Universidad del Atlantico

Profesor Harold Gamero

Calculo Integral

Taller 7

Sucesiones y series infinitas

1. Determine si la sucesion converge o diverge. Si converge, establezca el lımite.

a.

{

7− 4n2

3 + 2n2

}

.

b.

{

3n − 5n

3n + 5n

}

.

c.

{

(−1)n3n2

n2 + 4n+ 5

}

.

d.{

n

√3n + 2n

}

.

e.{√

2,√

2√2,

√

2√

2√2, · · ·

}

.

f.

{

2n + (−1)n

2n+1 + (−1)n+1

}

.

2. Suponga que f es una funcion diferenciable para todo x ∈ [0, 1] y que f(0) = 0. Defina la

sucesion an = nf(

1

n

)

y muestre que

lımn→∞

an = f ′(0).

3. Defina a1= 1 y an+1 = 1 + 1

1+an. Determine si {an} es convergente; en caso de serlo, calcule a

que valor converge.

4. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y demuestre o refutesegun el caso.

a. Si∑

an = A y∑

bn = B 6= 0 y bn 6= 0, para todo n, entonces∑

anbn

= AB.

b.∑

anbn

puede ser divergente, a pesar de que∑

an, y∑

bn sean convergentes a reales no nulosy bn 6= 0 para todo n.

c. Existen series∑

an = A y∑

bn = B tales que∑

anbn = C 6= AB.

d. Si∑

an es convergente y∑

bn divergente, entonces∑

(an + bn) puede ser convergente odivergente.

5. En los siguientes ejercicios determine si las series son convergentes o divergentes. Para las con-vergentes trate de hallar el valor al cual convergen.

a.∞∑

n=1

( e

π

)n

.

b.

∞∑

n=2

1

n lnn.

c.∞∑

n=1

en

1 + e2n.

d.∞∑

n=1

4n−1 − 1

8n−1.

e.

∞∑

n=1

(

1√n− 1√

n+ 1

)

.

f.∞∑

n=1

8 arctann

1 + n2.

g.

∞∑

n=3

(1/n)

(lnn)√

ln2 n− 1.

h.∞∑

n=1

n2n(n+ 1)!

3nn!.

i.∞∑

n=3

5n3 − 3n

n2(n− 2)(n2 + 5).

j.

∞∑

n=1

n!

nn.

k.∞∑

i=1

(

i

3i+ 1

)i

.

l.

∞∑

j=2

ln j√j.

m.

∞∑

n=1

n! lnn

n(n + 2)!.

n.∞∑

n=2

1

n(lnn)0,2.

n.

∞∑

i=1

1 · 3 · 5 · 7 · · · (2i− 1)

1 · 4 · 7 · · · (3i− 2).

1

6. Determine si la serie dada es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o diver-gente.

a.

∞∑

n=1

(−1)n ln3 n3

n.

b.

∞∑

n=1

(−1)n(

√

n+√n−

√n

)

.

c.

∞∑

n=1

(−1)n(n!)23n

(2n+ 1)!.

d.∞∑

i=1

i cosπi

(i+ 1)(i+ 2).

7. Determine el radio e intervalo de convergencia de cada serie dada.

a.

∞∑

n=1

n(x+ 2)n

3n+1.

b.∞∑

n=0

3nxn

n!.

c.

∞∑

n=0

(−2)n(n + 1)(x− 1)n.

d.∞∑

n=1

(

1 +1

n

)n

xn.

e.

∞∑

n=1

(x− 1)n√n

.

f.∞∑

n=1

(−1)n+1(x+ 2)n

n2n.

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