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109
5. MOVIMIENTO DE FLUIDOS: TOBERAS Y DIFUSORES
5.1 INTRODUCCIN
El propsito de este capitulo es describir los aspectos termodinmicos del movimiento de
fluidos. En este estudio se tratar de la variacin de las propiedades de un fluido que
experimenta en un proceso. Este proceso puede ser reversible o irreversible, y el fluido, puede
ser compresible o incompresible. Existe una gran superposicin entre los anlisis
termodinmicos y los anlisis de la mecnica de fluidos. El objetivo de este capitulo ser
analizar los casos que requieren de explicacin termodinmica. Todo flujo o corriente de fluido
es irreversible y tridimensional, pero esta consideracin impide un anlisis accesible. Podemos
evaluar aproximadamente un gran numero de condiciones de flujo suponiendo movimiento del
fluido en rgimen permanente, es decir, corriente constante y unidimensional, y estado estable.
Las limitaciones o restricciones que emplearemos en este capitulo son:
El Flujo msico es Unidimensional
Rgimen permanente, intensidad constante a travs de un conducto (permanencia en
el tiempo)
Estado estable, las propiedades de un fluido en un punto no varan tampoco con el
tiempo.
Estas condiciones pueden parecernos demasiado restrictivas, pero en muchos casos los
cambios reales que se producen respecto de tales condiciones, son pequeos y es posible
despreciarlos.
Nos interesa particularmente el movimiento de un fluido a travs de una tobera, aspecto muy
importante en el diseo de turbinas. Las toberas tienen dos funciones bsicas: dirigir el fluido
en la direccin deseada y convertir en energa cintica la energa trmica de la sustancia
fluyente. Analizaremos en detalle la ultima de estas funciones; sin embargo no estudiaremos la
optimizacin y el anlisis del ngulo de accin de las toberas y la configuracin angular de los
alabes.
La velocidad snica se define en trminos de las propiedades termodinmicas y se hace notar
la importancia del nmero de Mach como una variable en el flujo compresible.
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110
5.2 VELOCIDAD SNICA O ACSTICA
Cuando en un fluido compresible se produce una perturbacin de presin, la perturbacin viaja
con una velocidad que depende del estado del fluido. La onda de sonido es una perturbacin
de presin. En condiciones atmosfricas normales la velocidad del sonido en el aire es
aproximadamente 336 m/s. Una propiedad importante en el estudio de un flujo de gas es la
velocidad del sonido a travs del gas, la velocidad snica o velocidad acstica. Por tanto,
derivaremos ahora una expresin para la velocidad snica en un gas en trminos de las
propiedades del gas.
Figura 5.1 Una pequea onda de presin en un sistema coordenado estacionario
Consideremos la figura 5.1, donde se ilustra una pequea onda de presin ocasionada por un
embolo, y que se desplaza a travs de un fluido compresible. La onda de presin debe ser lo
suficientemente dbil para que los cambios de propiedad del fluido en el fluido sean pequeos
desde el punto de vista diferencial. Si la onda es demasiado grande no se cumplen las
condiciones de cambio diferencial de las propiedades, y no es valido entonces el siguiente
anlisis. La onda generada por el movimiento del embolo de la figura 5.1, se desplaza a la
velocidad acstica, a, a travs del gas estacionario. Si un observador viaja en la onda de
presin, le parecera que el fluido avanza desde la regin estacionaria (a la derecha) con la
velocidad acstica, y que se aleja a una velocidad diferente debido al cambio de presin a
travs del frente de onda. La masa tiene que conservarse al entrar y salir de la superficie de
control. La suma de las fuerzas debe corresponder al equilibrio.
( )netF PA P dP A
Tambin con la ecuacin de cantidad de movimiento,
2 1v vnet x xF m m
Se considera que los efectos de fuerza cortante y de friccin son despreciables.
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111
Por la ecuacin de continuidad:
v= am A A
Al igualar las fuerzas a travs de la superficie de control obtenemos
( ) a (a- v)-aPA P dP A d
Lo cual se reduce a
a vdP d (5.1)
La ecuacin de continuidad para la superficie de control es
aA=( a-dv)Ad
Despreciando los trminos diferenciales de segundo orden, por ser mucho menores que los de
primer orden, queda
v=ad
d
(5.2)
Sustituyendo la ecuacin (5.2) en la ecuacin (5.1), obtenemos
a=dP
d (5.3)
En el caso de pequeas ondas de presin, el proceso de compresin es esencialmente
isentrpico (proceso reversible y adiabtico). Para un gas ideal, el proceso es:
kPv C
Tambin
kP C
Diferenciando
dP kPvd
Ordenando la ecuacin
dPkPv
d (5.4)
Adems por la ecuacin de estado de gases ideales
Pv RT (5.5)
Remplazando (5.5) en (5.4)
s
dPkRT
d
(5.6)
Finalmente remplazando la ecuacin (5.6) en (5.3), obtenemos la velocidad del sonido como
una propiedad termodinmica, que depende del tipo de gas y de la temperatura:
a=s
dPkRT
d
(5.7)
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112
Ejemplo 5.1
Determine la velocidad del sonido en el aire en funcin de las temperaturas siguientes: (a)
300K y (b) 1000K.
Solucin:
(a) Para el aire considerndolo como gas ideal tiene las siguientes propiedades
2
2
1287
mR
s K Constante del aire
Por dato del ejemplo T = 300 K ;
En Tabla A-14 Moran y Shapiro(1999)
1,4P
v
Ck
C Relacin de calores especficos
Reemplazando en la ecuacin (5.7), obtenemos la velocidad del sonido
a= kRT
2
2
1a= 1,4 287 300
mK
s K
a = 347,2 m/s
(b) Por dato del ejemplo T=1000 K
En Tabla A-14 Moran y Shapiro(1999)
1,336P
v
Ck
C Relacin de calores especficos
2
2
1a= 1,336 287 1000
mK
s K
a = 619,2 m/s
5.3 NUMERO DE MACH
En el estudio del flujo de gas, un parmetro til es la razn de la velocidad del gas en cualquier
punto a la velocidad snica en el mismo punto. Esta razn se llama nmero de Mach y se
designa por el smbolo M:
v
aM (5.8)
Con frecuencia, los flujos de fluidos se describen cualitativamente en trminos de su nmero de
Mach como sigue:
M < 1 Flujo subsnico
M = 1 Flujo Snico
M > 1 Flujo Supersnico
M >> 1 Flujo hipersnico
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113
Ejemplo 5.2
Una corriente de aire se mueve por un conducto a 900 Km/h, a una temperatura de 40C .
Calcule cual es su nmero de Mach.
Solucin:
Por datos del ejemplo tenemos las condiciones del aire
V = 900 km/h = 250 m/s
T = -40C +273 =233 K
Para el aire como gas ideal tiene las siguientes propiedades
Tabla A-14 Moran y Shapiro (1999)
1,401P
v
Ck
C
2
2
1287
mR
s K
La velocidad del sonido a esta temperatura es
a= kRT
2
2
1a= 1,401 287 233
mK
s K
a = 306,1 m/s
El nmero de Mach para este fluido es
v 250
a 306,1M
M = 0,82 El Flujo es Subsnico
5.4 PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO
Son las propiedades que obtendra un fluido si se llevara a una condicin de velocidad cero y
elevacin cero, en un proceso reversible sin transferencia de calor y energa.
Consideremos ahora una corriente de fluido que se desplaza a travs de una tubera aislada
trmicamente. La energa del fluido aplicando la primera ley de la termodinmica para
sistemas abiertos ser:
2 2
2 12 1 2 1
v v
2q w h h g z z
(5.9)
Para este caso consideramos
w = 0, no se produce transmisin de trabajo en tuberas (no hay partes mviles).
q = 0, no se produce transmisin de calor. El sistema es (adiabtico)
ep =0, La variacin de energa potencial se desprecia para fluidos gaseosos.
Remplazando en la ecuacin (5.9), se tiene: 0 0 0q w h ec ep
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114
Quedando la ecuacin como:
2 2
2 12 1
v v0
2h h
Ordenado la ecuacin convenientemente
2 2
1 21 2
v v
2 2h h
Por lo tanto la energa del fluido a travs de cualquier plano es h+v2/2, la cual tiene dos
componentes una esttica, h, y otra dinmica, v2/2.
Entalpa de estancamiento
Si se lleva el fluido al reposo, donde la velocidad es nula, encontraremos que la energa del
fluido es ho, a la cual definimos como entalpa de estancamiento (remanso).
2v
2Oh h (5.10)
Temperatura de estancamiento
Sustituimos el valor de la entalpa de un gas ideal, h = CpT, en la ecuacin (5.10), se tiene:
2
p
v
2COT T
Ordenando la ecuacin se tiene la temperatura de estancamiento
2
P
v1
2C
OT
T T (5.11)
Si sustituimos en la ecuacin (5.11), las ecuaciones (5.7) y (5.8), obtenemos la temperatura de
estancamiento en funcin al nmero de Mach.
211
2
OT k MT
(5.12)
Presin de estancamiento
Para un proceso isentrpico de un gas ideal se tiene,
1 /
2 2
1 1
k k
T P
T P
Si consideramos una deceleracin isentrpica, es posible calcular la presin de estancamiento,
para un gas ideal.
/ 12
P
v1
2C
k k
OP
P T
(5.13)
Si sustituimos en la ecuacin (5.13), las ecuaciones (5.7) y (5.8), obtenemos la Presin de
estancamiento en funcin al nmero de Mach
/ 1211
2
k k
OP k MP
(5.14)
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115
La figura 5.2 presenta un diagrama T-s con los diversos estados, donde las
irreversibilidades relacionadas con la deceleracin en el caso adiabtico dan por resultado un
incremento de la entropa. Asimismo, tambin se manifiestan en que la presin de
estancamiento adiabtica, P0, es menor que la presin mxima, la presin de estancamiento
isentrpica, P0.
Figura 5.2 Diagrama T-S que ilustra la temperatura y la presin de estancamiento
Ejemplo 5.3
Por un ducto fluye aire a presin de 150 Kpa, con una velocidad de 200 m/s. La temperatura
del aire es 300 K. Determine la presin y la temperatura de estancamiento isentrpico.
Solucin:
Considerando al aire como gas ideal con calor especfico constante a 300 K
En tabla A-14 Moran y Shapiro (1999)
Cp = 1,005 KJ/Kg.K
K = Cp/Cv = 1,4
A partir de la ecuacin (5.11) calculamos la temperatura de estancamiento
2
P
v1
2C
OT
T T
Ordenando la ecuacin tenemos
2
0
P
v
2CT T
Por datos del ejemplo tenemos
V = 200 m/s
T = 300 K
Reemplazando valores en la ecuacin anterior
2
0
200 m/s 1kJ300K
2 1,005kJ/kg.K 1000JT
T0 = 319,9 K
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116
A partir de la ecuacin (5.13) calculamos la Presin de estancamiento
/ 12
P
v1
2C
k k
OP
P T
Como
2
P
v1
2C
OT
T T
La ecuacin de la presin de estancamiento se puede ordenar como
/ 10
0
k kT
P PT
Relacin isentrpica
Por dato del ejemplo P = 150 kpa
Reemplazando en la ecuacin anterior obtenemos la presin de estancamiento
1,4/ 1,4 1
0
319,9150
300
KP kPa
K
P0 = 187,8 kPa
5.5 FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES FLUJO ISENTROPICO (REVERSIBLE Y
ADIABATICO)
Para muchas aplicaciones, la aceleracin o desaceleracin de un fluido en un canal de flujo
puede tratarse como adiabtico y reversible por lo tanto isentrpico. En esta seccin
mostramos que la forma requerida de los canales diseados para cambiar la velocidad del
fluido depende de las condiciones del flujo mismo. Comenzando con las ecuaciones bsicas,
seremos capaces de relacionar la variacin del rea de la seccin transversal del flujo al
cambio de velocidad y presin para el flujo estable unidimensional de cualquier fluido.
Ecuaciones de variacin de rea
Para un flujo adiabtico sin trabajo realizado y sin cambio de energa potencial, la primera ley
es
2vconstante
2h
Puede ser expresada en forma diferencial como
2v0
2d h
vdv=0dh (5.15)
Cuando restringimos aun ms el flujo a procesos reversibles, el flujo es isentrpico, de modo
que
0dP
Tds dh
(5.16)
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117
Combinando la ecuacin (5.15) y (5.16), obtenemos
2
v
v v
d dP
(5.17)
La ecuacin de continuidad es constante
v=constante
Diferenciando la ecuacin de continuidad
v =0d
v
0v
d dA d
A
(5.18)
Sustituyendo la ecuacin (5.17) en la ecuacin (5.18)
2
1
v
dA dP d
A dP
(5.19)
Pero sabemos que de la ecuacin (5.7)
2a
dP
d
Remplazando en la ecuacin (5.19)
2 2
1 1
v a
dA dP
A
Despejando 1/v2
2
2 2
v1
v a
dA dP
A
Finalmente, ordenando
2
21
v
dA AM
dP (5.20)
Sustituyendo la ecuacin (5.17) en (5.20), da
21
v v
dA AM
d (5.21)
El anlisis de las ecuaciones (5.20) y (5.21) conduce a las siguientes conclusiones:
1. Cuando M 0dA
dP y < 0
v
dA
d
2. Cuando M>1, < 0dA
dP y > 0
v
dA
d
3. Cuando M=1, = 0dA
dP y = 0
v
dA
d
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118
Tobera o Boquilla
Es un dispositivo que tiene dos funciones: convertir energa trmica en energa cintica,
acelera el fluido, y dirigir la corriente del fluido segn un ngulo especificado. Lo primero se
logra por medio de un conducto de seccin variable.
Para una tobera dP < 0. Por lo tanto,
Para una tobera subsnica, M0 y la tobera es divergente.
Figura 5.3 Variacin rea-velocidad-presin en toberas para flujo isentrpico
Difusor
Es un dispositivo que tiene dos funciones: convertir energa Cintica en energa Trmica,
desacelera el fluido, y dirigir la corriente del fluido segn un ngulo especificado. Lo primero se
logra por medio de un conducto de seccin variable.
Para una difusor dP>0. por lo tanto,
Para un difusor subsnico, M 0 y el difusor es divergente.
Para un difusor supersnico, M>1, dA
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119
Relacin de presin Crtica
En las condiciones de la garganta (seccin transversal mnima) de una tobera para un fluido
compresible, existen propiedades especiales si el flujo es a M=1. Las propiedades se
denominan criticas y se denotan como T* y P*, a la temperatura critica y a la presin critica.
De la ecuacin (5.12), para el caso que M=1, se tiene
*
1
2
OT k
T
(5.22)
De la ecuacin (5.14), para el caso que M=1, se tiene
/ 1
*
1
2
k k
OP k
P
(5.23)
Al invertir esta ecuacin, la razn de presin P*/Po, recibe el nombre de relacin de presin
critica. De manera que la presin crtica P* solo es funcin de k.
/ 1*
0
2
1
k kP
P k
(5.24)
La lista que se presenta a continuacin da los valores empleados con ms frecuencia:
K=1,2 P*/Po = 0,577 vapor saturado
K=1,3 P*/Po = 0,545 Vapor sobrecal. a baja presin y vapor sat.
K=1,4 P*/Po = 0,528 Aire y gases diatnicos a 25C
K=1,67 P*/Po = 0,487 gases monoatmicos
Ejemplo 5.4
Aire que se puede considerar como gas ideal, fluye isentrpicamente por una tobera. Entra a
ella con una velocidad de 100 m/s, a una presin de 600kPa y una temperatura de 600 K. La
presin de salida es de 150 Kpa. Encontrar los valores de las cantidades siguientes: rea
transversal, volumen especfico, velocidad, velocidad del sonido, nmero de Mach y
temperatura, correspondientes a la entrada, en la garganta y a la salida de la tobera. La
intensidad de flujo es de 1 kg/s.
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120
Solucin:
Para aire a 600 K
En tabla A-14 de Moran y Shapiro (1999)
Cp = 1,051 kJ/kg.K
k = 1,376
Calculamos la Temperatura de estancamiento
2
0
P
v
2CT T
Por datos de entrada de la tobera del ejemplo tenemos
V1 = 100 m/s
T1 = 600 K
Reemplazando valores en la ecuacin anterior
2
0
100 m/s 1kJ600K
2 1,051kJ/kg.K 1000JT
T0 = 604,8 K
Calculamos la presin de estancamiento
/ 10
0
k kT
P PT
Relacin isentrpica
Reemplazando valores
1,376/ 1,376 1
0
604,8600
600
KP kPa
K
P0 =617,8 kPa
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121
Calculo del volumen especfico a la entrada
11
1
RTv
P
Donde
2
2
1287
mR
s K constante del aire como gas ideal
Por dato del Ejemplo P1= 600 kPa
Reemplazando
2
2
1
1287 600
1
600 1000
mK
kPas KvkPa Pa
3
1 0,287 /v m Kg
Calculo del rea a la entrada
11
1v
v mA
Reemplazando valores
3
1
0,287 / 1 /
100m/s
m kg Kg sA
3 2 2
1 2,87 10 28,7A m cm
Calculo de la velocidad del sonido
1 1a = kRT
2
1 2
1a = 1,376 287 600
mK
s K
a1 = 486,8 m/s
El nmero de Mach para este fluido es
111
v 100
a 486,8M
M1 = 0,2 El Flujo es Subsnico
Calculo de la Temperatura Crtica
*
0
2
1
T
T k
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122
Reemplazando y despejando
* 2604,8
(1,376 1)T K
T* = 509,1 K
Calculo de la presin crtica
/ 1*
0
2
1
k kP
P k
Reemplazando
1,376/ 1,376 1*
0
20,532
1,376 1
P
P
Despejando y reemplazando
* 0,532 617,8P kPa
P* = 328,7 kPa
Calculo de volumen especfico crtico
RT
vP
Reemplazando
2
2
1287 509,1
1
328,7 1000
mK
kPas KvkPa Pa
30,445 /v m Kg
Calculo de la velocidad crtica
0v 2 ( )PC T T
Reemplazando
1000
v 2 1,051 / . (604,8 509,1)1
JkJ Kg K K
kJ
v* = 448,5 m/s
Calculo de la velocidad del sonido crtico
* *a = kRT
2*
2
1a = 1,376 287 509,1
mK
s K
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123
a* = 448,4 m/s
Finalmente el nmero de Mach para este fluido es
**
*
v 448,5
a 448,4M
M* = 1,0 El Flujo es Snico
Calculo del rea crtica
v
v mA
Reemplazando valores
30,445 / 1 /
448,5m/s
m kg Kg sA
3 2 20,992 10 9,92A m cm
Calculo de la temperatura a la salida de la tobera, como el proceso 1-2 es isentrpico se
cumple que
( 1) /
22 1
1
k K
PT T
P
Reemplazando
(1,376 1) /1,376
2
150600
600
kPaT K
kPa
T2= 410,8 K
Calculo de la velocidad a la salida
2 0 2v 2 ( )PC T T
Reemplazando
21000
v 2 1,051 (604,8 410,8). 1
kJ JK
Kg K kJ
v2 = 638,5 m/s
Calculo de la velocidad del sonido
2 2a = kRT
2
2 2
1a = 1,376 287 410,8
mK
s K
a2 = 402,8 m/s
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124
El nmero de Mach para este fluido es
22
2
v 638,5
a 402,8M
M2 = 1,6 El Flujo es Supersnico
Calculo del volumen especfico a la salida
22
2
RTv
P
Por dato del Ejemplo P2= 150 kPa
Reemplazando
2
2
2
1287 410,8
1
150 1000
mK
kPas KvkPa Pa
3
2 0,786 /v m Kg
Calculo del rea a la salida
222v
v mA
Reemplazando valores
3
2
0,786 / 1 /
638,5m/s
m kg Kg sA
3 2 2
2 1,231 10 12,31A m cm
Eficiencia de una tobera
El objeto de una tobera es convertir la entalpa en energa cintica. Las irreversibilidades reales
del flujo impiden que se lleve a cabo una conversin ideal. La eficiencia de una tobera, tob,
relaciona las conversiones real e ideal:
2
2
2
2s
v2( . .)
( . .) v2
real realtob
ideal
ideal
E C
E C
2
2
otob
o s
h h
h h
(5.25)
Los valores tpicos de la eficiencia de una tobera van de 94% a 99%.
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125
La figura 5.5 ilustra un diagrama T-s correspondiente a una tobera. El rea sombreada
representa el recalentamiento por irreversibilidad en el flujo que incrementa la entalpa de
salida hasta 2. Este efecto de recalentamiento es h2 h2s
Fig. 5.5 Diagrama T-S que ilustra el efecto de recalentamiento (aumento de entalpa por
irreversibilidad) de un fluido real a travs de una tobera.
Ejemplo 5.5
El flujo de aire a travs de una tobera, que tiene una eficiencia del 95%, es de 1,5 kg/s. El aire
entra a 600 K y 500 kPa y sale a 101 Kpa. Determinar el rea transversal de salida, la
velocidad y la entalpa reales.
Solucin:
Calcular las condiciones isentrpicas de salida, y a partir de las mismas, se determinar las
condiciones reales de salida.
Las propiedades del aire a 600K
En tabla A-14 Moran y Shapiro
K = 1,376
Cp=1,051 kJ/kg.K
R = 287 J/kg.K
En la ecuacin isentrpica
( 1) /
22 1
1
k k
s
PT T
P
T1=600 K
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126
P1=500 kPa
P2=101 kPa
Obtenemos
(1,376 1) /1,376
2
101600
500s
kPaT K
kPa
T2s=387,6 K
Como no tenemos mas informacin suponemos v1= 0= v0, por lo tanto h1= h0
De la ecuacin
2v
2Oh h
Despejamos v2/2, cuando v = v2 , para
Estado real
2
20 2
v
2h h
Estado ideal
2
2s0 2
v
2sh h
Como h=CpT para gases ideales, tenemos
2 0 2
2 0 2
otob
o s s
h h T T
h h T T
Despejando la temperatura real, T2, de la ecuacin de la eficiencia
2 0 0 2tob sT T T T
Como no tenemos mas informacin suponemos T0= T1=600 K, reemplazando
2 600 0,95 600 387,6T K K K
Obtenemos, la temperatura real T2 = 398,2 K
La entalpa real es
2 2ph C T
2 1,051 398,2.
kJh K
kg K
h2= 418,5 kJ/kg
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BENITES-CALDERON-ESCATE
127
La velocidad real es
2 0 2v 2 ( )PC T T
Reemplazando
21000
v 2 1,051 / . (600 398,2)1
JkJ Kg K K
kJ
v2 = 651,3 m/s
El volumen especifico real es
22
2
RTv
P
Reemplazando
2
2
2
1287 398,2
1
101 1000
mK
kPas KvkPa Pa
3
2 1,13 /v m Kg
Calculo del rea
222v
v mA
Reemplazando valores
3
2
1,13 / 1,5 /
651,3m/s
m kg Kg sA
3 2 2
2 2,60 10 26,0A m cm
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128
PROBLEMAS PROPUESTOS
5.1 Aire que se puede considerar puede como gas ideal, fluye isentrpica mente por una
tobera. Entra a ella con una velocidad de 150 m/s, a una presin de 700kPa y una
temperatura de 700 K. La presin de salida es de 200 Kpa. Encontrar los valores de las
cantidades siguientes: rea transversal, volumen especfico, velocidad, nmero de Macha y
temperatura, correspondientes a la entrada, en la garganta y a la salida de la tobera. La
intensidad de flujo es de 1 kg/s.
5.2 Vapor de agua a 3.8 Mpa y 206 C, entra a una tobera que tiene un rea de garganta de
4,5 cm2. La tobera descarga a 1,0 MPa. Evalu: (a) La intensidad del flujo, (b) la calidad del
vapor a la salida, (c) el rea de salida (d) el volumen especifico en la garganta.
5.3 Se diseara una boquilla para expandir vapor a una velocidad de 0,15 kg/s desde 500 Kpa,
350 C, a 100 kPa. La velocidad de entrada debe ser muy baja. Para una eficiencia de
boquilla de 75%, determine las reas de salida para los flujos isentrpicos y real.
5.4 Por una tobera convergente-divergente circula aire. El rea de la garganta es de 90 cm2 y
el rea de salida, de 93,4 cm2. La presin de estancamiento es 150 kPa, y la temperatura
correspondiente, de 450 K. La tobera descarga en aire a 100 Kpa. Determinar: (a) la
velocidad de salida y el nmero de Mach; (b) si en el flujo hay el fenmeno de
estrangulamiento o no.
5.5 Por una tobera fluye aire con las condiciones de entrada 600kPa y 1200 K, y con una
condicin de salida de 150 kpa. La eficiencia de la tobera es de 96%. Determine (a) la
velocidad de salida; (b) El nmero de Mach correspondiente a la salida; (c) la intensidad del
flujo si ele rea de la garganta es de 6.45x10-4 cm2.
5.6 A una tobera adiabtica entra vapor de agua a 1,4 Mpa, 260 C y una velocidad
despreciable, y se expande a 140 kPa con una calidad de 97%. Determine (a) las
condiciones de salida del vapor; la eficiencia de la tobera.
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BENITES-CALDERON-ESCATE
129
6. COMPRESIN DE GASES
6.1 INTRODUCCIN
Este capitulo trata del anlisis energtico de los compresores para gases, los cuales
son dispositivos en los que se efecta trabajo sobre un fluido gaseoso, elevando as su
presin. El anlisis energtico es precisamente uno de los aspectos que deben
considerarse al disear un compresor.
Un sistema de compresin de gas se usa en una gran variedad de procesos de
manufactura, para transportar materiales slidos, para proporcionar aire a sistemas
neumticos de control, para impulsar herramientas diversas en la industria de la
construccin, etc. El compresor es un componente indispensable en los sistemas de
refrigeracin y en plantas generadoras de energa turbo gas.
Existen dos tipos de compresores: de movimiento alternativo o reciprocarte (de accin
simple o doble) y de movimiento rotatorio (lbulo, paleta o tornillo).
En la figura 6.1 se ilustra un compresor alternativo de dos pasos. La descarga de la
primera etapa pasa por un enfriador intermedio y prosigue a la segunda etapa.
Observemos que las vlvulas estn formadas por discos flexibles que se flexionan
para abrir y cerrar el conducto, debido a una diferencia de presin.
Figura 6.1 Compresor de aire movimiento alternativo, de dos pasos (o etapas)
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
130
6.2 COMPRESORES ALTERNATIVOS SIN ESPACIO MUERTO
Todos los compresores de movimiento Alternativo tiene un volumen o espacio muerto
entre la parte superior del embolo y la parte correspondiente del cilindro, y en tal
localizacin se encuentran las vlvulas de succin y descarga. Muchos compresores
son de doble accin, lo cual significa que realizan compresin en uno y otro sentido de
su carrera. Consideremos aqu el compresor que acta en una sola direccin. Tambin
consideramos nulo el volumen del espacio muerto, lo cual significa que el gas del
cilindro es expulsado totalmente cuando el embolo se encuentra en el punto muerto
superior de su carrera.
Figura 6.2 Diagrama P-V de compresor alternativo de simple accin sin espacio muerto
En la figura 6.2, se ilustra el diagrama P-V correspondiente a este ciclo.
De 0 a 1, se produce la entrada de gas a presin constante hasta que el
embolo o pistn llega al punto muerto inferior en el estado 1.
El gas es comprimido politrpicamente de 1 a 2 hasta que la presin es igual a
la del gas en la tubera de descarga.
La vlvula de escape se abre y el gas es descargado a presin constante del
estado 2 al estado 3.
Tan pronto retrocede el pistn una distancia infinitesimal la vlvula de succin
se abre y el gas vuelve a entrar de 0 a 1.
La lnea 1 a 2 ilustra un proceso de compresin isotrmica.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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131
Trabajo de un compresor sin espacio muerto
Calculemos ahora el trabajo del ciclo un compresor considerando al gas como ideal o
gas perfecto.
2
1w vdP (6.1)
Considerando el proceso politrpico
nPV C
Obtenemos el trabajo politrpico
1 1 2 21
nw PV PV
n
(6.2)
Tambin se puede ordenar como
1 /
21 1
1
11
n n
Pnw PV
n P
Proceso politrpico (6.3)
Para un proceso isotrmico se tiene
21 11
Pw PV Ln
P
(6.4)
6.3 COMPRESORES ALTERNATIVOS CON ESPACIO MUERTO
A continuacin se aplicar lo expuesto acerca de los compresores de movimiento
alternativo sin espacio muerto a los compresores reales, en que los que existe dicho
espacio. En estos ltimos, el embolo no se desplaza hasta tocar la parte superior del
cilindro, por lo cual queda cierto espacio libre alrededor de las vlvulas, que es
conocido como volumen de espacio muerto y que generalmente se expresa como una
fraccin (o porcentaje) del volumen de desplazamiento total: tal fraccin recibe el
nombre de coeficiente de espacio muerto, c, y se define como
3
D
Vvolumen espacio muertoc
volumen de desplazamiento V (6.5)
Caractersticamente, el valor de c varia por lo general entre 3% y 10%.
La figura 6.3 de la siguiente pagina, muestra el diagrama P-v que corresponde a un
compresor con espacio muerto.
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132
Comenzando en el estado 1 de la
figura, el gas es comprimido
politrpicamente hasta el estado 2; en
ste la vlvula de descarga se abre.
El gas es expulsado a presin
constante desde 2 hasta 3.
En el estado 3, el embolo se
encuentra en el limite superior de sus
carrera, y conforme retrocede, la
vlvula de descarga se cierra y el gas
atrapado se expande hasta alcanzar el estado 4.
En este ultimo la presin del cilindro es lo suficientemente baja para admitir
nuevamente gas a travs de la vlvula de succin hasta llegar al estado 1 y
completar as el ciclo.
Trabajo de un compresor con espacio muerto
Para calcular el trabajo realizado por el ciclo observamos que el rea 1234 es igual a
dicho trabajo y,
rea1234 = rea1234 rea4334
Donde es posible calcular las reas 1234 y 4334 como si fuesen trabajos cclicos
correspondientes a un compresor sin espacio muerto. El trabajo del ciclo ser,
1 / 1 /
321 1 4 4
1 4
1 11 1
n n m m
PPn mw PV PV
n P m P
(6.6)
Para este caso, P3=P2 y P4=P1. Como el trabajo de expansin es pequeo comparado
con el de compresin, el error que implica establecer que m=n, tambin es muy
pequeo. Con tales supuestos y las igualdades de la presin, la ecuacin queda como
1 /
21 1 4
1
11
n n
Pnw P V V
n P
(6.7)
Esta ecuacin representa el trabajo cclico que corresponde a un compresor con
espacio muerto. El termino (v1-v4) representa la cantidad de gas que entra al cilindro a
T1 y P1. Tal como podemos observar en la figura 2.3, cuanto mas pequeo sea el
volumen de espacio muerto, tanto mayor ser el volumen de gas que puede entrar en
el compresor.
Figura 6.3 Diagrama P-V de compresor alternativo
de simple accin con espacio muerto
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133
Ejemplo 6.1
Un compresor ideal tiene un volumen de desplazamiento de 14 litros y un volumen de
espacio muerto igual a 0,7 litros. Toma aire a 100 kPa y lo descarga a 500 kPa. La
compresin es politrpica con n = 1,3, y la expansin es del tipo isentrpico con
m=1,4. Determinar el trabajo neto del ciclo y calcular el error implcito si m=n.
Solucin
3
1 2 0,014DV V V m
3
3 0,0007V m
3
1 0,0147V m
1/
1/1,4 334 3
4
0,0007(5) 0,0022
m
PV V m
P
Luego reemplazamos en la ecuacin
1 / 1 /
321 1 4 4
1 4
1 11 1
n n m m
PPn mw PV PV
n P m P
1,3 1 /1,3 1,4 1 /1,41,3 1,4
(100)(0,147) 1 5 (100)(0,0022) 1 51,3 1 1,4 1
w
w = -2,40 kJ
Si m=n, entonces
1/
1/1,3 334 3
4
0,0007(5) 0,0024
n
PV V m
P
3
1 4 0,0123V V m
Luego reemplazamos en la ecuacin
1 /
21 1 4
1
11
n n
Pnw P V V
n P
1,3 1 /1,31,3
(100)(0,0123) 1 (5)1,3 1
w
w = - 2,39 kJ
El error porcentual es
(2,40 2,39)(100)
0,41%2,40
error
El error es mnimo por lo que es aceptable suponer que m=n.
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134
Ejemplo 6.2
Un compresor de doble accin, con un desplazamiento volumtrico del embolo de 0,05
m3 por carrera, opera a 500 rev/min. El espacio muerto es de 5%, toma aire a 100 kPa
y lo descarga a 600 kPa. La compresin es politropica, Pv1,35=C. Determinar la
potencia requerida, as como la descarga de aire (m3/s).
Solucin
Es necesario determinar V1 y V4
1 3 0,05 (0,05)(0,05)D D DV V V V cV
3
1 0,0525V m
1/
1/1,35 334 3
4
0,0025(6) 0,0094
n
PV V m
P
3
1 4 0,0431V V m
Luego en
1 /
21 1 4
1
11
n n
Pnw P V V
n P
1,35 1 /1,351,35
(100)(0,0431) 1 61,35 1
w
w = -9,829 kJ
Trabajo con Doble accin
w = (2)(-9,829) = -19,658 kJ/ ciclo
500 1
19,658 163,81m n 60
rev mnw kJ kW
seg
Volumen de descarga
1/ 1/1,35
312 1
2
10,0525 0,0139
6
n
PV V m
P
3
2 3 0,0114V V m
2 3500 1
(2)m n 60
desc
rev mnV V V
seg
3500 1
0,0114 (2)m n 60
desc
rev mnV m
seg
30,19 /descv m s
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135
Eficiencia Volumtrica
La funcin de un compresor consiste en tomar gas y elevar su nivel de presin. El
volumen de gas aspirado (durante su carrera) es funcin del desplazamiento
volumtrico del mbolo. El termino
eficiencia volumtrica se utiliza para
describir el grado de efectividad con
que el gas es tomado por un
compresor. La eficiencia volumtrica
ideal, v, es la razn entre el volumen
del gas aspirado y la mxima cantidad
posible de gas que podra ser admitida,
es decir, el volumen de
desplazamiento, VD.
El volumen o la masa, en ciertos casos
pueden emplearse para definir una
eficiencia volumtrica. As pues
1 4
v
D
V VVolumen aspirado
Volumen desplazado V
(6.8)
En la figura 6.4 observamos que 3 Dv c v , y la eficiencia volumtrica ideal se puede
expresar como sigue
1 D DV V cV
Al sustituir en la ecuacin (6.8) obtenemos como resultado
1/
2
1
n
v
Pc c
P
(6.9)
Si analizamos esta ecuacin observaremos que la eficiencia volumtrica disminuye
conforme se incrementa el espacio muerto, as como la presin de descarga. Un
incremento en uno u otro de estos efectos ocasionara que la, masa de gas entrante
sea menor, debido a una mayor masa del gas atrapado en la parte superior del cilindro
cuando el pistn llega al punto muerto respectivo.
En un compresor real no se producen los procesos ideales. La figura 6.5 de la pgina
siguiente ilustra el diagrama P-v real que corresponde a un compresor de movimiento
alternativo.
Figura 6.4 Diagrama P-V Cuando los procesos de expansin y compresin se efectan segn la ley PV
n=C
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136
La presin del gas antes de la toma del compresor debe ser mayor que la presin en
el interior del cilindro, pues de lo contrario del gas no pasara hacia el interior del
mismo. Existen efectos que se oponen al flujo alrededor de las vlvulas de succin, as
como ciertas irreversibilidades en el flujo dentro del propio cilindro. Adems, las
paredes del cilindro del compresor estn calientes, lo cual eleva la temperatura del gas
entrante. Estos efectos combinados reducen el volumen efectivo de gas que puede
aspirar el compresor. Para tener en cuenta estos efectos, la eficiencia volumtrica
ideal es reducida por la razn de la presin interior en el cilindro en el estado 1, a la
presin exterior del gas a tomar de los alrededores, P0. El trmino correspondiente al
efecto de calentamiento es la razn entre la temperatura del gas exterior, T0, y la
temperatura del gas en el estado 1.
01( )0 1
v real v
TP
P T
(6.10)
El trabajo del compresor se incrementar, pues deber realizar una compresin desde
una presin menor que la exterior
de toma a otra mayor que la interior
de descarga. Por qu mayor? Para
que el gas pueda fluir desde el
cilindro y salir por las vlvulas hasta
la tubera de descarga, tiene que
haber una diferencia de presin.
Esta mayor presin debe utilizarse
para calcular el trabajo efectuado
por el compresor. La figura 6.5
tambin ilustra el efecto de la mayor
presin. El trabajo para vencer la
friccin en las vlvulas esta
representada por las reas rayadas
(o achuradas) en la figura 6.5.
Una vez conocida la eficiencia volumtrica de un compresor, podremos determinar
fcilmente su capacidad multiplicando dicho coeficiente volumtrico por el volumen de
desplazado del embolo. Otro problema que surge en la operacin de los compresores
de aire es que la densidad y por tanto, el volumen especfico del aire, varan con la
altitud.
Figura 6.5 Diagrama P-V correspondiente a un compresor de movimiento alternativo y en el que se indican las prdidas en las vlvulas
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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137
Ejemplo 6.3
Un compresor toma aire de los alrededores a 100 kPa y 21C. Existe una cada de
presin de 2 kpa en las vlvulas de toma o succin, y la temperatura al final de la
misma es de 38 C. La presin de descarga vale 480 kPa, y hay una cada de presin
de 20 kPa en las vlvulas de descarga. Determinar (a) las eficiencias volumtricas
ideal y Real; (b) la potencia motriz del compresor si el volumen desplazado del embolo
es de 14 litros y el volumen efectivo es de 11,2 litros. El compresor funciona a 200
rev/min y n=1,35
Solucin
P0 = 100 kPa
P1 = 100-2 = 98 kPa
P2 = 480+20 = 500 kPa
T0 = 21+273 = 294 K
T1 = 38+273 = 311 K
P2 > Pdescarga
1 4 11,2 0,8014
v
D
V V
V
01( )
0 1
98 294(0,80) 0,741
100 311v real v
TP kPa K
P T kPa K
1 /
21 1 4
1
11
n n
Pnw P V V
n P
1 /
21 ( )
1
11
n n
v real D
Pnw P V
n P
1,35 1 /1,351,35 500
(100)(0,741)(0,014) 11,35 1 98
w
w= - 2,10 kJ/ciclo
200 12,10 7
m n 60
rev mnw kJ kW
seg
Hemos visto que el compresor isotrmico emplea el trabajo mnimo. Para aproximarse
a este ideal, en algunos compresores se cuenta con cilindros provistos de camisa de
agua, y en otros se tienen cilindros con aletas exteriores. Cuando se emplean aletas
de disipacin se transfiere una mayor cantidad de calor al aire ambiente que cuando
-
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
138
que cuando las paredes del cilindro son lisas. Cuando mayor sea la transferencia de
calor, tanto menor ser la temperatura en el estado 2, y tanto mas cerca se hallar de
la condicin isotrmica el proceso de compresin.
6.4 COMPRESIN MLTIPLE
Cuando se busca presiones de 300 kPa o ms, se requiere emplear dos o ms etapas
para la compresin, lo que conlleva menos trabajo que si se tratara de una sola etapa.
La evaluacin exacta se hara con base en el costo, como se efectan normalmente
todas las estimaciones. La compresin en pasos sucesivos es mas eficaz debido a
que el gas puede ser enfriado entre cada etapa de compresin. Esto tambin es
necesario para evitar la vaporizacin del aceite lubricante y evitar su ignicin en caso
de que la temperatura se eleve demasiado. Lo anterior podra suceder fcilmente en la
compresin simple, o de una sola etapa, hasta una presin elevada (en un compresor
de un solo paso).
Figura 6.6 Esquema de compresin mltiple con enfriamiento intermedio
La figura 6.6 ilustra un compresor de dos pasos provisto de un enfriador intermedio
entre el primero y el segundo. Idealmente, dicho enfriador bajar la temperatura del
gas que sale de el hasta igualarla a la temperatura con que se inicia la compresin en
la etapa anterior. Las figura 6.7 (a) y 6.7 (b) presentan los diagramas P-V y T-S que
corresponden al compresor. Para lograr esta cada de temperatura, el enfriador
intermedio puede estar provisto de una camisa de enfriamiento con agua. En el caso
de un compresor de dos pasos, tal enfriador puede estar formado por un conjunto de
tubos aleteados paralelos que conectan el colector de descarga de la baja presin con
el colector de succin de la alta presin. Las aletas de ventilacin montadas en el
volante del compresor impulsan aire sobre tubos, enfriando con ello el gas comprimido
que conducen.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
139
El trabajo correspondiente a los cilindros de la primera y la segunda etapa puede
calcularse con la aplicacin de la ecuacin (6.7):
1 /
21 1 8
1
11
n n
prim
Pnw P V V
n P
(6.11)
El trabajo que corresponde a la segunda etapa es
( 1) /
4. 2 3 6
2
1
1
n n
seg
Pnw P V V
n P
(6.12)
La experiencia en la operacin de compresores demuestra que n = n. El trabajo total
de compresin es la suma de los correspondientes a los dos pasos.
1 / ( 1) /
2 41 1 8 2 3 6
1 2
1 11 1
n n n n
total
P Pn nw P V V P V V
n P n P
(6.13)
En el caso de flujo constante en el compresor, la masa que entra al primer paso
tambin entra en el segundo, siendo
1 / ( 1) /
2 41 3
1 2
1 11 1
n n n n
total
P Pn nw mRT mRT
n P n P
(6.14)
Figura 6.7 (a) Diagrama P-V que corresponde a un compresor alternativo de dos pasos. (b)
Diagrama T-S para el caso de compresin en dos etapas con enfriamiento intermedio ideal.
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140
Si se trata de un compresor ideal, T3 = T1. Determinemos ahora el valor de P2 que
reducir al mnimo el trabajo total. Para que totalw sea mnimo, la primera derivada de
la expresin anterior con respecto a la variable P2 debe ser nula. En consecuencia,
2 1 4P PP (6.15)
Cuando el valor de la presin correspondiente al interenfriador esta determinada como
en la ecuacin (6.15), el trabajo es igual en todas las etapas, y el trabajo total ser
mnimo.
La segunda derivada del trabajo total, expresada como el negativo de la ecuacin
(6.14), es positiva; de manera que el trabajo es mnimo.
En el caso de un compresor de tres etapas podemos calcular de manera semejante la
presin para el enfriador intermedio de baja presin, P2, y resulta as:
23
2 1 4( )P P P (6.16)
La presin para el enfriador intermedio de alta presin, P2, ser donde p1 es la presin
en la toma y P4 representa la presin final de descarga.
23
2 1 4( )( )P P P (6.17)
Ejemplo 6.4
Un compresor de aire de dos etapas toma 0,238 m3/s de aire a 100 kPa y 27 C, y lo
descarga a 1000 kPa. El valor de n correspondiente a la compresin es 1,35.
Determinar (a) la potencia mnima necesaria para llevar a cabo la compresin; (b) la
potencia que se requiere para efectuar una compresin en un paso hasta la misma
presin; (c) la temperatura mxima en (a) y en (b); (d) el calor absorbido en el
enfriador intermedio.
Solucin
Calcular la presin ptima, as como el trabajo correspondiente a una etapa de
compresin, y duplicar el resultado para el caso de dos pasos.
(a) En caso de dos etapas a potencia mnima:
2 1 4 (100)(1000) 316P PP kPa
Como el trabajo total ser el mnimo, y el trabajo es igual en ambas etapas
bastar determinar el trabajo en la primera etapa, usando ec. (6.11)
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141
1 /
21 1 8
1
11
n n
prim
Pnw P V V
n P
Usando el flujo volumtrico 1 8V V V , se tiene
1 /
21
1
11
n n
prim
Pnw P V
n P
1,35 1 /1,351,35 316
(100)(0,238) 11,35 1 100
primw
primw = -31,9 kW
primw +seg= -63,8 kW
(b) En el caso de una compresin en un solo paso, P2 =100 kPa,
1,35 1 /1,351,35 1000
(100)(0,238) 11,35 1 100
w
w = -74,9 kW
Esto representa un incremento de 17,4% en la potencia requerida.
(c)
( 1) / (1,35 1) /1,35
2max( ) 1
1
316300 404,2
100
n n
a
PT T K
P
(1,35 1) /1,35
max( )
1000300 544,9
100bT K
(d) En lo que se refiere a la primera ley, el anlisis de sistema abierto para el
enfriador intermedio es
2 1 2 3 3 1; pq h h C T T T T
1,005 404,2 300 104,7 /q kJ kg
1 1
1
0,276 /Pv
m kg sRT
Q mq
(0,276)(104,7) 28,9Q kW
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142
6.5 COMPRESORES DE TIPO ROTATORIO
Aqu se describir la importante clase de los compresores rotatorios. Los principios de
funcionamiento de sus dos principales variantes, de efecto directo y de efecto
centrfugo, son completamente distintos. La
figura 6.8 ilustra un compresor rotatorio de
tipo directo o de accin positiva, el soplador
Rootos, que suele emplearse para
sobrealimentar (o sobrecargar) los motores
Diesel. El aire aspirado queda entre los
rotores o lbulos y la envolvente del
soplador, y es empujado hasta alcanzar la
presin de la tubera de descarga. El
espacio libre entre dichos lbulos y la
carcasa o envolvente, as como entre los lbulos mismos, es muy pequeo para
reducir al mnimo cualquier fuga. Observemos que los rotores giran en sentidos
opuestos, y que a travs del compresor fluye una corriente constante de aire o gas.
En el compresor rotatorio de efecto
centrfugo que se ilustra en la figura 6.9
se utiliza un principio diferente de
operacin. El gas entra axialmente a un
impulsor rotatorio (en el esquema, por el
centro del compresor) y su velocidad va
cambiando a la direccin radial
Debido a la fuerza centrfuga
desarrollada, mientras adquiere una
velocidad angular que se aproxime a la
del impulsor. Conforme el gas se mueve
hacia afuera del compresor, una mayor
cantidad de este fluir hacia el impulsor, creando as un flujo continuo de gas (como el
de un liquido en una bomba centrfuga). A medida que el fluido circula radialmente por
el difusor estacionario, que presenta reas de paso crecientes en direccin radial, la
energa cintica se va convirtiendo en energa de presin. Desde el punto de vista de
la conservacin energtica, la energa cintica disminuye debido a la reduccin de la
velocidad. y la energa se conserva por un aumento en la entalpa. Aun cuando el
proceso fuese isotrmico, la componente PV de la entalpa se incrementa.
Figura 6.8 Compresor rotatorio directo del tipo Roots.
Figura 6.9 Compresor rotatorio centrifugo con difusor.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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143
El compresor rotatorio de flujo axial tiene una apariencia similar a la turbina de vapor,
pero los alabes se encuentran insertados en orden inverso. Con el fin de impulsar el
gas de baja densidad, en primer lugar se tienen los alabes de mayor tamao, y luego
van disminuyendo de altura, puesto que la densidad del gas va aumentando.
Anlisis Energtico
Para calcular el trabajo realizado por compresores del tipo rotatorio o del tipo
alternativo (utilizando el supuesto de flujo constante), es posible formular un balance
de la energa que fluye en el compresor. El cambio de energa cintica es
esencialmente nulo, pues el gas sale con una velocidad casi igual a aquella con la cual
entro. Las tuberas de succin y de descarga son de distinto dimetro para adaptarse
a los cambios de presin y volumen especfico. La perdida de calor por unidad de
masa de gas es muy pequea si consideramos el valor del flujo a travs del
compresor; los cambios de la energa potencial tambin son despreciables. Un anlisis
energtico da entonces por resultado
2 1w m h h (6.18)
Donde h2 es la entalpa real del gas que sale del compresor, y h1 es la entalpa en la
entrada. La figura 6.10 muestra un diagrama T-S para un compresor. La lnea continua
que va de 1 a 2 representa la compresin isentrpica, en tanto que la punteada indica
el proceso irreversible entre las condiciones de entrada y salida. El trabajo ideal es
2 1w m h h (6.19)
y la eficiencia de compresin, com. La ecuacin ser
2 1
2 1
scon
h h
h h
h (6.20)
Figura 6.10 Diagrama T-S de un compresor, donde se muestran los procesos reales e ideales
com
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144
Ejemplo 6.5
Se comprime aire con un compresor centrfugo desde 110 kPa y 300 K hasta una
presin de 330 kPa. La eficiencia interna de compresin es 0,90. Determinar el trabajo
por unidad de masa empleando la ley del gas ideal.
Solucin
Para resolver este trabajo tenemos que determinar h2, la entalpa real a la salida del
compresor, y conociendo este dato y la entalpa en la entrada, podremos calcular el
trabajo
( 1) / (1,4 1) /1,4
22 1
1
330300 410,6
110
k k
PT T K
P
2 1 2 1
2 1 2 1
0,90s sconh h T T
h h T T
h
T2 = 422,9 K
2 1 2 1 123,5 /Pw h h c T T kJ kg
Ejemplo 6.6
Consideremos como sistema abierto un compresor alternativo del tipo mltiple,
enfriado con agua. El agua entra a 21 C y sale a 38 C con un flujo de 0,038 kg/s. El
aire, a razn de 0,227 kg/s, entra a 300 K y 100kPa, y sale a 1000 kPa y 450 K.
Determinar la potencia suministrada.
Solucin
Primera ley, sistema abierto para todo el conjunto de equipos
. . . . .
0 0Q W H E C E P
Donde
Trabajo total (primera etapa + segunda etapa)
. . .
1 2W W W
Calor eliminado por el sistema = calor absorbido por el agua de refrigeracin
22
. .
2 1h o h oQ m h h
22 2
. .
( ) 2 1 0,038 7,186 38 21 .
h o p h o h o
kg kJQ m C T T C
s kg C
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145
.
2,7Q kW
Cambio de entalpa del aire
. .
4 1aH m h h
. .
( ) 4 1 0,227 1,005 450 300.
a p aire
kg kJH m C T T K
s kg K
.
34,2H kW
Despejando la ecuacin de la primera ley para S.A.
. . .
W Q H
Reemplazando valores
. .
2,7 34,2 37W kW
6.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
6.1 Calcule la eficiencia volumtrica de un compresor de un solo cilindro y doble
accin, con dimetro interior y carrera de 0,45 m y 0,45 m respectivamente. El
compresor se prueba a 150 rev/min y se encuentra que maneja gas de 101,3 kPa y
300 K a 675 kPa, a razn de 0,166 m3/s, cuando n = 1,33 para los procesos de
expansin y de compresin.
6.2 Un compresor de movimiento alternativo con 3% de espacio muerto, toma aire a
100 kPa y 300 K, y lo descarga a 1,0 Mpa. La expansin y la compresin son
politrpicas, con n = 1,25. Se produce una cada de presin de 5% a travs de las
vlvulas de succin y de descarga. Las paredes del cilindro calientan el aire hasta
38 C al finalizar la carrera de succin. Determine (a) las eficiencias volumtricas
teorica y real; (b) el trabajo realizado por kilogramo; (c) el porcentaje de trabajo
necesario para vencer las perdidas de estrangulacin.
6.3 Un compresor de aire de un cilindro y doble accin funciona a 220rev/min, con una
velocidad en el embolo de 200 m/s. El aire es comprimido isentropicamente de
96.5 kPa y 289 K, a 655 kPa. El espacio muerto en el compresor es de 4,5%, y el
flujo de aire, de 0,4545 kg/s. Determine, para n = 1,35, (a) la eficicacia volumtrica;
(b) el volumen de desplazamiento; (c) la potencia motriz; (d) el dimetro interior y la
carrera si L=D.
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146
6.4 Un compresor de gas natural maneja 100 m3/s de gas a 101 kPa y 280 K. La
presin de descarga es de 500 kPa. La compresin es politrpica con n = 1,45.
Determine (a) la potencia requerida; (b) la temperatura de descarga; (c) la potencia
isotrmica necesaria.
6.5 Un soplador Roots se utiliza para sobrealimentar un motor de combustin interna.
El aire entra a 300 K y 98 kPa y sale a 122 kPa. El flujo es de 1,5 m3/s.
constante.
6.6 Un compresor impulsado por una turbina maneja 10 kg/s de aire a 100 kPa a 60 K,
con una temperatura en la succin de 300 K, y una temperara en la descarga de
530 k. La toma tiene un dimetro de 0,5m, y la descarga, de 0,2 m. La compresin
es adiabtica. Determine 8) la velocidad del aire en la entrada y en la salida; (b) la
eficiencia de compresin isentrpica; (c) la potencia requerida.
6.7 Un compresor de aire del tipo alternativo con dos etapas, se requiere para
suministrar 0,70 kg/s de aire desde 98,6 kPa y 305 K hasta 1276 kPa. El
compresor funciona a 205 rev/min; los procesos de compresin y expansin siguen
la ley Pv1.25 = C, y los dos cilindros tiene un espacio muerto de 3,5%. Se produce
una caida de presin de 20 kPa en el enfriador intermedio. El cilindro de baja
presin descarga el aire a una presin optima, al enfriador. El aire entra al cilindro
de alta presin a 310 K. Se usa agua en el enfriador intermedio, la cual entra a 295
K y sale a 305 K. Determine (a) la capacidad (en aire libre), en m3/s; (b) las
temperaturas de descarga en la alta y en la baja presin; (c) la presin optima
entre las etapas; (d) el flujo de agua de enfriamiento para el enfriador, en kg/s;(e) la
potencia terica requerida; (f) las dimensiones del cilindro de baja presin si L/D
=0,70; (g) la potencia del motor en kW, si las eficiencias de compresin adiabtica
son de 83%, y la eficiencia mecnica, de 85%.
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147
7. MEZCLAS NO REACTIVAS: GAS IDEAL. COMPOSICIN. PROPIEDADES.
ENTROPIA.
7.1 INTRODUCCIN
Una sustancia pura se define como una sustancia que es homognea y sin cambios
en su composicin qumica. Mezclas homogneas de gases que no reaccionan una
con la otra, son por lo tanto, sustancias puras, y las propiedades de tales mezclas
pueden ser determinadas justamente como las propiedades de cualquier otra
sustancia pura. Las propiedades de mezclas comunes tales como aire y ciertos
productos de combustin han sido tabulados o fijados por ecuaciones, pero ya que es
posible un nmero ilimitado de mezclas, las propiedades de todas ellas no pueden ser
tabuladas.
Debido a que los ingenieros frecuentemente tratan con mezclas. Debemos ser
capaces de calcular las propiedades de cualquier mezcla a partir de las propiedades
de sus componentes. Este captulo discute tales clculos, primero para mezclas de
gases y despus para mezclas de gas y vapor.
7.2 ANLISIS DE MEZCLAS
Si una mezcla de gas consiste en los gases A, B, C. y as sucesivamente. La masa de
la mezcla es la suma de las masas de los gases componentes:
...m A B C im m m m m (7.1)
Donde el subndice m se refiere a la mezcla y el subndice i se refiere al isimo
componente
Fraccin de Masa
La fraccin de masa (o concentracin) de cualquier componente i se define como
,iim
mx
m ,AA
m
mx
m .etc (7.2)
Anlisis de Masa
Un anlisis de masa (algunas veces llamado anlisis gravimtrico) se expresa en
trminos de las fracciones de masa y
1 ...A B C ix x x x (7.3)
El nmero total de moles de una mezcla es la suma del nmero de moles de
sus componentes:
...m A B C iN N N N N (7.4)
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148
Fraccin Molar
La fraccin molar y se define como
,iim
Ny
N ,
AA
m
Ny
N .etc (7.5)
Anlisis Molar
Un anlisis molar se expresa en trminos de las fracciones molares, y
1 ...A B C iy y y y (7.6)
El Numero de moles N, la masa m, y la masa molar M de un componente (subndice i)
y el de toda una mezcla (subndice m) estn relacionados por
i i im N M
m m mm N M (7.7)
Donde Mm es la masa molar de la mezcla Sustituyendo de la ecuacin (7.7) en la
ecuacin (7.1) se obtiene
m i i im m N M
i imm i i
m m
N MmM y M
N N
(7.8)
De las ecuaciones anteriores, una relacin til para conversiones de anlisis de
mezcla es
mi i
i
My x
M (7.9)
7.3 PRESIN PARCIAL
La presin parcial Pi de un componente i en una mezcla de gas se define como
i i mP y P
A A mP y P .etc (7.10)
Donde y es la fraccin molar. De esta definicin, la suma de las presiones parciales de
los componentes de una mezcla de gases es igual a la presin de la mezcla
i i m m i mP y P P y P (7.11)
Esto se aplica a cualquier mezcla de gases, ya sea que esta sea o no un gas ideal.
7.4 VOLUMEN PARCIAL
El volumen parcial vi de un componente i en una mezcla de gases se define como
i i mv y v
A A mv y v .etc (7.12)
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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149
La suma de los volmenes parciales de los componentes de una mezcla de gases es
igual al volumen de la mezcla:
i i m m i mv y v v y v (7.13)
El volumen parcial, por supuesto, no es el volumen real de un componente tal como
este existe en la mezcla debido a que cada componente llena el volumen entero del
recipiente que contiene la mezcla.
Las definiciones de presin parcial y volumen parcial son generales y son validas para
todas las mezclas. Veremos que para mezclas de gases ideales, presin parcial y el
volumen parcial tienen un significado fsico.
Se acostumbra usar dos modelos diferentes de mezclas de gases, el modelo de
Dalton y el modelo de Amagat. Nosotros usamos ambos en este libro. En nuestras
descripciones de mezclas de gases ideales confinamos nuestra atencin a los casos
donde la mezcla misma es un gas ideal. Teniendo en mente, sin embargo, que una
mezcla de gases ideales no siempre es ella misma un gas ideal. Qu tan cerca se
ajusta la mezcla a la ecuacin de estado de un gas ideal, depende de la presin de la
mezcla, temperatura y masa molar.
7.5 EL MODELO DE DALTON
El modelo de Dalton es un modelo aditivo de presiones
Figura 7.1 El modelo de Dalton
Para una mezcla de gases ideales que es tambin un gas ideal, la presin de la
mezcla es
( ...)...m m A B m A m B mm
m m m m
N RT N N RT N RT N RTp
V V V V
' ' ' ' ' '...A A m m B B m m i i m mp N T V p N T V p N T V (7.14)
Donde ' 'A A m mp N T V ' 'A A m mp N T V es la presin de NA moles del componente A a la
temperatura Tm y al volumen Vm. Repitiendo, el modelo de Dalton dice:
La presin de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de las presiones de sus
componentes, si cada uno existe solo a la temperatura y volumen de la mezcla.
Hemos mostrado que el modelo de Dalton es valido para mezclas de gases ideales,
pero este tambin es aproximadamente valido para mezclas de gases reales, incluso en
algunos intervalos de presin y temperatura donde pv = RT no es exacta.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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150
Combinando la ecuacin de estado de un gas ideal para pA, la ecuacin anterior para
Pm, y la definicin de presiones parciales da
' 'A m A
A A m m m A m A
m m
N RT Np N T V gas ideal p y p p
V N (7.15)
Esto es, en una mezcla de gases ideales, la presin parcial de cada componente es
igual a la presin que este componente debera ejercer si existiera solo a la tempe-
ratura y volumen de la mezcla. Otra descripcin del modelo de Dalton es la que sigue;
En una mezcla de gases ideales, cada componente se comporta en todos los
aspectos como si existiera solo a la temperatura de la mezcla y su presin parcial o
equivalentemente, a la temperatura y volumen de la mezcla.
Vase la figura 7.1. Por lo tanto, la energa interna y la entropa de una mezcla gas
ideal son iguales, respectivamente, a las sumas de las energas internas y entropas
de los componentes si cada uno existe solo a la temperatura y volumen de la mezcla
o, equivalentemente, a la temperatura de la mezcla y la presin parcial del
componente.
3.6 EL MODELO DE AMAGAT
El modelo de Amagat es un modelo aditivo de volumen
Figura 7.2 El modelo de Amagat
Si una mezcla de gases ideales es tambin un gas ideal, entones para una mezcla de
gases ideales A, B y C, y as sucesivamente,
......
A B mm m A m B mm
m m m m
N N TN RT N RT N RTV
p p p p
' ' ' ' ' '...A A m m B B m m i i m mV N T p V N T p V N T p (7.16)
Donde ' 'A A m mV N T p es el volumen de NA moles del componente A a la Temperatura Tm y a la presin pm . As, el modelo de Amagat dice:
El volumen de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de los volmenes de
sus componentes si cada uno existe solo a la temperatura y presin de la mezcla.
Vase la figura 7.2. Como el modelo de Dalton, el modelo de Amagat es preciso solo
para gases ideales, pero es aproximadamente vlido para mezclas de gases reales
incluso en algunos rangos de presin y temperatura donde pv = RT es inexacta.
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
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151
Fraccin de volumen
Para mezclas de gases ideales se utiliza con frecuencia el anlisis volumtrico. La
fraccin de volumen se define como
Fraccin de Volumen de ' 'A A m m
m
V N T pA
V m' m
m' m
Volumen de A existente solo en T p
Volumen de la mezcla en T p (7.17)
La fraccin de volumen no se define como la relacin del volumen de un componente
al volumen de la mezcla, ya que esta relacin siempre es unitaria. Esto es verdadero
ya que en la mezcla real cada componente ocupa un volumen igual al volumen de la
mezcla. En otras palabras, existe, perfectamente mezclado, a travs del volumen de
toda la mezcla. El volumen parcial es simplemente una construccin que es til para el
anlisis de gases. Note tambin que definimos la fraccin de volumen o anlisis
volumtrico solo para mezclas de gases ideales, ya que s1o para gases ideales el
modelo de Amagat o de volumen aditivo es preciso. La fraccin de volumen de un
componente en una mezcla gas ideal es igual a su fraccin molar, como puede mostrarse
por
' 'A A m m A m m AA
m m m m m
V N T p N RT p Ny
V p N RT N
(7.18)
Y el volumen de un componente de mezcla de un gas ideal, si existe solo Pm y Tm es
igual al volumen parcial del componente en la mezcla:
' ' gas idealA A m m A m AV N T p y V V (7.19)
La igualdad de la fraccin de volumen y la fraccin molar en una mezcla gas ideal nos
permite escribir las unidades de fraccin de volumen como moles del componente por
mol de mezcla; haciendo esto simplificamos la conversin entre anlisis volumtrico y
anlisis de masa. Tales conversiones pueden hacerse ya que las mezclas de gas son
frecuentemente analizadas sobre una base volumtrica, pero un anlisis de masa es
generalmente ms til al relacionar las propiedades de una mezcla a las propiedades de
sus componentes. La conversin de una base a la otra se ilustra en los dos ejemplos que
siguen. Ntese que la presin y la temperatura de la mezcla no tienen importancia en Ia
conversin. Una mezcla de gas ideal puede ser calentada, enfriada, comprimida o
expandida, y su anlisis volumtrico permanece constante, tal como lo hace su anlisis
de masa. Dos sugerencias al hacer las conversiones son (1) utilizar una forma tabular si
existen ms de dos componentes y (2) escribir las unidades en la cabeza de cada
columna, y observarlas cuidadosamente.
El modelo de Dalton se usa de manera ms amplia que el modelo de Amagat, pero cada
uno tiene sus ventajas, de modo que frecuentemente se usan juntos. Por ejemplo, el
anlisis volumtrico, el cual esta basado en el modelo de Amagat, se usa con frecuencia
en conexin con clculos basados ampliamente sobre el modelo de Dalton.
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152
Ejemplo 7.1 Anlisis de conversin: volumtrico a masa
Un gas tiene el siguiente anlisis volumtrico en porcentajes: H2, 46.0; CO,
10.5: CH4, 31.0; y N2, 12.5. Determine el anlisis de masa.
Solucin
En la tabla de siguiente, los datos estn dados en las columnas a y b. Las masas molares
aproximadas se listan en la columna c. Los valores en la columna d son los productos de
aquellos de las columnas b y c. La suma de la columna d es la masa de un mol de
mezcla o la masa molar de la mezcla. Los valores de la columna e se obtienen al dividir
los valores de la columna d por el total de la columna d.
Ejemplo 3.2 Anlisis de conversin: masa a volumtrico
Una mezcla de gas tiene el siguiente anlisis de masa en porcentajes:
H2, 10; CO, 60; y CO2, 30. Determinar el anlisis volumtrico.
Solucin
Las hojas de clculo electrnicas son convenientes para tales clculos y son
especialmente convenientes cuando deben ser considerados varios casos. Mostramos
aqu una solucin de hoja de clculo usando masas molares aproximadas, y otra
utilizando valores precisos. A continuacin procede agregar otros gases o calcular otras
cantidades de inters.
Comentario: Ntese que el H2 fue solo 10% de la mezcla por masa pero una fraccin
mayor de la mezcla por volumen. Esto es razonable ya que el H2 es el componente
menos denso. Esta clase de verificacin sobre la razonabilidad del resultado debera
hacerse para todas las conversiones de anlisis de mezclas.
a b c d e
Componente
i
Analisis
volumetrico
yi
(kmol/kmold
e mezcla)
Masa molar,
Mi (kg/kmol)
yiMi
(kg/kmol de
mezcla)
Analisis de
masa
yiMi/Mm
(kg/kg de
mezcla)
H2 0.460 2 0.92 0.07
CO 0.105 28 2.94 0.24
CH4 0.310 16 4.96 0.40
N2 0.125 28 3.50 0.28
1.000 Mm= 12.32 1.00
a b c d e
Componente
i
Analisis de
masa xi
(kg/kg de
mezcla)
Masa molar,
Mi (kg/kmol)
xi/Mi
(kmol/kg de
mezcla)
Analisis
volumetrico
yi
(kmol/kmol
de mezcla)
H2 0.100 2 0.0500 0.64
CO 0.600 28 0.0214 0.27CO2 0.300 44 0.0068 0.09
1.000 0.0782 1.00
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153
7.7 PROPIEDADES DE MEZCLAS DE GAS-IDEAL BASADAS EN EL MODELO DE DALTON
Para discutir las propiedades de mezclas de gas-ideal, considrese una mezcla de
tres gases ideales, A, B y C (el resultado puede ser generalizado fcilmente a una
mezcla de cualquier nmero de componentes). Las propiedades de tal mezcla, en
trminos de las propiedades de sus componentes, se discuten aqu.
Temperatura. Para cualquier mezcla uniforme, la Temperatura es la misma para
cada componente y para la mezcla: (tambin es vlido para el modelo de Amagat.)
m A B CT T T T (7.20)
Masa, nmero de moles y masa molar. La masa, el nmero de moles y la masa
molar de una mezcla, estn dadas por
m A B C
m A B C
m A A B B C C
m m m m
N N N N
M y M y M y M
(7.21)
Estas relaciones son vlidas para todas las mezclas, no solo para gases ideales
(Tambin son vlidas para el modelo de Amagat.)
Presin. Utilizando el modelo de Dalton para una mezcla de gas-ideal mostramos que
la presin parcial es igual a la presin de los componentes a la temperatura y volumen
de la mezcla. Ya que la suma de las presiones parciales debe igualar a la presin de la
mezcla, se sigue que la suma de las presiones componentes al volumen y
temperatura de la mezcla es igual a la presin de la mezcla.
El concepto de Dalton de que cada componente se comporta en todos aspectos como
si existiera solo, a su presin parcial y a la temperatura de la mezcla, esta de acuerdo
con el modelo molecular que muestra que la presin de un gas ideal es el resultado del
bombardeo de las molculas del gas sobre las paredes del recipiente. Desde este
punto de vista es fcil separar la presin de una mezcla en partes, cada una atribuible
al bombardeo de las paredes de un recipiente por las molculas de un componente.
Es imposible medir directamente la presin de solo un componente de la mezcla; sin
embargo, con frecuencia es conveniente tratar la presin parcial de un componente en
una mezcla de gas-ideal como la presin ejercida por dicho componente como si este
existiera solo en la mezcla.
Volumen. El volumen de cada componente de una mezcla de gas es el mismo que el
volumen de la mezcla debido a que las molculas de cada componente se encuentran
en libertad para moverse a travs del espacio total ocupado por la mezcla.
' ' ' ' ...A A A m B B B m mV N p T V N p T V (7.22)
INGENIERIA EN ENERGIA UNS TERMODINAMICA II
BENITES-CALDERON-ESCATE
154
Aqu, VA (NA , PA , Tm ) es el volumen de un componente A, tal como existe en la
mezcla, esto es, a la presin parcial pA y Temperatura de la mezcla Tm.
Energa interna, entalpa, entropa Para una mezcla de gases ideales, el modelo de
Dalton conduce a
' ' '
' ' '
' ' ' ' ' '
m A A m B B m C C m
m A A m B B m C C m
m A A A m B B B m C C C m
U U N T U N T U N T
H H N T H N T H N T
S S N p T S N p T S N p T
(7.23)
y expresiones similares para otras propiedades tales como Am y Gm. En estas
ecuaciones, las propiedades de los componentes deben ser evaluadas como si cada
componente existiera solo a la temperatura y volumen de la mezcla o a su presin
parcial y a la temperatura de la mezcla. La energa interna y la entalpa de un gas ideal
son funciones de la temperatura solamente, la nica temperatura que usamos al
evaluar las propiedades de una mezcla o de sus componentes es la temperatura de la
mezcla Tm. Sin embargo, la entropa de un gas ideal es una funcin de dos
propiedades, de manera que la componente de entropa debe ser evaluada a la
temperatura de la mezcla y la presin parcial del componente, o equivalentemente, a
la temperatura y volumen de la mezcla. Vase nuevamente la figura 7.1 que ilustra el
modelo de Dalton. Por unidad de masa esas expresiones son
m A B C A A B B C Cm
m m m
m A A B B C Cm
m m
A A B B C CAm
m m
U U U U m u m u m uU
m m m
H m h m h m hh
m m
m s m s m sSs
m m
(7.24)
Calores especficos, constante de gas.
Ya que
CA Bm A B C
m m m
mm mU u u u
m m m (7.25)
cv de una mezcla est dado por
m C CA A B Bvm
v vv vm m m
A vA B vB C vC CA BvA vB vC
m m m m
A vA B vB C vC
u m um u m uc
T m T m T m T
m c m c m c mm mc c c
m m m m
x c x c x c
(7.26)
De manera similar,
Sm
um
um
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155
CA Bpm p A pB pC
m m m
mm mc c c c
m m m (7.27)
Y
CA Bm A B C
m m m
mm mR R R R
m m m (7.28)
La constante de gas de la mezcla puede obtenerse tambin por
m
m
RR
M (7.29)
Ejemplo 7.3 Propiedades de mezclas de gas-ideal
Una mezcla de gas a 100 kPa, 25C, tiene un anlisis de masa de 20% de hidrgeno,
30% de nitrgeno, y 50% de oxgeno. Determine (a) las presiones parciales de los
componentes y (b) el calor especifico a presin constante, cp
Solucin:
a) Para determinar las presiones parciales convertimos primero el anlisis de
masa a un anlisis volumtrico o molar:
(b) El Cp de la mezcla es el promedio pesado de Cp que se obtiene mediante
0,20(14,3) 0,30(1,04) 0,50(0,919) 3,63 / .pm i piC x C kJ kg K
Ejemplo 7.4 Proceso de una mezcla de gas-ideal
Una mezcla con una composicin molar de 70% de helio y 30% de oxigeno se
comprime reversiblemente y adiabticamente de 14.0 psia, 50F, a 45 psia. Determine
(a) la temperatura final, (b) el trabajo por libra de mezcla, y (c) el cambio de entropa
de cada componente por libra de mezcla.
Solucin:
Anlisis: En los rangos de presin y temperatura involucrados podemos modelar la
mezcla de gas como un gas ideal. Los calores especficos del helio, un gas
monoatmico, son constantes, y la variacin del calor especfico del oxgeno es
a b c d e f
Componente
i
Analisis de
masa xi
(kg/kg de
mezcla)
Masa molar,
Mi (kg/kmol)
xi/Mi
(kmol/kg de
mezcla)
Analisis
Volumetrico,
yi
(kmol/kmol
de mezcla)
Presin
pracial,
yiPm (kpa)
H2 0.20 2.00 0.10 0.79 79.15
N2 0.30 28.00 0.01 0.08 8.48
O2 0.50 32.00 0.02 0.12 12.37
1.00 0.13 1.00 100.00
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156
probablemente pequea para el rango limitado de temperatura resultante de una
razn de presin de aproximadamente tres. Por lo tanto, suponemos que la mezcla
puede ser modelada como un gas ideal con calores especficos constantes.
Para un proceso adiabtico reversible de un gas ideal con calores especficos
constantes, podemos obtener la temperatura final a partir de la relacin pT obtenida al
combinar la ecuacin de estado de un gas ideal y pvk = constante.
Puede obtenerse trabajo a partir de la primera ley, ya que podemos evaluar el cambio
en la energa interna a partir de la temperatura de estado final y del estado inicial.
El cambio de entropa para cada componente puede obtenerse integrando una de las
ecuaciones T ds, ya que cada componente acta como si existiera solo a su presin
parcial y a la temperatura de la mezcla.
(a) Para determinar los calores especficos de la mezcla, determinamos primero
el anlisis de masa:
Entonces, los calores especficos de la mezcla, usando los calores especficos
componentes a partir de tablas a una temperatura media estimada de 150F, estn
dados por
2
20.226(1.24) 0.774(0.222) 0.452 B/lbm-R
OHepm pHe pO
m m
mmc c c
m m
2
20.226(0.745) 0.774(0.160) 0.292 B/lbm-R
OHevm vHe vO
m m
mmc c c
m m
0.4521.548
0.292
pm
m
vm
ck
c
Como suponemos que los calores especficos son constantes, la temperatura final para
el proceso adiabtico reversible es
1 / 0.548/1.5482
2 1
1
45510 771 R 311 F
14
m mk k
pT T
p
(b) Aplicando la primera ley al sistema cerrado para este proceso adiabtico,
tenemos
2 1 2 1 0entrada m m vmW u u q c T T
Componente
Analisis
volumetrico
(lbmol/lbmol
de mezcla)
Masa molar
(lbm/lbmol)
(lbm/lbmol
de mezcla)
Analisis de
masa
(lbm/lbm de
mezcla)
He 0.7 4 2.80 0.226
O2 0.3 32 9.60 0.774
1.0 Mm= 12.40 1.000
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157
0.292(771 510) 76.2 B/lbm
(c) Para este proceso adiabtico reversible la entropa de la mezcla debe permanecer
constante. La entropa de cada componente puede cambiar, pero la suma de los
cambios de entropa de los dos componentes debe ser cero. Para cualquier proceso
de un gas ideal,
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
pc dTdh vdp dps ds R
T T T p
y si Cp es constante, el cambio de entropa para cada componente i es
22
1 1
ln ln ii pii
pTs c R
T p
Para cada componente en la mezcla, las presumes que son usadas son las parciales,
pero ntese que para cada gas,
2 2 2 2
1 1 1 1
i i m m
i i m m
p y p p
p y p p
Ya que y2 = y1. As, aplicando la ecuacin para S al helio, tenemos B
.
.
.
386771 451.24ln ln 0.0668 B/ .
510 778 14
ft lbf
lbm RHe ft lbf
B
s lbm R
Por libra de mezcla,
0.226( 0.0668) 0.0151 B/ .He He He
m m
s m slbm mezcla R
m m
Para el oxgeno,
2
771 48.3 450.222ln ln 0.0193 B/ .
510 778 14Os lbm R
y, por libra de mezcla,
2 2 2 0.774(0.0193) 0.0149 B/ .O O O
m m
s m slbm mezcla R
m m
Dentro de los limites de precisin de los clculos mostrados, esos dos valores s por
libra de mezcla para el helio y para el oxigeno son iguales en magnitud aunque
opuestos en signo. Es realmente innecesario calcular ambos valores s de esta
manera, excepto como un chequeo de los clculos, ya que conocemos que su suma
es cero.
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158
7.8 MEZCLAS DE GASES IDEALES
En las dos secciones precedentes discutimos mezclas de gases ideales y
relacionamos las propiedades de las mezclas a las propiedades de los gases ideales
componentes. Tratamos con estados de mezcla. Ahora regresaremos al proceso de
mezclado. Relacionamos los estados de los componentes antes del mezclado con los
estados de la mezcla y los componentes individuales despus de que el mezclado
ocurre.
El problema usual es determinar las propiedades de una mezcla formada por
componentes de mezcla con propiedades conocidas. No se involucran nuevos
principios. Simplemente aplicarnos la primera ley y el principio de conservacin de la
masa a un sistema seleccionado convenientemente. Por ejemplo, considere la mezcla
adiabtica de tres gases, A, B y C, a diferentes presiones y temperaturas en un
sistema cerrado de volumen fijo. Los gases pueden estar inicialmente en tres
tanques conectados por tuberas, o pueden estar en tres partes de un tanque
separados por paredes como en la figura 7.3. Si las paredes se rompen o se quitan o
las vlvulas se abren, los tres gases formarn una mezcla que tiene una masa y un
volumen dados por
m A B C
m A B C
m m m m
V V V V
(7.30)
Donde VA, VB y Vc son los volmenes de los componentes antes de mezclarse. El
proceso de mezclado se especific como adiabtico y no hay trabajo realizado; as, la
energa interna del sistema permanece constante y
m A B CU U U U
Figura 3.3 Tres gases ideales en sistemas adiabticos antes de mezclarse.
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Donde UA, UB y Uc son las energas internas de los componentes antes de ser
mezclados. La energa interna de la mezcla es tambin igual a la suma de las
energas internas de los componentes antes de la mezcla, pero la energa interna de
cada componente generalmente no es la misma antes y despus de ser mezclados.
Como la energa interna del sistema completo permanece constante, la suma de los
cambios de energa interna de los componentes es cero:
0A B CU U U U (7.31)
o
Para cualquier gas ideal, la energa interna u es una funcin solo de la Temperatura,
por lo que la ecuacin anterior puede escribirse corno
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0A A m A A B B m B B C C m C CU m u T u T m u T u T m u T u T (7.32)
Si la relacin uT para cada gas se introduce en un programa solucionador de
ecuaciones, esta ecuacin puede ser resuelta para la temperatura de la mezcla. Para
el caso especial de los valores de cv que son constantes para cada componente en
todo el rango de temperatura, esta ecuacin puede reducirse a
A vA A B vB B C vC Cm
A vA B vB C vC
m c T m c T m c TT
m c m c m c
(7.33)
La derivacin de esta ecuacin no involucra ninguna suposicin referente a una
temperatura a la cual U=0, ni se estipulo que U = 0 a la misma temperatura para
todos los componentes.
Despus de que la temperatura de la mezcla ha sido determinada, la presin puede
calcularse de
m m mm
m
m R Tp
V (7.34)
Rm puede determinarse del anlisis de la mezcla
Como el proceso de mezclado que estamos considerando es irreversible y adiabtico,
la entropa del sistema debe incrementarse. La entropa de la mezcla, aunque es igual
a la suma de las entropas de los componentes mientras existen en la mezcla, es
mayor que la suma de las entropas de los componentes antes de mezclarse. El
cambio de entropa del sistema complete es
0A B Cs S S S (7.35)
0A A B B C CU m u m u m u
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Y el cambio de entropa para cada componente puede calcularse como si cada
componente existiera solo y se expandiera desde sus condiciones iniciales a la
temperatura y volumen de la mezcla, siendo su presin final, por lo tanto, su presin
parcial en la mezcla.
Hemos ilustrado aqu que no intervienen nuevos principios o tcnicas en !a
determinacin de las propiedades de una mezcla de gas-ideal formada por
componentes de propiedades conocidas en un sistema adiabtico cerrado, rgido.
Pueden ser analizados tambin mezclado no adiabtico y mezclado en
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