Zbirka Dinamika Konstrukcija

8/20/2019 Zbirka Dinamika Konstrukcija

1/126


2/126

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSISUDŽBENICI SVEU!ILIŠTA U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Rajko Grubiši!

TEORIJA KONSTRUKCIJAPrimjeri dinami!ke analize elemenata konstrukcije

Zagreb, 2002


3/126

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSISUDŽBENICI SVEU!ILIŠTA U ZAGREBU

Autor: dr.sc. Rajko Grubiši", redoviti profesor Fakulteta strojarstva i brodogradnjeSveu#ilišta u Zagrebu

Recenzenti: dr.sc. Ivo Senjanovi", redoviti profesor Fakulteta strojarstva i brodogradnjeSveu#ilišta u Zagrebu

dr.sc. Milenko Stegi", redoviti profesor Fakulteta strojarstva i brodogradnjeSveu#ilišta u Zagrebu

dr.sc. Željan Lozina, redoviti profesor Fakulteta elektrotehnike, strojarstva ibrodogradnje Sveu#ilišta u Zagrebu

Izdava#: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Ivana Lu#i"a 5, ZagrebGlavni urednik: prof. dr.sc. Tomislav Filetin

Odluka Senata Sveu#ilišta u Zagrebu br. 02-2022/3-2001 od 12. velja#e 2002.Sveu#ilišni udžbenik

CIP - Katalogizacija u publikacijiNacionalna i sveu#ilišna knjižnica - Zagreb

UDK 621.8(075.8)(076)

GRUBIŠI$, RajkoTeorija konstrukcija : primjeri

dinami#ke analize elemenata konstrukcije /Rajko Grubiši". - Zagreb : Fakultetstrojarstva i brodogradnje, 2002. -(Udžbenici Sveu#ilišta u Zagrebu =Manualia Universitatis studiorumZagrabiensis)

Bibliografija.

ISBN 953-6313-43-X

I. Konstrukcijski elementi -- Strojarstvo -- Udžbenik

420402088

Crteži i prijelom na ra#unalu: Mario Šimunec

Copyright © Fakultet strojarstva i brodogradnje

Tisak: Krinen, Zagreb

Naklada: 200


4/126

Sadržaj

SADRŽAJ

UVOD........................................................................................................................................5

POPIS OZNAKA......................................................................................................................9

PRVI DIO................................................................................................................................13

1. SUSTAVI S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE GIBANJA ........................................... 13

1.1. SLOBODNE VIBRACIJE ......................................................................................................13

1.1.1 Slobodne vibracije bez prigušenja .............................................................. ...............131.1.2. Harmonijsko gibanje i njegove osnovne zna! ajke .................................................... 141.1.3. Slobodne vibracije s prigušenjem ......................................................... ....................171.1.4 Primjeri......................................................................................................................20

Primjer 1.1................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 20

Primjer 1.2................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 20Primjer 1.3................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 21Primjer 1.4................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 21Primjer 1.5................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 23Primjer 1.6................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 23Primjer 1.7................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 24Primjer 1.8................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 26Primjer 1.9................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 27Primjer 1.10............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 28Primjer 1.11............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 29Primjer 1.12............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 29

1.2. PRISILNE VIBRACIJE – HARMONIJSKA SILA UZBUDE .........................................................30

1.2.1. Neposredna sila uzbude ...................................................................... ......................31

1.2.2. Centrifugalna uzbuda ...............................................................................................341.2.3. Uzbuda podloge ......................................................... ............................................... 35

1.2.4. Prenosivost vibracija ..................................................................... ...........................381.2.5. Princip rada instrumenata za mjerenje vibracija..................................................... 381.2.6. Primjeri.....................................................................................................................40

Primjer 1.13............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 40Primjer 1.14............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 44Primjer 1.15............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 45Primjer 1.16............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 48Primjer 1.17............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 49Primjer 1.18............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 50Primjer 1.19............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 52Primjer 1.20............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 54Primjer 1.21............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 55

1


5/126

Teorija konstrukcija

1.3. PRISILNE VIBRACIJE – PERIODSKA SILA UZBUDE ..............................................................56

1.3.1 Sila i odziv u trigonometrijskom obliku .....................................................................571.3.2. Sila i odziv u kompleksno – eksponencijalnom obliku ..............................................571.3.3. Harmonijska analiza periodskih vibracija................................................................58

1.3.4. Harmonijska analiza izmjerenih periodskih veli! ina................................................60

1.3.5. Frekvencijski spektar periodske funkcije ............................................................... ...611.3.6. Primjeri.....................................................................................................................62

Primjer 1.22............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 62Primjer 1.23............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 63Primjer 1.24............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 64Primjer 1.25............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 66

1.4. PRISILNE VIBRACIJE – IMPULSNA SILA UZBUDE ...............................................................68

1.4.1. Približan postupak odre" ivanja odziva uslijed kratkotrajne impulsne sile...............691.4.2. Primjeri.....................................................................................................................70

Primjer 1.26............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..... 70

1.5. PRISILNE VIBRACIJE – NEPERIODSKA SILA UZBUDE .........................................................71

1.5.1. Analiza odziva u frekvencijskom podru! ju........................................ ........................72

DRUGI DIO............................................................................................................................75

2. SUSTAVI S DVA STUPNJA SLOBODE GIBANJA......................................................75

2.1. SLOBODNE VIBRACIJE ......................................................................................................75

2.1.1. Svojstva prirodnih oblika..........................................................................................77

2.2. PRISILNE VIBRACIJE .........................................................................................................78

2.2.1. Metoda superpozicije prirodnih oblika vibriranja....................................................79

2.3. VIBRACIJE FLEKSIJSKIH SUSTAVA ...................................................................................80

2.3.1. Utjecajni koeficijenti.................................................................................................802.3.2 Analiza vibracija........................................................................................................81

2.4. VITLAJU!E VIBRACIJE OSOVINE BRODSKOG VIJKA ........................................................83

2.5. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE .............................................................................................85

2.6. PRIMJERI...........................................................................................................................86

Primjer 2.1.................. ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... . 86Primjer 2.2................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 88Primjer 2.3................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 92Primjer 2.4................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 94Primjer 2.5................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 95

Primjer 2.6................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 97Primjer 2.7................... ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... . 99Primjer 2.8................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................... 101Primjer 2.9................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................... 102Primjer 2.10............. ...................... ...................... ...................... ...................... ..................... ... 105

2


6/126

Sadržaj

TRE!I DIO...........................................................................................................................109

3. SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE GIBANJA IKONTINUIRANI SUSTAVI...........................................................................................109

3.1. METODA R AYLEIGHEVOG KVOCIJENTA ........................................................................109

3.1.1. Sustavi s više povezanih linearnih ! lanova.............................................................1103.1.2 Sustavi s više stupnjeva slobode gibanja .................................................................1113.1.3. Sustavi s raspodijeljenom masom i krutosti............................................................112

3.2. PRIMJERI.........................................................................................................................113

Primjer 3.1................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................... 113Primjer 3.2................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................... 114Primjer 3.3................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................... 116Primjer 3.4................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................... 117Primjer 3.5................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................... 119Primjer 3.6................... ...................... ...................... ...................... ...................... .................... 120

LITERATURA ............................................................... ...................................................... 123

3


7/126


4


8/126

Uvod

Uvod

Iako se tu ne mogu povu!i neke "vrste granice, uobi"ajeno je vibracije definirati kaotakav oblik vremenske promjene neke fizikalne veli"ine, kod koje !e ova barem jednomdoživjeti uspon i pad svoje vrijednosti i ne!e se u promatranom vremenskom intervalumijenjati monotono. Vibracijske veli"ine mogu biti translatorni i kutni pomaci, sile, elektri"ninapon, jakost magnetskog polja ili druge fizikalne veli"ine, koje su na opisan na"in vremenski

promjenjive. Naj"eš!i i najprepoznatljiviji prikaz vibracijske veli"ine je u ovisnosti ovremenu, , tj. prikaz u vremenskom podru" ju. Osim ovog postoje još i drugi na"ini

prikazivanja, kao npr. u frekvencijskom podru" ju.

)(t f f =

Da bi se vibracije mogle jednostavnije matemati"ki opisati, potrebno ih je podijeliti uodre#ene skupine. U tu svrhu postoje, ovisno o izabranom kriteriju, razli"ita na"ela podjele.Pritom je važno ista!i, da se podjela vibracijskih sustava prije svega odnosi na modele stvarnihsustava. Prijelaz od stvarnog sustava na vibracijski model, tzv. modeliranje, od temeljne je

važnosti za rješenje ovog tehni"kog problema. Razvoj matemati

"kog modela definiran jesloženoš!u problema, izborom metode rješavanja i upotrebljivoš!u dobivenih rezultata. Stoga

je nužno s jedne strane, da vibracijski model bude što jednostavniji, a s druge strane, da se pomo!u njega mogu dobiti rezultati zadovoljavaju!e to"nosti.

U inženjerskoj praksi tri su vrste podjele vibracija i vibracijskih sustava uobi"ajene: prema broju stupnjeva slobode gibanja, prema karakteru diferencijalnih jednadžbi i premana"inu postanka vibracija.

Pod pojmom broja stupnjeva slobode gibanja podrazumijeva se broj nezavisnihkoordinata koje su potrebne za cjelovit opis gibanja vibracijskog sustava. Prema njemurazlikuju se sustavi s kona"nim i beskona"nim brojem stupnjeva slobode gibanja. Mehani"kisustavi s kona"nim brojem stupnjeva slobode gibanja sastoje se od kona"nog broja krutihmasa me#usobno povezanih s elasti"nim elementima bez mase. Tu se isti"u sustavi s jednimstupnjem slobode gibanja i to zato jer su najjednostavniji, te se pomo!u njih mnoge zna"ajke

vibracija mogu objasniti na najjednostavniji i najpregledniji na"in, i jer se nerijetko stvarnivibracijski sustavi mogu svesti na model s jednim stupnjem slobode gibanja. Mehani"ki

sustavi s kontinuirano raspodijeljenom masom jesu sustavi s beskona"nim brojem stupnjevaslobode gibanja. Naj"eš!i inženjerski primjeri ovakvih sustava su štapovi, grede, užad, okvirninosa"i, plo"e i ljuske.

Prema karakteru diferencijalnih jednadžbi koje opisuju vibracije (i propisuju metodurješavanja problema), razlikuju se linearni i nelinearni sustavi vibriranja. Iako se u stvarnosti

pojava vibracija može opisati samo pomo!u nelinearnih jednadžbi, uz odre#ene pretpostavkemogu!e je ove jednadžbe linearizirati. Sustavi koji se mogu svesti na linearne jednadžbe,ozna"avaju se kao linearni. Rješenje linearnih diferencijalnih jednadžbi bitno je jednostavnijeod rješenja nelinearnih jednadžbi. Glavna prednost se sastoji u tome, da se ukupno rješenjemože jednostavnom superpozicijom sastaviti iz niza partikularnih rješenja. S druge strane,analiza nelinearnih sustava, uz rijetke izuzetke, mogu!a je jedino primjenom približnih ili

numeri"kih metoda.Obzirom na uzrok nastanka vibracija, postoji podjela na slobodne i prisilne vibracije.

Ukoliko se neki vibracijski sustav u trenutku izvana pobudi na vibriranje i nakon toga

prepusti vibriranju s prirodnom frekvencijom nakon iztitravanja po"etne uzbude, tada segovori o slobodnim vibracijama tog sustava. Iste se matemati"ki opisuju pomo!u homogenihdiferencijalnih jednadžbi. Slobodne vibracije mogu biti bez i s prigušenjem, ovisno o tome da

0t t =

5


9/126


li !e tijekom vibriranja do!i do rasipanja energije vibriranja ili ne. U pravilu je zanemarenje prigušenja pretpostavka koja dovodi do pojednostavljenja matemati"kog modela. U slu"aju prisilnih vibracija, sustav vibrira s frekvencijom koja mu je izvana nametnuta, s tzv.frekvencijom uzbude. Matemati"ki se opisuju pomo!u nehomogenih diferencijalnih jednadžbi,

pri "emu vanjska uzbuda, tj. funkcija smetnje, može biti deterministi"ka ili stohasti"ka

funkcija vremena. U prvom slu"aju razlikujemo harmonijske, periodske i neperiodskevibracije, a u drugom slu"aju radi se o slu"ajnim vibracijama.Ovaj udžbenik je vezan uz predmet Teorija konstrukcija što ga autor predaje na III

godini studija brodogradnje u Zagrebu, odnosno za dio predmeta koji obuhva!a dinami"kuanalizu elemenata konstrukcije. Zamišljen je kao nastavak predmeta Mehanika III (II godinastudija) i kao priprema za predmet Vibracije broda (IV godina studija). Naime, dok se ukolegiju Mehanika III predaju samo najelementarnije osnove teorije vibracija na razini sustavas jednim stupnjem slobode gibanja i neposredne harmonijske uzbude, dotle se u kolegijuVibracije broda predaju vibracije složenih kontinuiranih sustava s beskona"no mnogostupnjeva slobode gibanja i s raznim tipovima uzbude, od harmonijske, periodske do impulsnei neperiodske, O"igledno je, da izme#u ova dva kolegija postoji prostor koji je trebalo

premostiti i popuniti upravo sadržajem ovog udžbenika.U ovoj knjizi razmatrane su isklju"ivo linearne i deterministi"ke vibracije diskretnih

sustava (koncentrirane mase). Kontinuirani sustavi zastupljeni su samo prikazom približnog postupka za odre#ivanje njihove najniže prirodne frevencije.Sa željom da se knjiga didakti"ki što više približi onima kojima je i namijenjena,

studentima i mladim injženjerima koji tek zapo"inju svoj stru"ni uzlet, u Prvom dijelu težišteanalize je stavljeno na analizu sustava s jednim stupnjem slobode gibanja, ali za sve mogu!evrste sila uzbude.

Prvo je prikazana analiza harmonijskih vibracija. Objašnjeni su svi osnovni pojmoviharmonijskog gibanja, opisane su slobodne vibracije bez i sa prigušenjem, te su analizirane

prisilne vibracije za nekoliko vrsti harmonijskih sila uzbuda koje se naj"eš!e javljaju ustrojarskoj praksi. Uveden je pojam kompleksne frekvencijske funkcije odziva H (λ ) kao uvodu op!u analizu odziva kod dinami"kih procesa. Opisan je princip rada instrumenata zamjerenje vibracija.

Nadalje, za slu"aj periodske sile uzbude prikazana je mogu!nost izražavanja iste u

obliku reda svojih harmonijskih komponenti, te odre#ivanje odziva kao superpozicijeharmonijskih komponenti odziva. Opisana je harmonijska analiza izmjerenih periodskihvibracija (ne poznavaju!i njihov izvor, tj. periodsku silu uzbude), uvedeni su pojmoviharmonika vibriranja i frekvencijskog spektra.

Zatim su opisane vibracije uslijed djelovanja impulsne sile uzbude. Dane su osnovnezna"ajke ovog tipa uzbude, te je istaknuta ovisnost na"ina vibriranja o odnosu izme#uvremena trajanja impulsa i perioda vibriraju!eg sustava. Prikazan je približan postupakodre#ivanja odziva u slu"aju kratkotrajnog djelovanja impulsne sile.

Kona"no je u Prvom dijelu razmotren slu"aj vibracija uslijed neperiodske sile uzbude.Prikazan je postupak analize neperiodskih vibracija u vremenskom i frekvencijskom podru" ju.U prvom slu"aju je neperiodska sila uzbude prikazana kao beskona"an niz diferencijalnihimpulsa, te je vremenska funkcija odre#ena integriranjem diferencijalnih impulsnih odziva. Udrugom slu"aju je primijenjen princip superpozicije sile uzbude kao i u slu"aju periodske sile

uzbude. Me#utim, zbog neperiodi"nosti sile uzbude (period je beskona"an) prelazi se odFourierovog reda na Fourierov integral, iz "ega proisti"e tzv. par Fourierove transformacijekoji predstavlja osnovu tehnike poznate pod nazivom brza analiza Fourierove transformacije.

U Drugom dijelu knjige prikazana je analiza slobodnih i prisilnih harmonijskihvibracija sustava s dva stupnja slobode gibanja. Uvedeni su pojmovi (vlastite vrijednosti i

6


10/126

Uvod

oblici) i metode prora"una (metode superpozicije prirodnih oblika vibriranja) koji se redovitokoriste i kod analize vibracija kontinuiranih sustava. Posebna je važnost dana analizi vibracijafleksijskih sustava kao uvod u analizu vibracija grede. Kao alternativa primjene uvjetadinami"ke ravnoteže za postavljanje diferencijalnih jednadžbi gibanja sustava, prikazana jemetoda postavljanja Lagrangeovih jednadžbi.

Tre"i dio knjige posve!en je približnom odre#ivanju prve (osnovne) prirodnefrekvencije sustava s mnogo stupnjeva slobode gibanja kao i kontinuiranih sustava. U tu svrhu je prikazana metoda Rayleighevog kvocijenta.

$itava knjiga je koncipirana na na"in da je za svaku temu prvo razvijena i razra#enateorijska osnova, a nakon toga slijede pomno odabrani i teorijskoj osnovi prilago#eni riješeninumeri"ki primjeri. Tu bih želio posebno istaknuti pomo! i suradnju mog višegodišnjegsuradnika gospodina Maria Šimunca, bivšeg studenta našeg Fakulteta i inženjera

brodogradnje, koji je prilikom obrade rukopisa knjige na elektroni"kom ra"unalu pomno pro"itao "itav tekst, a posebno numeri"ke primjere, te pravodobno upozorio na propuste igreške. Na kraju knjige se nalazi pregled literature koja je ili neposredno poslužila za pisanjeiste ili se preporu"a njenim korisnicima koji imaju želje da se intenzivnije uhvate u koštac steorijom vibracija. Pošto smo ve! kod završnih rije"i ovog uvoda, želio bih se ujedno zahvalitii recenzentima knjige, gospodi prof. dr. sc. Ivi Senjanovi!u, prof. dr. sc. Milenku Stegi!u i

prof. dr. sc. Željanu Lozini na mnogim korisnim upozorenjima i sugestijama koje su doveletekst u spremnost za tiskanje.

Autor

7


11/126


8


12/126

Popis oznaka

Popis oznaka

PRVI DIO – Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja

c - koeficijent prigušenja viskozno – prigušnog elementa, Ns

m

ckr - koeficijent kriti"nog prigušenja, Ns

m

- sila uzbude, N

F

F t bg

H λ b

H λ n

0 - amplituda harmonijske sile uzbude, N F an, F bn - koeficijent periodske sile uzbude razvijene u Fourierov red, N F PR - sila prenesena na podlogu, N f - frekvencija periodskih vibracija, Hz

- kompleksna frekvencijska funkcija odziva uslijed harmonijske sile

uzbude- kompleksna frekvencijska funkcija uslijed n-tog harmonika periodske

sile uzbude PR - faktor prenosivosti vibracija

k - krutost elasti"nog elementa,

g

b g

N

m

m - masa, kgt - vrijeme, st - vrijeme djelovanja impulsne sile uzbude, s1~t - vrijeme vibriranja nakon prestanka djelovanja impulsne sile uzbude, sT - period harmonijskih vibracija, sT F x t bg! x t bg

- period periodske sile uzbude, s- vibracijski pomak, m

- brzina vibracija,m

- ubrzanje vibracija,s

!! x t bg m2 - vibracijski pomak nakon prestanka djelovanja impulsne sile uzbude,

m X - amplituda harmonijskih vibracija, m

s

x t ~ch

X - kompleksna amplituda harmonijskih vibracija prikazanih ukompleksnom obliku

X k - amplituda k-tog harmonika periodskih vibracija z t bg - fazor harmonijskih vibracija prikazanih u kompleksnoj ravnini, mα - faktor dinami"nosti kod djelovanja neposredne harmonijske sile

uzbudeα cf - faktor dinami"nosti kod djelovanja centrifugalne uzbudeα x - faktor dinami"nosti apsolutnog gibanja kod djelovanja uzbude

podlogeα r - faktor dinami"nosti relativnog gibanja kod djelovanja uzbude

podloge

9


13/126


β λ

ω = - omjer frekvencije uzbude i prirodne frekvencije

δ - logaritamski dekrementε - kut faznog pomaka vibracijskog pomaka prema sili uzbude, radϕ - nulti fazni kut kod harmonijskih vibracija, rad

λ - frekvencija harmonijske sile uzbude =HG IK J2π T

, Hz

λ 1 - frekvencija periodske sile uzbude =HG , Hzλ

IK J

2π

T F

n - frekvencija n-tog harmonika periodske sile uzbude b g, Hzω - kružna frekvencija harmonijskog gibanja,

= nλ 1rad

s

ω k - kružna frekvencija k-tog harmonika periodskih vibracija,rad

s

ω pr - kružna frekvencija periodskih vibracija,rad

s

- fazni kut kod harmonijskih vibracija, rad

ξ - bezdimenzijski koeficijent prigušenja

ψ t bg

10


14/126

Popis oznaka

DRUGI DIO – Sustavi s dva stupnja slobode gibanja

D - dinami"ka matrica

k 1, k 2 - krutosti elasti"nih elemenata vibracijskog sustava,

N

m

K 1, K 2 - poop!ene krutosti, N

m

k - matrica krutosti

m1, m2 - mase vibracijskog sustava, kgM1, M2 - poop!ene mase, kgm

P Ωbq t bg

,

U q

V q

!! , x

- matrica masa

- frekvencijska jednadžba

- poop!ene koordinate, m

Q

g,

2

"

x1 2

q t 2bg

q, , n"b q, , nb g

1

Q

1

1

!!

1 -

g

amplitude poop!enih koordinata, m

- kineti"ka energija vibracijskog sustava, Nm- potencijalna energija vibracijskog sustava, Nm

x1, x2 - mase vibracijskog sustava, m

- ubrzanja vibracijskog sustava,m

s2

X 1, X 2 - amplitude vibriranja vibracijskog sustava, m

α ij - utjecajni koeficijenti,m

N

- prirodni oblici vibriranja vibracijskog sustava

ω

Φ Φl 21l q q,1, ω 2 - prirodne kružne frekvencije vibracijskog sustava,

rad

s

Ω1, Ω2 - prirodne vrijednosti vibracijskog sustava,radsHG K J

2

11


15/126


TRE!I DIO – Sustavi s s više stupnjeva slobode gibanja i kontinuirani sustavi

EA - osna krutost štapa, N EI - krutost na savijanje grede, Nm2

E k - kineti"ka energija, Nm E p - potencijalna energija, NmGI p - krutost na uvijanje vratila, Nm

2 U - ukupna energija konzervativnog vibracijskog sustava, NmW i - amplitude pretpostavljenog osnovnog oblika vibriranja kod

fleksijskih vibracija, m- funkcija pretpostavljenog osnovnog oblika vibriranja kod

kontinuiranih sustava

ϕ xbg

12


16/126

1. Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja

PRVI DIO


Sustavi s jednim stupnjem slobode gibanja vrlo su pogodni, da se na jednostavan na"in prikažu i opišu vibracije uslijed najjednostavnijeg do najsloženijeg oblika optere!enja. Takavsustav shematski je prikazan na slici 1.1.

F (t )

m

x(t )

k

c

Slika 1.1. Sustav s jednim stupnjem slobode gibanja

Njegove osnovne sastavnice su masa m, elasti"ni element krutosti k i viskozno – prigušni element s prigušenjem c. Masa je optere!ena vremenski promjenjivom uzbudnomsilom F(t).

Jednadžba gibanja sustava na slici 1.1. glasi

(1.1)mx cx kx F t !! !+ + = bggdje su redom: mx !! - inercijska sila, cx ! - sila prigušenja i kx – povratna (elasti"na sila).

1.1. Slobodne vibracije

U slu"aju kada je u jednadžbi (1.1) sila govorimo o slobodnim vibracijama.Ovisno o tome da li je koeficijent prigušenja c jednak ili razli"it od nule, razlikujemo slobodnevibracije bez ili s prigušenjem.

F t bg= 0

1.1.1 Slobodne vibracije bez prigušenja

U slu"aju slobodnih vibracija bez prigušenja jednadžba (1.1) glasi

mx kx!! + = 0 (1.2)

Definiranjem prirodne kružne frekvencije

ω 2 = k

m

(1.3)

jednadžba (1.2) poprima oblik

(1.4)!! x x+ =ω 2 0

13


17/126


Jednadžba (1.4) je linearna diferencijalna jednadžba 2. reda sa sljede!im op!im rješenjem

odnosno x t A t B t

x t X t X A B B

A

bgbg b g

= +

= + = + =

sin cos

sin

ω ω

ω ϕ ϕ , , arctg2 2 (1.5)

gdje su A i B konstante integracije, koje se odre#uju iz zadanih uvjeta i . Stoga

rješenje (1.5) poprima kona"an oblik

x 0bg ! x 0bg

x t x

t x t bg bg bg= +! sin cos0 0ω

ω ω (1.6)

Funkcija (1.6) opisuje harmonijske vibracije sustava na slici 1.1 s prirodnomfrekvencijom i u"inkom koji je induciran s po"etnim uvjetima. U realnim vibracijskimsustavima s prigušenjem, gibanje (1.6) je prolaznog karaktera, jer !e prigušenje prouzro"itinjegovo is"ezavanje. Stoga se vibracije opisane funkcijom (1.6) "esto nazivaju prolaznevibracije.

1.1.2. Harmonijsko gibanje i njegove osnovne zna! ajke

Osnovni na"in opisa harmonijskog gibanja u vremenskom podru" ju glasi

(1.7) x t X t X t bg b g bg= + =sin sinω ϕ ψ U izrazu (1.7) X je amplituda, – fazni kut kao linearna funkcija vremena, ϕ – nulti

fazni kut (za

tψ bgt 0= ) i ω - kružna frekvencija.

Nakon isteka vremena T i njegovih višekratnika nT gibanje se ponavlja,

x t nT x t n+ = =b g bg 1 2, ,"∞ Vrijeme T naziva se period harmonijskog gibanja i ono je povezano s frekvencijom ω na na"in

T =2π

ω

Recipro"na vrijednost perioda T naziva se frekvencija f harmonijskog gibanja,

f T

=1

14


18/126


Na slici 1.2 prikazano je harmonijsko gibanje x (t ) s navedenim zna"ajkama.

x(t )

X

t 0

Slika 1.2. Prikaz harmonijskog gibanja u vremenskom podru" ju

ω

π 2=T

ω

ϕ ϕ =t

Osim u obliku izraza (1.7) postoji i drugi na"in opisa harmonijskih gibanja uvremenskom podru" ju koji glasi

(1.8) x t C t C t bg= +1 2cos sinω ω Izme#u parametara u izrazima (1.7) i (1.8) postoji sljede!a veza

X C C = +12

22 , ϕ = arctg

C

C

1

2

Harmonijsko gibanje se može, osim realnom obliku (1.7) ili (1.8), prikazati i ukompleksnom obliku. Pritom je funkcija imaginarni dio fazora

u x t bg z t bgkoji rotira kutnom

brzinom ω u kompleksnoj ravnini,

z t X e X t i t X ei t i t bg b g b gb g= ⋅ = + + + = ⋅+ω ϕ ω ω ϕ ω ϕ cos sin (1.9)

x t X t z t bg b g bgc= + =sin ω ϕ Im h (1.10)Veli"ina X naziva se kompleksnom amplitudom

X X e X X t X z i= ⋅ = = =ϕ , , za 0 0bg

15


19/126


Fazor z t bgsa svojim zna"ajkama prikazan je na slici 1.3.

ω t

ϕ C

1

C 2

x (t )

Im ( z )

z (t )

Re ( z )

X

Slika 1.3. Harmonijsko gibanje u kompleksnom obliku

Superpozicija dviju harmonijskih gibanja razli"itih amplituda i nultih faznih pomaka, aliiste frekvencije daje kao rezultantu opet harmonijsko gibanje iste frekvencije kao i

harmonijske komponente. Dakle,

x t X t X t X t bg b g b g b g= + = + + +sin sin sinω ϕ ω ϕ ω ϕ 1 1 2 2 Pritom vrijedi

X X X X X

X X

X X

= + + +

= +

+

12

22

1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2 cos

sin sin

cos cos

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

b garctg

(1.11)

U kompleksnom obliku ta superpozicija ima sljede!i izgled

z X X e Xei t i t = + =1 2d iω ω

i prikazana je na slici 1.4.

ϕ 2

Im ( z )

Re ( z )

X

X 2

X 1

ϕ 1

ϕ

Slika 1.4. Superpozicija dvaju harmonijskih gibanja iste frekvencije

16


20/126


U slu"aju kada je ϕ ϕ1 = 2 , tada se komponente vibracija nazivaju sinkronim

vibracijama, a amplituda njihove rezultante iznosi . X X X = +1 2

1.1.3. Slobodne vibracije s prigušenjem

U slu"aju slobodnih vibracija s prigušenjem razmatrati !e se samo viskozno prigušenje, gdje jeviskozna sila prigušenja razmjerna brzini,

F cx= ! c - koeficijent prigušenja

te stoga jednadžba (1.1) poprima oblik

mx cx kx!! !+ + = 0 (1.12)

Rješenje ove homogene diferencijalne jednadžbe u op!em obliku glasi

x e Ae Bet i t i t

= +H I

K − − − −ξω ξ ω ξ ω 1 12 2 (1.13)

Veli"ina ξ naziva se bezdimenzijski koeficijent prigušenja i predstavlja omjer stvarnog ikriti"nog prigušenja

ξ = c

ckr (1.14)

gdje je koeficijent kriti"nog prigušenja

c km mkr = =2 2 ω (1.15)

Na"in gibanja opisan jednadžbom (1.13) ovisi o iznosu veli"ine ξ . Tu se razlikuju tri slu"aja.

1) Vibracije s podkriti#nim prigušenjem

b gξ < 1

Rješenje jednadžbe (1.12) glasi

x e C t C t t = − +−ξω ξ ω ξ ω 0 12

221 1sin cose − j (1.16)

i ono opisuje vibracije s podkriti"nim prigušenjem prema slici 1.5.

17


21/126


t

x

Slika 1.5. Vibracije s podkriti"nim prigušenjem

Usporedbom rješenja (1.16) i (1.5) (za neprigušene vibracije) uo"ljiva je kružnafrekvencija prigušenih vibracija u obliku

ω ω ξ pr = −12 (1.17)

2) Vibracije s nadkriti#nim prigušenjem b gξ > 1 Rješenje jednadžbe (1.12) sada glasi

x Ae Bet t

= +− + −

FH

IK − − −

FH

IK ξ ξ ω ξ ξ ω

2 21 1

(1.18)

Ovo gibanje je grafi"ki prikazano na slici 1.6. i ono nema oscilatorni karakter.

t

x

Slika 1.6. Vibracije s nadkriti"nim prigušenjem

18


22/126


3) Vibracije s kriti#nim prigušenjem b gξ = 1Rješenje jednadžbe (1.12) glasi

(1.19) x C e C tet = +−1 2ω t −ω

i ono je definirano iznosom konstanti C 1 i C 2 koje ovise o po"etnim uvjetima i .

Na slici 1.7 prikazana su tri oblika odziva s istim po"etnim pomakom i s razli"itim

vrijednostima po"etne brzine .

x 0bg ! x 0bg x 0bg

! x 0bg

t

x

Slika 1.7. Vibracije s kriti"nim prigušenjem

Prikladan na"in ocjene prigušenja u nekom sustavu je intenzitet smanjenja slobodnihvibracija. Što je ja"e prigušenje, to !e intenzitet smanjenja vibriranja biti ve!i. U tu svrhuuvodi se pojam logaritamski dekrement, koji se definira kao prirodni logaritam omjera dviju

uzastopnih amplituda, kako slijedi

δ πξ

ξ = =

−ln

x

x

1

22

2

1 (1.20)

19


23/126


1.1.4 Primjeri

PRIMJER 1.1

Zadane su harmonijske vibracije s amplitudom vibriranja X i periodom T . Odrediti

amplitudu brzine i ubrzanja vibracija.Zadano: X T = =0 002 0 15, ,m, s

Vremenska funkcija harmonijskih vibracija glasi

x t X t bg b g= +sin ω ϕ U tom slu"aju su brzina i ubrzanje

! cos ! cos

!! sin

x t X t X t

x t X t

bg b g b gbg b g

= + =

= − +

ω ω ϕ ω ϕ

ω ω ϕ 2

+

Amplituda brzine vibracija,

! , X X X T

= = =ω π 2

0 084ms

Amplituda ubrzanja vibracija,

!! , X X X T

= = HGIK J =ω

π 22

2351

m

s2

PRIMJER 1.2

Mjerenjem je ustanovljeno da neka konstrukcija vibrira harmonijski s frekvencijom f i smaksimalnim ubrzanjem !! X . Odrediti amplitudu vibriranja.

Zadano: f X = = =82 50Hz, g , g 9,81 ms2

!!

Obzirom da je

!! X X X f = = ⋅ω π 22

2b g proizlazi da je amplituda vibriranja

X X

f = =

!!,

20 0018

2π b g

m

20


24/126


PRIMJER 1.3

Harmonijske vibracije imaju frekvenciju f i amplitudu brzine ! X .Odrediti amplitudu i period vibriranja te amplitudu ubrzanja.

Zadano: f X = =10 4 57Hz, ms

! ,

Obzirom da je

! X X X f = = ⋅ω π 2

proizlazi da je amplituda vibriranja

X X

f = =

!,

20 073

π m

a period vibriranja

T f

= =1 0 1, s

Amplituda ubrzanja vibracija glasi

!! X X f = ⋅ =2 2872

π b g ms2

PRIMJER 1.4

Na slici 1.8 prikazane su harmonijske vibracije u vremenskom podru" ju. Odrediti:a) amplitudu, nulti fazni pomak vibriranja i kružnu frekvenciju vibriranja iz

formule (1.1) b) konstante C 1 i C 2 iz formule (1.8)c) sliku vibriranja u kompleksnoj ravnini

x(t )

X = 0,002 m

t

0,02 s 0,1 s

Slika 1.8. Primjer 1.4

21


25/126


a) Iz slike je vidljivo da je- amplituda vibriranja- period vibriranja

- nulti vremenski fazni pomak

X = 0 002,= ⋅ =2 0 1 0 2, ,

m sT

t T = − =0 02 0 13, ,ϕ 3

4 sIz toga slijedi da je

- kružna frekvencija ω π

= =2

3142T

, s-1

- nulti fazni kut ϕ ω ϕ = ⋅ = 4 08, ra = 2d °34t

b) Konstante C 1 i C 2 iznoseC X

C X

1

2

0 0016

0 0012

= = −

= = −

sin ,

cos ,

ϕ

ϕ

m

m

c) Prikaz vibracija iz slike 1.5 u kompleksnoj ravnini dan je na slici 1.9.

ϕ = 234°

C 1

C 2

Im ( z )

Re ( z )

X

X


22


26/126


PRIMJER 1.5

Odrediti prirodnu frekvenciju sustava s masom M na kraju konzole, krutosti na savijanje EI i zanemarive mase, prema slici 1.10.

Zadano: M l EI , ,

l , EI

x

M


Sustav na slici 1.10 može se zamijeniti ekvivalentnim sustavom opisanim jednadžbom(1.2), s time, da je potrebno odrediti krutost k sustava. Ona se odre#uje na osnovi izraza za

progib w na kraju konzole uslijed djelovanja sile F na istom mjestu:

w Fl

EI

F

k = =

3

3 što daje k

EI

l =

33

Prirodna frekvencija glasi : f k

m

EI

Ml = =

1

2

1

2

33π π

PRIMJER 1.6

Disk polarnog momenta inercije mase J ovješen je na "eli"nom vratilu promjera d popre"nog presjeka i duljine l prema slici 1.11. Ako se disku narine po"etni kutni pomak i pusti da slobodno oscilira, isti u"ini 15 oscilacija u vremenu 30 s. Odrediti promjer vratila.

Zadano: J l G= = = ⋅1 1 0 8 108 kgm m,kNm

22

, ,

ϑ

l , GI p


23


27/126


Primjenom uvjeta dinami"ke ravnoteže proizlazi momentna jednadžba

J k !!ϑ ϑ + = 0

Ova jednadžba je analogna jednadžbi (1.2), tako da se za prirodnu frekvenciju može pisati

f k J

= 12π

što daje izraz za krutost k ,

k J f = 22

π b g

gdje je f = =15

300 5, Hz

Krutost na uvijanje na kraju vratila glasi

k GI

l

p=

gdje je I d

p =4

32

π polarni moment tromosti kružnog presjeka vratila.

Izjedna"avanjem gornja dva izraza za k slijedi formula za promjer vratila

d lJf

G= =

1280 0059

2

4 π

, m

PRIMJER 1.7

Teret mase m visi na nepomi"noj koloturi momenta inercije mase J obzirom na osrotacije, koja je posredstvom opruge krutosti k vezana za zid prema slici 1.12. Odrediti

prirodnu frekvenciju prikazanog sustava.

Zadano: r r k m J 1 2, , , ,

m

r 1

r 2

J

k


24


28/126


Ako se sustavu dade pomak x 1 prema slici 1.13, tada se primjenom uvjeta dinami"keravnoteže može odrediti potrebna diferencijalna jednadžba gibanja.

S 2

S 2

kx2

m

S 1

x1,

S 1

ϕ , ϕ

x1


Teret:

Kolotura:

− =S mx1 1!!

S r S r 1 1 2 2− J = !!ϕ

Opruga:

Kinematski odnosi:

S kx2 2=

x r 1 1 x= = r x r 1 1 2 2=ϕ ϕ ϕ , ,!!!!

Objedinjavanjem gornjih jednadžbi i kinematskih odnosa slijedi

J mr kr + +12

22 0d i!!ϕ ϕ =

te je prirodna frekvencija sustava

f kr

J mr =

+

1

222

12π

25


29/126


PRIMJER 1.8

Za vibriraju!i sustav prema slici 1.14a odrediti njegovu ekvivalentnu krutost.

Zadano: k k k 1 2, , 3

mm

k 1

k 2

k 3

x1

x2, x2 m

k 3( x

2- x

1)

k 2 x

1k

1 x

1 x

2>x

1

a) b) c)

x2


Ekvivalentna krutost zadanog sustava može se odrediti, ako se postavi diferencijalna jednadžba gibanja u obliku (1.4). U tu svrhu se sustavu dadu pomaci x 1 i x 2 prema slici 1.14b,te se prema slici 1.14c postave odgovaraju!e jednadžbe dinami"ke ravnoteže sila

mx k x x

k x x k k x

!!2 3 2 1

3 2 1 1 2 1

0+ − =

− = +

b g

b gb g

Odatle slijedi,

mxk k k

k k k x!!2

1 2 3

1 2 32 0+

+

+ +=

b g

te ekvivalentna krutost sustava iznosi k k k k

k k k ekv =

+

+ +

1 2 3

1 2 3

b g

26


30/126


PRIMJER 1.9

Odrediti ekvivalentnu krutost torzijskih vibracija osovinskog voda prema slici 1.15a, teizra"unati njegovu prirodnu kružnu frekvenciju.

Zadano: (moment inercije mase zamašnjaka obzirom na os rotacije)k k J 1 2, ,

J

k 1 k

2k

2

ψ 1 ψ 2, ψ 2

ψ 2 J k 2ψ 2

k 2(ψ

2-ψ

1)k

1ψ

1

a) b)


Zadani problem se rješava postavljanjem diferencijalne jednadžbe torzijskih vibracija.Prema slici 1.15b proizlazi

J k k

k k

!!ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

2 2 2 2 2 1

2 2 1 1 1

0

0

+ + − =

− − =

b gb g

što daje

ψ ψ 12

1 22=

+

k

k k

te diferencijalna jednadžba glasi

J k k k

k k !!ψ ψ 2

1 2 22

1 22

20+

+

+=

Ekvivalentna krutost, k k k k

k k ef =

+

+

2 1 2 2

1 2

b g

Prirodna kružna frekvencija, ω =+

+

2 1 2 2

1 2

k k k

J k k b gb g

27


31/126


PRIMJER 1.10

Odrediti period T njihanja broda, ako je poznata njegova metacentarska visina h, težina broda G i moment inercije J mase broda s obzirom na os njihanja prema slici 1.16a.

GU =G

TG

Mh

ϕ , ϕ

ϕ J

M G

a) b)


Vibracijske zna"ajke njihanja broda ovise o položaju metacentra M u odnosu na težištemase broda TG . Metacentar M leži u sjecištu pravca djelovanja uzgona U i osi simetrije

broda. Njegov položaj je odre#en udaljenoš!u h od težišta mase broda, koja se nazivametacentarska visina, vidi sliku 1.16a.

Nagibanjem broda za kut ϕ , uzgon U i težina broda G stvaraju povratni moment M G

prema slici 1.16b. Diferencijalna jednadžba njihanja broda glasi

J M !!ϕ + =G 0

gdje je

M GhG = sinϕ

Za male vrijednosti ϕ vrijedi sin ϕ ϕ≈ , te se dobiva

J Gh!!ϕ ϕ + = 0

Prirodna frekvencija njihanja, f Gh

J =

1

2π

Period njihanja, T f

J Gh

= =1 2π

28


32/126


PRIMJER 1.11

Za vibriraju!i sustav mase m, krutosti k i viskoznog prigušenja c odrediti logaritamskidekrement i omjer dviju uzastopnih amplituda.

Zadano: m k c= = =5 6000 24kg, N

m

Ns

m,

Prirodna frekvencija neprigušenih vibracija sustava iznosi

ω = = =k

m

6000

534 64,

rad

s

Koeficijent kriti"nog prigušenja prema izrazu (1.15) iznosi

c mkr = = ⋅ ⋅ =2 2 5 34 64 346 4ω , , Ns

m

Bezdimenzijski faktor prigušenja prema izrazu (1.14) iznosi

ξ = = =

c

ckr

24

346 4 0 069, ,

Logaritamski dekrement prema izrazu (1.20) iznosi

δ πξ

ξ

π =

−=

⋅

−=

2

1

2 0 069

1 0 0690 435

2 2

,

,,

Omjer bilo kojih dviju uzastopnih amplituda iznosi

x

xe e1

2

0 435 1545= = =δ , ,

PRIMJER 1.12

Za vibriraju!i sustav prikazan na slici 1.17a odrediti frekvenciju prigušenih vibracija ikoeficijent kriti"nog prigušenja. Pretpostaviti krutu gredu zanemarive mase.

Zadano: a, b, m, k , c

a

b

m

k c

O O

kx1

x, x x,

xc

mx

a) b)

x1


29


33/126


Ako se sustavu dadu pomaci x i x 1 prema slici 1.17b, tada se potrebna diferencijalna jednadžba gibanja dobiva iz uvjeta dinami"ke ravnoteže s obzirom na zglob O,

mxa cxa kx b!! !+ + =1 0

gdje je x

b

a x1 = Prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija slijedi iz jednadžbe

!! x b

a

k

m x+ =

2

20 , ω =

b

a

k

m

Koeficijent kriti"nog prigušenja ckr slijedi iz izraza (1.15)

c m b

akmkr = =2 2ω

Bezdimenzijski faktor prigušenjaξ

prema izrazu (1.14) glasi

ξ = =c

c

ca

b kmkr 2

Frekvencija prigušenih vibracijaω pr prema izrazu (1.17) proizlazi

ω ω ξ

ω

pr

pr

b

a

k

m

c a

b km

k

m

b

a

c

m

= − = −

= F

HGIK J −

FHG

IK J

1 1

4

2

22 2

2

2 2

1.2. Prisilne vibracije – harmonijska sila uzbude

Prisilne vibracije nastupaju uslijed djelovanja vremenski promjenjive sile uzbude i

za sustav s jednim stupnjem slobode gibanja na slici 1.1 opisane su jednadžbom 1.1. Odzivsustava se razlikuje ovisno o vremenskom karakteru sile . Ovdje !e biti analizirane

vibracije uslijed harmonijske, periodske, impulsne i neperiodske sile uzbude.

F t bg

F t bg

Harmonijska se uzbuda "esto susre!e u inženjerskoj praksi, a naj"eš!e potje"e odneuravnoteženih rotiraju!ih masa, bilo da se radi o rotiraju!im dijelovima strojeva, brodskomvijku ili sli"no. Može se iskazati u obliku neposredne sile uzbude, centrifugalne sile uzbude idinami"kog pomaka podloge.

30


34/126


1.2.1. Neposredna sila uzbude

U op!em obliku neposredna sila uzbude ima sljede!i oblik

( ) t F t F λ cos0=

gdje je F 0 – amplituda sile uzbude, a – frekvencija uzbude.Jednostavnosti radi, najprije !e se razmotriti neprigušeni sustav na slici 1.1.

a) Neprigušeni sustav (c = 0)

U tom slu"aju jednadžba (1.1) poprima oblik

t F kx xm λ cos0=+!! (1.21)

Rješenje jednadžbe (1.21) sastoji se iz homogenog i partikularnog dijela. Homogenorješenje jednako je odzivu slobodnih vibracija predstavljeno izrazom (1.6) te glasi

x t A t B t H

bg= +sin cosω ω

dok je partikularno rješenje definirano oblikom uzbudne sile, tj. može se pretpostavitiharmonijskim i u fazi sa silom ,F t bg

x t X t Pbg= cosλ gdje je X amplituda koju treba odrediti.Ako se uvrsti u jednadžbu (1.21) dobiva se x t Pbg

X F

k =

−

02

1

1 β

gdje je β λ

ω = Op!e rješenje jednadžbe (1.21) glasi

x t x t x t A t B t F

k t bg bg bg= + = + +

−H P sin cos cosω ω

β λ 0

2

1

1

Za slu"aj da je sustav zapo"eo vibrirati iz stanja mirovanja b g, slijedi da jet x x= = =0 0, , ! 00

2

10,

1

F A B

k β = = −

−

te se dobiva

( ) (0 21 cos cos1 F ) x t t k

λ ω β

= −−

t (1.22)

31


35/126


Odziv x(t) sadrži nekoliko zna"ajnih sastavnica kao što su: F

k x st

0 = - stati"ki pomak koji bi nastao pod djelovanjem amplitude sile F 0

1

1 2−=

β α - faktor dinami"nosti, koji daje u"inak dinami"kog poja"anja

harmonijske uzbudne sile,cosλ t - komponenta odziva s frekvencijom uzbude, tj. stacionaran odziv

neposredno ovisan o uzbudi,cosω t - komponenta odziva s prirodnom frekvencijom sustava koji vibrira, tj.

prolazni odziv uslijed u"inka slobodnih vibracija induciranog s po"etnim uvjetima.

b) Sustav s prigušenjem (c = 0)

U ovom slu"aju barate se s jednadžbom

t F kx xc xm λ cos0

=++ !!! (1.23)

Analogno neprigušenom sustavu i ovdje je ukupni odziv x(t) zbroj prolaznog istacionarnog dijela. Obzirom na ranije opisani u"inak prigušenja na prolazni odziv, ovdje !e sedalje razmatrati samo stacionarni odziv. U tom slu"aju partikularno rješenje jednadžbe (1.23)zbog prigušenja, jer op!enito odziv sustava s prigušenjem nije u fazi s uzbudom, ima dva"lana, tj.

x t x t A t B t bg bg= = +P sin cosλ λ

Ako se ovaj izraz uvrsti u jednadžbu (1.23), te uvo#enjem

ξβ λ

ω

λ β ξ ω ω 2 , , ,2 , =====

k

c

c

cmc

m

k

kr

kr

slijedi

( )( ) ( )

( )20 2 221

2 sin 1 cos1 2

F x t t

k t ξβ λ β λ

β ξβ ! "= + −# $

− + (1.24)

odnosno

( )ε λ −= t X x cos (1.25)

gdje je

X – amplituda odziva,

X F

k = 0 α (1.26)

32


36/126


– koeficijent dinami"nosti,

( ) ( )222 21

1

ξβ β

α

+−

= (1.27)

ε – kut faznog pomaka odziva prema uzbudi,

21

2arctg

β

ξβ ε

−= (1.28)

Veli"ine i ε kao funkcije od β i ξ prikazane su na slici 1.18.

1

α

β

β

ε

90°

180°

10

10

ξ = 0

ξ = 0π

π /2

Slika 1.18. Veli"ine i ε kod neposredne uzbudne sile

Pojedine krivulje pokazuju veliki utjecaj faktora prigušenja na amplitudu i kut faznog pomaka u podru" ju frekvencija blizu 1= β . Slu"aj kada je 1= β , tj. kada se frekvencija

uzbude i prirodna frekvencija podudaraju ( )ω λ = , naziva se rezonancijom.Za kasniju analizu odziva uslijed periodske uzbude prikladno je prikazati odziv u slu"aju

ako je harmonijska uzbuda dana u eksponencijalnom obliku,

F t F ei t bg= 0 λ Ako se ovaj izraz uvrsti u jednadžbu (1.23), stacionarni odziv poprima sljede!i oblik

(1.29) x t H F e H F t i t bg bg bgbg= =λ λ λ 0Funkcija naziva se kompleksna frekvencijska funkcija odziva i glasi H λ bg

H k i

λ β ξ

bg d=

− +

1

1 22 β i (1.30)

O njoj !e još biti govora kasnije.

33


37/126


1.2.2. Centrifugalna uzbuda

Neuravnoteženost masa rotacijskih strojeva je "est izvor uzbude vibracija. Na slici 1.19a prikazan je vibracijski sustav s jednim stupnjem slobode gibanja, koji je pobu#en na vibriranjeneuravnoteženom masom m ekscentriciteta e, koja rotira kutnom brzinom .

M

k

x

c

λ t

b)a)

eλ

m

e

F L=ma

r

ar

Slika 1.19. Centrifugalna uzbuda

Uzbudna sila je izvedena iz centrifugalne (inercijske) sile L, slika 1.19b, kako slijedi

( ) t met L F mema L r

λ λ λ

λ

coscos 2

2

==

==

Odgovaraju!a diferencijalna jednadžba gibanja sustava glasi

( t mekx xc x M λ λ cos2=++ !!! (1.31)

Ova jednadžba je po obliku identi"na jednadžbi (1.23). Stoga se njeno partikularno rješenjemože pisati u obliku

( )ε λ −= t X x cos

Pritom je:

Amplituda vibriranja,

e M

m X

X X

st

cf st

=

= α

Koeficijent dinami"nosti,

( ) ( )222

2

21 ξβ β

β α

+−

=cf (1.32)

34


38/126


Kut faznog pomaka,

21

2arctg

β

ξβ ε

−= (1.33)

Veli"ine cf i ε prikazane su u frekvencijskom podru

" ju na slici 1.20.

1

α

β

β

ε

90°

180°

10

10

π

π /2

Slika 1.20. Veli"ine α cf i ε kod centrifugalne uzbude

1.2.3. Uzbuda podloge

U mnogim slu"ajevima je dinami"ki sustav pobu#en na vibriranje gibanjem podloge, kaošto je to prikazano na slici 1.21a.

m

k

x

c

b)a)

z

m

k ( x- z ) x z c( - )

mx x> z

Slika 1.21. Uzbuda podloge

Gibanje podloge je harmonijsko s kružnom frekvencijom , tj. t Z z λ cos= , dok kod mase m razlikujemo apsolutno gibanje obzirom na nepomi"ni referentni sustav i relativno gibanje

obzirom na vibriraju!u podlogu.

( )t x

( ) ( ) ( )t z t xt r −=Diferencijalna jednadžba gibanja ovakvog sustava proizlazi iz uvjeta dinami"ke

ravnoteže sila prema slici 1.21b, kako slijedi

35


39/126


(1.34)( ) ( ) 0=−+−+ z xk z xc xm !!!!

a) Apsolutno gibanje

Ako se u jednadžbi (1.34) prebace "lanovi s lijeve na desnu stranu, proizlazi

z ckz kx xc xm !!!! +=++

Ova jednadžba se može riješiti uvo#enjem izraza za harmonijsko gibanje u kompleksnomobliku

t it i Ze z Xe x λ λ ==

te ista glasi

z i z x xi x ξβ ξβ β 222 +=++−

Rješenje ove jednadžbe ima oblik

( )

z

i

i x

ξβ β

ξβ

21

2122

+−

+=

U brojniku i nazivniku nalaze se kompleksni brojevi, koji se mogu prikazati ueksponencijalnom obliku,

( )

( ) ( )( )ε ϑ λ

ξβ β

ξβ −+

+−

+= t i Ze x

222

2

21

21

Apsolutno gibanje u realnom obliku,

( )ε ϑ λ −+= t X x cos


x Z X α =


( )

( ) ( )222

2

21

21

ξβ β

ξβ α

+−

+= x (1.35)

Kut faznog pomaka,

21

2arctg 2arctg

β

ξβ ε ξβ ϑ ϑ ε ϕ

−==−= (1.36)

Veli"ina x prikazana je dijagramom na slici 1.22. Uo"ljivo je, da je 1= xα za 2= β bezobzira na veli"inu prigušenja.

36


40/126


1

α x

β 10

Slika 1.22. Veli"ine α x i ϕ apsolutnog gibanja kod uzbude podloge

2

b) Relativno gibanjeRelativno gibanje glasi

( ) t Z t Z z xr x λ ε ϑ λ α coscos −−+=−=

U kompleksnom obliku

( )( ( ( )ε λ ε ϑ λ ε ϑ λ α α −−+ ⋅−=−= t ii xt it i x eee Z ee Z r i

Realno rješenje,

( ) ( )ε λ ε ϑ α −−= t Z r x coscoscos

Obzirom da je

( ) ( ) ( )222

2

221

1cos

21

1cos

ξβ β

β ε

ξβ ϑ

+−

−=

+

=

i koriste!i za x izraz (1.35) tada proizlazi da zakon relativnog gibanja glasi

( )ε λ −= t Rr cos


r Z R α =


( ) ( )2222

21 ξβ β

β α

+−

=r (1.37)

Za veli"ine r i ε mogu se koristiti dijagrami ovih veli"ina za centrifugalnu uzbudu koji su

prikazani na slici 1.20.

37


41/126


1.2.4. Prenosivost vibracija

Uzbudne sile inducirane radom strojeva ili ure#aja "esto je nemogu!e izbje!i, ali senjihovo djelovanje može smanjiti ugradnjom odgovaraju!ih elasti"nih elemenata, tzv.izolatora.

Naime, u op!em slu"aju se djelovanje uzbudne sile t F λ cos prenosi s vibriraju!e masena podlogu preko elasti"nog elementa i prigušiva"a. Obzirom da su ove dvije sile me#usobno pomaknute u fazi za 90°, amplituda sile prenesene na podlogu je njihova rezultanta

( ) ( ) ( )222 21 ξβ λ +=+= kX X ckX F PR

Ako se za amplitudu vibriranja X koristi izraz (1.26), tada se dobiva omjer

( )

( ) ( )222

2

0 21

21

ξβ β

ξβ

+−

+==

F

F PR PR (1.38)

Veli"ina PR naziva se faktor prenosivosti i identi"na je izrazu (1.35) za koeficijent

dinami"nosti apsolutnog gibanja. Stoga se veli

"ina PR tako

#e može prikazati kao funkcija od

β

prema dijagramu na slici 1.22. Ovaj dijagram pokazuje da je samo za slu"aj1 β . Drugim rije"ima, sila prenesena na podlogu !e biti manja od uzbudne sile (uspješna

izolacija) jedino u slu"aju kada je 2> β . U tom podru" ju sustavi s manje prigušenja daju

bolju izolaciju (manja vrijednost PR) od ja"e prigušenih sustava.

1.2.5. Princip rada instrumenata za mjerenje vibracija

Instrument za mjerenje vibracija se u osnovi sastoji od seizmi"ke jedinice prikazane naslici 1.23.

m

k x

c z

Slika 1.23. Instrument za mjerenje vibracija

Pri"vrš!en je za podlogu koja je u stvarnosti vibriraju!e tijelo (stroj, konstrukcija) "ije sevibracije žele izmjeriti. Mjerena konstrukcija vibrira frekvencijom i ima pomak z , ainstrument ima prirodnu frekvenciju ω i apsolutni pomak x . Mjerenje se provodi u

vanrezonancijskom podru" ju gdje je omjerω

λ β = bitno razli"it od 1.

38


42/126


U tom podru" ju je utjecaj prigušenja zanemariv, dakle 0=ξ , stoga je prisustvo

prigušnog elementa na slici 1.23 uvjetno. Instrumentom se mjere relativne vibracije xr −= vlastite mase u odnosu na vibracije mjerene konstrukcije. Ovisno o odnosu prirodnefrekvencije instrumenta ω prema frekvenciji mjerene konstrukcije , razlikujemo dvije vrsteinstrumenata : vibrograf i akcelerometar , vidi sliku 1.24.

1

α r

β 1 20.5

a k c e l e r o m e t a r

v i b r o g r a f

Slika 1.24. Podru" je rada mjernih instrumenata

a) Vibrograf

Ovaj instrument mjeri amplitudu vibriranja promatrane konstrukcije. Prema slici 1.24treba biti ispunjen uvjet 2> β . Uz zanemarivo prigušenje ( 0≈ )ξ , relativni koeficijent

dinami"nosti r poprima sljede!i oblik

11

1

2 −

=

β

α r

Pritom je "lan2

1

β u nazivniku zanemariv (zbog 1>> β ), te proizlazi da je 1≈r α . U tom

slu"aju se izraz za amplitudu relativnog gibanja svodi na

Z R ≈

Dakle, instrumentom registrirani pomak R je ustvari amplituda vibriranja Z promatrane

konstrukcije uz pogrešku 21

β .

39


43/126


b) Akcelerometar

Ovaj instrument mjeri akceleraciju vibriranja mjerene konstrukcije. Prema slici 1.24

mora biti ispunjen uvjet2

1


44/126


xm

F

k c

a) b)

F

l, EI l, EI

c

m


Zadani sustav se može zamijeniti ekvivalentnim sustavom s jednim stupnjem slobode prema slici 1.25b. U tom slu"aju koeficijent dinami"nosti i kut faznog pomaka ε premaizrazima (1.27) i (1.28) glase

S prigušenjem ( )0≠ξ

( ) ( )222 21

1

ξβ β

α

+−

= 21

2arctg

β

ξβ ε

−=

Bez prigušenja ( )0=ξ

21

1

β α

−= °= 0ε ( )1za β

41


45/126


Za oba slu"aja i ε su prikazani dijagramima na slici 1.26.

1

α

β

β

ε

90°

180°

10

1

ξ = 0

β

ε

90°

180°

10

1

α

β 1

ξ = 0,2

0,96

2,55

2,5

0,96

78°

ξ = 0,2

ξ = 0

a) bez prigušenja b) s prigušenjem


Osnovne zna"ajke ekvivalentnog sustava na slici 1.25b su kako slijedi:

Krutost k ,

kN9696

7 ,

3

==

EI

EI

Fl F k δ

δ

l l F

δ

m25

7 3 ==

l k

Prigušenje ξ ,

2,02==

km

cξ

42


46/126


Prirodna frekvencija ω ,

s

rad 7==

m

k ω

Najve!i koeficijent dinami

"nosti max odre

#uje se iz uvjeta minimalnog nazivnikau izrazu za ,

( ) ( ) 2222 41 β ξ β β +−= f

0= β d

df što daje 96,021 2max =−= ξ β

55,2212

12

=− ξ ξ

max =α

Amplituda vibriranja za max ,

m051,0max0maxmax === α α k F X X st

Kut faznog pomaka za β max ,

°=−=−

= 2,78211

arctg1

2arctg 2

2max

maxmax ξ

ξ β

ξβ ε

Koeficijent dinami"nosti u rezonanciji ( )1= β ,

5,22

1==

ξ rez a

Amplituda vibriranja u rezonanciji,

m05,0== rez st rez X X α

Kut faznog pomaka u rezonanciji,

°= 90ε

Uo"ljivo je da se u slu"aju neposredne uzbudne sile najve!a vrijednost koeficijentadinami"nosti nalazi nešto lijevo od rezonantnog pravca 1= β , vidi sliku 1.26b. Ova

ekscentri"nost se pove!ava s pove!anjem prigušenja (ve!i ξ ).

U stvarnosti su ova odstupanja zanemarivo mala, te se u praksi, jednostavnosti radi,operira s rezonantnim vrijednostima.

Frekvencija uzbude za X max ,

ω

λ β maxmax = s

rad 7,6maxmax == ωβ λ

Za usporedbus

rad 0,7rez == ω λ

43


47/126


PRIMJER 1.14

Teret odre#ene mase, ovješen na opruzi krutosti k , vibrira u mediju s viskoznim prigušenjem. Kod slobodnog vibriranja tereta izmjeren je period vibriranja T i omjer

vrijednosti dviju uzasopnih amplituda vibriranja

2

1

X

X . Odrediti amplitudu i kut faznog

pomaka vibriranja tereta za slu"aj neposrednog djelovanja uzbudne sile t F F λ cos0= .

Zadano:s

rad 3 N,2 ,4 s,8,1 ,

m

N 525 0

2

1 ===== λ F X

X T k

Prije svega, za zadani sustav treba odrediti neke osnovne zna"ajke vibriranja :


s

rad 5,3

2==

T

π ω

Koeficijent prigušenja ξ ,

Koristimo se izrazom (1.20) za logaritamski dekrement

22

1

1

239,1ln

ξ

πξ δ

−===

X

X

Odatle slijedi

22,04

122

=+

=π δ

δ ξ

Omjer frekvencija β ,

86,0==ω

λ β podrezonancijsko podru" je

Koeficijent dinami"nosti ,

( ) ( )17,2

21

1

222=

+−

=

ξβ β

α

Amplituda vibriranja X (prema izrazu (1.26)),

m0083,00 ==k

F X

α

Kut faznog pomaka ε (prema izrazu (1.24)),

°==−

= 5,5545,1arctg1

2arctg

2 β

ξβ ε

44


48/126


PRIMJER 1.15

Ventilator težine G postavljen je na zglobno oslonjenoj elasti"noj gredi krutosti EI beztežine. U svrhu prigušivanja vibracija ugra#en je viskozni prigušiva" koeficijenta prigušivanjaξ prema slici 1.27a.

Definirati krivulju koeficijenta dinami"nosti α ( β ) sa svim karakteristi

"nim to

"kama, teodrediti amplitudu i kut faznog pomaka vibriranja ventilatora za zadanu uzbudu.

Zadano:min

o 1440 kN,5,1 == nG (broj okretaja ventilatora),

k

Gel 1,0 m,5,4 == (ekscentricitet rotiraju!e mase),

M m10

1= (rotiraju!a masa), 2kNm3614 ,1,0 == EI ξ

F

k

a) b)

G

l, EI l, EI M

ξ ξ


Zadani sustav na slici 1.27a može se zamijeniti ekvivalentnim sustavom na slici 1.27b.

Osnovne zna"ajke tog sustava jesu:

Krutost k ,

m

kN 238

63

===l

EI F k

δ

F l l

δ


s

rad 125==

m

k ω

45


49/126


Frekvencija uzbude ,

s

rad 151

30 ==

π λ

n


22,1== ω

λ β nadrezonantno podru" je

Sada se mogu odrediti karakteristi"ne to"ke na krivulji α ( β ). To su radna to"ka( 22,1= ) β , rezonantna to"ka ( 1= ) β i to"ka maksimuma ( )max β . Krivulja α ( β ) matemati"ki

je opisana izrazom (1.32),

( ) ( ) 222

222

2

21

1

1

21%%

&

'(()

* +%

%

&

'

((

)

* −

=

+−

=

β

ξ

β

ξβ β

β α

Radna to"ka ( )22,1= β ,

75,2=rad α

Rezonantna to"ka ( )1= β ,

52

1==

ξ α rez

To"ka maksimuma definirana je s odgovaraju!om vrijednosti β max koja se dobiva iz uvjeta

minimalnog nazivnika u izrazu za ,

( )

01,121

1 0

21

1

2max

22

2

=−

=→=

%% &

'(()

* +%

%

&

'

((

)

* −=

ξ β

β

β

ξ

β β

d

df

f

To"ka maksimuma ( )01,1= β ,

02,5max =a

Krivulja α ( β ) s karakteristi"nim to"kama prikazana je na slici 1.28.

46


50/126


1

α

β

1

1,01

1,22

2,75

55,02

0


Amplituda vibriranja za zadanu uzbudu ( )75,2=α prema izrazu (1.32),

mm02,0== me

X α

Kut faznog pomaka ventilatora u odnosu na uzbudu ( )22,1= β prema izrazu (1.33),

°=−

= 5,1371

2arctg

2 β

ξβ ε

47


51/126


PRIMJER 1.16

U svrhu odre#ivanja vibracijskih zna"ajki konstrukcije mase M , na istu je pri"vrš!enuzbu#iva" vibracija s dvije suprotno rotiraju!e mase prema slici 1.29. Ustanovljeno je, da sukod broja okretaja n1 uzbu#iva"a njegove ekscentri"ne mase u gornjem vršnom položaju utrenutku kada konstrukcija prolazi kroz položaj stati"ke ravnoteže i da je kod tog brojaokretaja amplituda vibriranja X 1.Ako je zadan moment ekscentri"nosti m za pojedinu masu uzbu#iva"a, odrediti sljede!e:e⋅

prirodnu frekvenciju konstrukcije ω a)koeficijent prigušenja ξ b)

c) amplitudu vibriranja X 2 i kut faznog pomaka ε 2 kod broja okretaja n2 uzbu#iva"a

Zadano:min

o 1200 kgm,0921,0 mm,6,21 ,

min

o 900 kg,4,181 211 ==⋅=== nem X n M

k

M

c


Obzirom da je kod broja okretaja n1 uzbudna sila najve!a (gornji vršni položaj), a pomakvibriraju!e konstrukcije jednak nuli (stati"ki ravnotežni položaj), ove dvije veli"ine imaju

pomak u fazi za kut od 90°. Pogledom na sliku 1.18 proizlazi, da °= 90ε odgovararezonanciji, tj. 11 = β . To zna"i, da je u tom trenutku 1λ ω = . Stoga, prirodna frekvencija

konstrukcije glasi

Hz152302

1 =⋅

==π

π

π

ω n f

U slu"aju rezonancije ( )1= β izraz (1.32) za amplitudu vibriranja poprima oblik

ξ 2

st X X =

Odatle proizlazi koeficijent prigušenja ξ

0118,022 11

=⋅

== MX

em

X

X st ξ

48


52/126


Poznavaju!i sada osnovne zna"ajke vibracijske konstrukcije, mogu!e je primjenomizraza (1.32) i (1.33) odrediti tražene zna"ajke vibriranja i za broj okretaja n2 uzbu#iva"a.Slijedi

Omjer frekvencija β 2 ,

33,11

22 ==

n

n β

Amplituda vibriranja X 2,

( ) ( )mm49,1

21 2222

2

22

2 =

+−

=

ξβ β

β st X X

Kut faznog pomakaε 2 ,

°=−

= 7,1771

2arctg

2

2

22

β

ξβ ε

PRIMJER 1.17

Homogeni disk težine G u"vrš!en je na "eli"noj osovini bez težine promjera d i duljine2l na sredini njenog raspona izme#u ležajeva. Odrediti najnižu kriti"nu brzinu osovine.Pretpostaviti, da je osovina slobodno oslonjena u ležajevima.

Zadano:2

8

m

kN 101,2 N,45 m,032,0 m,61,0 ⋅==== E Gd l

Pod najnižom kriti#nom brzinom osovine se podrazumijeva njena kutna brzina rotacijekoja odgovara najnižoj prirodnoj frekvenciji fleksionih vibracija osovine,

m

k kr == ω ω

U gornjem izrazu masa m predstavljena je masom diska,

kg5,4== g

Gm

a krutost k je odre#ena progibom osovine u sredini (vidi Primjer 1.15),

Nm96,26764

663

4

3 ===

l

Ed

l

EI k

π

Prema tome, najniža kriti"na brzina osovine glasi

min

o 759

3030=⋅==

π π ω

m

k nkr

49


53/126


PRIMJER 1.18

Cilindar težine G vezan je preko opruge krutosti k za pomi"nu podlogu koja vršiharmonijsko gibanje t Z z λ cos= prema slici 1.30a. U cilindru se može gibati klip koji jevezan za nepomi"nu podlogu. Izme#u klipa i stijenke cilindra javlja se viskozno prigušenje.Odrediti:

zakon apsolutnog i relativnog gibanja cilindra, x (t ) i r (t ), i pripadne fazne pomake uodnosu na vibriranje pomi"ne podloge

a)

b) koeficijent prigušenja c u cilindru kod amplitude apsolutnog vibriranja X

Zadano: m015,0 ,s

rad 15 m,022,0 ,

m

N 1000 N,100 ===== X Z k λ G

m

k

x

c

c)a)

z

m

k ( x- z )

x

mx x> z

c

b)

k

c G

z


Vibriraju!i sustav na slici 1.30a može se zamijeniti ekvivalentnim sustavom na slici

1.30b. Postavljanjem uvjeta dinami"ke ravnoteže sila prema slici 1.30c,

( ) 0=−++ z xk xc xm !!!

dobiva se odgovaraju!a jednadžba gibanja

kz kx xc xm =++ !!!

Rješenje gornje jednadžbe jest ujedno i zakon apsolutnog gibanja cilindra. Obziromda je ova jednadžba po obliku jednaka jednadžbi (1.23), rješenje glasi

( )ε λ −= t X x cos

Amplituda vibriranja X ,

x Z X α =

Koeficijent dinami"nosti x ,

( ) ( )222 21

1

ξβ β

α

+−

= x

50


54/126


Kut faznog pomaka ε x ,

21

2arctg

β

ξβ ε

−= x

Za x i ε x mogu se koristiti dijagrami na slici 1.18 za slu"aj neposredne uzbudne sile.

Zakon relativnog gibanja dobiva se iz izraza

( ) t Z t Z z xr x x λ ε λ α coscos −−=−=


( )( ) ( ) ( ) x x x i xt it it i x e Zeee Z r ε ε λ λ ε λ α α −=−= −−

Iz kompleksnog oblika može se izdvojiti realna komponenta

( )( x x xt Z r )ε α ε λ coscos −−=

Obzirom da je (2

1cos β α ε −= x x , dobiva se( ) xt Rr ε λ −= cos

Amplituda vibriranja R,

r Z R α =

Koeficijent dinami"nosti r ,

( ) ( )222

2

21 ξβ β

β α

+−

=r

Kut faznog pomakaε

r ,

21

2arctg

β

ξβ ε

−=r

Napomena: u slu"aju kada se vibracije podloge prenose na vibriraju!u masu putemelasti"nog elementa (opruga), tada su kutevi faznog pomaka apsolutnog irelativnog gibanja te mase identi"ni, s time da se uzbuda podloge kodapsolutnog gibanja iskazuje kao neposredno djeluju!a uzbudna sila, akod relativnog gibanja kao centrifugalna uzbuda.

Faktor prigušenja ξ može se izraziti preko amplitude X ,

( ) β

β ξ

2

1 22−−=

X Z

51


55/126


Prirodna frekvencija cilindra ω ,

s

rad 9,9==

G

g k ω te je 51,1==

ω

λ β

Proizlazi, da je bezdimenzijski faktor prigušenjaξ,

226,0=ξ odnosno koeficijent prigušenja

m

Ns 4522 == ξ k c

PRIMJER 1.19

Cilindar mase m , vezan oprugom krutosti k za nepomi"nu podlogu, pobu#en je navibriranje uslijed viskoznog trenja prilikom harmonijskog gibanja klipa po zakonu

t Z z λ cos= prema slici 1.31a. Odrediti apsolutno i relativno gibanje cilindra s odgovaraju!imkutevima faznog pomaka u odnosu na gibanje klipa.

Zadano: m, k , c, Z , λ

m

a)

kx mx

x> z

b)

k

c

z z x

x z c( - )


Vibriraju!i sustav na slici 1.31a može se zamijeniti ekvivalentnim sustavom na slici1.31b. Postavljanjem uvjeta dinami"ke ravnoteže sila,

( ) 0=+−+ kx z xc xm !!!!

proizlazi odgovaraju!a jednadžba gibanja

z ckx xc xm !!!! =++

Rješenje ove jednadžbe x (t ) je ujedno i zakon apsolutnog gibanja cilindra. Gibanje podloge z (t ) i cilindra x (t ) su harmonijska gibanja koja se mogu prikazati u kompleksnomobliku

t i Ze z λ =

t i Xe x λ =

Uvrštenjem ovih izraza u gornju jednadžbu slijedi

( ) ( ) ( )

% &

'()

* −+

+−

=+−

=ε

π λ

ξβ β

ξβ

ξβ β

ξβ 2222

2

21

2

21

2 t ie Z z

i

i x

52


56/126


Odatle se dobiva realni oblik apsolutnog gibanja cilindra

( )ϕ λ −= t X x cos


x Z X α = Koeficijent dinami"nosti x ,

( ) ( )222 21

2

ξβ β

ξβ α

+−

= x

Kut faznog pomakaϕ

,

2

π ε ϕ −=

Zakon relativnog gibanja cilindra se odre#uje iz

t Z t Z z xr x λ ε π

λ α cos2

cos −% &

'()

* −+=−=


( )

%%

&

'

((

)

* −=

%%

&

'

((

)

* −= −

% &

'()

* −+

ε π

ε λ λ ε

π λ

α α ii

xt it i

t i

x ee Zeee Z r 22

U realnom obliku

( ) % &

'()

* −−= ε

π α ε λ cos

2coscos xt Z r

Obzirom da je

( ) ( )222

2

21

1cos

ξβ β

β ε

+−

−= 0

2cos =

π

slijedi realni oblik relativnog gibanja cilindra

( )ε λ −= t Rr cos

Amplituda vibriranja R,

r Z R α =

Koeficijent dinami"nosti r ,

( ) ( )222

2

21

1

ξβ β

β α

+−

−=r

53


57/126


Kut faznog pomaka ε ,

21

2arctg

β

ξβ ε

−=

PRIMJER 1.20Stroj mase m leži na elasti"nim osloncima ukupne krutosti k i ima neuravnoteženi

rotacijski element koji stvara uzbudnu silu amplitude F 0 kod broja okretaja n. Uz pretpostavku prigušenja

ξ

odrediti:

a) b)c)

amplitudu vibriranja X koeficijent prenosivosti PR prenesenu silu F PR

Zadano: 2,0 ,min

o 3000 N,350 ,

m

kN 700 kg,100 0 ===== ξ n F k m

Frekvencija uzbude f ,

Hz5060 == n

f

Prirodna frekvencija f 0,

Hz32,132

10 ==

m

k f

π


75,30

== f

f β ispunjen uvjet za uspješnu izolaciju


( ) ( )mm038,0

21

1

2220 =

+−=

ξβ β k

F X

Koeficijent prenosivosti PR,

( )

( ) ( )137,0

21

21

222

2

=

+−

+=

ξβ β

ξβ PR

Prenesena sila na podlogu F PR,

N9,470 =⋅= PR F F PR

54


58/126


PRIMJER 1.21

Rotor turbine mase M u"vrš!en je na "eli"noj osovini promjera d na polovici raspona l izme#u ležaja. Rotor ima neuravnoteženost mase . Odrediti silu prenesenu na ležajeve uslu"aju broja okretaja osovine n. Kolika bi bila prenesena sila u slu"aju da osovina ima

promjer d

em ⋅

1? Pretpostaviti zglobno oslonjenu osovinu na mjestu ležaja.

Zadano: ,min

o 6000 kgm,002879,0 m,255,0 m,0254,0 kg,6,13 ==⋅=== neml d M

m01905,0 ,m

N 101,2 12

11 =⋅= d E

Frekvencija uzbude f ,

Hz10060

== n

f

Krutost osovine k ,

m

N 12267374

64

48483

4

3 ===

l

Ed

l

EI k

π

Prirodna frekvencija f 0,

Hz23,1512

10 ==

m

k f

π


66,00

== f

f β nepovoljno za izolaciju

Nema prigušenja ( 0= )ξ , te koeficijent prenosivosti PR glasi

77,11

12

=−

= β

PR

Prenesena sila na ležaje F PR,

N20102 == λ PRme F PR

U slu"aju promjera osovine d 1 mijenja se krutost k osovine,

m

N

3880951 =

k

55


59/126


te se mijenjaju i ostali parametri,

( ) Hz9,262

1 110 == M

k f

π

( )

7,310

1 == f

f β povoljno za izolaciju (ve!e od 2 )

37,01

12

=−

= β

PR

N420= PR F

Zaklju#ak : u slu"aju osovine manjeg promjera (d 1) prenesena sila na ležaje je znatno manjašto zna"i da je promjenom krutosti osovine u"inak izolacije vibracija na ležaje

bitno poboljšan.

1.3. Prisilne

Documents

Zbirka Dinamika Konstrukcija