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第四章第四章 DFTDFT 與與 ZZ 轉換的應用轉換的應用

由第三章延伸﹐應用由第三章延伸﹐應用 DFTDFT 與與 ZZ 轉換的理轉換的理論求出輸出的響應﹐並分析系統的特性論求出輸出的響應﹐並分析系統的特性以及行為。以及行為。

為了改善為了改善 DFTDFT 的運算量﹐介紹的運算量﹐介紹 FFTFFT 理論。理論。

22

DFTDFT 的應用的應用 ----4.1.1 ----4.1.1 以以 DFTDFT 與與 IIDFTDFT 求輸出響應求輸出響應

輸入信號輸入信號 x(n)x(n) 的的 DFTDFT 與系統特性的與系統特性的 DFTDFT進行相乘﹐再將此結果予以進行相乘﹐再將此結果予以 Inverse-DFTInverse-DFT即可得到輸出的響應即可得到輸出的響應 y(n)y(n) 。其示意圖如圖。其示意圖如圖4.1-14.1-1。。

33

圖圖 4.1-1 DFT4.1-1 DFT 求出輸出響應示意求出輸出響應示意圖圖

44

圖圖 4.1-2 4.1-2 以以 DFTDFT 求出輸出響應與求出輸出響應與環形摺積比較圖環形摺積比較圖

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4.1.2 4.1.2 快速傅立葉轉換快速傅立葉轉換 (FFT)(FFT)

FFTFFT運用的方法有兩個方式﹐一為在時間上消運用的方法有兩個方式﹐一為在時間上消去法﹐稱為去法﹐稱為 Decimation-in-time﹐Decimation-in-time﹐另一為在頻另一為在頻率上消去法﹐稱為率上消去法﹐稱為 Decimation-in-frequencyDecimation-in-frequency。。這兩種方法其實並未脫離這兩種方法其實並未脫離 FFTFFT的運算精神﹐也的運算精神﹐也就是蝴蝶運算就是蝴蝶運算 (Butterfly computation)(Butterfly computation)。。

以下分成三個部份來談以下分成三個部份來談 FFT﹐FFT﹐一為位元反置一為位元反置(Bit-reverse)﹐(Bit-reverse)﹐第二為第二為 22的基數演算法的基數演算法 (Radix-(Radix-2 FFT algorithm)﹐2 FFT algorithm)﹐最後談到最後談到 FFTFFT的真正運作的真正運作方式﹐蝴蝶演算法。方式﹐蝴蝶演算法。

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位元反置位元反置

將二進位表示法的位元頭尾位置互換。將二進位表示法的位元頭尾位置互換。

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22的基數演算法的基數演算法

執行執行 DFTDFT 運算的切割數運算的切割數 NN 訂為﹐如此才訂為﹐如此才能做位元反置的動作。同時每做完一次步能做位元反置的動作。同時每做完一次步驟﹐旋轉因子切割為二﹐也就是其次方增驟﹐旋轉因子切割為二﹐也就是其次方增加二倍。加二倍。

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蝴蝶演算法蝴蝶演算法

以圖形的形狀類似一隻隻的蝴蝶而稱之。把以圖形的形狀類似一隻隻的蝴蝶而稱之。把輸入序列執行切割數為輸入序列執行切割數為 NN的的 DFT N﹐DFT N﹐ 與執與執行蝴蝶運算的步驟數與乘法數以及旋轉因子行蝴蝶運算的步驟數與乘法數以及旋轉因子有關。經過位元反置後的輸入序列﹐第一步有關。經過位元反置後的輸入序列﹐第一步產生產生 N/2N/2隻蝴蝶﹐第二次產生隻蝴蝶﹐第二次產生 N/4N/4隻蝴蝶﹐隻蝴蝶﹐依此類推﹐直到只剩下一隻蝴蝶即停止運依此類推﹐直到只剩下一隻蝴蝶即停止運算﹐運算完成的算﹐運算完成的 DFTDFT結果為依序結果為依序 00至至 N-1N-1的的 X(k)X(k)。以下先以一隻蝴蝶的結構說明。。以下先以一隻蝴蝶的結構說明。如圖如圖 4.1-3 4.1-3

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圖圖 4.1-3 4.1-3 單隻蝴蝶結構圖單隻蝴蝶結構圖

如果是切割數如果是切割數 NN為為 4﹐4﹐如圖如圖 4.1-4﹐4.1-4﹐

x(0)

x(1)

X(0)

X(1)

1

1

02W

12W

上支

下支

1010

圖圖 4.1-4 4.1-4 二隻蝴蝶結構圖二隻蝴蝶結構圖

x ( 0 )

x ( 1 )

1

1

04W

24W

上支

上支 1

1

04W

24W

x ( 2 )

下支

x ( 3 )

下支34W

24W

14W

04W

)0(upX

)1(upX

)0(dnX

)1(dnX

X ( 0 )

X ( 3 )

X ( 2 )

X ( 1 )

1111

圖圖 4.1-5 DFT644.1-5 DFT64 點運算結果圖點運算結果圖

1212

圖圖 4.1-6 FFT644.1-6 FFT64 點運算結果圖點運算結果圖

1313

ZZ轉換的應用轉換的應用 ------4.2.1 Z------4.2.1 Z 轉換之轉換之轉移函數轉移函數

轉移函數轉移函數 (Transfer function)(Transfer function) 又稱為系統又稱為系統函數函數 (System function)﹐(System function)﹐ 是在頻域分析是在頻域分析時﹐輸入與輸出的響應比值﹐在做數位信時﹐輸入與輸出的響應比值﹐在做數位信號處理時﹐一般都用號處理時﹐一般都用 ZZ 轉換來求取轉移函轉換來求取轉移函數﹐表示成﹐示意圖如圖數﹐表示成﹐示意圖如圖 4.2-14.2-1。。

1414

圖圖 4.2-1 4.2-1 輸出輸出 ZZ轉換示意圖轉換示意圖

)( zT)( zX )( zY

1515

圖圖 4.2-2 4.2-2 零態響應輸出結果圖零態響應輸出結果圖

1616

圖圖 4.2-3 4.2-3 含初始值響應輸出結果含初始值響應輸出結果圖圖

1717


1818

圖圖 4.2-5 4.2-5 含初始值的響應輸出結含初始值的響應輸出結果圖果圖

1919


2020

圖圖 4.2-7 4.2-7 含初始值的響應輸出結含初始值的響應輸出結果圖果圖

2121

4.2.2 4.2.2 利用利用 freqzfreqz 求求 ZZ轉換的頻轉換的頻率響應率響應

以以 freqzfreqz 的指令可以求解以的指令可以求解以 ZZ 轉換表示的轉換表示的轉移函數的頻率響應轉移函數的頻率響應

2222

圖圖 4.2-8 4.2-8 轉移函數頻率響應大小轉移函數頻率響應大小圖圖

2323

圖圖 4.2-9 4.2-9 轉移函數頻率響應相位轉移函數頻率響應相位圖圖

2424

圖圖 4.2-10 4.2-10 轉移函數頻率響應大小轉移函數頻率響應大小圖圖

2525

圖圖 4.2-11 4.2-11 轉移函數頻率響應相位轉移函數頻率響應相位圖圖