1
Границя і неперервність функції
2
План
1. Визначення границі функції.2. Односторонні границі.3. Нескінченно малі і нескінченно великі.4. Теореми про границі.5. Деякі ознаки існування границі.6. Чудові границі.7. неперервність.8. Властивості неперервних функцій.
Визначення функції
Якщо кожному елементу х є Х поставлений у відповідність єдиний елемент у = f (х) є У, де Х і Y-дані числові множини, і при цьому кожному елементу у є У поставлений у відповідність хоча б один елемент х є Х, то у називається функцією від х, визначеної на множині Х.
Зворотна функція
Нехай між елементами множин X і Y функція y = f (x) встановлює взаємно однозначну відповідність, тобто x є X відповідає один і тільки один його образ y = f (x) є Y і назад, для y є Y знайдеться єдиний прообраз x є X такий, що f (x) = y. Тоді функція, де y є Y, що встановлює відповідність між елементами множин Y і X, називається зворотної для функції y = f (x).
)(1 yfx −=
Визначення окола
Околом О (а) точки а називається будь-який інтервал α < x < β, навколишній цю точку, з якого, як правило, видалена сама точка а. Під околицею О (∞) символу нескінченність розуміється зовнішність будь-якого відрізка [α,β], то є О (∞) = (-∞,α) ∪ (β,+ ∞).
Визначення граничної точки
δ-околом точки а називається інтервал (а-δ, а + δ), що не містить точку а, тобто О (а, δ) = (а-δ, а) ∪ (а, а + δ).
Точку а ми будемо називати граничної точкою множини X,
якщо в будь δ-околі точки а міститься нескінченно багато точок x є X, тобто О (а) ∩ X ≠ ∅ для О (а)
Визначення границі
Число А називається границею функції f (x) в точці а (або при x→а), якщо ε > 0 існує число δ(ε) > 0 таке, що для будь-якого x є X, що задовільняє умові
0 < x – а <δ, слідує нерівність
f (x) – A< ε.
Інше визначення границі
Кажуть, що число А є межею функції f(x) при x→а, якщо для ∀ ε > 0
існує δ-околиця точки а О (а,δ) = {x| 0< |x-a|<δ}, де
δ =δ (ε), така, що для ∀ x є O (а, δ) виконується нерівністьf(x) – A < ε.
При цьому пишуть: ( ) .lim Axfax
=→
Затвердження еквівалентно наступному:
• f(x) – A < ε при x > ∆, де ∆ = ∆(ε) залежить від і за змістом визначення є достатньо великим позитивним числом.• Безліч усіх точок x, для яких
x > ∆, очевидно є симетричною околицею символу∞.
( ) Axfx
=∞→
lim
Геометрична ілюстрація
а
А
а-δ а+δ
А+ε
А-εY=f(x)
х
у
о
Наведемо ще один малюнок, що пояснює визначення границі.
а
А
А+ε
А-ε
а-δ а+δ х
у
У=f(x)
0о
На цьому малюнку зображена функція, яка в точці а не має границі.
а х
у
0
Y=f(x)
Односторонні границі
•Будь-який інтервал (α, а), правим кінцем якого є точка а, називається лівою околицею точки а.
• Аналогічно будь-який інтервал (a, β), лівим кінцем якого є точка а, називається її правою околицею.
Односторонні границі
Символічно запис означає, що х прагне до а праворуч, залишаючись великим а, тобто при х > а;
• запис
• означає, що х прагне до а ліворуч, тобто при х < а.
0+→ ax
0−→ ax
Односторонні границі
будемо називати
лівосторонньою межею функції (при зліва),
- это Правосторонньою межею функції
( ) Axfax
=−→ 0
lim
ax →
( ) Axfax
=+→ 0
lim
Односторонні границі• Теорема про існування границі
• Функція у = f(х) має
• в тому і тільки тому випадку, коли існують і рівні один одному її лівобічний і правобічний границі прі.
• Tогда =
=
( ) Axfax
=→lim
ax →( )xf
ax 0lim
−→( )xf
ax 0lim
+→( ) .lim Axf
ax=
→
Нескінченно малі і нескінченно великі
Функція α(x) називається бескінечно малою при х→а, якщо
Ясно, що тоді α(x) ∠ ε для всіх
x є O(а, δ) и ∀ ε > 0. Наприклад, функція є
нескінченно малою при x→0.
Нескінченно малі і нескінченно великі
Функція f(х) називаєтся бескінечно великою при якщо .
Це рівнозначно тому, що яким би не було число М > 0, найдется така окколиця О (а, δ), що для всіх
x є O (а, δ) > M.
Наприклад, бескінечно велика при x→0 .
,ax→ ( ) ∞=→
xfax
lim
( )xf−=
2
1)(x
xg
Нескінченно малі і нескінченно великі
Лемма.
Якщо f(х)→∞ при х→а,
→0 при х→а.
Якщо α (x) → 0 при x→ a, то → ∞ при x → a и α (x) ≠ 0.
)(
1
xf
)(
1
xα
Властивості нескінченно малих.
Теорема 1.
Алгебраїчна сума кінцевого числа нескінченно малих при x → а функцій є функція нескінченно мала при x → а.
Теорема 2.
Твір кінцевого числа нескінченно малих при x → a функцій є нескінченно мала приx → a функція.
• Теорема 3.
Твір нескінченно малою приx→a функції на функцію, обмежену при
x → a, є нескінченно мала при x → a.
Наслідок• Ціла позитивна ступінь
нескінченно малою при x → a функції α(x) є нескінченно мала при x → a.
nx))((α
Якщо , то в силувизначення границі функції
отримуємо: f(x)-A<ε при
xє O(а,δ), що означає, що f(x) – A є нескінченно малою при
x→ a.
( ) Axfax
=→lim
Тоді, вважаючи f(x)-A=α(x), получимо: f(x) = A + α(x), де
α(x) → 0 при x → a.
Таким чином, маємо:
<=> f(x) = А+ α(x),
где α(x)→ 0 при x → a.
( ) Axfax
=→lim
Теореми про границі
Теорема.
Якщо функція f(х) = с постійна в деякій околиці точки а, то
Теорема.
Якщо f(х) маємо межу при х→а, то ця границя єдина.
( ) .lim cxfax
=→
Теореми про границі
Функція f(х) називаєтся обмеженою на даній безлічі Х, якщо існує таке позитивне число М, что |f(х)| ≤ М при всіх х єХ.
Якщо таке число М не існує, то функція f(х) називаєтся необмеженою
Теореми про границі
Лемма. Якщо функція f(х) має межу А при х→а, то вона обмежена в деякій околиці точки х = а. Теорема. Нехай існує і нехай М < f(x) < N в деякій околиці точки x = a. Тоді М ≤ А ≤ N. Позитивна функція не може мати негативного границі.
( ) Axfax
=→lim
Теореми про границі
Теорема 1.
Якщо в точці а існують границі функційf(x) і g(x), то в цій точці існує і границя суми f(x)±g(x),причому
( ) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgxfaxaxax →→→
±=± limlimlim
Теореми про границі
Теорема 2.
Якщо в точці а існують границі функцій f (x) и g (x), то існує і границя вироблення f(x)⋅g(х), причому
[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax →→→
⋅=⋅
Теореми про границі
Наслідок. Постійний множник можна виносити за
знак границі.
Теореми про границі
Теорема 3. Якщо в точці а існують границі функцій f(х) и g (x) і при цьому, то існує і границя приватного, причому .
.
0)(lim ≠→
xgax
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax→
→→
=
Приклад
Знайти .
По теоремі про межу приватного
2
15lim
2
2
−−+−
∞→ xx
xxx
.21
1
151
lim2
15lim
2
2
2
2
xx
xx
xx
xxxx −−
+−=
−−+−
∞→∞→
1)
211(lim
)15
1(lim
2
15lim
2
2
2
2
=−−
+−=
−−+−
∞→
∞→
∞→
xx
xx
xx
xx
x
x
x
Приклад
Знайти
• Перетворимо цю функцію так, щоб виділити в чисельнику і знаменнику множник , на який і розділимо далі чисельник і знаменник:
.12
lim3
2
1 xx
xxx −
+−→
.0)1(
1lim
)1)(1(
)1(lim
12lim
1
2
13
2
1=
+−=
+−−=
−+−
→→→ xx
x
xxx
x
xx
xxxxx
1−x
Приклад
Знайти
Перетворимо дану функцію, помноживши чисельник і знаменник на
.10
31lim10 −
−−→ x
xx
.31
1
)31)(10(
10
)31)(10(
91
)31)(10(
)31)(31(
10
31
+−=
+−−−=
=+−−
−−=+−−
+−−−=−
−−
xxx
x
xx
x
xx
xx
x
x
.31 +−x
.6
1
31
1lim
10
31lim
1010=
+−=
−−−
→→ xx
xxx
Приклад
Ще один приклад. Вичислити
Покладемо.
.1
1lim
4
3
1 −−
→ x
xx
12yx =
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ).3
4
1
11lim
11
111lim
11
11lim
1
1lim
1
1lim
2
2
12
2
1
2
22
13
4
14
3
1
=++++
=++−++−
=
=++−
+−=
−−
=−−
→→
→→→
yy
yy
yyy
yyy
yyy
yy
y
y
x
x
yy
yyx
Ознаки існування границі
«Теорема про двох міліціонерів» куда они
меня тащут?
Теореми про границі
Теорема (про проміжної функції).
Нехай в деякій околиці О (а) точки а функція f(x) укладена між двома функціями и , мають однаковий границя А при x → a, то є
и
Тоді функція f(x) має таку ж межу:
)(xϕ )(xψ
)()()( xxfx ψϕ ≤≤.)(lim)(lim Axx
axax==
→→ψϕ
( ) .lim Axfax
=→
Перша чудова границя
Теорема. Границя відношення синуса нескінченно малою дуги до самої дузі, вираженої в радіанах, дорівнює одиниці, тобто
.
Ця границя називають першим чудовим межею.
1sin
lim0
=→ x
xx
Перша чудова границя
Це пояснюється тим, що нескінченно мала дуга майже не встигає змінити свій напрямок, тобто викривити.
x
x
y 1sin
lim0
=→ x
xx
А
В
Друга чудова границя
Друга чудова границя:
або абоex
x
x=
+
∞→
11lim ex x
x=+
→
1
0)1(lim
( )exa xa
x=+
→)(
1
0))(1(lim
α
Приклади
Обчислимо
=
=→ x
xx
5sinlim
0=⋅
→5
5
5sinlim
0 x
xx
.5sin
lim50
=→ x
xx
Приклади
Найти Вважаючи , получимо:
=
.3
1limx
x x
+
∞→ yx
=3
=+∞→
x
x x)
31(lim =+
→
y
yy
3
0)1(lim
.)1(lim 3
31
0ey y
y=
+
→
Порівняння нескінченно малих
• Дві нескінченно малі при х→а функції α(х) и β(х) називаются нескінченно малими однакового
• порядку, якщо k, где k ≠0
При цьому пишуть: α(х) =О(β(х))
( )( ) =
→ x
xax β
αlim
Еквівалентні функції
Дві бескінечно малі х→а функції α(х) и β(х) називаются еквівалентними при х→а, якщо . Це записують так:α (x) ≈ β(x) при x→a.
1)(
)(lim =
→ x
xax βα
Функція вищого порядку
Бескінечно мала при х→а функція α(х) називається функцією вищого порядку порівняно з функцією β(х) при х→а, якщо
.
В цьому випадку при α(х) = о (β(х)) при x→a.
0)(
)(lim =→ x
xax β
α
Приклади
Наведемо деякі чудові приклади на додаток до першої і другої чудових границь.
.ln1
lim ,11
lim ,1)1ln(
lim0x00
ax
a
x
e
x
x xx
xx=−=−=
+→→→
Теорема
Теорема. Якщо при бескінечно мала , то
Приклад.
ax→)()( xx ψϕ ≈
.)(
)(lim
)(
)(lim
xf
x
xf
xaxax
ψϕ→→
=
.02
lim2
sinlim
1
)sin1ln(lim
2
0
2
02
2
0===
−+
→→→ x
x
x
x
e
xxxxx
50