Analogne modulacije

Na slici 1. prikazan je ΦM prijemnik. Ulazni pojasni filtar propušta sve značajne komponente ΦM signala. Idealni fazni demodulator ΦD na izlazu daje signal amplitude kada je faza signala na ulazu , gde je sa označena maksimalna devijacija faze. Osim signala, na ulaz prijemnika stiže i beli Gausov šum. Ako je poznato da je odnos signal šum na ulazu faznog demodulatora , maksimalna devijacija faze i snaga normalizovanog modulišućeg signala odrediti odnos signal šum na izlazu prijemnika. Maksimalna učestanost modulišućeg signala iznosti . Pri izračunavanju demodulisanog signala iskoristiti činjenicu da je snaga signala mnogo puta veća od snage šuma.

Slika 1.

Pomoć: .

Analog modulations

Figure 1. depicts the receiver of a phase modulated signal. Band-pass filter at the input passes through all significant components of a PM signal. Ideal phase demodulator outputs signal of amplitude when the phase of the input signal is , where denotes maximum phase deviation. Besides the signal, there is a white Gaussian noise at the input of a receiver. If it is known that signal to noise ratio at the input of a phase demodulator is , maximum phase deviation and normalized modulating signal's power is , find signal to noise ratio at the output of the receiver. Modulating signal's maximum frequency is . When calculating the demodulated signal, use the fact that signal's power is much larger that that of the noise.

Figure 1.

Help: .

ΦD

PD

Rešenje: Modulisani ΦM signal je:

.

Prema Carsonovom obrascu širina značajnog dela spektra fazno modulisanog signala ima vrednost , tako da filtar na ulaz propušta sve učestanosti iz opsega

Stoga je odnos SNR na ulazu u idealni fazni demodulator:

.

gde je sa označena spektralna gustina snage šuma. Signal na ulazu ΦD je:

.

Da bi pojednostavili izvođenje šum ćemo prikazati pomoću prostoperiodičnog signala:

,

gde je: ,

, tako da signal na ulazu ΦD možemo predstaviti kao

,

gde je:

.

Pošto je odnos signal šum na ulazu u ΦD 40dB možemo smatrati da je snaga signala mnogo puta veća od snage šuma, odnosno da je , odnosno da je . Tako da se dobija

.

Pošto je slučajna veličina, a faza ugaono modulisanog signala, sa aspekta određivanja snage demodulisanog signala, proporcionalnog sa , pomeranje argumenta sinusne funkcije za nema značaja te se može napisati:

.

Demodulisani signal je oblika:

,

a traženi izraz za odnos signal šum:

.

Uvrštavanjem odgovarajućih vrednosti:

.

Signali i sistemi Na Slici 1. prikazan je sistem koji se sastoji od dva množača signala i dva idealna NF filtra nultog grupnog kašnjenja. Odrediti graničnu učestanost kao i oblik prostoperiodičnog signala tako da u slučaju kada se na ulaz dovede signal dat izrazom:

izlazni signal bude jednak ulaznom signalu, tj. . Granična učestanost prvog NF filtra je kHz, a signal gde je

pri čemu je ms.

Slika 1.

Signals and systems Figure 1. depicts a system which consists of two signal multipliers and two ideal low-pass filters with zero group delay. Find the boundary frequency as well as the sinusoidal signal , so that, when the input signal is given by:

the output signal is equal to the input signal, i.e., . The boundary frequency of the first low-pass filter is kHz, and signal where

with ms.

Figure 1.

Rešenje: Ulazni signal je

.

Prvi faktor, , predstavlja IFT funkcije

.

FT od je

,

te je spektar signala dat izrazom odnosno kao na slici dole.

Spektar signala je dat izrazom:

,

tako da je spektar signala :

,

gde je

.

Ako sa tada se spektar dobija kao .

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

G D

D D G G

Spektar signala na izlazu prvog NF filtra je

Pošto je spektar signala realan donji i gornji podopseg su identični tako da je svejedno koji će biti transliran na opseg od 1 do 2 kHz. Ali pošto je na izlazu NF filtar, onda je rešenje ipak jednoznačno, odnosno

,

a granična učestanost NF filtra kHz.

-1 0 1

D G

Digitalne telekomunikacije

Prijemnik digitalnog signala sa pravougaonim elementarnim impulsima trajanja prikazan je na slici. Brzina signalizacije je . Simboli digitalnog signala su iz -arnog polarnog alfabeta, a polovina rastojanja između susednih simbola je .

odlučivač A1

0 T

h tT ( ) h tT ( ) h t' ( )h t( )

t

RC ms= =0.1 τ

RC

a) Odrediti optimalni trenutak odabiranja na prijemu. b) Odrediti pojačanje A tako da bude . c) Odrediti maksimalnu ISI. d) Za koju brzinu signalizacije će doći do zatvaranja dijagrama oka u prijemniku i koliki je tada digitalni protok,

ako je ili ?

Digital communications

The receiver of a digital signal with elementary impulse is depicted below. Symbol rate is . Symbols of the digital signal are from -ary polar alphabet, and is half the distance between neighbouring symbols.

odlučivač A1

0 T

h tT ( ) h tT ( ) h t' ( )h t( )

t

RC ms= =0.1 τ

RC

a) Find the optimal sampling moment at the receiver. b) Find the amplification A so that . c) Find the maximal ISI (intersymbol interference). d) What symbol rate causes eye diagram (at the receiver) to close and what is the value of the corresponding bit

rate, if or ?

Rešenje:

Odziv RC kola na pobudu dat je izrazom:

(20%)

1

T0 t

h t( )

Odziv RC kola na pobudu signalom

a) Zbog datog oblika odziva, odlučivanje se izvodi sa T sekundi zakašnjenja (tada je odziv maksimalan). (10%)

b)

.1

11)()(' |τT

eAThA

Ttth

−−

=⇔=⋅==

(10%) c) U t = T odlučuje se o simbolu poslatom u t = 0;

ISI....,3,2,1,odbirak korisni0

'

1)(⇒=⇒=

=⋅=

−=+=

−

−−

kk

ehAh

eekTThh

kT

TkT

kk

k

τ

ττ

Sumiranjem se dobija:

.1

)1(

1)1()1(

,

1

'max

1

'

−

−=

−−=−=

⋅=

−

−

∑

∑

∞

=

∞

=−

ττ

τ

TT

T

e

dM

e

edMhdMI

haI

kk

kkk

(30%) d) Oko se zatvara za maxI ≥d:

. 4,142ln

1ln

ldld

,1;ln1

)1(

skb

MM

TMv

TvMT

e

dMd

d

sT

=⋅

=⋅

==

=⋅=⇒−

−=

ττ

ττ

M 2 4 8 16

T [μs] 69 139 208 277

A 2 1,33 1,14 1,07

vs [kBd] 14,4 7,2 4,8 3,6

Parametri digitalnog signala pri kojim dolazi do zatvaranja dijagrama oka

)(Mfvd ≠ - digitalni protok, pri kojem dolazi do zatvaranja dijagrama oka u ovakvom sistemu, ne zavisi od broja simbola M jer nije ograničen propusni opseg.

U tabeli je prikazano da se porastom broja simbola M, isti digitalni protok postiže sa manjom brzinom signalizacije. (30%)

Statistička teorija telekomunikacija Neka je slučajan proces u diskretnom vremenu takav da su međusobno nezavisne slučajne promenljive sa Gausovom raspodelom:

.

Slučajan proces dobijen je transformacijom procesa na sledeći način:

.

Odrediti srednju vrednost i autokorelaciju procesa . Da li je ovaj proces stacionaran u širem smislu?

Statistical theory of communications Let be a discrete time random process such that are mutually independent random variables with Gaussian distribution:

.

Random process is obtained by transforming the process in the following way:

.

Find the mean and autocorrelation function of the process . Is this a wide-sense stationary process?

Rešenje: Prema uslovima zadatka:

,

.

Sada imamo:

,

.

Proces je prema tome stacionaran u širem smislu.

Teorija informacija

Binarni simetri£ni kanali C1 i C2 imaju verovatno¢e gre²ke p i 1 − p, tim redom. Neka je

C kanal koji se dobija istovremenim kori²¢enjem kanala C1 i C2. Odrediti za koliko se promeni

kapacitet kanala C kada se C1 i C2 spregnu na na£in da se gre²ka u C2 de²ava ako i samo ako

se istovremeno ne de²ava gre²ka u C1, u pore�enju sa slu£ajem kada su C1 i C2 nezavisni.

Information theory

Binary symmetric channels C1 and C2 have error probabilities p and 1 − p, respectively.Let C be the channel obtained by simultaneously using channels C1 and C2. By how much is

capacity of the channel C changed when C1 and C2 are coupled in such a way that error in

C2 occurs if and only if error in C1 does not occur, compared to the case when C1 and C2 are

independent.

Re²enje:

Ako je {0, 1} predajni i prijemni alfabet kanala C1 i C2, zbog njihovog istovremenog ko-

ri²¢enja kanal C ima predajni i prijemni alfabet A = {00, 01, 10, 11}, gde prvi simbol svakog

para odgovara kanalu C1, a drugi kanalu C2. Razmatraju se dva slu£aja:

• C1 i C2 su nezavisni.

Neka je C ′ ekvivalentni zdruºeni kanal. Iz nezavisnosti sledi

P [y1, y2|x1, x2] = P [y1|x1]P [y2|x2],

gde je xi predajni, a yi prijemni simbol kanala Ci. Odavde se dobija matrica uslovnih

verovatno¢a kanala C ′,

ΠC′ =

p(1− p) (1− p)2 p2 p(1− p)(1− p)2 p(1− p) p(1− p) p2

p2 p(1− p) p(1− p) (1− p)2

p(1− p) p2 (1− p)2 p(1− p)

,

pri £emu je pretpostavljen redosled predajnih i prijemnih simbola 00, 01, 10, 11. Zamena

vrsta ove matrice odgovara zameni predajnih simbola, a zamena njenih kolona odgovara

zameni prijemnih simbola. Nijedna od ovih zamena ne uti£e na kapacitet kanala. Ako

se zamene vrste 1 ↔ 4 i 2 ↔ 3 i ako se zamene kolone 1 ↔ 4 i 2 ↔ 3, dobija se

polazna matrica. S obzirom da se pri zamenama predajnih simbola zamenjuju i njihove

verovatno¢e za koje se maksimizuje transinformacija, a da je dobijena ista matrica kao

na po£etku, sledi da za optimalne predajne verovatno¢e vaºi

P [00] = P [11], P [01] = P [10].

Sli£no, zamenama vrsta 1 ↔ 2 i 3 ↔ 4 i zamenama kolona 1 ↔ 2 i 3 ↔ 4, dobija se

polazna matrica, pa je istim rasu�ivanjem

P [00] = P [01], P [10] = P [11],

odakle je

P [00] = P [01] = P [10] = P [11] =1

4,

tj. kapacitet se postiºe za jednako verovatne predajne simbole. Kako je

P [y] =∑x∈A

P [x]P [y|x], y ∈ A,

gde je x predajni, a y prijemni simbol zdruºenog kanala, zbog vrednosti elemenata kanalne

matrice zaklju£uje se da su i svi prijemni simboli jednako verovatni. Na osnovu toga se

neposrednim izra£unavanjem dobija

RC′ =∑x∈A

∑y∈A

P [x]P [y|x] ldP [y|x]

P [y]=

=

(2 · 1

4p(1− p) ld

p(1− p)14

+1

4(1− p)2 ld

(1− p)2

14

+1

4p2 ld

p2

14

)· 4 =

= 2− 2H(p),

gde je

H(p) = −p ld p− (1− p) ld(1− p)

binarna entropijska funkcija. Ovaj zaklju£ak moºe da se izvede i bez formiranja kanalne

matrice kanala C ′, jer je kapacitet istovremenog kori²¢enja nezavisnih kanala jednak zbiru

njihovih kapaciteta, koji su ovde 1−H(p) = 1−H(1− p).

• C1 i C2 su spregnuti tako da se u C2 de²ava gre²ka ako i samo ako se istovremeno

u C1 ne de²ava gre²ka.

Neka je C ′′ ekvivalentni zdruºeni kanal. Iz de�nicije zavisnosti C1 i C2 dobija se matrica

uslovnih verovatno¢a kanala C ′′,

ΠC′′ =

0 1− p p 0

1− p 0 0 pp 0 0 1− p0 p 1− p 0

,

gde je pretpostavljen isti redosled predajnih i prijemnih simbola iz A kao u prethodnom

slu£aju. Pomo¢u istih grupa zamena vrsta i kolona kao tada, pri kojima se i sada dobija

polazna matrica, zaklju£uje se da su optimalne verovatno¢e predajnih simbola jednake,

P [00] = P [01] = P [10] = P [11] =1

4,

a da isto vaºi i za verovatno¢e prijemnih simbola, zbog vrednosti elemenata kanalne

matrice. Neposrednim izra£unavanjem se u ovom slu£aju dobija

RC′′ =∑x∈A

∑y∈A

P [x]P [y|x] ldP [y|x]

P [y]=

=

(1

4(1− p) ld

1− p14

+1

4p ld

p14

)· 4 =

= 2−H(p).

Kona£no, pove¢anje kapaciteta ekvivalentnog zdruºenog kanala usled sprezanja jeste

∆RC = RC′′ −RC′ = H(p).