Atome hydrogénoïde
• Potentiel de Coulomb
-20 - 10 10 20zHa.u.L
- 1
-0.8
- 0.6
- 0.4
-0.2
EHa.u.L ) 4(
)(
0
2
r
eZrV
de symétrie sphérique
Solutions en coordonnées polaires
Atome hydrogénoïde
• Potentiel de Coulomb
) 4(
)(
0
2
r
eZrV
de symétrie sphérique
Solutions en coordonnées polaires
x
y
z
r
222 zyxr
r
zzr arccos cos
x
y
x
y arctan tan
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
rr
rrTR
22
2 1
2ˆ
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
rr
rrTR
22
2 1
2ˆ
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
rr
rrTR
22
2 1
2ˆ
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
2222 ˆˆˆˆzyx LLLL
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
i
Lz
ˆ
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
i
Lz
ˆ
0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ 22 zz LLLHLH
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
i
Lz
ˆ
0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ 22 zz LLLHLH ) ˆ]ˆ,ˆ[ ( cba LiLL
Hamiltonien en coordonnées polaires
0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ 22 zz LLLHLH ) ˆ]ˆ,ˆ[ ( cba LiLL
Il existe des fonctions propres communes à H, L2 et Lz
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
• fonctions propres de L2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL
imef ) () ,( essayons:
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
• fonctions propres de L2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL
imef ) () ,( essayons:
) ( ) (sin
) (sin
sin
12
222
ff
mf
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
• fonctions propres de L2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL
imef ) () ,( essayons:
SOLUTIONS:
) (cos) (, lmml Pf Fonctions de Legendre
||,.....3,2,1,0 )1( 2 mllll
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
• fonctions propres de L2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL
),() (cos) ,( ml
imlm YeP
Fonction de Legendre ||,.....3,2,1,0 )1( 2 mllll
Harmonique sphérique
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
imlm
ml ePY ) (cos) ,(
lm
l
,..,2,1,0
,.....3,2,1,0
) ,()1() ,(ˆ 22 ml
ml YllYL
) ,() ,(ˆ ml
mlz YmYL
fonctions propres communes à H, L2 et Lz: Orbitales atomiques
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Essayons: ),()() ,,( mlYrRr
fonctions propres communes à H, L2 et Lz: Orbitales atomiques
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Essayons: ),()() ,,( mlYrRr
)()( ) 4(
2
)1(ˆ0
2
2
2
rERrRr
eZ
r
llTR
fonctions propres communes à H, L2 et Lz: Orbitales atomiques
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Essayons: ),()() ,,( mlYrRr
)()( ) 4(
2
)1(ˆ0
2
2
2
rERrRr
eZ
r
llTR
Solutions:0/)()( naZr
nlnl erLrR
Polynôme de Legendre
Rayon de Bohr
fonctions propres communes à H, L2 et Lz: Orbitales atomiques
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Essayons: ),()() ,,( mlYrRr
)()( ) 4(
2
)1(ˆ0
2
2
2
rERrRr
eZ
r
llTR
Solutions:
0/)()( naZrnlnl erLrR )1(,..3,2,1,0 ,
2
2
lnRyn
ZEn
Atome hydrogénoïde
• Solutions finales dépendent de 3 nombres quantiques
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
Fonctions d`onde
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
....... , 3 , 2 , 1n
Fonctions d`onde
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
....... , 3 , 2 , 1n 1 ... ,1 ,0 nl
Fonctions d`onde
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
....... , 3 , 2 , 1n
llllllm ,1 ,2 ...,.. , 0 ...., ), 2 ( ), 1 ( ,
1 ... ,1 ,0 nl
Fonctions d`onde
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
....... , 3 , 2 , 1n
llllllm ,1 ,2 ...,.. , 0 ...., ), 2 ( ), 1 ( ,
1 ... ,1 ,0 nl
Fonctions d`onde Énergie
2
2
Ryn
ZEn
Atome hydrogénoïde
• Partie (fonction) radiale
a0 = 0.529177 x10-10 m rayon de Bohr
) )4(
a ( 2
20
10 Zemr
e
Atome hydrogénoïde
• Partie angulaire
) cos ) ( ( Pf mlml Harmoniques sphériques
Atome hydrogénoïde
• Quantification de l`énergie:– Énergie dépend de n
seulement
– ( Même résultat que modèle de Bohr )
– État stationnaire dépend de n, l et m
2
2
Ryn
ZEn
mln orbitale mn ) lettre ( .
.
.
.
5
4
3
2
1
0 lettre
h
g
f
d
p
sl
Atome hydrogénoïde
• Quantification de l`énergie:– Énergie dépend de n
seulement
– ( Même résultat que modèle de Bohr )
– État stationnaire dépend de n, l et m
2
2
Ryn
ZEn
mln orbitale mn ) lettre ( .
.
.
.
5
4
3
2
1
0 lettre
h
g
f
d
p
sl
états 2ngn
Atome hydrogénoïde
-20 - 10 10 20zHa.u.L
- 1
-0.8
- 0.6
- 0.4
-0.2
EHa.u.L
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
1 n
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
1 n 1s
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
2 n
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
2 n 22 2 ,2 110 -p , p, ps
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
3 n
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
3 n
d, dd
p, ps
120
10
3 3 ,3
3 3 ,3
Atkins, figs.(13.6) et (13.8)
couchessous-couche
Atome hydrogénoïde
• Signification des nombres quantiques l et m
Atome hydrogénoïde
• Signification des nombres quantiques l et m
• l longueur du vecteur moment cinétique
1 L )( lll
Atome hydrogénoïde
• Signification des nombres quantiques l et m
• l longueur du vecteur moment cinétique
• m 1 composante (Lz) du moment cinétique
1 L )( lll
z mL
Atome hydrogénoïde
• Signification des nombres quantiques l et m
• l longueur du vecteur moment cinétique
• m 1 composante (Lz) du moment cinétique
1 L )( lll
z mL Atkins, fig.(12.33)
Atome hydrogénoïde:nombres quantiques
• n=nombre quantique principal
gouverne l`énergie • l=nombre quantique azimutal
gouverne la grandeur du moment cinétique
• m=nombre quantique magnétique• gouverne la composante z du moment cinétique• gouverne l`énergie dans un champ magnétique (effet Zeeman)
2
2
Ryn
ZEn
1 L )( lll
z mL
)(2
2
, Ryn
ZBE zmn z Bm
Orbitales atomiques
• Représentation polaire:• Partie angulaire seulement ) (cos mlP
) (cos mlP
Orbitales atomiques
• Représentation polaire:• Partie angulaire seulement ) ( mlP
cos
Orbitales atomiques
• Représentations radiales: ou )( rR nl )( 22 rRr nl
)( rR nl )( 22 rRr nl
Orbitales atomiques
• Représentation totale par contours
3pz 3dzz
3dx2-y2 3dxy