ZS 2018/19 Zbynek Šírˇsir/modelovani/prezentace1.pdf · Geometrické modelování ZS 2018/19 Zbynek Šírˇ Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Zbynek Šír

Geometrické modelováníZS 2018/19

Zbynek Šír

Matematický ústav UKMatematicko-fyzikální fakulta

Zbynek Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 1 / 23

Definice 1.1

Bud’ I ⊆ R interval. Diferencovatelné zobrazení (trídy C∞) c : I → R2

se nazývá parametrizovaná krivka v R2. Množina 〈c〉 := c(I) ⊆ R

2 senazývá obraz krivky. Parametrizovaná krivka se nazývá regulární,jestliže c′(t) 6= (0,0)T pro každé t ∈ I.


PoznámkaJe-li I uzavrený nebo polouzavrený interval, rozumímediferencovatelným zobrazením na I restrikci na I diferencovatelnéhozobrazení definovaného na nejakém otevreném nadintervalu.Parametrizovaná krivka je charakterizována dvojicí funkcídefinovaných na I, tedy c(t) = (cx (t), cy (t))T . Casto není treba a propraxi není vhodné, aby c a φ bylo trídy C∞, ale podle situace postacínižší hladkost, napríklad C1, C2, C3.


Definice 1.2

Je-li c : I → R2 regulární parametrizovaná krivka a φ : I → I

difeomorfismus intervalu I na I, je c = c ◦ φ : I → R2 regulární

parametrizovaná krivka se stejným obrazem jako c. Difeomorfismus φ

pak nazýváme zmenou parametru a c reparametrizací c. Je-li navícφ′ > 0 na I, nazveme c reparametrizací c zachovávající orientaci.


Definice (a lemma) 1.3Býti reparametrizací je relace ekvivalence na množine všechregulárních parametrizovaných krivek a každou její trídu nazývámekrivka. Každého zástupce príslušné trídy ekvivalence nazývámeparametrizací této krivky. Býti reparametrizací zachovávající orientacije rovnež relace ekvivalence na množine všech regulárníchparametrizovaných krivek a každou její trídu nazýváme orientovanákrivka.


PoznámkaPokud nebude nebezpecí omylu, budeme slovem krivka (prípadneorientovaná krivka) oznacovat nejen trídu ekvivalence, ale i jejíhoreprezentanta (regulární parametrizovanou krivku), se kterým právepracujeme, nebo dokonce její obraz. V diferenciální geometriistudujeme práve takové vlastnosti krivek, které se nemení prireparametrizaci.


PoznámkaNadále budeme používat zkrácený zápis parametrizací téže krivky.Napríklad pokud máme parametrizovanou krivku c(t) budeme jejíreparametrizaci c(s) = c(φ(s)) oznacovat jednoduše c(s). Dálebudeme psát napríklad t(s) namísto t = φ(s) a v dusledku i s(t)namísto s = ϕ−1(t). Konecne kvuli zjenodušení zápisu budeme nekdyvynechávat hodnotu parametru a budeme psát napríklad c′ místo c′(t)a podobne. Pokud nerekneme jinak, cárka znací derivaci d

dt a teckaderivaci d

ds .


Lemma 1.4Pro derivace dvou parametrizací c(t) a c(s) = c(t(s)) téže krivky vkaždém odpovídajícím bode platí

cc...c

=

t 0 0t t2 0...t 3t t t3

c′

c′′

c′′′

.


Definice (a lemma) 1.5Délku krivky dané parametrizací c(t), t ∈ I = (α, β) definujeme jakourcitý integrál

∫ β

α

||c′(t)||dt ,

který nezávisí na parametrizaci. Funkci rychlosti budeme oznacovatr(t) = ||c′(t)||.


Definice (a lemma) 1.6V každém bode orientované krivky dané parametrizací c(t) definujemejejí jednotkový tecný vektor výrazem

~t(t) =c′(t)

||c′(t)||.

Dále definujeme normálový vektor ~n∗(t) tak, aby {~t(t), ~n∗(t)} bylakladne orientovaná ortonormální báze R

2. Tyto vektory se nemení prireparametrizaci zachovající orientaci. Pri reparametrizaci která meníorientaci se tyto vektory mení na opacné vektory.


Definice (a lemma) 1.7

Pro regulární parametrizovanou krivku c : I → R2 definujeme v

každém bode znaménkovou krivost

κz(t) =det(c′(t),c′′(t))

||c′(t)||3, t ∈ I.

Znaménková krivost se nemení pri reparametrizaci zachovajícíorientaci. Pri reparametrizaci která mení orientaci mení znaménkovákrivost pouze znaménko. Bod, ve kterém je znaménková krivost nulovánazýváme inflexní.


Definice (a lemma) 1.8

Oznacme souradnice bodu v rovine x = (x , y)T . Eukleidovskéshodnosti (isometrie) jsou práve zobrazení x → Ax + a, kde A jeorthonormální matice. Takovou shodnost nazýváme prímou, právekdyž det(A) = 1. Každá prímá shodnost je posunutí (tedy A = I) nebootocení (okolo vhodného bodu).

Veta 1.9Znaménková krivost, tecný a normálový vektor jsou invariantní vuciprímým shodnostem R

2. Presneji mejme prímou shodnost ve tvarux → Ax + a. Máme-li krivku danou parametrizací c(t) a v jejímlibovolném (neinflexním) bode κz ,~t, ~n∗, pak krivka c(t) = Ac(t) + a máv odpovídajícím bode znaménkovou krivost κz = κz , tecný vektor~t = A~t a normálový vektor ~n∗ = A~n∗.


Definice 1.10Pro každou krivku c definujeme v každém bode její tecnou prímku jakomnožinu c(t) + 〈~t(t)〉 a dále v každém neinflexním bode definujeme jejíorientovaný polomer krivosti jako R(t) = 1

κz(t), její stred krivosti jako

bod S(t) = c(t) + R(t)~n∗(t) a kružnici se stredem S(t) a polomeremR(t) nazýváme oskulacní kružnice v bode c(t).

Veta 1.11Ve svém každém neinflexním bode má krivka ze všech prímek kontaktnejvyššího rádu s tecnou prímkou a ze všech kružnic má kontaktnejvyššího rádu s oskulacní kružnicí.


Veta 1.12

Pro regulární parametrizovanou krivku c : I → R2 platí

~t′(t) = r(t)κz (t)~n∗(t).

Existuje hladká funkce θ(t) : I → R splnující~t(t) = (cos θ(t), sin θ(t)), t ∈ I a pro znaménkovou krivost pak platí

κz(t) =θ′(t)r(t)

, t ∈ I.

Pokud je tedy krivka parametrizována konstantní jednotkovou rychlostír(t) = 1, pak je tedy znaménková krivost rychlostí zmeny smeru krivky.


Hermitova interpolace

Jedná se o zobecnení Lagrangeovy interpolace, kdy kromehodnot interpolujeme i derivace.




Máme zadány hodnoty promenné x0, x1, . . . , xn ∈ R, násobnostiderivací k0, k1, . . . , kn ∈ N0 a hodnoty f0, f1, . . . , fn ∈ R a hledámepolynom f (x) stupne nejvýše n, pro který platí

f (ki )(xi) = fi , pro i = 0, . . . ,n.





f (ki )(xi) = fi , pro i = 0, . . . ,n.

Úloha opet vede na soustavu lineárních rovnic.





f (ki )(xi) = fi , pro i = 0, . . . ,n.

Úloha opet vede na soustavu lineárních rovnic.

Príklad: naleznete polynom stupne 2, pro který platí f (1) = 9,f ′(2) = 11, f ′′(4) = 4.


C1 interpolace na [0, 1]

Základní úloha je hledání polynomu stupne nejvýše 3, který nászajímá na itervalu [0,1] a jsou pro nej predepsané hodnoty aderivace v krajních bodech 0 a 1, tedy

f (0) = f0, f ′(0) = f1, f (1) = f2, f ′(1) = f3.


C1 interpolace na [0, 1]

Základní úloha je hledání polynomu stupne nejvýše 3, který nászajímá na itervalu [0,1] a jsou pro nej predepsané hodnoty aderivace v krajních bodech 0 a 1, tedy

f (0) = f0, f ′(0) = f1, f (1) = f2, f ′(1) = f3.

Polynom vyjádríme v monomiální bázi M = (1, x , x2, x3) jako

c(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

a koeficienty (a0,a1,a2,a3) pak dostaneme jako rešení soustavy

1 0 0 00 1 0 01 1 1 10 1 2 3

a0

a1

a2

a3

=

f0f1f2f3

.


Fergusonova báze

Existuje báze R = (r0(x), r1(x), r2(x), r3(x)), ve které bude míttato úloha jednotkovou matici? Tedy v dusledku bude prointerpolacní polynom platit

f (x) = f0r0(x) + f1r1(x) + f2r2(x) + f3r3(x).


Fergusonova báze


f (x) = f0r0(x) + f1r1(x) + f2r2(x) + f3r3(x).

Napríklad pro r0(x) by muselo platit

r0(0) = 1, r ′0(0) = 0, r0(1) = 0, r ′0(1) = 0.


Fergusonova báze


f (x) = f0r0(x) + f1r1(x) + f2r2(x) + f3r3(x).

Napríklad pro r0(x) by muselo platit

r0(0) = 1, r ′0(0) = 0, r0(1) = 0, r ′0(1) = 0.

Nebo rychleji: predchozí matice musí být maticí prechodu[id ]M

R, protože analogická úloha v bázi R má mít z definice

jednotkovou matici. Z toho duvodu máme

[id ]RM =

1 0 0 00 1 0 01 1 1 10 1 2 3

−1

=

1 0 0 00 1 0 0−3 −2 3 −12 1 −2 1

.


Fergusonova báze

V této poslední matici po sloupeccích cteme koeficientyFergusonovy báze vuci monomiální bázi R a tedy dostáváme

r0(x) = 1 − 3x2 + 2x3

r1(x) = t − 2x2 + x3

r2(x) = 3x2 − 2x3

r3(x) = −x2 + x3.


Fergusonova báze

V této poslední matici po sloupeccích cteme koeficientyFergusonovy báze vuci monomiální bázi R a tedy dostáváme

r0(x) = 1 − 3x2 + 2x3

r1(x) = t − 2x2 + x3

r2(x) = 3x2 − 2x3

r3(x) = −x2 + x3.

Jakou matici bude úloha mít v Bernsteinove kubické báziB = (B3

0(t),B31(t),B

32(t),B

33(t)), kde Bn

i (t) =(n

i

)

t i(1 − t)n−i?


Geometrická interpolace dvojoblouky

fU0

fU1

fP0

fP1



fU0

fU1

fP0

fP1



fU0

fU1

fP0

fP1



fU0

fU1

fP0

fP1



fU0

fU1

fP0

fP1



fU0

fU1

fP0

fP1


Výber vhodného dvojoblouku

Stejné secny Rovnobežná tecna Bod na krivce








Asymptotické zlepšování chyby

Error Ratio Error Ratio

1 4.972 2.23 2.233 256 3.32 10−5 5.5524 3.98 10−1 5.594 512 4.32 10−6 7.6998 1.89 10−1 2.110 1024 5.45 10−7 7.92816 4.02 10−2 4.697 2048 6.82 10−8 7.98832 5.93 10−3 6.780 4096 8.57 10−9 7.95664 1.03 10−3 5.767 8192 1.07 10−9 7.979128 1.85 10−4 5.568 16384 1.34 10−10 8.009

Aproximacní stupen 3 nemuže být vylepšen.


Documents

ZS 2018/19 Zbynek Šírˇsir/modelovani/prezentace1.pdf · Geometrické modelování ZS 2018/19 Zbynek Šírˇ Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Zbynek Šír