1

Prof. dr. sc. Ranko ugaj, dipl. ing. gra.

HIDROLOGIJA ZA AGROEKOLOGE

Sveuilite u Zagrebu, Agronomski fakultet Zagreb 2009.

2

Prof dr. sc. Ranko ugaj, dipl. ing. gra.

HIDROLOGIJA ZA AGROEKOLOGE

Sveuilite u Zagrebu Rudarsko - geoloko - naftni fakultet

Recenzenti: Prof. dr. sc. eljko Andrei, dipl. ing. fiz.

Prof. dr. sc. Andrea Baani, dipl. ing. geol. Prof dr. sc. Davor Romi, dipl. ing. agr.

Raunalna obrada teksta: Ljiljana imec, dakt.

Slike u skriptama: Jasenka Gregorina, tehn. crt.

Grafiko ureenje: Indramani Sharma, dipl. ing. mat.

Sva prava pridrava autor Zagreb, lipanj, 2009.

3

PREDGOVOR

Ova skripta obuhvaaju materiju iz mehanike fluida te hidrologije podzemnih i povrinskih voda, za predmet Koritenje i zatita voda, koji se predaje na Agronomskom fakultetu Sveuilita u Zagrebu. Za optimalno koritenje voda i za njihovu zatitu potrebno je poznavati osnove hidrologije u podruju podzemnih i povrinskih voda. Budui da je za ispravno shvaanje osnovnih fizikih svojstava otjecanja naroito vano poznavanje mehaike fluida, ona je na odgovarajui nain obraena u zasebnom poglavlju. Zbog sloenosti hidrolokih problema, potreban je interisciplinaran pristup njihovu izuavanju i rjeavanju. Ovdje su samo dane najosnovnije postavke i to vezano na podruje poljoprivrede. Zahvaljujui vrlo povoljnim klimatskim, hidrogeolokim, i hidrolokim znaajkama te srazmjerno malome broju stanovnika, u Hrvatskoj su prilike za koritenje vode vrlo povoljne. Raspoloive koliine vode predstavljaju 15.000 m3/stan./god. prosjeno od oborina, preko 7000 m3/stan./god. obnovljivih zaliha podzemnih voda i preko 30.000 m3/stan./god. Vode koja iz susjednih zemalja rijekama dotjee u Hrvatsku. Iz toga se moe zakljuiti da Hrvatska danas raspolae sa znaajnim koliinama vode. Ni ubudue stanje nee biti zabrinjavajue, uz neophodan uvjet da se vodom paljivo gospodari i sauva njezina odgovarajua kakvoa. Recenzentima, prof. dr. sc. eljku Andreiu i prof. dr. sc. Davoru Romiu zahvaljujem na paljivom pregledavanju rukopisa i na vrlo korisnim primjedbama. Za opremanje skripti zahvaljujem gospoama Ljiljani imec i Jasenki Gregorini te dipl. ing. mat. Indramaniju Sharmi. Posebno zahvaljujem recenzentici prof. dr. sc. Andreji Baani na pregledavanju cijeloga teksta, a naroito na temeljitoj recenziji poglavlja o podzemnoj vodi, koje je povezano s hidrologijom, ali nije specijalnost autora.

Ranko ugaj

4

S A D R A J

1 PODRUJE I PODJELA HIDROLOGIJE 6

1.1 Definicija i podjela hidrologije 6

1.2 Hidroloki ciklus i koliine vode na zemlji 8

1.3 Openito o otjecanju vode u kru 10

2 OSNOVNI POJMOVI U MEHANICI FLUIDA 12

2.1 Uvod 12

2.2 Osnovne mjerne jedinice u mehanici fluida 12

2.3 Glavne fizike osobine tekuine 13

2.3.1 Pojam i svojstva tekuine 13

2.3.2 Gustoa 13

2.3.3 Elastina svojstva tekuine 14

2.3.3.1 Elastinost 14

2.3.3.2 Stlaivost 14

2.3.4 Viskoznost 15

2.3.5 Tlak vodenih para 15

2.3.6 Kapilarnost 16

2.3.7 Tlak 16

2.3.8 Anomalije vode 17

2.4 Hidrostatika 18

2.4.1 Raspodjela hidrostatikoga tlaka 18

2.4.2 Raspodjela potencijalne energije u tekuini 19

2.4.3 Sile hidrostatikoga tlaka na bone plohe 19

2.5 Kinematika tekuine 21

2.5.1 Vrste strujanja s kinematikoga stanovita 21

2.5.2 Jednadba kontinuiteta 23

2.5.3 Vrste stacionarnoga strujanja s kinematikoga stanovita 23

2.5.4 Vrste strujanja s obzirom na strujnu sliku 23

2.6 Dinamika tekuina 24

2.6.1 Bernoullijeva jednadba za teenje realne tekuine pod tlakom 25

2.6.2 Teenje vode u otvorenim koritima 31

2.6.2.1 Jednoliko teenje 32

2.6.2.2 Nejednoliko teenje 33

2.6.2.3 Specifina energija presjeka, mirno i silovito teenje, kritina dubina 35

3 PODZEMNA VODA 38

3.1 Oblici pojavljivanja vode u tlu 38

3.2 Darcyjev zakon 42

3.3 Hidraulika teorija strujanja podzemnih voda 44

3.3.1 Dupuitova teorija 44

3.3.2 Vodozahvati podzemnih voda 47

3.3.2.1 Vodozahvatna galerija 48

3.3.2.2 Potpuni zdenci 48

3.3.2.3 Nepotpuni zdenac 50

3.3.2.4 Vrelna ploha u zdencu 50

3.3.3 Odreivanje koeficijenta procjeivanja na terenu 51

3.3.4 Prodiranje morske u slatku vodu 53

5

4 HIDROLOGIJA POVRINSKIH VODA 54

4.1 Osnovni pojmovi 54

4.2 Glavne karakteristike hidrolokih pojava 55

4.3 Oborina 58

4.3.1 Vrste oborina 58

4.3.2 Mjerenje oborina 59

4.3.3 Odreivanje srednje koliine oborine na slivu 61

4.3.4 Godinji hod oborine 63

4.3.5 ITP i PTP krivulje 64

4.4 Sliv 65

4.5 Otjecajni koeficijent i specifini dotok sa sliva 68

4.6 Mjerenje razina i koliina vode 69

4.6.1 Mjerenje razina vode 69

4.6.2 Mjerenje koliina vode 73

4.6.2.1 Mjerenje brzina u okomicama lamela u protjecajnom profilu 73

4.6.2.2 Preljevi 75

4.6.3 Mjerenje nagiba vodnoga lica 76

4.7 Protona krivulja 77

4.8 Procesi otjecanja 82

4.8.1 Nivogram 82

4.8.2 Hidrogram i njegovi sastavni dijelovi 83

4.9 Velike vode 87

4.9.1 Openito o velikim vodama 87

4.9.2 Odreivanje velikih voda primjenom statistikih metoda 90

4.9.3 Racionalna formula 93

4.10 Male vode 96

4.11 Hidroloka sua 97

4.12 Bioloki minimum 98

4.13 Nanos u vodotocima 99

4.13.1 Postanak i vrste nanosa 99

4.13.2 Pronos nanosa 100

4.14 Jednadba hidroloke bilance vode u opem obliku 102

5 LITERATURA 104

6

1 PODRUJE I PODJELA HIDROLOGIJE

1.1 Definicija i podjela hidrologije

Openito se hidrologija moe definirati na dva naina:

1. Hidrologija je znanost koja se bavi vodama iznad, na i ispod Zemljine povrine; pojavljivanjem,

otjecanjem i raspodjelom vode u vremenu i prostoru; biolokim, kemijskim i fizikim svojstvima vode i

djelovanjem vode na okoli, ukljuujui i utjecaj na iva bia.

2. Hidrologija je znanost koja se bavi procesima upravljanja, mijenjanja i nadopunjavanja vodnih

zaliha na Zemljinoj povrini i tretira razliite faze u hidrolokome ciklusu.

Ako se izuzmu bioloke i kemijske osobine vode, moe se postaviti definicija hidrologije u uem smislu:

hidrologija je znanost koja prouava pojave vode na Zemlji i zakone njezina stalnoga kruenja.

Unutar toga, hidroloka razmatranja najee se odnose na povrinsko otjecanje vode. Otjecanjem se

naziva onaj dio oborina koji se pojavljuje kao vodotok. Povrinsko otjecanje definira se dovoenjem u vezu

koliina vode s promjenama razina vode (odnos protoka vode prema vodostaju).

Hidrologija se dijeli na pet osnovnih disciplina:

1. Hidrometeorologija je znanost o vodi u atmosferi. Ona povezuje probleme hidrologije i

meteorologije u hidrolokome ciklusu, odnosno u kruenju vode u prirodi.

2. Potamologija je grana hidrologije koja prouava povrinske tokove i njihove vodne reime. Ona

ukljuuje hidrodinamiku te elemente ispiranja (erozije) i taloenja nanosa u vodotocima. U potamologiji se

posebno istiu hidrografija, koja opisuje povrinske vodene tokove i hidrometrija, odnosno tehnika mjerenja

povrinskih i podzemnih voda.

3. Limnologija je znanost o jezerima i slatkim vodama stajaicama. U izuavanje voda koje miruju

ukljueni su hidroloki fenomeni, a naroito su naglaene analize utjecaja na okoli.

4. Kriologija prouava vodu u njezinim vrstim oblicima, primjerice: led, tuu, snijeg i soliku.

5. Hidrologija podzemnih voda je grana hidrologije koja se bavi podzemnim vodama, njihovim

pojavama i kretanjima u razliitim uvjetima u litosferi. Ova se interdisciplinarna znanost sastoji preteno od

hidrologije i geologije, a bavi razliitim pojavama i ponaanjem vode u podzemlju. Koriste se jo i nazivi

hidrogeologija, geohidrologija ili jednostavno podzemne vode, a rabe se ovisno o tome koji se vid prouavanja

eli naglasiti (D. F. Lapidus, 1990.). Kod nas se najee koristi naziv hidrogeologija.

Prema tome, hidrologija je znanost koja se bavi analizama i studijama brojnih utjecaja vode u vezi s

njezinim gibanjem i djelovanjem na ivu i mrtvu prirodu. Ona prouava reime vode u atmosferi, na povrini i

ispod povrine Zemlje, bez obzira na agregatno stanje vode. U to su ukljuena motrenja, opaanja, biljeenja

pojedinih veliina u prirodi te razrade i analize tih podataka. Na temelju tih podataka i analiza izvode se

mjerodavni zakljuci o raspoloivim vodnim koliinama i njihovoj raspodjeli u vremenu i prostoru.

Zbog sloenosti hidrolokih problema potreban je interdisciplinarni pristup njihovu izuavanju i

rjeavanju. Stoga velik doprinos hidrologiji daju sljedee znanstvene discipline: matematika, vjerojatnost i

statistika, geologija, hidrogeologija, geografija, fizika, kemija, biologija, mehanika fluida, meteorologija,

pedologija s poljoprivredom, umarstvo i informatika.

7

Budui da su oborine najvaniji faktor koji uzrokuje otjecanje, meteorologija je nezaobilazna znanstvena

disciplina u hidrolokim analizama. Pedologija, poljoprivreda i umarstvo prvenstveno su vani zbog uvjeta

otjecanja vode i stvaranja nanosa. Za odreivanje baza hidrolokih podataka te uporabe odgovarajuih

hidrolokih programa i matematikih modela za simulacije otjecanja neophodna je primjena informatike.

Poznavanje geoloke grae slivnoga podruja predstavlja preduvjet za donoenje zakljuaka o uvjetima

otjecanja vode, dok je hidrogeologija neizostavna u prouavanju podzemne komponente otjecanja kod kruenja

vode u prirodi. Zemljopisne su osobine openito znaajne u opisivanju slivnoga podruja i odreivanju mree

vodotoka (hidrografska mrea).

Na osnovi topografske slinosti, a uzimajui u razmatranje i ostale znaajke bitne za otjecanje vode -

prvenstveno geoloke i klimatoloke - mogue je izvoditi zakljuke o slinosti razliitih slivnih podruja u

pogledu otjecanja vode. Na taj se nain moe ocijeniti ima li smisla hidroloke zakonitosti izvedene za sliv o

kojemu postoji vie podataka primijeniti na podruja o kojima je prikupljeno malo hidrolokih podataka ili ih

uope nema.

Fizika pak, a posebice mehanika fluida, odnosno hidraulika, bitne su zbog prouavanja temeljnih

zakonitosti otjecanja vode i nanosa u vodotocima, dok je u prouavanju kakvoe vode osobito znaajan doprinos

kemije.

Hidroloka istraivanja u novije vrijeme postaju vrlo opsena. Unutar hidrologije razvijaju se pojedina

usmjerenja, a osnovna je podjela na parametarsku i stohastiku hidrologiju. Njihove definicije proizlaze iz samih

naziva.

Pod pojmom parametarska hidrologija (moe se jo rei i: odreena, iskustvena, deterministika,

analitika ili dinamika hidrologija) podrazumijeva se nain analize hidrolokih procesa u kojemu se

upotrebljava deterministiki pristup istraivanjima hidrolokih sustava uz koritenje razliitih parametara.

Primjenom stohastike hidrologije (sinonimi su: vjerojatnosna i statistika hidrologija ili hidrologija

sluajnih procesa), hidroloki procesi i pojave opisuju se i analiziraju metodama teorije vjerojatnosti i

matematike statistike.

Obzirom na bitna svojstva pojedinih podruja koja se razmatraju razvile su se posebne grane hidrologije,

primjerice hidrologija kra, izuavana posebno i u naim uvjetima, gradska (urbana) hidrologija, hidrologija

akumulacija i ekohidrologija.

Hidrologija kra je grana hidrologije koja se bavi hidrologijom u krkim naslagama i slojevima s

velikim podzemnim prolazima, koji omoguuju teenje znatnih koliina vode podzemljem.

Gradska (urbana) hidrologija je grana hidrologije koja se bavi otjecanjem s naseljenih i gradskih

podruja, iji se znatan dio sastoji iz meusobno bliskih nepristupanih povrina i ureenoga zemljita pod

vegetacijom.

Hidrologija akumulacija je grana hidrologije koja se bavi radom akumulacijskih jezera i njihovim

utjecajem na vodni reim.

Ekohidrologija (ekoloka hidrologija) je grana znanosti koja izuava kako hidroloki procesi,

ukljuujui vrstu, koliinu, vremenski raspored i kretanje vode u vremenu, utjeu na ekoloke procese.

8

Primjena hidrologije oituje se u vodoopskrbi, iskoritavanju vodnih snaga, natapanju, odvodnji, zatiti

od poplava, regulaciji rijeka, ureivanju plovnih putova i luka, bujiarstvu, ribarstvu, rekreaciji i svim ostalim

elementima ivota koji su u vezi s vodama.

Hidrologija se u sklopu ostalih znanosti ili kao zasebna znanost i vodoprivredna disciplina openito

razvijala u trima osnovnim smjerovima (V. Jevevi, 1993.):

1. opisna (deskriptivna) hidrologija

2. korisnika (primijenjena) hidrologija

3. znanstvena hidrologija.

Koritenje opisne hidrologije veoma je vano u primjeni rezultata obrada sa slivova za koje postoje

mjerenja hidrolokih veliina na slivove bez izmjerenih podataka ili s premalo njih. Geoloka i morfoloka1

obiljeja, a kod krkih slivova se to osobito odnosi na rezultate geolokih, hidrogeolokih i morfolokih

istraivakih radova, valja sustavno prikazivati na odgovarajui nain, da bi se na temelju tih analiza mogli

donositi mjerodavni zakljuci o slinostima pojedinih podruja i mogunostima primjene izvedenih zakonitosti

kojima se opisuje otjecanje.

Korisnika ili primijenjena hidrologija usmjerava hidroloka istraivanja na rjeavanja praktinih

problema. Ukoliko za razmatrani sliv postoje podaci o opaanjima i mjerenjima osnovnih hidrolokih veliina

(vodostaji, protoci), na temelju njih se provode razliite hidroloke obrade i izvode odgovarajui zakljuci. Ako

tih podataka nema ili ih je premalo, koriste se pravila i openite zakonitosti izvedene za slivove sa slinim

glavnim obiljejima otjecanja, na kojima je bilo dovoljno pouzdanih izmjerenih podataka.

U znanstvenoj hidrologiji primjenjuje se uobiajeni znanstveni pristup; donose se openiti zakljuci o

hidrolokim fenomenima i izvode se zakonitosti koje je mogue primijeniti na druga, u hidrolokom smislu slina

podruja.

Ako se analiziraju veze izmeu karakteristinih hidrolokih parametara (veliine slivova, prosjeni i

ekstremni protoci, njihova standardna odstupanja, koeficijenti varijacije i asimetrije, bruto i efektivne oborine i

sl.) za jedno veliko slivno podruje, primjerice sliv Dunava ili vie slivova s nekim bitnim zajednikim

obiljejima, primjerice za krke slivove u Hrvatskoj, onda se openiti zakljuci izvode za itavo razmatrano

podruje ili regiju, a takve hidroloke analize zovu se regionalne hidroloke analize.

1.2 Hidroloki ciklus i koliine vode na Zemlji

Hidroloki ciklus je kruenje vode kroz atmosferu i na Zemljinoj povrini. To je slijed prelaenja vode

iz atmosfere na Zemlju i njeno vraanje u atmosferu; isparavanje iz oceana, mora, jezera i rijeka te s kopna, pri

emu dolazi do izraaja isparavanje vode iz biljaka. U oblacima dolazi do kondenzacije pa se stvaraju oborine

koje padaju natrag u oceane i na kopno. U oceanima, morima, jezerima, vodenim tokovima i na kopnu voda se

potom akumulira, te opet isparava.

Hidroloki ciklus zbiva se u Zemljinu sustavu: u atmosferi (plinoviti omota oko Zemlje), hidrosferi (na

povrini) i litosferi (tvrdi sastav Zemlje ispod hidrosfere). Voda prodire u Zemlju prosjeno do 1 km (u kru i do

2-3 km), a u atmosferu do 15 km, pa se itav proces zbiva u amplitudi od oko 16 km.

1 Morfologija je znanost o oblicima i promjenama oblika.

9

Slika 1.1 Hidroloki ciklus (V. T. Chow i dr. 1988.)

Na slici 1.1 shematski je prikazano kruenje vode u prirodi. Hidroloki ciklus je vaan za razumijevanje

vodne bilance, odnosno vodnoga bilansa. Vodna bilanca je pregled raspoloive vode temeljen na naelu da

tijekom odreena vremenskog intervala ukupni viak ili manjak vode u danome slivnom podruju ili vodnome

objektu mora biti jednak zbroju ukupnoga gubitka ili vika vode i neto promijenjene zalihe vode u slivu ili

vodnome objektu.

U tablici 1.1 prikazane su pribline koliine vode na Zemlji, u atmosferi, hidrosferi i litosferi.

Tablica 1.1 Koliine vode u hidrolokome ciklusu (D. R. Maidment i dr., 1993.)

Podruje Povrina

(106 km2 )

Koliina vode

(103 km3 )

Postotak

ukupne vode

Postotak

slatke vode

Atmosfera (A)

Para kao ekvivalent vode

510,1

12,90

0,001

0,04

Hidrosfera (H)

Oceani i mora

Kopno:

rijeke

slatkovodna jezera

slana jezera

movare

bioloka voda

vlaga u tlu

polarni led

ostali led i snijeg

361,3

148,8

1,2

0,8

2,7

510,1

82,0

16,0

0,3

1.338.000,00

2,12

91,00

85,40

11,47

1,12

16,50

24.023,50

340,60

96,54

0,0002

0,0066

0,0062

0,0008

0,0001

0,0012

1,73

0,025

0,006

0,26

0,031

0,003

0,05

68,58

0,97

Litosfera (L)

Podzemna voda

slatka

Slana

134,8

134,8

10.530,00

12.870,00

0,760

0,928

30,06

Slatka voda na Zemlji

Ukupno vode na Zemlji

148,8

510,1

35.029,21

1.385.984,61

2,53

100,00

100,00

10

1.3 Openito o otjecanju vode u kru

Pri odreivanju volumena prirodnih podzemnih retencija2 vode u kru, hidroloka terenska mjerenja i

analize njihovih rezultata mogu biti od velikoga znaaja. Naime, kada se primjenjuju suvremene analize sustava

otjecanja vode, pristup se redovito sastoji od podjele procesa na tri osnovna dijela: ulaz vode u podzemni sustav

- prolaenje kroz podzemlje - izlaz vode iz podzemlja. Ulaz vode u podzemni sustav upravljan je koliinom i

rasporedom oborina u vremenu po slivnome podruju. Prolaz vode kroz sustav podzemnih pukotina najslabije je

poznat dio procesa, a izlaz iz podzemnoga sustava redovito je najbolje poznat jer se vodne koliine nakon svojega

izviranja na povrinu mogu razmjerno lako motriti i mjeriti. Na temelju tih mjerenja moe se primjenom

odreenih hidrolokih postupaka, uz obuhvaanje podataka iz sunih i vlanih razdoblja, donositi pouzdane

zakljuke o rezervama vode u podzemnom zaleu krkih izvorita.

Kr je osobit reljef s posebnim - preteno podzemnim - tokom vode kroz topljive stijene: vapnenac,

dolomit, sadru (gips), kredu i halit. Na Zemlji se 20 - 25 posto kopna nalazi pod krem. Kr u Hrvatskoj obuhvaa

povrinu od oko 26.000 km2, gotovo cijeli juni dio Hrvatske, odnosno oko polovice njezinog ukupna teritorija.

Slika 1.2 Podruje Dinarskoga kra

Na slici 1.2 prikazano je podruje Dinarskoga kra, koji je nazvan po istoimenome planinskom masivu.

Njegovo podruje obuhvaa dio Slovenije, Hrvatske, Bosne i Hercegovine te Crnu Goru. Prua se paralelno s

obalom Jadranskoga mora u pojasu irine od 50 do 150 km na duini od 700 km, a ukupna mu je povrina oko

57.000 km2. Dinarskome krkom podruju pripadaju, osim Jabuke i Sveca, i svi otoci u Jadranskome moru.

2 Retencija je spremite za vodu iz kojega se voda nekontrolirano isputa, za razliku od akumulacije iz koje se voda

isputa kontrolirano.

11

Prema F. Fritzu (1991.) za Dinarski kr sve je vie podataka da je dananji njegov reljef u geolokome

smislu relativno mlad. Veina rijeka i ujezerenja u priobalju i uzdu rijeka nastala su u mlaem Pleistocenu i

Holocenu. U razdoblju od zadnjega glacijala do danas okravanje priobalnoga terena odvija se neprekidno, ali s

promjenom intenziteta okravanja ovisno o promjenama klimatskih prilika. Zbog toga itav posljednji ciklus

okravanja - u razdoblju od oko 30.000 godina - treba tretirati kao recentno (skoranje) okravanje.

Tektonika je najznaajniji initelj okravanja. Snani tektonski procesi u krtim karbonatnim stijenama

stvorili su mnogo rasjeda i pukotina, koje omoguuju prodiranje vode u dublje zone. Tako je podzemlje

pripremljeno za procese okravanja, tj. otapanja du pukotina i u njemu su uvjetovani glavni pravci i granice,

odnosno dubine okravanja.

Voda sa CO2 otapa kalcijev karbonat u vapnencu, pa se u njemu na povrini stvaraju izbrazdane udoline

ili krape. Proirivanjem ili uruavanjem nastaju ljevkaste udubine koje se nazivaju ponikve, doci ili vrtae.

Zavale du veih pukotina u kru nazivaju se uvalama, a najvee zavale s tekuicom i naplavljenim nanosom

krka su polja.

Bitno je obiljeje kra kapacitet podzemlja. U podzemlje ulazi oborinska voda koja padne na utjecajnu

slivnu povrinu, a veliina podzemne retencije i propusna mo izvorita u najveoj mjeri upravljaju izlazom iz

podzemnoga sustava, odnosno otjecanjem u povrinski vodotok (A. Stepinac, 1969.).

Dimenzije pukotina kroz koje voda protjee ili se zadrava u krkome podzemlju, kreu se u vrlo

velikom rasponu: od prostranih pilja, pa ak i podzemnih rijeka, do vrlo malih pukotina koje, ako su ispunjene

pijeskom i glinom, mogu dugorono usporiti prolaz vode kroz podzemlje. U kru su esta pojava rijeke

ponornice. Ponornica je tekuica to se gubi u ponorima krkoga terena. Kod njih se esto povrinski tokovi

javljaju kao snana vrela, a mogu ponirati i nekoliko puta. U Hrvatskoj su najpoznatije ponornice Dobra,

Mrenica, Lika i Gacka.

Za ukupne godinje koliine vode karakteristino je da je, to se tie otjecanja oborina koje padnu na

sliv, kr veliki prikuplja oborina. Zbog mogunosti brza poniranja vode u podzemlje povoljna je okolnost to su

gubici uslijed isparavanja manji u krkim nego u nekrkim podrujima u Hrvatskoj, a i u Europi. to se tie

gustoe povrinskih tokova, odnosno gustoe hidrografske mree, kr je izrazito siromaan. U njemu se najee

pojavljuju glavni vodotoci s nekoliko glavnih aktivnih pritoka. Ako glavni vodotoci zavravaju u ponorima krkih

polja, zbog ogranienih kapaciteta ponora redovito nastaju sezonske poplave takvih polja (primjerice rijeka Lika

u Lipovu polju).

Na slici 1.3 shematski je prikazan presjek kroz krki sustav s podzemnih provodnicima i retencijama.

Slika 1.3 Krki podzemni sustav

12

2 OSNOVNI POJMOVI U MEHANICI FLUIDA

2.1 Uvod

U ovome se poglavlju opisuju najosnovniji pojmovi iz mehanke fluida, u onolikoj mjeri koliko je to

neophodno za temeljna shvaanja hidrologije povrinskih i podzemnih voda povezanih s agroekologijom.

Poglavlje je usmjereno prvenstveno na vodu, koja se tretira kao izotropan (svojstva su mu neovisna od smjera

gibanja), homogen (ista svojstva u svim tokama) i nestlaiv fluid.

Mehanika fluida je grana fizike koja prouava oblike i zakone mehanikoga gibanja i relativnoga

mirovanja tekuina (kapljevine i plinovi), te razrauje naine primjene tih zakona na razliita podruja

tehnike, a naroito u hidrotehnici (primjerice: hidroenergetika, hidrologija, melioracije, plovni putevi,

vodoopskrba, kanalizacija).

Dok se u Newtonovoj klasinoj mehanici krutine (statika, kinematika i dinamika) prouava kretanje

materijalne estice i elastina (statika) ravnotea sustava estica (greda, konzola itd.), u mehanici se fluida

razmatra gibanje sustava estica. Materijalna toka je zamiljeno materijalno tijelo ija je masa pridodana

toki.

''Mehanika fluida'' je najpravilniji naziv za tu znanost, koji se u svijetu najvie rabi. Postoje jo i nazivi

hidraulika (od gr. hydor voda i aulos cijev) i hidromehanika.

Od poetka znaajnijega razvoja mehanike fluida, dakle od 16. stoljea, izvode se teorijske osnove

hidraulikih zakonitosti, a usporedo s njihovom primjenom razvija se i praktina hidraulika. Posebni i esto vrlo

sloeni zahtjevi, prvenstveno kada se radi o projektiranju i izvedbama velikih hidrotehnikih graevina, uvjetovali

su razvitak hidraulikih laboratorija u kojima se na fizikalnim modelima ispituju hidrotehniki problemi koje je

vrlo teko, a esto i nemogue, rijeiti na temelju teorijskoga pristupa.

Prema tome, u mehanici fluida su uzajamno povezani teorija, praksa, eksperimentiranje i

matematiko modeliranje.

2.2 Osnovne mjerne jedinice u mehanici fluida

U Hrvatskoj je, kao i u veini zemalja u svijetu, zakonom odreena upotreba SI (Standard

International) sustava mjernih jedinica (od 15.2.1962.).

U mehanici fluida postoje tri osnovne veliine s pripadajuim dimenzijama, iz kojih se izvode ostale

veliine:

1. duina: L (m)

2. vrijeme: T (s)

3. masa: M (kg)

Od izvedenih fizikih veliina ovdje se navode samo najvanije:

- brzina: [ ] [ ][ ]TL

v = (m/s)

=

dt

dsv s je put, a t vrijeme. (2.1)

- ubrzanje ili akceleracija: [ ] [ ][ ]2TL

a = (m/s2)dt

dva = (2.2)

- sila: [ ] [ ][ ]aMF = (N) (2.3)

13

Izvedena jedinica za silu Newton (N) = (kg m/s2) je sila koja masi od jednoga kilograma daje

ubrzanje od jednoga m/s2.

- protok: [ ] [ ][ ]TL

Q3

= (m3/s) (2.4)

Jedinica za protok je (m3/s), a za male protoke rabi se jo i litra u sekundi (l/s), pa ak i (cm3/s).

Ostale izvedene jedinice koje se esto upotrebljavaju u mehanici fluida, a zanimljive su i hidrologiji

(gustoa, kinematiki koeficijent viskoznosti, modul elastinosti, tlak i tlak vodenih para) opisane su u

poglavlju 2.3.

2.3 Glavne fizike osobine tekuine

2.3.1 Pojam i svojstva tekuine

Tekuina ili fluid je maseno tijelo, ije se pojedine estice meusobno veoma lako pomiu, tako da moe

tei, odnosno mijenjati svoj oblik i pri uinku neznatnih sila. U reolokom3 smislu tekuina (fluid) je tvar (materija)

koja pri tangencijalnim (sminim) naponima neprekidno mijenja oblik, ma kako male bile sile koje su uzrokovale te

napone. Prema tome, tekuina nema vlastiti oblik, nego poprima oblik posude u kojoj se nalazi.

Tekuine se dijele na kapljevine i plinove (uzdunine). Kapljevina je fluid koji u otvorenoj posudi ne

moe proizvoljno poveati svoj volumen, a plin je ekspanzivni fluid koji uvijek zauzima najvei mogui volumen

koji mu je dostupan. Pritom su, za razliku od plinova, kapljevine kao i kruta tijela vrlo malo stlaive i ne

zauzimaju itav raspoloivi volumen, tj. imaju slobodnu povrinu. Neki autori pod pojmom tekuine

podrazumijevaju kapljevinu i ne upotrebljavaju taj struni izraz kao istoznanicu za fluid.

Iako izmeu kapljevina i plinova postoje velike razlike u gustoi, s kinematikoga stajalita izmeu njih

gotovo nema razlike. Primjerice, mehanizam strujanja vjetra u niim slojevima atmosfere i mehanizam strujanja u

morima i jezerima naelno se ne razlikuju. Takoer je i za vrijeme kretanja tijela kroz kapljevine ili zrak slika

strujanja gotovo ista (primjerice: opstrujavanje zraka oko avionskoga krila, vode oko stupa mosta i sl.).

Kapljevine i plinovi, odnosno tekuine imaju svojstvo teenja i imaju odreenu elastinost (vrstou) na

vlana i smina naprezanja, to je inae svojstvo krutih tijela. Svojstvo elastinosti stoga je kod tekuina redovito

prikriveno izrazitijim svojstvom teenja.

2.3.2 Gustoa

Gustoa je fizika veliina koja pokazuje raspodjelu mase tekuine M u volumenu V:

V

M= (kg/m3) (2.5)

Ako je njezina gustoa u svim tokama ista tekuina je homogena.

Gustoa vode, ovisno o njezinoj temperaturi se vrlo lagano mijenja. U hidrotehnici se temperatura vode

obino mijenja u granicama od 0 do 35oC, pa se za praktine izraune moe uzeti da je gustoa vode stalna i

jednaka:

v = 1000 kg/m3

Gustoa mora iznosi od 1020 do 1030 kg/m3, a u posebnim sluajevima (za velik salinitet mora) 1050

kg/m3. Gustoa nafte kree se unutar granica od 650 do 850 kg/m3, a gustoa ive iznosi 13.600 kg/m3. Gustoa

zraka iznosi 1,293 kg/m3 (na morskoj povrini pri atmosferskom tlaku).

3 Reologija je znanost koja se bavi problemima napona i promjena oblika deformacija.

14

Uz pojam gustoe tekuine treba navesti i pojam specifine teine tekuine koja je opisana osnovnim

jedinicama MKS sustava mjera za razliku od gustoe , opisane jedinicama odreenima prema postojeem

zakonskom SI sustavu mjera.

Specifina teina je fizika veliina koja prikazuje raspodjelu teine G u volumenu V.

V

G= (N/m3) (2.6)

Izmeu specifine teine i gustoe postoji sljedei odnos:

=g (2.7)

g

= (2.8)

gdje je g = 9,81 m/s2 ubrzanje sile tee (gravitacija).

2.3.3 Elastina svojstva tekuina 2.3.3.1 Elastinost

Elastinost ili elasticitet je svojstvo tijela da mijenja svoj oblik pod utjecajem neke sile, a nakon

prestanka njezina djelovanja poprimi prijanji oblik.

Modul elastinosti E tekuine dobije se iz formule:

E = c2 (kg/ms2) (kgm-1 s-2) (2.9)

gdje c oznaava brzinu irenja zvuka, vibracija i stiljivih efekata kroz tekuinu, a gustou tekuine.

Za vodu pri temperaturi od 20oC modul elastinosti je E = 21,08 108 kg/ms2, a brzina irenja zvuka c =

1452 m/s. (Brzina irenja zvuka kroz zrak je c = 330 m/s).

2.3.3.2 Stlaivost

Stlaivost (stiljivost, kompresibilnost) tekuina odreena je koeficijentom volumne dilatacije , kojim

je definirana relativna promjena volumena tekuine V pri promjeni normalnoga tlaka p za jedinicu tlaka, na

osnovi izraza:

dp

dV

Vs

1= (m2/N) (2.10)

Stlaivost kapljevina vrlo je mala u usporedbi sa stlaivou plinova, a vrlo velika u usporedbi sa

stlaivou vrstih tijela (npr. stlaivost vode je oko 100 puta vea od stlaivosti elika).

Stlaivost tekuine neizostavan je imbenik u objanjavanju onih hidraulikih pojava u kojima je brzina

gibanja tekuine istoga reda veliine kao i brzina irenja zvuka (M. Fancev, 1982.).

Elastina svojstva tekuine uzimaju se u obzir, primjerice, za vrijeme zatvaranja i otvaranja zatvaraa u

cijevnim vodovima pod tlakom, pri emu dolazi do pojave koja se naziva hidrauliki udar (vodni udar), tj. do

nagla poveanja ili nagla smanjenja tlaka zbog promjene brzine tekuine.

Za veinu hidraulikih pojava, pri kojima su brzine gibanja tekuine i njihove promjene male u odnosu na

brzinu irenja zvuka kroz tekuinu, u izraunima se ne uzima u obzir elastina svojstva. U takvim se sluajevima

slobodno pretpostavlja da je tekuina nestlaiva. Ta je pretpostavka realna i kada se radi o primjeni hidraulikih

postupaka u hidrologiji (primjerice: mjerenja brzina i protoka vode).

15

2.3.4 Viskoznost

Viskoznost ili unutarnje trenje je svojstvo tekuine da prua otpor promjenama oblika. Tekuina pri

posminim deformacijama prua otpor zbog djelovanja kohezije4 i meusobne izmjene kinetike energije

molekula. Viskoznost poveanjem temperature opada zbog smanjenja kohezije. Kod plinova poveanjem

temperature viskoznost raste, jer zbog znatno manje zbijenosti molekula nego kod kapljevina poveanjem

temperature raste kinetika energija molekula (V. Jovi, 1977.).

Kada se u tekuini promatraju dva neizmjerno bliska sloja, meusobno udaljena za dy, iji gradijent brzina

je dv, onda je tangencijalni napon izmeu tih slojeva:

dy

dv = (kgm/s2) (2.11)

gdje je dinamiki faktor proporcionalnosti koji se jo naziva i dinamikim koeficijentom viskoznosti.

Ukoliko se dinamiki koeficijent viskoznosti podijeli s gustoom dobije se kinematiki koeficijent

viskoznosti:

= (m2/s) (2.12)

Koji je tako nazvan zbog svoje dimenzije (m2/s), koja sadri samo kinematike veliine. U praktinim

inenjerskim izraunima moe se usvojiti da veliina kinematikoga koeficijenta viskoznosti ovisi samo o

temperaturi tekuine; pa su za razliite temperature vode tv veliine dane u tablici 1.1.

Osim u propisanoj jedinici (m2/s) radi jednostavnijega se pisanja kinematiki koeficijent viskoznosti

moe zadati u (cm2/s). Jedinica (cm2/s) naziva se jo i Stokes prema fiziaru G. G. Stokesu.

1 St (Stokes) = 1 (cm2/s) = 10-4 (m2/s)

Za vodu temperature 10oC = 1,3 l 10-6 m2/s = 0,0131 St

Svaka tekuina ima odreenu viskoznost. Primjerice, alkohol je slabo viskozan, voda ima veu viskoznost

od alkohola, a bitumen je vrlo viskozan znatno vie nego voda. esto puta je, radi pojednostavljivanja, odreene

hidraulike pojave potrebno tretirati bez utjecaja viskoznosti. U takvim se sluajevima pretpostavlja da tekuina ne

prima posmina naprezanja uslijed djelovanja sila. Takva tekuina, za koju se pretpostavlja da nema viskoznosti,

zove se neviskozna tekuina i valja je razlikovati od viskozne tekuine. U nekim se sluajevima uvodi pojam

idealne tekuine, kojoj su, prema I. I. Agroskinu i dr. (1973.), svojstveni nestlaivost, pomanjkanje otpora kidanju

i nepostojanje viskoznosti. Vano je znati da idealna tekuina u stvarnosti ne postoji, ali kod mnogih hidraulikih

izrauna, tamo gdje je to mogue, pretpostavka da je tekuina idealna znatno pojednostavljuje izraun. Ovo

pojednostavljenje je mogue uz uvjet da su rezultati takvoga izrauna dovoljno toni da bi se mogli praktino

primijeniti.

2.3.5 Tlak vodenih para

Kapljevine imaju sposobnost rastvaranja i primanja plinova pri dodiru s njima. Prema Henryevu zakonu

koliina upijenoga plina na odreenoj temperaturi je proporcionalna tlaku kapljevine i u odnosu na volumen

ostaje stalna.

Voda u prirodnom stanju uvijek sadri odreenu koliinu rastvorenoga zraka u normalnim uvjetima

(prirodna temperatura i atmosferski tlak zraka) ta koliina iznosi oko dva posto. Smanji li se tlak, dio rastvorenoga

zraka izdvaja se iz vode, a to je smanjenje tlaka vee to burnije se zrak izdvaja, pri emu dolazi i do isparavanja

vode.

Ovisno o temperaturi i tlaku, kapljevine, pa prema tome i voda, isparavaju zbog kinetike energije

4 Kohezija je meumolekularna sila koja dri na okupu estice iste tvari.

16

molekula. Iznad povrine kapljevine oblikuje se tlak vodenih para. Za hidrologiju je zanimljiva veliina tlaka

vodenih para u Meyerovoj iskustvenoj (empirijskoj) formuli za proraun mjesenih isparavanja sa slobodne

povrine vode.

Pri opisivanju pojma tlaka vodenih para zanimljivo je navesti jednu pojavu. Naime, ako u odreenim

uvjetima toka vode tlak u nekoj toki padne na tlak vodenih para, dolazi do isparavanja vode na tome mjestu.

Mjehuri pare noen tokom vode dolazi tada do podruja veih tlakova gdje se naglo zgunjava (pretvara u

kapljevinu), uslijed ega dolazi do nagle promjene gustoe i vrlo velike i nagle promjene tlaka (udar tlaka ak do

1000 N/cm2, odnosno 104 bar). Ovaj tlani udar oteuje i najvre metale, stvarajui u njima mala udubljenja i ta

se pojava naziva kavitacija (V. Jovi, 1977.).

Za vodu pri atmosferskom tlaku i razliitim temperaturama tv tlak vodenih para pv dan je u tablici 2.1.

2.3.6 Kapilarnost

Slobodna povrina tekuine, tj. povrina kapljevine u dodiru s plinom ili granica dviju kapljevina koje se

ne mijeaju, u stanju je jednolike povrinske napetosti. Prema tome, na spoju dviju tekuina javlja se poseban

sluaj ravnotee djelovanja kohezijskih sila.

Povrinska se napetost odreuje silom zatezanja i djeluje na jedinicu duljine opsega koji omeuje

slobodnu povrinu. Ta se sila zove povrinski napon i ovisna je samo o prirodi tekuine i njezinoj temperaturi. S

poveanjem temperature, vrijednosti se smanjuje. Za vodu koja je u dodiru sa zrakom na temperaturi od 20oC

povrinski je napon = 0,0726 N/m. Za ivu je pri 20oC = 0,540 N/m gotovo 7,5 puta vei od povrinskoga

napona za vodu.

Sposobnost kapljevine da se u cijevima maloga promjera i procijepima die ili sputa pod djelovanjem

sila povrinske napetosti zove se kapilarnost.

Pri 20oC visina dizanja ili kapilarna elevacija h za vodu u staklenoj cijevi promjera d je:

5100,381,91000

0726,044 =

==

ghd

(m2) (2.13)

gdje su dimenzije povrinskoga napona (kapilarne konstante) (kg m/s2/m) (kg/s2) 1 N = 1 kg m/s2),

gustoe (kg/m3) i gravitacije g (m/s2).

dh

30= (mm) (2.14)

Za ivu se na isti nain moe odrediti kapilarno sputanje ili kapilarna depresija:

dh

15,10= (mm) (2.15)

2.3.7 Tlak

Tlak ili pritisak p definira se kao srednja vrijednost normalnih napona u nekoj toki:

dA

dFp nn == (Pa) (2.16)

gdje je n normalni napon, Fn komponenta sile F okomita na podlogu, a A povrina na koju sila F djeluje.

Prema SI sustavu mjera tlak se izraava u Pascalima (Pa) ili barima (bar). Odnos izmeu tih jedinica je: 1

bar = 105 Pa.

U odnosu na MKS sustav mjera je:

1 Pa = 1 N/m2,

A ranije (prije uvoenja SI sustava mjera) se tlak izraavao u:

- tehnikim atmosferama: 1 at = 0,981 bar; 1 at = 1 kp/cm2

- fizikalnim atmosferama: 1 Atm = 1,033 at.

Kada je tekuina u stanju mirovanja normalni naponi u svim smjerovima imaju jednak intenzitet.

17

Nema negativnoga tlaka; tekuina ga ne moe primiti pa dolazi do prekida toka. esto se veliine tlaka u

nekoj toki promatra kao relativna vrijednost najee u odnosu na tlak u atmosferi (atmosferski tlak). Tada se

tlak koji je nii od atmosferskoga naziva podtlak.

U tablici 2.1 prikazana su osnovna fizika svojstva vode pri razliitim temperaturama.

Tablica 2.1 Fizika svojstva vode (prema . ivi, 1969.)

TEMPERATURA

VODE GUSTOA

KINEMATIKA

VISKOZNOST

DINAMIKA

VISKOZNOST

TLAK

VODENIH PARA

POVRINSKA

NAPETOST

MODUL

ELASTINOSTI

BRZINA

ZVUKA

t taps pv E c oC K kg/m3 10-6 m2/s 10-3 kg/ms Pa=N/m2 N/m 109 Pa m/s

0

4

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

273,15

277,15

283,15

293,15

303,15

313,15

323,15

333,15

343,15

353,15

363,15

373,15

999,8

1000

999,6

998,1

995,5

992

998

983

978

972

966

958

1,78

1,564

1,31

1,01

0,81

0,67

0,56

0,48

0,42

0,36

0,32

0,29

1,78

1,564

1,31

1,01

0,81

0,66

0,55

0,47

0,41

0,35

0,31

0,28

610

806

1220

2340

4220

7350

12400

20100

31500

47900

70500

101000

0,0761

0,075

0,074

0,073

0,071

0,069

0,068

0,066

0,064

0,063

0,061

0,059

1,95

1,99

2,04

2,10

2,15

2,18

2,20

2,21

~2,21

~2,21

~2,2

~2,2

1397

1412

1429

1451

1468

1482

1492

1500

~1506

~1510

~1512

~1512

2.3.8 Anomalije vode

Voda se, ni ista ni u prirodi, ne pojavljuje samo kao jednostavan spoj H2O, nego kao smjesa razliitih

asociranih molekula (H2O)8, (H2O2), (H2O)2 i molekula H2O. Zbog razliitih osobina tih molekula voda posjeduje

osobita svojstva, tj. odreene anomalije, od kojih se ovdje navode sljedee:

1. Pri smrzavanju se volumen vode poveava oko 10 posto, a pri hlaenju od 4 do 0oC volumen vode

se poveava, a gustoa smanjuje.

2. Poveanjem tlaka do 2000 at (1962 bar), temperatura smrzavanja vode se smanjuje (a ne

poveava).

3. Sposobnost vode da u sebe primi toplinu veoma je velika u usporedbi s drugim tijelima, a najnia

je kod temperature od oko 40oC.

4. Voda moe agresivno djelovati na razliite materijale. To je naroito neugodno kad je rije o

hidrotehnikim postrojenjima za iskoritavanje vode. Pojava razjedanja metala i betona

djelovanjem vode naziva se korozija.

5. Suspendirane (lebdee) estice i razliite otopljene soli u vodi uzrokuju pojavu inkrustacije,

odnosno oblaganja ili dobivanje kore.

18

2.4 Hidrostatika U hidrostatikim se problemima ne pojavljuju sile trenja, jer tekuina ne struji nego miruje, a ne pojavljuje

se niti sila inercije. Hidrostatika je poseban sluaj hidrodinamike. Pritom je mirno stanje mase tekuine samo

poseban sluaj kretanja s brzinom v = 0 u odnosu na proizvoljno odabran koordinatni sustav, koji se smatra

nepokretnim. Prema tome, hidrostatiki su zakoni samo poseban sluaj zakona o kretanju tekuina. Hidrostatika

razmatra zakone tlaka i njegovu raspodjelu po tekuini koja miruje u odnosu na stijenke posude u kojoj se nalazi.

2.4.1 Raspodjela hidrostatikoga tlaka

U hidrostatikim razmatranjima u polju sile tee za tekuinu se moe pretpostaviti da je nestlaiva i

homogena (gustoa = const.).

Slika 2.1 Hidrostatiki tlak p u (a) horizontalnoj i (b) vertikalnoj ravnini

Ako se u tekuini pretpostavi valjak diferencijalno male povrine baze (sluaj a na slici 2.1), sile

hidrostatikoga tlaka koje djeluju na plat valjka meusobno se ponitavaju. Uz pretpostavku ravnotee u

horizontalnom smjeru je:

p1dA p2dA = 0 (2.17)

gdje su p1 i p2 tlakovi u horizontalnoj ravnini, a dA je diferencijal povrine na koju ti tlakovi djeluju.

Iz jednadbe (2.17) slijedi:

p1 = p2 = const.

Prema tome, u horizontalnoj ravnini hidrostatiki tlak ima jednaku veliinu. Takva ravnina naziva se

plohom jednakoga tlaka. U homogenoj tekuini koja miruje, sve toke u nekoj horizontalnoj ravnini imaju jednak

tlak (npr. slobodna vodna povrina).

Kada se radi o hidrostatikome tlaku homogene, nestlaive tekuine u vertikalnoj ravnini (sluaj b na

slici 2.1), sile svih tlakova okomitih na plat valjka s osnovicom povrine dA daju rezultatnu veliine nula. U skladu

s pretpostavkom da je tekuina unutar uspravnoga valjka u ravnotei, zbroj svih vertikalnih sila mora biti:

19

p g h d A + p N' d A p N d A = 0 (2.18)

p N = p N' + g h (2.19)

Izraz (2.19) predstavlja temeljnu (osnovnu) jednadbu hidrostatike.

Ako je tekuina u dodiru sa zrakom (atmosferom) onda je u temeljnoj jednadbi hidrostatike (2.19)

pN' = po (po je atmosferski tlak) i izraz (2.19) postaje jednadba za odreivanje apsolutnoga tlaka:

pN = po + g h (2.20)

gdje je pN apsolutni tlak.

Kada se poe od pretpostavke da je atmosferski tlak po jednak nuli, onda je relativni tlak p:

p = g h (2.21)

Izraz (2.21) je jednadba pravca u koordinatnome sustavu gdje je koeficijent smjera g, pa prema tome

vrijednost tlaka raste linearno s poveanjem dubine. Za tekuinu u mirovanju vrijedi Pascalov zakon: Svaka

promjena tlaka u bilo kojoj toki tekuine u mirovanju prenosi se na ostale toke u tekuini u jednakom iznosu, pri

emu se njezina ravnotea ne remeti.

Prema definiciji tlaka kao normalnoga prosjenog napona, sile tlaka djeluju uvijek okomito na vrstu

konturu. Tlak se u svim smjerovima rasprostire jednakim intenzitetom (brzinom irenja stiljivih efekata pogl.

2.3.7).

2.4.2 Raspodjela potencijalne energije u tekuini

Ukoliko je visinom z definiran poloaj toke u tekuini u odnosu na neku odabranu ravninu, moe se

openito napisati:

p + g z = const. (2.22)

Podijeli li se izraz (2.22) s konstantom g dobije se tzv. visinski oblik:

.constg

pz =+

(m) (2.23)

u kojem svi lanovi imaju dimenziju duljine L (m).

Za dvije proizvoljne estice tekuine se zakon raspodjele hidrostatikoga tlaka moe izraziti kao zbroj

dviju visina:

g

pz

g

pz

2

21

1 +=+ (m) (2.24)

Openito oznake u izrazu (2.24) prikazane su na slici 2.2. Izrazima (2.23) i (2.24) je definirana

raspodjela potencijalne energije estica idealne tekuine u mirovanju.

Slika 2.2 Skica oznaka za temeljnu jednadbu hidrostatike u obliku (2.24).

2.4.3 Sile hidrostatikoga tlaka na bone plohe

Slika hidrostatikoga tlaka uvijek je usmjerena okomito na promatranu povrinu jer tekuina u stanju

mirovanja nije sposobna preuzeti tangencijalne napone.

20

Izraunavanje sile tlaka na neku plohu provodi se rastavljanjem krivuljnoga (ili plonoga) integrala na

komponente u skladu s oznakama na slici 2.3.

Slika 2.3 Rastavljanje sile hidrostatikoga tlaka dF na komponente

Veliina hidrostatikoga tlaka p u homogenoj tekuini gustoe u polju sile tee definirana je kao

relativni tlak prema izrazu (2.22). Veliina koncentrirane sile F kojom se definira djelovanje hidrostatikoga tlaka

p na razmatranu plohu povrine A je:

F = p A (2.25)

U odreivanju ukupne sile odrediti e se njezine horizontalna i vertikalna komponenta. Na

diferencijalno malu povrinu dA djeluje sila dF:

dF = p dA (2.26)

Horizontalna komponenta sile hidrostatikoga tlaka je:

FH = F sin (2.27)

iz ega proizlazi

dFH = dF sin = p dA sin = p dAy = g h dAy (2.28)

Jednako je za vertikalnu komponentu sile hidrostatikoga tlaka:

dFv = g h dAx (2.29)

Ukupna horizontalna i vertikalna komponenta sile hidrostatikoga tlaka dobiju se integriranjem

komponenti koje djeluju na diferencijalno malim povrinama (od poetka C do kraja plohe D). Za karakteristian

presjek u ravnini horizontalna komponenta sile je:

=D

C

yH ghdAF (2.30)

Vertikalna komponenta sile hidrostatikoga tlaka je:

=D

C

xv ghdAF (2.31)

Ukupna koncentrirana sila (rezultanta) F koja u ravninskom sluaju zamjenjuje djelovanje

hidrostatikoga tlaka je:

22 VH FFF += (2.32)

Komponente sila mogue je izraunati na temelju dijagrama tlaka komponenata sila. Postupak vrijedi za

ravne i zakrivljene plohe pri bilo kakvoj raspodjeli tlaka po konturi.

Hvatite djelovanja pojedinih komponenti sila odreeno je teitem dijagrama tlaka. To se jednostavno

moe pokazati postavljanjem uvjeta jednakosti momenta rezultante i momenta elementarnih komponenti. Ovako

definirano hvatite je samo zamiljen pojam, prikladan za odreivanje momenata sila preko poloaja i veliine

rezultante. Stvarno djelovanje sila rasporeeno je po plohi kako to pokazuje dijagram raspodjele tlaka.

21

2.5 Kinematika tekuina

U kinematici tekuina ispituju se kretanja geometrijskih oblika, pri emu se zanemaruju materijalnost

tijela i uzroci kretanja.

Geometrijsko mjesto toaka kroz koje je prostrujila estica tekuine zove se staza, trajektorija ili

putanja.

Odreivanjem trenutnoga smjera gibanja estica dobija se polje brzina, a smjerovi vektora polja brzina

prikazuju se specifinim crtama koje se zovu strujnice. Brzinsko se polje moe prostorno i vremenski mijenjati.

Strujnice ili polje brzina moe se snimiti kratkim osvjetljenjem oznaenih estica, a trag koji ostane na filmu je

trenutni smjer gibanja (slika 2.4a).

Strujnice koje dodiruju neku zatvorenu plohu A (slika 2.4b) zatvaraju strujnu cijev. Vektor brzine je

uvijek tangenta na strujnicu, pa zbog toga ne postoji poprean tok na strujnu cijev.

Slika 2.4 Brzinsko polje strujnice i strujna cijev

U mehanici se fluida strujanje tekuine prikazuje kao skup elementarnih strujnih cijevi estica koje se

kreu razliitim brzinama. Vano je napomenuti da se u jednostavnim sluajevima toka a takvih u praktinim

izraunima ima znatan broj u razmatranje moe uzeti samo jedna strujna cijev.

U kinematici se tokovi dijele na tri vrste:

1. teenje sa slobodnom povrinom (npr. kanal, rijeka)

2. teenje pod tlakom (npr. cijev kroz koju pod tlakom struji tekuina)

3. hidrauliko strujanje (npr. mlazevi ogranieni samo kapljevinom ili zranom sredinom)

Temeljni pojmovi u vezi s teenjem su:

1. Protjecajni ili ivi presjek, koji se definira postavljanjem zahtjeva da u svim tokama povrine neke plohe

strujnice budu okomite na nju. Povrina A ivoga presjeka vodotoka je:

=A

dAA (m2) (2.33)

2. Protok Q kroz protjecajni presjek vodotoka. On je jednak sumi protoka elementarnih strujnica koje

presjecaju povrinu protjecajnoga presjeka:

==A A

vdAdQQ (m3/s) (2.34)

3. Srednja brzina toka v, koja je u razmatranom ivom presjeku vodotoka:

A

Qv = (m/s) (2.35)

2.5.1 Vrste strujanja s kinematikoga stanovita

Gledano s kinematikoga stanovita, postoje dvije vrste strujanja:

1. Stacionarno strujanje. Ono tijekom vremena ne mijenja strujnu sliku. Prema tome, svi su parametri toka u

svakoj toki prostora konstantni po vremenu. U stacionarnome strujanju trajektorije i strujnice postaju

22

jedinstvene krivulje, koje se zovu strujnice. Za vrijeme strujanja praktiki je nemogue pratiti gibanje svake

estice tekuine kao materijalne toke, pa se zbog toga primjenjuje stalni koordinatni sustav. Na taj se nain

promatraju promjene u stalnoj toki s koordinatama (x, y, z). Meu njima se razlikuju promjene nastale

uslijed prostorne promjenjivosti polja brzina i promjene zbog vremenske promjenljivosti polja. Za

stacionarno strujanje se brzine u smjeru osi x, y i z mogu mijenjati samo prostorno, pa su pojedine

komponente brzine funkcije koordinata:

vx = vx (x, y, z) (2.36a)

vy = vy (x, y, z) (2.36b)

vz = vz (x, y, z) (2.36c)

Nema promjene brzine v u vremenu t:

0=

t

v (2.37)

niti promjene tlaka p u vremenu t:

0=

t

p (2.38)

2. Nestacionarno strujanje. To je strujanje ija se strujna slika mijenja tijekom vremena. Za nestacionarno

strujanje polje brzina je u opem sluaju definirano kao:

vx = vx (x, y, z, t) (2.39a)

vy = vy (x, y, z, t) (2.39b)

vz = vz (x, y, z, t) (2.39c)

Ubrzanje ili akceleracija definirana je kao promjena brzine u vremenu:

dt

vda = (2.40)

Openito je vektor ubrzanja po smjerovima:

kajaiaa zyx ++= (2.41)

a vektor brzine po smjerovima:

kvjvivv zyx ++= (2.42)

Totalni diferencijal veliine vx je definiran u skladu s izrazom (2.39a).

dtt

vdz

z

vdy

y

vdx

x

vdv xxxxx

+

+

+

= (2.43)

Ako se izraz (2.43) podijeli s dt (uz uvjet dt je razliito od nule), dobije se:

t

v

dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

dt

dv xxxxx

+

+

+

= (2.44)

Promjena brzine u vremenu xx a

dt

dv= (komponenta ubrzanja u smjeru x), a

yx vdt

dyv

dt

dx== ; i zv

dt

dz= su komponente brzine v po pojedinim smjerovima, pa se nakon sreivanja

dobije:

z

v

y

vv

x

vv

t

v

dt

dva xxy

xx

xxx

+

+

+

== (2.45)

t

vx

je x komponenta lokalnoga ubrzanja, a

z

vv

y

vv

x

vv xz

xy

xx

+

+

je x komponenta prijenosnoga

ubrzanja.

Na isti se nain dobiju komponente ubrzanja u smjerovima y i z.

Lokalno ubrzanje je ubrzanje nastalo uslijed vremenskih promjena brzinskoga polja, a konvektivno ili

23

prijenosno ubrzanje je ubrzanje koje nastaje uslijed prostorne promjenljivosti polja brzina.

2.5.2 Jednadba kontinuiteta

U razmatranome trenutku homogena, nestlaiva tekuina ulazi i izlazi samo kroz protjecajni (ivi) presjek

elementarne strujne cijevi, a bonoga protjecanja nema. Masa tekuine koja je ula u razmatrani volument strujne

cijevi kroz ulazni presjek jednaka je masi tekuine koja je iz razmatranog volumena izila kroz izlazni presjek.

Jednadba kontinuiteta pri strujanju nestlaive, homogene i izotropne tekuine za stacionarno se teenje pie u

obliku:

iivAvAvAQ ==== ...2211 (2.46)

2.5.3 Vrste stacionarnoga strujanja s kinematikoga stanovita

Stacionarno se strujanje s kinematikog stanovita moe podijeliti u dvije grupe:

1. Jednoliko teenje, tijekom kojega sustav strujnica tvori familiju meusobno paralelnih pravaca. Oblik i

povrina protjecajnoga presjeka A su nepromjenljivi, iz ega slijedi da je srednja brzina v = const. Du

pravolinijskoga toka tekuine.

2. Nejednoliko teenje, tijekom kojega strujnice zauzimaju meusobna razliite poloaje, a povrine

protjecajnih presjeka A i brzine v mijenjaju se du toka.

Iz grupe nejednolikoga teenja izdvaja se teenje s postupnim promjenama tijekom kojega su strujnice

neznatno zakrivljene, a povrine protjecajnih presjeka i brzine se du toka lagano mijenjaju.

U hidrotehnici se najee radi o sluajevima jednolikoga teenja i teenja s postupnim promjenama, pa se

kod vodotoka ukoliko se posebno ne napomene podrazumijevaju tokovi sa spomenutim osobinama (I. I.

Agroskin i dr., 1973.).

Kod protjecajnih presjeka vodotoka je uz njegovu povrinu, potrebno voditi rauna o jo jednoj

geometrijskoj osobini, a to je omoeni obod O, odnosno duljina linije po kojoj protjecajni presjek dodiruje korito

vodotoka.

Odnos povrine protjecajnoga presjeka A i omoenoga oboda O naziva se hidrauliki radijus R, a njegova

veliina utjee na propusnu mo protjecajnoga presjeka.

O

AR = (m) (2.47)

2.5.4 Vrste strujanja s obzirom na strujnu sliku

Strujanje tekuine moe se podijeliti na:

1. Laminarno teenje (lat. lamina = sloj), kad tekuina struji u meusobno paralelnim slojevima. To strujanje

moe biti stacionarno i nestacionarno, a javlja se kada su brzine teenja male (primjerice teenje podzemnih

voda u aluviju, teenje malim brzinama u cijevima, teenje tekuina s velikom viskoznou).

2. Turbulentno teenje. Ako su sile poremeaja vee od sila viskoznosti, stvaraju se vrtlozi (slika 2.5).

estice tekuine se kreu bez reda i mijeaju se uslijed pulzacije (nagle promjene veliina i smjerova)

24

brzina. Turbulentno teenje je nestacionarno, ali kad se razmatraju srednje brzine u protjecajnim presjecima,

moe se (uz takvu pretpostavku) nestacionarno teenje razmatrati kao stacionarno.

Slika 2.5 Stvaranje virova

2.6 Dinamika tekuina

U dinamici tekuina, osim promjena estica s obzirom na prostor i vrijeme kao i u kinematici tekuina

razmatra se i utjecaj sila koje na estice tekuine izazivaju te promjene.

Mehanika energija moe se pojaviti u trima oblicima:

a) u obliku energije poloaja

b) u obliku energije napona

c) u obliku kinetike energije.

Unutranjim i vanjskim trenjem viskozne tekuine jedan se dio mehanike energije pretvara u toplinsku

energiju koja je disipirana (izgubljena). Budui da se disipirana energija ne moe opet pretvoriti u neku od vrsta

mehanike energije, naziva ju se gubitak mehanike energije. Pojam gubitka mehanike energije nije u

suprotnosti s openito poznatim zakonom o odravanju energije.

U dinamici tekuina postoje dvije vrste dinamikih jednadbi kojima je opisano gibanje tekuina:

1. Eulerove dinamike jednadbe, koje matematiki izraavaju openito gibanje nestlaive, viskozne i

neviskozne tekuine.

2. Navier-Stokesove jednadbe, koje matematiki opisuju trodimenzionalno gibanje nehomogene, stlaive i

viskozne tekuine. (Naziv po L. M. H. Navieru i G. G. Stokesu.).

Rjeenje Eulerove jednadbe za specifine karakteristike toka jest Bernoullijeva jednadba, koja se moe

rabiti za idealnu i realnu tekuinu. Primjenjuje se u rjeavanju mnogih problema u mehanici fluida, ukoliko ih se

moe svesti na jednodimenzionalne.

Pod jednodimenzionalnou se podrazumijeva strujnica u osi cijevi s karakteristikama strujanja u

pojedinim presjecima.

Eulerove i Navier-Stokesove diferencijalne jednadbe za trodimenzionalno gibanje tekuine opisane su u

strunoj literaturi (M. Fancev, 1982.). Njih je mogue integrirati samo u posebnim sluajevima. Nasuprot tome,

primjenom Bernoullijeve jednadbe rjeava se preteni dio problema iz mehanike fluida (uz uvjet da ih se moe

svesti na jednodimenzionalne).

25

2.6.1 Bernoullijeva jednadba za teenje realne tekuine pod tlakom

Ovdje se ne daje izvod Bernoullijeve jednadbe, nego se polazi od njezina ''visinskoga oblika'', koji se

najee rabi u hidrotehnici. Pritom treba imati na umu da se Bernoullijeva jednadba moe primijeniti u

sluajevima kada se strujanje tekuine moe tretirati kao jednodimenzionalno: strujnica u osi cijevi sa srednjom

profilskom brzinom. Realna tekuina struji tako da se du njezina toka pojavljuju otpori teenju. Jedna se vrsta

otpora teenju javlja uslijed unutarnjega trenja ili zbog trenja po vrstoj podlozi (stijenka cijevi), a druga vrsta

otpora nastaje uslijed otpora oblika preko kojega ili uz koji tekuina struji.

Slika 2.6 Komponente energije za dvije toke strujnice realne tekuine

''Visinski oblik'' Bernoullijeve jednadbe omoguuje uvid u energetsku bilancu du toka tekuine. Kod

viskozne (realne) tekuine u obzir treba uzeti da viskoznost izaziva unutarnje trenje, a trenjem se mehanika

energija pretvara u toplinsku energiju, koja se disipira. ''Visinski oblik'' Bernoullijeve jednadbe za poprene

presjeke 1-1 i 2-2 je, prema prikazu uzdunoga presjeka cijevi u kojoj struji tekuina gustoe pod tlakom:

Hg

v

g

pz

g

v

g

pz +++=++

22

222

2

211

1

(2.48)

gdje je:

z - geodetska visina (poloaj strujnice, odnosno osi cijevi u odnosu na geodetski horizont)

g

p

- tlana visina (dubina toke ispod slobodne povrine; sila tea uzrokuje stvaranje tlaka p)

g

v

2

2

- brzinska visina (visina s koje bi tijelo u zrakopraznom prostoru palo i dobilo brzinu v)

H - visina energetskoga horizonta (koja se za idealnu tekuinu ne mijenja od presjeka po presjeka)

H - gubici mehanike energije.

Tlana ili piezometarska visina h moe se definirati u odnosu na geodetski horizont i u tom je sluaju:

g

pzh

+= (m) (2.49)

to je ona visina do koje bi se voda digla u piezometru (cjevici za mjerenje tlaka). Potrebno je naglasiti da u

viskoznoj (realnoj, stvarnoj) tekuini energetska visina uvijek mora opadati u smjeru strujanja, bez obzira

na to kakve su meusobne promjene triju oblika mehanike energije.

26

Energetski gubici mogu biti dvojaki:

1. linijski - gubici uslijed trenja na dionici izmeu dvaju karakteristinih presjeka

2. lokalni - gubici na mjestima nagle promjene protjecajnoga presjeka ili nagla skretanja toka fluida.

Za izraun gubitka energetske visine nastao trenjem tijekom teenja u cijevi pod tlakom izmeu presjeka 1-1

i 2-2 (slika 2.6), koristi se poznata Darcy Weisbachova formula:

g

v

D

LH

2

2

= (2.50)

gdje je L razmak izmeu presjeka 1-1 i 2-2, D promjer cijevi, v srednja brzina tekuine u cijevi, a

koeficijent otpora strujanju.

Darcy-Weissbachov koeficijent otpora strujanju najee ovisi o Reynoldsovu broju Re. O. Reynolds je

dokazao da struktura strujanja fluida ovisi o bezdimenzionalnome odnosu:

vDR e = (2.51)

gdje je v (m/s) srednja brzina, D (m) promjer cijevi, v (m2/s) kinematiki koeficijent viskoznosti.

Teenje vode u cijevima je za Re < 2320 laminarno, a za Re > 2320 turbulentno.

Ovo vrijedi za praktine sluajeve, dok je u specijalnim laboratorijskim uvjetima mogue postii laminarno

strujanje i do Re = 150.000.

Svaki se lokalni gubitak energije moe izraziti kao:

g

vH l 2

2

= (2.52)

gdje je koeficijent lokalnoga gubitka energije.

Svi gubici energije (linijski i lokalni) mogu se izraziti kao umnoak koeficijenta gubitka energije i brzinske

visine g

v

2

2

. Za gubitke nastale trenjem je:

D

Ltr = (2.53)

gdje je L duina cijevi, D promjer cijevi, a Darcy-Weisbachov koeficijent otpora strujanju odreuje se na

temelju odgovarajuega dijagrama. U praksi se najee za odreivanje koeficijenta rabi Moodyjev dijagram

(slika 2.7), u kojemu su sintetizirana ranija Nikuradzeova iskustva s umjetnom hrapavou, te Colebrookova,

Whiteova i iskustva ostalih istraivaa sa stvarnom hrapavou (H. Rouse, 1949.).

Za laminarno strujanje koeficijent otpora strujanju je:

eR

64= (2.54)

27

Slika 2.7 Moodijev dijagram za proraune otpora u cijevima (L. F. Moody, 1944.)

Gubitak energije po jedinici duljine cjevovoda L

H za laminarno strujanje prema Hagen-Poiseuilleovu

zakonu glasi:

vDgL

H2

32 =

(2.55)

28

gdje je g gravitacija; kinematiki koeficijent viskoznosti, D promjer cjevovoda, a v srednja brzina toka.

Na slici 2.8 prikazane su promjene veliina brzina u smjeru toka u cijevima pod tlakom za laminarni i

turbulentni reim teenja, te profili brzina u cijevi za iste reime teenja.

Slika 2.8 Raspodjela brzina u cijevima krunoga poprenog presjeka za laminarno i

turbulentno strujanje

Kod laminarnoga strujanja je smjer vektora brzine vezan uz smjer strujnice, a kod turbulentnoga (slobodnog)

strujanja vektor brzine u nekoj toki mijenja veliinu i smjer.

Ako je strujanje u cijevi turbulentno koeficijent otpora strujanja openito ovisi o dvama parametrima:

= eR

Df ,

(2.56)

gdje je apsolutna hrapavost cijevi (mm), skicirana na slici 2.9, a D

je relativna hrapavost cijevi.

Slika 2.9 Prikaz apsolutne hrapavosti cijevi

U skladu s izrazom (1.56) razlikuju se tri tipa turbulentnoga strujanja:

1. Turbulentno-glatki: = f (Re). Na Moodyjevu dijagramu na slici 2.7 ovaj je reim strujanja definiran

najniom krivuljom D

(u praksi je relativna hrapavost nia od 0,000001).

2. Turbulentno-prijelazni:

= eR

Df ,

. Na Moodyjevu dijagramu na slici 2.7 turbulentno-prijelazni reim

odreen je krivuljama D

izmeu krivulje za turbulentno-glatki reim i crtkane linije do koje krivulje D

jo nisu horizontalne.

3. Turbulentno-hrapavi:

=

Df

. Na Moodyjevu dijagramu na slici 2.7 ovaj je reim odreen gotovo

sasvim horizontalnim linijama D

. Za veinu cijevi pod tlakom je teenje u turbulentno-hrapavom reimu,

29

pa se Moodyjev dijagram najee koristi uz pretpostavku turbulentno-hrapavoga reima teenja. Nakon

izraunavanja brzina u cijevima provjeri se na temelju vrijednosti Reynoldsova broja ispravnost

pretpostavljena tipa turbulentnoga strujanja.

Slika 2.10 Koeficijenti lokalnoga gubitka otpora

Osim otpora toku koji se kod strujanja realne tekuine pojavljuje zbog viskoznosti ili uslijed trenja po

vrstoj podlozi, postoje lokalni otpori zbog oblika preko kojih ili uz koje struji tekuina. Lokalni gubici mehanike

energije H (nastali uslijed lokalnih otpora strujanju tekuine) takoer se izraavaju pomou Darcy-Weisbachove

formule (2.50) u obliku (2.53):

30

g

vH l 2

2

=

gdje je koeficijent lokalnoga gubitka energije koji je ovisan o obliku i o Reynoldsovu broju Re. U praksi se

pokazalo kako je za izraune dovoljno tono uzeti da ovisi samo o obliku presjeku toka.

Na slici 2.10 prikazane su veliine koeficijenta lokalnoga gubitaka energije u razliitim praktinim

sluajevima.

Slika 2.11 Karakteristini grafiki prikazi linije energije, tlane linije i gubitaka energije za teenje pod

tlakom (V. Jovi, 1977.)

Karakteristini opi grafiki prikazi linije energije, tlane linije i pripadni gubici energije su na slici 2.11: a)

linijski gubici, b) lokalni gubitak, c) energetska i tlana (piezometarska) linija za teenje pod tlakom u cjevovodu

razliitih protjecajnih presjeka. Za tlani sustav na slici 2.11c energetska visina H je:

31

g

v

D

L

g

v

g

vH

i

i

i

i

ii

i

lio

222

222

++= (2.57)

li je koeficijent lokalnoga gubitka energije ovisan o promjeni oblika.

Ukoliko je poznata geometrija cjevovoda (promjeri cijevi) i barem jedna srednja profilska brzina, mogue je na

osnovi jednadbe kontinuiteta (2.46) izraunati sve ostale srednje profilske brzine:

Q = v1A1 = v2A2 = = viAi

2.6.2 Teenje vode u otvorenim koritima Za teenje vode u otvorenim koritima sa slobodnim vodnim licem vrijedi Bernoullijeva jednadba za

realnu tekuinu, pa ga je na toj osnovi mogue usporediti s teenjem pod tlakom, kao to je prikazano na slici 2.12.

Za razliku od strujanja u cijevima pri otvorenim tokovima, tlana (piezometarska) linija jednaka je liniji vodnoga

lica.

Slika 2.12 Usporedba Bernoullijeve jednadbe za teenje pod tlakom (a) i teenje sa slobodnim vodnim

licem (b)

Za teenje pod tlakom (sluaj (a) na slici 2.12) i za teenje sa slobodnim vodnim licem (sluaj (b) na slici 2.12)

moe se napisati Bernoullijeva jednadba:

sluaj a) Hg

v

g

pz

g

v

g

pz +++=++

22

222

2

211

1

(2.48)

sluaj b) Hg

vhz

g

vhz +++=++

22

22

22

21

11 (2.58)

Usporedi li se teenje pod tlakom (a) i teenje sa slobodnim vodnim licem (b) na osnovi izraza (2.48) iz

poglavlja 2.6.1 i (2.58), ona su na prvi pogled vrlo slina. No tome ni u kojem sluaju nije tako, i to iz sljedeega

bitnog razloga: Dok u tlanim sustavima za jednu te istu cijev u turbulentno-hrapavom reimu teenja

koeficijent hrapavosti ostaje nepromijenjen bez obzira na veliinu tlaka, u otvorenim tokovima koeficijent hrapavosti ovisi o poloaju vodnoga lica, odnosno o dubinama vodotoka h. Prema tome, teenje sa slobodnim

vodnim licem je znatno sloenije od teenja pod tlakom.

32

2.6.2.1 Jednoliko teenje

Jednoliko, a i nejednoliko teenje openito su opisani u poglavlju 2.5.1, ''Vrste stacionarnoga strujanja s

kinematikoga stanovita''.

Jednoliko teenje je teenje pri kojemu su hidrodinamike osobine du toka jednake: u sluaju teenja sa

slobodnim vodnim licem nagib linije energije Ie jednak je nagibu vodnoga lica Io i nagibu dna I (slika 2.12b). Za

konstantni protok Q srednje profilske brzine su jednake, pa iz toga slijedi da su protjecajni popreni presjeci korita

jednaki.

Dubina vodotoka koja odgovara jednolikom teenju u njemu zove se normalna dubina i oznaava s ho.

Prema oznakama na slici 2.12 (b):

- nagib dna je: L

z

L

zzI

=

= 21

- nagib vodnoga lica je L

h

L

hhIo

=

= '2'1 (gdje je 22

'211

'1 ; zhhzhh +=+= )

- nagib linije energije po jedinici duine toka je: L

h

L

HHI e

=

= 21

I = Io = Ie

v1 = v2 = v Q = const.

A1 = A2 = A

Ako se osrednje povrine protjecajnih presjeka i omoeni obodi presjeka 1-1 i 2-2 dobije se osrednjeni

hidrauliki radijus:

O

AR = (2.59)

Srednja profilska brzina je:

eIRCv = (m/s) (2.60)

gdje je C (m1/2/s) Chezyjev koeficijent.

Izraz (2.60) naziva se Chezyjevom formulom za brzinu u otvorenom vodotoku, a naziv je dobila po A.

Chezyju, koji ju je izveo 1769. godine na temelju iskustva i mjerenja na rijekama u Francuskoj.

Chezyjev koeficijent ne oznaava konstantu za pojedini vodotok kao to se na poetku smatralo nego je

vrlo sloena funkcija na koju bitan utjecaj imaju relativna hrapavost i veliina Reynoldsova broja.

Budui da se pokazalo kako Chezyjev koeficijent nije konstanta, taj se problem nastojalo rijeiti

jednostavnijim funkcijama. Od niza izvedenih formula (npr.: Ganguillet-Kutterova formula iz 1969., Bazinova

formula iz 1897., Forchheimerova formula iz 1923. god. i sl.) vrlo dobru aproksimaciju Chezyjeva koeficijenta u

razvijenu turbulentno-hrapavom reimu teenja daju Manningova (iz 1891. godine) i Stricklerova formula (po A.

Strickleru). U skladu s njihovom definicijom Chezyjev koeficijent C je:

6/16/11

KRRn

C == (m1/2/s) (2.61)

gdje je:

n (s/m1/3) Manningov koeficijent hrapavosti

K (m1/3/s) Stricklerov koeficijent glatkosti.

Tako Manningova formula za srednju brzinu glasi:

2/13/21

eIRn

v = (m/s) (2.62)

a Stricklerova formula za srednju brzinu je:

2/13/2 eIKRv = (m/s) (2.63)

U tablici 2.2 dane su vrijednosti Manningova koeficijenta hrapavosti n i Stricklerova koeficijenta glatkosti K

33

za nekoliko razliitih povrina preko kojih protjee voda.

Tablica 2.2 Manningovi (n) i Stricklerovi (K) koeficijenti (D. Cari, 1952.)

Kategorija Vrsta podloge n

(s/m1/3) nK

1=

(m1/3/s) I. II. IV. VI.

XIII. XVI.

Osobito glatke povrine Briljivo blanjane daske, najbolje zaglaena cementna buka

Obloga od opeke, cijevi za vodu Betonirani kanali, neiste cijevi

Zemljani kanali Kanali u vrlo loem stanju

0,009 0,010 0,013 0,014

0,0275 0,04 i vie

111 100 75 70 35

25 i manje

Chezyjevu (2.60) i Darcy-Weisbachovu formulu (2.50) mogue je povezati tako da se obje formule izraze

preko nagiba energetske linije Ie.

Iz Darcy-Weisbachove formule:

g

v

D

LH

2

2

=

Dobije se:

g

v

DL

HI e 2

1 2=

= (2.64)

Za okruglu punu cijev hidrauliki radijus je:

4

D

O

AR ==

pa se iz Chezyjeve formule dobije:

DC

v

DC

v

RC

vI e 2

2

2

2

2

2 4

4

=== (2.65)

Izrazi (2.64) i (2.65) se izjednae:

DC

v

g

v

D 2

22 4

2

1=

i nakon sreivanja dolazi se do veze izmeu Chezyjeva koeficijenta C i koeficijenta otpora strujanju :

gC

8= (2.66)

2.6.2.2 Nejednoliko teenje

Nejednoliko teenje u otvorenim tokovima je promjenljivo teenje. Srednje profilske brzine i povrine

protjecajnih presjeka su razliite. Vodno se lice du toka neprekidno mijenja. Vodostaj se du toka moe i

poveavati, ali linija energije u svakom sluaju opada du toka. Kada je teenje nejednoliko, dva su osnovna oblika krivulje slobodne vodne povrine:

1. Krivulja uspora (uspor), koja nastaje pri postupnome porastu dubine du osi vodotoka (slika 2.13a)

2. Krivulja depresije (depresija), koja nastaje pri postupnome opadanju dubine du osi vodotoka (slika

2.13b).

Nejednoliko se teenje izraunava po odsjecima L koji su tako kratki da za njih vrijede Chezyjeve postavke

34

o pravilnosti korita. U praktinim se izraunima uzima da je Chezyjev koeficijent C = const. za pojedinu duu

dionicu vodotoka ili za cijeli vodotok.

Slika 2.13 Uspor (a) i depresija (b)

Odreivanje visina vodnoga lica kod nejednolikoga se teenja provodi poev od jednoga presjeka s

poznatim vodostajem h i poznatim protokom Q. Izraun vodostaja u ostalim presjecima provodi se iterativno

pomou Bernoullijeve jednadbe. Na slici 2.14 prikazana su dva dovoljno bliza presjeka, 1-1 i 2-2, na koje se

odnose tumaenja izrauna nejednolikoga teenja.

Izraun se provodi tako da se pretpostavi vodostaj u uzvodnome (ili u nizvodnome) presjeku, te se pomou

njega izraunavaju ostali hidrauliki parametri.

Slika 2.14 Skica presjeka izmeu kojih se pretpostavi jednoliko teenje I = Io = Ie

Za presjeke 1-1 i 2-2 postavi se Bernoullijeva jednadba:

Hg

vh

g

vh ++=+

22

22

2

21

1 (2.67)

Srednja brzina izmeu presjeka 1-1 i 2-2 na osnovi Manningove formule (2.62) je:

21

3

21eIR

nv = gdje je R srednji hidrauliki radijus

21

21

21

21

2

2OO

AA

OO

AA

O

AR

+

+=

+

+

== (2.59)

35

Nagib energije Ie je:

L

HI e

=

Pa je prema tome gubitak mehanike energije H izmeu presjeka 1-1 i 2-2:

L

R

vnH

3

4

22

= (2.68)

Bernoullijeva jednadba (2.67) moe se pisati na sljedei nain:

LR

vn

g

vh

g

vh

43

222

2

21

1

3

22++=+ (m) (2.67a)

Srednja brzina v izmeu presjeka 1-1 i 2-2 je:

2

21 vvv+

= (2.69)

U izraunima za nejednoliko teenje mogu nastupiti dva tipa problema:

1. tip problema zadan je vodostaj u nizvodnome presjeku 2-2, pa treba izraunati uzvodni vodostaj h1:

Hg

v

g

vhh ++=

22

21

22

21 (m) (2.70)

2. tip problema zadan je vodostaj u uzvodnome presjeku 1-1, pa treba izraunati nizvodni vodostaj h2:

Hg

v

g

vhh ++=

22

22

21

12 (m) (2.71)

2.6.2.3 Specifina energija presjeka, mirno i silovito teenje, kritina dubina

Specifina energija Ho (energija jedinice teine fluida), odreena s obzirom na horizontalnu ravninu

kroz najniu toku presjeka je:

g

v + h = H

2

o2

(m) (2.72)

gdje h dubina, v srednja profilska brzina.

Ukoliko je primjerice zadan protok kroz profil koji se ne mijenja (kod projektiranja kanala), onda se s

promjenama uzdunoga nagiba nuno mijenjaju dubine vodotoka. Za razliite dubine h raunaju se prema izrazu

(2.72) odgovarajue vrijednosti specifine energije presjeka Ho. Nakon toga se crta krivulja specifine energije

presjeka Ho = f (h), kako je to prikazano na slici 2.15.

36

Slika 2.15 Krivulja specifine energije presjeka Ho = f (h)

Dubina kod koje je specifina energija presjeka najmanja Hmin , naziva se kritinom dubinom hc.

Prema tome, minimalna specifina energija presjeka Hmin je :

2g

v + h = H

2

cmin (m) (2.73)

Gornji dio krivulje specifine energije presjeka sa slike 2.15 prikazuje porast energije Ho za h > hc, a

donji dio za vrijednosti h < hc pokazuje smanjenje energije Ho s porastom dubine vodotoka. Radi toga se kod

otvorenih vodotoka razlikuju tri stanja:

1. mirni tok, pri kojemu su dubine vee od kritine dubine (h > hc); u mirnome toku poveanje specifine

energije presjeka nastaje uslijed poveanja potencijalne energije, uz istodobno smanjenje kinetike

energije

2. kritini tok, pri kojemu je u vodotoku kritina dubina hc, a kroz presjek voda tee kritinom brzinom vc

3. siloviti (burni) tok, pri kojemu su dubine manje od kritine dubine (h < hc); kod silovitoga toka porast

specifine energije presjeka nastaje zbog poveanja njegove kinetike energije, a istodobno se

potencijalna energija smanjuje.

Osim radi ocjenjivanja stanja toka, kritinu je dubinu potrebno odrediti i zbog razliitih hidraulikih izrauna koji

se rabe za pojedina stanja u vodotoku.

Prema definiciji, kritina dubina je ona dubina za koju specifina energija presjeka postaje

minimalna:

Za kritino teenje vrijedi:

13

=c

2

gA

BQ (2.74)

Bezdimenzionalna veliina A g

BQ

3

2

, kada se ne radi smo o kritinom teenju, naziva se parametrom

kinetinosti vodotoka i oznaava se s k. U izrazu (2.74) Q je protok kroz protjecajni profil, B irina vodnoga

lica u protjecajnom profilu, g gravitacija, a A povrina protjecajnoga profila.

Ukoliko su u izraz (2.74) uvrsti h = B

Ac

c (kritina dubina) i v = A

Q 2c2

c

2

(kritina brzina), onda se za kritino

teenje dobije:

1 = h g

v

c

2c (2.75)

37

Izrazh g

v

sr

2

naziva se Froudeovim brojem (po W. Froudeu) i oznaava simbolom Fr:

h g

v = F

sr

2

r (2.76)

U SAD-u se rabi oznaka F, = F r pa iz toga proizlazi:

;h g

v = F

sr

(2.77)

Za pravokutni protjecajni presjek je:

h) B = (A ;h g

v = F r (slika 2.16)

Parametar kinetinosti k zapravo je jedan od oblika Froudeova broja.

Iz izraza za Froudeov broj (2.76) ili (2.77) slijedi jo jedan jednostavan kriterij za ocjenjivanje stanja

toka, jer je:

- za mirni (rijeni) tok: 1 < F r

- za kritini tok: 1 = F r

- za siloviti tok: 1 > F r

Slika 2.16 Pravokutni protjecajni presjek

Na kraju je vano napomenuti da se nagib vodotoka kod kojega je normalna dubina jednaka kritinoj

dubini zove kritini nagib i oznaava simbolom Ic. Ako je nagib vodotoka I < Ic, tok je miran, a ako je I > Ic, tok

je silovit (buran).

38

3 PODZEMNA VODA

3.1 Oblici pojavljivanja vode u tlu

Voda se pojavljuje u tlu u tri osnovna oblika kao adhezijska5, kapilarna i gravitacijska voda kako

je prikazano na slici 3.1

Slika 3.1 Razliiti oblici pojavljivanja vode u tlu

Na slici 3.1 dane su sljedee oznake:

po je atmosferski tlak; h (m) dubina gravitacijske vode; p = g h (N/m2) hidrostatiki tlak podzemne

vode, gdje je = 1000 kg/m3 gustoa vode; g = 9,81 m/s2 gravitacija; RPV je oznaka za razinu podzemne vode. U

kapilarnoj se zoni javlja podtlak, odnosno tlak manji od atmosferskoga tlaka po, pa dolazi do kapilarnoga dizanja

vode.

U skladu sa slikom 3.1 definiranu su oblici pojavljivanja vode u tlu:

Higroskopska vlaga, ili higroskopska voda, nast