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SUBMÓDULO IV
NOÇÕES DE MATEMÁTICA
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Estrutura do Submódulo Estrutura do Submódulo
SUBMÓDULO IV: NOÇÕES DE MATEMÁTICA
Unidade 1 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos
(Parte 1);
Unidade 2 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos
(Parte 2);
Unidade 3 – Introdução à Álgebra.
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Unidade 1
Revisão Geral dos
Conceitos Básicos (Parte 1)
4
Apresentação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos conceitos básicos da matemática, abrangendo: •Operações com números inteiros;•Operações com números negativos;•Potenciação;•Lei distributiva;•Ordem das operações.
Avançar no uso da matemática é pré-requisito para a continuidade dos estudos profissionalizantes ou universitários.
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1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.1 Adição (+) e Subtração (-)
Comutativo:•Nome matemático dado a certas operações;•Significa que se pode fazer a operação em qualquer ordem;•A adição é comutativa, pois que:
2 4 significa a mesma coisa que 4 2 •A subtração não é comutativa, pois:
21 6 não significa a mesma coisa que 6 21
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1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.1 Adição (+) e Subtração (-) Pode-se rearranjar a ordem de uma soma envolvendo adições e subtrações, mas é preciso manter o número com o sinal exato que o precede.
Por exemplo:a)3 5 3 4 7 3 3 3 3 4 5 7
b) 6 7 10 2 1 2 6 7 2 10 1 2
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1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.2 Multiplicação (x ou ) e Divisão (, / ou )
•A multiplicação é uma operação comutativa:
a) 3 4 5 5 4 3•A justaposição indica a multiplicação quando se utilizam letras para representar quantidades:
a) 3a significa 3 a e xy significa x y
b) ab3a 3aab •A divisão não é comutativa, pois 4 2 2 4.
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1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.3 Índices ou Potências•Notações abreviadas;•Quantas vezes um número é multiplicado por si mesmo:
a)
b) •Um índice negativo indica que a potência deve estar no denominador, com o número um no numerador:
a)
b)
000.1101010103
3
4
4 XXXXX
1001
10101
10110 2
2
yyyyy
11
33
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1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão
Zero:• Qualquer quantidade multiplicada por zero é zero;
• O zero multiplicado por qualquer quantidade é
zero; a)
b)
c)
08008
0045621
456210
03003 aa
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1.Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão
Zero:• O zero dividido por qualquer quantidade é zero:
• A operação de dividir por zero “não é definida”. Assim:
020 0200 080
a
definidos são não 016 e 035
b
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1. Introdução: Operações com Números Inteiros
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.4 Regras Adicionais Associadas com Multiplicação e Divisão
Um:• A multiplicação de qualquer número por um
significa que seu valor permanece o mesmo:a)
b)
c)
aaa 11
51515
10984781
10984781
1098478
12
2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Adição e subtração:•Quando se subtrai um número positivo (ou se soma um número negativo), se move o ponto para a esquerda e se obtém um número menor.
•A representação abaixo é da operação 3 5 2.
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2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Adição e subtração:•Quando se soma um número positivo (ou se subtrai um número negativo), se move o ponto para a direita e se obtém um número maior.
•A representação abaixo é da operação: 3 7 4.
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2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
• Subtrair um número positivo e adicionar um número negativo resulta em um movimento à esquerda;
• Adicionar um número positivo e subtrair um número
negativo resulta em um movimento à direita:
62 que do resultado mesmo o dá 62 410 que do resultado mesmo o dá 410
b)a)
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2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Multiplicação e divisão:•Veja o que acontece com o sinal:
a) 4 5 20 e 4 5 20
b)4 5 20
•Então:
) ) ) ) ) ) ) ) 623 exemplopor
623 exemplopor 623 exemplopor
623 exemplopor
abbaabbaabbaabba
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2. Operações com Números Negativos
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
• Da mesma forma, tem-se:
• Multiplicar ou dividir duas quantidades com o mesmo sinal dá um resultado positivo;
• Multiplicar ou dividir duas quantidades com sinais diferentes dá um resultado negativo.
) )
) )
) )
) ) 248 exemplopor
248 exemplopor
248 exemplopor
248 exemplopor
baba
baba
baba
baba
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3. Potenciação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
O sistema numérico:•Para a esquerda, aumenta em potências de 10;•Para a direita, diminui em potências de 10.
No número 123.456,78:•O número 1 diz quantos 100.000 existem,•O número 4 indica o número de centenas (100),•O número 7 indica o número de dezenas (10).
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3. Potenciação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
• Ao multiplicar dois números juntos, tal como:200 3.000
• Usa-se o sistema do lugar do valor para representar:(2 100) (3 1.000)
• Pode-se reescrever como: ) ) ) )
000.600000.3200000.1006000.3200
000.110032000.3200000.131002000.3200
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3. Potenciação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
3.2 Informações sobre as Calculadoras
A notação científica:•Quando o número for muito grande ou muito pequeno;•Consiste de escrever o número em duas partes:•A primeira parte é um número entre 1 e 10;•A segunda parte é a potência de 10.
Exemplos:•2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2 106.•0,00345 seria escrito como 3,45 10-3.
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3. Potenciação
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Exemplos:•2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2 106.•0,00345 seria escrito como 3,45 10-3.
No caso de 1 987654321, tem-se que:1 987654321 1,0125-09 0,0000000010125
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4. Lei Distributiva
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Suponha que você tenha quatro crianças e que cada criança requer um penal ($ 2,50), uma régua ($ 1,25), um livro de exercícios ($ 2,25) e um conjunto de lápis coloridos ($ 12) para a escola. Uma forma de calcular o custo é multiplicar cada item por 4 e somar o resultado:
) ) ) ) 72$48$9$5$10$00,12$425,2$425,1$450,2$4
22
4. Lei Distributiva
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Mas, não seria mais fácil calcular o custo de uma criança e então multiplicá-lo por 4?
sendo que:
A Lei Distributiva na matemática:•O cálculo envolvendo parênteses,•Calcula-se primeiro o que está dentro dos parênteses.
) 72$400,18$412$25,2$25,1$50,2$
) ) ) ) ) 412$25,2$25,1$50,2$00,12$425,2$425,1$450,2$4
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5. Ordem das Operações
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Considere a seguinte situação. Você trabalhou das 14h00 às 21h00 em um projeto. Como lhe foi exigido que a tarefa fosse concluída no dia seguinte, você pode pedir horas-extras. As taxas das 9h00 às 17h00 são de $ 25,00 por hora e das 17h00 até a meia noite aumentam para $ 37,50. Matematicamente, isso pode ser expresso como. Quanto você ganhou?
Cálculo 1 Cálculo 2
) )00,225$ 50,962.2$
50,37$4$25,003 50,37$4755037400253 50,37$400,25$3
,$,$
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5. Ordem das Operações
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
A resposta certa é a do cálculo 2 ($ 225,00).
Convenções estabelecidas: •Parênteses: avaliar a expressão que está dentro dos parênteses primeiro. Ex.:•Potências: avaliar as expressões elevadas à potência.
Ex.:•Divisão e multiplicação: dividir ou multiplicar da esquerda para a direita. Ex.:•Adição e subtração: somar ou subtrair da esquerda para a direita. Ex.:
) 853
) 6453 2
10330356
11474294254
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6. Conclusões
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
O exercício de qualquer atividade profissional exige conhecimentos básicos de matemática.
Nesta unidade, foram explorados:•Conhecimentos básicos sobre operações com números inteiros, negativos, potenciação;•Algumas regras sobre a condução de operações, a partir da lei distributiva e da ordem das operações.
Tais conhecimentos evitam o uso indevido da matemática e aumentam as chances de que o indivíduo seja absorvido pelo mercado.
26
Unidade 1: Exercícios de Fixação
1) Responda às seguintes questões com verdadeiro (V) e falso (F):a. ( ) A soma é uma operação comutativa.b. ( ) A subtração é uma operação comutativa.c. ( ) A ordem dos fatores altera o produto.d. ( ) A divisão é uma operação comutativa.e. ( ) A operação comutativa está relacionada com a ordens dos elementos para a realização dos cálculos.
2) Resolva as seguintes questões, apresentando os cálculos correspondentes: a. 55
R.: b. 5-5
R.:
27
Unidade 1: Exercícios de Fixação
c. R.: d. R.: e. R.: f. Represente a operação 10 500.000 na forma geral e na forma reduzida.R.:
0000.000.1
000.000.20
0000.000.2
28
Unidade 1: Exercícios de Fixação
g. Você tem quatro trabalhadores em sua empresa e terá de comprar um par de botas ($ 100,00), um uniforme ($ 120,00) e um capacete ($ 50,00) para cada um. Utilizando-se a lei distributiva, demonstrar quanto você irá desembolsar.
R.: h) O trabalhador tem seu expediente na fábrica das 14h00 às 22h00,
pelo qual recebe $ 10,00 por hora. Quando faz hora extra, o indivíduo recebe 50% adicionais por hora trabalhada. Digamos que você tenha trabalhado um turno completo e feito mais duas horas extras, quanto você recebeu no final deste dia?
R.:
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Unidade 2
Revisão Geral dos
Conceitos Básicos (Parte 2)
30
Apresentação
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos conceitos básicos da matemática, abrangendo: •Cálculos envolvendo decimais;•Cálculos envolvendo frações;•Cálculos de porcentagens;•Intercambiando frações, decimais e porcentagens.
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1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Os zeros à direita de um ponto decimal não têm valor:
No entanto, tais números têm determinada precisão:•10,4 diz que esse número tem a precisão decimal,•o número 10,400000 tem uma precisão em milionésimos.
400000,1040,104,10
32
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.1 ArredondamentosArredondamento de 1,25687 para duas casas decimais:1.Olhar a casa decimal que está após o número para o qual se deseja o arredondamento. Nesse caso, é a terceira casa;2.Se o número é 6, 7, 8 ou 9, arredondar para cima. No exemplo, o número arredondado resulta em: 1,26;3.Se o número é 0, 1, 2, 3 ou 4, o arredondar para baixo.
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1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.1 ArredondamentosArredondamento de 2,47568 para três casas decimais:1.Se o número na casa decimal após a casa para a qual se deseja arredondar é o número 5, olhar para os números que o seguem. No exemplo, os números 568.2.Se o número 568 estiver mais próximo de 600, arredondamos o 5 para cima, caso contrário, para baixo. Dessa forma, o número será arredondado para 2,476.3.Se somente um 5 seguir a casa na qual se está interessado, arredondar ou para cima ou para baixo, pois ele está exatamente no meio termo entre 0 e 10.
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1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.2 Adição e Subtração de DecimaisPara somar ou subtrair números decimais, deve-se primeiro alinhar o ponto decimal. Por exemplo:
775,52
250,2 77529 025,0
6,475 500,25250,36 000,25
47562536 e 252025052525
,
,,,,,
35
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.3 Multiplicação de DecimaisDuas decimais são multiplicadas juntas, da mesma forma como o são dois números inteiros:•Primeiramente, proceder a multiplicação, ignorando as casas decimais;•Então, contar o número de dígitos após o ponto decimal em ambos os números e somá-los em conjunto;•Finalmente, retorne o ponto decimal à posição apropriada no produto através da contagem para trás a partir do dígito do lado direito.
36
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.3 Multiplicação de Decimais
Por exemplo: calcular1.Multiplicar 26 por 5: 26 5 130;2.Contar o número de dígitos após o ponto decimal 1 + 3 4;3.Retornar o ponto decimal para o produto, quatro casas antes do dígito do lado direito, somando zeros, se for necessário:
005,06,2
4
0130,0
37
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1.4 Divisão de DecimaisPara dividir números com decimais por números inteiros:•Colocar o ponto decimal na resposta, exatamente onde ele ocorre no número decimal. Por exemplo: •Mover o ponto decimal no divisor (denominador) à direita, o suficiente para que ele se torne um número inteiro;•Mover o ponto decimal no dividendo (numerador) o mesmo número de casas à direita (somando zeros se necessário);•Realizar a divisão. Alguns exemplos:
034,07238,0
5005250005,025 8,034,23,024,0
b)a)
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2. Cálculos Envolvendo Frações
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
39
2. Cálculos Envolvendo Frações
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2.1 Alterar Números Mistos para Frações Impróprias•A fração pode ser expressa como , pois existem 15
quintos em 3 inteiros mais 4 quintos.•Isso pode ser feito pela multiplicação do número inteiro pelo denominador e somando o numerador
543
519
)19453
40
2. Cálculos Envolvendo Frações
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2.2 Alterar Frações Impróprias para Números Mistos•As frações impróprias são frações nas quais o numerador é
maior do que o denominador, como por exemplo:•O processo para chegar no número misto apropriado é o seguinte:
512
522
512
:então52 restam 2512
41
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2.3 Multiplicação de Frações•Representar as frações em sua forma•Multiplicar os numeradores juntos e, então, multiplicar os denominadores juntos. Por exemplo:
2.4 Divisão de Frações•É o mesmo que multiplicar por sua recíproca.•A recíproca de uma fração é a fração . Assim, o recíproco de é , o recíproco de é e o recíproco de 5 é .•Logo, para dividir por é o mesmo que multiplicar por
Por exemplo:
ba
541
59
1018
52181
518
21
533
21
ba
ab
43
34
21
12
51
32
23
76
1412
2734
23
74
32
74
42
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2.5 Adição e Subtração de Frações•Converter as frações, para que tenham o mesmo denominador.•Duas frações são equivalentes se elas representam a mesma parte de um inteiro.• é equivalente a , pois elas representam a mesma quantia.•Para encontrar as frações equivalentes, multiplicar o topo e a base de uma fração pela mesma quantia. Por exemplo:
Encontrar as frações equivalentes para cada parte da soma, e, então, somar ou subtrair os numeradores, como por exemplo:
32
64
216
3732
4212
6762
144
2722
72
125
1249
124
129
4341
3433
31
43
2113
2176
217
216
7371
3732
31
72
b)
a)
43
3. Cálculos de Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
• Porcentagens são frações com o denominador de 100;
• Às vezes não há 100 elementos para expressar uma fração ou uma porcentagem, encontrar uma
• Encontrar uma fração equivalente de 100, multiplicando por 100, que é o mesmo que multiplicar por 1, como nos exemplos:
%40%5
20010052
52ou %40
10040
205202
52
%30%10300100
103
103ou %30
10030
1010103
103
%5%20
100100201
201ou %5
1005
52051
201
%
%
%
c)
b)
a)
44
3. Cálculos de Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Para encontrar uma porcentagem, primeiro encontrar a fração. Se existem 15 homens, 13 mulheres e 22 crianças em um grupo, a fração de homens no grupo é de , pois existem 50 pessoas (15+13+22) no grupo. Você pode multiplicar por 100% e verificar que os homens correspondem a 30% do grupo
%30%50
1500%1005015
45
4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4.1 Transformando Frações em Decimais•Para expressar uma fração como uma decimal, dividir o número do topo (numerador) pelo número da base (denominador).•Assegurar-se de colocar um ponto decimal depois do numerador e somar alguns zeros, como por exemplo:
75,0400,3 como expressadoser pode 43
46
4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4.2 Transformando Frações em Porcentagens•Deve-se expressar a fração como uma decimal e, então, multiplicar o resultado por 100%.•Isso pode ser feito mudando o ponto decimal para duas casas à direita, como por exemplo: •Quando o denominador da fração a ser convertida segue uniformemente a 100, a porcentagem pode ser encontrada usando frações equivalentes:
%5,37%10037508000383
,,
%60%100600,010060
2020
53
10060
53
47
4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4.3 Transformando Porcentagens em Decimais•Para converter uma porcentagem em uma decimal, divide-se por 100.•Isso pode ser feito mudando-se o ponto decimal duas casas à esquerda.•Se não existe um ponto decimal, colocar um ponto decimal à direita do número inteiro, como por exemplo:
07,0%0,7%7 e 005,0%5,0 e 458,0%8,45
48
4. Intercambiando Frações, Decimais e Porcentagens
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4.4 Ordenando Frações, Decimais e Porcentagens•Para comparar números é usual fazer a conversão em decimais, •Escrever os números abaixo um do outro, alinhando-os pelos pontos decimais.•Preencher todos os espaços com zeros.•Comparar primeiro o alinhamento dos números inteiros,•então comparar o lado da fração.
Por exemplo, para expressar os números na ordem dos menores para os maiores: 3 ;
10046 ;
53 47%; 0,54; 5,3%; 0,5;
49
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Passos:1.Converter todos os números em decimais:
2.Alinhar os números:
3.Preencher todos os espaços com zeros:
3 0,46; 0,6; 0,47; 0,54; 0,053; 0,5;
30,460,60,470,540,0530,5
00000000
00
3,0,460,60,470,540,0530,5
50
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4. Comparar os números inteiros. Se existe um alinhamento, comparar o lado das frações. Como seis dos números começam com zero, podemos comparar o lado direito:
5. Expressar os números do menor para o maior:
60054050047046053
3;53;540;50%;47;
10046%;35 , , ,
51
5. Conclusões
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Nesta unidade, foram explorados:•Conhecimentos básicos sobre operações com decimais, frações, porcentagens;•Conhecimentos de como que tais elementos podem ser combinados nos cálculos.
Tais conhecimentos são básicos para que o indivíduo aumente suas chances de ser absorvido pelo mercado.
52
Unidade 2: Exercícios de Fixação
1) Resolva as seguintes questões, apresentando os cálculos correspondentes: a.Calcular as somas incluindo decimais:
R.: b. Calcular a multiplicação incluindo decimais:
R.: c. Calcular a divisão incluindo decimais:
R.:
475564504 e 2510025257555 ,,,,,
0125,08,15
5555,0
53
Unidade 2: Exercícios de Fixação
d. Expressar a fração imprópria para um número misto.
R.: e. Expressar o número misto em uma fração imprópria.
R.: f. Proceder a multiplicação de frações:
R.: g. Proceder a divisão de frações:
R.:
150200
5504002
512
21
41
37
54
Unidade 2: Exercícios de Fixação
h. Formule a porcentagem:
R.: i.Formule a porcentagem:
R.: j: Transformar a fração em porcentagem.
R.: k: Transformar a porcentagem em decimal.
R.:
2010
20110
8912
%77
55
Unidade 3
Introdução à Álgebra
56
Apresentação
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Este tópico dá continuidade ao resgate dos conceitos matemáticos básicos, visando aumentar a qualificação e aumentar as chances do indivíduo no mercado de trabalho. Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno no uso da álgebra como forma de representar os cálculos matemáticos, reduzindo sua complexidade e ampliando seu alcance.
57
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Procedimento para resolver problemas que envolvam grandezas relacionadas, onde se determina por proporções (frações) o valor de uma destas, conhecendo a relação desta proporção com a proporção das demais grandezas.
Grandeza abrange tudo aquilo que pode ser medido ou contado.
58
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Regra de três simples:Um avião voando a 800 km/h demora duas horas para percorrer uma distância de 1.600 km. Qual a distância será percorrida por esse avião, nessas condições, em 4 horas?
Para resolver esse problema, basta arranjamos as proporções:x4600.12
2 Grandeza1 GrandezaDistânciaTempo
59
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
200.32400.6
:equação a se-resolve e
400.620400.61
12
: oisolar agora, Podemos,
0400.62
04600.1
2:frações das çãomultiplica aprocessar se pode Agora,
0600.14
2:local de da transferifoi que fração da
ordem a alternando zero, o isolamos arranjo, o Após
600.142
x
xxx
x
x
x
x
60
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Uma forma mais simples de se proceder, é:
R.: em quatro horas de voo a 800 km/h, serão percorridos 3.200 km.
Nesse caso, as duas grandezas são diretamente proporcionais, pois ao aumento da magnitude da grandeza tempo reflete o aumento da magnitude da grandeza distância.
) )
200.32400.6
400.62:equação a se-resolve e
4600.12:função a se-formula arranjo, o Após
600.142
x
x
x
x
61
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Regra de três composta:Para descarregar 10 carrocerias em uma hora são necessários 5 trabalhadores. Calcular quanto tempo os 10 trabalhadores levarão para descarregar 60 carrocerias?
R.: serão necessárias 3 horas para que 10 trabalhadores descarreguem 60 carrocerias.
10605101
(unidades) (unidades) (hora)
x
resTrabalhadosCarroceriaTempo
) )
3100300
300100:equação a se-resolve e
56011010:função a se-Formula 3)
ores trabalhadaos alproporcion teInversamenscarroceria às alproporcion eDiretament
Tempo
:alidadeproporcion de relação aVerificar 2)105
60101
:(frações) proporções das Arranjo 1)
x
x
x
x
62
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Relação entre as grandezas dos elementos:•O denominador da fração contendo o x foi multiplicado pelo numerador da fração de grandeza diretamente proporcional e multiplicado pelo denominador da fração de grandeza inversamente proporcional •A mesma lógica seguirá os demais elementos da relação apresentada
Para obter o número de funcionários para descarregar 120 carrocerias em 6 horas, tem-se:
)1010x
)5601
x12065101
(unidades) (unidades) (hora) resTrabalhadosCarroceriaTempo
63
1. Introdução: Regra de Três
Unidade 3: Introdução à Álgebra
) )
osfuncionári 1060
60060060
:equação a se-resolve e51201610
:função a se-Formula 3)ores trabalhadaos alproporcion teInversamen
scarroceria às alproporcion eDiretamentTempo
:alidadeproporcion de relação aVerificar 2)
512010
61
:(frações) proporções das Arranjo 1)
x
x
x
x
64
2. Representação Algébrica
Unidade 3: Introdução à Álgebra
• A álgebra é utilizada para expressar, por meio de letras, a relação que existe entre elementos, como as grandezas;
Por exemplo, o perímetro de um retângulo é de duas vezes o comprimento mais duas vezes a altura. Isso pode ser expresso pela função , onde:
• P representa o perímetro,• l representa o comprimento,• h representa a altura.• Se o comprimento do retângulo é 4 e a altura é 7, então:
• No caso da regra de três, representa-se por x.
hlP 22
65
2. Representação Algébrica
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Outro exemplo:22148
7242:se- temse,-dosubstituin
2274
PP
hlPhl
)
12110021
254215473
:se- temse,-dosubstituin43
quando encontrar , 7 e 5 seja
2
2
zzzz
xyz
zyx
66
3. Resolvendo Equações Algébricas
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Na resolução de uma equação algébrica para z, a questão é saber qual é o valor de z, considerando a informação restante que está do outro lado da equação.
A relação funcional entre os elementos da equação continuará a mesma:•Caso se multiplique, ou se divida todos os valores de ambos os lados por um mesmo valor,•Ou quando se soma ou se subtrai o mesmo valor de ambos os lados da equação.
67
3. Resolvendo Equações Algébricas
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Outro exemplo:
531533
153419443
:4 número pelo equação da lado cada de Subtração1943
yy
yy
y
68
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Considerando a tabela contendo a altura média de crianças em diferentes idades:
•Duas linhas retas perpendiculares (uma linha horizontal e uma vertical);•Por convenção, a variável x é colocada ao longo do eixo horizontal e a variável y ao longo do eixo vertical;•No eixo horizontal tem-se a variável independente e no eixo vertical tem-se a variável dependente;
x : Idade (anos) 2 3 4 5 6 7 8 9y : Altura (cm) 85 95 100 110 115 122 127 132
69
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
• Logo a relação funcional padrão é a de que o valor de y é função (depende) do valor de x:
• Escolha apropriada da escala nos dois eixos, sendo que ela pode ser diferente para cada eixo;
• Costuma conter o maior e o menor valor da série de dados.
• A escala para a variável x, cuja grandeza é a idade, contém os valores 2 e 9;
• A escala para a variável y, cuja grandeza é a altura, contém os valores 85 e 132.
)xfy
70
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
y : Altura (cm) 160
120
80
40
0 2 3 4 5 6 7 8 9x : Idade (anos)
71
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Traçando os pontos dos pares ordenados (x, y), forma-se um gráfico de dispersão, como o seguinte:
020406080
100120140160
0 2 4 6 8 10
Altura (cm) das Crianças em Diferentes Idades (anos)
72
4. Traçando Gráficos
Unidade 3: Introdução à Álgebra
A altura das crianças cresce de acordo com a idade, de acordo com a seguinte relação funcional:
•As grandezas são diretamente proporcionais,•A relação funcional é positiva,•Quando a idade aumenta ao longo do eixo horizontal, a altura também aumenta ao longo do eixo vertical.
) )crianças das idadecrianças das altura fxfy
020406080
100120140160
0 2 4 6 8 10
Altura (cm) das Crianças em Diferentes Idades (anos)
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5. Algumas Notações Matemáticas Comuns
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Algumas abreviações e símbolos usados na matemática: Sinal Significado Sinal Significado
Adição Subtração
Multiplicação Divisão
Igual 2 Quadrado > Maior que < Menor que
Maior ou igual a Menor ou igual a
Aproximadamente igual a
Diferente
Raiz quadrada Consequentemente
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6. Conclusões
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Os conhecimentos introdutórios sobre a álgebra, explorados nesta unidade, são úteis para que o indivíduo possa continuar seus estudos.
A matemática é utilizada nos mais diversos campos de estudos, como:
• Contabilidade,• Economia,• Finanças,• Administração,
• Engenharia,• Estatística,• Ciências em geral.
75
Unidade 3: Exercícios de Fixação
1) Considere o exemplo do avião, que foi apresentado no texto. O avião voa a 800 km/h e demora duas horas para percorrer uma distância de 1.600 km. Se o avião mudar a velocidade para 1.000 km/h, quanto tempo ele levará para percorrer a distância de 1.600 km? A proporção entre a velocidade e a distância é direta ou inversamente proporcional? Por quê?
R.:
76
Unidade 3: Exercícios de Fixação
2) Considere o exemplo do descarregamento de carga, que foi apresentado no texto. Para descarregar 10 carrocerias em uma hora são necessários 5 trabalhadores. Calcular quantos funcionários são necessários para descarregar as 10 carrocerias em meia hora?
R.:
77
Unidade 3: Exercícios de Fixação
3) Resolva as seguintes equações algébricas: a.
R.: b. R.:
.44 quando encontrar , 17 e 15 eja 3xyzzyxS
.85 quando encontrar , 5 e 5 eja 31 xyzzyxS
78
Unidade 3: Exercícios de Fixação
4) Trace o gráfico correspondente ao aumento da temperatura média anual de uma cidade em relação ao tempo e responda que tipo de relação proporcional existe entre esses dois elementos.
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Bibliografia de Referência
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 3 vols. São Paulo: Ática, 2003.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 4 vols. São Paulo: Ática.