Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
=== BENTUK KANONIK DAN BENTUK BAKU ===
Bentuk Kanonik yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang lengkap”.
Bentuk Baku yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang tidak lengkap”.
SOP (Sum of Product) atau yang diistilahkan dengan jumlah dari hasil perkalian.POS (Product of Sum) atau yang diistilahkan dengan perkalian dari hasil penjumlahan.
Untuk mendapatkan ekspresi Boolean, yang diperhatikan hanyalah “keluaran yang bernilai 1”. Suku-suku bentuk SOP disebut minterm.Untuk mendapatkan ekspresi Boolean, yang diperhatikan hanyalah “keluaran yang bernilai 0”. Suku-suku bentuk POS disebut maxterm.
Menggunakan Tabel KebenaranTabel kebenaran adalah tabel yang memuat semua kemungkinan atau kombinasi masukan serta keluaran dari kombinasi tersebut.Secara umum tabel kebenaran yang memiliki “n” buah masukan mempunyai “2n” kombinasi masukan yang mungkin, jika kondisi keluaran yang diharapkan dari rangkaian logika diberikan untuk semua kemungkinan kondisi masukan, maka hasilnya dapat diperlihatkan dalam tabel kebenaran.Contoh:1. 1) Buatlah ekspresi Boolean dalam bentuk SOP dan POS dari tabel kebenaran ini.
A B C Y00001111
00110011
01010101
01010101
Penyelesaian: a) Dalam bentuk SOP, maka yang dilihat adalah Y = 1.
A B C Y00001111
00110011
01010101
01010101
Y = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
Y = y1 + y3 + y5 + y7
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 1
CBA ..CBA ..
CBA ..CBA ..
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
Y = y (1,3,5,7)b) Dalam bentuk POS, maka yang dilihat adalah Y = 0.
A
B C Y
00001111
00110011
01010101
01010101
Y = ( ) . ( ) . ( ) . ( )
Y = y0 . y2 . y4 . y6
Y = y (0,2,4,6)
Jadi Y = y (1,3,5,7) = y (0,2,4,6)
2. Buatlah suatu rangkaian gerbang logika sederhana sebagai alat pengamanan lemari untuk menyimpan dokumen penting pada suatu BANK yang mempunyai 3 buah kunci pembuka, lemari tersebut dapat dibuka bila minimal oleh 2 orang direktur yang memiliki kunci pembuka.
Pernyelesaian:Dari soal menunjukkan bahwa lemari akan terbuka jika minimal 2 orang dari 3 orang yang ada (dapat menggunakan SOP).a) Masukan (nilai “0” berarti tidak ada orang sedang nilai “1” berarti ada orang).b) Keluaran (nilai “0” berarti pintu tertutup sedang nilai “1” berarti pintu terbuka).Tabel kebenarannya:
A B C Y00001111
00110011
01010101
00010111
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 2
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA ..
CBA ..CBA ..
CBA ..
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
Y = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
Y = y3 + y5 + y6 + y7
Y = y (3,5, 6,7)
Gambar rangkaian logikanya:
Bentuk KanonikBeberapa bentuk kanonik fungsi Boolean 3 masukan variabel:a). Y = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) SOP (outputnya “1”)b). Y = ( ) . ( ) . ( ) . ( ) POS (“0”)
Contoh:1). Nyatakan fungsi Boolean Y (x, y, z) = ( x + ) . ( + z ) dalam bentuk kanonik
SOP dan POS.Penyelesaian:a) Diambil suku ( x + ) yang artinya jika nilai masukan 0 1 -, maka Y = 0
(POS)
x y z Y
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 3
A B C
CBA ..
CBA ..
CBA ..
CBA ..
Y = ()+()+()+()
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
00001111
00110011
01010101
00
b) Diambil suku ( + z ) yang artinya jika nilai masukan - 1 0, maka Y = 0 (POS)
Semua suku telah dimasukan ke tabel kebenaran, nilai Y (keluaran) yang belum terisi akan berharga 1, sehingga tabel kebenarannya menjadi:
Berdasarkan tabel kebenaran, maka:Bentuk SOP-nya (minterm) adalah Y (A, B, C) = y (0, 1, 4, 5, 7)Bentuk POS-nya (maxterm) adalah Y (A, B, C) = y (2, 3, 6)
2). Buatlah tabel kebenaran dari fungsi berikut ini: Y = ( + A + AB )Penyelesaian:a) Diambil suku AB yang artinya jika nilai masukan 1 1 0, maka Y = 1
(SOP)
A B C Y
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta
x y z Y00001111
00110011
01010101
00
0
A B C Y00001111
00110011
01010101
11001101
4
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
00001111
00110011
01010101
1
b) Diambil suku A yang artinya jika nilai masukan 1 0 -, maka Y = 1
A B C Y00001111
00110011
01010101
111
c) Diambil suku yang artinya jika nilai masukan 0 - -, maka Y = 1
Semua suku telah dimasukan ke tabel kebenaran, nilai Y (keluaran) yang belum terisi akan berharga 1, sehingga tabel kebenarannya menjadi:
Berdasarkan tabel kebenaran, maka:Bentuk SOP-nya (minterm) adalah Y (A, B, C) = y (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)Bentuk POS-nya (maxterm) adalah Y (A, B, C) = y ( 7 )
Konversi Antar Bentuk KanonikApabila f ( x, y, z ) = ( 1, 2, 5, 7 ) dan f ’ adalah fungsi komplemen dari f, makaf ‘ ( x, y, z ) = ( 0, 3, 4, 6 ) = y0 + y3 + y4 + y6.Dengan menggunakan hukum De Morgan, maka diperoleh fungsi f dalam bentuk POS sebagai berikut:
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta
A B C Y00001111
00110011
01010101
11111110
A B C Y00001111
00110011
01010101
11111110
5
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
f ( x, y, z ) = (f ‘( x, y, z ))’ = (y0 + y3 + y4 + y6 )’ = y0’ y3’ y4’ y6’ = (x’y’z’)’ (x’y z)’ (x y’z’)’ (x y z’)’
= ( x + y + z ) ( x + y’ + z’ ) ( x’ + y + z’ ) ( x’ + y’ + z ) = y0 y3 y4 y6
= y ( 0, 3, 4, 6 )Jadi f ( x, y, z ) = y ( 1, 2, 5, 7 ) = y ( 0, 3, 4, 6 )
Contoh: Nyatakan fungsi dibawah ini.a) f ( x, y, z ) = y ( 0, 2, 4, 5 ) dalam bentuk SOP.b) g ( w, x, y, z ) = y ( 1, 2, 5, 6, 10, 15 ) dalam bentuk POS.
Penyelesaian:a) f ( x, y, z ) = y ( 1, 3, 6, 7 ).b) g ( w, x, y, z ) = y ( 0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14 )
Bentuk BakuBeberapa bentuk baku fungsi Boolean 3 variabel:a). Y = ( ) + ( ) + ( ) (Bentuk baku dalam bentuk SOP)b). Y = ( ) . ( ) . ( ) (Bentuk baku dalam bentuk POS)
=== PETA KARNAUGH (K-MAP) ===
Peta Karnaugh adalah metode untuk menyederhanakan rangkaian logika.Peta Karnaugh (K-map) mirip dengan tabel kebenaran yang menampilkan keluaran persamaan Boolean untuk tiap kemungkinan kombinasi variabel masukkan, menentukan jumlah sel identik dengan mencari jumlah kombinasi sebuah tabel kebenaran.
1. Variabel yang mempunyai 2n kotak (n adalah banyaknya masukkan), dimana dalam kotak-kotak atau sel-sel tersebut merupakan kombinasi masukkan yang terjadi.Misal: a). 2 variabel masukkan membutuhkan 22 atau 4 sel (kombinasi yang terjadi).
b). 3 variabel masukkan membutuhkan 23 atau 8 sel (kombinasi yang terjadi).c). dan seterusnya.
Contoh berbagai variabel pada Peta Karnaugh:
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 6
abcd
4-InputFunction
3-InputFunction
abc
y y
ab 00 01 11 10
0 1
c ab 00 01 11 10 cd
00
01
11
10
Karnaugh Map ab 00 01 11 10
1ya
b & a b y
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Truth table
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
2. Peta Karnaugh dapat digunakan untuk:a). Menyederhanakan rangkaian (miniaturisasi).b). Merancang rangkaian.
Langkah-Langkah Penyederhanaan Peta Karnaugh1). Masukan keluaran sesuai dengan nomor minterm atau maxterm.2). Untuk penyederhanaan, kelompokkan yang minterm bernilai 1 untuk SOP atau
maxterm yang bernilai 0 untuk POS.3). Setiap kelompok harus berkelipatan 2n yaitu: 2, 4, 8, 16, dan seterusnya.4). Usahakan mencari kelompok terbesar terlebih dahulu, lalu mencari kelompok yang
lebih kecil.
Peta Karnaugh Dengan 2 Variabel Masukan (22 = 4)Aturannya yaitu:a. Dalam masing-masing kotak kombinasi yang terjadi adalah AND GATE.b. Antar kotak mempunyai hubungan OR GATE.
0 1
000
“0”
10
“2”
0 1 00 01 11 10 0 10 0 2 0 00 101 1 3 “0” “1” “3” “2” 1 01 11
101
“1”
11
“3”
Contoh:a). Dari gerbang OR.
Persamaan keluaran dapat ditulis sebagai berikut:X = A + B = 1
= A ( B + ) + B ( A + ) = AB + A + AB + B = AB + A + B
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 7
AB
AB
AB
AB
B
A X = A+B = AB
0
1
AB 10
1
11
0
1
AB 10
AB 1
11
0
1
AB 10
1
1
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
b). Dari gerbang EX-OR.
Untuk X = + AB Untuk X = + B + AB
1). Aturan miniaturisasi untuk 2 variabel masukan.Bila 4 kotak dari K-Map terisi bernilai “1” semua, maka persamaan tersebut adalah 1 (X = 1).X = + A + B + AB = ( + B ) + A ( + B ) = + A = 1
2). Pernyataan persamaan Bokan dari 2 kotak yang berdekatan (bukan bersilangan), dapat disederhanakan dari 2 komponen menjadi satu kombinasi persamaan Bokan.
X = + B = ( + B ) =
X = + A = ( A + ) =
X = B+ AB = B ( A + ) = B
Contoh: Perhatikan peta disamping berikut ini, fungsi yang diplotialah: Z = f (A,B) = A +AB
Penyelesaian:Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 8
B
A X = B + A
0
1
AB 10
11
10
1
AB 10
1
1
0
1
AB 10
1
1
BB
A
0
1
AB 10
AB 1
11
B
B
AA
0
1
AB 10
1
1
ABC
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
Dari lingkaran di atas, terlihat bahwa semua nilai 1 berada bagian A, Karenanya keluaran berupa A dan nilai B hilang. Dengan simplifikasi aljabar, dapat juga ditemukan penyederhanaan persamaan di atas sebagai berikut: Z = A +AB = A( +B) = A.
Contoh:Perhatikan ekspresi Z = f (A,B) = +A + B yang diplot di Peta Karnaugh ini.
Penyelesaian:Pasangan 1 dikelompokkan seperti gambar di atas, dan jawaban diperoleh dengan melihat nilai 1 yang masuk ke kelompok lingkaran yang menyebabkan nilai A dan B hilang.Hasil dari penyederhanaan persamaan di atas ialah: Z = + .
Peta Karnaugh Dengan 3 Variabel Masukan (23 = 8)
Aturannya yaitu:a. Seluruh kotak (8 kotak) dapat disederhanakan dengan F = 1.b. 4 kotak dapat disederhanakan dari 3 variabel menjadi 1 variabel.c. 2 kotak dapat disederhanakan dari 3 variabel menjadi 2 variabel.
Dari 2 buah peta Karnaugh di atas dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut:
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta
00 01 11 10
0000
“0”
010
“2”
110
“6”
100
“4”
1001
“1”
011
“3”
111
“7”
101
“5”
9
0
1
AB 10
1
1
1
F = A + BC = A(B+ ) + BC (A+ ) = AB + A + ABC + BC = AB (C+ ) + A (C+ ) + ABC + BC = ABC + AB + A C + A + ABC + BC
Jadi F = ABC + AB + A C + A + BC
C
0
1
AB 00 01 11 10
CC
AABB B AC
BC
BA
C
0
1
AB 00 01 11 10
1
111
F = A + A C + ABC + BC = A + AC + BC
C
0
1
AB 00 01 11 10
1
111 CC
AA
BB BAC
BC
BA
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
Contoh:Sederhanakan persamaan menggunakan Peta Karnaugh dari soal berikut:1. Z = f (A,B,C) = + B + AB + AC2. Z = f (A,B,C) = B + B + BC + A
Penyelesaian:1. Z = f (A,B,C) = + B + AB + AC
Menggunakan aturan simplifikasi, hasil persamaan yang telah disederhanakan ialah: B.
2. Z = f (A,B,C) = B + B + BC + A
Menggunakan aturan simplifikasi, hasil persamaan yang disederhanakan ialah: B+A .
Peta Karnaugh Dengan 4 Variabel Masukan (24 = 16)Aturannya yaitu:a. Seluruh kotak (16 kotak) dapat disederhanakan dengan F = 1.b. 8 kotak dapat disederhanakan dari 4 variabel menjadi 1 variabel.c. 4 kotak dapat disederhanakan dari 4 variabel menjadi 2 variabel.d. 2 kotak dapat disederhanakan dari 4 variabel menjadi 3 variabel.
Pengelompokan Minterm
1). Pengelompokan dua-an (n = 1), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak berubah.
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 10
C
0
1
1
1
1
1
1
AB 00 01 11 10
CD
00
01
11
10
AB 00 01 11 10
0000 “0”
0010 “2”
0011 “3”
0001 “1”
0100 “4”
0110 “6”
0111 “7”
0101 “5”
1100“12”
1110“14”
1111“15”
1101“13”
1000 “8”
1010 “10”
1011 “11”
1001 “9”
CD
AB AA
D
D
D
BB B
C
C
1 1
1 1
1
1
DCDC
CDDC
DCADCA
CBA
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
2). Pengelompokan empat-an (n = 2), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak berubah.
3). Pengelompokan delapan-an (n = 3), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak berubah.
4). Pengelompokan enam belas-an (n = 4), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak berubah.
Peristiwa Tumpang Tindih (Overleaping)
a). Tanpa tumpang tindih
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 11
1
1 1 1
1
1
DCDC
CDDC BA
DA 1 1
1
1
1
1
DCDC
CDDC
A
1
1
1
1
1
1
1
1
DCDC
CDDC
C 1
1
1
1
DCDC
CDDC
1),,,( DCBAf
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
BA 1
1 1
1
1
DCDC
CDDC
1
DBA DBADBA
1
1 1
1
1
DCDC
CDDC
1
1
1 1
1
1
1
B
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
b). Dengan tumpang tindih
Dari gambar-gambar di atas nampak bahwa dengan menggunakan peristiwa tumpang tindih persamaan menjadi lebih sederhana.
Peristiwa Penggulungan (Rolling)
a). Penggulungan dua-an (n = 1) b). Penggulungan delapan-an (n = 3)
c). Penggulungan empat-an (n = 2)
Peristiwa Kelebihan Pengelompokan (Redundant)
Peristiwa redundant adalah pengelompokan kembali semua suku baik minterm ataupun maxterm yang sudah dikelompokkan.a). Tidak terjadi kelebihan pengelompokan
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 12
BA
1
1 1
1
1
DCDC
CDDC
1DA D
1
1 1
1
1
DCDC
CDDC
1
1
1 1
1
1
1
B
DBA
1
1
1
DCDC
CDDC 1
DCB
D
1 1
1
DCDC
CDDC 1
1 1
1 1
DB
1
1
1
DCDC
CDDC 1
DB
1
1
1 1
DB
1
1
DCDC
CDDC
1
1
1 1
1
DCDC
CDDC
1
CA 1 1
1
DCDC
CDDC
1
1
1
1
1 CB
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
b). Terjadi kelebihan pengelompokan
Suku ini redundant : Suku ini redundant :
Contoh:1). Sederhanakan dengan K-Map tabel berikut ini:
A B C Y0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1
Penyelesaian:
2). Y (A,B,C,D) = y (0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) sederhanakan dengan K-Map:
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 13
CBA
DBA 1 1
1
DCDC
CDDC
1
CA 1 1
1
DCDC
CDDC
1
1
1
1
1CB
AB
1 1
CC
CB
1
1
Y(A, B, C) = +
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
Penyelesaian:
3). Y(A,B,C) = + A + A C + ABC sederhanakan dengan K-Map:Penyelesaian:
Kondisi Tidak Peduli (Don’t Care)
Suatu kondisi dimana keluaran suatu rangkaian logika sembarang (“1” atau “0”) yang tidak mempengaruhi kerja dari sistem rangkaian tersebut, kondisi ini dapat menyebabkan can’t happen (keadaan tak pernah terjadi) dan juga dapat menyebabkan keadaan redundant (kelebihan suku).Langkah-langkah penyederhanaan:a). Suku-suku pada K-map berisi kondisi don’t care diberi tanda “d”.b). “d” boleh bernilai “0” atau “1”.c). “d” dipakai hanya bila menyumbang penyederhanaan.
Contoh:1). Cara kerja suatu rangkaian logika dapat dijelaskan pada tabel kebenaran berikut ini.
A B C
Y
0 0 0 d0 0 1 10 1 0 00 1 1 d1 0 0 01 0 1 1
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 14
Y(A,B,C,D) = + +
DA
C 1
1
1
1
DCDC
CDDC
1
1
1
1
1 1 1
DB
Y(A,B,C) = +
AC 1
1
CC
CB 1
1
Tentukan fungsi Boolean yang telah disederhanakan dengan:a). Tanpa memanfaatkan kondisi don’t care.b). Dengan memanfaatkan kondisi don’t care.
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
1 1 0 11 1 1 d
Penyelesaian: a). Tanpa memanfaatkan kondisi don’t care: Y(A,B,C) = +
b). Dengan memanfaatkan kondisi don’t care: Y(A,B,C) = +
2). F(A,B,C,D) = y ( 1, 3, 7, 11, 15 ) + d ( 0, 2, 5 ), tentukan persamaan Booleannya.
3). F(A,B,C,D) = y (0,3,4,7,13) . d(1,2,5,6,9), tentukan persamaan Booleannya.
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 15
1
CC CB 1
1 CBA
CBA
1
CC 1 d d
d 1
F(A,B,C,D) = +
1
1 1
DCDC
CDDC
d
1 1
d
d
F(A,B,C,D) = + 1
1
DCDC
CDDC
d
1
1
d d
1 1 d d
Mata kuliah TEKNIK DIGITAL
Jurusan Teknik Elektro (S1) UAD Yogyakarta 16