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Zeri e radici di equazioni non lineari e sistemi di equazioni non lineari

Zeri e radici di equazioni non lineari e sistemi di ...riccardo.broglia/Didattica/AN2003-04... · mente non lineare e/o trascendente) f(x) cioè trovare quel o quei valori ξ tale

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Zeri e radici di equazioni non lineari e sistemi di equazioni

non lineari

2

Equazioni non lineari: generalità

Problema: ricavare le radici o zeri di una funzione (eventual-mente non lineare e/o trascendente) f(x) cioè trovare quelo quei valori ξ tale che:

( ) 0=ξf

Se la soluzione non è esprimibile in forma chiusa il problema può essere risolto numericamente

Molteplicità di una radice: ξ è radice semplice se f�(ξ)≠0 ,multipla di molteplicità ν se:

( ) ( ) ( ) 01,,1,00 )()( ≠−== ξνξ νfkf k K

3

Eq. non lineari: separazione delle radici

Individuazione di un intervallo I=[a,b] (detto intervallo di separazione) contenente una sola radice, metodi di ausilio:

• studio sommario del grafico• decomposizione della funzione f(x)=g(x) � h(x) e ricerca dei punti di

intersezione g(x)=h(x)• tabulazione della funzione (passo della tabulazione)

Teorema: se f(x)∈ C0[a,b] e f(a)·f(b)<0 allora esiste alme-no un valore ξ tale che f(ξ)=0

4

Separazione delle radici: esempi

Esempio 3.2.1: f(x)=ln(x+1)+sqrt(x+2)-1

Esempio 3.2.2: f(x)=tan(x)*[1-cos(x)]-2

Esercizio: uso di MatLab, grafico dell’esempio 3.2.1

5

Eq. non lineari: metodo delle bisezioni

x1=a1=a20a10 bb =x2= b2

ξ

0I

1I

2I

[ ] [ ]2

,, 001000

baxbabaI +==≡

01

11

01

01

0)()(0)()(

bbxa

bfxfafxf

==

⇒<>

[ ]2

, 112111

baxbaI +=≡

22

12

12

12

0)()(0)()(

xbaa

bfxfafxf

==

⇒><

[ ]2

, 223222

baxbaI +=≡

6

Eq. non lineari: metodo delle bisezioni

Metodo iterativo applicabile se f(x)∈ C0[a,b], f(a)·f(b)<0 e se in I=[a,b] esiste un unico valore ξ tale che f(ξ)=0

Algoritmobbaa == 00

Nnbax nnn K,1

211 =

+= −−

<⋅=<⋅=

−−

−−

0)()(se],[],[0)()(se],[],[

11

11

nnnnnn

nnnnnn

xfbfbxbaxfafxaba

Se f(xn)=0 allora ξ= xn altrimenti:

Cosa accade se esistono altri zeri in [a,b]? Cosa accade se f(x) non è continua?

7

Metodo delle bisezioni: esempioEsempio 3.4.1: f(x)=ln(x+1)+sqrt(x+2)-1Intervallo di separazione I=[-1/2,0] da Esempio 3.2.1

-0.0003050

-0.0020160

0.0014040

-0.0054435

0.0082212

-0.0192306

-0.0756553

-0.1952488

0.0351936F(xn)

0.0001742-0.27050789

0.0011508-0.27148448

0.0008023-0.26953137

0.0031039-0.27343756

0.0047086-0.26562505

0.0109164-0.28125004

0.0421664-0.31250003

0.1046664-0.37500002

0.0203336-0.25000001|ξ−xn|xnn

41

22/1

200

1 −=−

=+

=bax

11

01

1

0

0

035.0)(414.0)(468.0)(

xbaa

xfbfaf

==

+≅+≅−≅

83

24/12/1

211

2 −≅−−

=+

=bax

12

22

2

1

1

268.1)(035.0)(468.0)(

bbxa

xfbfaf

==

−≅+≅−≅

KKKK

8

Metodo delle bisezioni: MatLab

function [zero,niter]=bisezione(f,a,b,toll,nmax)

x = [a, (a+b)*0.5, b]; fx = eval(f);niter = 0; I = (b - a)*0.5; while I >= toll & niter <= nmax-1

niter = niter + 1; if sign(fx(1))*sign(fx(2)) < 0

x(3) = x(2); x(2) = x(1)+(x(3)-x(1))*0.5;fx = eval(f); I = (x(3)-x(1))*0.5;

elseif sign(fx(2))*sign(fx(3)) < 0x(1) = x(2); x(2) = x(1)+(x(3)-x(1))*0.5;fx = eval(f); I = (x(3)-x(1))*0.5;

elsex(find(fx==0)); x(2) = x(find(fx==0)); I = 0;

endendzero = x(2);return

9

Metodo delle bisezioni: MatLab

>> format short e

>> f='log(x+1)+sqrt(x+2)-1';

>> [csi,Niter]=bisezione(f,-1/2,0,1e-20,9);

1.0000e+000 -2.5000e-001 3.5194e-002 2.0334e-002

2.0000e+000 -3.7500e-001 -1.9525e-001 1.0467e-001

. . . . . . . . .

9.0000e+000 -2.7051e-001 -3.0503e-004 1.7422e-004

>> csi, Niter

csi = -2.7051e-001

Niter = 9

10

Metodi iterativi: generalità• Un metodo iterativo fornisce una successione di approssi-

mazioni {xn} tale che:

• In generale:

con Gn funzione di iterazione

• Errore di troncamento:

• Ordine (p) e fattore (C) di convergenza:

• Efficienza computazionale:

ξ=∞→ nn

xlim

( ) +−−− ∈≥= NnkxxxGx knnnnn 1,,, 21 K

nn xe −= ξ

Ce

ep

n

n

n=+

∞→

1lim

rpE /1=

11

Metodo delle bisezioni: convergenza

xk ξ bk-1ak-1

kI

ak

ξ

bkak-1 xk+1

kI

1+kI

Errore al passo k:

kkk

kk Iabxe =−

≤−= −−

211ξ

Errore al passo k+1:

22 11k

kkk

kIIabe ==

−≤ ++

Ad ogni passo il massimo dell’errore si dimezza, il metodo è convergente.

12

Metodo delle bisezioni: convergenzaErrore al passo k:

( )

( )kkk

kk

kkkkkk

abeabab

ababxe

222

22/

200

222

2211

−≤⇒

−==

−=

=−

=−

≤−=

−−

−−−−

L

ξ

La quale fornisce una stima a priori dell’errore com-messo dopo k passi, e dalla quale:

ξ=⇒=∞→∞→ kkkk

xe lim0lim

Il metodo delle bisezioni fornisce una successione di approssimazioni convergente (non monotona).

13

Metodo delle bisezioni: ordine

xk

ξ bk-1

xk-1 xk+1

211 ≅+

k

k

ee

1−−≅ kkk xxePer k grande: quindi:

Il metodo ha ordine di convergenza 1, ad ogni passo l’errore si dimezza.

14

Metodo delle bisezioni: criterio di arrestoQuando arrestare la procedura iterativa? Ad esempio quando l’intervallo di separazione è minore di una fissata tolleranza ε:

ε≤−

=− −−

nnn abab

2211

Da cui:( )

)(log)(log)(log)(log)(log)2(log)(log2

2222

222

εεεε

−−≥⇒−≥++≤−⇒≤−

abnabnnabab n

Dove n è il numero minimo di iterazioni necessarie per ottenere una soluzione con un errore assoluto mi-nore di una certa tolleranza fissata ε.

15

Metodo delle bisezioni: esempio

Esempio 3.4.1: f(x)=ln(x+1)+sqrt(x+2)-1Intervallo di separazione I=[-1/2,0], quante iterazioni sono necessarie per avere un errore minore di 10−3 ?

966.8)(log)(log 22 ≅−−≥ εabn

Dopo 9 iterazioni l’errore stimato è:

49 10766.9

25.0

2)( −==

−≤ nn

abe

1.742 10-4-0.27050789|ξ−xn|xnn

• Esercizio consigliato [GL] 1.1

16

Argomenti opzionali

• Metodo delle bisezioni:

– interpretazione geometrica

• Metodo della falsa posizione:

– interpretazione geometrica;

– convergenza e fattore di convergenza

17

Metodi iterativi ad un puntoProblema: radice di una equazione non-lineare:

( ) ( )xxxf ϕ=⇔= 0

( ) ( )ξϕξξ =⇔= 0f

( )nn xx ϕ=+1

ξ è il punto unito della trasformazione ϕ:Scelti ϕ, ed un valore iniziale x0 , la successione:

costituisce il metodo del punto unito (metodo iterati-vo ad un punto stazionario).

18

Metodo del punto unito

ξ

xy = )(xy ϕ=

0x)( 01 xx ϕ=

)( 0xϕ

)( 1xϕ

)( 12 xx ϕ=

)( 2xϕ

( )nn xx ϕ=+1

( )xx ϕ=

19

Metodo del punto unito: esempi

( ) )cos(xxxf −= { }K3215160.73908513=ξ

( ) ( ) 1)cos( 01 === − xxxxx nn ϕϕ

1.6614 10-40.73918439977149208.6326 10-30.74423735490056101.3919 10-10.6542897904977832.0326 10-10.8575532158463923.1725 10-10.540302305868141| xn -ϕ(xn)|xnn

( )( )( )

KKKK

K

K

K

0.6540.8570.540

23

12

01

======

xxxxxx

ϕϕϕ

20

Metodo del punto unito: esempi

( ) xexxf −=

( ) ( ) 001 === − xexxx xnn ϕϕ

NaNInf5Inf3.8143 1064

3.8143 1011.5154 10131.2436 1012.71832

1.71831.00001|xn-ϕ(xn)|xnn

21

Metodo del punto unito: esempi

( )

+=−=

⇔=−−=22

02 2

22

xxxx

xxxf { }2,12,1 −=x

( ) 223 −= xxϕ( ) 21 ++= xxϕ 00 =x( ) xx /214 +=ϕ( ) 22 +−= xxϕ

0.00000.00000.00000.00000

1.99041.96161.84781.4142

x1(n)

-0.9428-1.1111-0.7654-1.4142

x2(n)

2.00002.00002.0000

-2.0000

x3(n)

Inf4Inf3Inf2Inf1

x4(n)n

22

Metodo del punto unito: convergenza (c.n.)

Teorema: se la successione xn=ϕ(xn-1), con x0 dato è con-vergente a t, e se ϕ(x) è continua in t, allora t è punto unito della trasformazione ϕ(x).

Nota: si tratta di una condizione necessaria.

)()lim()(limlim 11 txxxt nnnnnnϕϕϕ ==== −∞→−∞→∞→

23

Metodo del punto unito: convergenza (c.s.)

Teorema del punto unito: sia ϕ (x) derivabile in I=[a,b] e si abbia:

a) ϕ(x) : Ι → Ιb) ∃ k∈(0,1) tale che |ϕ�(x)|≤ k con x∈I

cioè ϕ(x) sia una “contrazione�, allora:c) esiste un unico punto unito, cioè ξ∈I tale che ϕ(ξ)=ξd) ed inoltre la successione xn+1=ϕ(xn) è convergente per qualunque

scelta di x0∈I, cioè ∀x0∈I si ha:

Nota: La convergenza del metodo del punto unito dipende dalla scelta di ϕ(x) e di x0.

ξ=∞→ nn

xlim

24

Teorema del punto unito: dimostrazione

bbaaIbaIx ≤≥⇒→= )(,)(],[:)( ϕϕϕDalla:

Se vale una uguaglianza, allora a o b è punto unito di ϕ.Altrimenti:

0)()(0)()(

)()(>−=<−=

⇒−=bbbFaaaF

xxxFϕϕ

ϕ

Poiché F(x)∈C[a,b], allora esiste uno zero di F(x):

)(0)()( ξϕξξϕξξ =⇒=−=F

e quindi un punto unito per la ϕ(x).

25

Teorema del punto unito: dimostrazione

Per l’unicità del punto unito, ipotizziamo per assurdo che ne esistano due distinti ξ1 e ξ2:

( ) 21212121 )(')(')()(0 ξξζϕξξζϕξϕξϕξξ −=−=−=−<

Avendo fatto uso del teorema del valor medio:

21

21 )()()('ξξ

ξϕξϕζϕ−−

=

Dall’ipotesi b)∃ k∈(0,1) tale che |ϕ�(x)|≤ k con x∈I:

21212121 )('0 ξξξξξξζϕξξ −<−≤−=−< k

Il che è assurdo.

26

Teorema del punto unito: dimostrazione

Per la scelta di x0 si ha:

)()()( 0001 abxxkxx −<−<−≤−=− ξξξϕϕξ

Cioè x1∈I ed è una approssimazione migliore di x0 per ξ,inoltre:

)(21 abkxkkxkx nnnn −≤≤−⋅≤−≤− −− Lξξξ

Ed essendo k∈(0,1), si ha:

0)(limlim =−=−∞→∞→

abkx n

nnnξ

Quindi la successione converge qualunque sia x0∈Ι .

27

Metodo del punto unito: ordine di convergenza

( ) ( ) ( ) ( ) 01,,10 )()( ≠−=== ξϕξϕξξϕ pk pk K

Teorema: sia ϕ∈C p(I) con I intorno di un punto unito ξ di ϕ, con ϕ(xn) convergente, e si abbia:

allora l’ordine di convergenza del metodo è dato da p.

Nota: L’ordine di convergenza del metodo del punto unito dipende dalla scelta di ϕ(x).

28

Ordine di convergenza: dimostrazione

)()(1 ξϕϕξ −=−+ nn xx

Sviluppando in serie di Taylor ϕ(x) attorno a ξ:

!/))(()()(

!/))(()(')()()(

)(

)(

!!!!0

pxtx

pxtxx

pnn

pn

pnn

pnn

ξϕξϕϕ

ξϕξϕξξϕϕ

−=−

−++−+==

444 3444 21K

Dove tn è compreso tra tn e ξ, e tende a ξ per n→∞.Quindi:

0!

)(lim)(!

)()()(

1)(

1 ≠=−

−⇒−=− +

∞→+ pt

x

xx

ptx n

p

pn

n

n

pn

np

ξ

ξξϕξ

29

Metodo del punto unito: approssimazioni

Dalla relazione:

)()( 1 ξϕϕξ −=− −nn xx

Impiegando il teorema del valor medio:

[ ][ ]

∈=−−

−−−

1

111

1

1

,,

)(')()(n

nnn

n

n

xx

ttx

ξϕ

ξξϕϕ

Si ottiene che:

( )ξϕξϕϕξ −=−=− −−− 111 )(')()( nnnn xtxx

30

Metodo del punto unito: approssimazioni

Dalla relazione:

( )( )

∈−=−−

−−−− ξ

ξξϕξ

,,

))(('1

1111

n

nnnnn x

xtxtx

Si ha che:

App. per difetto( )

⇒>

⇒<<≤

ξ

ξϕ

0

0

1'0x

xxse

App. per eccesso

( ) 0'1 ≤<− xϕ Approssimazioni alternatese

31

Metodo del punto unito: esempio

Esempio 3.5.1: data la funzione

( ) 2)ln( 2 +−= xxxf

Se ne ricavi la radice maggiore mediante ilmetodo del punto unito.

32

Metodo del punto unito: esempio

( ) 22

)(2)ln()(

)()(2)ln(xxh

xxgxhxgxxxf

=+=

−=+−=

>> x=linspace(0,4,1000);

>> g=log(x)+2;

>> h=x.^2;

>> plot(x,g,x,h); )(xg

)(xh

e10

01

1−

2345

2],1[ eI =

Intervallo di separazione

33

Metodo del punto unito: esempio

( ) 2)ln(02)ln( 22 +=⇒=+−= xxxxxf

Nell’intervallo di separazione I=[1,e], si ha ln(x)>0, e pertanto come funzione di iterazione si può considerare:

( ) 2)ln( += xxϕ

Nell’intervallo di separazione ϕ(x) è crescente, quindi:

exex <<⇒=≤≤= )(13)()(2)1( ϕϕϕϕ

Quindi ϕ(x) : Ι →Ι cioè è verificata l’ipotesi a) del teorema del punto unito.

34

Metodo del punto unito: esempio

Per la derivata prima si ha:

( ) ( )2)ln(2

12)ln(2

/1'2)ln(+

=+

=⇒+=xxx

xxxx ϕϕ

Nell’intervallo di separazione ϕ�(x) è positiva e decrescente:

],1[122

1)1(')('0 exx ∈<=≤< ϕϕ

Anche l’ipotesi b) del teorema del punto unito è verificata, quindi si ha convergenza per qualunque scelta di x0.

35

Metodo del punto unito: esempio

( ) 2)ln( 2 +−= xxxf

( ) 2/)1(2)ln( 0 exxx +=+=ϕ

3.3307 10-151.564462259202.6052 10-81.564462292101.7568 10-31.56666958038.6428 10-31.57531235324.3364 10-21.6186767761| xn-ϕ(xn)|xnn

36

Metodo del punto unito: esempio

Esercizio [GL] 1.3: data l’equazione:

( ) ( ) 012 2 =−−= − xexf x

separarne le radici ed approssimarle mediante opportune funzioni di iterazione (metodo del punto unito).

37

Metodo del punto unito: esempio

( ) ( )212 −−= − xexf x

-2 -1 0 1 2-1

0

1

2

3

4

5

6

( )21)(

)()()()(

−=

=

−=−

xxh

exgxhxgxf

x

>> x=linspace(-2,2,1000);

>> g=exp(-x);

>> h=2*(x-1.)^2;

>> plot(x,g,x,h);

)(xg )(xh

38

Metodo del punto unito: esempio>> format short e;

>> toll=1e-20;nmax=20;

>> phi1=‘-(log(2)+2*log(1-x))’;

>> [zero,niter]=puntounito(phi1,-3,toll,nmax);

… … … … …

2.0000e+001 -3.8519e+000 1.1858e-008

>> [zero,niter]=puntounito(phi1,-4,toll,nmax);

… … … … …

>> phi2=‘1-exp(-x/2)/sqrt(2)’;

>> [zero,niter]=puntounito(phi2,0.0,toll,nmax);

… … … … …

>> phi3=‘1+exp(-x/2)/sqrt(2)’;

>> [zero,niter]=puntounito(phi3,1.5,toll,nmax);

… … … … …

39

Metodo del punto unito: esempio

( ) ( )212 −−= − xexf x

ξ3∈ [1,1.5]

-3.85187949-3.85189994-3.86201044-3.87651893-3.91202300-4.00000000

xn

ξ1∈ [-4,-3]

-3.85187946-3.85173706-3.78231235-3.68601521-3.46573590-3.00000000

xn

ξ2∈ [0,0.5]

0.429565030.429563240.417941380.389221070.292893220.00000000

xn

1.500000000

-----------201.35850092101.3577101631.3629172721.334013591

xnn

40

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2210

-18

10-16

10-14

10-12

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Iterazione

ξ1ξ2ξ3

Metodo del punto unito: esempio

41

Metodi iterativi: criterio di arresto

Problema: quando arrestare una procedura iterativa?• Errore minore di un valore prefissato (valutazione dell’errore?)• Numero di iterazioni uguale ad un valore massimo fissato (stima

dell’errore commesso?)

Dato un metodo iterativo ad un passo stazionario, si dimostra che se la derivata prima della funzione di iterazione in modulo è minore ad uno nell’intervallo di separazione, allora la differenza tra due soluzione successive fornisce una maggiora-zione dell’errore commesso (rispetto alla soluzione esatta!!!!).

ε≤− −1nn xx Criterio di arresto con ε valore fissato

42

Metodi iterativi: criterio di arresto

Se il metodo verifica le ipotesi di convergenza, si ha:

1−−≤− nn xkx ξξ

1111

11

1111

)1(

)(

)()(

−−−−

−−

−−−−

−≤−−⇒−+−≤

≤−+−′=

=−+−=−+−≤−

nnnnnn

nnnn

nnnnnnn

xxxkxxxk

xxxt

xxxxxxx

ξξ

ξϕ

ϕξϕξξ

Sostituendo:

01

1

1

1

xxk

kx

xxk

kx

n

n

nnn

−−

≤−

−−

≤− −

ξ

ξ Stima dell’errore

Stima a priori dell’errore

43

Metodi iterativi: Newton-Raphson

Dato il problema f(x)=0, si consideri il metodo iterativo ad un punto, stazionario:

con f(x)∈ C(I), I=[a,b] intervallo di separazione, ed inoltre f�(x)≠ 0 in I, allora se ξ è una radice di f(x) allora è anche punto unito di ϕ(x).

( ) ( )( )xfxfxx

'T −=ϕ( )nn xx T1 ϕ=+ dove

( )( )

=−=+ Nnxfxfxx

x

n

nnn ,,0

'1

0

K

dato iniziale Algoritmo

44

Metodo di Newton-Raphson

ξ

)(xfy =

1x

)(1 xr

0x2x

)( 0xf

)( 1xf

Retta passante per (xn,f(xn)), e tangente alla f(x) in xn: ( ) ( )( )nnnn xxxfxfyxr −+= ':)(

( )( )n

nnn xf

xfxx'1 −=+Intersezione asse x:

45

Metodo di Newton-Raphson: convergenza

Teorema: sia f(x)∈ C2[a,b], f(a)·f(b)<0, f�(x)≠ 0 ∀x∈[a,b]e sia x0 estremo di Fourier di [a,b], allora:

a) esiste un unico ξ∈( a,b) , tale che f(ξ) = 0b) la successione {ϕT(xn)} è monotona e convergente a ξc) Inoltre se f(x)∈C3[a,b], allora la convergenza è (almeno) quadratica.

Per il punto c) si ha:

( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( ) 0

'''

0'

'''

'''1

'

T

22

2

T

T

≠=′′

==−

−=′

−=

ξξξϕ

ξξξ

ξξξξξϕ

ϕ

ff

fff

ffff

xfxfxx

46

Metodo di Newton-Raphson: convergenza

Teorema: sia I=[a,b], un intervallo di separazione di una radice di f(x) e sia f(x)∈ C2[a,b], f�(x)≠ 0 per x∈[a,b], allora esiste un intorno J di ξ, con J⊆ I, tale che se x0∈ J, la successione {ϕT(xn)} è convergente a ξ, e se f(x)∈C3[a,b] allora la convergenza è (almeno) quadratica.

Efficienza computazionale: 2=E

• Esercizi consigliati [GL] 1.6

47

Metodo di Newton-Raphson: esercizio

( ) 2)ln( 2 +−= xxxfEsempio 3.6.2:

Se ne ricavi la radice maggiore mediante il metodo di Newton-Raphson; si confronti il risultato ottenuto con quello ottenuto nell’esercizio 3.5.1 (soluzione mediante il metodo del punto unito).

Traccia delle soluzione:1. Individuare l’intervallo di separazione2. Verificare che siano soddisfatte le ipotesi del

teorema di convergenza ([G] 3.6.1)3. Individuare l’estremo di Fourier

48

Metodo di Newton-Raphson: esempioTeorema (3.6.1): sia f(x)∈ C2[a,b], f(a)·f(b)<0, f�(x)≠ 0 ∀x∈[a,b] e

sia x0 estremo di Fourier di [a,b], allora:

a) esiste un unico ξ∈( a,b) , tale che f(ξ) = 0b) la successione {ϕT(xn)} è monotona e convergente a ξc) Inoltre se f(x)∈C3[a,b], allora la convergenza è (almeno) quadratica.

( ) 2)ln( 2 +−= xxxf ],1[ eI =Int. di separazione:

Le ipotesi per la convergenza sono soddisfatte:0)()1(],1[)( 2 <∈ effeCxf

021)(21)( 2 <−−=′′−=′x

xfxx

xf

0)()( >′′ efef quindi e è estremo di Fourier

49

Metodo di Newton-Raphson: esempio

( ) 2)ln( 2 +−= xxxf

( ) exxx =+= 02)ln(ϕPunto unito:

1.0806 10-31.56489625.1725 10-31.570958532.2667 10-71.56446231.0535 10-31.56578604

Metodo delle TangentiMetodo del Punto Unito

9.5479 10-15

7.6513 10-8

2.1508 10-4

2.5696 10-2

1.3540 10-1

|xn-ϕ(xn)|

1.56446221.56446231.5647325

1.59665471.7320508

xn

------------------20------------------10

9.7700 10-151.56446225

7.6938 10-21.594916828.1479 10-11.85236561

|f(xn)|xnn

50

Metodo di Newton-Raphson: esempio

0 5 10 15 2010

-15

10-10

10-5

100

Iterazione

Punto UnitoNewton-Raphson

51

Metodo di Newton-Raphson: esempio

( ) ( )212 −−= − xexf x

]5.1,1[],5.0,0[],3,4[ 321 ==−−= III

Esercizio [GL] 1.3:

Int. di separazione:

Le ipotesi per la convergenza sono soddisfatte:

)()( ICxf ∞∈

( ) 4)(14)( −=′′−−−=′ −− xx exfxexf

in

38.14ln,0)( −≅−==′′ xxf

321 ,,0)( IIIxf ≠′′

52

Metodo di Newton-Raphson: esempio

( ) ( )212 −−= − xexf x

]5.1,1[],5.0,0[],3,4[ 321 ==−−= IIIInt. di separazione:

4)( −=′′ − xexf

Estremi di Fourier (da verificare come esercizio):

5.10

4

]5.1,1[]5.0,0[]3,4[

F

F

F

3

2

1

==

−=

==

−−=

xxx

III

53

Metodo di Newton-Raphson: esempio

( ) ( )212 −−= − xexf xEsercizio [GL] 1.3:

-------0.429565031………….-------5--------------………….-------….

1.375459450.33333333-5.91625392-3.867098381

ξ1∈ [1,1.5]

-------

-3.85187949-3.85187951-3.85205753

-4.00000000x(n)

ξ1∈ [-4,-3]

-3.85187949

-4.04913482-4.46880178-5.11431212

-3.00000000x(n)

ξ1∈ [0,0.5]

-------

0.4295650270.429502840.42171570

0.00000000x(n)

1.500000000

-------8

1.3585009241.3585010231.358807912

x(n)n

54

Metodo di Newton-Raphson: esempio

Esercizio [GL] 1.3: risolto con il metodo del p.u.

ξ3∈ [1,1.5]

-3.85187949-3.85189994-3.86201044-3.87651893-3.91202300-4.00000000

xn

ξ1∈ [-4,-3]

-3.85187946-3.85173706-3.78231235-3.68601521-3.46573590-3.00000000

xn

ξ2∈ [0,0.5]

0.429565030.429563240.417941380.389221070.292893220.00000000

xn

1.500000000

-----------201.35850092101.3577101631.3629172721.334013591

xnn

55

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

-16

10-12

10-8

10-4

100

104

Iterazioni

ξ1 ΠΥξ2 ΠΥξ3 ΠΥξ1 ΝΡξ1 ΝΡξ2 ΝΡξ2 ΝΡ

Metodo di Newton-Raphson: esempio

• Esercizi consigliati [GL] 1.5, 1.6

56

Metodo di Newton-Raphson: radici multiple

Se lo zero della funzione f(x) ha molteplicità multipla (maggiore di uno) il metodo delle tangenti ha convergenza lineare, modifica:

( )( ) xxxfxfxx T )1()(

')( ννϕνψ −+=−=

Se la molteplicità non è nota, detta F(x)=f(x)/f�(x):

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )xfxfxf

xfxfxxFxFxx

''''

')( 2

*

−−=−=ϕ

Entrambe i metodi hanno convergenza quadratica. Efficienza?

• Esercizio consigliato [GL] 1.22

57

Metodi iterativi: secanti con estremo fisso

( ) ( ) ( ) ( )

=−−

−==+ Nnxfcf

xcxfxxx

x

n

nnnnn ,,0S1

0

dato iniziale Algoritmo

Teorema: sia f(x)∈C2[a,b], f(a)·f(b)<0, f�(x)≠ 0 ∀x∈[a,b], c estremo di Fourier di [a,b] e x0 l’altro estremo di [a,b], allora:

a) esiste un unico ξ∈( a,b) , tale che f(ξ) = 0b) la successione {ϕS(xn)} è monotona e convergente a ξc) la convergenza è lineare.

58

Metodi iterativi: secanti con estremo variabile

( ) ( ) ( )

=−−

−=−

−+ Nn

xfxfxxxfxx

xx

nn

nnnnn ,,1

1

11

10

K

dati iniziali Algoritmo

• Si dimostra che: se f(x)∈C2(I), dove I è un intorno simmetrico di ξ in cui f�(x)≠0, allora esiste un insieme A⊆I in cui il metodo converge con convergenza superlineare (p=(1+√5)/2).

• Confronto tra le efficienze dei tre metodi:– Newton-Raphson: Ε=√2– Secanti estremi fissi: Ε=1– Secanti estremi variabili: Ε=1.62

• Esercizio consigliato [GL] 1.13

59

Sistemi di equazioni non lineari

Sistema di due equazioni non lineare:

==

0),(0),(

yxgyxf

Linearizzazione:

≈−+−+≈≈−+−+≈

0)(),()(),(),(),(0)(),()(),(),(),(

iiiyiiixii

iiiyiiixii

yyyxgxxyxgyxgyxgyyyxfxxyxfyxfyxf

60

Sistemi di equazioni non lineari

La soluzione del sistema linearizzato:

−=−+−−=−+−

),()(),()(),(),()(),()(),(

iiiiiyiiix

iiiiiyiiix

yxgyyyxgxxyxgyxfyyyxfxxyxf

Fornisce una soluzione approssimata del problema di partenza:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

−−=−−=

+

+

)det(/)det(/

1

1ii

xii

xi

ii

iiy

iiy

iii

gffgyyfggfxx

JJ ( )

( ) ( )

( ) ( )

= i

yi

x

iy

ixi

ggff

J

61

Equazioni non lineari: esercizi d’esameEsercizio [GL] 7.11: data l’equazione:

( ) 04 32 >=− αα xx

1) separarne graficamente le soluzioni positive, ed individuare per quali valori di α l’equazione ammette una radice ξ>1;

2) posto α=1 introdurre una opportuna funzione di iterazione:

adatta ad approssimare la radice ξ>1;3) in base al comportamento della ϕ(x) caratterizzare la suc-

cessione delle approssimazioni (ordine di convergenza, monotonia, ecc…).

]5.1,1[)( ∈= xxx ϕ

62

Equazioni non lineari: esercizi d’esame

Esercizio [GL] 7.36: considerata l’equazione:

0)cos(3 =−+ xx α

1) individuare per quali valori di α reale tale equazione non ammette radici positive;

2) per α=1/3 separare la radice positiva;3) individuare una funzione di iterazione adatta a generare un

procedimento iterativo convergente, specificando i motivi della convergenza ed il coefficiente di contrazione. Le risposte vanno motivate.