T.C. DOKUZ EYLL NVERSTES SOSYAL BLMLER ENSTTS LETME ANABLM DALI LETME STATST VE KANTTATF YNTEMLER DERS YIL DEV

ZAMAN SERLER ANALZ

brahim GRLER, 2001800116 retim Ynetimi ve Endstri letmecilii Program

Danman Prof. Dr. evkinaz GMOLU

Ocak, 2002 ZMR

2

NDEKLER

ZET.............................................................................................................................................................1 1. TANIM VE TEMEL KAVRAMLAR....................................................................................................1 1.1 ZAMAN SERSNN TANIMI...................................................................................................................1 1.2 ZAMAN SERLER NERELERDE KULLANILIR............................................................................................1 1.3 ZAMAN SERLERNN ELEMANLARI........................................................................................................1 1.3.1 Uzun Dnemli Genel Trend..................................................................................................2 ekil 1..............................................................................................................................................3 1.3.2 Konjonktr Dalgalanmalar....................................................................................................3 1.3.3 Mevsimsel Dalgalanmalar......................................................................................................4 1.3.4 Varyasyon ve Dzensiz Rasgele Dalmlar............................................................................4 2. TRENDN HESAPLANMASINDA KULLANILAN YNTEMLER..............................................5 2.1 BAST GRAFK YNTEM.....................................................................................................................5 2.1.1 Basit Grafik Yntemi rnek Soru ..........................................................................................5 2.1.2 Basit Grafik Ynteminin Dezavantajlar.................................................................................6 2.2 HAREKETL ORTALAMALAR YNTEM..................................................................................................7 2.2.1 Hareketli Ortalamalar Yntemi Aamalar............................................................................7 2.2.2 erli Hareketli Ortalamalar ile Trend Deerleri .................................................................8 2.2.3 Hareketli Ortalamalar Yntemi rnek Soru..........................................................................8 2.2.4 Yntemin Dezavantajlar.......................................................................................................11 2.3 EN KK KARELER YNTEM.........................................................................................................11 2.3.1 Kullanlan Fonksiyonun Verilere En Yakn Denkleminin Yazlmas......................................11 2.3.2 Dorusal Denklem Yntemi..................................................................................................122.3.2.1 Standart Hatann Hesab.................................................................................................................... 13 2.3.2.2 rnek Soru......................................................................................................................................... 13

2.3.3 Parabol Denklemi.................................................................................................................152.3.3.1 Standart Hatann Hesab.................................................................................................................... 15 2.3.3.2 rnek Soru......................................................................................................................................... 16

2.3.4 stel Denklem.......................................................................................................................18 2.3.5 stel Denklem.......................................................................................................................18 2.3.6 Hiperbolik Denklem..............................................................................................................19 2.3.7 Kbik Denklem......................................................................................................................19 2.3.8 Geometrik Denklem...............................................................................................................20 2.3.9 En Kk Kareler Yntemin Avantajlar ..............................................................................20 3. MEVSM DALGALANMALARININ LLMES......................................................................21 3.1 AYLIK VERLERN GN SAYISINA GRE AYARLANMASI........................................................................21 3.2 MEVSM DALGALANMALARININ LLMESNDE KULLANILAN YNTEMLER ..............................................213.2.1.1 Yntemin Dezavantajlar................................................................................................................... 22 3.2.2.1 Trende Oranlama Yntemi Dezavantajlar........................................................................................ 22

4. KONJONKTREL DALGALANMALARIN LLMES..........................................................23 4.1 YILLIK SERLERDE KONJONKTRN LLMES...................................................................................23 4.1.1 rnek Soru............................................................................................................................24 4.2 AYLIK SERLERDE KONJONKTRN LLMES....................................................................................25 KAYNAKLAR............................................................................................................................................27

I

ZET

Yaantsn srdrmek ve gelitirmek iin uluslar, firmalar ve aileler gelecee ynelik planlar yapmak zorundadrlar. Gnmzde var olan rekabetle baa kabilmek ve srekli gelimeyi srdrebilmek iin firmalarn gnlk satlara, retime, yatrma, pazarlamaya ilikin planlar yapmalar gereklidir. Devletler de gelecekteki gelirlerinin ve giderlerini hesaplayabilmek iin plan yapar. Olaylar ve aralarndaki ilikileri tahminlemeksizin gelecee ilikin planlar yaplamaz. Bir faktrn tahmini baka faktrlerinde tahminine yardmc olabilir. Tahminlerin yaplabilmesine gerekli olan verilerin elde edilmesinin en uygun ve kolay yolu zaman serisi analizidir. Bu zaman serileri; yllara gre milli gelirin, istihdamn veya ihracatn kaydettii gelime gibi iktisadi zaman serileri olabilecei gibi, bir maazann aylk satlarn, mevsimlere gre scaklk deerlerini veya bir canlnn kalp atlarn ifade eden; iletme, tp veya meteoroloji konular ile ilgili serilerde olabilir. letme ve iktisat alanlarnda zaman serilerinin byk nem tamalarnn sebebi, nceki dnemlere ait gzlemlerin incelenmesi ve ileriye dnk tahmin yapabilmenin mmkn olmasdr. Zaman serileri analizi ile ilgili yaplan bu yl ii almasnda; incelenerek anlatlm olan metotlar geleneksel metotlardr. Yeni, detayl ve ileri matematik ve istatistik bilgilerinden yararlanlarak gelitirilmi ve gelitirilmekte olan modern modeller ve metotlar mevcutsa da halen daha yaygn olarak kullanlanlar geleneksel metotlar olduundan bu almada ileri istatistik konularna giren bu metotlara deinilmemitir.

1. Tanm ve Temel Kavramlar1.1 Zaman Serisinin TanmZamann periyodik noktalarnda, bir cevap deikeni gzlemlenmesi yoluyla verilerin toplanmas zaman serisi olarak adlandrlr.1 Bir deiken zerine tekrarlanan gzlemler zaman serisini oluturursa, deiken, zaman serisi deikeni olarak tanmlanr. Ekonomistler, iadamlar, yneticiler genelde karar vermede zaman periyodu ile kaydedilen bilgilere ihtiya duyar.Zaman serileri, gelecekteki operasyonlarn bir yldan fazla genelde 5, 10 , 15, ve 20 yla dayanan uzun dnem planlamasnda ve tahminlemesinde kullanlanlabilen lmleri belirlemek iin analiz edilmektedir.2

1.2 Zaman Serileri Nerelerde KullanlrZaman serileri ile elde edilen tahminler, lke ekonomisin planlanmasnda yada iletme baznda retim planlamas yaplmasnda kolaylk salar. Gnmzde modern finans pazar, zellikle stok pazarnn geliimi, zaman serisine ilginin artna nclk etmitir.

1.3 Zaman Serilerinin ElemanlarZaman serilerinin analizi seriyi oluturan bileenlerden ayrmn gerektirir. Bir seriyi bileenlerine ayrmak iin kapsad drt bileen arasnda belli bir iliki bulunduu varsaylmaldr. Genellikle izlenilen yol bir zaman serisinin birka bileenini toplam ya da arpmndan meydana geldii varsaymdr. 3

1

SINCICH, Terry., Business Statistics By Example, Prentice- Hall International Editions, fifth edition, USA, 1996, s.925. 2 MANN, S.Prem., Statistics For Business and Economics, Wiley, USA, 1995, s.770 3 AKALIN, Sedat., letme statistii, Bayrakl Matbaaclk, zmir, 1990, s.317.

1

Bir Klasik Modelde, Zaman Serisi Drt Elemana Sahiptir.4 1. Uzun dnemli genel trend (T) 2. Konjonktr dalgalanmalar (C ) 3. Mevsimsel dalgalanmalar (S) 4. Varyasyon ve dzensiz rast gele hareketler (I) Y = (T)(C)(S)(I) statistiksel ynden zaman serilerinin amac; bahsedilen drt elemandan her birinin, olayn ald deerler zerinde ne lde etkili olduunu aratrmaktr.

1.3.1 Uzun Dnemli Genel Trend Olayn bal olduu temel ve tad zellikler, uzun dnemde ok fazla deimeyen belirli bir yn tadndan uzun dnemli genel trend olarak adlandrlr. Trend bir zaman bir zaman serisinin uzun dnemde belirli bir yne doru gsterdii gelime veya ilerlemedir. Trend analizi bir uzun dnem analizi olduundan verilerin aylk veya mevsimlik olarak verilmi olmas tahlilin sonucunu etkilemeyecektir.5

Tendin yn ve iddeti her zaman sabit kalmaz. Trend dorusal yada erisel olabilir. Olas Trend Gsterimleri ekil 1 gereklemesi mmkn olan birka erisel ve dorusal trend ekillerini gstermektedir.

4 5

MANN, S.Prem., a.g.e. s. 773. KKSAL, A. Bilge.,statistik Analiz Metodlar, alayan Kitabevi, stanbul, 1985, s.457.

2

Artan Dorusal Trend

Azalan Oranda Erisel Art

Artan Oranda Erisel Azal

Azalan Oranda Erisel Azal Azalan Dorusal Trend

Artan Oranda Erisel Art

ekil 16

1.3.2 Konjonktr Dalgalanmalar Baml deikende uzun bir zaman periyodunda oluan ve ekonomide genel bir kriz olduunda gerilemeyi, daha sonra bymeyi karakterize eden dalgalanmalar konjonktr dalgalanmalar olarak tanmlanr. Bir trend dorusu veya erisi etrafndaki uzun dnemli dalgalanmalar konjonktr dalgalanmalardr. Bu hareketler mevsim dalgalanmalarna benzer ekilde periyodik olarak tekrar etmekte iseler de periyotlarn uzunluu ve srelerin belirsizlii ile dikkati eker.7

Gelime

Durgunluk

Tekrar Ykselme

ekil 2

8

Uzun Dnem Trendi Kriz

6 7

MANN, S.Prem., a.g.e., s.771 KKSAL, A. Bilge., a.g.e., s. 458. 8 MANN, S.Prem., a.g.e., s.772.

3

1.3.3 Mevsimsel Dalgalanmalar Ekonomiksel olaylarn zaman iinde izlendii doal ve sosyal nedenlerden dolay, mevsime gre oluan deimeler mevsimsel dalgalanmalar olarak adlandrlr. Mevsimsel dalgalanmalarn dalga uzunluu 12 ay olmaktadr. Bu dalgalanmalar mevsimlere gre deien alkolsz iki, gazete veya buzdolab satlar ile ilgili seriler olabilecei gibi, caddelerdeki trafiin saatlere gre deimesinin, saatlere gre sinema seyircisi saysndaki deimenin veya bayramlara gre satlarn gsterdii dalgalanmalarn belirlendii seriler olabilir. 9

Dalga Uzunluu

Dalga iddeti

ekil 3 10

1.3.4 Varyasyon ve Dzensiz Rasgele Dalmlar Varyasyon ve dzensiz rasgele hareketler, doal ve sosyo ekonomik nedenlerden dolay ortaya kabilir. Ancak, sz edilen hareketlerin ne zaman, nasl bir dalga iddeti ile meydana gelecei belirsizlik tad iin tahmini mmkn olmaz. Bu nedenle bu tip hareketleri bir istatistiksel lyle ifade edebilmek zordur. rnein sel basknlar gereke tarm gerekse sanayi retimde byk zararlara sebep olmaktadr. Doa olaylarnn rasgeleliinin fazla olmas nedeniyle sel basknlar nceden tahmin etmek olas deildir. 11

9

KKSAL, A. Bilge., a.g.e., s.458. SINCICH, Terry., a.g.e. s.927. 11 MANN, S.Prem., a.g.e., s.773.10

4

2. Trendin Hesaplanmasnda Kullanlan Yntemler2.1 Basit Grafik YntemiBu metoda gre inceleme konusu olan zaman serisi gzlem says itibariyle iki eit ksma blnr ve her ksmdaki gzlemler iin birere aritmetik ortalama hesaplanr. Bu ortalama deerleri grafie iaretlendikten sonar aralar bir doru ile birletirilerek bir trend dorusu elde edilir. 12 ncelenen rnein (serinin) gzlem saysnn tek veya ift sayda olmasna gre yaplan ilem deiiklik gsterir. 1. Seri ift Sayl ise : Seri eit olarak tam ortadan iki paraya ayrlr. 2. Seri Tek Sayl ise : Tam ortadaki eleman dikkate alnmadan seri iki eit paraya ayrlr.

2.1.1 Basit Grafik Yntemi rnek Soru 13

Yllar 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Satlar (1000 Adet) 6 10 14 12 10 12 17

Tek sayl zaman serilerinde tam ortadaki eleman dikkate alnmadan seri iki eit ksma blnr ve aritmetik ortalamas buna gre bulunur.

12 13

KKSAL, A. Bilge.,, a.g.e., s.460. AKDENZ, H.Ahmet., Uygulamal statistik II, Dokuz Eyll niversitesi ktisadi ve dari Bilimler Fakltesi, zmir, 1998, s.382.

5

Yllar 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 6 10 14 12 10 12 17

Satlar (1000 Adet) Y1 = (6+10+14) / 3 = 10

Y2

= (10 + 12 + 17 ) / 3 = 13

18 16 Satlar (Bin Adet) 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 Ylar 5 6 7

2.1.2 Basit Grafik Ynteminin Dezavantajlar Basit grafik ynteminin genelde iki sakncas vardr:14 1. Yntem trendin dorusal varsaymna dayandrlmakta ancak trend dorusal olmayabilir. 2. Serinin her iki ksmnda konjonktrel dalgalanmalarn etkisinin ayn olduu var yaslmaktadr. zellikle ekonomiksel gelimelerde bu durum ou zaman geree uymayabilir.

14

AKDENZ, H.Ahmet., .a.g.e., s.383

6

2.2 Hareketli Ortalamalar YntemiHareketli ortalamalar yntemi; konjonktrel ve mevsimsel dalgalanmalar yok etmek amacyla kullanlr.15

Hareketli ortalamalar bir zama serisine ait her deerin yerine, o deer ve daha nce ve sonra gelen birka deerin ortalamasnn bu deer yerine yazlmas suretiyle elde edilen bir zaman serisidir. rnein yllk verilerde er yllk hareketli ortalamalar hesaplamak istiyorsak, her yln deeri bir nceki ve bir sonraki deerlerle toplanarak e blnr ve bulunan deer fiili deerin yerine konulur. Benzer ekilde daha ok yl veya aylar iine alan hareketli ortalamalar hesaplanabilir. 16 Hareketli ortalamalar trend hesabnn salkl olabilmesi iin gerekli artlar unlardr. I. II. III. Olayn trendi dorusal olmal. Serideki dalgalarn uzunluu ayn olmaldr. Serideki dalgalarn iddeti ayn olmaldr.

2.2.1 Hareketli Ortalamalar Yntemi Aamalar 1. Dalga uzunluklar bulunur. Dalga uzunluklar minimumdan minimuma yada maksimumdan maksimuma olan uzaklk olarak hesaplanr. 2. Kaarl hareketli ortalama ile hesaplanaca bulunur. KHO = ( Dalga Uzunluklar Toplam) / (Dalga Says) 3. Serinin tek yada ift sayda olmasna gre formllenir.

15 16

SINCICH, Terry., a.g.e., 943 KKSAL, A. Bilge., a,g.e., s.464.

7

Hareketli ortalama says tek say bulunursa yaplan hesaba (n-1) / 2 eleman az alnr. rnein erli hareketli ortalama hesaplandnda (3 1) / 2 =1 bulunur . Bunun anlam, batan ve sondan birer trend deerinin hesaplanmayacadr. Hareketli ortalama says ift say bulunursa yaplan hesaba (n) / 2 eleman az alnr. Drderli hareketli ortalama bulunduunu varsayarsak 4/2 = 2 elde edilir. Bu say, batan ve sondan ikier trendin hesaplanmayacan gsterir.

Yllar Deerler erli ile Trend Deerleri 17 2.2.2 erli Hareketli Ortalamalar hareketli ortalamalarla trend deerleri 1990 Y1 Y2 Y3....

Y2 = (Y1+ Y2+Y3) / 3 Y3 = (Y2+ Y3+Y4) / 3

1991 1992...

1995 1996 . .

Y6 Y7 . . Y7 = (Y6+ Y7+Y8) / 3

2.2.3 Hareketli Ortalamalar Yntemi rnek Soru

Aadaki izelgede bir zaman serisi verilmitir.

Yllar 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Satlar Milyar 4 6 12 14 8 10 14 10 16 18 20 14 TL

17

AKDENZ, H.Ahmet., .a.g.e. s.385.

8

Bu serinin tahmini deerini hareketli ortalamalar yntemiyle hesaplayarak trendi iziniz. Hareketli Ortalamalar Yntemi rnek Soru zm 1. lk olarak dalga uzunluklar hesaplanr. Serinin minimumdan minimuma yntemiyle dalga uzunluklar bulunur. 2. Kaarl ortalama ile hesaplanacann bulunmas. KHO = (4+3+4)/3=3,67 KHO iin 4 deeri alnr. 3. Trend Deerlerinin bulunmas : Drderli hareketli ortalamalar ile trend deerleri bulunur. n = 4 olduundan n / 2 = 4 / 2 = 2 den dolay serinin batan ve sondan ikier trend deeri hesaplanmamtr.

Yllar (X)1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 4 6 12 14 8 10 14 10 16 18 20 14

Satlar ( Y) ( Milyar TL)1. Dalga uzunluu : 4 yl

2. Dalga uzunluu : 3 yl

3. Dalga uzunluu : 4 yl

9

Yllar (X) 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Satlar (Y) 4 6 12 14 8 10 14 10 16 18 20 14

Drderli Hareketli Ortalamalarla Trend Deerleri ------------------------------------2-3=(4+6+12+14)/4= 9 3-4=(6+12+14+8)/4=10 4-5=(10+14+8+10)/4=11 5-6=(14+8+10+14)/4=11.5 6-7=(8+10+14+10)/4=10.5 7-8=(10+14+10+16)/4=12.5 8-9=(14+10+16+10)/4=14.5 9-10=(10+16+18+20)/4=16 10-11=(16+18+20+14)/4=17 --------------------------------------------

25 20 15 10 5 0 84 86 88 90 92 94 96 98

TREND

10

2.2.4 Yntemin Dezavantajlar Yntemin Dezavantajlar18 Hareketli ortalamalar iin gerekli artlar salanamazsa, doru sonular elde edilmez. Hareketli ortalamalar teknii ile iddetli dalgalarn etkisi altndadr. Serinin bandaki ve sonundaki baz elemanlarn hareketli ortalamas bulunamaz. elde edilen sonular serideki uzun ve

2.3 En Kk Kareler YntemiYntemin esas; zaman ile sonular arasndaki fonksiyonel ilikiyi ortaya karmaktr. 19 Trendi en iyi tanmlayacak fonksiyon tipinin seilmesi 1. Zaman X, olayn ald deerler Y ekseni zerinde iaretlenerek olayn grafii izilir. Bu grafikten olayn uzun dnemde nasl bir gelime gsterdii hangi tip fonksiyonla ifade edilebilecei, bklme noktasna gre eirinin derecesi belirlenir. 2. Fonksiyon tipi grafikle belirlenmesi mmkn olmadnda, fonksiyon tiplerinin standart hatalar hesaplanr; en kk standart sapmas olan fonksiyon tipi seilir. 2.3.1 Kullanlan Fonksiyonun Verilere En Yakn Denkleminin Yazlmas

1. Dorusal Denklem :

Y = a + bX

Bu eitlik genelde artma ve azalmalar sabitlik gsteren seriler iin kullanlr. 2. Parabol Denklemi : kullanlr. Y = a + bX + cX2

Bu eitlik, ykselmeyi alalmann takip ettii yn deitirmeyi veren veriler iin

18 19

GMENELEB, Kemal., statistik Metodlar, Ongun Matbaaclk, Ankara,1976, s. 229. AKDENZ, H.Ahmet., .a.g.e. s.392.

11

3. stel Denklem :

Y = a.bX

Bu denklem, artma yada azalma oran sabit olan serileri hesaplamay salar. 4. Hiperbol Denklemi : 5. Kbik Denklem : 1 / Y = a + bX Y = a + bX + cX2 + dX3

Serinin grafiinde alalma ve ykselmeleri ieren iki bklme varsa kullanlr. 6. Geometrik Denklem : Bu denklemlerde; Y : Deerleri X : Yllar a, b, c : Regresyon katsaylarn temsil ediyor. Y = a . Xb

2.3.2 Dorusal Denklem Yntemi Y = a + bX denklemindeki a ve b katsaylar iki yolla hesaplanr.20

1. YOL : Normal Denklemler

Y = na +b X XY = a X + b X

2

2. YOL : Kodlu Yol

Y = na a = (Y ) / n

XY = b X b = ( XY ) / ( X )2 2

a) Seri Tek Sayda se: Zaman blounda, tam ortadaki deer orijin olarak alnarak, sfr deeri konur. Bundan ncekilere -1,-2,-3, vb; sonrakilere ise +1, +2, +3 deeri verilir.

20

GMENELEB, Kemal., a.g.e., s. 196.

12

b) Seri ift Sayda se: Zaman stununda tam ortadaki iki deerden byk olana +1, kk olana 1 deeri verilerek konularak ileme devam edilir. +3, +5 , ... ve -3, -5, ...

2.3.2.1 Standart Hatann Hesab n < 30 ise 1. Yol : n 30 ise

S yx =

( Y Y )n2

2

S yx =

(Y Y )n

' 2

2. Yol :

S yx =

Y

2

a Y b XY n2

Syx =

Y

2

a Y b XY n

Syx : Tahminin Standart Hatasn Y : Baml deikenin gzlenen deerini21 Y : Baml deikenin regresyondan hesaplanan deerini n : Gzlem saysn a ve b : Regresyon katsaylarn ifade eder.

2.3.2.2 rnek Soru22 ABC firmasnn zmir ilindeki satlar tabloda verilmitir.Yllar (X) Satlar (Y) Bin Adet21 22

1991 4

1992 6

1993 10

1994 12

1995 18

1996 22

1997 26

MANN, S.Prem., a.g.e., s. 776. AKDENZ, H.Ahmet., .a.g.e. s.394.

13

30 25 20 15 10 5 0 1990 1992 1994 1996 1998

Dorusal trendin denklemini en kk kareler yntemiyle bularak, 1999 yl televizyon satlarn tahmin ediniz. Yaplan tahminin standart hatasn hesaplaynz.

Yllar (X) 1 2 3 4 5 6 7 X = 28

Satlar(Y) 4 6 10 12 18 22 26 Y = 98

X2 1 4 9 16 25 36 49 X2 = 140

XY 4 12 30 48 90 132 182 XY = 198

Y2 16 36 100 144 324 484 676 Y2 = 1780

Y = na +b X XY = a X + b X

2

b = 3.7857 a = -1.1428

Y = a + bX = -1.1428 + 3.7857X 1999 yl TV satlar tahmini : Y1999= -1.428+3.7857 (9) = 32.9285 = 33 bin adet

S yx =

Y

2

a Y b XY n2

Sxy=1.1589

14

Tahminler gstermektedir.

gzlem

deerlerinden,

ortalama

1.159

kadar

sapma

2.3.3 Parabol Denklemi

Y = a + bX + cX2

a, b, c katsaylar u yollarla bulunur.

1. Yol : Normal Denklemler :

Y = na + b X + c X XY = a X + b X + c X X Y = a X + b X + c X2 2 3 2 2 3

4

2. Yol : Kodlu Yol

a=

Y = na + c X X Y = a X + c X XY = b X2 2 2 2

( Y )( X ) ( X Y )( X ) n( X ) ( X )4 2 2 4 2 2

4

VEYA

b=

XY X2

C=

n X 2Y 4

(

) ( X )( Y ) n( X ) ( X )2 2

n : Trend periyodundaki zaman esinin saysn, Y : Zamana gre serinin deerini X : Zaman temsil eder.

2.3.3.1 Standart Hatann Hesab n < 30 ise n 30 ise

15

1. Yol :

S yx =

( Y Y )n3

2

S yx =

(Y Y )n

' 2

2. Yol :

S yx =

Y

2

a Y b XY n3

S yx =

Y

2

a Y b XY n

Syx : Tahminin Standart Hatasn Y : Baml deikenin gzlenen deerini Y : Baml deikenin regresyondan hesaplanan deerini n : Gzlem saysn a ve b : Regresyon katsaylarn ifade eder.

2.3.3.2 rnek Soru Demiryollaryla 1987 1997 yllar arasnda 1 ton ykn tanmasn ifade eden ton mil iin tama cretleri tabloda verilmitir. a) Verilen zaman sersinin erisel trend denklemini en kk kareler yntemiyle bulunuz ve 1988 yl iin tahminleyiniz. b) Tahminin standart hatasn hesaplaynz.

195 190

Yllar

Ton - mil yk creti (Milyon TL)

185 180 175 170 165 160 1986 1988 1990 1992 1994

161996 1998

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

184 182 192 178 180 162 176 172 174 188 184

Serinin grafiinin izilmesi sonucu, bir ykselmeyi alalma takip etmekte, dier bir deyile yn deitirme sz konusu olduundan ikinci derece eri denklemi olan parabol denklemi trend hesabnda kullanlr. rnek Sorunun zm

Yllar 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Kodlu Yl X Ton - mil (Tek Say yk creti iin) (Milyon TL) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 184 182 192 178 180 162 176 172 174 188 184

XY -920 -728 -576 -356 -180 0 176 344 522 752 920

X2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

X2Y 4600 2912 1728 712 180 0 176 688 1566 3008 4600

X4 625 256 81 16 1 0 1 16 81 256 625

Y2 33856 33124 36864 31684 32400 26244 30976 29584 30276 35344 33856

XY = 1972 Y = -46

X2 = 110 X2Y = 20170 X4 = 1958 Y2 = 354208

a=

( Y )( X ) ( X Y )( X ) n( X ) ( X )4 2 2 4 2 2

a = 174.03 b = -0.418

b=

XY X2

C=

n X 2Y 4

(

) ( X )( Y ) n( X ) ( X )2 2

c = 0.524

17

Y = a + bX + cX2 = 174.03 0.418X + 0.524X2 Y = 174.03 0.418 (6) +0.524(6)2 = 190.386 1998

bulunur.

S yx =

Y

2

a Y b XY n3

Sxy=37.08

Tahminler gzlem deerlerinden, ortalama 37.08 kadar sapma gstermektedir.

2.3.4 stel Denklem

Y = a.bX Baml deikene ilikin veriler, logaritmik duruma getirilirse dorusal iliki : log Y = log a + X log b Burada: log Y : Bamsz deiken iin trend deerinin logaritmasn, log a : X = 0 durumunda log Y nin deerini, log b : Trend dorusu erisinin logaritmasn X : Bamsz deikeni ifade eder.

2.3.5 stel Denklem

a ve b katsaylarn:

log Y = n log a + X log b XlogY = X log a + X

2

log b

18

logY = nloga XlogY = X .log2

veya

log a = ( logY ) / n

log b = ( X log Y ) / X 2

2.3.6 Hiperbolik Denklem

1 / Y = a + bX

Y = 1 / (a+bX)

a ve b katsaylar ;

1 / Y = na + b X X/Y = n X + b Xa = ( 1 / Y ) / n

2

veya X = 0 olacak ekilde dzenleme yaplrsa ;

b = ( X / Y ) X 2

2.3.7 Kbik Denklem

Y = a + bX + cX2 + dX3 a, b ve c katsaylar normal denklem yoluyla ;

Y = na + b X + c X + d X XY = a X +b X + c X + d X X Y =a X +b X + c X + d X X Y =a X +b X + c X + d X2 3 2 3 4 2 2 3 4 3 3 4 5

5 6

19

veya;

X =X =X =0 Y = na + c X XY = b X + d X X Y = a X + c X X = b X + d X3 5 2 2 4 2 2 3 4 6

4

2.3.8 Geometrik Denklem

Y=a.Xb Bu denklemdeki a ve b katsaylar normal denklemler yoluyla bulunur.

log Y = n log a + b log X log X . log Y = log a log X + b ( log X )denklemlere ekonometride sabit esneklik modeli de denmektedir.

2

Bu normal denklemler tam logaritmik denklemler olarak da bilinir. Bu tip sl

2.3.9 En Kk Kareler Yntemin Avantajlar

23

Trend bulunacak periyotta olayn genel eilimi tm olarak deerlendirildii iin, dalgalarn uzunluu gibi zelliklerin incelenmesine gerek kalmaz. Hareketli ortalamalarda serinin bandaki ve sonundaki terimlerden bazlar hesaplanmaz. Halbuki E.K.Y bulunabilir. ile serideki gerek deerlerden her biri iin trend

23

AKDENZ, H.Ahmet., .a.g.e. s.415.

20

3. Mevsim Dalgalanmalarnn llmesiBir seride iklim ve sosyal sebeplerden dolay, her yl dzenli olarak tekrar eden periyodik deimeler mevsim dalgalanmalar olarak adlandrlr. Merubat satlar, inaat malzemeleri satlar, turizm hareketleri gibi

3.1 Aylk Verilerin Gn Saysna Gre AyarlanmasDzeltme Faktr = (Ort.Bir Aydaki Gn Say.)/ (O Aydaki Gerek Gn S.) Ortalama Bir Aydaki Gn Says : Normal Yllarda : (365)/12=30,41667 Artk Yllarda : (366)/12=30,5

Normal Bir yl iin Dzeltme Faktr Hesaplanmas ubat Ay iin: 30 gnlk Ay iin: D.F. = (30,41667)/28=1,08631 D.F. = (30,41667)/30=1,013889

31 gnlk aylar iin: D.F. = (30,41667)/31=1,981183

3.2 Mevsim Dalgalanmalarnn llmesinde Kullanlan Yntemler3.2.1 Genel Ortalamaya Oranlama Yntemi Bu yntemde her ayn aritmetik ortalamas bulunur. Daha sonra bu aritmetik ortalamalardan genel aritmetik ortalama hesaplanr. Bu yntem yle formllenir. GOOY = ( aylk/genel).100 Burada; GOOY : Genel Ortalamaya Oranlama Yntemi genel : aylk/12 dir.

21

3.2.1.1 Yntemin Dezavantajlar24 Trendin durgun olduu varsaylmaktadr. Halbuki ekonomik zaman serilerinin ounlukla bir hareketli bir trendi vardr. Bu yntemle elde edilen sonular, hem mevsimin hem de trendin ortak lsn vermektedir. Trendin eilimi azaldnda bu dezavantaj ortadan kalkar. 3.2.2 Trende Oranlama Yntemi Trende oranlama yntemiyle mevsimin indeksi bulunarak seride ilk olarak trendin etkisi giderilir.25

1.

En kk kareler yntemiyle elde edilen trend denklemiyle trend

deerleri aylk hesaplanr. 2. Trendin etkisi ortadan kaldrlr: [ (aylk)/ (aylk )] . 100 3. n ylnn aylarna ilikin oranlarn aritmetik ortalamas hesaplanr.

Mevsim indeksi deerini veren S lerin toplamn 1200 olmas istenir. 1200 olmadnda D.F. kullanlr.

3.2.2.1 Trende Oranlama Yntemi Dezavantajlar26 Mevsim ineksinin belirlendii aylk deerlerde, ekonomiksel zaman serilerine etki eden drt faktrnde etkisi mevcuttur. Trende oranlama ynteminde, gerek deerleri trende oranlamakla, trendin etkisi giderilir.

24 25 26

AKDENZ, H.Ahmet., .a.g.e. s.420.

DL, Orhan., Ynetimde statistik, stanbul niversitesi Yaynlar, stanbul 1988, s.109.AKDENZ, H.Ahmet., .a.g.e. s.424.

22

(Yaylk/Yaylk) ( T )( C )( S )( I ) / ( T ) = ( C ) ( S ) ( I )

3.2.3 Hareketli Ortalamalar Yntemi Mevsim indeksinin hesaplanmasnda en iyi yntem hareketli ortalamalar yntemidir.27

1. Mevsimsel dalgalanmalarn dalga boyu 12 olmas nedeniyle 12 erli hareketli ortalamalarla trend deerleri bulunur. 2. [ (aylk)/ (aylk )] . 100 forml ile gerek deerlerin mevsimin

etkisiyle hangi oranda deitii bulunur. 3. Deiik yllara ait ayn ay oranlarnn aritmetik ortalamas hesaplanr. 4. S 1200 ise dzletme faktryle S lerin ayarlanmas gereklidir.

D.F = (1200 ) / S S = ( S )( D.F .)i =1

12

4. Konjonktrel Dalgalanmalarn llmesi4.1 Yllk Serilerde Konjonktrn llmesiYllk seriler zerinde mevsimin etkisi sz konusu deildir. Bundan dolay faktrn sonucu olan gerek deerler trend deerlerine blndnde, trendin etkisi giderilecektir. Kalan ksm, konjonktrel ve dzensiz hareketler faktrlerinin etkisini verir.28

27 28

GMENELEB, Kemal., a.g.e.,s. 230. AKDENZ, H.Ahmet., .a.g.e. s.430.

23

( Y / Y ) = [( T )( C )( I ) / ( T ) ] = ( K ) ( I ) ( K ) ( I ) = [ ( Y ) / ( Y ) ] . 100 Bu eitlikte konjonktrn nceki periyotlardaki etkisi hesaplanabilir. Ancak konjonktrn gelecekteki etkisini tahminlemek mmkn deildir.29

4.1.1 rnek Soru ABC firmasnn 1988 1997 yllar arasnda Avrupa ya tarm rnleri ihracat miktarlar aada verilmitir. Verilerden yararlanarak konjonktrel dalgalanmalar lnz. 30

Yllar (X)) 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

hracat (Y) 999 814 794 630 940 936 1018 1244 1282 1084

(Ton)

29 30

DL, Orhan., a.g.e., s.116. AKDENZ, y.a.g.e, s.431.

24

Yllar(X) 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

(X) -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 X = 0

hracat (Y) 999 814 794 630 940 936 1018 1244 1282 1084

X2 91 49 25 9 1 1 9 25 49 81

XY -8991 -5698 -3970 -1890 -940 936 3054 6220 8974 9756

Trend Y' 607,26 688,78 770,3 851,82 933,34 1014,86 1096,38 1177,9 1259,42 1340,94

KI = ( Y / Y' ) . 100 164,51 118,18 103,08 73,96 100,71 92,23 92,85 105,61 101,79 80,84

Y = 1972 X2 = 330 XY = 13451

Y = na a = (Y ) / n

XY = b X b = ( XY ) / ( X )2 2

a = 974,1 b = 40,76 Y = a + bX = 974,1 + 40,76X

Eitlikte X yerine -9, -7, -5, .... , 5, 7, 9 deerleri elde edilmitir.

deerleri konularak Y trend

(K I) oranlarna bakldnda, konjonktrel dalgalanmalarn etkisiyle ihracatn 1988, 1989, 1990, 1992, 1995 ve 1996 yllarnda trendin; normalitenin zerinde olduu dier yllarda ise dk olduu gzlenmitir.

4.2 Aylk Serilerde Konjonktrn llmesiAylk serilerde konjonktrn llmesi iki aamada gerekletirilir. 1. Aylk serilerde konjonktr dalgalanmalarnn etkisini belirleyebilmek iin ilk olarak aylk trend deerleri ilgili aylarn mevsim indeksleri ile arplarak her ay iin konjonktrn etkisini iermeyen normal deerleri hesaplanr. (Yaylk ) ( S )

25

2. Gerek deerler, normal deerlere blnerek oran eklinde ifade edilir. K. I = [ ( Yaylk ) / ( Yaylk ) ( S ) ] . 100 Bylelikle her ay gerek deerlerin konjonktr nedeniyle normalin hangi oranda zerinde yada altnda olduu belirlenir.

26

KAYNAKLARAKALIN, Sedat., letme statistii, Bayrakl Matbaaclk, zmir, 1990 AKDENZ, H.Ahmet., Uygulamal statistik II, Dokuz Eyll niversitesi ktisadi ve dari Bilimler Fakltesi, zmir, 1998 KKSAL, A. Bilge.,statistik Analiz Metodlar, alayan Kitabevi, stanbul, 1985 DL, Orhan., Ynetimde statistik, stanbul niversitesi Yaynlar, stanbul 1988 GMENELEB, Ankara,1976 SINCICH, Terry., Business Statistics By Example, Prentice- Hall International Editions, fifth edition, USA, 1996 MANN, S.Prem., Statistics For Business and Economics, Wiley, USA, 1995 Zaman Serileri Analizi, http://abone.rt.net.tr/oryanmh/Elemanter Istatistik.htm, 15/12/2001 http://freney.sys.virginia.edu/ Kemal., statistik Metodlar, Ongun Matbaaclk,