81
5. RÚDFELADATOK
5.1. Síkgörbe rudak Grashof1-féle elmélete
Síkgörbe rúd: a rúd középvonala (S ponti szála) síkgörbe.
Ps
0 0
0 0 0
e
et
n
Jelölések:
A középvonal mentén a pontokat az s ívko-
ordinátával azonosítjuk. Pl. a P pont
A P pontban (P ponthoz tartozó kereszt-
metszetben) helyi koordináta-rendszert ve-
szünk fel: , , .xe e e e
0 - középvonal görbületi sugara alak-
változás előtt,
- középvonal görbületi sugara alak-
változás után.
Előjel: - ha az ívhossz mérésének irányában haladva a görbületi középpont jobbkézre esik,
akkor 00 ,
- ha az ívhossz mérésének irányában haladva a görbületi középpont balkézre esik, ak-
kor 00 .
A rúd terhelése: t nf f t f n vonal mentén (a középvonal mentén) megoszló terhelés.
Egyensúlyi egyenletek síkgörbe rudakra:
,
,
t
0
n
0
TdNf 0
ds
dTNf 0
ds
Az ( )N s rúderő és a ( )T s nyíróerő nem független egymástól.
.hxdMT 0
ds Az hxM
hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan össze-
függés van, mint az egyenes rudaknál.
Igénybevételek: a terhelés ismeretében az igénybevételek az értelmezés alapján meghatároz-
hatók.
Megoldandó feladat: - az alakváltozási jellemző(k) meghatározása,
- a rúd keresztmetszetein ébredő feszültség (eloszlás) meghatározása.
5.1.1. Az alakváltozási jellemzők előállítása
Kiinduló feltételezések: - a rúd középvonala terhelés előtt 0 sugarú körív,
- a rúd prizmatikus, továbbá keresztmetszetei az tengelyre szimmet-
rikusak
- a rúd igénybevétele tiszta hajlítás,
- a rúdban egytengelyű feszültségi állapot lép fel.
1 Franz Grashof (1826-1893) német mérnök.
82
A rúd keresztmetszete:
S hxM
x
Alakváltozási feltételezések:
- alakváltozás után a keresztmetszetek síkok maradnak és merőlegesek maradnak a deformá-
lódott középvonalra,
- az alakváltozás során a 0 sugarú, körív alakú középvonal sugarú körívvé görbül az
hxM nyomaték hatására.
e
e
s 0P
0állandó
0
O
Terhelés előtt
s P e
hxM hxM
állandó
e
Terhelés után
A középvonaltól távolságra lévő koncentrikus körív hosszának fajlagos megváltozása:
0 0
0 0
.
A feszültségi állapot egytengelyű:
0 0
E E 1
.
- hiperbola.
Ha hxM 0 , akkor 0 és 0 .
A hiperbola aszimptotái: Ha , akkor ,0
Ha , akkor0
E 1
,
83
Ha , akkor 0
0 0
0 E 1
.
A feszültségeloszlás szemléltetése:
0
1e
hxM
0
max
2e
x S
O
V
5.1.2. A feszültség és az igénybevétel kapcsolata
Feszültségi eredők igénybevételek:
a) Az eredő erő: .
( ) ( )
SF dA e dA 0
A A
max
( )
dA 0
A
általában az O görbületi középpont felé eső szélső szálban (az
ábrán a V pontban) van.
b) Az eredő nyomaték: .
( ) ( )
S hxM R dA e e e dA M e
A A
Skalár egyenletek:
( )
dA 0
A
( )
hxdA M
A
.
ez az egyenlet identikusan (azonosan) teljesül, ha az a kereszt-
metszet szimmetriatengelye,
A -al jelölt egyenletekből és kifejezhető az hxM -szel:
Grashof - formula: .hx hx 0
0 r 0
M M
A I
84
Jelölés a feszültségeloszlás ábráján: hx0
0
M
A
,
( )
20r
0
I dA
A
- a keresztmetszet tengelyére számított redukált másodrendű
nyomaték (általában rI I ).
A 0 görbületi sugár és az hxM hajlító nyomaték előjele:
s
O s
O
0hxM 0hxM 0hxM 0hxM 0 0
0 0
5.1.3. Redukált másodrendű nyomaték
S
a
O
a
d1e
2e
x
0
Értelmezés:
( )
20r
0
I dA
A
.
A hasonló háromszögekből:
0 0
a a
0
0
a a
.
( ) ( )
2 20r
0
I ad a d I
dAA A dA
.
Egy módosított (szaggatott vonallal megraj-
zolt) keresztmetszet x tengelyre számított
I másodrendű nyomatékát kell meghatározni.
A rúd „görbültségének” jellemzése:
max max , ,1 2e e e
max
0
e
hányados a rúd görbültségére jellemző mennyiség.
Ha a max
0
e
hányados kicsi, akkor a rúd nagyon görbült.
Ha a max
0
e
nagy, akkor a rúd enyhén görbült.
5.1.4. A Grashof - elmélet alkalmazhatósága
Ha max
, akkor a formulát és az t használjuk.0r3 4 Grashof I
e
Hamax
, akkor a formulát és az -t használjuk.0r3 4 8 10 Grashof I I
e
85
Hamax
, akkor a görbe rúd egyenes rúdként kezelhe tő: .0 hxM8 10
e I
5.1.5. A középvonal alakváltozási jellemzői
s
O
alakváltozás
s
O
0
0
A középvonal görbületének megváltozása: hx
0 r
M1 1
I E .
A szélső keresztmetszetek egymással bezárt szögének megváltozása:
hx hx0 0 0
r r
M Ml
I E I E , ahol l a rúd középvonalának hossza.
5.1.6. Az eredmények általánosítása
Tapasztalatok szerint a Grashof-féle elmélet akkor is jó közelítésként használható, ha
- a síkgörbe rúd igénybevétele tetszőleges síkbeli igénybevétel: , hxN T M ,
- a középvonal nem körív, de feltételezzük hogy a görbületi sugár csak kismértékben és las-
san változik a rúd középvonala mentén,
- a rúd nem prizmatikus, de feltételezzük hogy a keresztmetszet alakja, vagy geometriai elhe-
lyezkedése csak kismértékben és lassan változik a rúd középvonala mentén.
Közelítő megoldás (szuperpozíció):
Hajlítás: hx hx 0
0 r 0
M M
A I
,
Húzás/nyomás:
egyenes rudakra vonatkozó összefüggés .
Nyírás:
N
A
T S
I a
Erősen görbült rudaknál a húzás/nyomásból és a nyírásból származó feszültségek nem szá-
míthatók az egyenes rudakra érvényes összefüggésekből.
Alakváltozási energia:
86
Rúdszerkezeteknél általában a hajlítási energia domináns: hajlU U .
hx
r
M1U ds
2 I El
.
A szilárdságtan munkatételei (Betti2, Castigliano
3,) ugyanúgy érvényesek, mint egyenes és
törtvonalú tartószerkezeteknél.
5.1.7. Gyakorló feladatok síkgörbe rudakra
5.1.7.1. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása
y
z
R
A
BF
K
Adott: Az A keresztmetszetében befalazott, negyed körív kö-
zépvonalú, kör keresztmetszetű síkgörbe rúd geometriá-
ja és terhelése: R, F, d.
Feladat:
a) Az N N rúderő-, a T T nyíróerő- és az
hx hxM M hajlító nyomatéki függvények meghatározá-
sa, az igénybevételi ábrák megrajzolása a jellemző értékek
megadásával.
b) Az A keresztmetszeten a feszültségeloszlás meghatározása.
Kidolgozás:
a) Az N N rúderő-, a T T nyíróerő- és az h hM M hajlítónyomatéki függ-
vények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása a jellemző értékek megadásá-
val:
A tartót terhelő F erőt a tartó tetszőleges K keresztmetszetének súlypontjába redukáljuk.
Az így kapott vektorkettős skaláris koordinátái a keresett igénybevételek.
Az előjelek az igénybevételek előjel szabályának megfelelően adódnak.
y
z
A
hxMK
F
F
F
cosN N F ,
sinT T F ,
coshx h hxM M M RF .
Ezeknek a függvényeknek az ábrázolásával kapjuk az
igénybevételi ábrákat:
2 Enrico Betti (1823-1892) olasz matematikus és mérnök. 3 Carlo Alberto Castigliano (1847-1884) olasz matematikus és fizikus.
87
Rúderő ábra:
Nyíróerő ábra:
Nyomatéki ábra:
2
TF
2
hM
FR
2
N
F
b) Az A keresztmetszeten a feszültségeloszlás meghatározása:
Az A keresztmetszet igénybevétele: húzás-nyomás és hajlítás.
0
0 0
h h
r
M MN
A A I
, ahol
N F
A A a húzás-nyomásból származó normálfeszültség,
0
0 0
hx hx
r r
M M F R F R R
A I R A I R
a hajlításból származó normálfeszült-
ség.
Az A keresztmetszetben 0hx hM M FR , 0 0R , 2 2
d d .
A redukált másodrendű nyomaték: 20
( )
rI dA
A
.
A feszültségeloszlás:
hM
d
5.1.7.2. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, terhelhetősége
Adott: Az A keresztmetszetében befalazott, negyed körív középvonalú tartó geometriája és
terhelése. A tartó 2 darab L 40.60.5 szelvényű idomacél, melynek keresztmetszetét az
alábbi ábra szemlélteti kétféle elrendezésben. 300mmR , 400MPaF , 2tn ,
2kNF .
88
y
z
R
A
BF
19,6
60maxe
maxe
S S
a) eset b) eset
Feladat: a) A maximális redukált feszültség meghatározása mindkét esetben, 2kNF terhe-
lés mellett.
b) Az 1maxF , illetve az
2maxF maximális terhelőerő meghatározása mindkét esetben,
2tn biztonsági tényező figyelembe vételével.
Kidolgozás:
Szabály síkgörbe
rudak számításánál: 0 max/ 4e Grashof-formula és
rI alkalmazása.
0 max4 / 10e , Grashof-formula és I alkalmazása.
0 max10 / e az egyenes rúdra vonatkozó összefüggések.
Ebben az esetben: 0
max max
3007,43
40,4
R
e e
Grashof-formula;
42 34,4 cmxI I (MSz 329).
A veszélyes keresztmetszet az A keresztmetszet, az A keresztmetszet igénybevételei:
2 kNN F , 0T , 600 NmhM FR (ld. előző feladat).
a) eset:
hM
B
C
.h hM MN R F R F R F R R F R
A R A I R A R A I R I R
3
8
600 30019,6 10 32,09 MPa.
34,4 10 319,6B
B
F R RB
I R
3
8
600 30040,4 10 81,49 MPa.
34,4 10 259,6C
C
F R RC
I R
89
max 81,49 MPared C .
1max
max
F
t red
F
F n
1max
max
4002 4,91 kN
2 81,49
F
t red
F Fn
.
b) eset:
hM
B
C
3
8
600 30040,4 10 62,1 MPa.
34,4 10 340,4B
B
F R RB
I R
3
8
600 30019,6 10 36,58 MPa.
34,4 10 280,4C
C
F R RC
I R
max 62,1 MPared s B .
2max
max
F
t red
F
F n
2max
max
4002 6,44 kN
2 62,1
F
t red
F Fn
.
Megjegyzés:
A kétféle elrendezést összehasonlítva egyértelműen a b) eset a kedvezőbb, mert ugyanolyan
önsúly és biztonsági tényező mellett a b) változat szerinti rúd terhelhetősége az a) változathoz
képest: 2max
1max
6,441,31
4,91
F
F -szeres.
5.1.7.3. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, redukált másodrendű nyo-
maték
R
F
A
B
0M
b
aPQ
S
Adott: Az R sugarú, negyed körív középvonalú, téglalap
keresztmetszetű prizmatikus rúd, melyet az A ke-
resztmetszetben F erővel és 0M nyomatékú erő-
párral terhelünk. A B keresztmetszet mereven befo-
gott.
32 mmR , 24 mma , 6 mmb , 3kNF .
Feladat: a) A B keresztmetszet tengelyre számított redI
másodrendű nyomatékának meghatározása.
b) A B keresztmetszet S , P és Q pontjaiban ébredő normál feszültség meghatározása, ha
0 0M .
90
c) 0M értékének meghatározása úgy, hogy a B keresztmetszet P és Q pontjában a redukált
feszültségek megegyezzenek.
Kidolgozás:
a) A B keresztmetszet tengelyre számított redI másodrendű nyomatékának meghatározása:
202 2 20 0 0
0
0 0 02
2ln 1
2
a
r
aA
a
I dA b d abaa
,
Az adatokat behelyettesítve: 2 232 32 1224 6 32 ln 1 7561 mm
24 32 12rI
.
A fentihez hasonló integrandusz primitív függvényét nem mindig kapjuk meg zárt alakban.
Ez esetben az integranduszt sorba kell fejteni és ezután hatványfüggvények összegeként
kell integrálni:
2 3
2 20 0 0 0 ...2! 3!
f f f f f
.
Az 0
0
f
függvény n-ik deriváltja az 0 helyen: 00 !
nnf n
.
A negyedrendű közelítés esetén:
2 3 42 22 20
2 3 4
0 0 0 0 0
2 2
1
a a
r
a a
I b d b d
3 5 73 4 5 6 7 2
2 3 4 2 4
0 0 0 0 0 02
1 1 12
3 4 5 6 7 3 2 5 2 7 2
a
a
a a ab b
3 5 7 4
2 4
1 1 112 12 12 12 7553,78 mm
3 5 32 7 32
.
b) A B keresztmetszet S , P és Q pontjaiban ébredő normál feszültség meghatározása, ha
3kNF és 0 0M :
Szabály síkgörbe rudak számításánál:
0 max/ 4e Grashof-formula és rI alkalmazása.
0 max4 / 10e , Grashof-formula és I alkalmazása.
0 max10 / e az egyenes rúdra vonatkozó összefüggések.
Ebben az esetben: 0
max max
3007,43
40,4
R
e e
Grashof-formula, rI használatával.
91
Az előjel-konvenció szerint a rúderő pozitív, a nyomaték pozitív, a görbületi sugár negatív: 33 10 NN F , 96 NmhM F R ,
0 32 mm .
A Grashof-formulából:
9
0
0
0,4063 10
( ) 0,032
h h
r r
M MN FR R
A AR I I R
.
hM
Feszültségek az
S pontban: 0S ,
P pontban: 0,012 243,78 MPa ,
Q pontban: 0,012 110,81 MPa ,
c) 0M értékének meghatározása úgy, hogy a B keresztmetszet P és Q pontjában a redukált
feszültségek megegyezzenek:
Az előjel-konvenció szerint a rúderő pozitív, a nyomatéki igénybevétel pozitív, a görbületi
sugár negatív: 33 10 NN F , 0hM F R M , 0 32 mm .
A Grashof-formula: 0 0 0
0 ( )
h h
r r
M M M FR MN R
A AR I AR I R
.
A normál feszültségnek meg kell egyeznie a keresztmetszet P és Q pontjaiban, vagyis a
0,012 0,012
egyenlet megoldását keressük:
0 0 0 0
( ) ( )Q P
r Q r P
M FR M M FR MR R
AR I R AR I R
0 0 ,Q P
Q P
F R M F R MR R
A fenti egyenlőség csak akkor teljesül, ha 0 0.F R M
0 0F R M 0 96 Nm.M F R
Ebben az esetben a keresztmetszet igénybevétele húzás-nyomás, ami homogén feszültség-
eloszlást hoz létre.
Megjegyzés:
92
Bevezetve az 0
2x
a
változót, az
rI redukált másodrendű nyomaték és az I másodrendű
nyomaték rI
I hányadosát a fenti
02 00
0
2ln 1
2
r
a
I abaa
összefüggés felhasználásával
ábrázolhatjuk:
Ez a függvény a síkgörbe rudak számítására használt szabályt magyarázza:
Például, ha 0
max
4e
, akkor az 1,04rI
I , ami azt jelenti, hogy az
rI csak 4%-kal különbözik
az I -től. Tehát ebben az esetben az rI redukált nyomaték helyett jó közelítéssel az egyenes
rudaknál értelmezett I másodrendű nyomatékot használjuk. Kevésbé görbült rudak esetén
( 0 max4 / e ) tehát nem szükséges a redukált nyomaték kiszámítása.
5.1.7.4. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása
y
0M
0
2
M
R
0
2
M
R
A
B
C z
Rs
Adott: Az R sugarú, félkörív középvonalú, kör
kereszt-metszetű tartó, melyet az A
pontban 0M nyomatékú erőpárral terhe-
lünk.
0 400NmM , 60 mmR ,
250 MPameg .
Feladat:
a) Az igénybevételi függvények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása és a
veszélyes keresztmetszetek meghatározása.
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján.
93
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-féle összefüggéssel. Amennyi-
ben a tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a maxred meg feltétel nem tel-
jesül.
Kidolgozás:
a) Az igénybevételi függvények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása és a
veszélyes keresztmetszetek meghatározása:
s
T
N hM
0M
2R
Előjelszabály: 0 0; 0hM
0 cos2
MN
R ,
0 sin2
MT
R ,
0 cos ,2
h
MM R R
R
0 1 cos .2
h
MM
Veszélyes keresztmetszet: C.
N
ABC
T
hM
s
s
s
0
2
M
R
0
2
M
R
0M
0
2
M
R
s
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján:
z zz
0hM
hxz z z
x
MN
A I .
Méretezés csak hajlításra: z meg .
hxmeg
x
M
K
3
32
hxmeg
M
d
5
33
32 32 4 1025,4 mm
3,14 250
hx
meg
Md
.
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel.
94
Amennyiben a tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a
max 250MPared meg feltétel nem teljesül.
Ellenőrzés: görbe rúd húzási és hajlítási igénybevétellel.
0
0 0
,hx hx
r
M MN
A A I
ahol az előjelszabály értelmében: hxM és
0 .
0 0M
S
R
P
Q
O
2 2225,4 3,1416
507mm4 4
dA
5
0 4 103,333 kN
2 2 60
MN
R
33336,56 MPa
507húz
N
A
3
00
400 1013,151 MPa
( ) 507 60
M
A R
,
0 0 6,56 MPahúz .
max
2 1204,73
25,4
R R
e d 0 max4 / 10e : Grashof-formula,
r xI I .
4 4425,4 3,1416
432 mm64 64
x
dI I
.
0 6,56MPaS ,
5
3
4 10 606,56 12,7 212,11 MPa
20,4 10 60 12,7P
,
5
3
4 10 606,56 12,7 309,29 MPa
20,4 10 60 12,7Q
.
309,3MPa 250MPamegQ , a tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg!
A tartó átmérőjét növelni kell! Az átmérő értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve
a c) pontban leírt számításokat, 28 mmd esetén érjük el a kívánt feltételt.
5.1.7.5. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, méretezése
y
AyF CyF
A
B
C z
Rs
K
F
AzF
Adott:
Az R sugarú, félkörív középvonalú, kör kereszt-
metszetű tartó, melyet a B pontban F erővel
terhelünk.
7kNF , 60 mmR , 250 MPameg .
Feladat:
95
a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi
függvények meghatározása.
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján.
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a
tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 250MPared meg feltétel
nem teljesül.
Kidolgozás:
a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi
függvények meghatározása:
A támasztó erőrendszer meghatározása: 0zF AzF F ,
0aM 2
Cy
FF ,
0cM 2
Ay
FF .
Igénybevételek:
hM
cosR A
T N
e
e
Igénybevételek az AB szakaszon:
cos sin2
FN F ,
sin cos2
FT F ,
1 cos sin2
h
FRM FR .
Igénybevételek a BC szakaszon:
cos2
FN ,
sin2
FT ,
1 cos2
h
FRM .
Igénybevételi ábrák
A s
T
hM
F
B C
s
s
s
N
2F2
2F
K
F
2F
2FR
Veszélyes keresztmetszet:
K keresztmetszet, ahol a rúderő és a hajlító nyoma-
ték abszolút értéke is maximális. A nyíróerőnek,
ami a nyomaték deriváltja, itt zérushelye van:
sin cos 02
FT F tg 2
63,43K
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján. A veszélyes
keresztmetszet a K keresztmetszet ( 63,43K ), ahol az igénybevételek:
96
( ) cos63,43 sin63,43 3500 0,4473 7000 0,8944 7826 N2
FN K F ,
( ) sin63,43 cos63,43 02
FT K F ,
( ) 1 cos63,43 sin63,43 210 1 0,4473 420 0,8944 259,6 Nm2
h
FRM K FR
.
x z zz
0hxM
d
hxz z z
x
MN
A I
7826 NN 259,6 NmhxM .
Méretezés csak hajlításra: z meg .
hx
meg
x
M
K
3
32
hx
meg
M
d
33
6
32 32 259,622 mm
3,14 250 10
hx
meg
Md
.
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a
tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 250MPared meg feltétel
nem teljesül:
Ellenőrzés: görbe rúd és húzás+hajlítás.
,h h
r
M MN R
A AR I R
ahol 7826 NN , 259,6 NmhM , 0R .
0 0M
S
R
P
Q
O
2 2222 3,1416
380mm4 4
dA
,
782620,6 MPa
380húz
N
A ,
0 6
259,611,4 MPa
380 10 0,06
hM
AR
,
0 0 9,2 MPahúz .
max
2 1205,45
22
R R
e d 0 max4 / 10e Grashof-formula, r xI I .
97
4 4422 3,1416
11 499 mm64 64
x
dI I
.
Feszültségek a bejelölt pontokban:
0 9,2MPaS ,
6 3
12
259,6 609,2 10 11 10 200,66 MPa
11499 10 60 11P
,
6 3
12
259,6 609,2 10 11 10 313,28 MPa
11499 10 60 11Q
.
313,3MPa 250MPaz megQ , a tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg!
A tartó átmérőjét növelni kell! Az átmérő értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve
a c) pontban leírt számításokat, 24 mmd esetén érjük el a kívánt feltételt.
5.1.7.6. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, méretezése
y
0
2
M
R
A
B
C z
Rs
K
0M
0
2
M
R
Adott:
Az R sugarú, félkörív középvonalú, kör kereszt-
metszetű tartó, melyet a B pontban 0M nyomatékú
erőpárral terhelünk.
0 400NmM , 60 mmR , 290 MPameg .
Feladat:
a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi
függvények meghatározása.
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján.
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a
tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 290MPared meg feltétel
nem teljesül.
Kidolgozás:
a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi
függvények meghatározása:
0M
2R
N
T
hM
0 cos2
MN
R , 0 sin
2
MT
R ,
Hajlítónyomaték az AB szakaszon:
0 0cos cos 12 2
h
M MM R R
R .
Hajlítónyomaték a BC szakaszon: 0 1 cos2
h
MM .
98
Igénybevételi ábrák:
N
A B C
T
hM
s
s
s
0
2
M
R
0
2
M
0
2
M
R
0
2
M
0
2
M
R
s
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján:
Méretezés a B keresztmetszetben.
x z zz
0hxM
d
hxz z
x
M
I .
Méretezés csak hajlításra: z meg .
hxmeg
x
M
K
3
32
hxmeg
M
d
5
33
32 32 2 1019,15 mm
3,14 290
hx
meg
Md
.
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a
tartó nem felelne meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 290MPared meg feltétel
nem teljesül:
Ellenőrzés: görbe rúd és hajlítás a B keresztmetszetben. Az ellenőrzést a méretezés
eredményénél nagyobb átmérőre végezzük el. 20 mmd .
Grashof formula:
99
0
0 0
,hx hx
r
M MN
A A I
Az előjelszabály értelmében:
0 R .
0 0M
S
R
P
Q
O
2 2220 3,1416
314mm4 4
dA
0N , 0húz
N
A .
00 6
0
20010,6 MPa
2 314 10 0,06
hxM M
A AR
,
0 0 10,6 MPahúz .
max
2 1206
20
R R
e d 0 max4 / 10e Grashof-formula, r xI I .
4 4420 3,1416
7854 mm64 64
x
dI I
.
Feszültségek a bejelölt pontokban:
0 10,6MPaS ,
12
200 6010,6 0,01 228,9 MPa
7854 10 60 10P
,
12
200 6010,6 ( 0,01) 295 MPa
7854 10 60 10Q
.
295MPa 290MPared megQ .
A tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg!
A tartó átmérőjét növelni kell! Az átmérő értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve
a c) pontban leírt számításokat, 21 mmd esetén érjük el a kívánt feltételt.
5.1.7.7. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, méretezése
y
0M
0
2
M
R
0
2
M
R
A
B
C z
R
x b
a
Adott:
Az R sugarú, félkörív középvonalú, téglalap ke-
resztmetszetű tartó, melyet a B pontban
0 300NmM nyomatékú erőpárral terhelünk.
50 mmR , 2b a , 210 MPameg .
100
Feladat:
a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi
függvények meghatározása.
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján.
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a
tartó nem felelne meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 210MPared meg feltétel
nem teljesül.
Kidolgozás:
a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi
függvények meghatározása:
Igénybevételek:
hM
cosR A
T N
e
e
Rúderő és nyíróerő:
0 cos2
MN
R , 0 sin
2
MT
R .
Hajlítónyomaték az AB szakaszon:
0 0cos 1 cos2 2
h
M MM R R
R .
Hajlítónyomaték a BC szakaszon:
0 1 cos2
h
MM .
Veszélyes keresztmetszet: B.
Igénybevételi ábrák:
N
T
hM
s
s
s
0
2
M
R
0
2
M
R
0
2
M
0
2
M
R
0
2
M
/ 2
A B C s
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján:
x 0hxM z
Méretezés a B keresztmetszetben.
hxz
x
M
I .
101
Méretezés csak hajlításra: z meg .
hxmeg
x
M
K
32
3
hxmeg
M
a 33
6
3 3 15010,2 mm
2 2 210 10
hx
meg
Ma
.
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a
tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a max 210MPared meg feltétel
nem teljesül:
Ellenőrzés: görbe rúd és hajlítás a B keresztmetszetben. Az ellenőrzést a méretezés
eredményénél nagyobb méretre végezzük el: 11 mma , 22 mmb .
0
0 0
h h
r
M MN
A A I
. Az előjelszabályból:
0 R .
0 0M
S
R
P
Q
O
211 22 242 mmA ab
0N , 0húz
N
A
00
0 2
hM M
A AR
,
0 6
15012,4 MPa
242 10 0,05
.
0 0 12,4 MPahúz .
max
504,55
11
R R
e a 0 max4 / 10e : Grashof-formula, r xI I .
3 3
42 11 22
9761 mm12 12
x
a aI I
.
0 12,4MPaS ,
12
150 5012,4 0,013 171 MPa
9761 10 50 13P
,
12
150 5012,4 ( 0,013) 257,6 MPa
9761 10 50 13Q
.
257,6MPa 210MPared megQ .
A tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg!
A tartó méreteit növelni kell! Az a méret értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve a
c) pontban leírt számításokat, 12 mma , 24 mmb esetén érjük el a kívánt feltételt.
102
5.2. Prizmatikus rudak szabad csavarása
Szabad csavarás: a rúd (a keresztmetszet) pontjainak z tengely irányú elmozdulását semmi
sem akadályozza ( 0z ).
Gátolt csavarás: a rúd pontjai nem mozdulhatnak el szabadon a z tengely irányában ( 0z ).
A gátolt csavarásnak a vékonyszelvényű rudaknál van jelentősége.
Itt csak a szabad csavarással foglalkozunk.
5.2.1. Egzakt megoldás - a rúd keresztmetszetének alakja tetszőleges.
y
x
y
z
P
S
H
l
P
cM
0AlA
rR R
n
cM
cM
Feltételezések: - q 0 ,
- a H palást terheletlen: ( 0n F n ),
- x y z xy 0 ,
-
( )
z dA 0
A
,
( )
z c zR dA M e
A
.
Dinamikai peremfeltételek: - a H palást terheletlen n 0 .
- az lA -en a rúd igénybevétele csavarás:
( )
z dA 0
A
,
( )
z c zR dA M e
A
.
-az 0A -en az igénybevétel csavarás
ugyanaz, mint az lA -en.
Feszültségi állapot:
0 0, ,
0 0 , ahol, .
0
xzxz xz
yzyz yz
zx zy
x yF
x y
Egyensúlyi egyenletek:
0 0 0,
0 0 0,
xz
yz
z
z
teljesülnek!
0 0.zyzx
x y
103
A 3. egyensúlyi egyenlet teljesülését egy ,U x y feszültségfüggvény bevezetésével érjük el.
A Prandtl4-féle feszültségfüggvény:
,U x y - az ,x y helykoordinátának legalább kétszeresen differenciálható függvénye.
A feszültségek származtatása: zx xz
U
y
, zy yz
U
x
.
Behelyettesítve a 3. egyensúlyi egyenletbe: 2 2
0U U
x y x y
, az egyenlet identikusan teljesül.
A feszültségvektor: z xz x yz z ze e .
.z x y x y z z
U U U Ue e e e e U e
y x x y
U
Az ,U x y -nak még ki kell elégítenie:
- a peremfeltételeket,
- a törvényt , - kompatibilitási egyenletek
- a kompatibilitási egyenletet,
HookeBeltrami Michell
.
A peremfeltételek kielégítése:
- A palást terheletlen: 0n F n ,
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
xz x
n yz y
zx zy zx x zy y
n
n
n n
.
0,zx x zy yn n
0.z n
A paláston a z érintő irányú.
y
x
P
S
n
cM
zt
z
s 0g
Átalakítás: 0.
iránymenti
derivált
z z z
Un U e n U e n U t
st
0 állandó 0g U . Önkényes (célszerű) választás.
- Az 0A és az lA rúdvégeken:
4 Ludwig Prandtl (1875-1953) német fizikus és mérnök.
104
Az eredő erő:
( )
z
l
F dA 0
A
. Bizonyítjuk, hogy az eredő erő nulla.
A feszültségvektorra kapott összefüggést behelyettesítve:
( ) ( )
z z
l l
dA U e dA
A A
.
Átalakítás a Gauss-Osztrogradszkij5-féle integrál átalakítási tétellel:
s
0g
n
t
( )
.
( ) 0
C dA C n ds
gA
A szorzás a szorzások közül bármelyik lehet.
t
z
l
U e dA
A
0 0
U t ds U t ds 0 ,
g g
z
0
e U n ds
g
mert 0
= állandóg
U és
0
0t ds
g
mindig fennáll.
Az 0F feltétel tehát teljesül, ha keresztmetszet peremgörbéjén az állandóU (előző pe-
remfeltétel).
A keresztmetszet S pontjára számított nyomaték:
( )
S z c z
l
M R dA M e
A
.
Átalakítás:
0
c z z z z
l l
M e R U e dA U R e e R U dA
A A
z z
l l
e R U dA e RU R U dA
A A
2
Gauss-Osztrogradszkij-tétel
z z
l l
e RU dA e R UdA,
A A
mert 00
0
n RU ds 0 , U .g
g
5 Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801-1962) orosz matematikus.
105
c
l l
M R U dA 2U dA.
A A
Ugyanis: 1+1=2x y x yR e e xe yex y
.
.
( )
cM 2 U dA
A
A csavaró nyomaték is kiszámítható az U feszültségfüggvényből.
A Beltrami-Michell –féle kompatibilitási egyenletek kielégítése:
, .2 2
I Ixz yz
F F1 10 0
1 x z 1 y z
, , mert .2 2
I II x y z
F F0 0 F 0
x z y z
A csúsztató feszültségeket behelyettesítve:
állandó.
xz
yz
UU 0
y yU
UU 0
x x
A Hooke törvény és a kinematikai egyenletek felhasználásával:
Poisson-féle differenciálegyenlet.U 2G
ahol: G - a csúsztató rugalmassági modulus, - a fajlagos szögelfordulás.
Az elmozdulásmező előállítása:
, ,x
u0 u u y z
x
, ,y
v0 v v x z
y
, .z
w0 w w x y
z
Ha
.xy
u y f z u vf f 0
v x f z y x
,
,xz
xz xz
x yu w df wy x y
z x dz x G
,
2
xz
2
d f0 y 0 f z z
z dz
, ahol állandó (fajlagos szögelfordulás).
106
az előzővel megegyezőgondolatmenetből
yz
v wf z z
z y
.
Elmozdulásmező koordináták:
,
, kielégítik az összes kinematikai feltételt.
, ,
u y z y z
v x z x z
w x y w x y
Az elmozdulásvektor: , , ,
a keresztmetszet a keresztmetszet pontjai tengelyszöggel elfordul irányban is elmozdulnak
z z
z
u x y z z e R w x y e
z
z z - a tetszőleges z helyen levő keresztmetszet szögelfordulása a z=0 keresztmetszethez
képest.
Az eredmények összefoglalása:
Prizmatikus rudak szabad csavarási feladata visszavezethető egy U(x,y) feszültségfüggvény
meghatározására.
U(x,y) – a Prandtl-féle feszültségfüggvény nem tetszőleges.
1) Ki kell elégítenie:
a -féle differenciálegyenletet ésU 2G Poisson
az 0
0Ug
peremfeltételt.
2) Az igénybevétel és a feszültség származtatása a feszültségfüggvényből:
, , .
( )
C z zM 2 U x y dA U e
A
Tisztán geometriai tartalmú feszültségfüggvény bevezetése:
, ,0U x y G U x y . ,0U x y csak a keresztmetszet geometriájától függ.
Az ,0U x y -ra vonatkozó egyenletek:
1) 0U 2 , 00
0.Ug
2) , ,
( )
c 0 cM 2G U x y dA G I
A
ahol ,
( )
c 0I 2 U x y dA
A
a keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka.
Az cI tisztán geometriai jellemző, csak a keresztmetszet geometriájától függ.
Az csúsztató feszültség: .z 0 zG U e
107
A fajlagos szögelfordulás: .c
c
M
G I
A szögelfordulás: .cz
c
Mz
G I
A Prandtl-féle membrán analógia:
Az analógia a feszültségfüggvény és a megfeszített és felfújt membrán alakja között áll fenn.
Az analógia alapja: - a differenciál egyenletazonossága.
- a peremfeltétel
x
y
x
0g
0N
0N
2N/mmp
( , )x y
0 N/mmN
A membránt a keresztmetszet alakjának meg-
felelő furatra (lyukra) feszítjük rá.
A keresztmetszet alakja tetszőleges.
0N - a membrán síkjába eső feszítőerő-
sűrűség,
p - a membrán síkjára merőleges nyomás.
A membrán alakjának differenciálegyenlete: ,
0
p x y
N .
Peremfeltétel: g0
0 .
A differenciálegyenlet és a peremfeltétel is olyan, mint szabad csavarásnál.
Feszültségfüggvény többszörösen összefüggő tartomány esetén:
Peremfeltételek a feszültségfüggvényre:
0,0
gU
= állandó,
11g
U U
= állandó.2
2gU U
Az ábrán látható, hogy a feszültségfüggvény
a keresztmetszet 0g külső peremén zérus, a
1g és 2g belső peremeken pedig állandó. x
x
y
1g
2g
0g
( , )U x y1U
2U
108
5.2.2. Közelítő megoldás
Vékonyszelvényű rudak szabad csavarására közelítő megoldást állítunk elő.
Vékonyszelvényűnek tekintünk egy rúdkeresztmetszetet akkor, ha a szelvény vastagsági mé-
retei lényegesen kisebbek, mint a keresztmetszet jellemző méretei.
a) Nyitott vékony szelvényű rudak
- Vékonyfalú téglalap szelvény
S
x
v
b
cM
y
Közelítő feszültségfüggvény: .2
2vU G x
4
Poisson egyenlet: ,2 2
U U2G
x y
2G 0 2G - teljesül.
Peremfeltételek: teljesül,v
x U 02
nem teljesül.b
y U 02
A peremfeltétel a perem kis szakaszán nem teljesül – közelítés!
Feszültségek: xz
U0
y
, lineáris eloszlás .yz
U2G x
x
Csavarónyomaték: ,
( )
2 32
c
c
v
2v bv
M 2 U dA 2G b x dx G4 3
vAIx
2
.c cM G I
A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka: 3
c
bvI
3 .
Feszültségek a helyettesítés után:c
c
MG
I
, cxz yz
c
M0 2 x
I max .c
c
M
I
- Összetett nyitott vékonyfalú szelvény (a vékony téglalap eredményeinek általánosítása)
S
x
y
s
3b
3v
cM2b
sz
sz
1b
1v
2v
,3
i ic
3b v
I3
i 1
,csz
c
M2
I
.c cM G I
109
- Görbe középvonalú nyitott vékonyfalú szelvény
s
( )v s
.3c
1I v ds
3b
A többi összefüggés változatlan alakú.
b) Zárt vékonyszelvényű szelvényű rudak
x
y
x
S
Os
v
( , )U x y
1U
sz
cM
kA
Közelítő feszültségfüggvény:
, 1UU h
v .
Feltételezzük, hogy az ,U a szelvény
vastagsága mentén lineárisan változik.
Csúsztató feszültség:
állandó1sz
UU
v
.
A feszültségeloszlás a szelvény vastagsága
mentén állandó.
A lineáris U függvény ”lépcsős” közelítése:
( )
.cc k 1 1
kA
MM 2 U dA 2 A U U
2 A
c1sz
k
MU
v 2 A v Bredt
6- formula.
A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka: 2k
c
4 AI
1ds
v
.
kA - a zárt szelvény középvonala által körbezárt felület területe.
6 Rudolf Bredt (1842-1900) német gépészmérnök és matematikus.
110
5.2.3. Gyakorló feladatok szabad csavarásra
5.2.3.1. feladat: Háromszög keresztmetszetű prizmatikus rúd szabad csavarása
a
3
2h a
ScM x
y
Adott:
Az ábrán látható egyenlő oldalú háromszög kereszt-
metszet, melynek igénybevétele szabad csavarás.
A keresztmetszet ,U U x y feszültség függvényét a
következő alakban keressük:
2 23
2
yU y h x G
h
.
Feladat:
a) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségfüggvény teljesíti-e az előírt peremfeltétele-
ket és a Poisson-egyenletet.
b) A feszültségeloszlás és a feszültségi állapot meghatározása.
c) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése.
d) A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatékának kiszámítása.
Kidolgozás:
a) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségfüggvény teljesíti-e az előírt peremfeltétele-
ket és a Poisson-egyenletet:
A feszültségfüggvénytől megköveteljük, hogy legalább kétszer folytonosan differenciálha-
tó legyen, továbbá a keresztmetszet kontúrgörbéjén azonosan zérus legyen.
A hatványfüggvények akárhányszor folytonosan differenciálhatóak.
Peremfeltételek:
- Az 0y egyenletű oldalélen ( a háromszög alapja):
0y 2 23 0
2
yU y h x G
h
- Az 3y x h egyenletű oldalélen ( a háromszög jobboldali oldala):
3y x h 2
233 3 0
2
x hU x h h x G
h
- Az 3y x h egyenletű oldalélen (a háromszög baloldali oldala):
3y x h 2
233 3 0
2
x hU x h h x G
h
A Poisson-egyenlet: 2U G .
A másodrendű parciális deriváltak kiszámítása:
6 3
2
U xy GG xy
x h h
,
2
2
3U Gy
x h
,
111
3 2 2 2 2 2 22 3 3 4 32 2
U G Gy hy h y x y y hy h x
y y h h
,
2
2 2 2
23 4 3 3 2
2
U G Gy hy h x y h
y y h h
.
A Poisson-egyenlet: 2 2
33 2 2
U U G GU y y h G
x y h h
.
b) A feszültségeloszlás és a feszültségi állapot meghatározása:
2 2 23 4 32
xz
U Gy hy h x
y h
, 3
yz
U Gxy
y h
.
Feszültségeloszlás az x tengely mentén ( 0y ): 2 232
xz
Gh x
h
, 0yz .
Feszültségeloszlás az y tengely mentén ( 0x ): 2 23 42
xz
Gy hy h
h
, 0yz .
Feszültségeloszlás a baloldali oldalél mentén ( 3y x h ):
3 3xz
Gx x h
h
,
33yz
Gx x h
h
.
A csúsztató feszültség vektor:
3
3 3 3z xz x yz y x y
G Ge e x x h e x x h e
h h
.
Az oldalél normálvektorával való skaláris szorzás útján igazolható, hogy a csúsztató fe-
szültség párhuzamos az oldaléllel, vagyis az oldalélre merőleges összetevője nulla:
3
3 3 3 3 0z x y x y
G Gn e e x x h e x x h e
h h
0z .
2
2 2 3 3z z xz yz
Gx x h
h
.
A negatív előjelre azért van szükség, mert a z iránya ellentétes a tengely irányával.
Bevezetve a 23
hx új változót:
2 22 3 3 32 2 22 3 2 3
G h h Gh h
h h
.
Ez ugyanaz a függvény, mint amit az x tengely menti feszültségeloszlásra kaptunk.
A csúsztató feszültség az oldaléleken párhuzamos a szóban forgó oldaléllel, amiből követ-
kezik az, hogy a rúdnak, melynek keresztmetszetét eddig vizsgáltuk, mindhárom oldallap-
ja terheletlen.
Egy n normálisú felület ugyanis akkor terheletlen, ha 0n F n .
112
Prizmatikus rudak csavarása esetén:
0 0
0 0
0
xz
yz
zx zy
F
,
0
x
y
n
n n
.
A szorzást elvégezve a feszültségvektor első két koordinátájára nullát kapunk, a harmadik
koordináta pedig: z zx x zy yn n .
Figyelembe véve a feszültségtenzor szimmetriáját, ez a kifejezés éppen a normálvektor és
a csúsztató feszültség vektor skaláris szorzata, ami akkor nulla, ha a csúsztató feszültség
párhuzamos a keresztmetszet kontúrvonalával.
ScM
x
y
xz
z
xz
y
x
c) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése:
Egyensúlyi egyenlet: 0F q , ahol:
0 0
0 0
0
xz
yz
xyz
zx zy
F
, 0q .
Skalár egyenletek:
0 0 0,
0 0 0,
0 0.
xz
yz
zyzx
z
z
x y
Mivel z-től nem függ a feszültségtenzor egyik koordinátája sem, a z szerinti parciális deri-
váltak nullával egyenlők. Így az első két egyenlet: azonosság.
A feszültségfüggvény definíciója szerint: xz
U
y
, yz
U
y
.
Behelyettesítve a harmadik egyenletbe: 2 2
0zyzx U U
x y y x x y
, ami mindig teljesül,
ha a feszültségfüggvény legalább kétszer folytonosan differenciálható
d) A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatékának kiszámítása:
113
32
2 2
0 0
2 4 32
a
x h
c
A x y
yM U dA y h x G dydx
h
Felhasználjuk a feszültségfüggvény szimmetriáját az y tengelyre: U x U x .
Így az integrált csak a keresztmetszet jobb felére számítjuk ki és megszorozzuk kettővel:
32
2 2
0 0
4 3 .2
a
x h
c
x y
yM y h x G dydx
h
Először az y szerinti integrálást végezzük el, mert ennek a határozott integrálnak az integ-
rálási tartománya függ az x-től.
33 4 3 2 2
2 2 2 2
0 0
3 2 34 3 2 2
x hx h
y y
y y y yy y h x dy h h x
4 3 2 2 43 13
4 12x hx h x h .
Ezt a kifejezést még integrálni kell x szerint 0-tól 2
a-ig és megszorozni az integranduszból
kiemelt 2G
h
-val:
24 3 2 2 4 4
0
2 3 1 73
4 12 160 3
a
c
GM x hx h x h dx G a
h
Figyelembe véve az c cM I G összefüggést, a csavarási másodrendű nyomaték:
47
160 3cI a .
Megjegyzések:
a) Feszültségfüggvénnyel megoldott csavarási feladatnál az egyensúlyi egyenlet azonnal tel-
jesül, hiszen az csak a vegyes parciális deriváltak egyenlőségét követeli meg, ami legalább
kétszer folytonosan differenciálható függvényeknél mindig teljesül.
b) Felmerül a kérdés, hogy a kapott csavarási másodrendű nyomaték mekkora átmérőjű kör
keresztmetszetű rúd nyomatékával egyezik meg.
4 47
32160 3cI a D
4
71,094
5 3D a a
A belül írható kör átmérője: 3
0,57743
BD a a .
A körülírható kör átmérője: 3
2 1,15483
KD a a .
A kapott eredmény a körülírható kör átmérőjéhez van közelebb.
114
5.2.3.2. feladat: Ellipszis keresztmetszetű prizmatikus rúd szabad csavarása
x
y
ab
B
A
cM
Adott:
Az ábrán látható ellipszis keresztmetszet igénybevé-
tele szabad csavarás.
A keresztmetszet Prandtl-féle feszültség függvényét
a következő alakban keressük: 2 2
2 21
x yU C
a b
.
Feladat:
a) A feszültségfüggvényben szereplő C együttható meghatározása.
b) Az cI csavarási másodrendű nyomaték meghatározása.
c) A feszültség állapot és az elmozdulás állapot meghatározása.
Kidolgozás:
a) A feszültségfüggvényben szereplő C együttható meghatározása:
A feszültségfüggvénnyel szemben három követelményt támasztunk:
legyen legalább kétszer folytonosan differenciálható,
a keresztmetszet kontúrjain értéke legyen zérus (többszörösen összefüggő tartomány
esetén a belső kontúrokon legyen konstans),
teljesüljön rá a 2U G Poisson-egyenlet.
Az első két követelmény teljesül, mert a feszültségfüggvény akárhányszor folytonosan dif-
ferenciálható és a kontúron (az ellipszis pontjain) a feszültségfüggvény értéke nulla.
A 2U G Poisson-egyenlet pedig alkalmas arra, hogy a C együtthatót meghatároz-
zuk:
A másodrendű parciális deriváltak kiszámítása:
2
2U xC
x a
,
2
2 2
2UC
x a
,
2
2U yC
y b
,
2
2 2
2UC
y b
.
Poisson-egyenlet: 2 2
2 2 2 22 2
U U a bU C G
x y a b
2 2
2 2
a bC G
a b
.
b) Az cI csavarási másodrendű nyomaték meghatározása:
2 2
2 22 2 1c
A A
x yM U dA C dA
a b
.
Az integrál kiszámításához változó-transzformációra van szükség:
cosx
a ; sin
y
b 2 2 2 2 21 cos sin 1U C C
A transzformáció Jacobi-determinánsa:
115
2 2
cos sin,cos sin
sin cos,
x x
a ax yab ab ab
y y b b
.
Az integrál kiszámítása:
12 1 2 4
2
0 0 0
2 2 1 2 22 4
c
A
M U dA C ab d d abC ab C
,
3 3
2 2c
a bM G
a b
.
A csavarási másodrendű nyomaték 3 3
2 2c
a bI
a b
.
c) A feszültség állapot és az elmozdulás állapot meghatározása:
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
xz
yz
U C ay G y
y b a b
U C bx G x
x a a b
A feszültségek eloszlása lineáris.
A keresztmetszet veszélyes pontjának meghatározása:
Mivel normálfeszültség nincs, ezért a veszélyes pontot a csúsztató feszültség abszolút ér-
tékének maximumhelye adja: 2
2 2 2 4 2 4 2
2 2
2z xz yz
Gb x a y
a b
.
Ez a kifejezés az 0x , illetve az 0y pontokban vesz fel lokális szélsőértéket (ekkor
válik nullává a csúsztató feszültség abszolút értékének parciális deriváltja).
Az A pontban: 0xz ; 2
2 2 2 2 2
2 2 2yz
U C b abGx G x b
x a a b a b
.
A B pontban: 0yz ; 2
2 2 2 2 2
2 2 2xz
U C a abGy G y a
y b a b a b
.
Mivel a b , ezért a B pontban fellépő csúsztatófeszültség abszolút értéke nagyobb az A
pontban fellépőnél.
A keresztmetszet veszélyes pontja: B pont.
A csúsztatófeszültség iránytangense: 2
2
yz
xz
b x
a y
. A keresztmetszet kontúrjához (az ellip-
szishez) húzott érintő meredeksége:
2 22 2
22 2
222 2
2
21
2
b bd b x x
dy b xa a
dx dx a ybb x
a
.
116
A csúsztatófeszültség a keresztmetszet kontúrján érintőirányú. Ez azt jelenti (bizonyítás az
előző feladatban), hogy a rúd, melynek keresztmetszetét vizsgáljuk, terheletlen palásttal
rendelkezik.
A feszültségi tenzor:
2
2
2 2
2 2
0 0 0 02
0 0 0 0
0 0
xz
yz
zx zy
a yG
F b xa b
a y b x
.
A Hooke-törvény segítségével meghatározhatjuk az alakváltozási tenzort: 2
2
2 2
2 2
0 0
0 0
0
a y
A b xa b
a y b x
.
Az alakváltozási tenzorból meghatározható az elmozdulásmező:
A főátlóban lévő zérusok miatt:
0 ,u
u u y zx
, 0 ,
vv v x z
y
, 0 ,
ww w x y
z
.
Feltételezve azt, hogy a csavarás során a keresztmetszetek elfordulnak egymáshoz képest,
de a keresztmetszetek alakja (első rendben) nem változik és a súlypontjaik továbbra is a
súlyponti egyenesre esnek:
( , , ) ,z zu x y z ze R w x y e , ahol x yR xe ye .
( , , ) ,x y z
vu
u x y z z ye z xe w x y e .
A geometriai egyenletek: 2
2 2
2,xz
u w a y
z x a b
2
2 2
2yz
v w b x
z y a b
.
Mivel u
yz
és v
xz
, így
2
2 2
2w a yy
x a b
2 2 2
2 2 2 2
21
a b aw y x K y y x K y
a b a b
,
ahol K y az y-nak tetszőleges függvénye.
Hasonlóképpen:
2
2 2
2w b xx
y a b
2 2 2
2 2 2 2
21
b b aw y x L x y x L x
a b a b
,
ahol L x az x-nek tetszőleges függvénye.
Az eredményeket összevetve: L x K y állandó.
Ez az állandó a keresztmetszet pontjainak egyszerű z irányú eltolása, amivel nem foglal-
kozunk.
Így az elmozdulásmező: 2 2
2 2( , , ) x y z
vuw
b au x y z z ye z xe y x e
a b
.
117
5.2.3.3. feladat: Téglalap keresztmetszetű prizmatikus rúd szabad csavarása
b
a
x
y
S
cM
Adott:
Az ábrán látható téglalap keresztmetszetű prizmatukus rúd, melynek
igénybevétele szabad csavarás.
Feladat:
a) A Prandtl-féle feszültségfüggvény közelítő és egzakt előállítása.
b) Az előállított feszültségfüggvények szemléltetése.
c) A keresztmetszet feszültségeloszlásának és veszélyes pontjainak
meghatározása.
d) A feszültségeloszlások szemléltetése.
Kidolgozás:
a) A Prandtl-féle feszültségfüggvény közelítő és egzakt előállítása:
A feszültségfüggvénnyel szemben négy követelményt támasztunk:
legyen legalább kétszer folytonosan differenciálható, így a vegyes parciális deriváltjai
egyenlők, vagyis teljesítik a 0zyzx
x y
egyensúlyi egyenletet,
a keresztmetszet kontúrjain értéke legyen zérus (többszörösen összefüggő tartomány
esetén a kontúrokon legyen konstans), így a kontúr terheletlen,
a belőle származtatott feszültség nyomatékának felületi integrálja egyezzen meg a
csavaró nyomatékkal,
teljesítse a U 2G Poisson-egyenletet (ez a kompatibilitás feltétele).
A közelítő megoldás előállítása:
A négy oldalél egyenletét nullára redukálva és összeszorozva kapjuk a közelítő feszültség-
függvényt: 2 2
2 2,4 4
a bU x y C x y
.
Ez a kifejezés akárhányszor folytonosan differenciálható, így a vegyes parciális deriváltjai
egyenlők, vagyis teljesíti az egyensúlyi egyenletet.
A függvény zérus értéket vesz fel a keresztmetszetet határoló téglalap minden egyes pont-
ján, így a csúsztató feszültség a kontúrral párhuzamos lesz.
A C együttható meghatározása:
222
4xz
U aC y x
y
, 2
224
yz
U bC x y
x
,
c xz yz
A A
U UM y x dA C y x dA
y x
,
2 2 2 22 2 2 2 3 3
2 2
24 4 18
b a
c
b a
a b CM C y x x y dxdy a b
.
Átrendezve: 3 3
18cC M
a b .
118
A feszültségfüggvény: 2 2
2 2
3 3
18,
4 4c
a bU x y M x y
a b
.
Ez a feszültségfüggvény azonban nem teljesíti a Poisson-egyenletet:
222
4
U bC x y
x
2 22
22
4
U bC y
x
,
222
4
U aC y x
y
2 22
22
4
U aC x
y
,
2 2 2 22 2
2 22 áll.
4 4
U U a bU C y x
x y
Az így kiszámított feszültségállapot és elmozdulás állapot nem az egzakt megoldás.
Az egzakt megoldás előállítása:
A U 2G Poisson-egyenletet homogenizálva a U 0 Laplace-egyenlethez jutunk,
melynek megoldásai például az sinh sin1U x y , sinh cos2U x y ,
cosh sin3U x y és cosh cos4U y x függvények.
Tekintsük az , cosh cos1 2f x y c y c x függvényt.
Ez teljesíti a Laplace-egyenletet, ha 1 2c c , ugyanis
, cosh cos cosh cos ,2 2
2 2
1 2 1 2 1 22 2f x y c y c x c y c x c c f x y
x y
.
Az ,f x y 0 feltétel az a
x2
egyenletű oldalakon akkor teljesül, ha 2c ka
, ahol k
páratlan szám.
A , , ...
, cosh cosk
k 1 3 5
k kg x y C y x
a a
függvény tehát a Laplace-egyenlet megoldá-
sa és a téglalap függőleges oldalai mentén teljesíti a peremfeltételt is. (Ez nem a Laplace-
egyenlet általános megoldása, de bizonyítható, hogy arra nincs is szükség!)
A Poisson-egyenlet egy parciális megoldását már ismerjük a feladat közelítő megoldásá-
ból: ,2
2 ag x y G x
4
.
Az egzakt megoldás esetén a Prandtl-féle feszültség függvényt az alábbi alakban keressük:
, , ...
, cosh cos2
2
k
k 1 3 5
a k kU x y G x C y x
4 a a
.
Ha a kC együtthatókat úgy választjuk, hogy a feszültségfüggvény a téglalap vízszintes ol-
dalai mentén is eltűnjön, akkor mind a négy követelményt sikerül kielégíteni, vagyis az eg-
zakt megoldáshoz jutunk.
A kC együtthatók meghatározása:
119
by
2 esetén
, , ...
, cosh cos2
2
k
k 1 3 5
k
a k b kU x y G x C x 0
4 2a a
D
.
, , ...
cos2
2
k
k 1 3 5
a kG x D x
4 a
.
A kD együtthatók meghatározása:
cos cos
a a
22 22 2
k
a a
2 2
a k kG x x dx D x dx
4 a a
.
A határozott integrálásokat elvégezve: 2k 1
2k 3 3
8aD 1 G
k
Az Prandtl-féle feszültségfüggvény az egzakt megoldás esetén:
, , ...
, cosh coscosh
2 2k 12
23 3
k 1 3 5
a 8a G k kU x y G x 1 y x
4 k kb 2a a a
.
Az együtthatók nevezőjében szereplő 3k miatt a sor gyorsan konvergál.
A nulladik közelítés a peremfeltételt nem teljesítő ,2
0 2aU x y G x
4
közelítő meg-
oldás.
Az első közelítés:
, cosh coscosh
2 21 2
3
a 8a GU x y G x y x
4 b 2a a a
.
b) Az előállított feszültségfüggvények szemléltetése:
Az ábrákon G 1 , a 2 , b 6 , C 1 .
2 2
2 2,4 4
a bU x y C x y
.
Nem elégíti ki a Poisson-egyenletet.
A peremfeltétel mind négy peremen tel-
jesül.
,2
0 2aU x y G x
4
.
A Poisson-egyenletet kielégíti.
Az y tengellyel párhuzamos peremeken a
peremfeltétel teljesül.
Nem teljesíti a peremfeltételt az x tengely-
lyel párhuzamos peremeken.
120
,2
1 2aU x y G x
4
cosh cos
cosh
2
3
8a Gy x
b 2a a a
.
A Poisson-egyenletet kielégíti.
Az y tengellyel párhuzamos peremeken a
peremfeltétel teljesül.
Közelítőleg teljesíti a peremfeltételt az x
tengellyel párhuzamos peremeken („hul-
lámos” a peremen).
c) A keresztmetszet feszültségeloszlásának és veszélyes pontjainak meghatározása:
Közelítő megoldás:
x
y y
xzyz
y
xz
yzx
x
A feszültségfüggvény: 2 2
2 2,4 4
a bU x y C x y
,
22
3 3
36
4xz c
U aM y x
y a b
.
Ez zérus az x tengelyen és lineáris feszültségeloszlás az y ten-
gely mentén: 3
90xz cx M y
ab .
Az y tengellyel párhuzamos egyenesek mentén is lineáris az
eloszlás, de az y tengelytől távolodva egyre kisebb a maximális
feszültség, míg - parabolikus csökkenést követve – a téglalapot
határoló oldalak mentén teljesen eltűnik.
22
3 3
36
4yz c
U bM x y
x a b
.
Ez zérus az y tengelyen és lineáris feszültségeloszlás az x ten-
gely mentén: 3
90yz cy M x
a b
Az x tengellyel párhuzamos egyenesek mentén is lineáris az
eloszlás, de az x tengelytől távolodva egyre kisebb a maximális
feszültség, míg – parabolikus csökkenést követve – a téglalapot
határoló oldalak mentén teljesen eltűnik.
A veszélyes pontok a 2; 0a pontok (az x tengely és a téglalap kontúrjának metszetei),
ahol a feszültség: max 2
9
2yz cM
a b .
Az egzakt megoldás:
, , ...
, cosh coscosh
2 2k 12
23 3
k 1 3 5
a 8a G k kU x y G x 1 y x
4 k kb 2a a a
,
1
22 2
1,3,5...
81 sinh cos
cosh 2
k
xz
k
U a G k ky x
y k kb a a a
,
121
1
22 2
1,3,5...
82 1 cosh sin
cosh 2
k
yz
k
U a G k kG x y x
x k kb a a a
.
A nulladik közelítés visszaadja a peremfeltételt nem teljesítő megoldást.
Az első közelítés:
1
2
8sinh cos
cosh 2xz
a Gy x
b a a a
.
1
2
82 cosh sin
cosh 2yz
U a GG x y x
x b a a a
.
A csavaró nyomaték kiszámítása: c yz xz
A A A
M r dA x dA y dA
cosh sin
cosh
a 2 b 2
2
yz 2
A a 2 b 2
8a Gx dA 2G x x y x dydx
b 2a a a
sinh
cosh
3 3
5
a b 16aG G 2a b 2a
6 b 2a
,
sinh cos
cosh
a 2 b 2
xz 2
A a 2 b 2
8a Gy dA y y x dydx
b 2a a a
cosh sinh
cosh
3
5
16a b bG b 2a
b 2a 2a 2a
.
3 3
c 4
a b 16a bM G
6
.
c cM G I ,3 3
c 4
1 16I a b 0 331 a b
6
; c
3
4
M
1 16Ga b
6
.
1
2 2
4
8sinh cos
1 16cosh 2
6
xz cM y xa a
a b b a
;
1
23
4
82 cosh sin
1 16 cosh 2
6
cyz
MU ax y x
x b a a aa b
A veszélyes pontok a keresztmetszet négy csúcsa, ahol
1
max 2 22
4
81 5,47
1 16
6
c cyz
M M
a ba b
.
d) A feszültségeloszlások szemléltetése:
122
Az ábrákon cM 4 , a 2 , b 6 .
Közelítő megoldás:
2
2
3 3
36
4xz c
U aM y x
y a b
2
2
3 3
36
4yz c
U bM x y
x a b
.
Nem teljesíti a Poisson-egyenletet.
Az egzakt megoldás nulladik közelítése:
0xz 0 , 0 c
yz 3
12Mx
a b .
Nem teljesíti a peremfeltételt.
Az egzakt megoldás első közelítése:
A Poisson-egyenletet teljesíti, a peremfeltételt közelíti.
1
2 2
4
8sinh cos
1 16cosh 2
6
xz cM y xa a
a b b a
.
1 ,xz x y
1
23
4
82 cosh sin
1 16 cosh 2
6
cyz
MU ax y x
x b a a aa b
1 ,yz x y
123
5.2.3.4. feladat: Nyitott vékony szelvényű prizmatikus rúd szabad csavarása
S
1v
2v
b
h
2bcM
Adott:
Az ábrán vázolt U50 szelvényű (MSz 326) prizmatikus rúd geo-
metriája és anyaga. A rúd igénybevétele szabad csavarás.
50 mmh , 38 mmb , 1 5 mmv , 2 7 mmv , 150 MPameg .
Feladat:
a) A szelvény cI csavarási másodrendű nyomatékának meghatáro-
zása.
b) A maximális cM csavaró nyomaték meghatározása.
Kidolgozás:
S
1v
2v
1 2b v
2h v
cM
A valóságos szelvényt állandó falvastagságú nyitott szelvény-
nyel modellezzük.
A feladatot erre a modellre oldjuk meg.
a) A szelvény cI csavarási másodrendű nyomatékának meghatározása:
3 312 1 2
1 12
3 3 2c
vI h v v b v
.
3 3 41 1 550 7 5 2 38 7 9909,3 mm
3 3 2cI
.
b) A maximális cM csavaró nyomaték meghatározása:
2csz
c
M
I max max
csz
c
Mv
I .
A veszélyes pontok az U szelvény két szárának belső- és külső felületén vannak, mert
2 1v v .
max
max max 22c
red sz meg
c
MMohr v
I .
max
2
9909,3150 212 342Nmm=212,342 Nm
7
cc meg
IM
v .
5.2.3.5. feladat: Nyitott vékony szelvényű prizmatikus rúd szabad csavarása
Adott:
Az ábrán vázolt nyitott szelvényű prizmatikus rúd geometriája és anyaga. A rúd igénybevéte-
le szabad csavarás.
124
1 200 mma , 2 150 mma ,
3 100 mma , 1 10 mmv ,
2 10 mmv , 3 5 mmv .
1a
2a
2a
1v
2v
3v
cM
S
Feladat:
a) A szelvény cI csavarási másodrendű nyomatéká-
nak meghatározása.
b) A max maximális csúsztató feszültség meghatá-
rozása, ha 120 NmcM .
c) A rúd fajlagos szögelfordulásának meghatáro-
zása, ha 120 NmcM és 48 10 MPaG .
Kidolgozás
a) A szelvény cI csavarási másodrendű nyomatékának meghatározása:
3 3 33 3 3 5 4
1 1 2 2 3 3
1 1 1 200 10 150 10 100 51,208 10 mm
3 3 3 3 3 3cI a v a v a v
.
b) A max maximális csúsztató feszültség meghatározása, ha 120 NmcM :
2
max max 5 12
12010 9,93 MPa
1,208 10 10
csz
c
Mv
I
.
c) A rúd fajlagos szögelfordulásának meghatározása, ha 120 NmcM és 48 10G
MPa:
2
10 5 12
1201,24 10 rad/m
8 10 1,208 10 10
c
c
M
G I
.
5.2.3.6. feladat: Felvágott vékonyfalú cső csavarása
cM
S
y
x
Dd
Adott:
Az ábrán látható felvágott vékonyfalú cső geometriája
és terhelése: 8 NmcM , 40 mmD , 36 mmd ,
1 ml .
Feladat:
a) Annak meghatározása, hogy milyen folyáshatárú
anyag felel meg 1,5n -es biztonsággal.
b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározá-
sa, ha 980 10 PaG .
Kidolgozás:
125
a) Annak meghatározása, hogy milyen folyáshatárú anyag felel meg 1,5n -es biztonsággal:
40 3638 mm
2 2k
D dd
,
40 362 mm
2 2
D dv
.
A csavarási másodrendű nyomaték kiszámításához a középkör kerületét használhatjuk,
mert a felvágás csak jelentéktelen mértékben csökkenti a szelvény ívhosszát:
3 3 41 12 38 3,1416 318,3 mm
3 3c kI v d .
A keresztmetszet veszélyes pontjai: a külső- és belső kör valamennyi pontja.
3
max 12
82 10 50,3 MPa
318,3 10
csz
c
Mv
I
.
max
max
max
2 100,6 MPa ( )
3 87,1 MPa ( )red
Mohr
HMH
,
max
max
( ) 1,5 100,6 150,9 MPa
( ) 1,5 87,1 130,7 MPa
red
m
red
n MohrR
n HMH
.
b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározása, ha 980 10 PaG :
12 9
8 rad0,314
318,3 10 80 10 m
c
c
M
I G
,
0,314 1 0,314 rad=18c
c
Ml l
I G .
5.2.3.7. feladat: Téglalap keresztmetszetű zárt szelvény csavarása
1v2v
b
a
x
y
2P
1P
S
cM
Adott:
Az ábrán látható téglalap keresztmetszetű zárt szelvény geo-
metriai méretei és terhelése: 200 NmcM , 100 mma ,
200 mmb , 1 10 mmv , 2 5 mmv .
Feladat:
a) A 1P és 2P metszetben ébredő csúsztató feszültségek kiszá-
mítása.
b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározása, ha
2 ml , 108 10 PaG .
Kidolgozás:
a) A 1P és 2P metszetben ébredő csúsztató feszültségek kiszámítása:
2
2 1( )( ) 95 190 18050 mmkA a v b v ,
126
5
1
1
2 100,55 MPa
2 2 18050 10
csz
k
MP
A v
,
5
2
2
2 101,1 MPa
2 2 18050 5
csz
k
MP
A v
.
b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározása, ha 2 ml , 108 10 PaG :
2 1
1 2
1 2 95 2 1902 2 95
10 5
a v b vds
v v v
,
2 2 66 44 4 18,05 10
13,72 10 m1 95
kc
AI
dsv
.
4
6 10
200 23,6 10 rad = 0,021
13,72 10 8 10
c
c
M l
I G
.
5.2.3.8. feladat: Vékonyfalú cső csavarása
cM
S
y
x
D
d
Adott:
A D külső- és d belső átmérőjű, l hosszúságú acél-
cső, melynek igénybevétele csavarás. 40 mmD ,
30 mmd , 1000 mml , 100 NmcM , 80 GPaG .
Feladat:
a) A sz nyírófeszültségnek, az
cI csavarási másodren-
dű nyomatéknak és a csővégek szögelfordulásá-
nak meghatározása a Bredt-formula felhasználásával
(közelítő megoldás).
b) Az eredmény összehasonlítása az egzakt megoldás-
sal.
Kidolgozás:
a) A sz nyírófeszültségnek, az
cI csavarási másodrendű nyomatéknak és a csővégek
szögelfordulásának meghatározása a Bredt-képlet felhasználásával:
35 mm2
k
D dd
, 5 mm
2
D dv
,
24 29,62 10 m
4
kk
dA
.
10,4 MPa2
csz
k
M
A v .
1 0,035 3,14121,99
0,005
kdds
v v
,
2 2 88 44 4 9,62 10
16,83 10 m1 21,99
kc
AI
dsv
,
3
8 9
100 17,42 10 rad
16,83 10 80 10
c
c
M l
I G
.
s
sz
127
b) Az eredmény összehasonlítása az egzakt megoldással.
Körgyűrű keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka: 4 4
7 41,72 10 m32
p
D dI , c
z
p
M
I ,
max 7
100 0,0211,63 MPa
2 1,72 10
cz
p
M D
I
,
3
7 9
100 17,28 10 rad
1,72 10 80 10
c
p
M l
I G
.
s
sz
A másodrendű nyomatékban fellépő relatív hiba kiszámítása:
22
324
2 44
1 64
2 2
kc
D d
D d D dAI
D d D dds
v
,
3 4 4
2
4 4 2 2
64 32 12
32
c p
p
D d D d D dI I D d
D dI D d
.
Bevezetve a cső relatív falvastagságát jellemző d
kD
viszonyszámot,
2 2
2 2
1 2 2 11
2 2 2 2
c p
p
I I k k k k
I k k
.
Ezt a hányadost ábrázolva:
Ha a cső nem vékonyfalú, a közelítő Bredt-formula pontatlan: ha a belső átmérő csak a fele
a külső átmérőnek ( 0,5k ), akkor a megoldás relatív hibája: 10%.
A diagram kinagyítva:
128
Körülbelül 1 %-ra csökken a relatív hiba, ha a belső átmérő a külső átmérőnek 82%-a. A
Bredt-képlet tehát jó közelítés a műszaki gyakorlatban előforduló vékonyfalú csövek ese-
tén.