Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:1
1. ¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
−11
,
0
2
−4−4
,
0
a
−6 a + a2−22 a + 5 a2
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de a.
2 Sólo para a = 0 y para a=
3 Hay mas de dos valores de a.
4 Sólo para el valor a=
Respuesta:
2. La compañ́ıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Éstos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes básicos: A, B y C. Se sabe que para ensamblar
un producto X requiere 2 A, 2 B y 4 C. Para ensamblar
un producto Y requiere 2 A, 4 B y 6 C. Para ensam-
blar un producto Z requiere 1 A, 3 B y 7 C. Un cierto
d́ıa se utilizaron 10 A, 18 B y 34 C. Determina cuántos
productos del tipo Z se realizaron.
Respuesta:
3. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[0 −4−4 2
]
C =
[22 18
10 8
]
D =
[−1 1
1 −3
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobación, reporte el renglón 2.
Respuesta:
4. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 350 gra-
mos de café de Chiapas y 650 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 600 gramos de
café de Chiapas y 400 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 80 paquetes
de Café Económico y 20 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20
paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 3 contenedores para el norte del páıs y
7 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 745. kilogramos de café de Chiapas y
855. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
5. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente independiente?
{−v1 − v2 + v3 , 3 v2 + 2 v3 , 4 v1 + 3 v2 + 4 v3}
A Cierto
B Falso
6. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentesambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si A x = b1 tiene solución única y A x = b2 tiene
solución, entonces A x = b2 también tiene solución
única.
b) Si m = n y si A x = b1 tiene solución única, entonces
A x = 0 tiene infinitas soluciones.
c) Si m = n, entonces A x = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
d) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces
A x = 0 tiene solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
2
3) Cierto
Respuesta:
7. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4 a2|4 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 5 a3,a2|4 b] es consistente.
d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
8. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0tiene solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
9. Considere los vectores:
v1 =
−315
, v2 = 2−3
4
v3 =
15−1919
, v4 = −108
2
v5 =
3−1539
, v6 = −23
6
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
B W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
D W1 = W2
10. Si
a =
3−3−2
, b = 65
1
, c = 12−3
, d = 2112
1
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1. Gen {a,b,d} = R32. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}3. Gen {a,b, c} = R3
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:2
1. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 250 gra-
mos de café de Chiapas y 750 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 700 gramos de
café de Chiapas y 300 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 40
paquetes de Café Económico y 60 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 4 contenedores para el norte del páıs y
6 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 613. kilogramos de café de Chiapas y
687. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
2. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solución única.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución
única, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
3. ¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
−2−2
,−1
0
0
−2
,
2
4− 2 a−4− 2 a + a211 + 4 a− a2
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de a.
2 Sólo para a = 0 y para a=
3 Sólo para el valor a=
4 Hay mas de dos valores de a.
Respuesta:
4. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente dependiente?
{−2 v1 + 3 v2 − 2 v3 , 4 v1 − v2 + 3 v3 , 4 v1 − 3 v2 − 2 v3}
A Cierto
B Falso
5. Si:
A =
[−4 −3−1 −1
]
B =
[2 1
−3 −1
]
C =
[−2 1−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:(
(A X)T
B)T
= C
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
6. Considere los vectores:
v1 =
3−1815
, v2 = 3−1
4
v3 =
4−79
, v4 = 1−6
5
v5 =
2−1210
, v6 = −16−5
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
2
A W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
D W1 = W2
7. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si 2 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 3 a3,a2|5 b] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6 a2|5 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
8. Si
a =
−250
, b = 24−3
, c = −33
1
, d = −642−9
Indique cuáles opciones contienen declaraciones ciertas:
1. Gen {a,b,d} = R32. Gen {a,b, c} = R33. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}
Respuesta:
9. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2|b] tiene solución única, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
d) Si existen únicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
10. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
ción rústica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rústicos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $3 en
ilustraciones, y $6 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $4 en papel, $6 en ilustraciones, y $13 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $7 en papel, $11 en
ilustraciones, y $22 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $314 en papel, $364 en ilustraciones, y $744 en pas-
tas. ¿Cuántos libros de cada categoŕıa pueden producirse?
Sólo como comprobación reporte el número de libros em-
pastados en piel a producirse.
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:3
1. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 300 gra-
mos de café de Chiapas y 700 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 800 gramos de
café de Chiapas y 200 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 40
paquetes de Café Económico y 60 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 4 contenedores para el norte del páıs y
6 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 710. kilogramos de café de Chiapas y
590. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
2. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución
única, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.
c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solución única.
d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
3. Si
a =
452
, b = 63−3
, c = −3−2
3
, d = −22−14
7
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1. Gen {a,b,d} = R32. Gen {a,b, c} = R33. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}
Respuesta:
4. La compañ́ıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Éstos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes básicos: A, B y C. Se sabe que para ensamblar
un producto X requiere 2 A, 2 B y 4 C. Para ensamblar
un producto Y requiere 4 A, 8 B y 12 C. Para ensam-
blar un producto Z requiere 3 A, 9 B y 15 C. Un cierto
d́ıa se utilizaron 22 A, 46 B y 74 C. Determina cuántos
productos del tipo Z se realizaron.
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente independiente.
c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.d) Si existen únicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.e) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}
es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
6. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente dependiente?
{−3 v2 + v3 , 3 v1 + 4 v2 − 4 v3 , −3 v1 + 2 v2}
A Cierto
B Falso
2
7. Considere los vectores:
v1 =
−6−2−6
, v2 = −4−3
0
v3 =
67−6
, v4 = 205
24
v5 =
−30−10−30
, v6 = 6−6−4
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
B W1 = W2
C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
D W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
8. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si 2 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.
b) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3 a2|4 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
e) Si [a1,a2, 5 a3|5 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
9. ¿Para qué valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−11
−2
,−1
3
1
2
,
−11− b
−1− 4 b + b22− 12 b + 4 b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de b.
2 Sólo para b = 0 y para b=
3 Sólo para el valor b=
4 No existe valor de b.
Respuesta:
10. Si:
A =
[4 −3−1 1
]
B =
[−2 −3
3 −2
]
C =
[−3 −10
6 20
]
D =
[3 0
−3 1
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobación, reporte el renglón 2.
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:4
1. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3 a2|5 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 5 a2|2 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
2. ¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−1−2
1
,
0
2
−22
,
−11− a
2− 2 a + a2−1− 16 a + 5 a2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Sólo para a = 0 y para a=
2 Hay mas de dos valores de a.
3 No existe valor de a.
4 Sólo para el valor a=
Respuesta:
3. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
ción rústica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rústicos, la empresa gasta en promedio $6 en papel, $5 en
ilustraciones, y $4 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $6 en papel, $6 en ilustraciones, y $11 en pastas.
Y para los empastados en piel, gasta $8 en papel, $12 en
ilustraciones, y $27 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $392 en papel, $403 en ilustraciones, y $639 en pas-
tas. ¿Cuántos libros de cada categoŕıa pueden producirse?
Sólo como comprobación reporte el número de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
4. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
5. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 400 gra-
mos de café de Chiapas y 600 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 850 gramos de
café de Chiapas y 150 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 70 paquetes
de Café Económico y 30 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 40
paquetes de Café Económico y 60 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 4 contenedores para el norte del páıs y
6 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 830. kilogramos de café de Chiapas y
570. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
2
6. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−4 −1−3 −1
]
C =
[−4 −3−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:(
(A X)T
B)
C−B = 0
Reporte el renglón 1.
Respuesta:
7. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente dependiente?
{−3 v1 − 2 v2 + 2 v3 , 3 v1 − 2 v2 − 3 v3 , 9 v1 + 2 v2 − 7 v3}
A Cierto
B Falso
8. Si
a =
−125
, b = 4−1
3
, c = 3−1−1
, d = 14−7−1
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1. d ∈ Gen {a,b, c}2. d ∈ Gen {a,b}3. a ∈ Gen {b, c}
Respuesta:
9. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2|b] tiene solución única, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
10. Considere los vectores:
v1 =
1−6−4
, v2 = 2−12−8
v3 =
−164
, v4 = 3−18−12
v5 =
−402
, v6 = −3−6−2
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
B W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
C W1 = W2
D W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:5
1. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6 a2|6 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
c) Si 6 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 3 a2|3 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 5 a3,a2|3 b] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
2. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 350 gra-
mos de café de Chiapas y 650 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 600 gramos de
café de Chiapas y 400 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 80 paquetes
de Café Económico y 20 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 30
paquetes de Café Económico y 70 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 3 contenedores para el norte del páıs y
7 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cierto
d́ıa se utilizaron 607.5 kilogramos de café de Chiapas y
692.5 kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
3. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente independiente?
{−3 v1 + v2 + 2 v3 , 3 v1 − 3 v2 − v3 , −9 v1 + v2 + 7 v3}
A Cierto
B Falso
4. Si
a =
054
, b = 34−1
, c = 41
2
, d = −9−2
11
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1. c ∈ Gen {a,b,d}2. d ∈ Gen {a,b}3. d ∈ Gen {a,b, c}
Respuesta:
5. ¿Para qué valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
−22
,−1
1
4
−6
,
0
2x
−x + x212− 8x
Indique su respuesta en las posibles:
1 Sólo para x = 0 y para x=
2 Sólo para el valor x=
3 Hay mas de dos valores de x.
4 No existe valor de x.
Respuesta:
6. Si:
A =
[2 −31 −1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[3 −20 0
]
D =
[−3 5−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglón 1.
Respuesta:
2
7. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0tiene solución única.
d) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lución, entonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: cañon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo cañon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
último, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fábrica dispone en horas por mes de 476 para ensamble,
101 para pruebas, y 87 horas para instalación de progra-
mas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?
Sólo reporte las del tipo lenta-pero-segura.
Respuesta:
9. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentesambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n, entonces A x = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
b) Si m = n y si A x = b1 tiene solución única, entonces
A x = 0 tiene solución única.
c) Si A x = b1 tiene infinitas soluciones, entonces
A x = b2 tiene infinitas soluciones.
d) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces
A x = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
10. Considere los vectores:
v1 =
6−1518
, v2 = −6−3
3
v3 =
−4−89
, v4 = 0−4
3
v5 =
0−86
, v6 = 04−3
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 = W2
B W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
C W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
D W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:6
1. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentesambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m < n, entonces A x = b1 tiene infinitas solucio-
nes.
b) Si m = n, entonces A x = b1 tiene solución única si
acaso tiene solución.
c) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces
A x = 0 tiene solución única.
d) Si A x = b1 tiene solución única y A x = b2 tiene
solución, entonces A x = b2 también tiene solución
única.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
2. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 200 gra-
mos de café de Chiapas y 800 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 900 gramos de
café de Chiapas y 100 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 80 paquetes
de Café Económico y 20 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 30
paquetes de Café Económico y 70 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 6 contenedores para el norte del páıs y
4 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 650. kilogramos de café de Chiapas y
850. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
3. Si
a =
−163
, b = 03−2
, c = 2−3
1
, d = −121−7
Indique cuáles opciones contienen declaraciones ciertas:
1. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}2. Gen {a,b,d} = R33. Gen {a,b, c} = R3
Respuesta:
4. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente independiente?
{−v1 − 4 v2 − 4 v3 , −3 v1 − 4 v2 − 3 v3 , −2 v1 + 3 v2 − 3 v3}
A Cierto
B Falso
5. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución
única, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
6. ¿Para qué valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−22
−1
,
0
−1−1−2
,
2
−4 + 2x4− 3x + x2
28− 12x + 2x2
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de x.
2 Sólo para el valor x=
3 Hay mas de dos valores de x.
4 Sólo para x = 0 y para x=
2
Respuesta:
7. Considere los vectores:
v1 =
532
, v2 = 60
4
v3 =
381220
, v4 = −313−22
v5 =
−10−6−4
, v6 = 3−4−3
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
B W1 = W2
C W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
D W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
8. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2 a2|4 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
c) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3 a2|2 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 4 a3,a2|5 b] es consistente.
e) Si [a1,a2, 5 a3|2 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
9. Una florista ofrece tres tamaños de arreglos florales. Los
arreglos contienen rosas, crisantemos y margaritas. Cada
arreglo pequeño contiene una rosa, 3 crisantemos, y 3 mar-
garitas. Cada arreglo mediando contiene 2 rosas, 4 crisan-
temos, y 6 margaritas. Y cada arreglo grande contiene 3
rosas, 6 crisantemos, y 5 margaritas. Un d́ıa la florista no-
ta que ha empleado un total de 16 rosas, 38 crisantemos, y
40 margaritas. ¿Cuántos arreglos grandes habrá hecho?
Respuesta:
10. Si:
A =
[4 −1−3 1
]
B =
[−1 1−1 −3
]
C =
[6 9
1 1
]
D =
[0 −4−1 −3
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobación, reporte el renglón 1.
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:7
1. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente dependiente.
c) Si existen únicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.e) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
2. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
ción rústica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rústicos, la empresa gasta en promedio $2 en papel, $2 en
ilustraciones, y $2 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $2 en papel, $4 en ilustraciones, y $6 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $4 en papel, $10 en
ilustraciones, y $23 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $134 en papel, $224 en ilustraciones, y $384 en pas-
tas. ¿Cuántos libros de cada categoŕıa pueden producirse?
Sólo como comprobación reporte el número de libros rústi-
cos a producirse.
Respuesta:
3. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 150 gra-
mos de café de Chiapas y 850 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 750 gramos de
café de Chiapas y 250 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 80 paquetes
de Café Económico y 20 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20
paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 5 contenedores para el norte del páıs y
5 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 612. kilogramos de café de Chiapas y
988. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
4. Si
a =
−333
, b = 2−3
6
, c = 3−2
1
, d = 1−6
39
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1. Gen {a,b,d} = R32. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}3. Gen {a,b, c} = R3
Respuesta:
5. ¿Para qué valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
2
2
,−2
0
−6−8
,
0
2 b
−6 b + b215− 4 b− b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de b.
2 Sólo para b = 0 y para b=
3 Sólo para el valor b=
4 No existe valor de b.
Respuesta:
6. Considere los vectores:
v1 =
4−1−6
, v2 = 6−3
6
v3 =
2−542
, v4 = −246
36
v5 =
−2614−36
, v6 = −20−1
2
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
B W1 = W2
C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
D W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
7. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente independiente?
{−3 v1 + v2 + 3 v3 , −3 v1 − v2 − 4 v3 , 6 v1 + 4 v2 + 15 v3}
A Cierto
B Falso
8. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 4 a2|4 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4 a2|3 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lución, entonces A es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
10. Si:
A =
[3 −41 −1
]
B =
[2 1
−3 −1
]
C =
[3 2
−2 −3
]
D =
[−7 −5
3 8
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (X B)−1 − 3 C = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:8
1. Considere los vectores:
v1 =
001
, v2 = 00
2
v3 =
00−1
, v4 = 00
3
v5 =
52−5
, v6 = 52−4
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 = W2
B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
D W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
2. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2|b] tiene solución única, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
3. Si
a =
44−2
, b = 36
6
, c = −35−1
, d = 3048
30
Indique cuáles opciones contienen declaraciones ciertas:
1. Gen {a,b,d} = R32. Gen {a,b, c} = R33. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}
Respuesta:
4. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución
única, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
5. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de café:
mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano hondureño, grano
brasileño y grano keniano. Para una bolsa de mezcla de
la casa requiere 300 g de hondureño y 200 g de brasileño.
Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de hon-
dureño, 100 g de brasileño y 100 g de keniano. Para una
bolsa de mezcla elite requiere 100 g de hondureño, 200 g
de brasileño y 200 g de keniano. El comerciante dispone
de 24 kg de grano hondureño, 17 kg de grano brasileño, y
9 kg de grano keniano. Determina cuántas bolsas de cada
mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el
grano disponible. Reporta sólo las bolsas de la mezcla elite.
Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y después
divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.
Respuesta:
2
6. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2, 3 a3|5 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 5 a3,a2|3 b] es consistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
d) Si 6 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
7. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[2 −31 −1
]
C =
[−2 2−1 −2
]
D =
[3 −104 7
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (X B)T − 3 C = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
8. ¿Para qué valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
2
0
,
2
3
3
−2
,
−2−4 + b
−4− 4 b + b224− 18 b + 3 b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Sólo para b = 0 y para b=
2 Hay mas de dos valores de b.
3 Sólo para el valor b=
4 No existe valor de b.
Respuesta:
9. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 350 gra-
mos de café de Chiapas y 650 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 800 gramos de
café de Chiapas y 200 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 40
paquetes de Café Económico y 60 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 6 contenedores para el norte del páıs y
4 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 778. kilogramos de café de Chiapas y
622. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
10. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente independiente?
{−2 v2 + 4 v3 , 2 v2 − 3 v3 , −2 v2 + 6 v3}
A Falso
B Cierto
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:9
1. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
2. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente independiente?
{−2 v1 + 3 v2 − 4 v3 , 2 v1 − 2 v2 − 2 v3 , −v1 − v2 − 3 v3}
A Falso
B Cierto
3. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente dependiente.
b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
4. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si 5 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 2 a3,a2|5 b] es consistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 2 a2|4 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
5. La compañ́ıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Éstos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes básicos: A, B y C. Se sabe que para ensamblar
un producto R requiere 2 A, 2 B y 4 C. Para ensamblar
un producto S requiere 2 A, 4 B y 6 C. Para ensamblar un
producto T requiere 3 A, 9 B y 15 C. Un cierto d́ıa se uti-
lizaron 21 A, 45 B y 75 C. Determina cuántos productos
del tipo T se realizaron.
Respuesta:
6. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 300 gra-
mos de café de Chiapas y 700 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 850 gramos de
café de Chiapas y 150 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 40
paquetes de Café Económico y 60 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 5 contenedores para el norte del páıs y
2
5 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 887. kilogramos de café de Chiapas y
713. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
7. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[−2 1−3 1
]
C =
[1 −12 −1
]
D =
[−4 3−7 3
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (B X)T − 2 C = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
8. Si
a =
−2−12
, b = 06
4
, c = −3−2
3
, d = 4−10−12
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1. c ∈ Gen {a,b,d}2. d ∈ Gen {a,b}3. a ∈ Gen {b, c}
Respuesta:
9. Considere los vectores:
v1 =
−35−6
, v2 = −610−12
v3 =
3−56
, v4 = −18−3
0
v5 =
−1−13
, v6 = −7−2
3
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
B W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
D W1 = W2
10. ¿Para qué valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
1
2
,
1
−13
−2
,
0
−b−b + b2
6− 11 b + 3 b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Sólo para b = 0 y para b=
2 No existe valor de b.
3 Sólo para el valor b=
4 Hay mas de dos valores de b.
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:10
1. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución
única, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
2. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.b) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-
ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.c) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente independiente.
e) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
3. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente dependiente?
{−2 v1 − 3 v2 + 3 v3 , −4 v1 + 2 v2 − v3 , −v1 + 3 v3}
A Cierto
B Falso
4. ¿Para qué valor de k el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−21
0
,
2
−51
−1
,
−12− 2 k
−1− 4 k + k26− 3 k − k2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Sólo para el valor k=
2 No existe valor de k.
3 Sólo para k = 0 y para k=
4 Hay mas de dos valores de k.
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2, 2 a3|2 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
b) Si 5 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}
d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 4 a2|2 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2 a2|4 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
6. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 300 gra-
mos de café de Chiapas y 700 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 800 gramos de
café de Chiapas y 200 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 30
2
paquetes de Café Económico y 70 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 6 contenedores para el norte del páıs y
4 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 710. kilogramos de café de Chiapas y
590. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
7. Si
a =
50−2
, b = 54
5
, c = 1−1
1
, d = 0−12−21
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1. a ∈ Gen {b, c}2. d ∈ Gen {a,b}3. d ∈ Gen {a,b, c}
Respuesta:
8. La compañ́ıa LegoMex produce tres tipos de productos:
X, Y y Z. Éstos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes básicos: R, S y T. Se sabe que para ensamblar
un producto X requiere 2 R, 2 S y 4 T. Para ensamblar
un producto Y requiere 3 R, 6 S y 9 T. Para ensamblar un
producto Z requiere 3 R, 9 S y 14 T. Un cierto d́ıa se uti-
lizaron 16 R, 34 S y 54 T. Determina cuántos productos
del tipo Z se realizaron.
Respuesta:
9. Considere los vectores:
v1 =
0−186
, v2 = 4−3−5
v3 =
4−9−3
, v4 = −1−6
3
v5 =
−2−126
, v6 = 16−3
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
B W1 = W2
C W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
D W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
10. Si:
A =
[−3 1−4 1
]
B =
[−4 −3−1 −1
]
C =
[3 2
−1 0
]
D =
[−3 −3−2 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (B X)−1 − 2 C = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:11
1. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0tiene solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
2. Una florista ofrece tres tamaños de arreglos florales. Los
arreglos contienen rosas, lirios y claveles. Cada arreglo pe-
queño contiene una rosa, 3 lirios, y 3 claveles. Cada arreglo
mediando contiene 2 rosas, 4 lirios, y 6 claveles. Y cada
arreglo grande contiene 3 rosas, 6 lirios, y 5 claveles. Un
d́ıa la florista nota que ha empleado un total de 24 ro-
sas, 59 lirios, y 60 claveles. ¿Cuántos arreglos grandes
habrá hecho?
Respuesta:
3. Si:
A =
[6 5
1 1
]
B =
[0 1
3 4
]
C =
[0 −11 −3
]
D =
[−3 2−4 −2
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobación, reporte el renglón 2.
Respuesta:
4. ¿Para qué valor de k el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
2
0
,−1−2
0
−2
,
−1−1 + k
−2− 4 k + k23− 4 k + 2 k2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Sólo para el valor k=
2 Hay mas de dos valores de k.
3 Sólo para k = 0 y para k=
4 No existe valor de k.
Respuesta:
5. Si
a =
−2−34
, b = 62
5
, c = −10−2
, d = 2212
7
Indique cuáles opciones contienen declaraciones ciertas:
1. c ∈ Gen {a,b,d}2. d ∈ Gen {a,b, c}3. a ∈ Gen {b, c}
Respuesta:
6. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentesambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y si A x = b1 tiene solución única, entonces
A x = 0 tiene infinitas soluciones.
b) Si A x = b1 tiene infinitas soluciones y A x = b2 tie-
ne solución, entonces A x = b2 también tiene infini-
tas soluciones.
c) Si m = n, entonces A x = b1 tiene solución única.
d) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces
A x = 0 tiene solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
2
7. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 300 gra-
mos de café de Chiapas y 700 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 900 gramos de
café de Chiapas y 100 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 70 paquetes
de Café Económico y 30 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20
paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 3 contenedores para el norte del páıs y
7 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 882. kilogramos de café de Chiapas y
518. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
8. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.
b) Si 5 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6 a2|4 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3 a2|4 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
9. Considere los vectores:
v1 =
−1−16
, v2 = −2−2
12
v3 =
11−6
, v4 = 18−3−18
v5 =
0−6−5
, v6 = 6−7−11
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
B W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
D W1 = W2
10. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente independiente?
{−v2 + 3 v3 , −v1 + v2 + 4 v3 , −3 v3}
A Cierto
B Falso
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:12
1. Considere los vectores:
v1 =
−4−61
, v2 = −8−12
2
v3 =
46−1
, v4 = −12−18
3
v5 =
3−2−4
, v6 = −1−8−3
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 = W2
B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
D W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
2. Si:
A =
[3 −41 −1
]
B =
[3 −41 −1
]
C =
[2 0
−3 −2
]
D =
[−10 −1
6 5
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (X B)T − 3 C = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
3. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente dependiente?
{−v1 − v2 + 3 v3 , −4 v1 + 4 v2 − 2 v3 , −2 v1 + 4 v2 − v3}
A Cierto
B Falso
4. ¿Para qué valor de c el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
2
−1
,
2
6
6
−6
,
2
4 + c
4− c + c2−2− 10 c + 4 c2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Sólo para el valor c=
2 No existe valor de c.
3 Hay mas de dos valores de c.
4 Sólo para c = 0 y para c=
Respuesta:
5. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 150 gra-
mos de café de Chiapas y 850 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 750 gramos de
café de Chiapas y 250 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 80 paquetes
de Café Económico y 20 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20
paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 3 contenedores para el norte del páıs y
7 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 657. kilogramos de café de Chiapas y
843. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
6. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución
única, entonces A no es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
2
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
d) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solución única, enton-
ces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
7. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: cañon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo cañon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
último, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fábrica dispone en horas por mes de 464 para ensamble,
98 para pruebas, y 87 horas para instalación de progra-
mas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?
Sólo reporte las del tipo clon.
Respuesta:
8. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6 a2|2 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 5 a3,a2|2 b] es consistente.
c) Si [a1,a2, 5 a3|5 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4 a2|6 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
9. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentesambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces
A x = 0 tiene infinitas soluciones.
b) Si m = n, entonces A x = b1 tiene solución única si
acaso tiene solución.
c) Si m = n y si A x = b1 tiene infinitas soluciones,
entonces A x = 0 tiene solución única.
d) Si m < n, entonces A x = b1 tiene infinitas solucio-
nes si acaso tiene solución.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
10. Si
a =
−2−1−1
, b = 13
2
, c = −26
6
, d = −510
5
Indique cuáles opciones contienen declaraciones ciertas:
1. d ∈ Gen {a,b}2. d ∈ Gen {a,b, c}3. a ∈ Gen {b, c}
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:13
1. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentesambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) Si A x = b1 tiene solución única y A x = b2 tiene
solución, entonces A x = b2 también tiene solución
única.
b) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces
A x = 0 tiene infinitas soluciones.
c) Si m > n, entonces A x = b1 tiene solución única si
acaso tiene solución.
d) Si m = n y si A x = b1 tiene solución única, entonces
A x = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
2. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-
ción rústica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rústicos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $5 en
ilustraciones, y $3 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $4 en papel, $7 en ilustraciones, y $8 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $6 en papel, $17 en
ilustraciones, y $16 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $320 en papel, $558 en ilustraciones, y $488 en pas-
tas. ¿Cuántos libros de cada categoŕıa pueden producirse?
Sólo como comprobación reporte el número de libros en
pasta dura a producirse.
Respuesta:
3. Si
a =
052
, b = 65
0
, c = 51
0
, d = −6−20−6
Indique cuáles opciones contienen declaraciones ciertas:
1. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}2. Gen {a,b, c} = R33. Gen {a,b,d} = R3
Respuesta:
4. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6 a2|3 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
b) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 5 a2|3 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 5 a3,a2|3 b] es consistente.
e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
5. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente independiente?
{3 v1 − v2 + 2 v3 , −4 v1 − 3 v2 − v3 , −9 v1 − 10 v2 − v3}
A Cierto
B Falso
6. Considere los vectores:
v1 =
64−3
, v2 = −5−6
0
v3 =
1714−6
, v4 = −19−26−3
v5 =
144−12
, v6 = 15
2
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
2
B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
D W1 = W2
7. ¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
1
1
,
1
0
5
1
,
−2−4− a
−2− 2 a + a218− 17 a + 3 a2
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de a.
2 Hay mas de dos valores de a.
3 Sólo para a = 0 y para a=
4 Sólo para el valor a=
Respuesta:
8. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 150 gra-
mos de café de Chiapas y 850 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 800 gramos de
café de Chiapas y 200 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 30
paquetes de Café Económico y 70 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 4 contenedores para el norte del páıs y
6 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 732. kilogramos de café de Chiapas y
768. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
10. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[2 −31 −1
]
C =
[2 −31 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:((
A X−1)T
B)T
= C
Reporte el renglón 1.
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:14
1. Si:
A =
[−4 −3−1 −1
]
B =
[3 −41 −1
]
C =
[4 −3−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:(
(A X)T
B)
C−B = 0
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
2. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 250 gra-
mos de café de Chiapas y 750 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 800 gramos de
café de Chiapas y 200 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20
paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 4 contenedores para el norte del páıs y
6 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 790. kilogramos de café de Chiapas y
610. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
3. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen únicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +
c3a3 = 0, entonces {a1,a2,a3} es linealmente inde-pendiente.
b) Si [a1,a2|b] tiene solución única, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
4. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 2 a2|6 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.
b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.
c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6 a2|4 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
5. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente dependiente?
{−2 v1 − 4 v2 − 3 v3 , −v1 , 9 v1 + 16 v2 + 12 v3}
A Falso
B Cierto
6. ¿Para qué valor de k el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
−2−2
,−2−2
6
8
,
−1−2 + k
2− k + k28− 7 k + 3 k2
Indique su respuesta en las posibles:
2
1 Sólo para k = 0 y para k=
2 No existe valor de k.
3 Sólo para el valor k=
4 Hay mas de dos valores de k.
Respuesta:
7. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solución única, enton-
ces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución
única, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-
ras personales: cañon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-
mar una computadora modelo cañon necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-
do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por
último, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-
blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si
la fábrica dispone en horas por mes de 308 para ensamble,
66 para pruebas, y 62 horas para instalación de progra-
mas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?
Sólo reporte las del tipo cañon.
Respuesta:
9. Considere los vectores:
v1 =
−1518−12
, v2 = 2−4
4
v3 =
−320
, v4 = −56−4
v5 =
−1012−8
, v6 = 5−6
4
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
D W1 = W2
10. Si
a =
−211
, b = −33
5
, c = −24
2
, d = −1311
17
Indique cuáles opciones contienen declaraciones ciertas:
1. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}2. Gen {a,b,d} = R33. Gen {a,b, c} = R3
Respuesta:
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:15
1. Considere los vectores:
v1 =
15−33
, v2 = −2−6
4
v3 =
3−75
, v4 = −34−1
v5 =
−68−2
, v6 = 3−4
1
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
D W1 = W2
2. Si:
A =
[10 −3−3 1
]
B =
[2 0
−4 3
]
C =
[0 −13 9
]
D =
[4 −4−1 −4
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobación, reporte el renglón 1.
Respuesta:
3. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 400 gra-
mos de café de Chiapas y 600 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 900 gramos de
café de Chiapas y 100 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 80 paquetes
de Café Económico y 20 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 30
paquetes de Café Económico y 70 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 6 contenedores para el norte del páıs y
4 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 750. kilogramos de café de Chiapas y
550. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
4. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.
b) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 3 a2|3 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
d) Si [a1,a2, 4 a3|3 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 4 a3,a2|5 b] es consistente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
5. ¿Para qué valor de c el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−2−2−2
,
1
0
0
2
,
0
−2 c−5 c + c2
8− 7 c
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de c.
2
2 Sólo para el valor c=
3 Hay mas de dos valores de c.
4 Sólo para c = 0 y para c=
Respuesta:
6. Si
a =
−3−33
, b = −3−2
3
, c = 62−1
, d = −18−16
18
Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:
1. Gen {a,b, c} = R32. Gen {a,b,d} = R33. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}
Respuesta:
7. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solución única, enton-
ces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lución, entonces A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
8. La compañ́ıa LegoMex produce tres tipos de productos:
R, S y T. Éstos se produce ensamblando 3 tipos de com-
ponentes básicos: X, Y y Z. Se sabe que para ensamblar
un producto R requiere 2 X, 2 Y y 4 Z. Para ensamblar
un producto S requiere 2 X, 4 Y y 6 Z. Para ensamblar un
producto T requiere 1 X, 3 Y y 6 Z. Un cierto d́ıa se uti-
lizaron 13 X, 25 Y y 44 Z. Determina cuántos productos
del tipo T se realizaron.
Respuesta:
9. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces
{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2|b] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
10. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente dependiente?
{−v1 − 4 v2 + v3 , 2 v1 − 4 v2 + 2 v3 , 2 v1 + 2 v2 − v3}
A Cierto
B Falso
Algebra LinealSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:16
1. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de café:
mezcla económica, mezcla especial y mezcla elite. Estas
mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano
colombiano y grano keniano. Para una bolsa de mezcla
económica requiere 300 g de mexicano y 200 g de colom-
biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de
mexicano, 100 g de colombiano y 100 g de keniano. Pa-
ra una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de mexicano,
200 g de colombiano y 200 g de keniano. El comerciante
dispone de 29 kg de grano mexicano, 23 kg de grano co-
lombiano, y 13 kg de grano keniano. Determina cuántas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-
lizarse todo el grano disponible. Reporta sólo las bolsas
de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y después divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Respuesta:
2. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen únicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,
entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
3. Considere los vectores:
v1 =
−4−1−6
, v2 = −22−1
v3 =
161432
, v4 = −44−2
v5 =
−322−40
, v6 = −63
1
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
B W1 = W2
C W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
D W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
4. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si 2 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.
b) Si [a1,a2, 5 a3|3 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6 a2|3 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.
d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.
e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
2
5. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solución única.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
6. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-
to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto
linealmente dependiente?
{4 v1 + v2 + v3 , 3 v2 − 3 v3 , −8 v1 −