知识迁移1. 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x , y ),角 α 的三角函数是怎样定义的?sin y cos x tan ( 0)y x
x
2. 三角函数在各象限的函数值符号分别如何? 一全正,二正弦,三正切,四余弦 .
3. 公式 , , ( ). 其数学意义如何? sin( 2 ) sink cos( 2 ) cosk tan( 2 ) tank
tan( 2 ) tank k Z
4. 角是一个几何概念,同时角的大小也具有数量特征 . 我们从数的观点定义了三角函数,如果能从图形上找出三角函数的几何意义,就能实现数与形的完美统一 .
终边相同的角的同名三角函数值相等 .
知识探究(一):正弦线和余弦线 思考 1 :如图,设角 α 为第一象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 , 都是正数,你能分别用一条线段表示角 α 的正弦值和余弦值吗?sin y cos x
P ( x ,y )O x
y
M| | sinMP y
| | cosOM x
思考 2 :若角 α 为第三象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 , 都是负数,此时角 α 的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示?sin y cos x
| | sinMP y
| | cosOM x P ( x , y )O x
y
M
思考 3 :为了简化上述表示,我们设想将线段的两个端点规定一个为始点,另一个为终点,使得线段具有方向性,带有正负值符号 .定义:规定了方向 ( 即规定了起点和终点 ) 的线段称为有向线段 .类似的 , 规定了正方向的直线称为有向直线 .
有向线段的数量有向线段的数量:根据有向线段:根据有向线段 ABAB 与与有向直线方向相同和相反有向直线方向相同和相反 ,, 分别把它的长度分别把它的长度添上正号或负号添上正号或负号 ,, 这样所得的数这样所得的数 ,, 叫做有向叫做有向线段的数量线段的数量
· · ·· ·· ··A B CA
AB=4 BA=–4 CB=–2
思考 4 :规定了始点和终点,带有方向的线段,叫做有向线段 . 由上分析可知,当角α 为第一、三象限角时, sinα 、 cosα 可分别用有向线段 MP 、 OM 表示,即 MP= sinα , OM=cosα ,那么当角 α 为第二、四象限角时,你能检验这个表示正确吗? P ( x ,y ) O x
y
M P ( x ,y )O x
y
M
知识探究(二):正切线
A
T
思考 1 :如图,设角 α 为第一象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 是正数,用哪条有向线段表示角 α 的正切值最合适?tan yx
P
O x
y
Mtan y ATx
A
T
思考 2 :若角 α 为第四象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 是负数,此时用哪条有向线段表示角 α 的正切值最合适?tan y
x
P
O x
y
Mtan y AT
x
A
TA
T P
O x
y
M
思考 3 :若角 α 为第二象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 是负数,此时用哪条有向线段表示角 α 的正切值最合适?tan y
x
tan y ATx
tan yx
思考 4 :若角 α 为第三象限角,其终边与单位圆的交点为 P ( x , y ),则 是正数,此时用哪条有向线段表示角 α的正切值最合适?
P
O x
y
MA
T
A
T
tan y ATx
思考 5 :根据上述分析,你能描述正切线的几何特征吗?
过点 A ( 1 , 0 )作单位圆的切线,与角 α 的终边或其反向延长线相交于点 T ,则 AT=tanα.
A
T
O x
yP
A
T
O x
yP
小结作业1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示,即用有向线段表示三角函数值,是今后进一步研究三角函数图象的有效工具 .2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化,余弦线和正切线的始点都是定点,分别是原点 O和点 A( 1, 0) .3. 利用三角函数线处理三角不等式问题,是一种重要的方法和技巧,也是一种数形结合的数学思想 .