30

Zum 0valwerk des Leonardo da Vinci.*)

Von Wilhelm Rulf in Wien.

Wenn die Aehsen einer Ellipse gegeben sind~ so kann man bekanntlieh dieselbe mittelst eines Papierstreifens eonstruieren, in- dem man eine Streeke yon der L~nge a @- b oder a - - bmit ~hren Endpunkten auf den Aehsen bewegt. Im ersten Falle liegt der die Ellipse besehreibende Punkt innerhalb der Streeke und zerlegt sic in a and b, im zweiten l~'alle liegt er aul~erhalb so~ dass seine Entfernungen yon den Endpunkten der Streeke a~ beziehnngsweise b betragen.

DiG Anf~hrung dieser, far das teehnisehe Zeiehnen wegen Vermeidung aller Itilfslinien so wiehtigen Construetion~ hat in dem Buehe A. L. B us e h : Vorsehule der darstellenden Geometric. Zweite vermehrte Auflage. Berlin, G e o r g R e i m e r 1868 auf Seite 72

zu einem Irrthume geftthrt~ F@ I, ~ S K indem im zweiten Absatze der

genannten SeRe gesagt wird~

Ellipse mittelst eines Papier- streifens aueh dann anwend- bar ist, wenn A B und CD eonjugierte Diameter tier

,N, df ~ x,~;! Ellipse sind. ' Bezeiehnet man mit M

~ ~ -2? den Mittelpunkt der Ellipse. ~ ~ . ~ ~ ~ /~ so erhalt man zwar, wenn maI~

mittelst des Papierstreifens erstens mit der Summe M A @ M C uncl zweitens mit

der Differenz M A - - M C Curven eonstruirt zwei yon einander ver- sehiedene Ellipsen~ die aber sehon deshalb und dann aueh nieht mit tier gegebenen Ellipse ttbereinstimmen k~nnen, da sie in A B und CD nieht eonjugierte Diameter besitzen.

*) Siehe t I o l z m t i l l e r : Methodlsches Lehrbuch tier Elementar-Mathematik. Lelpz~g B. G. T e u b n e r 1895. Drifter Theil, Selte 45.

B,

Zum O~aIwerk des Leonardo da Vinci. 31

Zunaehst soil auf elementar-geometrischem Wege gezeigt werdem dass durch die Bewegnng einer constanten Streeke zwischen den Sehenkeln eines beliebigen Winkels eine Ellipse erzeugt werden kann. Hiebei wird vorausgesetzt; dass diese Ellipsenentstehung far einen reehten W}nke]~ die sieh in manehen Btichern~ auch in der Form yon Ellipsenzirkela, vorfindet, bekannt ist.

Es sei Fig. 1, xMy der Winkel~ zwisehen dessen Sehenkeln sich die constante Strecke E F bewegt, tIiebei sei F.P--~MA und P E - ~ MC. ])ann entstehen auch bei der Bewegung der Strecke die Punkte A~ B~ C und D.

Man erriehte in E eine Senkreehte auf Mx, in iF eine solche auf Mq. Beide treffen sich in G. ttierauf ist M E G F ein Schnen-

viereck~ K der demselben umschriebene Kreis. Dieser hat bei der Bewegung yon E F cinch unveranderliehen Durchmesser~ da in ihm der der Li~nge nach unveri~nderlichen Sehne E F immer derselbe Umfangswinkel xMy entsprieht. Der reehten Winkel bei E und F wegen ist MG ein Durehmesser des Kreises~ und demnaeh 0 sein 3littelpunkt~ wenn MO ~ OG ist. Verbindet man 0 mit dem Punkte P~ der die Curve besehreibt~ so sehneidet diese Verbindungslinie den Kreis K in H uud /, und cs l~tsst sieh zeig'en, dass die Ver- bindungslinien M H und My[ bei der Bewegung von E F feste Ge- rude sind.

Da der Kreis K bei der Bewegung yon E F seinen Dureh- messer nicht itndert~ und der Punkt P dieselbe Lage in der con- stanten Sehne desselben beibehiilt~ so ist E H einder Lgnge nach unveranderlieher Kreisbogen, daher auch sein Peripheriewinkel xMH constant, demnach M H eine fixe Gerad% so wie die auf ihr senkrecht-stehende MI.

Bei der Bewegung yon E F beh~lt aber auch OP best~ndig dieselbe Li~ug% daher is t / ) ein bestimmter Punkt des Durchmessers Hy[. Es bewegt sich also jetzt eine constante Strecke H/zwischen den Sehenkeln des reehten Winkels HM/~ und P besehreibt daher eine Ellipse.

Genau so wird der Beweis geliefert~ wenn E ' F ' - ~ F ' P ' - - - - E ' P ' ~ - M A - MC die constante Strecke ist.

Um nun zu zeigen, dass die durch E F und E' f f ' erzeugten Ellipsen nieht identisch sind, wird folgende Aufgabe gelsst :

~Die Sehnittpunkte beider so erzeugten Ellipsen sind mit einer zu Mx oder Mg parallelen Geraden zu construieren".

Es sei Fig. 2. L eine zu My parallele Gerade. Der um M mit MA beschriebene Kreis schneidet L in 1 und 2. Man ziehe den Strahl M I und maehe auf demselben 13 ~ 14 ~ MC. Dutch 3 und 4 ziehe man Parallele zu My~ welehe Mx in 5 und 6 sehnei- den. Zieht man durch 5 Parallele zu M1 und M2, so sehneiden diese L in I und II, zwei Punkten~ welche der mit E'F ' erzeug- ten Ellipse entsprechen, denn schneidet z. B. 5 I . . My in 7~ so ist: wie

32 Wilhelm Rulf.

man leicht aus dem Parallelogramm ersieht, 7I ~ - M A und 5I ~ MC.

Die durch 6 zu M1 und 2M gezogenen Parallelen sehneiden L in den Punkten I' und II'~ welch% wie man auf ~thnliehe Weise rekennt~ der mit M F beschriebenen Ellipse entsprechen.

Bezeichnet man den Schnittpunkt yon L mit Mx mit 2V~ so finden der Parallelen wegen die Proportionen statt:

5I : M1 = 5N: M N 5II : M2 = 5 N : M N

aus welc hen 5 I ~ 5II folgt~ da aueh MI--~M2 ist. Wenn nun II ' mit I und I I m i t I' zusammenfallen wiirde~ so mttsste das Viereck 5I 6II ein Rhombus sein, was nieht mSglich istv da die Diagonalen dieses Viereckes sigh night rechtwinkelig sehneiden. Also sind die zweiv mit E F und E ' F ' erzeugten Ellipsen nicht indentiseh. Sic fallen erst dann zusammen, wenn My senkrecht steht auf Mx.

Zieht man die Pa- , y /L ~. rallelle L dureh A, so

wird sic yon dem mit M A beschriebenen

~ '~" / Kreise noch einmal auger in A geschnitten. 3,,"

4 , Es wird sigh also auf ihr noch je ein Sehnitt- punkt mit einer jeden der zwei Ellipsen erge- ben. In Folge dessen kSnnen A B und CD night cojugierte Dia- meter sein, wodurch cler

/ \ / Irrthum in dem Bueho yon Busch erwiesen er- seheint.

Man ziehe ferner Fig. 2 an den mit M A beschriebenen Kreis die Tangente T~ deren Bertihrungspunkt Q sei. Man touche RQ ~--- = QS ~-- M C und ziehe durch R und S Parallele zu l]fff~ welche Mx in V und U treffen. F~tllt man ferner yon V und U Senkrechte auf T~ deren Ful3punkte Z und W sind~ so sind Z und W nach Vorhergehendem die Berfihrungspunkte der Geraden T mit den zwei Ellipsen. Daraus ergibt sigh der Satz:

,,Die vier gemeinsehaftlichen Tangenten der beiden Ellipsen bilden ein mit diesen concentrisehes Parallelogramm~ dessen Seitea zu Mx und My parallel sind und dessen HShen an Lunge gleich A B und CD sind."

Ist 0 der Schnittpunkt der verl/~ngernten A B mit T, so liegt O in der Mitte zwischen den E|lipsenbertthrungspunkten, also es ist OZ-~--- OW.

Z u m O v a l w e r k des L e o n a r d o d a Vinc i . 33

Aus den ahnlichen Dreiecken 0 WU und USM folgt die Pro- portion :

OW: U S - - QS: SM.

Aus den i~hnlichen Dreiecken VOZ und USM jene:

OZ : US-=- VZ : SM.

Da nun V Z - - R Q - QS~ so folgt aus den Proportionen

O W - - OZ.

Monatsh, f, Mathema$ik u, Physik. IX, Jahrg. 3