Identifique claramente os grupos e os itens a que responde e apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (exceto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações). É interdito o uso de corretor.
Dentro do enunciado encontrará uma folha de resposta, para responder às questões 2.d e 4.a e a outras que necessitem de papel quadriculado.
As cotações da prova encontram-se na página 7.
A prova inclui um formulário na página 8.
935 MATEMÁTICA Prova escrita
PROVA DE EQUIVALÊNCIA À FREQUÊNCIA Duração: 120 minutos
Ano: 2013 1ª fase - Junho 11º e 12º anos
Prova 935 | 1 de 8
Grupo I
1. Num certo concelho do nosso país, um atelier de arquitetura vai facultar um estágio, du-rante as férias de verão, aos alunos do 11º ano das escolas desse concelho, que tenham obtido classificação final superior a 15 valores nas disciplinas de História da Cultura e das Artes e de Geometria Descritiva.
As classificações finais nas disciplinas de História da Cultura e das Artes e de Geome-tria Descritiva, obtidas pelos 50 alunos desse concelho que satisfazem as condições re-queridas, foram tratadas estatisticamente. Os dados estão representados nos gráficos seguintes:
a. Calcule a percentagem de alunos que teve 18 valores ou mais na disciplina de Geo-metria Descritiva.
b. Indique a moda das classificações de Geometria Descritiva.
c. Calcule a mediana das classificações de Geometria Descritiva.
d. Depois de ter calculado, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações, a Maria comentou: “ As médias das classificações a História da Cultura e das Artes e a Geometria Descritiva são iguais, mas o mesmo não se passa com os desvios padrão”.
d1. Conclua que a Maria tem razão na primeira parte da sua afirmação, calculando a média da classificações de cada uma das disciplinas, com aproximação às déci-mas.
d2. O João, que estava a tratar os dados juntamente com a Maria, comentou: ”Quan-do me disseste que as médias eram iguais, eu, observando os gráficos, concluí logo que os desvios padrão eram diferentes”. Explique como poderá o João ter chegado àquela conclusão.
8
12
18
7
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
16 17 18 19 20
Núm
ero
de a
luno
s
Classificações
História da Cultura e das Artes
15
12
3
9
11
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
16 17 18 19 20
Núm
ero
de a
luno
s
Classificações
Geometria Descritiva
Prova 935 | 2 de 8
Grupo II
2. Na figura está representado um sólido composto por uma pi-râmide quadrangular regular ABCDV assente numa das faces de um cubo ABCDEFGH.
Sabe-se que a aresta do cubo mede 80 cm e a altura da pi-râmide é metade da altura do cubo.
a. Para cada um dos pares de retas seguintes, indique a posição relativa dessas retas – paralelas, concorrentes perpendiculares, concorrentes não perpendiculares ou não complanares:
BC e EH AV e FG AV e EG AF e EB
b. Represente, com indicação das medidas dos segmentos que o limitam, o corte que se obtém neste conjunto de sólidos, quando intersetado pelo plano que contém as arestas AV e AE.
c. Determine a razão entre os volumes da pirâmide e do cubo.
d. Escolha um referencial do espaço para este sólido e represente-o na Folha de res-posta. Indique as coordenadas dos pontos V e H nesse referencial.
3. Considere, num referencial ortogonal e monométrico xOy, a reta r de equação
y = — x – 634
a. Indique, pelas suas coordenadas, dois pontos da reta r.
b. Comente a seguinte afirmação: “A reta s, de equação y = 0,75x + 4, é concorrente com a reta r e intersetam-se no ponto P(4, -3)”.
(continua na página seguinte)
A BC
V
EH
D
F
G
Prova 935 | 3 de 8
Grupo II (continuação)
4. A imagem ao lado representa um painel com um bor-dado tradicional de Viana do Castelo, pertencente ao museu da Escola Josefa de Óbidos.
O referido painel está ornamentado, a toda a volta, por um friso, cujo desenho é o seguinte.
a. Identifique todas as simetrias do friso, e represente, no friso da Folha de resposta, os elementos necessários à sua definição.
b. Comente a seguinte afirmação: “Se um friso tem uma simetria de reflexão vertical, então tem infinitas simetrias de reflexão vertical”.
Prova 935 | 4 de 8
Grupo III
5. Num determinado local do porto de Lisboa, foi medida a altura da água durante um perí-odo de 12 horas, com início às 7 horas de um determinado dia.
Com base nos dados, encontrou-se o seguinte modelo, em que h representa a altura da água em decímetros e t representa o número de horas decorrido após o início da ob-servação:
h(t) = -0,05 t3 + 0,48 t2 + 1,8 t + 11,2
a. Qual era a altura da água no porto de Lisboa, no início da observação? Apresente o resultado com aproximação às décimas.
b. Determine, em centímetros, a altura da água às 9 horas.
c. Durante quanto tempo a altura da água foi superior a 2 metros? Apresente o resulta-do com aproximação às décimas.
d. Qual a altura máxima da água? A que horas se verificou essa altura? Apresente os resultados com aproximação às décimas.
e. A que horas a altura da água voltou a ser igual à altura verificada às 12 h? Apresente o resultado com aproximação aos minutos.
Prova 935 | 5 de 8
Grupo IV
6. Na figura está representada a planificação de um poliedro ABCDEF. Sabe-se que:
▪ BCDE é um quadrado de lado 15 cm
▪ O triângulo ABC é retângulo em A
▪ CBA = 30°
a. Represente o poliedro ABCDEF em perspetiva, com legendas nos vértices e indicação das me-didas conhecidas.
b. Calcule, com aproximação às décimas de centí-metros quadrados, a área total da superfície do poliedro ABCDEF.
7. Um topógrafo pretende medir a distância entre dois pontos ‒ a entrada da casa A e a árvore alta B ‒ situados em margens opostas de um rio. Para isso, ele escolheu um ponto C ‒ a entrada de outra casa na margem em que está ‒ distante 78 metros de A ‒ e mediu os ângulos ACB e CAB, encontrando, respetivamente 108° e 57°.
Calcule a distância entre A e B, em metros.
Fim da prova
A
B
C
A
B E
F
DC
Prova 935 | 6 de 8
Cotações
Grupo I .................................................................................................... 30 1.a. .................................................................... 5
1.b. .................................................................... 5
1.c. .................................................................... 5
1.d. .............................................................. 8 + 7
Grupo II .................................................................................................... 70 2. ....................................................................................... 30
2.a. .................................................................... 8
2.b. .................................................................. 10
2.c. .................................................................... 6
2.d. .................................................................... 6
3. ...................................................................................... 20
3.a. .................................................................... 8
3.b. .................................................................. 12
4. ...................................................................................... 20
4.a. .................................................................. 12
4.b. .................................................................... 8
Grupo III ..................................................................................................... 60 5.a. .................................................................... 8
5.b. .................................................................. 10
5.c. .................................................................. 14
5.d. .................................................................. 14
5.e. .................................................................. 14
Grupo IV ..................................................................................................... 40 6. ...................................................................................... 20
6.a. .................................................................. 12
6.b. ..................................................................... 8
7. ...................................................................................... 20
Total ........................................................................................................ 200
Prova 935 | 7 de 8
FORMULÁRIO
Áreas de figuras planas
Losango:
Trapézio: × Altura
Polígono regular: Semiperímetro × Apótema
Círculo: π × raio2
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: π × raio da base × geratriz
Área de uma superfície esférica: 4 π × raio2
Volumes
Prisma ou Cilindro: Área da base × Altura
Pirâmide ou Cone: × Área da base × Altura
Esfera: π × raio3
Trigonometria
Lei dos senos:
Teorema de Carnot: a2 = b2 + c2 ‒ 2bc cos Â
Diagonal maior × Diagonal menor 2
Base maior + Base menor 2
1 3
4 3
asen A
= csen C
bsen B
=ˆ ˆ ˆ
Prova 935 | 8 de 8
PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - COD. 935FOLHA DE RESPOSTA
1.ª FASE - junho de 2013
PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - COD. 935FOLHA DE RESPOSTA
1.ª FASE - junho de 2013
NOME DO ALUNO ________________________________________________Número convencional
Número convencional
A preencher pela Escola
Utilize esta página para desenhar gráficos ou outras figuras que o ajudem a responder às questões.