1

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ

1

2

1. GİRİŞ

• Trent, serinin genelinde yukarıya ya da aşağıya doğru olan hareketlere denmektedir. Bu hareket bazen düz bir doğru şeklinde olmaktadır. Bu tür harekete sahip trendlere doğrusal trend adı verilmektedir. Bazen ise bu hareket düz bir doğru şeklinde olmayıp matematiksel eğriler şeklinde olmaktadır. Böyle hareketlere sahip trendlere ise eğrisel trend adı verilmektedir.

2

3

• Basit regresyon analizi, doğrusal ilişkileri ya da doğrusal trendi modelleme amacıyla en sık uygulanan yöntemdir. Öte yandan eğrisel trendleri modelleyebilmek için verilere dönüşüm uygulamak ya da çoklu regresyon modelinin kurulması gerekmektedir. Ancak regresyon analizinin seriye uygulanabilmesi için serinin trendinin zaman içinde değişiklik göstermemesi gerektiğine dikkat edilmelidir.

3

4

• Zaman içinde aynı özellikte olan ve yapısal değişiklikler göstermeyen trendlere determinisitik trend adı verilmektedir. Eğer bir seri deterministik trende sahip ise, serinin grafiği daima trend doğrusuna ya da eğrisine dönme eğilimi gösterir.

• Zaman serileri regresyon analizinde bağımsız değişken olarak «zaman» ele alınır (t=1,2,…,T).

4

5

• Bu analizin istatistiksel olarak geçerli olabilmesi için birtakım varsayımların sağlanması ve istatistiksel testler sonucu istenilen özelliklerin elde edilebilmesi gerekmektedir. Varsayımlar sağlandıktan sonra hesaplanan öngörü değerleri güvenilir olacak ve gerçeği yansıtacaktır.

5

6

2. REGRESYON ANALİZİNDE İSTENİLEN ÖZELLİKLER

A. Normallik Testi

B. Değişen Varyans Sorunu

Bir serinin durağan olmama sorunu sadece fark işlemiyle çözülemeyebilir. Çünkü bazı seriler ortalamada durağan, varyansta durağan olmayabilirler. Bu durumda değişen varyanssorunu ortaya çıkar. Bu sorunun çözümü için seriye Box-Cox Dönüşüm Yöntemi uygulanır.

6

7

λ

λλ 1)( −

= tt

zz

7

8

• Bu dönüşümlerden birinin seriye uygulanmasıgerekiyorsa analizin başında hatta fark işleminden de önce ilgili dönüşümün yapılmasışarttır. Ayrıca logaritma ve karekök dönüşümlerinin sadece pozitif değerli serilere uygulanabileceğine dikkat edilmelidir. Eğer negatif değerli veriler varsa ve bu seriye logaritma ya da karekök dönüşümünün mutlaka yapılması gerekliyse, bu durumda serideki tüm veriler pozitif olabilecek şekilde keyfi bir sayıyla toplanmalıdır.

8

9

• Bir serinin tüm verilerine sabit bir değer eklendiğinde serinin yapısında bir değişiklik olmayacağı, dolayısıyla yapılacak analiz için bir sakınca doğurmayacağı unutulmamalıdır. Bu dönüşümler sadece değişen varyanssorununda değil, serinin normal dağılımı sahip olmadığı durumlarda seriyi normalleştirme amaçlı da kullanılabilmektedir. Hangi dönüşümün yapılmasına karar verme aşamasında HKO değerine bakılır. Hangi dönüşümde modelin HKO değeri en küçük ise seriye o dönüşüm uygulanır.

9

1010

1111

12

3. MEVSİMSEL OLMAYAN SERİLERDE REGRESYON ANALİZİ

A. Basit Doğrusal Regresyon Modeli

zt = a + bt + εt

B. Birinci Farklar Regresyon Modeli

∆zt = a +bt + εt

C. Üstel Regresyon Modeli

zt = abt + εt

D. Karesel Regresyon Modeli

zt = a + b1t + b2t2 + εt

12

13

E. Lojistik Regresyon Modeli

Lojistik regresyon modelinde seriye:

dönüşümü yapılmaktadır. Burada L serideki en büyük gözlem değerinden daha büyük keyfi bir sabit değerdir. Serinin dönüşümü yapıldıktan sonra elde edilen yeni seriye;

Basit doğrusal regresyon analizi uygulanır.

13

−= 1ln*

zt

t

Lz

tt btaz ε++=*

14

• Buradan serisinin tahmini elde edilir. Orijinal serinin tahmini ise;

eşitliği ile hesaplanır.

F. Kübik Regresyon Modeli

zt = a + b1t + b2t2 + b3t3 + εt

14

*tz

)exp(1ˆ

*t

tz

Lz

+=

15

G. Diğer Regresyon Modelleri-Logaritmik Regresyon Modeli

zt = a + b ln(t) + εt

-Artan Regresyon Modeliln(zt) = ln(a) + ln(b)t + εt

-Güç Regresyon Modelizt = atb

-S Regresyon Modeliln(zt) = a+ b (1/t) + εt

-Ters Regresyon Modelizt = a + b(1/t) + εt

15

16

4.MEVSİMSEL SERİLERDE REGRESYON ANALİZİ

17

1.Toplamsal Model İçin

18

19

20

21

• İlgilenilen mevsimsel seri için elde edilen regresyon denkleminin hata terimi diğer yöntemlerde olduğu gibi mutlaka beyazgürültülü olmalıdır. Aksi takdirde elde edilen regresyon denklemi seriye uygun değildir ve hesaplanan tahmin değerleri güvenilir değildir. Bu durumda baştan seriye uygun yeni bir regresyon denklemi kurulmalıya da regresyon analizinden başka bir yöntem seçilmelidir.

22

2.Çarpımsal Model İçin

23

• Burada i indisli toplam serinin trendini, i ve j indisli iki toplam ise mevsimselliğin çarpımsal biçimde olduğunu göstermektedir. Bu denklem aşağıdaki biçimde de yazılabilir:

Burada regresyon katsayıları =bicj ve =bidj

olmaktadır.

[ ]

t

m

i

m

i

s

jjj

tit

s

jttd

s

jttctbaz ε

ππ+

+

++= ∑ ∑ ∑

= = =1 1

2/

1

** 2cos

2sin

*jc *

jd

24

• Bu denklemde bağımsız değişkenin t serisi ile sinüs fonksiyonu serisini çarpımı, t serisi ile kosinüs fonksiyonu serisinin çarpımı t serisi olduğuna dikkat edilmelidir.

• Mevsimsel serilere uygulanan regresyon analizinde katsayılar yine en küçük kareler yöntemi kullanılır.