con origine nel punto B e poi valutare il valore della derivata primanel punto A:
y ax2 bx+ c+:= ax
con le seguenti condizioni al contornoy(0)=0 dy/dx(0)=0 y(15)=1
porte ai seguenti coefficienti
b=c=0 a4f
L24.444 10 3−
1m
=:=
y x( ) 4.444 10 3− x2
:= (Equazione del cavo)
Calcolando a questo punto la derivata di y(x) in testa alla trave si può valutare l’angolo che latangente al cavo forma con l’asse della trave
x 15:=
Dx
y x( )dd��
���
0.133=:= tanα D 0.133=:=
Poichè l’arco tangente è circa pari alla tangente si assume che
α 0.1322 rad:=
A questo punto è possibile valutare la perdita di tensione nel cavo dovuta all’attrito
fc 0.3:=
ΔσattN0Ap
1 e fc− α( )−�� ��:= Δσatt 54.437 MPa= (Perdita di tensione per
attrito)
La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza
ΔNatt Ap Δσatt:= ΔNatt 136.093 kN= (Perdita di sforzo nel cavoper attrito)
Tiro nel cavo a perdite di attrito avvenuteNel cavo dopo il tiro dello stesso lo sforzo normale in esso vale
Ni N0 ΔNatt−:= Ni 3.364 103 kN=
con una perdita percentuale pariN0 Ni−
N0100 3.888=
Caduta di tensione dovute alla viscosità del cls
Il D.M. 14.01.2008 al punto 11.2.10.7 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempoinfinito (in esercizio) dovute alla viscosità è da calcolarsi come segue:
� � � � el,c0el,cp0v n,tE,t �������
� ��� ,t0dove è la funzione di viscosità a tempo infinito funzione del tempo di carico t0
La tensione �c,el è la tensione nel cls all’altezza del cavo dovuta ai sovraccarichi permanenti e
accidentali, quest’ultimi solo se di natura quasi permanente:
σcelNi
AidIINi ecJidII
ec+Mmax2
JidIIec−:= σcel 5.831 MPa=
La funzione Φ può essere desunta dalla tabella 11.2.VII delle NTC08 valida per un dato valored’umidità relativa. Nel caso specifico l’umidità prescelta è pari al 75%
Il coefficiente h0 si calcola come rapporto tra il doppio dell’area della sezione e il perimetrodella sezione stessa
h02 1500 400( )
2 1500 400+( ):= h0 315.789=
Ipotizzando un tempo di carico iniziale to=15gg, interpolando tra i valori relativi ad ho=300 edho=600 indicati nella tabella, il valore della funzione di viscosità vale:
Φ 2.2:=
La caduta di tensione nel cavo dovuta al fenomeno della viscoità risulta di conseguenza
Δσv Φ n σcel:= Δσv 78.165 MPa=
La variazione di tiro nel cavo vale infine
ΔNv Δσv Ap:= ΔNv 195.412 kN=
con una perdita percentuale pariΔNvN0
100 5.583=
Caduta di tensione dovute al ritiro del cls
Il D.M. 14.01.2008 al punto 11.2.10.6 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempoinfinito (in esercizio) dovute alla ritiro è da calcolarsi come segue:
Nel caso specifico εc0 e kh non coincidendo con nessuno dei valori tabellati devono esserericavati per interpolazione lineare. Scegliendo un valore dell’Umidità più vicino a quelloprescelto (in questo caso il 75%) e ricordando che fck=33.2 Mpa, la deformazione εc0espressa il °/°° si calcola come segue:
εc00.38− 0.49+
40 20−33.2 20−( ) 0.49−:= εc0 0.417−= °/°° UR = 60%
εc00.24− 0.30+
40 20−33.2 20−( ) 0.30−:= εc0 0.26−= °/°° UR = 80%
εc0 0.26− 0.417+
80 60−75 60−( ) 0.417− 0.299−=:= valore interpolato tra UR=60% e UR=80%
kh 0.750.75 0.70−
500 300−h0 300−( )−:= kh 0.746=
εcd εc0 kh:= εcd 0.223−= °/°°
Il ritiro autogeno a tempo infinito vale
εca 2.5− 33.2 10−( ) 10 6−:= εca 5.8− 10 5−
= °/°°
La deformazione totale per ritiro vale dunque
εcs εcd εca+:= εcs 0.223= °/°°
La conseguente perdita di tensione nel cavo vale quindi
Δσrit εcs1000
Ep:= Δσrit 45.779 MPa=
Infine la variazione di tiro nel cavo vale
ΔNrit Δσrit Ap:= ΔNrit 114.449 kN=
con una perdita percentuale pari aΔNrit
N0100 3.27=
Caduta di tensione dovute al rilassamento dell’acciaio
Il D.M. 11.09.2009 al punto 11.3.3.3 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempoinfinito (in esercizio) dovute al rilassamento riferite ad una temperatura di 20 °C
Nel caso specifico adottando trefoli stabilizzati si ha:
ρ1000 2.5:=
μ σspifp1k
0.824=:= σspi 1.4 103 MPa=
t 500000:=
la perdita per rilassamento a tempo infinito vale dunque
Δσpr σspi 0.66 ρ1000 e9.1 μ
t1000��
���
0.75 1 μ−( ) 10 5−
94.511 MPa=:=
ΔNrit Δσrit Ap 114.449 kN=:=
Δσpr Ap
N0100 6.751=
La perdita per rilassamento deve secondo quanto indicato dall’EC2 al punto 5.46 tener contodella interdipendenza con le cadute di tensione dovute alla viscosità e al ritiro. La perdita totale,comprensiva cioè di tutti i genomeni lenti può ricavarsi dalla segente relazione:
ΔσtotΔσv Δσrit+ 0.8 Δσpr+
1EpEc
ApAI 1
AIJI
ec2+��
���
1 0.8 Φ+( )+
:= Δσtot 161.21 MPa=
Δσv Δσrit+ Δσpr+ 218.455 MPa=
Ia conseguente variazione di tiro nel cavo varrà
ΔNtot Δσtot Ap:= ΔNtot 403.026 kN=
con una perdita percentuale totale pari aΔNtot
N0100 11.515=
Tiro nel cavo a perdite e cadute avvenute
In esercizio a perdite e cadute di tensione scontate il tiro nel cavo assume il seguente valore
Nes N0 ΔNatt− ΔNtot−:= Nes 2.961 103 kN=
La percentuale di perdita totale rispetto al tiro iniziale risulta quindi pari a:
N0 Nes−
N0100 15.403=
Verifiche allo stato limite di esercizio: verifica alle tensioni normali
Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni iniziali
In condizioni iniziali le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento allecaratteristiche geometriche della fase a vuoto
Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls a vuoto
σcivNi
AidINi ecWidiI
+Mmax1WidiI
−:= σciv 9.458 MPa=
Tensione minima (al lembo superiore) nel csl a vuoto
σcsvNi
AidINi ecWidsI
+Mmax1WidsI
−:= σcsv 1.831 MPa=
Entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa e dunque la verifica a vuoto nel clsè soddisfatta
Verifica delle Tensioni nell’acciaio in condizioni iniziali
In condizioni iniziali le tensioni massima nell’acciaio si calcola come segue
σsvNiAp
:= σsv 1.346 103 MPa=
Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell’acciaio incondizioni iniziali. La verifica è dunque soddisfatta
Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni di esercizio
In condizioni di esercizio le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento allecaratteristiche geometriche della fase di esercizio
Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls in esercizio
σcieNes
AidIINes ecWidiII
+Mmax2 Mmax3+
WidiII−:= σcie 0.018 MPa=
Tensione minima (al lembo superiore) nel csl in esercizio
σcseNes
AidIINi ecWidsII
−Mmax2 Mmax3+
WidsII+:= σcse 1.582 MPa=
La sezione risulta interamente compressa ed entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti dellanormativa. Dunque la verifica in esercizio nel cls è soddisfatta
Verifica delle Tensioni nell’acciaio in condizioni di esercizio
In condizioni di esercizio le tensioni massima nell’acciaio si calcola come segue
σsvNesAp
nMmax2 Mmax3+
JidII ec+:= σsv 1.28 103
MPa=
Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell’acciaio incondizioni di esercizio. La verifica è dunque soddisfatta
Verifica allo stato limite ultimo della sezione di mezzeria
In una trave in c.a.p raggiunto lo stato limite ultimo, le armature di precompressione raggiungonoil loro limite di snervamento oltre il quale si perde l’effetto della precompressione in quanto latensione non cambia più al variare della deformazione. In tal caso la sezione della trave sicomporta come una sezione in c.a. ordinario con l’armatura di precompressione che si comportacome armatura ordinaria. Occorre solamente tener conto del fatto che l’armatura diprecompressione all’atto del tiro subisce una deformazione iniziale che va aggiunta alladeformazione provocata dai carichi esterni.Nel caso specifico la deformazione iniziale dell’armatura di precompressione vale
εp0 NesEp Ap
:= εp0 5.777 10 3−=
La deformazione allo snervamento dell’armatura di precompressione vale
εpy
fp1k1.15Ep
:= εpy 7.211 10 3−=
La resistenza del cls allo stato limite ultimo vale come noto
fcdfck1.5
:= fcd 22.133 MPa=
Sotto ipotesi che la sezione collassi in zona 2, l’asse neutro si valuta facilmente come la notarelazione
ycAp fp1k
0.8 b fcd:= yc 60.006 cm=
La deformazione dell’acciaio vale di conseguenza
εp 0.0035h yc− dp−
yc:= εp 4.783 10 3−
=
Alla precedente va aggiunta però la deformazione già presente in fase di tiro (si è trascurataquella dovuta alla trazione imposta dalla precompressione in fase di esercizio)
εpt εp NesAp Ep
+:= εpt 0.011=
La deformazione così valutata dimostra come la sezione collassi effettivamente in campo 2
Il momento ultimo della sezione vale quindi
Mu Ap fp1k 0.9 h dp−( ):= Mu 5.431 103 kN m=
Il momento agente sulla trave vale
Md18
pp pk+( ) 1.4 L2
18
qk 1.5 L2+:= Md 3.915 103
kN m=
La verifica allo SLU è dunque ampiamente soddisfatta
DETERMINAZIONE DEL FUSO DEL CAVO RISULTANTE
Per la determinazione del fuso del cavo risultante occorre conoscere i punti di nocciolo la leggedi variazione del momento dovuto al peso proprio e quello dovuto ai sovraccarichi permanenti eaccidentali
y
xdi
ds
Punti di nocciolo
Inferiore diWidsIIAidII
−:= di 0.252 m=
Superiore dsWidiIIAidII
−:= ds 0.262− m=
Mg x( )pp L
2x pp
x2
2−:= Andamento del Momento dovuto al peso prorio
Mes x( )pp pk+ qk+( ) L
2x pp pk+ qk+( )
x2
2−:= Momento in esercizio
Limite superiore del cavo risultante Limite Inferiore del cavo risultante
es x( )Mes x( )
Nesds+:= ei x( )
Mg x( )Ni
di+:=
x 0 30..:=
CR x( ) 0.004555 x2 0.135 x− 1+ 0.68−:=
0 10 20 30
0.5−
0
0.5ei x m( )−
es x m( )−
CR x( )
x m
FUSO DEL CAVO RISULTANTE
DETERMINAZIONE DEL FUSO DI GUYON
Per la determinazione del fuso di Guyon occorre determinare le eccentricità del cavo in faseiniziale e di esercizio che producano il raggiungimento della tensione ammissibile nel lembosuperiore o inferiore della trave. A tale scopo basta esprimere l’eccentricità del cavo con laformula di Navier fissando la tensione al valore ammissibile per la trazione e la compressione.Il fuso viene quindi individuato come segue:
e1i x( )WidsIAidI
σcti− AidI
Ni− 1+��
���
Mg x( )Ni
+:= e1s x( )WidsIIAidII
σcce AidII
Nes− 1+��
���
Mes x( )Nes
+:=
e2i x( )WidiIAidI
σcci AidI
Ni1−��
���
Mg x( )Ni
+:= e2s x( )WidiIIAidII
σcte− AidII
Nes1−��
���
Mes x( )Nes
+:=
e1 x( ) min e1i x( ) e2i x( ),( ):= Limite inferiore del fuso di Guyon
e2 x( ) max e1s x( ) e2s x( ),( ):= Limite superiore del fuso di Guyon
0 10 20 30
0.5−
0
0.5e1 x m( )−
e2 x m( )−
es x m( )−
ei x m( )−
CR x( )
x m