Andando in qua e là:introduzione al concetto di struttura
Liceo Scientifico G. Galilei6 febbraio 2013
Giochi di Archimede ---- 2006
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via.
Dopo 2013 minuti, a che distanza dal punto O si trova il ragno?
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a
che distanza dal punto O si trova il ragno?
O
al quinto minuto: 50 cm a est
al sesto minuto: 60 cm a nord......
Est
Nord
Ovest
Sud
REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm.
Tirare a indovinare
Forza bruta
Metodo matematico
MENONE: Differenza fra retta opinione e Scienza
Platone
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a
che distanza dal punto O si trova il ragno?
METODI
O
REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm.
idee? ciclo
Alla fine di ogni ciclo di 4 minuti, il ragno ha percorso 20 cm a sud e 20 cm a ovest
= 4 movimenti(cioè 4 minuti)
Metodo matematico
Soluzione
1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est).
2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza.
3) Nell’ultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est
4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060 = 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O
5) La distanza di P da O è:
A R R I V E D E R C I ALT!
Dobbiamo ancora capire bene cosa abbiamo fatto
Un ottimo modo per vedere se abbiamo capito è affrontare variazioni sul tema
Soluzione
1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est).
2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza.
3) Nell’ultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est
4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060 = 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O
5) La distanza di P da O è:
DIMOSTRAZIONE
In ogni ciclo il ragno fa x cm verso Est, x + 10 cm verso Nord, x + 20 cm verso Ovest e x + 30 cm verso Sud.
x cm verso Est = - x cm verso Ovest
x + 10 cm verso Nord = - x - 10 cm verso Sud
In ogni ciclo il ragno fa - x cm verso Ovest, - x - 10 cm verso Sud, x + 20 cm verso Ovest e x + 30 cm verso Sud.quindi il ragno fa - x + x + 20 = 20 cm verso Ovest e - x – 10 + x + 30 = 20 cm verso Sud.
Soluzione
1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est).
2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza.
?
O
Nord
A1
A4 A5
A2A3
A6
A1 = (10 , 0)
O = (0 , 0)
A2 = (10 , 20)
A3 = (- 20 , 20)
A4 = (- 20 , - 20)
A5 = (30 , - 20)
A6 = (30 , 40)
x =
y =
0 10 10 -20 -20 30 30
0 0 20 20 -20 -20 40
Quali numeri secondo logica aggiungeresti?
-40 -40
40 -40
dimostrazione
y = 0 0 20 20 -20 -20 40 40 -40
x = 0 10 10 -20 -20 30 30 -40 -40
x = 0 10 -20 30 -40
10 -30 50 -70
y = 0 20 -20 40 -40
20 -40 60 -80
REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm.
REGOLA al passo N il ragno fa:
se N è pari, n = 2m + 2
se N è dispari, n = 2m + 1
verso Est(20m+10)
verso Nord(20m+20)
REGOLA al passo N il ragno fa:
se N è pari, n=2m + 2
se N è dispari, n=2m + 1
verso Est(20m+10)
verso Nord(20m+20)
formula apertadescrizione analitica
descrizione locale
ciò che otteniamo dagli esperimenti
nello spazio e nel tempo
ventopressionetemperaturavariazione del ventovariazione di pressionevariazione di temperatura...
previsione
esempio meteo
Come ottenere una visione globale?
lungo x 10 0 -30 0 50 0 -70 0 90 ... dopo N passi? 10 - 30 + 50 - 70 + 90 ...
(10 - 30) +(50 - 70) +(90 ... (- 20) + (- 20) + ...
serie numerica
si scrive m = 2 a + b b = 0, 1
se b = 0 (cioè m è pari), la somma è -20 a
se b = 1 (cioè m è dispari), la somma è -20 a + 20 m = 20 a + 10
in un colpo solo, la somma è (-1)b+1 20 a + 10 b
...
...
m si ottiene da Nscrivendo N = 2m – r r = 0,1
REGOLA dopo N minuti il ragno è:
x = (-1)b+1(20 u) + 10 b N = 4 u + ww = -1, 0, 1, 2b = INT(w+1)/2
formula chiusadescrizione algebrica
descrizione globale
y = (-1)b+1(40 u) + 20 b N = 4 u + ww = 0, 1, 2, 3b = |INT(w-1)/2|
?????
REGOLA al passo N il ragno fa:
se N è pari, n=2m + 2
se N è dispari, n=2m + 1
verso Est(10m+10)
verso Nord(20m+20)
descrizione analitica
descrizione algebrica
REGOLA dopo N minuti il ragno è:
x = (-1)b+1(20 u) + 10 b N = 4 u + ww = -1, 0, 1, 2b = INT(w+1)/2
y = (-1)b+1(20 u) + 20 b N = 4 u + ww = 0, 1, 2, 3b = |INT(w-1)/2|
DUALITA’
descrizione analitica
descrizione algebrica
DUALITA’
descrizione locale
ciò che otteniamo dagli esperimenti
nello spazio e nel tempo
più facile da ricavare
descrizione globale
ciò che otteniamo dalla elaborazione
nello spazio e nel tempo
più facile da usare
REGOLA dopo N minuti il ragno è:
x = (-1)b+1(20 u) + 10 b N = 4 u + ww = -1, 0, 1, 2b = INT(w+1)/2
y = (-1)b+1(20 u) + 20 b N = 4 u + ww = 0, 1, 2, 3b = |INT(w-1)/2|
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a
che distanza dal punto O si trova il ragno?
ogni minuto la distanza percorsa aumenta di 10 cm.
prima variazione sul tema
e se invece aumentasse di 20 cm? o di 5 cm? o di 4,8123 cm? o di π cm?
o (in generale) di k cm?
2k k
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4 cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via.
e se invece ogni minuto la distanza percorsa raddoppiasse?
seconda variazione sul tema
movimentilungo x = 1 0 -4 0 16 0 -64 0 256 0 -1024 0 ...
(tralasciando gli zeri)
serie di potenzea segni alterni
- 3 - 48 - 768
- 3 x 1 - 3 x 16 - 3 x 162 ...
ciclo
ma questa come si somma?
ma questa come si somma?
a = 1 somma di m volte 1 m
a = 2
1 + 3 + 9 + 27 + .... + 3m
2m+1 - 1
sistema binario 1 1 1 .... 1 1 1 +
1
1 0 0 .... 0 0 0 0 2m+1
a = 3
1 + 2 + 4 + 8 + .... + 2m
sistema ternario 1 1 1 .... 1 1 1
1 1 1 .... 1 1 1 +
+
1
1 0 0 .... 0 0 0 0 3m+1
3m+1 - 1
2
1 + 16 + 256 + .... + 16m
=
a = 16
sistema esadecimale0123456789ABCDEF
1 1 1 .... 1 1 1
E E E .... E E E +
+
1
1 0 0 .... 0 0 0 0 16m+1
am+1 - 1
a-1
=16m+1 - 1
15
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4 cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via.
movimentilungo x = 1 0 -4 0 16 0 -64 0 256 0 -1024 0 ...
dopo m cicli = -16m+1 - 1
15
ecc. ecc.
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.
e se invece ogni minuto la distanza percorsa dimezzasse?
terza variazione sul tema
O
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.
movimentilungo x = 1 0 -1/4 0 1/16 0 -1/64 0 1/256 0 -1/1024 0 ...
3/4 3/64 3/1024
ciclo
=16m+1 - 1
15 x
(3/4)
a = 1/16
am+1 - 1
a-1 (3/4) =
16m dopo m cicli
movimentilungo y =
16m+1 - 1
15 x
(3/8)16m
dopo m cicli =
ecc. ecc. dopo 2013 minuti?
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.
16m+1 - 1
15 x
(3/4)( =16m
posizione del ragno dopo m cicli
16m+1 - 1
15 x
(3/8)16m
,
dopo 4m minuti.
)
O
e dopo infiniti minuti?
16m+1 - 1
15 x
(3/4)( 16m
16m+1 - 1
15 x
(3/8)16m , ) =
4
5
( , 2
5
)
4/5
2/5
punto limite
16m+1 - 1
15 x
(3/4)( 16m
16m+1 - 1
15 x
(3/8)16m
, ) e dopo infiniti minuti?
un momento!! m è il numero dei cicli, non dei minuti
movimentilungo x = 1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 + ...
= (1 + 0 -1/4 + 0) + (1/16 + 0 -1/64 + 0) + (1/256 + 0 -1/1024 + 0) + ...
se ho un numero finito di addendi, ok (proprietà associativa)
ma se il numero di addendi è infinito?
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) ... = 0 + 0 + 0 + 0 ... 0
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 ... 1
la proprietà associativa, nelle somme infinite, può fallire.
la proprietà associativa, nelle somme infinite, può fallire.
(cioè il passaggio dai singoli passi ai cicli)
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... qui fallisce
1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 + ...
qui non fallisce
ARCHIMEDE raggiunse grandi traguardi perché aveva la capacità innata di utilizzare correttamente i procedimenti di somma di infinite quantità, ciascuna infinitesima.
I filosofi medioevali non avevano tecniche per comprendere i procedimenti di somme infinite e mancando loro la sensibilità di Archimede, non potevano utilizzarle, pena la comparsa di paradossi (come 1 = 0).
Solo con NEWTON e LEIBNIZ furono poste le basi moderne per il calcolo infinitesimo
Solo con NEWTON e LEIBNIZ furono poste le basi moderne per il calcolo infinitesimo
F = m a d2s/dt2
descrizione analitica
descrizione globale
quarta variazione sul tema
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4 cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via.
???
PROBLEMA : Un ragno si muove, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 3 cm in alto, nel quarto minuto 4 cm verso ovest, nel quinto minuto 5 cm verso sud, nel sesto minuto 6 cm verso il basso. Eccetera. Dopo 2013 minuti, dove si trova il ragno?
O
PROBLEMA : Un ragno si muove, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 3 cm in alto, nel quarto minuto 4 cm verso ovest, nel quinto minuto 5 cm verso sud, nel sesto minuto 6 cm verso il basso. Eccetera. Dopo 2013 minuti, dove si trova il ragno?
O
variazioniogni punto è definito da 3 coordinate.
(1 , 0 , 0) (1 , 2 , 3)(1 , 2 , 0) (-3 , 2 , 3) (-3 , -3 , 3)(0 , 0 , 0) (-3 , -3 , -3)
e così via
il ciclo è composto da 6 passi.
soluz = (1006 , 1007 , 1008)
(1 , 2 , 3)
O
in dimensione 4
ogni punto è definito da 4 coordinate.
il ciclo è composto da 8 passi.
e perché non salire ancora di dimensione?
(0 , 0 , 0 , 0) (1 , 0 , 0 , 0) (1 , 2 , 0 , 0) (1 , 2 , 3 , 0) (1 , 2 , 3 , 4)
(-4 , 2 , 3 , 4) (-4 , -4 , 3 , 4) (-4 , -4 , -4 , 4) (-4 , -4 , -4 , -4) ...
ma l’esercizio può essere risolto!
solo calcoli.
no disegno
ogni punto è definito da 4 coordinate.
e perché non salire ancora di dimensione?
(0 , 0 , 0 , 0)
dimensione = numero di coordinate
Arthur Clarke
2001: Odissea nello spazio
...
Come era ovvio, come era necessario il rapporto dei lati del monolito, la sequenza 1 : 4 : 9!
E quale ingenuità avere immaginato che la sequenza terminasse a quel punto, con appena 3 dimensioni!
...
ma torniamo un attimo sul pianeta Terra ...
Cosa succede se facciamo muovere il ragno sulla superficie (curva) terrestre?
aereo
PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 1000 km verso est, poi 2000 km verso nord, poi 3000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud. E
così via. Dopo 2013 passi, a che distanza dal punto O si trova l’aereo?
PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 4000 km verso est, poi 4000 km verso nord, poi 4000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud.
A che distanza dal punto O si trova ora l’aereo?
sul piano è chiaro:
al punto di partenza
ma sulla superficie
sferica NO
Geometria non-Euclidea
Un esploratore cammina 1 km verso sud, 1 km verso est, 1 km verso nord e si accorge di essere tornato al punto di partenza.Vede un orso e lo cattura.Di che colore è l’orso? W
W
PROBLEMA DEGLI ORSI :
polo nord
punto di partenza?
angolo w
AB = R sen(w)
2πR sen(w) = 1
w = arcsen(1/(2πR))
arco d
d = wR = R arcsen(1/(2πR)))
punto di partenza 1 + R arcsen(1/(2πR)) = circa 1,16 Km dal polo
AB
polo sud
P
P
PA = 1 km
A = ?
A
il giro del mondo partendo da A è lungo un 1 km
quanto dista A dal polo?
PROBLEMA DELL’AEREO: Un aereo viaggia 1000 km verso est, 1000 km verso sud, 1000 km verso ovest, 1000 km verso nord e si accorge di essere tornato al punto di partenza.Da dove è partito?
punto di partenza?
ESERCIZIO!
Cosa sono Nord Sud Est Ovest?
???
nord
ovest
Il pianeta Ciambella
nord
ovest
Liceo Scientifico Statale "Galileo Galilei" di Siena
"poesia della Matematica"
ITALO CALVINO
nato a Cuba 1923
morto a Siena 1985
Le città invisibili (1972)
MARCO Di una città non godi le sette, o le settantasette meraviglie, ma la risposta che dà ad una tua domanda
KAN O le domande che ti pone, costringendoti a rispondere. Come Tebe, per bocca della Sfinge.
Il CONCETTO di STRUTTURA
O
un ciclo è una struttura
In tutti i problemi precedenti, il punto chiave consisteva nel riconoscere correttamente una struttura
come ad esempio un ciclo
Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE
saper riconoscere correttamente le struttureutili a risolvere un problemaè compito fondamentale nella Matematicanella Fisica, nell’Ingegneria, nell’Informatica, nell’Economia ....
retta opinione
vediamo alcuni esempi in cui la nostra percezione di struttura si comporta in modo distorto.
Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE
PROBLEMA : Per raggiungere la sua mela, un lombrico deve salire 6 scalini. Ogni giorno sale 2 scalini, mentre ogni notte ne scende 1.Dopo quante giornate il lombrico raggiungerà la sua mela?
2 -1 2 -1 2 -1 2 ....
1 1 1 .... 6 giorni
2 1 3 2 4 3 5 4 6 giorno1 giorno2 giorno3 giorno4 giorno5
Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE
2 42+ =
+ =
+ =
+ =
2 2 4frutti frutti frutti+ =
2 42+ =
+ =4 oggetti
+ =
2 + =2 6paia di calzini calzini calzini
???4
1 2paio di calzini calzini=
mi raccomando 2 + 2 = 4
Grazie per l’attenzione
ciao
Le città invisibili (1972)
... Il Kan cercava di immedesimarsi nel gioco, ma ora era il perchè del gioco a sfuggirgli. Quale era la posta? Allo scacco matto, sotto il piede del re sbalzato dal vincitore, non rimaneva che una casella vuota, un tassello di legno piallato: il nulla ...
Allora Marco parlò – La tua scacchiera, Sire, è intarsio di due legni: ebano e acero. Il tassello sul quale si fissa il tuo sguardo illuminato fu tagliato su uno strato del tronco che crebbe in un anno di siccità: vedi infatti come sono strette le fibre? Ecco un poro più grosso, indice di una malattia della pianta, che forse portò al suo abbattimento ... – e continuava.
Il Kan era stupito. La quantità di cose che si potevano leggere su un pezzetto di legno piallato lo sommergeva. E già Marco era venuto a parlare dei boschi di ebano, di zattere sui fiumi, e di approdi, e di donne alle finestre ...
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