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第七章状态变量分析法

1

第七章状态变量分析法 7.1 连续时间系统状态方程的建立

7.2 连续时间系统状态方程的求解

7.3 离散时间系统状态方程的建立

7.4 离散时间系统状态方程的求解

7.5 系统的可控制性与可观测性

7.6状态矢量的线性变换


2

7.1 连续时间系统状态方程的建立

7.1.1 由系统的直接形式信号流图建立状态方程

描述单输入单输出 n 阶连续系统输入 f(t) 与输出 y(t) 关系的微分方程为

)()()()(

)()()()(

11

1

10

11

1

1

tfbtfdt

dbtf

dt

dbtf

dt

db

tyatydt

daty

dt

daty

dt

d

nnn

n

n

n

nnn

n

n

n

(7.1-1)


3

算子方程为

)()()()( 11

1011

1 tfbpbpbpbtyapapap nnnn

nnnn

(7.1-2) 对应的 n 阶连续系统的转移算子函数为

n

k

kk

n

k

kk

nnnn

nnnn

pa

pb

apapap

bpbpbpbpH

1

0

11

1

11

10

1)(

对应的系统函数为

n

k

kk

n

k

kk

nnnn

nnnn

sa

sb

asasas

bsbsbsbsH

1

0

11

1

11

10

1)(

(7.1-3)

(7.1-4)


4

图 7.1-1 式 (7.1-2) 的信号流图表示

f ( t ) ¡ y ( t )p £ 1 p £ 1

b n

£ a n£ a n £ 1£ a

2

£ a 1

b1

b 0

b 2

b n £ 1

p £ 1p £ 1 x 1x 2x n £ 1x n

1x

nx

nx£ 1


5

1. 由系统的直接（微分方程）形式信号流图建立状态方程的一般方法

（ 1 ）从右向左按顺序在积分器 p-1 的输出端建立状态变量xi ， p-1 的输入端为由于 xi 顺序相差 90° ，因此这种状态变

量也称其为相位状态变量。

（ 2 ）列出积分器输入节点与状态变量 xi 和输入 f(t) 的关

系，并用矩阵表示。

（ 3 ）列出输出信号 y(t) 与状态变量 xi 和输入 f(t) 的关系，

并用矩阵方程表示。

ii xdt

dx

ix


6

用上述方法对图 7.1-1 的系统流图，讨论状态方程与输出方程的建立。先由 n 个积分器，如图 7.1-1 所示，列出 n 个状态变量 x1(t) 、 x2(t) 、… , xn(t) （图中省略了状态变量中的自变量

符号 (t) ），然后再列积分器输入节点的方程 :

fxaxaxaxax

xx

xx

xx

nnnnn 112211

43

32

21

(7.1-5)


7

输出为

fbxbabxbab

xbabxbab

fxaxaxabab

xbxbxbxb

xbxbxbxbty

nn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

00111022

201110

1122100

121111

12110

)()(

)()(

][

)(

(7.1-6)


8

将式 (7.1-5) 、 (7.1-6) 分别写成矩阵形式

f

x

x

x

x

aaaax

x

x

x

n

n

nn

n

n

1

0

0

0

1000

0100

0010

1

2

1

121

1

2

1

(7.1-7)


9

fb

x

x

x

x

babbabbabbaby

n

n

nnnn 0

1

2

1

0110220110 ][

(7.1-8) 或

fbxxxbabbabbabbaby Tnnnnn 0210110220110 ]][[


10

式 (7.1-7) 表示了状态变量 x1(t) 、 x2(t) 、… , xn(t) 与输入f(t) 之间的关系，是图 7.1-1 系统的状态方程。式 (7.1-8) 表示了输出 y(t) 与状态变量 x1 、 x2 、 , xn 之间的关系，是图 7.1-1 系统的输出方程。式 (7.1-7) 与式 (7.1-8) 还可用矢量矩阵表示为

DfCxy

BfAxx(7.1-9)


11

式中

0

0110220110

121

][

1

0

0

0

,

1000

0100

0010

bD

babbabbabbabC

B

aaaa

A

nnnn

nn

(7.1-10)


12

式 (7.1-9) 是图 8.1-1 的状态方程的一般形式， A 、 B 、 C 、 D 是状态方程的系数矩阵。当式 (7.1-1) 中的输入情况不同时， A 与 B 矩阵相同，而 C 与 D 矩阵会有变

化，尤其是 b0=0 ，可使 C 的元素计算大大简化。例如

)()()()()( 11

1

1 tftyatydt

daty

dt

daty

dt

dnnn

n

n

n

(7.1-11)

式 (7.1-11) 是式 (7.1-1) 除 bn=1 之外，其余 bk(k=0~n-1) 为零的特例，它的 A 与 B 矩阵与式 (7.1-10) 相同，而 C 与 D 矩阵分别为

C= ［ 1 0 … 0 0 ］， D=0 (7.1-12)


13

若式 (7.1-1) 中分子多项式的次数为 m ，分母多项式的次数为 n ，且 m<n ，则

)()()(

)()()()(

1

11

1

1

tfbtfdt

dbtf

dt

db

tyatydt

daty

dt

daty

dt

d

nnmn

mn

mn

nnn

n

n

n

(7.1-13)

其对应的 A 与 B 矩阵与式 (7.1-10) 相同，而 C 与 D 矩阵分别为

C= ［ bn bn-1 … bn-m 0 … 0 ］， D=0

(7.1-14)


14

由以上的方法，当 n 阶连续系统的微分方程给定，无需绘出系统的信号流图，利用式 (7.1-7) , (7.1-8) 或式 (7.1-13) 、 (7.1-14) 可直接写出系统函数的状态方程与输出方程。尤其是分子多项式的次数为 m ，分母多项式的次数为 n ，且

m<n （ b0=0 ），可令

fxaxaxaxax

txtytxtytxty

nnnnn

nn

111211

121 )()(,),()('),()(


15

于是得到状态方程与输出方程为

1211

212211

43

32

21

)( mmnnn

nnnnn

xbxbxbty

fxaxaxaxax

xx

xx

xx

(7.1-15)


16

特别的转移算子为的二阶系统，其基本信号流图及状态变量如图 7.1-2 所示，其状态方程与输出方程为

212

21)(apap

bpbpH

2

1

12

2

1

122

1

][

1

010

x

xbby

fx

x

aax

x


17

图 7.1-2 二阶系统的信号流图

yfb

2

x1

x2

b 1

£ a2

£ a 1

p £ 1p £ 12x


18

在图 7.1-1 中，状态变量的序号是从右往左排序的，如果如图 7.1-3 所示从左往右排，不难推出其状态方程与输出方程的矩阵形式为

1

23

12

112211

nn

nnnnn

xx

xx

xx

fxaxaxaxax

(7.1-16a)


19

fbxbabxbab

xbabxabb

tfxaxaxaxab

xbxbxb

xbxbxbxbty

nnnnnn

nnnn

nnnn

nnnn

001011

2022101

1122110

1111

101111

)()(

)()(

)]([

)(

(7.1-16b)


20

将式 (8.1-16a) 、 (8.1-16b) 分别写成矩阵形式

f

x

x

x

xaaaa

x

x

x

x

n

n

n

n

n

0

0

0

1

0100

00

0010

0001

1

2

1321

1

2

1

(7.1-17a)


21

fb

x

x

x

x

babbabbabbaby

n

n

nnnn 0

1

2

1

0011022011 ][

(8.1-17b)


22

图 8.1-3 式 (8.1-2) 状态变量排序不同的流图

f ( t ) ¡ y ( t )s £ 1 s £ 1

b n

£ a n

£ a n £ 1£ a

2

£ a 1

b1

b 0

b 2b n £ 1

s £ 1s £ 1 x nx 2 x n £ 1x 11x

nx


23

由式 (8.1-17a) 、 (8.1-17b) 可见，相同的系统函数与信号流图，状态变量的选择不是惟一的，当状态变量不同时，对应的状态方程与输出方程不同。式 (8.1-17a) 与式 (8.1-17b) 式也可简化为

DfCxy

BfAxx


24

式中

0

0011022011

321

][

0

0

0

1

,

0100

0

0010

0001

bD

babbabbabbabC

B

aaaa

A

nnnn

n

(8.1-18)


25

图 8.1-4 单输入单输出系统状态变量分析法

f ( t ) y ( t )B

A

C

x

d

x ¡ä p £ 1


26

式 (8.1-9) 是用矩阵矢量表示状态方程与输出方程的一般形式，即

dfCxy

BfAxx

式中的系数矩阵的一般形式为

dD

cccC

bbbB

aaa

aaa

aaa

A

n

Tn

nnnn

n

n

][

][

21

21

21

22221

11211

(8.1-19)


27

式 (8.1-9) 、 (8.1-19) 是单输入单输出系统的状态表示与参数矩阵，其中的 A 是 n×n 的方阵， B 是 n 维列矩阵， C 是 n 维行矩阵， d是单个常数。

更一般地，若 n 阶连续系统有 m 个输入信号 f1 ,f2 , … ,fm ， L

个输出信号 y1 ,y2 , … ,yL ，则状态方程与输出方程分别用矩阵矢量表示为

DfCxy

BfAxx

式中

TL

Tm

Tn

yyyy

ffff

xxxx

][

,][

][

21

21

21


28

LmLL

m

m

LnLL

n

n

nmnn

m

m

nnnn

n

n

ddd

ddd

ddd

D

ccc

ccc

ccc

C

bbb

bbb

bbb

B

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

,

,

A 、 B 、 C 、 D 都是常数矩阵，称为参数矩阵。


29

2. 参数矩阵的物理意义

本书主要分析单输入单输出的情况，由图 8.1-4 可以讨论 A 、 B 、 C 、 D 的物理意义，图中 x 、 x 是状态变量。

A 矩阵是由状态矢量 x 到状态矢量 x 所有反馈支路增益组成

的矩阵，其中 aij 表示由第 j 个状态变量节点 xj 到第 i 个状态变量

xi 的支路增益。

B 矩阵是由输入 f(t) 到状态矢量 x 所有支路增益组成的矩阵，

其中 bi 表示由输入节点到第 i 个状态变量的 xi 支路增益。

.

.

.

.

.


30

C 矩阵是由状态矢量 x 到输出节点所有支路增益组成的矩阵，其中 ci 表示由状态变量 xi(t) 到输出节点所有的支路增益。

D 矩阵是输入输出之间的支路增益，在单输入单输出时， D=d, 表示输入节点直通输出节点的支路增益。

若网络中两节点之间没有支路，则其支路增益为零；而自己到自己的节点反馈支路增益为 1 。

状态方程与输出方程利用四个参数矩阵描述了系统内部的结构。系统内部结构确定了，由信号流图就可以求出系统的状态方程与输出方程。

对简单的信号流图，可利用参数矩阵的物理意义直接写出状态

方程与输出方程，或四个参数方程。


31

例 8.1-1 已知某系统的系统函数 H(s) 为

125.075.025.1

21148)(

23

23

sss

ssssH

建立其系统的状态方程与输出方程。

解上式的 H(s) 可以改写为

321

321

125.075.025.11

21148)(

sss

ssssH

系统的信号流图及状态变量（从左至右排）如图 8.1-5 所示。


32

图 8.1-5 例 8.1-1 系统的信号流图

f ( t ) y ( t )£ 2

£ 1.25

£ 0.125

0.75

£ 4

8

11

x 1 x 2 x 3p £ 1p £ 1p £ 1

3x1x


33

根据信号流图及式 (8.1-13) 、 (8.1-14) 可直接写出状态方程与输出方程

23

12

3213322111 125.075.025.1

xx

xx

fxxxfxaxaxax

输出为

fxxx

fxxx

fbxbabxbabxbabty

856

8)12()611()104(

)()()()(

321

321

0303320221011


34

将上式分别写成矩阵形式

f

x

x

x

y

f

x

x

x

x

x

x

8]156[

0

0

1

010

001

125.075.025.1

3

2

1

3

2

1

3

2

1


35

上例的系统函数，与

状态方程互换的 MATLAB 程序与结果如下：

125.075.025.1

21148)(

23

23

sss

ssssH

b= ［ 8 -4 11 -2 ］ ;

a= ［ 1 -1.25 0.75 -0.125 ］ ;

［ A B C D ］ =tf2ss(b,a)


36

答案 A = 1.2500 -0.7500 0.1250 1.0000 0 0 0 1.0000 0 B = 1 0 0 C = 6 5 -1 D = 8

结果与例 7.1-1 相同。


37

7.1.2 由系统的级联或并联形式信号流图建立状态方程

例 8.1-2 已知某系统的传输函数

12198

2)(

23

2

sss

sssH

求其级联与并联形式的状态方程。

解（ 1 ）级联

1

1

3

2

4)(

ss

s

s

ssH


38

321323

212

11

343

4

xxxxxx

xxx

fxx

输出为

32133 42)( xxxxxty



39

)211.8(

]141[

0

0

1

341

041

001

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

y

f

x

x

x

x

x

x


40

图 8.1-6 例 8.1-2 级联形式的系统流图

f ( t ) y ( t )

£ 3£ 4£ 1

1

s £ 1 s £ 1 s £ 1

2

x3x 2

x11x


41

　　由式 (8.1-21) 可见，级联形式（均为单极点）的 A 矩阵是三角阵，其对角元素为系统的特征根。

　　由直接形式系统函数求系统级联形式的状态方程与输出方程，要将直接形式系统函数转变为级联形式的系统函数，画出系统级联形式的信号流图，对状态变量排序，再列出状态方程，…，这种方法工作量不小。利用 MATLAB 程序我们可以方便地将直接型系统函数 H(s) 转变为级联形式的系统函数，再转变为级联形式的状态方程。


42

例 8.1-2 的系统级联形式的状态方程的 MATLAB 程序与结果如下

b= ［ 0 1 2 0 ］ ;

a= ［ 1 8 19 12 ］ ;

［ z p k ］ =tf2zp(b,a) % 直接形式转换为零、极点增益形式

［ A B C D ］ =zp2ss(z p k) % 零、极点增益形式转换为状态变量形式


43

答案

z =

0

-2

p =

-4.0000

-3.0000

-1.0000

k =

1


44

A =

-1.0000 0 0

1.0000 -7.0000 -3.4641

0 3.4641 0

B =

1

0

0

C =

1.0000 -5.0000 -3.4641

D =

0


45

图 8.1-7 例 8.1-2 二阶节级联形式的系统流图

1xf

£ 1 £ 7£ 3.4641

y1

2

3.4641x1 2x x

2

x3

p £ 1s £ 1 p £ 1

3x


46

（ 2 ）并联

图 8.1-8 例 8.1-2 并联形式的系统流图

1x s £ 1

f ( t ) y ( t )

£ 4

£ 3

£ 1

s £ 1

s £ 1

x 1

x 2

x 3

38

23

£

61

£


47

从图中可以看出

fxx

fxx

fxx

6

1

2

33

3

84

33

12

11

输出为

321)( xxxty


48


3

2

1

3

2

1

3

2

1

]111[

6/1

2/3

3/8

100

030

004

x

x

x

y

f

x

x

x

x

x

x

(8.1-22)


49

7.1.3 由电路建立状态方程

由电路建立状态方程，首先应选定状态变量，一般选电路中独立的电容两端电压与独立的电感电流为状态变量。状态变量的个数与系统的阶数相同，等于独立动态元件的个数。状态变量确定后，利用 KVL 或 KCL 列出电路方程，经化简整理写出电路的状态方程。

例 8.1-3 电路如图 8.1-9 所示，列写电路的状态方程，若输

出为电感电压 vL(t) 与回路电流 i(t) ，求其输出方程。


50

图 8.1-9 例 8.1-3 系统电路图

£«

£

f ( t )

2 £« £ L

( t ) i L ( t )

0.5 H

1 F

£«

£

C ( t )i ( t )


51

解选电容两端电压与电感电流为状态变量，即

x1(t)=vC(t), x2(t)=iL(t)=i(t)

由 KVL 列出电路方程为

vC(t)+vL(t)+Ri(t)=f(t)

代入参数并用状态变量表示

)(2)(4)(2)(

)()(2)(5.0)(

)()(2)(5.0)(

)()()()(

212

221

21

tftxtxtx

tftxtxtx

tftitidt

dtv

txtititvdt

dx

LC

CC


52

电路的状态方程为 f

x

x

x

x

2

0

42

10

2

1

2

1

选电感电压 vL(t) 为输出 y1(t) ，回路电流 i(t) 为输出 y2(t) ，

输出与状态变量、输入的关系为

)()(

)()(2)()(

22

211

txty

tftxtxty

输出方程的矩阵形式为

fx

x

y

y

0

1

10

21

2

1

2

1


53

例 8.1-4 电路及状态变量如图 8.1-10 所示，列写电路的状态方程，若输出为电压 v2(t) 与回路电流 i2(t) ，求其输出方程。

图 8.1-10 例 8.1-4 系统电路图

£«

£ f1 ( t )

2

i C ( t )

1 H

1/2 F

£«

£

i1

( t )

x1

x 3

1/3 H

x2

£«

£

f2

( t )

1 £«

£

2 ( t )

i2

( t )


54

解选定电容两端电压与电感电流为状态变量，有

)]()([1

)(

,)]()([1

)(1

)()(

)()(),()(

)()(),()(

213

213

2222

1111

titiC

tx

dttitiC

dttiC

tvtx

tidt

dtxtitx

tidt

dtxtitx

CC


55

根据 KVL 列电路的网孔方程为

)()]()([2)(3

1)(

)()]()([2)()(2

21222

12111

tfdttititidt

dti

tfdttititidt

dti

将上式电压、电流关系用状态变量表示并整理得到

213

2312

1311

22

333

32

xxx

fxxx

fxxx


56

写成矩阵形式

2

1

3

2

1

3

2

1

00

30

01

022

330

102

f

f

x

x

x

x

x

x

令输出电压 v2(t)=y1(t) 与电流 i2(t)=y2(t) ，且

)()(,)( 22222 txtifxtv


57

2

1

3

2

1

2

1

00

30

01

010

010

f

f

x

x

x

y

y

写成矩阵形式：

上述方法对简单电路适用，当电路结构复杂时，可利用网络拓扑分析及借助计算机辅助设计（ CAD ）技术进行计算。


58

7.2 连续时间系统状态方程的求解

7.2.1 由 s 域分析法求解状态方程

状态方程的 s域分析法，实际上是由状态方程求解系统响应。若已知方程

)()()(

)()()(

tDftCxty

tBftAxtxdt

d

对方程两边取拉氏变换

)()()(

)()(_)0()(

tDFsCXsY

sBFsAXxssX

(8.2-2)

(8.2-1)


59

式中 , x(0-) 为初始条件，是系统的状态空间中 t=0- 时的一个点。

)0(

)0(

)0(

)0(2

1

nx

x

x

x

整理式 (8.2-2) 得到

)(])([_)0()()(

)()(_)0()()(

11

11

sFDBAsICxAsICsY

sBFAsIxAsIsX

(8.2-3)


60

式中 , I 为 n×n 的单位对角矩阵

10

01

由式 (8.2-3) 可得到响应的时域表示

)()()(])[(

_)]0()[()(

)}()(_)0(){()(

1111

11

111

sFLtDsFLBAsICL

xAsICLty

sBFAsIxAsILtx

(8.2-4)


61

定义 Φ(s)=(sI-A)-1, 代入上式，则式 (7.2-4) 可写为

零状态响应零输入响应

)(*})({_)]0()([)(

)}()(_)0()({)(

111

1

sFLDBsCLxsCLty

sBFsxsLtx

(8.2-5)

由式 (7.2-5) 可以看到计算 Φ(s) 是求解状态变量及响应过程中的重要环节， Φ(s) 是由系统的 A 参数矩阵决定的，也称为系统的状态转移（特征、过渡）矩阵。 Φ(s) 的拉氏反变换对应的是矩阵指数函数，即

)]([1 sLeAt (8.2-6)


62

例 8.2-1 已知系统的状态方程与输出方程为

fx

x

x

x

2

0

43

10

2

1

2

1

fx

xy

2

1]21[

其中 , 输入 f(t)=u(t) ，初始条件，试求矩

阵指数函数 eAt 、状态变量 x(t) 与输出 y(t) 。

2

1

_)0(

_)0(_)0(

2

1

x

xx


63

解参数矩阵分别为

43

1

43

10

10

01

1],21[,2

0,

43

10

s

ssAsI

dCBA

其行列式 det 与伴随矩阵 adj 分别为

)3)(1(34

3)4(43

1)det(

2

ssss

sss

sAsI


64

s

SAsIadj

3

14)(

)3)(1()3)(1(

3

)3)(1(

1

)3)(1(

4

3

14

)3)(1(

1

)det(

)()()( 1

ss

s

ss

ssss

s

s

s

ssAsI

AsIadjAsIs


65

tttt

tttt

At

eeee

eeeesLe

33

33

1

2

3

2

1

2

3

2

32

1

2

1

2

1

2

3

)]([


66

)3)(1(

12

)3)(1(

26

)3)(1()3)(1(

3

)3)(1(

1

)3)(1(

6

1

2

0

)3)(1()3)(1(

3

)3)(1(

1

)3)(1(

4

2

1

)3)(1()3)(1(

3

)3)(1(

1

)3)(1(

4

)()(_)0()()(

2

11

ss

s

sss

ss

ss

s

ss

ssss

s

s

ss

s

ss

ssss

s

ss

s

ss

ssss

s

sBFAsIxAsIsX


67

状态变量

)()5.35.1(

)(6

7

2

3

3

8

)]([)(3

3

2

11

tuee

tuee

x

xsXLtx

tt

tt

零输入响应


68

3

2/15

1

2/5

)3)(1(

5

2

1

)3)(1(

21

)3)(1(

2

2

1

)3)(1()3)(1(

3

)3)(1(

1

)3)(1(

4

]21[

_)0()()( 1

ss

ss

s

ss

s

ss

s

ss

s

ss

ssss

s

xAsICsYzi


69

)(2

15

2

5)( 3 tueety tt

zi

零状态响应

3

3/5

1

1

3

1

1

)3)(1(

2411

2

0

)3)(1(

21

)3)(1(

2

)()()()(])([)( 11

sss

ssss

s

ss

ss

s

ss

s

sDFsBFAsICsFDBAsICsYzs


70

)(3

5

3

1)( 3 tueety tt

zs

全响应

)(6

35

2

3

3

1

)(3

5

3

1

)(2

15

2

5)()()(

3

3

3

tuee

tuee

tueetytyty

tt

tt

ttzszi


71

8.2.2 参数矩阵与系统函数

当连续系统为单输入单输出时由式 (8.2-5) 可得到连续系统的系统函数。因为

Yzs(s)= ［ C(sI-A)-1B+d ］ F(s)=H(s)F(s) (8.2-7)

比较式 (8.2-6) 两边

dBAsI

AsIadjCdBAsICsH

)det(

)()()( 1

(8.2-8)

如果已知四个参数矩阵，按照式 (8.2-8) 可以求出系统函数 H(s) 。


72

例 8.2-2 已知某二阶系统的四个参数矩阵如下，求该系统的系统函数 H(s) 。

0011202

12

],[,1

0,

10bdbababbCB

aaA

解

21

2

1

12

)()det(

1)(

1)(

aassAsI

sa

asAsIadj

asa

sAsI


7321

221

20

212

212

0011202

01120221

1

212

2

1

21

1

)()(

1][

1

)()(

11

1

01

)(

1)(

asas

bsbsb

asas

asasbsbababb

ds

bababbasas

dBAzICsH

sasassa

as

aassBAsI


74

从例 8.2-2 已知某系统的四个参数矩阵如下，求系统函数 H(s) 。

0],111[,

6/1

2/3

3/8

,

100

030

004

dCBA

由四个参数矩阵求出系统直接形式的系统函数 H(s) 的 MATLAB程序及结果为

A= ［ -4 0 0;0 -3 0;0 0 -1 ］ ;

B= ［ 8/3 -3/2 -1/6 ］ ;

C= ［ 1 1 1 ］ ;

D=0; ［ num,den ］ =ss2tf(A,B,C,D)


75

答案 num = 0 1.0000 2.0000 -0.0000 den = 1 8 19 12

12198

2)(

23

2

sss

sssH



76

8.2.3 参数矩阵与系统的特性

下面先讨论 A 矩阵的特征值与 H(s) 的极点的关系。由 A 矩阵的物理意义可知 , 它是反馈环路的系数矩阵，正是这些反馈环路的作用，产生了系统的极点，所以极点只与 A 矩阵有关。设系统函数 H(s)=B(s)/A(s) ，极点为分母多项式 A(s)=0 的解。由式 (8.1-17) 可以得到系统函数 H(s) 的极点与 A 矩阵的关系为

A(s)=det(sI-A) (8.2-9)

式中， A(s)被称为 A 矩阵的特征多项式，其根为 A 矩阵的特征值。而 A 矩阵的特征值就是 H(s) 的极点。由稳定系统定义可知，A 矩阵的所有特征值的实部小于零，系统稳定，否则不稳定。


77

例 8.2-3 已知某系统的 A 矩阵 , 判断系统是否稳定。

01

23

解 01

23)det()(

s

sAsIsA

特征方程为 0232 ss

特征根（极点）为 p1=-1, p2=-2 。由于 p1 、 p2实部均小于零，因此该系统稳定。 A 矩阵是 N×N 的矩阵，当 N 较大时，由det(zI-A) 求出 A(s) ，再求特征根也不容易。而利用 MATLAB

程序可以很方便地由 A 矩阵求出 A(s) 的特征根，即系统的极点。


78

例 8.2-4 已知某系统的 A 参数矩阵为

341

041

001

判断系统是否稳定。

解系统极点的 MATLAB 程序及结果为

A= ［ -1 0 0;1 -4 0;1 -4 -3 ］ ;% A 矩阵

eig(A)% [WTHZ]A[WTBZ] 矩阵的特征根

ans =

-3

-4

-1

系统三个极点的实部均小于零，是稳定系统。


79

8.3 离散时间系统状态方程的建立

8.3.1 由流图建立状态方程与输出方程

描述一般 N 阶离散系统输入 x(n) 与输出 y(n) 关系的差分方程为

M

kk

N

kk knxbknyany

01

)()()(

对应的 N 阶离散系统的系统函数为

N

k

kk

M

k

kk

za

zb

zX

zYzH

1

0

1)(

)()(

(7.3-1)

(7.3-2)


80

图 8.3-1 式 (8.3-2) 的信号流图表示

¡ x (n )w 1 (n £«1)

y (n )

£ a1

£ a 2

£ a N

£ a N £ 1

bN

wNz £ 1

b N £ 1

wN £ 1z £ 1w

2z £ 1

b 2

b1

b 0

z £ 1 w1


81

先给出离散系统由流图建立状态方程与输出方程的一般方法。

（ 1 ）从左到右按顺序在 z-1 支路输出端建立状态变量

wi(n) ， z-1 支路输入端为 wi(n+1) 。

（ 2 ）列出延时支路输入节点 wi(n+1) 与状态变量 wi(n) 和

输入 x(n) 的关系，并用矩阵方程表示。

（ 3 ）列出输出信号 y(n) 与状态变量 wi(n) 和输入 x(n) 的

关系，并用矩阵方程表示。


82

用上述方法对图 8.3-1 的系统流图来讨论状态方程与输出方程的建立。先由 N 个延时支路，如图 8.3-1 所示建立 N

个状态变量 w1(n) 、 w2(n) 、… , wN(n) ，然后再列延时支路输入节点的方程

)()1(

)()1(

)()1(

)()()()()()1(

1

23

12

1122111

nwnw

nwnw

nwnw

nxnwanwanwanwanw

NN

NNNN

(8.3-3)


83

输出为

)()()()()(

)()()()(

)]()()()()([

)()()()(

)()()()()()(

001011

20221011

1122110

112211

10112211

nxbnwbabnwbab

nwbabnwbab

nxnwanwanwanwab

nwbnwbnwbnwb

nwbnwbnwbnwbnwbny

NNNNNN

NNNN

NNNN

NNNN

(8.3-4)


84

将式 (8.3-3) 、 (8.3-4) 分别写成矩阵形式

)(

0

0

0

1

)(

)(

)(

)(

0100

00

0010

0001

0

)1(

)1(

)1(

)1(

1

2

121

1

2

1

nx

nw

nw

nw

nwaaa

nw

nw

nw

nw

N

N

N

N

N

)(

0

0

0

1

)(

)(

)(

)(

][)(

1

2

1

0011022011 nx

nw

nw

nw

nw

babbabbabbabny

N

N

NNNN

(8.3-5)

(8.3-6)


85

或

y(n)= ［ b1-a1b0 b2-a2b0 … bN-aNb0 ］［ w1(n) w2(n) …wN(n) ］Ｔ

+b0x(n)

式 (8.3-5) 表示了状态变量 w1(n) 、 w2(n) 、… , wN(n) 与输

入 x(n) 之间的关系，是图 8.3-1 系统的状态方程。式 (8.3-6) 表示

了输出 y(n) 与状态变量 w1(n) 、 w2(n) 、… , wN(n) 之间的关系，

是图 7.3-1 系统的输出方程。状态方程的左边是 n+1 时刻的状态变量值，它由输入信号、系统参数以及 n 时刻的状况变量值确定，因此，状态方程可由递推的方法求解。


86

图 8.3-2 式 (8.3-2) 状态变量排序不同的流图

¡ x (n )w N (n £«1)

y (n )

£ a1

£ a 2

£ a N

£ aN £ 1

bN

z £ 1

b N £ 1w

N £ 1 z £ 1 w 2z £ 1

b 2

b1

b 0

z £ 1 wN w

1


87

在图 8.3-1 中，状态变量的序号是从左往右排序的，如果图 8.3-2 是从右往左排，不难推出其状态方程与输出方程的矩阵形式为

)(

1

0

0

0

)(

)(

)(

)(

1000

0100

0010

)1(

)1(

)1(

)1(

1

2

1

121

1

2

1

nx

nw

nw

nw

nw

aaaanw

nw

nw

nw

N

N

NNN

N


88

)(

)(

)(

)(

)(

][)( 0

1

2

1

0110220110 nxb

nw

nw

nw

nw

babbabbabbabny

N

N

NNNN

或

)()]()()([

][)(

021

0110110

nxbnwnwnw

babbabbabnyT

N

NNNN

由此可见，相同的系统函数与信号流图，由于不同的状态变量排序，就会有不同的状态方程与输出方程。


89

特别的，若 M=N=2 时，二阶系统基本信号流图及状态变量如图 8.3-3 所示，其状态方程与输出方程为

)(1

0

)(

)(10

)1(

)1(

2

1

122

1nx

nw

nw

aanw

nw

或

)()]()(][[)( 021011022 nxbnwnwbabbabny T


90

图 8.3-3 二阶系统基本信号流图

x (n )w 1 (n £«1)

y (n )

£ a1 £ a

2

w 2z £ 1

b 2

b1

b 0

z £ 1 w 1


91

例 8.3-1 某单输入单输出系统及状态变量如图 8.3-4 所示，要求建立其状态方程与输出方程。

图 8.3-4 例 8.3-1 系统流图

x (n )

a 1

z £ 1

a2

z £ 1

b 1

b2

y (n )w

1(n £«1) b 0

w1

(n )

w 2 (n )


92

解图中具有两个延时支路，因此建立两个状态变量 w1(n) 、

w2(n) 如图 8.3-4 所示，列出延时支路输入节点方程为

)()1(

)()()()1(

12

22111

nwnw

nxnwanwanw

输出信号 y(n) 的方程

)()()()()(

)()()()()(

)()()]()()([

)()()1()(

022201110

22110220110

221121110

221110

nxbnwbabnwbab

nwbnwbnxbnwabnwab

nwbnwbnxnwanwab

nwbnwbnwbny


93

写成矩阵方程

)()(

)(][)( 0

2

1202101 nxb

nw

nwbbabbany

当系统是 N 阶（有 N 个单位延时支路）单输入单输出的情况时，一般状态变量分析法可以用图 8.3-5来表示。


94

图 8.3-5 单输入单输出系统状态变量分析法

x (n ) y (n )B

A

C

d

z £ 1w (n £«1) w (n )


95

状态方程与输出方程用矩阵矢量表示为

)()()(

)()()1(

ndxnCwny

nBxnAwnw

式中 , w(n)= ［ w1(n) w2(n) … wN(n) ］ T

NNNN

N

N

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

(8.3-9)

(8.3-10)


96

TNbbbB ]2[ 1

]2[ 1 NcccC

式 (8.3-9) 、 (8.3-10) 中的 A 是 N×N 的方阵， B 是 N 维列矩阵，C 是 N 维行矩阵， d 是单个常数。


97

更一般的 N 阶离散系统（有 N 个单位延时支路），有 M

个输入信号 x1(n) , x2(n) , … , xM(n) ， L 个输出信号 y1(n) , y2(n) ,

… , yL(n) ，则状态方程与输出方程分别为

)()()(

)()()1(

nDxnCwny

nBxnAwnw

(8.3-11)

(8.3-12)

式中

TL

TM

TN

nynynyny

nxnxnxnx

nwnwnwnw

)]()()([)(

)]()()([)(

)]()()([)(

21

21

21


98

NMNN

M

M

NNNN

N

N

bbb

bbb

bbb

B

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

21

22221

11211

,

LMLL

M

M

LNLL

N

N

ddd

ddd

ddd

D

ccc

ccc

ccc

C

21

22221

11211

21

22221

11211

,

式中， A 、 B 、 C 、 D 都是常数矩阵，称为参数矩阵。


99

8.3.2 参数矩阵的物理意义

在这里主要分析单输入单输出的情况，由图 8.3-5 可以讨论A 、 B 、 C 、 D 的物理意义，图中 w(n+1) 、 w(n) 是状态变量。

A 矩阵是状态矢量 w(n) 到状态矢量 w(n+1) 所有反馈支路增益组成的矩阵，其中 aij 表示由第 j 个状态变量节点 wj 到第 i 个状态变量 wi(n+1) 的支路增益。

B 矩阵是由输入 x(n) 到状态矢量 w(n+1) 所有支路增益组成的矩阵，其中 bi 表示由输入节点到第 i 个状态变量 wi(n+1) 的支路增益。

C 矩阵是状态矢量 w(n) 到输出节点所有支路增益组成的矩阵，其中 ci 表示由状态变量 wi(n) 到输出节点所有的支路增益。


100

D 矩阵是输入输出之间的支路增益，在单输入单输出时D=d,

表示输入节点到输出节点的支路增益。

特别是网络中两节点之间没有支路，其支路增益为零；而自己到自己的节点反馈支路增益为 1 。

状态方程与输出方程利用四个参数矩阵描述了系统内部结构。系统内部结构确定了，由信号流图就可以求出系统的状态方程与输出方程。

对简单的信号流图，可利用参数矩阵的物理意义直接写出状态方程与输出方程，或四个参数方程。


101

例 8.3-2 已知某系统的系统函数 H(z) 为

21

21

1

1

5.01

3161.131.01

25.01

5196.18)(

zz

zz

z

zzH

要求建立其系统的状态方程与输出方程。

解由例 8.3-2 可以将 H(z) 转换为传递函数形式

321

321

125.075.025.11

21148)(

zzz

zzzzH


102

图 8.3-6 例 8.3-2 系统流图

w 1 (n £«1)x (n ) y (n )

£ 4

£ 2

£ 0.75

1.25

z £ 1 z £ 1 z £ 1w 1 w 2 w 3

8

11

0.125


103

根据流图及式 (8.3-5) 、 (8.3-6) 写出状态方程与输出方程

)(

0

0

1

)(

)(

)(

010

001

125.075.025.1

)(

0

0

1

)(

)(

)(

010

001

)1(

)1(

)1(

3

2

1

3

2

1321

3

2

1

nx

nw

nw

nw

nx

nw

nw

nwaaa

nw

nw

nw


104

)(8)]()()(][156[

)(8)]()()([

]8125.02875.011825.14[

)(])()()(][[)(

321

321

0321033022011

nxnwnwnw

nxnwnwnw

nxbnwnwnwbabbabbabny

T

T

T

由系统函数求系统的状态方程与输出方程，要将系统函数变为直接形式，画出系统的流图，对状态变量排序，再列出状态方程……其工作量不小。利用 MATLAB 程序我们可以方便地将 IIR 直接型系统函数 H(z) 、级联型系统函数 H(z) 与状态方程互换。


105

例 8.3-2 的系统函数

，与状态方程互换的 MATLAB 程序与结果如下：

321

321

125.075.025.11

21148)(

zzz

zzzzH

b= ［ 8 -4 11 -2 ］ ;

a= ［ 1 -1.25 0.75 -0.125 ］ ;

［ A B C D ］ =tf2ss(b,a)


106

答案

A =

1.2500 -0.7500 0.1250

1.0000 0 0

0 1.0000 0

B =

1

0

0

C =

6 5 -1

D =

8


107

例 8.3-2 的系统函数，

与状态方程互换的 MATLAB 程序与结果如下：

sos = ［ 8 -1.5196 0 1 -0.25 0;1 -0.31 1.3161 1 -1 0.5 ］ ;

［ A B C D ］ =sos2ss(sos)

21

21

1

1

5.01

3161.131.01

25.01

5196.18)(

zz

zz

z

zzH


108

答案

A =

1.2500 -0.7500 0.1250

1.0000 0 0

0 1.0000 0

B =

1

0

0

C =

6.0004 4.9999 -0.9999

D =

8


109

受有限精度运算影响，变换结果与例 8.3-2 相比 C 阵有误差。

利用参数矩阵的物理意义，可以直接列写系统结构简单的参数矩阵，得到其状态方程。尤其 FIR 系统函数是全零点（除原点处，系统无极点）形式，其直接结构的系统函数为

N

i

izihzH0

)()( (8.3-13)


110

状态变量按照从左至右的顺序排列。因为 FIR 系统无反馈支路，所以四个参数矩阵的一般规律为

(1) A 阵除了 ai,i-1=1 外，其余为零；

(2) B 阵除了 b1=1 外，其余为零；

(3) C 阵为［ h(1) h(2) … h(N) ］；

(4) D 阵为 h(0) 。


111

例 8.3-3 已知 FIR滤波器的系统函数 H(z) 为

H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3

画出 H(z) 的信号流图并根据流图写出状态方程与输出方程。

图 8.3-7 例 8.3-3 系统流图

x (n )z £ 1 z £ 1

y (n )

z £ 1

0.96 2 2.8 1.5

w1

(n ) w2

(n ) w3

(n )


112

在延时支路输出端建立状态变量 w1(n) 、 w2(n) 、 w3(n) ，

由参数矩阵的一般规律，可直接写出状态方程与输出方程为

)(96.0)]()()(][5.18.22[)(

)(

0

0

1

)(

)(

)(

010

001

000

)1(

)1(

)1(

321

3

2

1

3

2

1

nxnwnwnwny

nx

nw

nw

nw

nw

nw

nw

T


113

8.4 离散时间系统状态方程的求解

8.4.1 由 z域分析法求解状态方程

离散系统为单输入单输出时，系统的状态方程与输出方程为

)()()(

)()()1(

nDxnCwny

nBxnAwnw

对方程两边取 z 变换

)()()(

)()()0()(

zDXzCWzY

zBXzAWzwzzW

(8.4-1)

(8.4-2)


114

式中 , w(0) 为初始条件

)(

)(

)(

)0(2

1

nw

nw

nw

w

N

整理式 (7.4-2) 得到

)()()()0()()(

)()()0()()(

11

11

zDXzBXAzICzwAzICzY

zBXAzIzwAzIzW

(8.4-3) 式中 , I 为 N×N 的单位对角矩阵

10

01


115

由式 (8.4-3) 可得到响应的时域表示

)(])([

)0(])([)(

)(])[()0(])[()(

111

11

11111

zXZDBAzICZ

wzAzICZny

zXZBAzIZwzAzIZnw

定义系统的状态特征 ( 转移 ) 矩阵为 111 )()()( AzIzAzIz

则 Φ(z) 的 Z 反变换对应的是矩阵指数函数，即

])[()1(

)]([

111

1

AzIZnuA

zZA

n

n

或

(8.4-4)

(8.4-5)

(8.4-6)

(8.4-7)


116

例 8.4-1 已知离散系统的状态方程与输出方程为

)()(

)(]21[)(

)(2

0

)(

)(

43

10

)1(

)1(

2

1

2

1

2

1

nxnw

nwny

nxnw

nw

nw

nw

其中 , 输入 x(n)=u(n) ，初始条件，试求

状态变量 w(n) 与输出 y(n) 。

0

0

)0(

)0()0(

2

1

w

ww


117

解参数矩阵分别为

43

1

43

10

10

01

1],21[,2

0,

43

10

z

zzAzI

dCBA

其行列式 det 与伴随矩阵 adj 分别为

)3)(1(34

3)4(43

1)det(

2

zzzz

zzz

zAzI


118

)3)(1()3)(1(

3

)3)(1(

1

)3)(1(

4

3

14

)3)(1(

1

)det(

)()(

3

14)(

1

zz

z

zz

zzzz

z

z

z

zzAzI

AzIadjAzI

z

zAzIadj


119

12

1

34

3

14

1

12

1

34

1

14

1

)1)(3)(1(

2

)1)(3)(1(

2

12

0

)3)(1()3)(1(

3

)3)(1(

1

)3)(1(

4

)()()(

2

1

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

zzz

z

zzz

z

z

z

zz

z

zz

zzzz

z

zBXAzIzW


120

状态变量

)()1(2

1)3(

4

3

4

1

)()1(2

1)3(

4

1

4

1

)]([)(2

11

nu

nu

w

wzWZnw

nn

nn

因为 w(0)=0 ，所以


121

12

1

34

5

14

1

)1)(3)(1(

1

)1)(3)(1(

2

)1)(3)(1(

2

21

)()()(

)(])([)(

3

2

1

1

z

z

z

z

z

z

zzz

zz

z

z

zzz

z

zzz

z

zDXzBXAzIC

zXDBAzICsY

)()1(2

1)3(

4

5

4

1)( nuny nn


122

8.4.2 参数矩阵与系统函数

单输入单输出离散系统的状态方程与输出方程为

w(n+1)=Aw(n)+Bx(n)

y(n)=Cw(n)+dx(n) 对上两式作 Z 变换 (设系统为零状态 ) 有

zW(z)=AW(z)+BX(z) (8.4-8)

Y(z)=CW(z)+dX(z) (8.4-9)

式中

W(z)= ［ W1(z) W2(z) … WN(z) ］ T

Wi(z)=Z ［ wi(n) ］， X(z)=Z ［ x(n) ］， Y(z)=Z ［ y(n) ］


123

由式 (8.4-8) 解得 W(z)= ［ zI-A ］ -1BX (z)

代入式 (8.4-9) ，得输出的 Z 变换为

Y(z)=C ［ zI-A ］ -1BX(z)+dX(z) (8.4-10)

由式 (7.4-10) 推出系统函数

dBAzICzH

zYzH 1][

)(

)()( (8.4-11)

式中， I 是 N×N 阶单位矩阵。


124

例 8.4-2 已知某二阶系统的四个参数矩阵如下，求该系统的系统函数 H(z) 。

0011202

12

],[,1

0,

10bdbababbCB

aaA

解

zazazaza

z

aazzBAzI

aza

zAzI

11

1

01

)(

1][

1][

212

1221

1

12


125

22

11

22

110

212

212

0

212

212

0011202

01120221

2

1

1

)()(

1][

1

][)(

zaza

zbzbb

azaz

bzbzb

azaz

azazbzbababb

dz

bababbazaz

dBAzICzH


126

在例 8.3-2 中已知某系统的四个参数矩阵 ,

010

001

125.075.025.1

A

,

0

0

1

BC= ［ 6 5 -1 ］， d=8 ，求系统函数 H(z) 。由四个参数矩阵求出系统直接形式的系统函数 H(z) 的MATLAB 程序及结果为

A= ［ 1.25 -0.75 0.125;1 0 0;0 1 0 ］ ;

B= ［ 1 0 0 ］′ ;

C= ［ 6 5 -1 ］ ;

D=8; ［ num,den ］ =ss2tf(A,B,C,D)


127

答案

num =

8.0000 -4.0000 11.0000 -2.0000

den =

1.0000 -1.2500 0.7500 -0.1250

321

321

125.075.025.11

21148)(

zzz

zzzzH



128

由四个参数矩阵求出系统级联形式的系统函数 H(z) 的

MATLAB 程序及结果为

A= ［ 1.25 -0.75 0.125; 1 0 0; 0 1 0 ］ ;

B= ［ 1 0 0 ］′ ;

C= ［ 6 5 -1 ］ ;

D=8;

sos=ss2sos(A,B,C,D)


129

答案

sos =

8.0000 -1.5196 0 1.0000 -0.2500 0

1.0000 -0.3100 1.3161 1.0000 -1.0000 0.5000

21

21

1

1

5.01

3161.131.01

25.01

5196.18)(

zz

zz

z

zzH



130

8.4.3 参数矩阵与系统的特性

下面先讨论 A 矩阵的特征值与 H(z) 的极点的关系。由 A 矩阵的物理意义可知它是反馈环路的系数矩阵，正是这些反馈环路的作用，产生了系统的极点。所以极点只与 A 矩阵有关。设系统函数 H(z)=B(z)/A(z) ，极点为分母多项式 A(z)=0 的解。由式 (8.4-11) 可以得到系统函数 H(z) 极点与 A 矩阵的关系为

]det[)( AzIzA

式中， A(z) 称为 A 矩阵的特征多项式，其根为 A 矩阵的特征值。而 A 矩阵的特征值就是 H(z) 的极点。由稳定系统定义可知， A

矩阵的所有特征值的模小于 1 ，系统因果稳定，否则因果不稳定。

(8.4-12)


131

例 8.4-3 已知某系统的 , 判断系统是否稳定。

01

23A

解 01

23]det[)(

z

zAzIzA

特征方程为

z2-3z+2=0

特征根 z1=1, z2=2 ( 即为极点）

可见，由于 z1=1 ， z2>1 ，所以该系统不稳定。


132

A 矩阵是 N×N 的矩阵，当 N较大时，由 det ［ zI-A ］求出A(z) ，再求特征值也不容易。而利用 MATLAB 程序可以很方便地由 A 矩阵求出 A(z) 的特征根，即系统的极点。

已知某系统的 A 参数矩阵为，求系

统极点（矩阵的特征值）的 MATLAB 程序及结果为

010

001

125.075.025.1


133

A= ［ 1.25 -0.75 0.125;1 0 0;0 1 0 ］ ;% A 矩阵

eig(A)% A 矩阵的特征根

ans =

0.5000 + 0.5000i

0.5000 - 0.5000i

0.2500

可知系统在单位圆内有一对共轭极点和一个单极点，是稳定系统。


134

8.5 系统的可控制性与可观测性

例 8.5-1 已知某系统的并联流图及状态变量如图 8.5-1

所示。试求系统的状态方程与输出方程，并讨论激励 f(t) 对各状态变量的控制情况，以及由输出观测各状态变量的情况。

解系统的状态方程与输出方程为

33

22

11

3

4

xx

fxx

fxx


135


f

x

x

x

x

x

x

0

1

1

100

030

004

3

2

1

3

2

1

3

2

1

]110[

x

x

x

y


136

四个参数矩阵分别为

0],110[,

0

1

1

,

100

030

004

dCBA


137

图 8.5-1 例 8.5-1 系统流图

£ 1

£ 3

p £ 1

p £ 1

p £ 1

f ( t ) y ( t )

x1

x2

x3

1x

£ 4


138

8.5.1 系统的可控性及其判别法

可控性定义：若给定系统的任意初始状态，通过输入量（控制矢量）的作用，能在有限时间之内将系统所有状态引向（转移至）状态空间的原点（零状态），则该系统是完全可控的，如果只能使部分状态变量做到，则该系统是不完全可控的。除了当 A 矩阵是对角矩阵时，可检查 B 矩阵是否有零元素。下面给出更一般的单输入可控阵满秩判别法。

设 n 阶 LTI 系统的状态方程为

BfAxx


139

式中 , A 是 n×n 阶矩阵， B 是 n×1 阶矩阵，该系统完全可控的充要条件是可控性判别矩阵 M满秩，即

rankM=n其中

)|( 12 BABAABBM n

(8.5-1)

(8.5-2)

式 (8.5-1) 、 (8.5-2) 不仅对连续系统适用，对离散系统也适用。即 n 阶单输入 LTI 离散系统的状态方程为 w(n+1)=Aw(n)

+Bx ，则该系统完全可控的充要条件是可控性判别矩阵 M满秩，即 rankM=n 其中

)|( 12 BABAABBM n


140

例 8.5-2 判断下列给定系统的可控性。

(1)

2

1

2

1

2

1

]10[

2

0

42

10

x

xy

fx

x

x

x

(2)

2

1

2

1

2

1

]10[

0

1

20

22

x

xy

fx

x

x

x


141

2

1

2

1

2

1

]10[

0

1

)(

)(

01

10

)1(

)1(

w

wy

xnw

nw

nw

nw(3)

解 (1)

41

10

2

0

42

10

2

0)|(1 ABBM

rankM1=2, 系统是完全可控的。


142

00

21

0

1

20

22

0

1)|(2 ABBM

(2)

rankM2=1, 系统不是完全可控的。

(3)

12

21

2

1

01

10

0

1)|(3 ABBM

rankM3=2, 系统是完全可控的。


143

利用 MATLAB 可方便地计算系统的可控性，计算本题各系统可控性的 MATLAB 程序与结果如下。

A1= ［ 0 1;-2 -4 ］ ;% 例 8.5-2(1) 的 A 矩阵

B1= ［ 0 1 ］′ ; % 例 8.5-2(1) 的 B 矩阵

Co1=ctrb(A1,B1) % 例 8.5-2(1) 的可控性

A2= ［ 2 2;0 -2 ］ ; % 例 8.5-2(2) 的 A 矩阵

B2= ［ 1 0 ］′ ; % 例 8.5-2(2) 的 B 矩阵

Co2=ctrb(A2,B2) % 例 8.5-2(2) 的可控性

A3= ［ 0 1;-1 0 ］ ; % 例 8.5-2(3) 的 A 矩阵

B3= ［ 1 2 ］′ ; % 例 8.5-2(3) 的 B 矩阵

Co3=ctrb(A3,B3) % 例 8.5-2(3) 的可控性


144

答案

Co1 =

0 1

1 -4

Co2 =

1 2

0 0

Co3 =

1 2

2 -1


145

8.5.2 系统的可观性及其判别法

可观性定义：若给定系统的控制后，能在有限时间之内由系统输出惟一确定系统的所有初始状态，则该系统是完全可观的，如果只能确定部分初始状态，则该系统是不完全可观的。除了当 A 矩阵是对角矩阵时，可检查 C 矩阵是否有零元素。下面给出单输入单输出系统更一般的可观性满秩判别法。

设 n 阶 LTI 系统的输出方程为

DfCxy


146

该系统是完全可观的充要条件是可观性判别矩阵 N满秩，即

rankN=n 其中

N=

C

CA…CAn-1

(8.5-3)

(8.5-4a)

或 N=(C|CA|CA2| ….|CAn-1)T


147

例 8.5-3 判断下列给定系统的可观性。

2

1

2

1

2

1

]10[

2

0

42

10)1(

x

xy

fx

x

x

x

2

1

2

1

2

1

]10[

0

1

20

22)2(

x

xy

fx

x

x

x


148

2

1

2

1

2

1

]10[

2

1

)(

)(

01

10

)1(

)1()3(

w

wy

xnw

nw

nw

nw

解 (1)

42

10

42

10]10[

]10[

CA

CN

rankN=2 ，系统是完全可观的。


149

(2)

20

10

20

22]10[

]10[

CA

CN

rankN=1 ，系统是不完全可观的。

01

10

01

10]10[

]10[

CA

CN

rankN=2 ，系统是完全可观的。


150

利用 MATLAB 可方便地计算系统的可观性，计算本题各系统可观性的 MATLAB 程序与结果如下 :

A1= ［ 0 1;-2 -4 ］ ;

C1= ［ 0 1 ］ ;

Ob1= obsv (A1,C1)

A2= ［ 2 2;0 -2 ］ ;

C2= ［ 0 1 ］ ;

Ob2= obsv (A2,C2)

A3= ［ 0 1;-1 0 ］ ;

C3= ［ 0 1 ］ ;

Ob3= obsv (A3,C3)


151

答案 Ob1 =

0 1

-2 -4

Ob2 =

0 1

0 -2

Ob3 =

0 1

-1 0


152

8.5.3 系统函数与系统的可控、可观性

系统传递函数 H(s) 是系统分析中的重要概念，在单输入单输出情况下它与状态参数矩阵的关系为

H(s)=C(sI-A)-1B+d

要讨论系统的可控、可观性，由前分析可知最直观的是 A 参数矩阵为对角阵，此时 B 阵的零元素对应不可控的状态变量， C 阵的零元素对应不可观的状态变量。但一般所给定的 A 参数矩阵未必是对角阵，所以这时有规范化的问题。由 7.1 节知道相同的传递函数，由于所设置的状态变量不同，其参数矩阵也就不同。因此一个系统可有若干不同的状态方程和输出方程，或者说系统传递函数 H(s) 在线性变换下保持不变，即


153

dBAsICdBAsICsH ˆˆ)ˆ(ˆ)()( 11

(8.5-5) 例 8.5-4 已知某系统的状态方程和输出方程为

3213

212

11

3

4

xxxx

xxx

fxx

y(t)=x1-x2+x3


154

（ 1 ）讨论系统的可控、可观性；（ 2 ）求该系统的系统传递函数； ( 3 ）讨论不可控与不可观的状态变量情况。

解（ 1 ）将上式分别写成矩阵形式

3

2

1

3

2

1

3

2

1

]111[

0

0

1

311

041

001

x

x

x

y

f

x

x

x

x

x

x


155

5

5

1

1

1

1

311

041

001

0

0

1

311

041

001

311

041

001

1

1

1

0

0

1

311

041

001

2BA

AB


156

代入式 (8.5-2) ，得

510

510

111

)||( 2BAABBM

M 的第二行与第三行相同， rankM=2≠3 ，所以系统是不完全可控的。

331

311

041

001

]111[

CA


157

991

311

041

001

]331[

311

041

001

311

041

001

]111[2

CA


158

代入式 (8.5-4) ，得

991

331

111

N

N 的第二列乘以 -1 后与第三列相同， rankN=2≠3 ，所以系统是不完全可观的。计算本题系统可控性与可观性的 MATLAB 程序与结果如下。

a= ［ -1 0 0;1 -4 0;1 -1 -3 ］ ;

b= ［ 1 0 0 ］′ ;

c= ［ 1 -1 1 ］ ;

co=ctrb(a,b)

ob=obsv(a,c)


159

答案 co =

1 -1 1

0 1 -5

0 1 -5

ob =

1 -1 1

-1 3 -3

1 -9 9


160

（ 2 ）该系统的系统传递函数

)3)(4)(1()det(

0

0

1

311

041

001

]111[)()(

1

1

sssAsI

s

s

s

BAsICsH

1

)3)(1()1()3(

0)3)(1()3(

00)4)(3(

)(

ssss

sss

ss

AsIadj


161

)3(

)3(

)4)(3(

0

0

1

)3)(1()1()3(

0)3)(1()3(

00)4)(3(

)(

s

s

ss

ssss

sss

ss

BAsIadj


162

)1(

1

)3)(4)(1(

)4)(3(

)3(

)3(

)4)(3(

)3)(4)(1(

1]111[

)()( 1

ssss

ss

s

s

ss

sss

BAsICsH


163

本题由参数方程计算系统函数的 MATLAB 程序与结果如下。

A= ［ -1 0 0;1 -4 0;1 -1 -3 ］ ; B = ［ 1 0 0 ］′ ;

C= ［ 1 -1 1 ］ ;

D=0;

［ num,den ］ =ss2tf(A,B,C,D)


164

答案

num =

0 1.0000 7.0000 12.0000

den =

1 8 19 12

)1(

1

)3)(4)(1(

)4)(3(

12198

127)(

22

2

ssss

ss

sss

sssH


165

（ 3 ）要讨论系统的不可控与不可观的状态变量情况，须先将原状态方程矩阵变换为规范化矩阵即对角矩阵。由特征矢量求出其对角化的变换矩阵为

111

110

300

,

003/1

013/1

110

1PP

设新的状态变量为 w ，则系统的对角化方程为

wCwCPy

fBwAPBfwPAPw

ˆ

ˆˆ

1

1


166

f

w

w

w

w

w

w

3/1

3/1

0

100

040

003

3

2

1

3

2

1

3

2

1

1 ]301[

w

w

w

wCPy


167

图 8.5-2 例 8.5-4 系统流图

f ( t ) y ( t )

£ 1

£ 4

£ 3

p £ 1

p £ 1

p £ 1

3

w1

w 2

w33

1

31

£


168

对角化后的系统函数为

3/1

3/1

0

100

040

003

]301[

ˆ)ˆ(ˆ)(

1

1

s

s

s

BAsICsH

)3)(4)(1()ˆ(det sssAsI


169

)3)(4(00

0)3)(1(0

00)4)(1(

)ˆ(

ss

ss

ss

AsIadj

3/)4)(3(

3/)3)(1(

0

3/1

3/1

0

)3)(4(00

0)3)(1(0

00)4)(1(

ˆ)ˆ(

ss

ss

ss

ss

ss

BAsIadj


170

)1(

1

)3)(4)(1(

)4)(3(

3/)4)(3(

3/)3)(1(

0

)3)(4)(1(

1]301[

ˆ)ˆ(ˆ)( 1

ssss

ss

ss

sssss

BAsICsH

通过以上分析可见，当系统具有不可控、不可观的状态变量时，则系统传递函数的零、极点会有相互抵消现象，这表明仅用系统传递函数描述一个系统有时并不全面。


171

本题系统函数对角化的 MATLAB 程序与结果如下：

A= ［ -1 0 0;1 -4 0;1 -1 -3 ］ ; % 系统的 A 矩阵

［ P1,A1 ］ =eig(A) % 变换逆矩阵与对角化的 A 矩阵

答案

P1 = 0 0 0.9045

0 0.7071 0.3015

1.0000 0.7071 0.3015

A1 =-3 0 0

0 -4 0

0 0 -1


172

P1 的逆阵运算为

inv(P1)

ans =

-0.0000 -1.0000 1.0000

-0.4714 1.4142 0

1.1055 0 0


173

解题时为方便，将 P1( 变换逆阵 )取整为［ 0 0 3;0 1 1;1 1

1 ］，所对应的 P( 变换阵 ) 计算程序与结果为

P1= ［ 0,0,3;0,1,1;1,1,1 ］ ; % P1 阵

inv(P1) % P1 的逆阵

ans =

0 -1.0000 1.0000

-0.3333 1.0000 0

0.3333 0 0


174

验算

P1= ［ 0,0,3;0,1,1;1,1,1 ］ ;

A= ［ -1 0 0;1 -4 0;1 -1 -3 ］ ;

inv(P1)*A*P1

ans =

-3 0 0

0 -4 0

0 0 -1


175

8.6 状态矢量的线性变换

作为分析可控制性与可观测性的基础，先讨论状态矢量的线性变换。在状态方程建立过程中，同一个系统可以选择不同的状态矢量，从而列出不同的状态方程。这些状态方程既然是描述的是同一系统。则这些状态矢量之间应该有一定的关系。对于同一个系统而言，不同状态矢量之间存在着线性关系。

对于式 (8.2-5) 的状态方程和输出方程，若存在非奇异矩阵 P ，使状态矢量 x(t)经线性变换成为新状态矢量 w(t) ，即


176

显然，新状态矢量下的系数矩阵 Aw 与原系数矩阵 A 是相似矩阵。它们具有相同的特征方程和特征根。

)()( 1 tPt xw (8.6-1)

对式 (8.6-1) 求导，并代入式 (7.2-5) 的状态方程，可得

)()()()()( 11 tBtAtBPtAPPt ww vwvww

输出方程为

)()()()()( tDtCtDtCPt ww vwvwy

(8.6-2)

(8.6-3)


177

上述连续系统状态矢量线性变换的方法和结论同样适用于离散系统。当系统的特征根全部是单根时，常用的线性变换是将矩阵 A 变换成对角阵。

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