Algebra Lineal - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-ex2-2010-ago.pdf · 2010. 10. 11. · tes. Un paquete de Caf e Econ omico consta de 350 gra-mos de caf e de Chiapas y

Algebra LinealSegundo Examen Parcial

Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2010

Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:1

1. ¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de vectores es

linealmente dependiente?

1

2

−11

,

0

2

−4−4

,

0

a

−6 a + a2−22 a + 5 a2

Indique su respuesta en las posibles:

1 No existe valor de a.

2 Sólo para a = 0 y para a=

3 Hay mas de dos valores de a.

4 Sólo para el valor a=

Respuesta:

2. La compañ́ıa LegoMex produce tres tipos de productos:

X, Y y Z. Éstos se produce ensamblando 3 tipos de com-

ponentes básicos: A, B y C. Se sabe que para ensamblar

un producto X requiere 2 A, 2 B y 4 C. Para ensamblar

un producto Y requiere 2 A, 4 B y 6 C. Para ensam-

blar un producto Z requiere 1 A, 3 B y 7 C. Un cierto

d́ıa se utilizaron 10 A, 18 B y 34 C. Determina cuántos

productos del tipo Z se realizaron.

Respuesta:

3. Si:

A =

[3 1

−4 −1

]

B =

[0 −4−4 2

]

C =

[22 18

10 8

]

D =

[−1 1

1 −3

]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:

A X + Y = B

X + C Y = D

Como comprobación, reporte el renglón 2.

Respuesta:

4. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y

prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-

tes. Un paquete de Café Económico consta de 350 gra-

mos de café de Chiapas y 650 gramos de café de Veracruz.

Un paquete de Café Gourmet consta de 600 gramos de

café de Chiapas y 400 gramos de café de Veracruz. Un

contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 80 paquetes

de Café Económico y 20 paquetes de Café Gourmet. Mien-

tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20

paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-

met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de

Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-

tal para preparar 3 contenedores para el norte del páıs y

7 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-

to d́ıa se utilizaron 745. kilogramos de café de Chiapas y

855. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-

rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1

y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan

4 números como respuesta.

Respuesta:

5. Suponga que los vectores v1, v2, y v3 forman un conjun-

to linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto

linealmente independiente?

{−v1 − v2 + v3 , 3 v2 + 2 v3 , 4 v1 + 3 v2 + 4 v3}

A Cierto

B Falso

6. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentesambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes

afirmaciones:

a) Si A x = b1 tiene solución única y A x = b2 tiene

solución, entonces A x = b2 también tiene solución

única.

b) Si m = n y si A x = b1 tiene solución única, entonces

A x = 0 tiene infinitas soluciones.

c) Si m = n, entonces A x = b1 tiene infinitas solucio-

nes.

d) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces

A x = 0 tiene solución única.

dentro de las respuestas posibles:

1) No se sabe

2) Falso

2

3) Cierto

Respuesta:

7. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a

cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.

b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4 a2|4 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.

c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 5 a3,a2|4 b] es consistente.

d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}

e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:

8. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una

de las siguientes afirmaciones:

a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene

infinitas soluciones.

b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas

soluciones, entonces A no es invertible.

c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-

tonces A es invertible.

d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0tiene solución única.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:

9. Considere los vectores:

v1 =

−315

, v2 = 2−3

4

v3 =

15−1919

, v4 = −108

2

v5 =

3−1539

, v6 = −23

6

y los subespacios generados:

W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

A W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

B W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

D W1 = W2

10. Si

a =

3−3−2

, b = 65

1

, c = 12−3

, d = 2112

1

Indique cuáles opciones contienen declaraciones falsas:

1. Gen {a,b,d} = R32. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}3. Gen {a,b, c} = R3

Respuesta:























Respuesta:



a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-

ne solución única.

b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-


c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución

única, entonces A no es invertible.

d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:



1

2

−2−2

,−1

0

0

−2

,

2

4− 2 a−4− 2 a + a211 + 4 a− a2






Respuesta:




{−2 v1 + 3 v2 − 2 v3 , 4 v1 − v2 + 3 v3 , 4 v1 − 3 v2 − 2 v3}

A Cierto

B Falso

5. Si:

A =

[−4 −3−1 −1

]

B =

[2 1

−3 −1

]

C =

[−2 1−3 1

]Resuelva para X la siguiente ecuación:(

(A X)T

B)T

= C

Reporte el renglón 2.

Respuesta:


v1 =

3−1815

, v2 = 3−1

4

v3 =

4−79

, v4 = 1−6

5

v5 =

2−1210

, v6 = −16−5


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


2

A W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

D W1 = W2



a) Si 2 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.

b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 3 a3,a2|5 b] es consistente.

c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.

d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6 a2|5 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.

e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:

8. Si

a =

−250

, b = 24−3

, c = −33

1

, d = −642−9

Indique cuáles opciones contienen declaraciones ciertas:

1. Gen {a,b,d} = R32. Gen {a,b, c} = R33. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}

Respuesta:

9. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a


a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.

b) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.

c) Si [a1,a2|b] tiene solución única, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.

d) Si existen únicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,


e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:

10. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edi-

ción rústica, pasta dura, y empastados en piel. Para los

rústicos, la empresa gasta en promedio $4 en papel, $3 en

ilustraciones, y $6 en las pastas. Para los de pasta dura,

gasta $4 en papel, $6 en ilustraciones, y $13 en pastas.

Y para los empastados en piel, gasta $7 en papel, $11 en

ilustraciones, y $22 en pastas. Si el presupuesto permite

gastar $314 en papel, $364 en ilustraciones, y $744 en pas-

tas. ¿Cuántos libros de cada categoŕıa pueden producirse?

Sólo como comprobación reporte el número de libros em-

pastados en piel a producirse.

Respuesta:























Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución


b) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.

c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene

solución única.

d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:

3. Si

a =

452

, b = 63−3

, c = −3−2

3

, d = −22−14

7



Respuesta:




un producto X requiere 2 A, 2 B y 4 C. Para ensamblar

un producto Y requiere 4 A, 8 B y 12 C. Para ensam-

blar un producto Z requiere 3 A, 9 B y 15 C. Un cierto

d́ıa se utilizaron 22 A, 46 B y 74 C. Determina cuántos

productos del tipo Z se realizaron.

Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.

b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente independiente.

c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.d) Si existen únicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.e) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}

es linealmente dependiente.


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




{−3 v2 + v3 , 3 v1 + 4 v2 − 4 v3 , −3 v1 + 2 v2}

A Cierto

B Falso

2


v1 =

−6−2−6

, v2 = −4−3

0

v3 =

67−6

, v4 = 205

24

v5 =

−30−10−30

, v6 = 6−6−4


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

B W1 = W2

C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

D W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1




b) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3 a2|4 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.

c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

e) Si [a1,a2, 5 a3|5 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:

9. ¿Para qué valor de b el siguiente conjunto de vectores es


1

−11

−2

,−1

3

1

2

,

−11− b

−1− 4 b + b22− 12 b + 4 b2


1 Hay mas de dos valores de b.

2 Sólo para b = 0 y para b=

3 Sólo para el valor b=

4 No existe valor de b.

Respuesta:

10. Si:

A =

[4 −3−1 1

]

B =

[−2 −3

3 −2

]

C =

[−3 −10

6 20

]

D =

[3 0

−3 1

]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:

A X + Y = B

X + C Y = D


Respuesta:






a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.


c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}


e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:



1

−1−2

1

,

0

2

−22

,

−11− a

2− 2 a + a2−1− 16 a + 5 a2






Respuesta:





gasta $6 en papel, $6 en ilustraciones, y $11 en pastas.

Y para los empastados en piel, gasta $8 en papel, $12 en




Sólo como comprobación reporte el número de libros en

pasta dura a producirse.

Respuesta:



a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-





tonces A ·A es invertible.

d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-

ne infinitas soluciones.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:




















Respuesta:

2

6. Si:

A =

[2 1

−3 −1

]

B =

[−4 −1−3 −1

]

C =

[−4 −3−1 −1


(A X)T

B)

C−B = 0


Respuesta:




{−3 v1 − 2 v2 + 2 v3 , 3 v1 − 2 v2 − 3 v3 , 9 v1 + 2 v2 − 7 v3}

A Cierto

B Falso

8. Si

a =

−125

, b = 4−1

3

, c = 3−1−1

, d = 14−7−1


1. d ∈ Gen {a,b, c}2. d ∈ Gen {a,b}3. a ∈ Gen {b, c}

Respuesta:



a) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

b) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.


d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces

{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

e) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:


v1 =

1−6−4

, v2 = 2−12−8

v3 =

−164

, v4 = 3−18−12

v5 =

−402

, v6 = −3−6−2


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

B W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

C W1 = W2

D W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1






a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6 a2|6 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.

b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

c) Si 6 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.


e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 5 a3,a2|3 b] es consistente.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:














7 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cierto

d́ıa se utilizaron 607.5 kilogramos de café de Chiapas y

692.5 kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-




Respuesta:




{−3 v1 + v2 + 2 v3 , 3 v1 − 3 v2 − v3 , −9 v1 + v2 + 7 v3}

A Cierto

B Falso

4. Si

a =

054

, b = 34−1

, c = 41

2

, d = −9−2

11


1. c ∈ Gen {a,b,d}2. d ∈ Gen {a,b}3. d ∈ Gen {a,b, c}

Respuesta:

5. ¿Para qué valor de x el siguiente conjunto de vectores es


1

1

−22

,−1

1

4

−6

,

0

2x

−x + x212− 8x


1 Sólo para x = 0 y para x=

2 Sólo para el valor x=

3 Hay mas de dos valores de x.

4 No existe valor de x.

Respuesta:

6. Si:

A =

[2 −31 −1

]

B =

[3 1

−4 −1

]

C =

[3 −20 0

]

D =

[−3 5−4 −1

]Resuelva para X la siguiente ecuación:

A (B X)−1 − 2 C = D


Respuesta:

2



a) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces

A es invertible.

b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene


c) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0tiene solución única.

d) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-

lución, entonces A es invertible.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:

8. Patito computers fabrica tres modelos de computado-

ras personales: cañon, clon, y lenta-pero-segura. Para ar-

mar una computadora modelo cañon necesita 12 horas de

ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus

programas. Para una clon requiere 10 horas de ensambla-

do, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por

último, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensam-

blado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si

la fábrica dispone en horas por mes de 476 para ensamble,

101 para pruebas, y 87 horas para instalación de progra-

mas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?

Sólo reporte las del tipo lenta-pero-segura.

Respuesta:


afirmaciones:

a) Si m = n, entonces A x = b1 tiene infinitas solucio-

nes.

b) Si m = n y si A x = b1 tiene solución única, entonces


c) Si A x = b1 tiene infinitas soluciones, entonces

A x = b2 tiene infinitas soluciones.




1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:


v1 =

6−1518

, v2 = −6−3

3

v3 =

−4−89

, v4 = 0−4

3

v5 =

0−86

, v6 = 04−3


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W1 = W2

B W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

C W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

D W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2





afirmaciones:

a) Si m < n, entonces A x = b1 tiene infinitas solucio-

nes.

b) Si m = n, entonces A x = b1 tiene solución única si

acaso tiene solución.

c) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces


d) Si A x = b1 tiene solución única y A x = b2 tiene


única.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:




















Respuesta:

3. Si

a =

−163

, b = 03−2

, c = 2−3

1

, d = −121−7


1. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}2. Gen {a,b,d} = R33. Gen {a,b, c} = R3

Respuesta:




{−v1 − 4 v2 − 4 v3 , −3 v1 − 4 v2 − 3 v3 , −2 v1 + 3 v2 − 3 v3}

A Cierto

B Falso




A es invertible.

b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución


c) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-


d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:

6. ¿Para qué valor de x el siguiente conjunto de vectores es


1

−22

−1

,

0

−1−1−2

,

2

−4 + 2x4− 3x + x2

28− 12x + 2x2


1 No existe valor de x.

2 Sólo para el valor x=

3 Hay mas de dos valores de x.

4 Sólo para x = 0 y para x=

2

Respuesta:


v1 =

532

, v2 = 60

4

v3 =

381220

, v4 = −313−22

v5 =

−10−6−4

, v6 = 3−4−3


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

B W1 = W2

C W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

D W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1



a) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2 a2|4 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.

c) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3 a2|2 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.

d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 4 a3,a2|5 b] es consistente.

e) Si [a1,a2, 5 a3|2 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:

9. Una florista ofrece tres tamaños de arreglos florales. Los

arreglos contienen rosas, crisantemos y margaritas. Cada

arreglo pequeño contiene una rosa, 3 crisantemos, y 3 mar-

garitas. Cada arreglo mediando contiene 2 rosas, 4 crisan-

temos, y 6 margaritas. Y cada arreglo grande contiene 3

rosas, 6 crisantemos, y 5 margaritas. Un d́ıa la florista no-

ta que ha empleado un total de 16 rosas, 38 crisantemos, y

40 margaritas. ¿Cuántos arreglos grandes habrá hecho?

Respuesta:

10. Si:

A =

[4 −1−3 1

]

B =

[−1 1−1 −3

]

C =

[6 9

1 1

]

D =

[0 −4−1 −3


A X + Y = B

X + C Y = D


Respuesta:






a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.

b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente dependiente.

c) Si existen únicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.e) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:





gasta $2 en papel, $4 en ilustraciones, y $6 en pastas. Y

para los empastados en piel, gasta $4 en papel, $10 en




Sólo como comprobación reporte el número de libros rústi-

cos a producirse.

Respuesta:




















Respuesta:

4. Si

a =

−333

, b = 2−3

6

, c = 3−2

1

, d = 1−6

39


1. Gen {a,b,d} = R32. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}3. Gen {a,b, c} = R3

Respuesta:



1

1

2

2

,−2

0

−6−8

,

0

2 b

−6 b + b215− 4 b− b2






Respuesta:


v1 =

4−1−6

, v2 = 6−3

6

v3 =

2−542

, v4 = −246

36

v5 =

−2614−36

, v6 = −20−1

2


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

B W1 = W2

C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

D W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1




{−3 v1 + v2 + 3 v3 , −3 v1 − v2 − 4 v3 , 6 v1 + 4 v2 + 15 v3}

A Cierto

B Falso





c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4 a2|3 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.

d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.

e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:



a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.



c) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-


d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:

10. Si:

A =

[3 −41 −1

]

B =

[2 1

−3 −1

]

C =

[3 2

−2 −3

]

D =

[−7 −5

3 8


A (X B)−1 − 3 C = D


Respuesta:





v1 =

001

, v2 = 00

2

v3 =

00−1

, v4 = 00

3

v5 =

52−5

, v6 = 52−4


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W1 = W2

B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

D W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1



a) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.

b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces



d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,


e) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:

3. Si

a =

44−2

, b = 36

6

, c = −35−1

, d = 3048

30



Respuesta:




tonces A ·A es invertible.b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución







1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:

5. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de café:

mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas

mezclas se obtienen combinando grano hondureño, grano

brasileño y grano keniano. Para una bolsa de mezcla de

la casa requiere 300 g de hondureño y 200 g de brasileño.

Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de hon-

dureño, 100 g de brasileño y 100 g de keniano. Para una

bolsa de mezcla elite requiere 100 g de hondureño, 200 g

de brasileño y 200 g de keniano. El comerciante dispone

de 24 kg de grano hondureño, 17 kg de grano brasileño, y

9 kg de grano keniano. Determina cuántas bolsas de cada

mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el

grano disponible. Reporta sólo las bolsas de la mezcla elite.

Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y después

divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.

Respuesta:

2



a) Si [a1,a2, 3 a3|5 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}



d) Si 6 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:

7. Si:

A =

[−2 −3

1 1

]

B =

[2 −31 −1

]

C =

[−2 2−1 −2

]

D =

[3 −104 7


A (X B)T − 3 C = D


Respuesta:



1

2

2

0

,

2

3

3

−2

,

−2−4 + b

−4− 4 b + b224− 18 b + 3 b2






Respuesta:




















Respuesta:




{−2 v2 + 4 v3 , 2 v2 − 3 v3 , −2 v2 + 6 v3}

A Falso

B Cierto










c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas





1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:




{−2 v1 + 3 v2 − 4 v3 , 2 v1 − 2 v2 − 2 v3 , −v1 − v2 − 3 v3}

A Falso

B Cierto



a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente dependiente.



c) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.

d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,


e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:






d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 2 a2|4 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.

e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:


R, S y T. Éstos se produce ensamblando 3 tipos de com-


un producto R requiere 2 A, 2 B y 4 C. Para ensamblar

un producto S requiere 2 A, 4 B y 6 C. Para ensamblar un

producto T requiere 3 A, 9 B y 15 C. Un cierto d́ıa se uti-

lizaron 21 A, 45 B y 75 C. Determina cuántos productos

del tipo T se realizaron.

Respuesta:














2







Respuesta:

7. Si:

A =

[3 1

−4 −1

]

B =

[−2 1−3 1

]

C =

[1 −12 −1

]

D =

[−4 3−7 3


A (B X)T − 2 C = D


Respuesta:

8. Si

a =

−2−12

, b = 06

4

, c = −3−2

3

, d = 4−10−12


1. c ∈ Gen {a,b,d}2. d ∈ Gen {a,b}3. a ∈ Gen {b, c}

Respuesta:


v1 =

−35−6

, v2 = −610−12

v3 =

3−56

, v4 = −18−3

0

v5 =

−1−13

, v6 = −7−2

3


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

B W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

D W1 = W2



1

1

1

2

,

1

−13

−2

,

0

−b−b + b2

6− 11 b + 3 b2






Respuesta:







tonces A ·A es invertible.b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución


c) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces

A es invertible.




1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:



a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces

{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.b) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-

ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.c) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.

d) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente independiente.

e) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:




{−2 v1 − 3 v2 + 3 v3 , −4 v1 + 2 v2 − v3 , −v1 + 3 v3}

A Cierto

B Falso

4. ¿Para qué valor de k el siguiente conjunto de vectores es


1

−21

0

,

2

−51

−1

,

−12− 2 k

−1− 4 k + k26− 3 k − k2


1 Sólo para el valor k=

2 No existe valor de k.

3 Sólo para k = 0 y para k=

4 Hay mas de dos valores de k.

Respuesta:



a) Si [a1,a2, 2 a3|2 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

b) Si 5 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.


d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 4 a2|2 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.

e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2 a2|4 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:










2











Respuesta:

7. Si

a =

50−2

, b = 54

5

, c = 1−1

1

, d = 0−12−21


1. a ∈ Gen {b, c}2. d ∈ Gen {a,b}3. d ∈ Gen {a,b, c}

Respuesta:



ponentes básicos: R, S y T. Se sabe que para ensamblar

un producto X requiere 2 R, 2 S y 4 T. Para ensamblar

un producto Y requiere 3 R, 6 S y 9 T. Para ensamblar un

producto Z requiere 3 R, 9 S y 14 T. Un cierto d́ıa se uti-

lizaron 16 R, 34 S y 54 T. Determina cuántos productos

del tipo Z se realizaron.

Respuesta:


v1 =

0−186

, v2 = 4−3−5

v3 =

4−9−3

, v4 = −1−6

3

v5 =

−2−126

, v6 = 16−3


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

B W1 = W2

C W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

D W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

10. Si:

A =

[−3 1−4 1

]

B =

[−4 −3−1 −1

]

C =

[3 2

−1 0

]

D =

[−3 −3−2 −1


A (B X)−1 − 2 C = D


Respuesta:






a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene


b) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces

A es invertible.

c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas


d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0tiene solución única.


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:

2. Una florista ofrece tres tamaños de arreglos florales. Los

arreglos contienen rosas, lirios y claveles. Cada arreglo pe-

queño contiene una rosa, 3 lirios, y 3 claveles. Cada arreglo

mediando contiene 2 rosas, 4 lirios, y 6 claveles. Y cada

arreglo grande contiene 3 rosas, 6 lirios, y 5 claveles. Un

d́ıa la florista nota que ha empleado un total de 24 ro-

sas, 59 lirios, y 60 claveles. ¿Cuántos arreglos grandes

habrá hecho?

Respuesta:

3. Si:

A =

[6 5

1 1

]

B =

[0 1

3 4

]

C =

[0 −11 −3

]

D =

[−3 2−4 −2


A X + Y = B

X + C Y = D


Respuesta:



1

1

2

0

,−1−2

0

−2

,

−1−1 + k

−2− 4 k + k23− 4 k + 2 k2






Respuesta:

5. Si

a =

−2−34

, b = 62

5

, c = −10−2

, d = 2212

7


1. c ∈ Gen {a,b,d}2. d ∈ Gen {a,b, c}3. a ∈ Gen {b, c}

Respuesta:


afirmaciones:

a) Si m = n y si A x = b1 tiene solución única, entonces


b) Si A x = b1 tiene infinitas soluciones y A x = b2 tie-

ne solución, entonces A x = b2 también tiene infini-

tas soluciones.

c) Si m = n, entonces A x = b1 tiene solución única.




1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:

2




















Respuesta:




b) Si 5 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-sistente.

c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.


e) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3 a2|4 c] es consis-tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


v1 =

−1−16

, v2 = −2−2

12

v3 =

11−6

, v4 = 18−3−18

v5 =

0−6−5

, v6 = 6−7−11


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

B W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

D W1 = W2




{−v2 + 3 v3 , −v1 + v2 + 4 v3 , −3 v3}

A Cierto

B Falso





v1 =

−4−61

, v2 = −8−12

2

v3 =

46−1

, v4 = −12−18

3

v5 =

3−2−4

, v6 = −1−8−3


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W1 = W2

B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

D W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

2. Si:

A =

[3 −41 −1

]

B =

[3 −41 −1

]

C =

[2 0

−3 −2

]

D =

[−10 −1

6 5


A (X B)T − 3 C = D


Respuesta:




{−v1 − v2 + 3 v3 , −4 v1 + 4 v2 − 2 v3 , −2 v1 + 4 v2 − v3}

A Cierto

B Falso

4. ¿Para qué valor de c el siguiente conjunto de vectores es


1

2

2

−1

,

2

6

6

−6

,

2

4 + c

4− c + c2−2− 10 c + 4 c2


1 Sólo para el valor c=

2 No existe valor de c.

3 Hay mas de dos valores de c.

4 Sólo para c = 0 y para c=

Respuesta:




















Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución


b) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces

A es invertible.

2

c) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-


d) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solución única, enton-

ces A es invertible.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:












Sólo reporte las del tipo clon.

Respuesta:





c) Si [a1,a2, 5 a3|5 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.

e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 4 a2|6 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


afirmaciones:

a) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces


b) Si m = n, entonces A x = b1 tiene solución única si


c) Si m = n y si A x = b1 tiene infinitas soluciones,

entonces A x = 0 tiene solución única.

d) Si m < n, entonces A x = b1 tiene infinitas solucio-

nes si acaso tiene solución.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:

10. Si

a =

−2−1−1

, b = 13

2

, c = −26

6

, d = −510

5


1. d ∈ Gen {a,b}2. d ∈ Gen {a,b, c}3. a ∈ Gen {b, c}

Respuesta:





afirmaciones:

a) Si A x = b1 tiene solución única y A x = b2 tiene


única.

b) Si m = n y A x = b1 es inconsistente, entonces


c) Si m > n, entonces A x = b1 tiene solución única si


d) Si m = n y si A x = b1 tiene solución única, entonces



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:





gasta $4 en papel, $7 en ilustraciones, y $8 en pastas. Y

para los empastados en piel, gasta $6 en papel, $17 en




Sólo como comprobación reporte el número de libros en

pasta dura a producirse.

Respuesta:

3. Si

a =

052

, b = 65

0

, c = 51

0

, d = −6−20−6


1. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}2. Gen {a,b, c} = R33. Gen {a,b,d} = R3

Respuesta:



a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 6 a2|3 c] es inconsis-tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.


c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 5 a3,a2|3 b] es consistente.

e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] también es con-sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:




{3 v1 − v2 + 2 v3 , −4 v1 − 3 v2 − v3 , −9 v1 − 10 v2 − v3}

A Cierto

B Falso


v1 =

64−3

, v2 = −5−6

0

v3 =

1714−6

, v4 = −19−26−3

v5 =

144−12

, v6 = 15

2


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

2

B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

D W1 = W2



1

2

1

1

,

1

0

5

1

,

−2−4− a

−2− 2 a + a218− 17 a + 3 a2






Respuesta:




















Respuesta:



a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene infinitas soluciones.








1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:

10. Si:

A =

[−3 −4

1 1

]

B =

[2 −31 −1

]

C =

[2 −31 −1

]Resuelva para X la siguiente ecuación:((

A X−1)T

B)T

= C


Respuesta:




1. Si:

A =

[−4 −3−1 −1

]

B =

[3 −41 −1

]

C =

[4 −3−1 1


(A X)T

B)

C−B = 0


Respuesta:




















Respuesta:



a) Si existen únicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +

c3a3 = 0, entonces {a1,a2,a3} es linealmente inde-pendiente.

b) Si [a1,a2|b] tiene solución única, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.

c) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.

d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces



1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:




b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.

c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}




1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:




{−2 v1 − 4 v2 − 3 v3 , −v1 , 9 v1 + 16 v2 + 12 v3}

A Falso

B Cierto



1

2

−2−2

,−2−2

6

8

,

−1−2 + k

2− k + k28− 7 k + 3 k2


2





Respuesta:





b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solución única, enton-


c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución


d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:












Sólo reporte las del tipo cañon.

Respuesta:


v1 =

−1518−12

, v2 = 2−4

4

v3 =

−320

, v4 = −56−4

v5 =

−1012−8

, v6 = 5−6

4


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

D W1 = W2

10. Si

a =

−211

, b = −33

5

, c = −24

2

, d = −1311

17


1. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}2. Gen {a,b,d} = R33. Gen {a,b, c} = R3

Respuesta:





v1 =

15−33

, v2 = −2−6

4

v3 =

3−75

, v4 = −34−1

v5 =

−68−2

, v6 = 3−4

1


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2

B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

D W1 = W2

2. Si:

A =

[10 −3−3 1

]

B =

[2 0

−4 3

]

C =

[0 −13 9

]

D =

[4 −4−1 −4


A X + Y = B

X + C Y = D


Respuesta:




















Respuesta:




b) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


d) Si [a1,a2, 4 a3|3 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces[a1, 4 a3,a2|5 b] es consistente.


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:

5. ¿Para qué valor de c el siguiente conjunto de vectores es


1

−2−2−2

,

1

0

0

2

,

0

−2 c−5 c + c2

8− 7 c


1 No existe valor de c.

2

2 Sólo para el valor c=

3 Hay mas de dos valores de c.

4 Sólo para c = 0 y para c=

Respuesta:

6. Si

a =

−3−33

, b = −3−2

3

, c = 62−1

, d = −18−16

18


1. Gen {a,b, c} = R32. Gen {a,b,d} = R33. Gen {a,b, c} = Gen {a, c,d}

Respuesta:




A es invertible.

b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solución única, enton-


c) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-





1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:


R, S y T. Éstos se produce ensamblando 3 tipos de com-

ponentes básicos: X, Y y Z. Se sabe que para ensamblar

un producto R requiere 2 X, 2 Y y 4 Z. Para ensamblar

un producto S requiere 2 X, 4 Y y 6 Z. Para ensamblar un

producto T requiere 1 X, 3 Y y 6 Z. Un cierto d́ıa se uti-

lizaron 13 X, 25 Y y 44 Z. Determina cuántos productos

del tipo T se realizaron.

Respuesta:



a) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,




c) Si [a1,a2|b] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

d) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.

e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:




{−v1 − 4 v2 + v3 , 2 v1 − 4 v2 + 2 v3 , 2 v1 + 2 v2 − v3}

A Cierto

B Falso




1. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de café:

mezcla económica, mezcla especial y mezcla elite. Estas

mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano

colombiano y grano keniano. Para una bolsa de mezcla

económica requiere 300 g de mexicano y 200 g de colom-

biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de

mexicano, 100 g de colombiano y 100 g de keniano. Pa-

ra una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de mexicano,

200 g de colombiano y 200 g de keniano. El comerciante

dispone de 29 kg de grano mexicano, 23 kg de grano co-

lombiano, y 13 kg de grano keniano. Determina cuántas

bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-

lizarse todo el grano disponible. Reporta sólo las bolsas

de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje todo en

gramos y después divida las ecuaciones entre 100 antes de

resolver.

Respuesta:



a) Si existen únicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,


b) Si [a1,a2,a3|0] tiene solución única, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.

c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,


d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.

e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solución única, entonces{a1,a2} es linealmente independiente.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


v1 =

−4−1−6

, v2 = −22−1

v3 =

161432

, v4 = −44−2

v5 =

−322−40

, v6 = −63

1


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

B W1 = W2

C W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1

D W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2




b) Si [a1,a2, 5 a3|3 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-te, entonces [a1,b|c] es consistente.



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:

2



a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas


b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene

solución única.



d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:




{4 v1 + v2 + v3 , 3 v2 − 3 v3 , −8 v1 −

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Algebra Lineal - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-ex2-2010-ago.pdf · 2010. 10. 11. · tes. Un paquete de Caf e Econ omico consta de 350 gra-mos de caf e de Chiapas y