CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO – perdite e cadute di tensioneverifiche dello stato tensionale allo stato limite di esercizio e verifica allo SLU.Andamento e fuso del cavo

Con riferimento alla trave in cemento armato precompresso a cavi post-tesi indicata in figura si valutino nelrispetto del D.M. 14.01.09:

1. le perdite di tensione in fase iniziale2. le cadute di tensione lente in fase esercizio3. si effettui la verifica delle tensioni allo stato limite di esercizio4. Si effettui la verifica allo stato limite ultimo della trave5. Si costruisca il fuso del cavo risultante e il fuso di Guyon corrispondente

N.B. il cavo ha una andamento parabolico

L

h

b

f

12.5 5.00 12.5

dp

AB C D

Ly

x

Dati trave

Altezza sezione h 150 cm:=

base sezione b 40 cm:=

Armatura di precompressione Ap 25 cm2:= (Armatura in trefoli stabilizzati)

lunghezza trave L 30 m:=

Freccia del cavo f 1.0 m:=

Distanza minima del cavo dallembo inferiore dp 8 cm:=

eccentricità del cavo in mezzeria ech2

dp−:= ec 67 cm=

Tiro e tensione iniziale del cavo

N0 3500 kN:= tiro a 15 gg σspiN0Ap

:= σspi 1.4 103 MPa=

Carichi esterni

Sovraccarichi caratteristici permamenti: pk 4.5kNm

:=

Sovraccarichi caratteristici accidentali qk 5.kNm

:= cond. carico quasi permanente

Fasi di costruzioneFase I: condizioni a vuoto (carico id precompressione + P.Proprio Trave)Fase II: condizioni di esercizio (carico di precomp.+P.P.trave+ Sovraccarichi perm. e acc.)

SOLUZIONE

Calcolo Caratteristiche Meccaniche dei Materiali

Calcestruzzo

Resistenza a compressionecubica a 28gg

Rck 40 MPa:=

Resistenza Cilindrica a 28gg fck 0.83 Rck:= fck 33.2 MPa=

fcm fck 8 MPa+:= fcm 41.2 MPa=Resistenza cilindrica media

Resistenza a trazione media del cls fctm 0.3 MPa

13

Rck

23

:= fctm 3.509 MPa=

Resistenza a compressione del cls al tiro(Model Code 90)

fckj fcke0.25 1

2815

−��

���

:= fckj 30.295 MPa=

Tensione massima di compressioneammissibile nel cls in condizioniiniziali

σcci 0.7 fckj:= σcci 21.207 MPa=

Tensione massima di trazioneammissibile nel cls in condizioniiniziali

σctifctm e

0.25 12815

−��

���

1.2:= σcti 2.668 MPa=

Tensione massima di compressioneammissibile nel cls in condizionidi esercizio

σcce 0.45 fck:= σcce 14.94 MPa=

Tensione massima di trazioneammissibile nel cls in condizionidi esercizio

σctefctm1.2

:= σcte 2.924 MPa=

Modulo elastico cls Ec 22000MPa0.7 fcm10

��

���

0.3:= Ec 3.364 104

MPa=

Acciaio

Modulo elastico acciaio daPrecompressione

Ep 205000 MPa:=

Tensioni caratteristicche di rottura e snervamentodell’armatura di precompressione (in trefoli) fptk 1900 MPa:= fp1k 1700MPa:=

Tensione massima ammissibilenell’armatura al tiro σpi min 0.75fptk 0.85fp1k,( ):=

σpi 1.425 103 MPa=

Tensione massima ammissibilenell’armatura in esercizio σpe 0.8fp1k:= σpe 1.36 103

MPa=

Coefficiente di omegenizzazione al tiro

nEpEc

6.093=:=

Calcolo caratteristice geometriche della sezione nelle varie fasi

si valutano le caratteristiche geometriche della sezione nelle due fasi previste nella fase dicostruzione e di esercizio della trave

Fase I (Condizioni a Vuoto: precompressione + peso proprio della trave)

In questa fase i cavi non sono solidali col calcestruzzo per cui occorre depurare la sezione dicalcestruzzo dell’area dei cavi di precompressione.

AreaAidI b h Ap−:= AidI 5.975 103

cm2=

Momento Statico

SidI b hh2 Ap h dp−( )−:= SidI 4.465 105

cm3=

Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave

yGISidIAidI

:= yGI 74.72 cm=

Momento d’inerzia

JidIb h3

12b h

h2

yGI−��

���

2+ Ap h dp− yGI−( )2

−:= JidI 1.114 107 cm4

=

Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore

WidsIJidIyGI

−:= WidsI 1.491− 105 cm3

=

WidiIJidI

h yGI−:= WidiI 1.479 105

cm3=

Nel caso specifico l’area dei cavi d’acciaio risulta essere piccola per cui l’area ideale dellasezione si potrebbe approssimare con l’area della sezione immaginata di solo calcestruzzosenza eccessivo errore. Infatti l’area e il momento d’inerzia approssimati risulterebbero

AI b h:= AI 6 103 cm2

= JIb h3

12:= JI 1.125 107

cm4=

WsIJI

yGI−:= WsI 1.506− 105

cm3= WiI

JIh yGI−

:= WiI 1.494 105 cm3

=

Fase II (Condizioni di esercizio ( precompressione + peso proprio della trave+sovraccarichi permanenti e accidentali)

In questa fase i cavi di precompressione sono sigillati nelle guaine con la malta e pertantorisultano solidali col calcestruzzo. Le grandezze geometriche ideali sono quindi le seguenti:

Area

AidII b h Ap− n Ap+:= AidII 6.127 103 cm2

=

Momento Statico

SidII b hh2 Ap h dp−( )− n Ap h dp−( )+:= SidII 4.681 105

cm3=

Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave

yGIISidIIAidII

:= yGII 76.392 cm=

Momento d’inerzia

JidIIb h3

12b h

h2

yGII−��

���

2+ Ap h dp− yGII−( )2

− n Ap h dp− yGII−( )2+:=

JidI 1.114 107 cm4

=

Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore

WidsIIJidIIyGII

−:= WidsII 1.546− 105 cm3

=

WidiIIJidII

h yGII−:= WidiII 1.604 105

cm3=

Calcolo Sollecitazioni

Peso proprio trave

pp b h 25kN

m3:= pp 15

kNm

=

Momento massimo in mezzeria al tiro

Mmax118

pp L2:= Mmax1 1.688 103

kN m=

Momenti massimi in mezzeria in esercizio

Mmax218

pp pk+( ) L2:= (Permanenti) Mmax2 2.194 103

kN m=

Mmax318

qk( ) L2:= (Variabili cond. rara) Mmax3 562.5 kN m=

Calcolo Perdite e Cadute di Tensione

Perdite per attrito

In travi in c.a.p. a cavi post-tesi, nella fase di tesatura del cavo, nasconoinevitabilmente tensioni tangenziali sulla superficie del cavo dovute all’attrito tracavo e guaina. La variazione di tensione (trazione) nel cavo si può valutare con lanota relazione :

� � � � cc f

i

0fspiattr e1

ANe1 �����

dove fc = 0.3 1/rad nel caso si utilizzino guaine metalliche� = angolo che la tangente al cavo nel punto iniziale forma con l’asse

orizzontale

Per la valutazione di � si può determinare l’equazione della parabola che descrive laforma del cavo con origine nel punto B e poi valutare il valore della derivata primanel punto A:

y ax2 bx+ c+:= ax

con le seguenti condizioni al contornoy(0)=0 dy/dx(0)=0 y(15)=1

porte ai seguenti coefficienti

b=c=0 a4f

L24.444 10 3−

1m

=:=

y x( ) 4.444 10 3− x2

:= (Equazione del cavo)

Calcolando a questo punto la derivata di y(x) in testa alla trave si può valutare l’angolo che latangente al cavo forma con l’asse della trave

x 15:=

Dx

y x( )dd��

���

0.133=:= tanα D 0.133=:=

Poichè l’arco tangente è circa pari alla tangente si assume che

α 0.1322 rad:=

A questo punto è possibile valutare la perdita di tensione nel cavo dovuta all’attrito

fc 0.3:=

ΔσattN0Ap

1 e fc− α( )−�� ��:= Δσatt 54.437 MPa= (Perdita di tensione per

attrito)

La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza

ΔNatt Ap Δσatt:= ΔNatt 136.093 kN= (Perdita di sforzo nel cavoper attrito)

Tiro nel cavo a perdite di attrito avvenuteNel cavo dopo il tiro dello stesso lo sforzo normale in esso vale

Ni N0 ΔNatt−:= Ni 3.364 103 kN=

con una perdita percentuale pariN0 Ni−

N0100 3.888=

Caduta di tensione dovute alla viscosità del cls

Il D.M. 14.01.2008 al punto 11.2.10.7 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempoinfinito (in esercizio) dovute alla viscosità è da calcolarsi come segue:

� � � � el,c0el,cp0v n,tE,t �������

� ��� ,t0dove è la funzione di viscosità a tempo infinito funzione del tempo di carico t0

La tensione �c,el è la tensione nel cls all’altezza del cavo dovuta ai sovraccarichi permanenti e

accidentali, quest’ultimi solo se di natura quasi permanente:

σcelNi

AidIINi ecJidII

ec+Mmax2

JidIIec−:= σcel 5.831 MPa=

La funzione Φ può essere desunta dalla tabella 11.2.VII delle NTC08 valida per un dato valored’umidità relativa. Nel caso specifico l’umidità prescelta è pari al 75%

Il coefficiente h0 si calcola come rapporto tra il doppio dell’area della sezione e il perimetrodella sezione stessa

h02 1500 400( )

2 1500 400+( ):= h0 315.789=

Ipotizzando un tempo di carico iniziale to=15gg, interpolando tra i valori relativi ad ho=300 edho=600 indicati nella tabella, il valore della funzione di viscosità vale:

Φ 2.2:=

La caduta di tensione nel cavo dovuta al fenomeno della viscoità risulta di conseguenza

Δσv Φ n σcel:= Δσv 78.165 MPa=

La variazione di tiro nel cavo vale infine

ΔNv Δσv Ap:= ΔNv 195.412 kN=

con una perdita percentuale pariΔNvN0

100 5.583=

Caduta di tensione dovute al ritiro del cls

Il D.M. 14.01.2008 al punto 11.2.10.6 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempoinfinito (in esercizio) dovute alla ritiro è da calcolarsi come segue:

Nel caso specifico εc0 e kh non coincidendo con nessuno dei valori tabellati devono esserericavati per interpolazione lineare. Scegliendo un valore dell’Umidità più vicino a quelloprescelto (in questo caso il 75%) e ricordando che fck=33.2 Mpa, la deformazione εc0espressa il °/°° si calcola come segue:

εc00.38− 0.49+

40 20−33.2 20−( ) 0.49−:= εc0 0.417−= °/°° UR = 60%

εc00.24− 0.30+

40 20−33.2 20−( ) 0.30−:= εc0 0.26−= °/°° UR = 80%

εc0 0.26− 0.417+

80 60−75 60−( ) 0.417− 0.299−=:= valore interpolato tra UR=60% e UR=80%

kh 0.750.75 0.70−

500 300−h0 300−( )−:= kh 0.746=

εcd εc0 kh:= εcd 0.223−= °/°°

Il ritiro autogeno a tempo infinito vale

εca 2.5− 33.2 10−( ) 10 6−:= εca 5.8− 10 5−

= °/°°

La deformazione totale per ritiro vale dunque

εcs εcd εca+:= εcs 0.223= °/°°

La conseguente perdita di tensione nel cavo vale quindi

Δσrit εcs1000

Ep:= Δσrit 45.779 MPa=

Infine la variazione di tiro nel cavo vale

ΔNrit Δσrit Ap:= ΔNrit 114.449 kN=

con una perdita percentuale pari aΔNrit

N0100 3.27=

Caduta di tensione dovute al rilassamento dell’acciaio

Il D.M. 11.09.2009 al punto 11.3.3.3 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempoinfinito (in esercizio) dovute al rilassamento riferite ad una temperatura di 20 °C

Nel caso specifico adottando trefoli stabilizzati si ha:

ρ1000 2.5:=

μ σspifp1k

0.824=:= σspi 1.4 103 MPa=

t 500000:=

la perdita per rilassamento a tempo infinito vale dunque

Δσpr σspi 0.66 ρ1000 e9.1 μ

t1000��

���

0.75 1 μ−( ) 10 5−

94.511 MPa=:=

ΔNrit Δσrit Ap 114.449 kN=:=

Δσpr Ap

N0100 6.751=

La perdita per rilassamento deve secondo quanto indicato dall’EC2 al punto 5.46 tener contodella interdipendenza con le cadute di tensione dovute alla viscosità e al ritiro. La perdita totale,comprensiva cioè di tutti i genomeni lenti può ricavarsi dalla segente relazione:

ΔσtotΔσv Δσrit+ 0.8 Δσpr+

1EpEc

ApAI 1

AIJI

ec2+��

���

1 0.8 Φ+( )+

:= Δσtot 161.21 MPa=

Δσv Δσrit+ Δσpr+ 218.455 MPa=

Ia conseguente variazione di tiro nel cavo varrà

ΔNtot Δσtot Ap:= ΔNtot 403.026 kN=

con una perdita percentuale totale pari aΔNtot

N0100 11.515=

Tiro nel cavo a perdite e cadute avvenute

In esercizio a perdite e cadute di tensione scontate il tiro nel cavo assume il seguente valore

Nes N0 ΔNatt− ΔNtot−:= Nes 2.961 103 kN=

La percentuale di perdita totale rispetto al tiro iniziale risulta quindi pari a:

N0 Nes−

N0100 15.403=

Verifiche allo stato limite di esercizio: verifica alle tensioni normali

Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni iniziali

In condizioni iniziali le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento allecaratteristiche geometriche della fase a vuoto

Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls a vuoto

σcivNi

AidINi ecWidiI

+Mmax1WidiI

−:= σciv 9.458 MPa=

Tensione minima (al lembo superiore) nel csl a vuoto

σcsvNi

AidINi ecWidsI

+Mmax1WidsI

−:= σcsv 1.831 MPa=

Entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa e dunque la verifica a vuoto nel clsè soddisfatta

Verifica delle Tensioni nell’acciaio in condizioni iniziali

In condizioni iniziali le tensioni massima nell’acciaio si calcola come segue

σsvNiAp

:= σsv 1.346 103 MPa=

Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell’acciaio incondizioni iniziali. La verifica è dunque soddisfatta

Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni di esercizio

In condizioni di esercizio le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento allecaratteristiche geometriche della fase di esercizio

Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls in esercizio

σcieNes

AidIINes ecWidiII

+Mmax2 Mmax3+

WidiII−:= σcie 0.018 MPa=

Tensione minima (al lembo superiore) nel csl in esercizio

σcseNes

AidIINi ecWidsII

−Mmax2 Mmax3+

WidsII+:= σcse 1.582 MPa=

La sezione risulta interamente compressa ed entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti dellanormativa. Dunque la verifica in esercizio nel cls è soddisfatta

Verifica delle Tensioni nell’acciaio in condizioni di esercizio

In condizioni di esercizio le tensioni massima nell’acciaio si calcola come segue

σsvNesAp

nMmax2 Mmax3+

JidII ec+:= σsv 1.28 103

MPa=

Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell’acciaio incondizioni di esercizio. La verifica è dunque soddisfatta

Verifica allo stato limite ultimo della sezione di mezzeria

In una trave in c.a.p raggiunto lo stato limite ultimo, le armature di precompressione raggiungonoil loro limite di snervamento oltre il quale si perde l’effetto della precompressione in quanto latensione non cambia più al variare della deformazione. In tal caso la sezione della trave sicomporta come una sezione in c.a. ordinario con l’armatura di precompressione che si comportacome armatura ordinaria. Occorre solamente tener conto del fatto che l’armatura diprecompressione all’atto del tiro subisce una deformazione iniziale che va aggiunta alladeformazione provocata dai carichi esterni.Nel caso specifico la deformazione iniziale dell’armatura di precompressione vale

εp0 NesEp Ap

:= εp0 5.777 10 3−=

La deformazione allo snervamento dell’armatura di precompressione vale

εpy

fp1k1.15Ep

:= εpy 7.211 10 3−=

La resistenza del cls allo stato limite ultimo vale come noto

fcdfck1.5

:= fcd 22.133 MPa=

Sotto ipotesi che la sezione collassi in zona 2, l’asse neutro si valuta facilmente come la notarelazione

ycAp fp1k

0.8 b fcd:= yc 60.006 cm=

La deformazione dell’acciaio vale di conseguenza

εp 0.0035h yc− dp−

yc:= εp 4.783 10 3−

=

Alla precedente va aggiunta però la deformazione già presente in fase di tiro (si è trascurataquella dovuta alla trazione imposta dalla precompressione in fase di esercizio)

εpt εp NesAp Ep

+:= εpt 0.011=

La deformazione così valutata dimostra come la sezione collassi effettivamente in campo 2

Il momento ultimo della sezione vale quindi

Mu Ap fp1k 0.9 h dp−( ):= Mu 5.431 103 kN m=

Il momento agente sulla trave vale

Md18

pp pk+( ) 1.4 L2

18

qk 1.5 L2+:= Md 3.915 103

kN m=

La verifica allo SLU è dunque ampiamente soddisfatta

DETERMINAZIONE DEL FUSO DEL CAVO RISULTANTE

Per la determinazione del fuso del cavo risultante occorre conoscere i punti di nocciolo la leggedi variazione del momento dovuto al peso proprio e quello dovuto ai sovraccarichi permanenti eaccidentali

y

xdi

ds

Punti di nocciolo

Inferiore diWidsIIAidII

−:= di 0.252 m=

Superiore dsWidiIIAidII

−:= ds 0.262− m=

Mg x( )pp L

2x pp

x2

2−:= Andamento del Momento dovuto al peso prorio

Mes x( )pp pk+ qk+( ) L

2x pp pk+ qk+( )

x2

2−:= Momento in esercizio

Limite superiore del cavo risultante Limite Inferiore del cavo risultante

es x( )Mes x( )

Nesds+:= ei x( )

Mg x( )Ni

di+:=

x 0 30..:=

CR x( ) 0.004555 x2 0.135 x− 1+ 0.68−:=

0 10 20 30

0.5−

0

0.5ei x m( )−

es x m( )−

CR x( )

x m

FUSO DEL CAVO RISULTANTE

DETERMINAZIONE DEL FUSO DI GUYON

Per la determinazione del fuso di Guyon occorre determinare le eccentricità del cavo in faseiniziale e di esercizio che producano il raggiungimento della tensione ammissibile nel lembosuperiore o inferiore della trave. A tale scopo basta esprimere l’eccentricità del cavo con laformula di Navier fissando la tensione al valore ammissibile per la trazione e la compressione.Il fuso viene quindi individuato come segue:

e1i x( )WidsIAidI

σcti− AidI

Ni− 1+��

���

Mg x( )Ni

+:= e1s x( )WidsIIAidII

σcce AidII

Nes− 1+��

���

Mes x( )Nes

+:=

e2i x( )WidiIAidI

σcci AidI

Ni1−��

���

Mg x( )Ni

+:= e2s x( )WidiIIAidII

σcte− AidII

Nes1−��

���

Mes x( )Nes

+:=

e1 x( ) min e1i x( ) e2i x( ),( ):= Limite inferiore del fuso di Guyon

e2 x( ) max e1s x( ) e2s x( ),( ):= Limite superiore del fuso di Guyon

0 10 20 30

0.5−

0

0.5e1 x m( )−

e2 x m( )−

es x m( )−

ei x m( )−

CR x( )

x m