Zur neuen klassiscften Theorie des Elektrons uon D i r a c

1 '0~ C . Hijh,ler

Inl~nltsiibersicli t U i r a c liat kiirzlicli eine neue klassisclie Tlieorie cles Elelitrons aiifgestellt I ) .

E s n-ird gezeigt, daR diese als Grenzfall aus dem anschauliehen Teilchenbild und nucli ails dein anschaulichen Wellenbild hervorgelit und dnB $ie tler 31 A x TT el 1 - J . 0 r e n t zschcn Thearic fiir kontiniiicrlic4i verteilte Imliing iiquivalent ist.

1 . Die Yaxwallsrlieii Crleirliungen fiir den latlunpsfreien Fall l a i i t e~ i~ ) :

( ; I . (2) gclit dainit iibcr in PA,, S*A,

= 0. - 8xv "}, 3.7;

l)iv Potentiale sintl tlurvh (3) nur bis arif eine Eiclitransforin a t' ion

init eiiier 1)eliel)igeri Ilaiiiii-Zeitfunktion S festgelegt. Uies bedeutet, tlaB die Theorie inelir Variable rnt halt als physikalisch notwendig sind. Zur Besclireibung \-on Latliingen werden iiherdies die dynainisclien Yaria1)len tler Elektronen hin- ziigenominen.

Gewohnlich scliriinkt man die Mogliclikeit von Eirlitraiisforinationen cin untl vereinfacht gleichzeitig (2') ziir Wellengleichung, indem man den Potentialen eine Ne1)enhedingrinp nuferlept (Tiorent z -Konvention)

Jeclocli sintl dainit die Potentiale noch niclit festgelegt : es verl~leilmn Eivlit rans- forinationen init

iU,,px1< = 0. (5)

2zA5px;l = 0. (6)

1) 1'. A. M. Dirac, Proc. I<oy. SOC. London (A) !!9!). 2!)1 (llJ51): Saturv IW, !)06

?) Wir verwenden -4, TIl -= -4, n, (l! l?Jl) .

-4, I?, + A4, R,- A, B,,; c - 1.

2. In seiner neuen Theoriel) verziclitet Dirac darauf, fur die Elektroneri weitere Variable einmfiihren. Er lafit die Lorentz-Konvention weg und ver- sucht., clie in der Existem der Eichtransformationen xum Ausdruck koinmenden iiberziihligcn Variablen zur Bwhreibung der Ladungen zu benutzen. Nwli der Einfulirung der Ladungen sollen die Potentiale dann festgelegt sein, so d a l kcine Eichtransformationen mehr moglioh sind. -

Fiir diese Festlegung wahlt Dirac den einfarhstcn relativistisclien Anclatz (k = iiniverselle Konstante)

(7) Dicsc an die Stelle der Lorcnt x-Konwntion t.rct.ende Nebnbeclingung f i i l i i t EU t ler I, a g r a n g e -Die ht e

-\iis clieser entsteheii clie Feldgleichungen (7) imncl mit (3)

A , A,, = - k'.

L = - i F p v I' p r - 4 2 ( 4 1 A , + k*). 2i't,,./8~r = - I A,,.

(8)

(9) (7) iind (9) sintl5 Uleichungen fur clie 5 Raum-Zeitfunktionen A,, und i.. Durcli (9) wird (lie 1nt.crpretation Yon -A 4, ale Stromdichte nahegelegt :

Fiir diesen Strom gilt nach (I)) cin Erhaltungssatx

T i n ladungsfreien Fall A = 0 ist clie Theorie lwcxiiglicli der Fllv init cler Naxwell- .when Theorie aqimiralent.

Diracs Arbeit schlieDt init einer Almssage fiber die Bewegang infinitesimaler Tmlungen und der Angabe der Hamilton-Ftmnktion. Es wi eine Losung E'j:! des ladungsfreicn Falles vorgepeben iind diirch Potentiale A: ausgedruckt, die nwh nicht (7) zu geniigen braucheu. Wir mollen so umeiclien, (la@ (7) erfiillt wird. .'? mu@ dann eine der Liisungen der partiellen Difforentialgleichung

(12) win. Neben (7) w i d clmn angenjihert fur selir kleineI alwr aiich (3 ) erfiillt sein und

(13) Imclireibt angeniiliert eine Bewegung tler infinitesimalen Ladung im Feld J':::. j,, lmiingt clavon ab, welche der Liisungen 8 von (12) man vcrwendet. Clwrclies kann I fiir tinen Zcitpunkt vorgegeben werden. Weiterhin ist es dann durcli ( I 1) I~cutimmt.

Dirac lirt m u hemerkt, daD (12) formal identiuch mit. der Hamil ton- . la- vobisclien Gleicliung fur die Bewepung einev Elektrons (e = lenll) iin Fcltl S: ist, falls man k = m,h setzt. Die zugehiirige Hamilton-Funktion

j , , = - A A I c e (10)

zj,,l2x,, = 0. (11 )

(aslax,, + A;) (as/aX,, + A;) = - k*

jll = - I (6'A','i3xIt - I - A,*)

li&rt sls llewegungsgleichungen

E s folgen Imieraus die Lorentzsclien Hewe~ungsgleic.liungen fiir oin elektron i i i i Felcl F;yL ohnr Heriicksichtigung dcs Eigenfeldes

~ / 1 = - 6 *,# 8Af/ 'h~, , : r* .t/, = (pIl 7 e A;). (18)

(16) '0 ) 7n x,, 7 - e F';, I. p,..

198 Aiinakik der Physik. 6 . Folge. Band 10. 1952

Die vollstandige Losung der H a m i l t o n - Jacobischen Gleichung enthalt vier Konstanten 3~ i . Wir hatten oben in (13) eine willkiirliche, dann aber im folgenden festgehaltene Wahl dieser Konstanten getroffen. Dem ent,spricht jetzt eine teil- weise Fest,legiing der Anfangsbedingungen. Wegen

13etrachtet man also die Bahnen der Elektronen, die bei beliehiger Wahl der nocli iibrigen Anfangsbedingungen entstehen, so ist die Vierergeschwindigkeit in jedem Raum-Zeitpunkt parallel zu j,. Jnfinitesiniale Ladungen bewegen sich also in einem vorgegebenen Feld wie Elektronen nach den L o r e n t z schen Bewegungs- gleichungen (16). Falls im Feld bereits grol3ere Ladungen rorhanden sind, gilt ein entsprechender Satz fur infinitesimale Zusatzladungen. -- D i r a c nimnit an- tiae seine Theorie die Bewegung von Elektronen so gut beschreibt, wie es ohne 13erucksiclitigung 'iron Quanteneffekten moglich ist.

3. Tn der Diracschen Theorie wird die betrachtete geladene Materie durcli cine cinzige Iconstante m/e charakterisiert. Dies ist aurh die einzige GroRe, die durcli makroskopische Experimente (Ablenkversuch) bestimmt werden kann 13ei der Quantelung pflegte man bisher immer von ,,klassischen" Theorien auszu- gehen, die zwei Konstanten enthalten: e , m im klassischen Partikelbild und e j f i . W L / ~ in1 klassisch-anschaulichen Wellenbild 3). Die Bestimmung dieser Konstanten crfordert nehen dem Ablenkungsrersiich ein Experiment aus der Mikrophysik. Klassisches Partikel- und Wellenbild stehen auf gleicher Stufe, jedes zeigt schon lGgenschaften der Materie, die ini andern Bild erst nach der Quantelung erkennbar werden4). Es ist zu erwarten, da13 bei einem Grenziibergang, der eine der beiden Konstanten zurn Verschwinden bringt und nur mje bestehen lafit, sowolil dak Par.tikelbiltl als auch das Wellenbild auf die Theorie ron D i r a c fiihren.

a) Die (:riindfileichungen des Partikelhildes lauten fur N Elektronen

Es enthalt bereits die Vorstellung, daB alle lladiingen Vielfache einer Elementar- ladung sind. Wir ersetzen nun die Elektronen durch viele Teilchen sehr kleinw ldadung aber mit gleichem m/e. I m Grenzfall gelangen wir dann z u einer kon- tinuierlichen Ladungsverteilung, die du7 ch die Felder der Ruhladungsdichte Q,, iiritl der Vierergeschwintligkeit ul, oder auch der Stromdichte j ,

j p = Qnup (21) beschrieben wird. Die Ruckwirkung des Eigenfeldes spielt keine Rollo irielir und (20) geht iiber in

aF,,/aX, = en uiL; - U, a q a x v - F,, U, eirn. (2% b)

3) W. Heisenberg, Die physikalischen Prinzipien der Quantentheorie. Hirzel,

4 , F. Hund, Ann. Physik (5) 86, 339 (1939); Z. I'hysik 117, 1 (19.10). Leipxig 1930, S. 96.

G . Hohler: Zur neuen klassischen Theorie des Elektrons vun Dirac 199

Unser Ziel ist nun, die up zu eliminierenh). Dazu losen wir (22b) nach den us auf. Diese Gleichungen werden durch den Ansatz

u , ~ == A , elm, A , A , = const. (23)

befriedigt. Auch wegen ul,uI, = - 1 mussen wir nun iiber die Eichung verfiigen, die noch beliebig war:

(7‘) rn2 A , A , = - F .

Die noch fehlende GI. (9) der Diracschen Theorie erhalten wir aus (22s) und (23), falls wir (-A) mit e/na identifizieren. Diese Theorie beschreibt also das Verhalten einer Raumladung in dem von ihr selbst erzeugten Feld. Eine Losung A,,A bleibt unverandert bei e +- e ; - A,, ;1 ist auch eine Losung, j,,, F,,, wecliseln d a m ebenfalls das Vorzeichen; wegen (7) gilt lAol 2 k.

b) Die Grundgleichungen des klassisch-anschaulichen Wellenbildes lauten im relativistischen Pall :

und a q , laxv = i, (24)

fur skalare Materie und

fur spinorielle Materie. Der GreAiibergang vom Wellenbild zur neuen D i r a c - schen Theorie mulj die Welleneigenschaften und damit h zum Verschwinden brin- gen und entspricht daher dem von der Wellenoptik zur geometrischen Optik. Wir machen den bekannten Ansatz

iind erhalten aus (25) die H a m i l t o n - Jacobische GI. und die Kontinuitats- gleichung :

Dabei haben wir den Koeffizienten jeder Potenz von h gleich Null gesetzt und uns auf die ersten beiden Naherungen beschrankt. Der &om geht fur kleine A uber in

5 ) Dies entspricht der Idee Diracs, fur die Beschreibung der Elektronen die Freiheit von Eichtransformationen zu beiiutzen und neue Variable moglichst zu vermeiden.

200 Ann&kr der Pkgeik. G. Fdge. Bond 10. 1952

Bisher ist uber die Eichung der Potentiale nicht verfiigt worden. Man sieht sofort, daD bei geeigneter Eichung wieder die Grundgleichungen der neiien Dir acwhen Theorie resultieren. (29) ist als Folge von (9) schon enthalten. Wir erkennen wie schon in 3a) die physikalische Uedeutung von - A m{e als Ruhdichte - e q* 9. Fur spinorielle Materie kann der tfbergang zur geometrischen Elektronen- optik mit dem gleichen Ansat,z vorgenommen werdena). Beim StrQm macht man zweckmaDigerweise die Gordonsche Zerlegung in Bahn- und Spinanteil, wobei der Iktztere einen Faktor h enthalt und daher vernachlassigt werden kann. Der Spin macht sich bekanntlich noch nicht in der Naherung der geometrischen Optik, sondern erst zusammen mit den Beugungserscheinungen bemerkbars). Man er- halt wie vorher die Diracschen Gleichiingen (7) und (9). Als Ruhdichte tritt hier cler Skalar ij py auf.

') W. Pauli, Randbuch der Physik XXIV, 1 (1933). S. 240.

Berlin, Institut fiir theoretische Phytik der Humboldt-Universitait.

(Bei der Redaktion eingegangen am 1G. Dezember 1951.)

Beridtigang zur Arbcit ,,Zar Theorie des gegabelten Verdialitangssto~ed'

Ann. Physik ( 6 ) 0 , 200 (1951)

Von W . K o f i n k

In GI. (13) auf S. 203 mussen die ersten beiden Glieder in der ersten eckigen Klammer der zweiten Zeile der Gleichung gestrichen werden. Diese Klammer enthalt dann nur noch b,. Die korrekte Gleichung (13) lautet :

{ [brz + (1 - i -k )4 - -bb , ] [b ,~ - ( (1 - - ) (b0 4- (1-k*)m*)z-m((I-m)(1 -i- E ) ] 4- b , [ b , z - ( Z - ~ ) ( b , i- (I - k * ) n ~ ) ] - ( I + Z)b,[A(z) -1- m(kz* 4- arx---a,)]}* = 4 ( 1 +m)[l -I-Z-(l - k ) m ] * b 0 ( Z - ~ ) . 4 ( ~ ) B ( z ) . Der Fehler pflanzt sich n i c h t nach anderen Stellen der Arbeit fort, insbeson- dere nicht in die Hauptgleichung (14). Er ist in dem den Rechnungen zugrunde Iiegenden Manuskript nicht enthalten.

f.

K a r 1 s r u h e , Inst.itut fiir Theoretische Physik der Technischen Hochschule.

(Bei der Redaktion eingegangen am 26. Februrr 1962.)

Verantwortlich far die Schriftleltung: Prof. Dr. Frledrlch M6gllch. Berlin-Buch, Llndenberger Weg 74; far den Anzeigenteil: E r n e t WBllnitz (Arbeitsgemelnschaft medizhischer Verlage C3.m.b.H.). Berlin C ?. Neue GrOnstraSe 18, Fernruf: 52 12 97. &. Z. gilt Anz8igenprelsliste Nr. ? V e r b : Johann Ambroslus Barth, Leipzig C 1, Salomonstr. 18B. Fernruf: 63 105, 63 781 Printed in Germany Llzenznummer 285/1261

Druck: Paul Diinnhaupt, KBthen (IV/5/1) L 32/52