-
34313 AUTOMATSKO UPRAVLJANJE Ak.g. 2008/2009
Zavrni ispit
30. sijenja 2009.
Ime i Prezime: Matini broj:
Napomena: Zadatke obavezno predati s rjeenjima nakon zavretka
testa.
1. zadatak (8 bodova)
Zatvoreni sustav upravljanja zadan je Slikom 1 gdje je GR(s)
idealni regulator paralelne PID strukture.Prijenosna funkcija
procesa je Gp(s) =
5(s+2)(s+1)2 .
+
( )R s ( )Y s( )RG s ( )pG s
Slika 1: Zatvoreni sustav upravljanja.
a) (6 bodova) Parametrirajte regulator prema Ziegler-Nicholsovim
pravilima koristei metodu ruba sta-bilnosti. Za odreivanje ruba
stabilnosti koristite Nyquistov kriterij stabilnosti.
b) (2 boda) Skicirajte blokovsku shemu serijske izvedbe idealnog
PID regulatora odreenog pod a).
2. zadatak (10 bodova)
Zatvoreni diskretni sustav upravljanja zadan je Slikom 2, a
prijenosne funkcije regulatora i procesa su:
GR(z) = 10z0.4z0.6 , Gp(z) = 0.04
z0.25(z0.4)(z0.6) .
+
( )R z ( )Y z( )pG z( )RG z
Slika 2: Zatvoreni sustav upravljanja.
a) (5 bodova) Ispitajte stabilnost sustava koristei Hurwitzov
kriterij stabilnosti.
b) (3 boda) Skicirajte polove prijenosne funkcije zatvorenog
diskretnog sustava u z -ravnini i oznaitepodruje stabilnosti
zadanog sustava u z -ravnini.
c) (2 boda) Oznaite podruje stabilnosti zadanog sustava u w
-ravnini.
Zavrni ispit, 30. sijenja 2009. 1
-
34313 AUTOMATSKO UPRAVLJANJE Ak.g. 2008/2009
3. zadatak (11 bodova)
Zadan je sustav upravljanja prikazan blokovskom shemom na Slici
3. Polovi prijenosne funkcije u direktnojgrani su sp1,2 = 1 j.
2
2 22n
n n
Ks s
+ ++
( )R s ( )Y s
tsTe
Slika 3: Zatvoreni sustav upravljanja.
a) (2 boda) Odredite prijenosnu funkciju zatvorenog sustava
upravljanja Gr(s) =Y (s)R(s) .
b) (2 boda) Odredite iznos pojaanja K za koji odziv sustava na
pobudu r(t) = S(t) u ustaljenom stanjuiznosi 0.5.
c) (5 bodova) Odredite interval vrijednosti mrtvog vremena Tt za
koje sustav ima fazno osiguranje veeod 55 uz zadano pojaanje K =
1.
d) (2 boda) Skicirajte prijelaznu funkciju otvorenog sustava
Go(s) uz tono odreeno nadvienje, vrijemeprvog maksimuma i vrijeme
smirivanja. Zadano je Tt = 2 s i K = 1.
4. zadatak (7 bodova)
Diskretni sustav upravljanja u vremenski kontinuiranoj domeni
prikazan je Slikom 4.
Zadane su prijenosne funkcije regulatora i procesa:
GR(s) = 0.71+ss, Gp(s) =
5(1+0.3s)(1+s) .
Diskretni sustav upravljanja u diskretnoj domeni, koji je
ekvivalentan sustavu prikazanom na Slici 4,prikazan je Slikom 5.
Odredite GR(z) i Gp(z) ako je zadano T = 100 ms.
+
( )R s ( )Y s( )RG sT T ( )pG s1sTe
s
Slika 4: Diskretni sustav upravljanja.
+
( )R z ( )Y z( )pG z( )RG z
Slika 5: Diskretni sustav upravljanja.
Zavrni ispit, 30. sijenja 2009. 2
-
34313 AUTOMATSKO UPRAVLJANJE Ak.g. 2008/2009
RJEENJA:
Zadatak 1
a) Go(s) = Kkr5
(s+2)(s+1)2
Go(j) = Kkr5
242+j(53) = 5Kkr242j(52)
(242)2+(53)2
Io(pi) = 0 5pi 2pi = 0 pi =
5
Tkr =2pipi
= 2.81
Ro(pi) = 1 = 5Kkr 242(242)2+(53)2 Kkr = 3.6
Parametri PID regulatora su:
KR = 0.6Kkr = 2.16TI = 0.5Tkr = 1.405 s
TD = 0.12Tkr = 0.3372 s
b) Blokovska shema serijske izvedbe idealnog PID regulatora
prikazana je na Slici 6
Slika 6: Blokovska shema serijske izvedbe PID regulatora
Zadatak 2
a) Karakteristina jednadba sustava upravljanja:
1 +Go(z) = 1 + 10z0.4z0.60.04
z0.25(z0.4)(z0.6) = 0
z2 0.8000z + 0.26000 = 0
Kako bi se mogao koristiti Hurwitzov kriterij potrebno je
napraviti bilinearnu transformaciju z = 1+w1w :
(1+w1w )2 0.8 1+w1w + 0.26 = 0
2.06w2 + 1.48w + 0.46 = 0
Nuno je da su svi koecijenti karakteristine jednadbe istog
predznaka:
a2 = 2.06 > 0
a1 = 1.48 > 0
a0 = 0.46 > 0
Determinante moraju biti pozitivne:
D1 = a1 > 0
Zavrni ispit, 30. sijenja 2009. 3
-
34313 AUTOMATSKO UPRAVLJANJE Ak.g. 2008/2009
Sustav je stabilan.
b) Polovi prijenosne funkcije zatvorenog diskretnog sustava u z
-ravnini su:
zp1,2 = 0.4000 j0.3162
Nedostaju skice z i w ravnine.
Zavrni ispit, 30. sijenja 2009. 4
-
34313 AUTOMATSKO UPRAVLJANJE Ak.g. 2008/2009
Zadatak 3
a) Prijenosna funkcija zatvorenog sustava upravljanja:
= 0.71n = 1.41
G(s) =K2n
s2+2ns+2n+esTtK2n
= 2Ks2+2s+2+2KesTt
b) Odziv u ustaljenom stanju:
y = lims0 sY (s) = lims0K
1+K = 0.5
K = 1
c) Prvi korak je odreivanje presjene frekvencije:
|Go(jc)| = 1 = 2
n(2n2c )2+(2nc)2
c = 0 rad/s
Rauna se fazno osiguranje i interval vrijednosti mrtvog vremena
Tt za koje je > 55:
= 180 + (c) > 55
= 180
Tt [0, s
d) m[%] = 100e pi
12 = 4.21%
tm =pi
n
12+ Tt = 5.164 s
t1% =4.6n
+ Tt = 6.6 s
0 2 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t [s]
h(t)
Slika 7: Prijelazna funkcija otvorenog sustava.
Zavrni ispit, 30. sijenja 2009. 5
-
34313 AUTOMATSKO UPRAVLJANJE Ak.g. 2008/2009
Zadatak 4
Regulator se diskretizira uz ouvanje impulsnog odziva:
GR(z) = Z{0.7 1+ss }
GR(z) = 0.7Z{ 1s + 1} = 0.7( 11z1 + 1)
GR(z) = 0.72z1z1
Proces se diskretizira ZOH metodom:
Gp(z) = (1 z1)Z{ 1s 5(1+0.3s)(1+s)}
Gp(z) =z1zZ{A
s+ B1
0.3+s
+ C1+s}
A = 5 B = 157 C = 507
Gp(z) =z1z
( Azz1 +B
z
ze1
3
+ C zze0.1 )
Gp(z) = A+Bz1
ze1
3
+ C z1ze0.1 )
Gp(z) =0.06259z+0.07229
(z0.71653)(z0.90484)
Gp(z) =0.07229z+0.06259
z21.62137z+0.64834
Zavrni ispit, 30. sijenja 2009. 6
