1
0
)()()( dttyetyLsY st
0
)()()( dttyetyLsY st
La transformada de Laplace
2
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
dtetfsFtfL st
0
)()()}({
.iws
La transformada de Laplace
3
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
4
Observa que la transformada de Laplace es una
integral impropia, uno de sus límites es infinito:
0 0
( ) lim ( )h
s t s t
he f t dt e f t dt
( ) ( ),f t F sL
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
L
L
Notación:
5
Condiciones suficientes de existencia de la TL
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
),0[,|)(| tMetf at
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
0|)(|lim
bt
tetftqb
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existe s > a.
dtetfsFtfL st
0
)()()}({
6
Unicidad de la TL
Si f1(t) y f2(t) poseen la misma TL:
)()()(
:por definida nulafunción lay0
0)(
21
0
tftftN
N(t)a
dttNa
L{f1(t) } = L{f2(t) }= F(s),
entonces el teorema de Lerch garantiza que
7
se
sdtesFL tsst 11
1)(1
0
1
0
Calcula la transformada de f(t) = 1:
ssFtf
1)(1)(
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
8
1
0
1
0
1
0
0 )(
nstn
stn
stnstnn
tLs
ndtet
s
n
dts
ent
s
etdtetsFtL
Calcula la transformada de f(t) = tn:
1
!)()(
nn
s
nsFttf
10
1
!
1
nn
nn
s
ntL
stL
tLs
ntL
9
1
1
1
1
)(
0
1
0
1
0
se
s
dtedteesFeL
ts
tssttt
Calcula la transformada de f(t) = e-t:
1
1)()(
ssFetf t
10
asas
Ae
as
A
dtAedteAesFAeL
tas
tasstatat
,)(
)(
0
0
0
Calcula la transformada de f(t) = Aeat:
asas
AsFAetf at
,)()(
11
dteatsens
a
s
adt
s
eatsena
s
eat
s
a
dts
eata
s
eatsendteatsensFatsenL
ststst
ststst
0 22
0
0
0
0
0
)()()cos(
)cos()()()()(
Calcula la transformada de f(t) = sen(at):
22)()()(
as
asFatsentf
222
2
2
2
;1as
aI
s
aI
s
a
Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)
12
)()cos(
11
)(
)()cos(
2222
22
0
0
0
atseniLatLas
ai
as
s
as
ias
ias
ias
iase
ias
dtedteesFeL
atseniate
tias
tiasstiatiat
iat
Calculemos la transformada de f(t) = eiat:
13
c
1
t
0 if ( )
1 if
t cu t c
t c
La función Heaviside o escalón unidad:
c0
1
0
1 1
( ) ( ) lim
lim lim ( )
hs t s t
hc
h s cs t s h s cs sch h
u t c e u t c dt e dt
ee e e s
L
14
Función delta de Dirac
/1
a a
área = 1Sea la función parametrizada:
t
)(lim)( 0 tfat
s
ee
s
e
s
etfL
sas
saas
11
)()(
ass
ass
as es
see
s
eetfL
000 lim1
lim)(lim
)(tf
)()(1
)( atuatutf
Observemos que
15
ta
1)(
)(
tL
eatL as
)( at )(t
Así la transformada de la función delta de Dirac es:
16
Funciones periódicas
Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T. Entonces:
)(1
1)()( 1 sF
etfLsF
sT
donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t) sobre el primer periodo y cero fuera.
T
st dttfesF0
1 )()(
t t
T
17
)()(
)()(
,)()(
)()(
)()(
0
00
0
)(
0
0
0
sFedttfe
dfeedttfe
TtdTfedttfe
dttfedttfe
dttfesF
sTT
st
ssTT
st
TsT
st
T
stT
st
st
Demostración
18
Ejemplo: onda cuadrada
a 2a
aT 2
)(1
1)( 12
sFe
sFas
asasa
a
sta
st ees
dtedttfesF 222
0
1
1)()(
)1(
1
)1()(
2
2
asas
asas
eses
eesF
19
Tabla de transformadas de Laplace
2 2
2 2
2 2
2 2
1
sen
cos
sen
cos
!
at
at
n atn
ts
st
s
e ts a
s ae t
s a
nt e
s a
ase
s
nt
t
s
t
at
nn
1
!
s
1
1 1
1
1
2
20
21
22
23
24
25
La TF es un caso particular de la TL
dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([
Supongamos que es complejo: = + i
dteetfdtetfif tittii )()()(ˆ )(
Antitransformando tendríamos (observa que es la variable conjugada):
deifetf tit )(ˆ2
1)(
26
Recordemos que = + i . Si tomamos constante:
deife
tf tit
)(ˆ2
)(
deiftf tii )()(ˆ2
1)(
)Im(
)(ˆ2
1)( deftf ti
didd )(
Llegamos a la integral compleja:
27
Re ()
Im()
-γ
tief )(ˆ es analítica para
todo perteneciente a la región en rojo.
)Im(
)(ˆ2
1)( deftf ti
Camino de integración: cte y de -∞ a +∞.
Donde suponemos un tal que
Haciendo s = i = i( + i) llegamos a la transformada de Laplace.
28
Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:
conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.
i
i
st tdsesFi
tfsFL
0,)(
2
1)()}({1
Transformada inversa de Laplace
29
Re(s)
Im(s)
γ
i
i
st tdsesFi
tfsFL
0,)(
2
1)()}({1
γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas lassingularidades de F(s) queden a su izquierda.
Con condiciones de existencia:
)(lim)2(
0)(lim)1(
ssF
sF
s
s
30
Por ejemplo, determinemos:
Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1, entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el contorno de integración C de la figura.
21
)1(
1
sL
Re(s)
Im(s)
γ=0-1
C1R
-R
ds
s
e
idsesF
i C
sti
i
st2)1(2
1)(
2
1
iR
iRC
stst
s
e
ids
s
e
i1
22 )1(2
1
)1(2
1
0 por la desigualdad ML cuando R→∞ con t≥0.
21
121 )1(
1lim
)1(Res
2
2
sLtee
ds
d
s
e
i
i tst
s
st
s
Haciendo R→∞ y utilizando teoría de residuos:
31
Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para todo s del semiplano Re(s) γ y |s| > R, tenemos que
ks
msF |)(|
).( de polos losson s,...,s,s donde
)(Res)}({
n21
1
1
sF
sFesFLn
k
st
ss k
Entonces si t > 0:
En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s) polinomios de grado n y d respectivamente, d > n; entonces podemos usar la igualdad anterior.
32
Ejemplo, determinar:
21
)1)(2(
1)(
ssLtf
.1sy 2s :doble otroy simple uno polos, dos posee
)1)(2()(
21
2
ss
esFe
stst
9
3
2lim
)1(lim
)1)(2(Res
)1)(2(Res)(
2
122
2122
tttst
s
st
s
st
s
st
s
etee
s
e
ds
d
s
e
ss
e
ss
etf
33
1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente; entonces:
).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL
La transformada de Laplace es un operador lineal.
Propiedades
34
)()(
)()(
)()(
)()(
2211
0 22
0 11
0 2211
2211
tfLctfLc
dtetfcdtetfc
dtetfctfc
tfctfcL
stst
st
Demostración:
35
2. Desplazamiento temporal
)(
)(
)(
)()()(
)()(
0
0
0
0
0
0
0
00
0
sFe
tt
dfee
dtttfe
dtttuttfesX
dttfesF
st
sst
t
st
st
st
0
000 ,0
),()()()(
tt
ttttfttutftg
)()}()({
)()}({0
0 sFettutfL
sFtfLst
36
Ejemplo:
3
31
s
eL
s
3
2 2
stL
332 2
)3()3(s
etutL s
)3()3(2
1 23
31
tuts
eL
s
3t
37
)(
)()()(
)()(
0
)(
0
0
asF
dttfedttfeesX
dttfesF
tasatst
st
22 )(
11
asteL
stL at
3. Desplazamiento en frecuencias
Ejemplo:
)()}({
)()}({
asFtfeL
sFtfLat
38
4. Cambio de escala en tiempo
)/()/1(
)(1
)()(
)()(
0
)/(
0
0
asFa
atdfea
dtatfesX
dttfesF
as
st
st
a
sF
aatfL
sFtfL
1)}({
)()}({
39
5. Derivada de la transformada de Laplace
)(
)(
)()(
)()(
0
0
0
ttfL
dtttfe
dttfeds
dsF
ds
d
dttfesF
st
st
st
)()(
)}({)(
ttfLsF
tfLsF
40
6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función
La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:
donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.
La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:
)0()()}('{ fssFtfL
)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL
41
En forma similar:
Demostración:
)0()0(')0()()}({ )1(21)( nnnnn ffsfssFstfL
)0()()()0(
)()()(')('
0
00
0
fssFdttfesf
dttfsetfedttfetfL
st
ststst
0)(lim
tfe st
t
42
Supongamos que:
)0()0(')0()()}({ )2(321)1( nnnnn ffsfssFstfL
)0()0(')0()(
)0()()()0(
)()()()(
)1(21
)1()(
0
)1()1(
0
)1(
0
)1(
0
)()(
nnnn
nnnstn
nstnstnstn
ffsfssFs
ftfsLdttfesf
dttfsetfedttfetfL
Entonces: 0)(lim )1(
tfe nst
t
43
44
Gracias a esta propiedad y a la linealidad de la TL podemos convertir una ec. diferencial como
" 3 ' 4 ( 1)
(0) 1, '(0) 2
y y y t u t
y y
en una ec. algebraica
Resolver paray(t)
Resolver para Y(s)
Ec. Diferencial
Transformada de Laplace
Ec. Algebraica
Si resolvemos la ec. algebraica:
2
2 2
( 1) ( 1)( )
( 3 4)
s ss s e eY s
s s s
y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), encontraremos la solución de la ec. diferencial.
Ec. Algebraica
Solución de la Ec. Diferencial
Inversa de la Transformada
de Laplace
La transformada inversa de Laplace de:
es
4 43 32 15 80 4 16
4325 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
2
2 2
( 1) ( 1)( )
( 3 4)
s ss s e eY s
s s s
4 43 32 15 80 4 16
4325 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
es la solución de la ec. diferencial:
" 3 ' 4 ( 1)
(0) 1, '(0) 2
y y y t u t
y y
De modo que:
Para conseguirlo hemos aplicado:
Primero, que la TL y su inversa son lineales:
1 1 -1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )
cf t g t c f t g t
cF s G s c F s G s
L = L +L
L = L +L
2
'( ) ( ) (0),
''( ) ( ) (0) '(0)
f t s f t f
f t s f t s f f
L = L
L = L
and
etc...
Y segundo, la TF de las derivadas de una función son:
A este método se le conoce como cálculo de Heaviside.
Por ejemplo:
012
1
012
01
)0()0(')0()(
0)()}0()({)}0(')0()({
0)()(')(''
asas
fafsfsF
sFafssFafsfsFs
tfatfatf
Y antitransformando obtendremos la solución.
Veamos un ejemplo concreto: Resolver la ec. diferencial
)4)0(y0()(2)(' 3 ftetftf t
tt
t
tt
eetfss
sF
ssFssF
ssFfssF
eLtfLtfL
etftfLetftf
32
3
33
5)(3
1
2
5)(
03
1)(24)(
03
1)(2))0()((
0}{)}({2)}('{
0})(2)('{;0)(2)('
54
Ejemplo
Resolver
2222 )1()1(
1)(
s
e
ssY
s
0)0()0(,0
0sin
yyt
ttyy
11
1
)sin()(sin
sin)(sin)()(
22
2
s
e
s
ttutL
ttutLsYsYs
s
tt
tttt
ttttutttty
cos
0cossin
)cos()()sin()(cossin)(
21
21
21
21
55
Ejemplo:
2
1
1
1
23
1)(
)(2)(3)(
2
2
sse
ssesY
esYssYsYs
ss
s
)1(2)1()1()( tt eetuty
Resolver 0)0()0(),1(23 yytyyy
56
7. Transformada de Laplace de la integral de una función
s
sFtfL
sduufL
t )()}({
1)(
0
)(1
)(11
)(
)()(
)()(
000
00
0
sFs
dttfes
es
df
dtdfesX
dttfesF
ststt
tst
st
Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p ≥ 0, entonces:
para Re(s) > p.
57
s
sFduufL
t )()(
0
)(2
)(1
1
1
1}{;
2
20
sarctguarctgduut
tsenL
stsenLdte
t
tsen
t
tsenL
ss
st
sduuF
t
tfL )(
)(
)()(con tfLsF Ejemplo:
8. Transformada de Laplace de f(t)/t
58
)cos()()(Si attftg
24
222
2222
0
4
2
222
2
)()()()(
)(1
)(
as
aaisa
aisa
i
aiasa
aiasa
i
dtet
atsensG
atsent
tg
st
2
)()()(
iasFiasFsG
acon
Ejemplo:
)()()(Si atsentftg
2
)()()(
iasFiasFisG
acon
9. TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at)
59
10. Teorema del valor final
Si existe, entonces:
11. Teorema del valor inicial
El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:
)(lim tft
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)(lim)(lim)0(0
ssFtff st
60
Recordemos que
la operación se conoce
como la convolución de y y se denota como
La transformada de Laplace de esta operación está dada por:
dtff )()( 21
)(1 tf ),(2 tf
)}({)}({)}(*)({
)()()}(*)({
2121
2121
tfLtfLtftfL
sFsFtftfL
).(*)( 21 tftf
12. Integral de convolución
61
0,0
0,)()()(*)( 0
t
tdtgftgtft
Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda:
Así que para estas funciones podemos definirla convolución como:
t
tdtgftgtf0
)0(,)()()(*)(
62
44
1
2
)()()(*)(
2
0
22
0
)(2
ttt
t t
etdee
dedtgftgtf
)}({)}({)}(*)({ 2121 tfLtfLtftfL Ejemplo: Verificar que funciona para f(t) = t y g(t) = e-2t
con valores 0 para t < 0.
)2(
1
)2(
1
4
11
4
11
2
1
}{4
1}1{
4
1}{
2
1
44
1
2
2
2
2
2
ss
sss
eLLtL
etL
t
t
)2(
1
)2(
11
)2(
1}{;
1}{
22
22
ssss
seL
stL t
63
De hecho, podemos utilizar la convolución para encontrar transformadas inversas de Laplace:
1
1
11
)1(
1
0
21
21
tede
etss
Lss
L
tt
t
t
64
1
1)(
41)(;
1
10)}(*{41)(
1
1)0()}({4)0()(
}{)(4)(;)()(4)(
)(1
)}({}{
)()(*
0
2
ssX
sssX
stxtLsssX
shthsLxssX
eLthdt
dLtx
dt
dLedssxst
dt
dtx
dt
d
sXs
txLtL
tt
thtxt
t
1)0(;)()(4)(0
xedssxsttx
dt
d tt
Resolver la ec.integro-diferencial:
65
ttt eeetx
ssssX
sss
ssX
ssX
sssX
22
2
3
1
3
1)(
2
1
3
1
2
1
1
1
3
1)(
)3)(2)(1()(
1
1)(
41)(
Antitransformando:
66
Raíces del denominador D(s) o polos de F(s):
Caso I – Polos reales simples
Caso II – Polos reales múltiples
Caso III – Polos complejos conjugados
Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples
)( as 2)( as
))(( *asas
01
1
01
1
)(
)()(
bsbs
asasa
sD
sNsF
mm
m
nn
nn
Desarrollo en fracciones parciales: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.
2*))(( asas
67
Caso I – Polos reales simples )( as
32
)3)(2(
1
6
1
)(
)()(
23
s
C
s
B
s
A
sss
s
sss
s
sD
sNsF
Ejemplo
as
A
68
15
2
)2(
1
3
10
3
)3(
1
2
6
1
)3)(2(
1
3
2
0
s
s
s
ss
s
s
C
ss
s
s
B
ss
s
s
A
32)3)(2(
1)(
s
C
s
B
s
A
sss
ssF
assD
sNasA
)(
)()(
69
)3)(2(
)2()3()3)(2(326
123
sss
sCssBsssAs
C
s
B
s
A
sss
s
)2()3()3)(2(1 sCssBsssAs
Ass
s
s
0)3)(2(
1
)6()23()(
)2()3()6(12
222
ACBAsCBAs
ssCssBssAs
16;123;0 ACBACBA
métodoalternativo
y resolver...
70
3
1
15
2
2
1
10
31
6
132
6
1)(
23
sss
s
C
s
B
s
Asss
ssF
La transformada inversa de Laplace es:
tt eetf 32
15
2
10
3
6
1)(
71
Otro ejemplo
2
1
1
2
1
1
211
)2)(1)(1(
372
)2)(1(
372)(
2
2
2
ssss
C
s
B
s
A
sss
ss
ss
sssF
1)1)(3(
3148
)1)(1(
372
2)3)(2(
372
)2)(1(
372
1)1)(2(
372
)2)(1(
372
2
2
1
2
1
2
s
s
s
ss
ssC
ss
ssB
ss
ssA Transformada inversa de Laplace:
ttt eeetf 22)(
72
Caso II – Polos reales múltiples 2)( as
12)1)(2(
44
)(
)()(
22
23
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
ss
sD
sNsF
Ejemplo
)()( 2 as
B
as
A
Polos realessimples
Polos realesmúltiples
73
3)1)(2(
44
2)1)(2(
44
0
230
23
2
s
s
ss
ss
ds
d
s
B
ss
ss
s
A
assD
sNasA
)(
)()( 2
assD
sNas
ds
dB
)(
)()( 2
)1)(2(
44)(
2
23
sss
sssF
74
Transformada inversa de Laplace:
tt eettf 232)(
1
1
2
113
12
12
)1)(2(
44)(
2
2
2
23
ssss
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
sssF
75
En general, para polos reales múltiples:
sN
sDsF n
r pspspssD 21
n
nr
rr
r
ps
a
ps
a
ps
a
ps
b
ps
b
ps
bsF
3
3
2
2
1
11
1
1
1
1
1!
1
ps
r
j
j
jr pssFds
d
jb
ipsii pssFa
1
1
1
1
]))(([)!1(
1
]))(([!
1
]))(([
]))(([
11
1
1
1
11
1
ps
rr
r
ps
rj
j
jr
ps
rr
psr
r
pssFds
d
rb
pssFds
d
jb
pssFds
db
pssFb
76
Caso III – Polos complejos conjugados
ejemplo
))(( *asas
iaas
B
as
B
s
A
ss2,
)4(
4*
*
2
2
1
)2(
4
2
1
)2(
4
14
4
2
*
2
02
is
is
s
issB
issB
sA
conjugados complejos
*
11
2
11
asass
Transformada inversa de Laplace:
)2cos(1)( ttx
77
ejemplo
iaas
B
as
B
ss
s43,
256
4*
*
2
)4(8
1
43
4
)4(8
1
43
4
43
*
43
iis
sB
iis
sB
is
is
Transformada inversa de Laplace:
)cos(2)( teBtf t
245.0,4,3
,8
17),4(
8
1
BiB
)245.04cos(4
17)( 3 tetf t
donde
78
Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III,teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.
Caso IV – factores complejos conjugados múltiples
2*))(( asas