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Atome hydrogénoïde. Potentiel de Coulomb. de symétrie sphérique. Solutions en coordonnées polaires. Atome hydrogénoïde. Potentiel de Coulomb. de symétrie sphérique. Solutions en coordonnées polaires. Hamiltonien en coordonnées polaires. Hamiltonien en coordonnées polaires. - PowerPoint PPT Presentation
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Atome hydrogénoïde
• Potentiel de Coulomb
-20 - 10 10 20zHa.u.L
- 1
-0.8
- 0.6
- 0.4
-0.2
EHa.u.L ) 4(
)(
0
2
r
eZrV
de symétrie sphérique
Solutions en coordonnées polaires
Atome hydrogénoïde
• Potentiel de Coulomb
) 4(
)(
0
2
r
eZrV
de symétrie sphérique
Solutions en coordonnées polaires
x
y
z
r
222 zyxr
r
zzr arccos cos
x
y
x
y arctan tan
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
rr
rrTR
22
2 1
2ˆ
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
rr
rrTR
22
2 1
2ˆ
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
rr
rrTR
22
2 1
2ˆ
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
2222 ˆˆˆˆzyx LLLL
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
i
Lz
ˆ
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
i
Lz
ˆ
0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ 22 zz LLLHLH
Hamiltonien en coordonnées polaires
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L
i
Lz
ˆ
0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ 22 zz LLLHLH ) ˆ]ˆ,ˆ[ ( cba LiLL
Hamiltonien en coordonnées polaires
0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ 22 zz LLLHLH ) ˆ]ˆ,ˆ[ ( cba LiLL
Il existe des fonctions propres communes à H, L2 et Lz
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
• fonctions propres de L2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL
imef ) () ,( essayons:
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
• fonctions propres de L2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL
imef ) () ,( essayons:
) ( ) (sin
) (sin
sin
12
222
ff
mf
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
• fonctions propres de L2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL
imef ) () ,( essayons:
SOLUTIONS:
) (cos) (, lmml Pf Fonctions de Legendre
||,.....3,2,1,0 )1( 2 mllll
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
• fonctions propres de Lz
i
Lz
ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim
• fonctions propres de L2
2
2
222
sin
1sin
sin
1ˆ
L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL
),() (cos) ,( ml
imlm YeP
Fonction de Legendre ||,.....3,2,1,0 )1( 2 mllll
Harmonique sphérique
fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques
imlm
ml ePY ) (cos) ,(
lm
l
,..,2,1,0
,.....3,2,1,0
) ,()1() ,(ˆ 22 ml
ml YllYL
) ,() ,(ˆ ml
mlz YmYL
fonctions propres communes à H, L2 et Lz: Orbitales atomiques
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Essayons: ),()() ,,( mlYrRr
fonctions propres communes à H, L2 et Lz: Orbitales atomiques
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Essayons: ),()() ,,( mlYrRr
)()( ) 4(
2
)1(ˆ0
2
2
2
rERrRr
eZ
r
llTR
fonctions propres communes à H, L2 et Lz: Orbitales atomiques
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Essayons: ),()() ,,( mlYrRr
)()( ) 4(
2
)1(ˆ0
2
2
2
rERrRr
eZ
r
llTR
Solutions:0/)()( naZr
nlnl erLrR
Polynôme de Legendre
Rayon de Bohr
fonctions propres communes à H, L2 et Lz: Orbitales atomiques
r
eZ
r
LTH R ) 4(
2
ˆˆˆ
0
2
2
2
Essayons: ),()() ,,( mlYrRr
)()( ) 4(
2
)1(ˆ0
2
2
2
rERrRr
eZ
r
llTR
Solutions:
0/)()( naZrnlnl erLrR )1(,..3,2,1,0 ,
2
2
lnRyn
ZEn
Atome hydrogénoïde
• Solutions finales dépendent de 3 nombres quantiques
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
Fonctions d`onde
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
....... , 3 , 2 , 1n
Fonctions d`onde
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
....... , 3 , 2 , 1n 1 ... ,1 ,0 nl
Fonctions d`onde
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
....... , 3 , 2 , 1n
llllllm ,1 ,2 ...,.. , 0 ...., ), 2 ( ), 1 ( ,
1 ... ,1 ,0 nl
Fonctions d`onde
Atome hydrogénoïde
• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques
immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(
) , ( mlY
harmonique sphérique
partie radiale
....... , 3 , 2 , 1n
llllllm ,1 ,2 ...,.. , 0 ...., ), 2 ( ), 1 ( ,
1 ... ,1 ,0 nl
Fonctions d`onde Énergie
2
2
Ryn
ZEn
Atome hydrogénoïde
• Partie (fonction) radiale
a0 = 0.529177 x10-10 m rayon de Bohr
) )4(
a ( 2
20
10 Zemr
e
Atome hydrogénoïde
• Partie angulaire
) cos ) ( ( Pf mlml Harmoniques sphériques
Atome hydrogénoïde
• Quantification de l`énergie:– Énergie dépend de n
seulement
– ( Même résultat que modèle de Bohr )
– État stationnaire dépend de n, l et m
2
2
Ryn
ZEn
mln orbitale mn ) lettre ( .
.
.
.
5
4
3
2
1
0 lettre
h
g
f
d
p
sl
Atome hydrogénoïde
• Quantification de l`énergie:– Énergie dépend de n
seulement
– ( Même résultat que modèle de Bohr )
– État stationnaire dépend de n, l et m
2
2
Ryn
ZEn
mln orbitale mn ) lettre ( .
.
.
.
5
4
3
2
1
0 lettre
h
g
f
d
p
sl
états 2ngn
Atome hydrogénoïde
-20 - 10 10 20zHa.u.L
- 1
-0.8
- 0.6
- 0.4
-0.2
EHa.u.L
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
1 n
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
1 n 1s
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
2 n
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
2 n 22 2 ,2 110 -p , p, ps
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
3 n
-20 -10 10 20zHa.u.L
- 1
- 0.8
-0.6
- 0.4
- 0.2
EHa.u.LAtome hydrogénoïde
3 n
d, dd
p, ps
120
10
3 3 ,3
3 3 ,3
Atkins, figs.(13.6) et (13.8)
couchessous-couche
Atome hydrogénoïde
• Signification des nombres quantiques l et m
Atome hydrogénoïde
• Signification des nombres quantiques l et m
• l longueur du vecteur moment cinétique
1 L )( lll
Atome hydrogénoïde
• Signification des nombres quantiques l et m
• l longueur du vecteur moment cinétique
• m 1 composante (Lz) du moment cinétique
1 L )( lll
z mL
Atome hydrogénoïde
• Signification des nombres quantiques l et m
• l longueur du vecteur moment cinétique
• m 1 composante (Lz) du moment cinétique
1 L )( lll
z mL Atkins, fig.(12.33)
Atome hydrogénoïde:nombres quantiques
• n=nombre quantique principal
gouverne l`énergie • l=nombre quantique azimutal
gouverne la grandeur du moment cinétique
• m=nombre quantique magnétique• gouverne la composante z du moment cinétique• gouverne l`énergie dans un champ magnétique (effet Zeeman)
2
2
Ryn
ZEn
1 L )( lll
z mL
)(2
2
, Ryn
ZBE zmn z Bm
Orbitales atomiques
• Représentation polaire:• Partie angulaire seulement ) (cos mlP
) (cos mlP
Orbitales atomiques
• Représentation polaire:• Partie angulaire seulement ) ( mlP
cos
Orbitales atomiques
• Représentations radiales: ou )( rR nl )( 22 rRr nl
)( rR nl )( 22 rRr nl
Orbitales atomiques
• Représentation totale par contours
3pz 3dzz
3dx2-y2 3dxy
