Universidad del Atlantico
Profesor Harold Gamero
Calculo Integral
Taller 7
Sucesiones y series infinitas
1. Determine si la sucesion converge o diverge. Si converge, establezca el lımite.
a.
{
7− 4n2
3 + 2n2
}
.
b.
{
3n − 5n
3n + 5n
}
.
c.
{
(−1)n3n2
n2 + 4n+ 5
}
.
d.{
n
√3n + 2n
}
.
e.{√
2,√
2√2,
√
2√
2√2, · · ·
}
.
f.
{
2n + (−1)n
2n+1 + (−1)n+1
}
.
2. Suponga que f es una funcion diferenciable para todo x ∈ [0, 1] y que f(0) = 0. Defina la
sucesion an = nf(
1
n
)
y muestre que
lımn→∞
an = f ′(0).
3. Defina a1= 1 y an+1 = 1 + 1
1+an. Determine si {an} es convergente; en caso de serlo, calcule a
que valor converge.
4. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y demuestre o refutesegun el caso.
a. Si∑
an = A y∑
bn = B 6= 0 y bn 6= 0, para todo n, entonces∑
anbn
= AB.
b.∑
anbn
puede ser divergente, a pesar de que∑
an, y∑
bn sean convergentes a reales no nulosy bn 6= 0 para todo n.
c. Existen series∑
an = A y∑
bn = B tales que∑
anbn = C 6= AB.
d. Si∑
an es convergente y∑
bn divergente, entonces∑
(an + bn) puede ser convergente odivergente.
5. En los siguientes ejercicios determine si las series son convergentes o divergentes. Para las con-vergentes trate de hallar el valor al cual convergen.
a.∞∑
n=1
( e
π
)n
.
b.
∞∑
n=2
1
n lnn.
c.∞∑
n=1
en
1 + e2n.
d.∞∑
n=1
4n−1 − 1
8n−1.
e.
∞∑
n=1
(
1√n− 1√
n+ 1
)
.
f.∞∑
n=1
8 arctann
1 + n2.
g.
∞∑
n=3
(1/n)
(lnn)√
ln2 n− 1.
h.∞∑
n=1
n2n(n+ 1)!
3nn!.
i.∞∑
n=3
5n3 − 3n
n2(n− 2)(n2 + 5).
j.
∞∑
n=1
n!
nn.
k.∞∑
i=1
(
i
3i+ 1
)i
.
l.
∞∑
j=2
ln j√j.
m.
∞∑
n=1
n! lnn
n(n + 2)!.
n.∞∑
n=2
1
n(lnn)0,2.
n.
∞∑
i=1
1 · 3 · 5 · 7 · · · (2i− 1)
1 · 4 · 7 · · · (3i− 2).
1
6. Determine si la serie dada es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o diver-gente.
a.
∞∑
n=1
(−1)n ln3 n3
n.
b.
∞∑
n=1
(−1)n(
√
n+√n−
√n
)
.
c.
∞∑
n=1
(−1)n(n!)23n
(2n+ 1)!.
d.∞∑
i=1
i cosπi
(i+ 1)(i+ 2).
7. Determine el radio e intervalo de convergencia de cada serie dada.
a.
∞∑
n=1
n(x+ 2)n
3n+1.
b.∞∑
n=0
3nxn
n!.
c.
∞∑
n=0
(−2)n(n + 1)(x− 1)n.
d.∞∑
n=1
(
1 +1
n
)n
xn.
e.
∞∑
n=1
(x− 1)n√n
.
f.∞∑
n=1
(−1)n+1(x+ 2)n
n2n.
2
