5 - Noções de matemática

7/29/2019 5 - Noes de matemtica

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GEOMETRIA ESPACIAL

ngulo polidrico

Sejam n semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem trs num mesmo semiplano.Essas semi-retas determinam n ngulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas emum mesmo semi-espao. A figura formada por esses ngulos o ngulo polidrico.

Poliedros Chamamos de poliedro o slido limitado por quatro ou mais polgonos planos, pertencentes aplanos diferentes e que tm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

Os polgonos so as faces do poliedro; os lados e os vrtices dos polgonos so as arestas e osvrtices do poliedro.Poliedros convexos e cncavos

Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces,os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espao que essa face determina. Assim,esses poliedros so denominados convexos.


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Isso no acontece no ltimo poliedro, pois, em relao a duas de suas faces, ele no estcontido apenas em um semi-espao. Portanto, ele denominado cncavo.Classificao

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o nmero de faces, como porexemplo:

tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces

hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares

Um poliedro convexo chamado de regular se suas faces so polgonos regulares, cada umcom o mesmo nmero de lados e, para todo vrtice, converge um mesmo nmero de arestas.Existem cinco poliedros regulares:

Poliedro Planificao Elementos

Tetraedro

4 faces triangulares4 vrtices6 arestas

Hexaedro

6 faces quadrangulares8 vrtices12 arestas

Octaedro


Dodecaedro

12 faces pentagonais12 vrtices20 arestas


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Icosaedro


Relao de EulerEm todo poliedro convexo vlida a relao seguinte:

V - A + F = 2em que V o nmero de vrtices, A o nmero de arestas e F, o nmero de faces.Observe os exemplos:

V=8 A=12 F=68 - 12 + 6 = 2

V = 12 A = 18 F = 812 - 18 + 8 = 2

Poliedros platnicosDiz-se que um poliedro platnico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vrtice concorrer o mesmo nmero de arestas;c) toda face tiver o mesmo nmero de arestas;d) for vlida a relao de Euler.

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro platnico e o segundo, no-platnico.Prismas

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polgono convexo R

contido em e uma reta rque intercepta , mas no R:

Para cada ponto P da regio R, vamos considerar o segmento , paralelo reta r :


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Assim, temos:

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentesparalelos a r.

Elementos do prisma Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases:as regies poligonais R e S

altura:a distncia h entre os planos

arestas das bases:os lados ( dos polgonos)


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arestas laterais:os segmentos faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificao Um prisma pode ser:

reto: quando as arestas laterais so perpendiculares aos planos das bases; oblquo: quando as arestas laterais so oblquas aos planos das bases.

Veja:

prisma reto

prisma oblquo

Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases so polgonos regulares:

prisma regular triangularprisma regular hexagonal

Observao: As faces de um prisma regular so retngulos congruentes.

Seco Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma regio chamadaseco do prisma.

Seco transversal uma regio determinada pela interseco do prisma com um planoparalelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as seces transversais so congruentes ( figura 2).

reasNum prisma, distinguimos dois tipos de superfcie:as faces e as bases. Assim, temos de

considerar as seguintes reas:a) rea de uma face (AF ):rea de um dos paralelogramos que constituem as faces;b) rea lateral ( AL):soma das reas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.


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No prisma regular, temos:AL = n . AF (n = nmero de lados do polgono da base)c) rea da base (AB): rea de um dos polgonos das bases;d) rea total ( AT): soma da rea lateral com a rea das basesAT = AL + 2AB

Vejamos um exemplo.Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

ParaleleppedoTodo prisma cujas bases so paralelogramos recebe o nome de paraleleppedo.Assim, podemos

ter:

a) paraleleppedo oblquo

b) paraleleppedo reto

Se o paraleleppedo reto tem bases retangulares, ele chamado de paraleleppedo reto-retngulo,ortoedro ou paraleleppedo retngulo.

Paraleleppedo retnguloSeja o paraleleppedo retngulo de dimenses a, b e c da figura:


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Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; asarestas indicadas pela mesma letra so paralelas.Diagonais da base e do paraleleppedo

Considere a figura a seguir:

db = diagonal da basedp = diagonal do paraleleppedo

Na base ABFE, temos:

No tringulo AFD, temos:

rea lateralSendo ALa rea lateral de um paraleleppedo retngulo, temos:


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AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)

rea totalPlanificando o paraleleppedo, verificamos que a rea total a soma das reas de cada par de

faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)

Volume Por definio, unidade de volume um cubo de aresta 1. Assim, considerando umparaleleppedo de dimenses 4, 2 e 2, podemos decomp-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

Ento, o volume de um paraleleppedo retngulo de dimenses a, b e c dado por:V = abc

Como o produto de duas dimenses resulta sempre na rea de uma face e como qualquer facepode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paraleleppedo retngulo oproduto da rea da base ABpela medida da altura h:

Cubo


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Um paraleleppedo retngulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome decubo. Dessa forma, as seis faces so quadrados.

Diagonais da base e do cuboConsidere a figura a seguir:

dc=diagonal do cubodb = diagonal da base

Na base ABCD, temos:

No tringulo ACE, temos:

rea lateral A rea lateral AL dada pela rea dos quadrados de lado a:

AL=4a2


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rea total A rea total AT dada pela rea dos seis quadrados de lado a:

AT=6a2

Volume De forma semelhante ao paraleleppedo retngulo, o volume de um cubo de aresta a dado por:V= a . a . a = a3

Generalizao do volume de um prisma

Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princpio de Cavalieri ( matemtico italiano,1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para slidos diversos.

Dados dois slidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo a , interceptaos slidos e determina seces de mesma rea, os slidos tm volumes iguais:

Se 1 um paraleleppedo retngulo, ento V2 = ABh.Assim, o volume de todo prisma e de todo paraleleppedo o produto da rea da base pela

medida da altura:

Vprisma = ABh

Cilindro

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um crculo R contido em e

uma reta rque intercepta , mas no R:


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Para cada ponto C da regio R, vamos considerar o segmento , paralelo reta r :

Assim, temos:

Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes eparalelos a r.

Elementos do cilindro Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:


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bases: os crculos de centro O e O'e raios r

altura: a distncia h entre os planos geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferncias das bases ( por

exemplo, ) e paralelo reta r

Classificao do CilindroUm cilindro pode ser: circular oblquo: quando as geratrizes so oblquas s bases; circular reto: quando as geratrizes so perpendiculares s bases.Veja:

O cilindro circular reto tambm chamado de cilindro de revoluo, por ser gerado pela rotao

completa de um retngulo por um de seus lados. Assim, a rotao do retngulo ABCD pelo ladogera o cilindro a seguir:


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A reta contm os centros das bases e o eixo do cilindro.

Seco Seco transversal a regio determinada pela interseco do cilindro com um plano paralelo sbases. Todas as seces transversais so congruentes.

Seco meridiana a regio determinada pela interseco do cilindro com um plano que contmo eixo.

reasNum cilindro, consideramos as seguintes reas:

a) rea lateral (AL)

Podemos observar a rea lateral de um cilindro fazendo a sua planificao:

Assim, a rea lateral do cilindro reto cuja altura h e cujos raios dos crculos das bases so rum retngulo de dimenses :


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b) rea da base ( AB):rea do crculo de raio r

c) rea total ( AT): soma da rea lateral com as reas das bases

Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princpio de Cavalieri.

Dados dois slidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano ,intercepta os slidos e determina seces de mesma rea, os slidos tm volumes iguais:

Se 1 um paraleleppedo retngulo, ento V2 = ABh.Assim, o volume de todo paraleleppedo retngulo e de todo cilindro o produto da rea da

base pela medida de sua altura:Vcilindro = ABh

No caso do cilindro circular reto, a rea da base a rea do crculo de raio r ;portanto seu volume :

Cilindro eqilteroTodo cilindro cuja seco meridiana um quadrado ( altura igual ao dimetro da base)

chamado cilindro eqiltero.


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:

Cone circularDado um crculo C, contido num plano , e um ponto V ( vrtice) fora de , chamamos de cone

circularo conjunto de todos os segmentos .

Elementos do cone circular Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

altura: distncia h do vrtice V ao plano geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferncia raio da base: raio R do crculo

eixo de rotao:reta determinada pelo centro do crculo e pelo vrtice do cone

Cone reto Todo cone cujo eixo de rotao perpendicular base chamado cone reto, tambmdenominado cone de revoluo. Ele pode ser gerado pela rotao completa de um tringuloretngulo em torno de um de seus catetos.


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Da figura, e pelo Teorema de Pitgoras, temos a seguinte relao:

g2 = h2 + R2

Seco meridiana

A seco determinada, num cone de revoluo, por um plano que contm o eixo de rotao chamada seco meridiana.

Se o tringulo AVB for eqiltero, o cone tambm ser eqiltero:

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