1 Limites de funções reais de variável real.
1.1 Noções topológicas
Dados dois números reais x e y, chama-se distância de x a y ao valor absoluto da sua diferença:
d (x, y) = |x− y| .
Exemplo 1.1 Determine a distância entre os números reais:
a) 2 e 3;
b) 0 e −3;c) -1
2e -3
4.
Resolução:
a) d (2, 3) = |2− 3| = |−1| = 1b) d (0,−3) = |0− (−3)| = |3| = 3c) d
(−1
2,−3
4
)=∣∣−1
2−(−3
4
)∣∣ =∣∣14
∣∣ = 1
4
Sendo a um número real qualquer e δ um número real positivo, chama-se vizinhança de centro a e
raio δ ao conjunto dos números reais cuja distância a a é inferior a δ.
Vδ (a) = {x ∈ R : |x− a| < δ}= ]a− δ, a+ δ[ .
Exemplos 1.2 Considere as seguintes vizinhanças:
1) V0,1 (2) = {x ∈ R : |x− 2| < 0, 1} = ]1, 9; 2, 1[2) V0,01 (0) = {x ∈ R : |x| < 0, 01} = ]−0, 01; 0, 01[
Exercício 1.1 Determine um valor de δ de modo que :
a) Vδ (3) ⊂ V0,1 (3) ;b) Vδ (3) ⊂ ]2, 5; 3, 02[ .
1
Sejam C um subconjunto de R e a um elemento de C. Diz-se que a é ponto interior de C se e só se
existe pelo menos uma vizinhança de a contida em C.
a é ponto interior de C ⇔ ∃δ ∈ R+ : Vδ (a) ⊂ C
Ao conjunto de todos os pontos interiores de C chama-se interior de C e representa-se por int C.
Exemplos 1.3 1) Seja C = ]1, 2[ .
O ponto 1, 6 é ponto interior de C, porque
V0,1 (1, 6) ⊂ ]1, 2[ .
Já 2 não é ponto interior de C, pois qualquer vizinhança de 2 possui pontos que não pertencem a
]1, 2[ .
O interior de C é o próprio conjunto C.
2) Seja B = ]−∞, 3] ∪ {5} .Então, int(B) = ]−∞, 3[ .
Sejam C um subconjunto de R e b um número real; b diz-se ponto fronteiro de C se e só se as
intersecções de qualquer vizinhança de b com C e com o seu complementar forem ambas não vazias.
b é ponto fronteiro de C ⇔ ∀δ ∈ R+, Vδ (b) ∩C = ∅ ∧ Vδ (b) ∩R\C = ∅
Ao conjunto de todos os pontos fronteiros de C chama-se fronteira de C e representa-se por Fr(C).
Exemplo 1.4 Relativamente ao conjunto ]1, 2[ , os pontos fronteiros são 1 e 2 e a fronteira é o conjunto
{1, 2} .
Exemplo 1.5 Seja B = ]−∞, 3] ∪ {5} . Então Fr(B) = {3, 5} .
2
Exercício 1.2 Determine o interior e a fronteira de cada um dos conjuntos de números reais:
a) A = {2, 3} ∪ ]4, 5[ ;b) B =
]−3, 1
2
[;
c) C = {x ∈ R : |x+ 1| ≤ 3} .
Exercício 1.3 Dê um exemplo de um conjunto que:
a) coincida com a sua fronteira;
b) coincida com o seu interior.
Sejam C um subconjunto de R e d um número real; diz-se que d é ponto de acumulação de C se e só
se em qualquer vizinhança de d existe pelo menos um elemento de C diferente de d.
d é ponto de acumulação de C ⇔ ∀δ ∈ R+,∃a ∈ C : a = d ∧ a ∈ Vδ (d)
O conjunto de todos os pontos de acumulação de um conjunto C chama-se derivado de C e representa-
se por C’.
Chama-se ponto isolado de C a um elemento de C que não é ponto de acumulação.
Exemplo 1.6 Seja A = ]1, 2[ ∪ {3} . Tem-se A’= [1, 2] , 3 é ponto isolado de A.
1.2 Definição de limite de uma função
Definição de Cauchy
Seja f uma função real de variável real e a ∈ R um ponto de acumulação do seu domínio. Diz-se que
o limite de f quando x tende para a é o número real b se e só se para toda a vizinhança de b de raio ε
existe uma vizinhança de a de raio δ tal que
x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ V ε (b) ,
isto é,
limx→a
f(x) = b⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− b| < ε
3
• O limite de f quando x tende para a dá-nos o comportamento da função quando x é vizinho de a
não havendo necessidade de f estar definida em a.
• Para tal é necessário que f esteja definida numa vizinhança de a, excepto possivelmente em a, daí
que a definição exija que a seja um ponto de acumulação do domínio de f.
Observações:
1) Se b é o limite de f quando x tende para a, esse limite é o único.
2) Se b é o limite de f quando x tende para a, b é um número real.
Em caso algum, b é uma expressão com variáveis.
3) A afirmação “ b é o limite da função f ” não tem qualquer sentido se não indicar a condição
“quando x tende para a”.
Exemplo 1.7 Dada a função definida por f(x) = x, represente-a graficamente e verifique ( graficamente)
que limx→a
f(x) = a.
Resolução:
4
Em primeiro lugar Df = R pelo que todos os pontos são de acumulação.
Basta tomar δ = ε para ter a certeza que para todo o ε > 0
x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ V ε (a) .
1.3 Extensão da noção de limite
Considere-se a função f definida em R\ {0} por f(x) =1
x.
Vamos examinar o comportamento de f nas vizinhanças de zero.
x = 0, 000 0001 , f(x) = 10 000 000
x = −0, 000 0001 , f(x) = −10 000 000x = 0, 000 000 001 , f(x) = 1 000 000 000
x = −0, 000 000 001 , f(x) = −1 000 000 000
Estes exemplos mostram que, a valores de x “ muito pequenos ” em módulo, correspondem imagens
f(x) “ muito grandes ” em módulo.
Estudemos agora o comportamento de f para valores de x “ grandes ” em módulo.
Como no exemplo anterior, considerem-se os caso seguintes :
x = 10 000 000 , f(x) = 0, 000 0001
x = −10 000 000 , f(x) = −0, 000 0001x = 1 000 000 000 , f(x) = 0, 000 000 001
x = −1 000 000 000 , f(x) = −0, 000 000 001
A valores de x muito grandes em módulo correspondem imagens f(x) muito pequenas em módulo.
5
Vamos agora estudar o caso geral das funções cujos valores se tomam arbitrariamente grandes numa
vizinhança de um número a, ou arbitrariamente próximos de um valor b para valores “ grandes ” de x.
Para tal é útil a introdução de dois números que não são números reais; um que é maior que todos os
números reais, o outro menor que todos os números reais. Estes dois números correspondem às noções
intuitivas de infinito positivo e infinito negativo.
Considerem-se dois elementos, não reais, representados por+∞ (mais infinito) e −∞ (menos infinito) ,
verificando as seguintes condições:
+∞ /∈ R , −∞ /∈ R;
∀x ∈ R , x < +∞ ; ∀x ∈ R ; −∞ < x;
∀x ∈ R , x+∞ = +∞+ x = +∞;
∀x ∈ R , x−∞ = −∞+ x = −∞;
∀x ∈ R\ {0} , |x| × (+∞) = (+∞)× |x| = +∞;
∀x ∈ R ,
∣∣∣∣x
+∞
∣∣∣∣ =∣∣∣∣x
−∞
∣∣∣∣ = 0;
∀x ∈ R\ {0} ,∣∣∣x
0
∣∣∣ = +∞;
(−1)× (+∞) = −∞ , (−1)× (−∞) = +∞;
(+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞;
(+∞)× (+∞) = +∞.
Estas regras de cálculos foram estabelecidas de acordo com a noção intuitiva de número maior que
todos os outros.
Representa-se por R o conjunto R∪{+∞,−∞} munido com a adição e a multiplicação usuais com-
pletadas pelas condições que definem o cálculo para os elementos infinitos.
Observação: Insistimos sobre o facto que os seguintes elementos não estão definidos em R : ∞−∞;0
0; 0×∞ ;
∞∞ .
Uma vizinhança de+∞ (resp. −∞) é qualquer intervalo VA (resp. V−A) da forma ]A,+∞[ (resp. ]−∞,−A[) ,onde A é um número real positivo.
6
Tem-se
x ∈ ]A,+∞[ ⇐⇒ x > A
x ∈ ]−∞,−A[ ⇐⇒ x < −A.
A definição de cauchy pode agora generalizar-se aos casos em que a e b não são finitos. Se a for
infinito, Vδ (a) dá lugar a VA e se b for infinito, Vε(b) é substituida por VB.
Temos assim:
1) a ∈ R , b ∈ Rlimx→a
f(x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ V ε (b)
∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− b| < ε
2) a ∈ R , b = +∞limx→a
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃δ > 0 : x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ VB⇐⇒ ∀B > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) > B
3) a ∈ R , b = −∞limx→a
f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃δ > 0 : x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ V−B⇐⇒ ∀B > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) < −B
4) a = +∞ , b ∈ Rlim
x→+∞f(x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A > 0 : x ∈ VA =⇒ f(x) ∈ Vε(b)
⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A > 0 : x > A =⇒ |f(x)− b| < ε
5) a = +∞ , b = +∞lim
x→+∞f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x ∈ VA =⇒ f(x) ∈ VB
⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x > A =⇒ f(x) > B
6) a = +∞ , b = −∞lim
x→+∞f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x ∈ VA =⇒ f(x) ∈ V−B
⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x > A =⇒ f(x) < −B
7
7) a = −∞ , b ∈ Rlim
x→−∞
f(x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A > 0 : x ∈ V−A =⇒ f(x) ∈ Vε(b)
⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A > 0 : x < −A =⇒ |f(x)− b| < ε
8) a = −∞ , b = +∞lim
x→−∞
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x ∈ V−A =⇒ f(x) ∈ VB
⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x < −A =⇒ f(x) > B
9) a = −∞ , b = −∞lim
x→−∞
f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x ∈ V−A =⇒ f(x) ∈ V−B
⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x < −A =⇒ f(x) < −B
Exemplo 1.8 Dada a função f definida por f(x) =1
x, tem-se:
limx→+∞
f(x) = 0 , limx→−∞
f(x) = 0 .
Quando x tende para zero, a imagem de f(x) não se aproxima de nenhum elemento de R pelo que
não existe limx→0
f(x). Isto ocorre pois quando x tende para zero e x é positivo, f(x) é arbitrariarmente
grande positivo, mas se x é negativo, f(x) é arbitrariarmente grande negativo.
1.4 Limites laterais
Considere-se a função f definida por
f(x) =
2x+ 1 se x � 1
2x− 3 se x < 1
.
8
Observando o gráfico da função concluimos que:
• Não existe limx→1
f(x).
• Se em vez de trabalharmos com x ∈ ]1− ε, 1 + ε[ , considerarmos apenas os valores de x superiores
a 1, isto é x ∈ ]1, 1 + ε[ , então f(x) aproxima-se de 3, diremos que o limite da função à direita de 1 é 3.
Escreve-se :
limx→1+
f(x) = 3.
• Se em vez de trabalharmos com Vε(1), considerarmos apenas os valores de x inferiores a 1, isto é,
x ∈ ]1− ε, 1[ , verificamos que f(x) tende para −1, diremos que o limite de f à esquerda de 1 é igual a
−1. Escreve-se:limx→1−
f(x) = −1.
Definição 1.1 Seja f uma função real de variável real e a um ponto de acumulação do domínio de f .
Diz-se que b é o limite de f à esquerda (resp. direita) de a se para todo ε > 0 existir um δ > 0 tal que
x ∈ Vδ(a) ∧ x < a ( resp. x > a) =⇒ f(x) ∈ Vε(b),
( com as devidas alterações caso b seja infinito).
Teorema 1.1 Seja f uma função real de variável real e a um ponto de acumulação do domínio.Para
b ∈ R ,limx→a
f(x) = b⇐⇒ limx→a+
f(x) = limx→a−
f(x) = b.
Observação: Resulta deste teorema que se limx→a+
f(x) = limx→a−
f(x) então não existe limx→a
f(x).
Exemplo 1.9 Observe-se o seguinte gráfico de uma função f .
9
• Tem-se:
limx→−1−
f(x) = 1 , limx→−1+
f(x) = 2,
pelo que não existe limx→−1
f(x).
Note-se que −1 não é ponto do domínio mas é um ponto de acumulação do domínio.
• Tem-se:
limx→3−
f(x) = 0 e limx→3+
f(x) = 0,
pelo que limx→3
f(x) = 0.
Note-se que 3 não é ponto do domínio mas é um ponto de acumulação do domínio.
• Finalmente limx→4
f(x) = −2. ( justifique)
Exercício 1.4 Seja t a função definida por t(x) =
x2 + 1 se x > 0
−1− x2 se x < 0
.
a) O ponto 0 é ponto de acumulação de Dt? Justifique.
b) Esboce o gráfico da função.
c) Graficamente, determine limx→0+
t(x) e limx→0−
t(x).
d) Existe limx→0
t(x)? Justifique.
Observação: Se a função está definida apenas à direita (resp. esquerda) de a, então o valor do limite
de f quando x tende para a coincide com o limite à direita (resp. esquerda) de a.
Exemplo 1.10 Considere-se a função definida por f(x) =√x− 2 cujo gráfico é o seguinte:
Verifica-se que:
• O domínio de f é Df = [2,+∞[ .
10
• O número 2 é ponto de acumulação do domínio mas só podemos considerar valores de x superiores
a 2. Então:
limx→2
f(x) = limx→2+
f(x) = 0.
1.5 Propriedades dos limites de funções
As propriedades dos limites vão permitir-nos calcular limites sem recorrer à definição.
P1. Unicidade do limite
Se existir o limite de f quando x tende para a ∈ R , este será único.
Demonstração:
Suponhamos que
limx→a
f(x) = b e limx→a
f(x) = c
com b, c ∈ R (caso b ou c sejam infinitos o raciocínio é semelhante) .
Seja ε > 0 arbitrário. Então existem δ1 e δ2 tais que
x ∈ Vδ1(a) \ {a} ⇒ f(x) ∈ Vε(b)e
x ∈ Vδ2(a) \ {a} ⇒ f(x) ∈ Vε(c).
Considere-se δ = min {δ1, δ1} . Então para
x ∈ Vδ(a) \ {a} ,
tem-se
f(x) ∈ Vε(b) ∩ Vε(c),
quer dizer ,
|f(x)− b| < ε e |f(x)− c| < ε.
Tem-se pelas propriedades dos módulos,
|b− c| = |b− f(x) + f(x)− c|
|b− c| = |b− f(x) + f(x)− c|≤ |f(x)− b|+ |f(x)− c|≤ 2ε.
11
Sendo ε arbitrário resulta que |b− c| = 0, isto é, b = c. Consequentemente limx→a
f(x) é único.
P2. Limite de uma constante
Se f é uma constante então o limite de f quando x tende para a ∈ R é a própria constante.
Exercício 1.5 Determine :
a) limx→3
5 b) limx→+∞
(−4) c) limx→−∞
0.
P3. Limite de uma soma
Se f e g tendem para b e c, elementos de R, quando x tende para a ∈ R, (exceptuando o caso emque b e c são ambos infinitos de sinais contrários) então a função f + g tende para b+ c quando x tende
para a.
Observação: O caso em que b e c são infinitos de sinais contrários, chama-se indeterminação∞−∞,e tem que ser analisado caso a caso.
Exemplo 1.11 Calcule limx→2
(x+ 3) .
Resolução: Atendendo às propriedades dos limites e ao exemplo da página 5 vem
limx→2
(x+ 3) = limx→2
x+ limx→2
3 = 2 + 3 = 5.
Exercício 1.6 Determine :
a) limx→1
(x+ 2) ;
b) limx→+∞
(3− x) ;
c) b) limx→−∞
(x+ 5) ;
d) limx→−∞
(2− x) .
12
P4. Limite de um produto
Se limx→a
f(x) = b e limx→a
g(x) = c, com b, c ∈ R , exceptuando-se o caso b = ∞ e c = 0 (ou b = 0 e
c =∞), entãolimx→a
(f.g) (x) = b.c
Exercício 1.7 Utilize esta propriedade para justificar que:
a) limx→a
[k.f(x)] = k. limx→a
f(x) (k constante) ;
b) limx→a
[f(x)]2=[limx→a
f(x)]2, mais geralmente lim
x→a[f(x)]
n=[limx→a
f(x)]n).
Exemplo 1.12 Calcule limx→1
(4x2 + 2x+ 1
).
Resolução:
limx→1
(4x2 + 2x+ 1
)= 4lim
x→1x2 + 2lim
x→1x+ lim
x→11
= 4(limx→1
x)2+ 2× 1 + 1
= 4× 12 + 2 + 1 = 7.
Exercício 1.8 Determine:
a) limx→−2
(x2 + 3x+ 2
);
b) limx→+∞
(3x2 + 4
);
c) limx→−∞
(2x3 + 7) .
P5. Limite de um quociente
Suponhamos que f e g tendem para b e c respectivamente quando x tende para a , exceptuando os
casos de ambos serem nulos ou ambos infinitos, entãof
gtende para
b
cquando x tende para a.
Exemplo 1.13 Determine limx→2
x
x+ 1.
Resolução:
limx→2
x
x+ 1=
limx→2
x
limx→2
(x+ 1)=
2
2 + 1=2
3.
13
Exercício 1.9 Determine:
a) limx→+∞
5
x2;
b) limx→−∞
2− 1
xx2
;
c) limx→0
x2 + 3
x− 1 ;
d) limx→−1−
x
x+ 1.
P6. Limite de uma raiz
Se limx→a
f(x) = b e p ∈ N então limx→a
p√f(x) = p
√b, admitindo no caso de p ser par, que f(x) � 0
∀x ∈ Df .
Observação: Caso b seja infinito, p√b também será infinito.
Exemplo 1.14 Calcule limx→8−
5x
6−√5x− 4 .
Resolução:
limx→8−
5x
6−√5x− 4 =
limx→8−
5x
limx→8−
(6−
√5x− 4
)
=40
6−√limx→8−
(5x− 4)
=40
0+= +∞
Exercícios 1.10 1) Determine:
a) limx→−2
3√10 + 5x− x3;
b) limx→0
(3x2 + x
);
c) limx→−1+
4x− 3x+ 1
;
d) limx→−1−
4x− 3x+ 1
;
e) limx→−3−
x2
x− 3 .
2) Seja a função h definida, em R, por
h(x) =
2x se x � 3
x2 − 3 se x < 3
.
14
a) Calcule limx→5
h(x) e limx→−∞
h(x).
b) Investigue se existe limx→3
h(x) , calculando limx→3+
h(x) e limx→3−
h(x).
3) Considere, em R , as funções f e g definidas por:
f(x) =
x2 − x+ 2 se x � 0
2x+ 1 se x < 0
e g(x) =
−x2 se x � 0
1− x se x < 0
.
a) Mostrar que não existem limx→0
f(x) nem limx→0
g(x).
b) Definir, em R , a função f + g e calcular, se existir, limx→0
(f + g) (x) .
c) Calcular limx→+∞
(f + g) (x) e limx→−∞
(f + g) (x) .
4) Considere as funções reais , de variável real, definidas por:
f(x) =2
x2 + 1e g(x) = 1− 3
x.
a) Calcule limx→+∞
f(x) e limx→+∞
g(x).
b) Determine limx→+∞
f(x)
g(x)e lim
x→+∞
g(x)
f(x).
5) É dada a função t definida, em R , por:
t(x) =
−2x se x < −1
x2 + 1 se −1 ≤ x < 23x− 2 se x > 2
.
Investigue se existe:
a) limx→−1
t(x);
b) limx→2
t(x).
1.6 Indeterminações
Nas situações em que a aplicação das propriedades não permite chegar a um resultado, estamos em
presença de operações não definidas em R, a que chamamos indeterminações.
A resolução destas indeterminações deve ser feita caso a caso.
15
Vamos aqui ver métodos de resolução para as indeterminações ∞−∞, 0×∞, 00e∞∞ .
1) Consideremos em primeiro lugar que x tende para a ( finito).
Vamos verificar que todas as indeterminações se podem reduzir à indeterminação0
0.
Exemplos 1.15
1) limx→1
x3 − 3x2 + 4x− 2x2 − 3x+ 2
Resolução: Aplicando o teorema do limite do quociente obtemos0
0, o que mostra que 1 anula os
termos da fracção. Efectuando a divisão por, x− 1 pela regra de Ruffini vem:
1 −3 4 −21 1 −2 2
1 −2 2 0
1 −3 2
1 1 −2
1 −2 0
.
Então:
limx→1
x3 − 3x2 + 4x− 2x2 − 3x+ 2 = lim
x→1
(x− 1)(x2 − 2x+ 2
)
(x− 1) (x− 2) .
Como o limite se calcula quando x tende para 1 por valores diferentes de 1, vem x − 1 = 0,e conse-
quentemente
limx→1
x3 − 3x2 + 4x− 2x2 − 3x+ 2 = lim
x→1
x2 − 2x+ 2x− 2 = −1.
2) limx→9
√x− 3x− 9 .
Resolução: Aplicando os teoremas sobre limites obtemos0
0. Vamos multiplicar ambos os termos da
fracção por√x+ 3, vem:
limx→9
√x− 3x− 9 = lim
x→9
(√x− 3) (√x+ 3)
(x− 9) (√x+ 3)
= limx→9
x− 9(x− 9) (√x+ 3)
= limx→9
1√x+ 3
=1
6.
3) limx→2+
[x2 − 4x
× 3x+ 1
(x− 2)2
]
.
Resolução: Trata-se de uma indeterminação do tipo 0×∞ (porquê?) , mas se efectuarmos a multi-
plicação vem
limx→2+
(x2 − 4
)(3x+ 1)
x (x− 2)2,
16
que é uma indeterminação do tipo0
0. Tem-se sucessivamente:
limx→2+
[x2 − 4x
× 3x+ 1
(x− 2)2
]
= limx→2+
(x2 − 4
)(3x+ 1)
x (x− 2)2
= limx→2+
(x− 2) (x+ 2) (3x+ 1)x (x− 2)2
= limx→2+
(x+ 2) (3x+ 1)
x (x− 2)
=4× 72× 0+ = +∞
4) limx→−2+
2x
x2 − 45
x+ 2
.
Resolução: Trata-se de uma indeterminação do tipo∞∞ . Se efectuarmos previamente as operações
indicadas obtém-se uma indeterminação do tipo0
0.
Vem:
limx→−2+
2x
x2 − 45
x+ 2
= limx→−2+
2x (x+ 2)
5 (x2 − 4)
= limx→−2+
2x (x+ 2)
5 (x− 2) (x+ 2)
= limx→−2+
2x
5 (x− 2) =1
5.
5) limx→−1+
(1
x2 − 1 +1
x+ 1
).
Resolução: Trata-se de uma indeterminação do tipo ∞−∞. Efectuando a adição vem:
limx→−1+
(1
x2 − 1 +1
x+ 1
)= lim
x→−1+
[1
(x+ 1) (x− 1) +1
x+ 1
]
= limx→−1+
1 + (x− 1)(x+ 1) (x− 1)
= limx→−1+
x
(x+ 1) (x− 1)
=−10−
= +∞
2) Em segundo lugar vamos estudar os casos em que x tende para +∞ ou −∞.
De um modo geral as indeterminações reduzem-se ao tipo∞∞ .
1) limx→+∞
6x2 + 7x+ 3
8x2 + 6x+ 1
(∞∞).
17
Resolução: Dividindo ambos os termos da fracção por x2, vem:
limx→+∞
6x2 + 7x+ 3
8x2 + 6x+ 1= lim
x→+∞
6 +7
x+3
x2
8 +6
x+1
x2
=6 + 0 + 0
8 + 0 + 0=3
4.
2) limx→−∞
1
2x
√x2 + 1 (0×∞)
Resolução: Dividindo ambos os termos por da fracção por |x| , vem:
limx→−∞
1
2x
√x2 + 1 = lim
x→−∞
√x2 + 1
2x
= limx→−∞
√1 + 1
x2
2x
|x|
=
√1 + 0
−2 = −12.
3) limx→−∞
4x
x2 + 1x2
2x4 + 1
(0
0
).
Resolução:
limx→−∞
4x
x2 + 1x2
2x4 + 1
= limx→−∞
4x(2x4 + 1
)
(x2 + 1)x2
(∞∞)
= limx→−∞
8x5 + 4x
x4 + x2.
Dividindo ambos os termos da fracção por x5, vem:
limx→−∞
8x5 + 4x
x4 + x2= lim
x→−∞
8 +4
x41
x+1
x3
=8 + 0
0−= −∞
4) limx→+∞
(x3 − 3x+ 2
)(∞−∞) .
18
Resolução:
limx→+∞
(x3 − 3x+ 2
)= lim
x→+∞
[x3(1− 3
x2+2
x3
)]= +∞
5) limx→+∞
(√x2 + x−
√x2 + 1
)(∞−∞) .
Resolução: Multiplicando e dividindo ambos os termos da fracção por√x2 + x+
√x2 + 1, vem:
limx→+∞
(√x2 + x−
√x2 + 1
)= lim
x→+∞
(√x2 + x−
√x2 + 1
) (√x2 + x+
√x2 + 1
)√x2 + x+
√x2 + 1
= limx→+∞
(√x2 + x
)2 −(√x2 + 1
)2√x2 + x+
√x2 + 1
= limx→+∞
x2 + x−(x2 + 1
)√x2 + x+
√x2 + 1
= limx→+∞
x− 1√x2 + x+
√x2 + 1
(∞∞).
Dividindo ambos os termos da fracção por x, vem:
limx→+∞
x− 1√x2 + x+
√x2 + 1
=1− 1
x√1 +
1
x+
√1 +
1
x2
=1
2.
Exercícios 1.11 Calcule cada um dos seguintes limites:
a) limx→ 1
2
2x2 − 3x+ 12x2 − 5x+ 2
(R :
1
3
);
b) limx→2
x3 − 5x2 + 8x− 4x3 − 3x2 + 4
(R :
2
3
);
c) limx→−1
x3 + 1
x+ 1(R : 3) ;
d) limx→1+
x3 − 6x2 + 11x− 6x3 + x2 − 5x+ 3 (R : +∞) ;
e) limx→0
x√x
(R : 0) ;
f) limx→1
x− 1√x− 1 (R : 2) ;
g) limx→0+
x−√xx3 − x2 (R : +∞) ;
19
h) limx→−3
1−√x+ 4
x+ 3
(R : − 1
2
);
i) limx→1
[(x2 − 1
) 3x+ 2x− 1
](R : 10) ;
j) limx→0
[x24x+ 3
x2 + 3x
](R : 0) ;
k) limx→−3−
[(x+ 3)
5
9 + x2 + 6x
](R : −∞) ;
l) limx→0
1
x2x+ 1
x2
(R : 10) ;
m) limx→1
x
1− xx+ 2
x2 − 1
(R : − 2
3
);
n) limx→0+
(1
x− 1
x2
)(R : −∞) ;
o) limx→−2+
(1
4− x2 −1
x+ 2
)(R : −∞) ;
p) limx→+∞
3 + 7x
2− x (R : − 7) ;
q) limx→−∞
2x2 + 5x
x2 + 3x+ 2(R : 2) ;
r) limx→−∞
x3 + 5x
7x2 − 3 (R : −∞) ;
s) limx→+∞
x2
x3 + 9(R : 0) ;
t) limx→+∞
[x
x2 + 1(x+ 3)
](R : 1) ;
u) limx→−∞
(x2
3x2 + 1
1
x
) (R :
1
3
);
v) limx→−∞
(x3 − x
)(R : −∞) ;
w) limx→−∞
(x4 − 3x+ 1
)(R : +∞) ;
20
x) limx→+∞
(√x+ 3−√x
)(R : 0) ;
y) limx→−∞
(√1− x+ x
)(R : −∞) .
2 Continuidade de funções reais de variável real.
2.1 Função contínua e função descontínua num ponto
Considerem-se as funções f , g, h e m reais de variável real definidas pelos seus gráficos.
Intuitivamente podemos afirmar que a função f é a única que é contínua em todos os pontos do seu
domínio pois é a única cujo gráfico se pode desenhar sem levantar o lápis do papel.
A função h não é contínua no ponto x = 2, ela seria contínua se a imagem do ponto 2 fosse 1, de
modo que o seu gráfico fosse uma parábola completa. Observe-se que limx→2
h(x) = 1 mas h(2) = 0, daí a
descontinuidade no ponto x = 2.
21
A função g não é contínua no ponto no ponto x = 0. Tem-se:
limx→0+
g(x) = 1 e limx→0−
g(x) = 2 = g(0).
Diremos que g é contínua à esquerda em x = 0 pois se restringíssemos o domínio de g a ]−∞, 0] , afunção obtida seria contínua em x = 0.
A função m não é contínua em x = 1, nem à esquerda nem à direita. De facto não existe limx→1
m(x)
uma vez que os limites laterais são diferentes e além disso diferem ambos de m(1) que é igual a −2.
Definição 2.1 Seja a um ponto de acumulação do domínio de uma função real de variável real f . Diz-se
que f é contínua no ponto a se e só se existe limx→a
f(x) e
limx→a
f(x) = f(a).
Caso não exista limx→a
f(x) ou este seja diferente de f(a), diremos que f é descontinua em x = a.
Diz-se que f é contínua à direita ( resp. esquerda ) de a se e só se
limx→a+
f(x) = f(a) ( resp. limx→a−
f(x) = f(a)).
Observações:
Não faz qualquer sentido falar em continuidade ou em descontinuidade de uma função f num ponto
a que não pertença ao domínio ( não existiria f(a)) ou num ponto isolado do domínio ( não faria sentido
falar em limx→a
f(x)).
Exemplos 2.1 Considere os seguintes casos:
1) Averiguar se a função f é contínua no ponto x = 1, sendo
f(x) =
x+ 1 se x � 1
x2 se x < 1.
Resolução:
f é contínua em x = 1 se e só se existir limx→1
f(x) e limx→1
f(x) = f(1).
22
Como à direita e à esquerda de 1 a função está definida por expressões diferentes, vamos determinar
os limites laterais. Tem-se:
limx→1+
f(x) = limx→1+
(x+ 1) = 2
limx→1−
f(x) = limx→1−
x2 = 1.
Como os limites laterais são diferentes, não existe limx→1
f(x) e consequentemente f não é contínua em
x = 1.
Observação: Como limx→1+
f(x) = f(1), f é contínua à direita em x = 1.
2) Seja g a função definida por
g(x) =
x2 − 1 se x > −2
1 se x = −2
x+ 5 se x < −2.
Vamos estudar a continuidade de g no ponto x = −2.
Resolução:
Tem-se:
limx→−2+
g(x) = limx→−2+
(x2 − 1
)= 3
limx→−2−
g(x) = limx→−2−
(x+ 5) = 3.
Assim limx→−2
g(x) = 3.
Por outro lado, g(−2) = 1, pelo que limx→−2
g(x) = g(−2) e a função g não é contínua no ponto x = −2.
3) Seja h a função definida em R, por
h(x) =
x3 − 5x+ 2 se x � 0
x+ 2 se x < 0.
Vamos estudar a continuidade de h no ponto x = 0.
Resolução:
Tem-se:
limx→0+
h(x) = limx→0+
(x3 − 5x+ 2
)= 2
limx→0−
h(x) = limx→0−
(x+ 2) = 2.
Como h(0) = 2 resulta que limx→0
h(x) = h(0) e a função h é contínua em x = 0.
23
Exercícios 2.1 Resolva cada um dos seguintes exercícios :
1) Observe os seguintes gráficos e complete.
a)
• limx→2
f(x) = .......
• f(2) = ..........
• f é contínua no ponto ......
b)
•
limx→1+
f(x) = ......
limx→1−
f(x) = ......
=⇒ não existe limx→1
f(x).
• f não é .............. no ponto x = 1.
c)
24
• limx→1
f(x) = .......
• f(1) = ..........
• f não é ..............
2) Considere a função real, de variável real, m definida por :
m(x) =
x2 + 1 se x � 3
1− 3x se x < 3.
.
Estude a continuidade em x = 3.
3) Seja t a função definida, em R, por:
t(x) =
x2 − 3x+ 1 se x > 0
2 se x = 0
x+ 1 se x < 0.
Averigue se é contínua em x = 0.
4) Seja g uma função real, de variável real, em que
g(x) = |x− 3|+ x.
a) Escreva a expressão designatória da função sem utilizar o símbolo de módulo.
b) Averigue se é contínua no ponto x = 3.
5) Considere a função real, de variável real, t definida por :
t(x) =
x
|x+ 1| se x = −1
0 se x = −1.
Mostre que t não é contínua para x = −1.
6) Prove que é contínua à esquerda de 0 a função real, de variável real, definida por:
m(x) =
x+ |x|x
se x = 0
0 se x = 0.
25
2.2 Propriedades das funções contínuas num ponto
Propriedade 1
Sejam f e g funções contínuas num ponto a pertencente a Df ∩Dg e ponto de acumulação de Df ∩Dg.Então:
f + g, f − g, f.g ef
g( g (a) = 0 ) ,
são contínuas no ponto a.
Demonstração:
As demonstrações resultam imediatamente das propriedades dos limites e da definição de continuidade.
Vejamos apenas o caso f + g, deixando os outros como exercício.
Sendo f e g contínuas em a tem-se:
limx→a
(f + g) (x) = limx→a
f(x) + limx→a
g(x)
= f(a) + g(a)
= (f + g) (a) .
Assim:
limx→a
(f + g) (x) = (f + g) (a) ,
o que prova que f + g é contínua no ponto a.
Propriedade 2
Se p ∈ N e f é uma função contínua no ponto a, também são contínuas em a as funções fp e p√f
( excepto se p par e f(x) < 0) .
2.3 Continuidade num intervalo
• Uma função f diz-se contínua se e só se for contínua em todos os pontos do seu domínio.
• Uma função f diz-se contínua em ]a, b[ se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
• Uma função f diz-se contínua em [a, b] se for contínua em ]a, b[, à direita de a e à esquerda de b.
26
Exemplos 2.2 Considere os seguintes exemplos:
a) Uma função constante é contínua. De facto se f(x) = k (k constante) ∀x ∈ Df ,
limx→a
f(x) = f(a) = k.
b) A função identidade é contínua.
Se f(x) = x, vem
limx→a
f(x) = f(a) , ∀a ∈ IR.
c) A função definida por y = x2 é contínua pois é o produto de duas funções contínuas, sendo estas
f(x) = x e g(x) = x.
d) Uma função polinomial f é contínua. Seja :
f(x) = a0xn + a1x
n−1 + ...+ an.
Verifica-se que f é a soma de produtos de funções contínuas.
e) Uma função racional ( quociente de funções polinomiais ) é contínua no seu domínio.
f) Estude a continuidade da função f real, de variável real, definida por:
f(x) =
x2 − 1 se x > 2
3 se x = 2
7 se x < 2.
Resolução: Para x > 2 a função é definida por um polinómio, então f é contínua no intervalo
]2,+∞[ . Como para x < 2 f é constante, é contínua no intervalo ]−∞, 2[ . Resta estudar a continuidadede f no ponto x = 2. Como:
limx→2+
f(x) = limx→2+
(x2 − 1
)= 3
e
limx→2−
f(x) = limx→2−
7 = 7,
27
não existe limx→2
f(x) e consequentemente f não é contínua em x = 2. Então f é contínua em R\ {2} .g) Para cada número real k a expressão seguinte representa uma função real, de variável real :
g(x) =
2x2 se x < 2
k se x = 2
−x+ 3 se x > 2.
i) Mostrar que para qualquer valor de k a função tem um ponto de descontinuidade.
ii) Qual deve ser o valor de k de modo que a função g seja contínua à direita de 2?
iii) Indique os valores de k de modo que a função seja descontinua à esquerda e à direita no ponto
x = 2 ( descontinuidade bilateral).
Resolução:
i) A função é contínua em ]−∞, 2[ e ]2,+∞[ por ser representada por polinómios. Em x = 2, tem-se:
limx→2+
g(x) = limx→2+
(−x+ 3) = 1
e
limx→2−
g(x) = limx→2−
(2x2
)= 8,
pelo que não existe limx→2
g(x). Assim, o valor do limite não existe independentemente do valor de k, o que
significa que a função é sempre descontínua no ponto x = 2, qualquer que seja k.
ii) A função será contínua à direita de 2 se limx→2+
g(x) = g(2), ou seja k = 1.
iii) Para termos uma descontinuidade bilateral, temos que ter :
k = 1 (descontinuidade à direita)
e
k = 8 (descontinuidade à esquerda) .
Logo k ∈ R\ {1, 8} .
2.4 Continuidade da função composta
Teorema 2.1 Seja f uma função contínua num ponto a do seu domínio e g uma função contínua em
b = f(a) então gof é contínua em a.
28
Observação:
Pelo resultado anterior,
limx→a
(gof) (x) = (gof) (a)
ou seja
limx→a
g [f(x)] = g [f(a)]
ou ainda
limx→a
g [f(x)] = g[limx→a
f(x)].
Quer dizer, nas condições referidas, são permutáveis o sinal limx→a
e o sinal da função g.
29