Zadatak 261 (Mia, strukovna škola) č 2proporcionalna pomaku s, smjera suprotnoga pomaku kažemo da harmonijski titra. Elasti čna sila je sila kojom se tijelo opire deformaciji zbog

1

Zadatak 261 (Mia strukovna škola) Lopta mase 02 kg slobodno pada s visine 5 m Odredite kinetičku energiju lopte pri udaru o

tlo Otpor zraka zanemarujemo (g = 10 ms2)

Rješenje 261

m = 02 kg h = 5 m g = 10 ms2 Ek =

Potencijalna energija je energija mentildeudjelovanja tijela Ona ovisi o mentildeusobnom položaju tijela ili o

mentildeusobnom položaju dijelova tijela U polju sile teže tijelo mase m ima gravitacijsku potencijalnu

energiju

E m g hgp = sdot sdot

gdje je g akceleracija slobodnog pada a h vertikalna udaljenost tijela od mjesta gdje bi prema

dogovoru tijelo imalo energiju nula

Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju

1 2

2E m v

k= sdot sdot

Zakon očuvanja energije

bull Energija se ne može ni stvoriti ni uništiti već samo pretvoriti iz jednog oblika u drugi

bull Ukupna energija zatvorenog (izoliranog) sustava konstantna je bez obzira na to koji se procesi

zbivaju u tom sustavu

bull Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije mora se pojaviti i jednak prirast

nekog drugog oblika energije

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

22 v a s= sdot sdot

gdje su v brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a

za vrijeme t

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 ms i konstantnom

akceleracijom a = g = 981 ms2 Za slobodni pad vrijedi izraz

22 v g h= sdot sdot

gdje su v brzina pada h visina pada g ubrzanje sile teže

1inačica

Budući da je otpor zraka zanemaren zbog zakona o očuvanju energije gravitacijska potencijalna

energija Egp koju tijelo ima na početnoj visini h jednaka je kinetičkoj energiji Ek koju tijelo ima pri

udaru o tlo

02 10 5 10 2

E m g hgp mE m g h kg m J

kE Egp sk

= sdot sdotrArr = sdot sdot = sdot sdot =

=

2inačica

Kinetička energija lopte pri udaru o tlo iznosi

metoda2

supstitucije 2

1 21 1

2 222

2

E m vk

E m g h E m g hk k

v g h

= sdot sdotrArr rArr = sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr

= sdot sdot

02 10 5 10 2

mE m g h kg m J

ks

rArr = sdot sdot = sdot sdot =

Vježba 261 Lopta mase 01 kg slobodno pada s visine 10 m Odredite kinetičku energiju lopte pri udaru o

tlo Otpor zraka zanemarujemo (g = 10 ms2)

Rezultat 10 J

2

Zadatak 262 (TNT medicinska škola)

Koja veličina ima jedinicu kg m2 s

-2

Sila Količina gibanja Impuls sile RadA B C D

Rješenje 262

Jedinica za

bull duljinu je metar

[ ]s m=

bull vrijeme je sekunda

[ ]t s=

bull masu je kilogram

[ ]m kg=

bull brzinu je metar u sekundi

[ ] 1mv m s

s

minus= = sdot

bull akceleraciju je metar u sekundi na kvadrat

[ ]2

2m

a m s

s

minus= = sdot

Sila je fizikalna veličina kojom se opisuje mentildeudjelovanje tijela i njegove okoline koje može

uzrokovati promjenu brzine ili oblika tijela

Matematički se računa

F m a= sdot

Jedinica za silu je

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2

2

mF m a F kg F kg m s

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = sdot sdot

Količina gibanja je vektorska fizikalna veličina koja odrentildeuje inertnost pri gibanju neke mase tvari

Matematički se računa p m v= sdot

Jedinica za količinu gibanja je

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1

mp m v p kg p kg m s

s


Impuls sile vektorska je fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile na tijelo


I F t= sdot

Jedinica za impuls sile je

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 1I F t I kg m s s I kg m s

minus minus= sdot rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot

Rad je skalarna fizikalna veličina kojom se iskazuje djelovanje sile na putu


W F s= sdot

Jedinica za rad je

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2W F s W kg m s m W kg m s


Odgovor je pod D

Vježba 262 Koja veličina ima jedinicu kg m s

-2


Rezultat A

3

Zadatak 263 (Rony gimnazija)

Jabuka mase m = 01 kg padne s visine h = 2 m na oprugu Ona se zbog toga stisne za

y = 10 cm Kolika je konstanta k opiranja opruge Za akceleraciju sile teže uzmite 10 ms2

10 40 100 400N N N N

A B C Dm m m m

Rješenje 263

m = 01 kg h = 2 m y = 10 cm = 01 m g = 10 ms2 k =

Potencijalna energija je energija mentildeudjelovanja tijela Ona ovisi o mentildeusobnom položaju

tijela ili o mentildeusobnom položaju dijelova tijela U polju sile teže tijelo mase m ima gravitacijsku

potencijalnu energiju




Titranje je periodično gibanje oko ravnotežnog položaja Periodično gibanje je gibanje koje se

ponavlja nakon odrentildeenog vremenskog intervala (perioda) Najjednostavnije titranje je harmoničko

titranje tj titranje koje uzrokuje harmonijska (elastična) sila Ona je razmjerna pomaku iz ravnotežnog

položaja

F k x= minus sdot

Pomaknemo li oprugu iz ravnotežnog položaja stiskanjem ili rastezanjem ona titra oko tog položaja

Svaki pomak od ravnotežnog položaja nazivamo elongacijom a najveći pomak od položaja ravnoteže

nazivamo amplitudom Elastična potencijalna energija opruge dana je formulom

1 2

2E k xep = sdot sdot

gdje je x pomak od ravnotežnog položaja k koeficijent elastičnosti opruge







y

h

Kada jabuka padne s visine h na oprugu gravitacijska potencijalna energija jabuke Egp zbog zakona

održanja energije transformirat će se u elastičnu potencijalnu energiju Eep opruge

4

2

1 1 22 2

22 22

m g hE E m g h k y m g h

y

k y kgp epy

sdot sdot sdot= rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot sdot sdot rArr = rArr

( )

2 01 10 222

400 2 2

01

mkg m

m g h Nskmy m

sdot sdot sdotsdot sdot sdot

rArr = = =

Odgovor je pod D

Vježba 263



10 40 100 400N N N N

A B C Dm m m m

Rezultat D

Zadatak 264 (Helena srednja škola)

Na tijelo djeluje sila od 103 N tako da se ono giba brzinom 10 ms Kolika je snaga kojom

djeluje sila

3 1000 10 10 10A W B kW C kJ D kW

Rješenje 264

F = 103 N v = 10 ms P =

Brzinu rada izražavamo snagom Snaga P jednaka je omjeru rada W i vremena t za koje je rad

obavljen tj

W

Pt

=

Za trenutnu snagu možemo pisati

P F v= sdot

pri čemu je v trenutna brzina

Snaga kojom djeluje sila iznosi

3 310 10 10 10 10

mP F v N W kW

s= sdot = sdot = sdot =

Odgovor je pod B

Vježba 264

Na tijelo djeluje sila od 1 kN tako da se ono giba brzinom 36 kmh Kolika je snaga kojom

djeluje sila

3 1000 10 10 10A W B kW C kJ D kW

Rezultat B


Osoba vuče teret silom F Graf prikazuje ovisnost sile F o pomaku tereta d Sila i pomak su na

istom pravcu Koliki je rad obavljen pri pomaku od 2 m

10 7 5 25A J B J C J D J

5

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rješenje 265

a = 2 b = 5 W = P =

Tijelo obavlja rad W ako djeluje nekom silom F na putu s na drugo tijelo Ako sila djeluje u smjeru

gibanja tijela vrijedi

W F s= sdot

Ploština ispod krivulje sile u F s ndash grafu brojčano odgovara obavljenom radu

W

s

F

s1 s2 Trokut je dio ravnine omentildeen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti

imaju jedan pravi kut (90ordm)

Ploština pravokutnog trokuta čije su katete a i b dana je formulom

2

a bP

sdot=

Obavljeni rad po iznosu jednak je ploštini pravokutnog trokuta

W

F N

d md m

F N

1

2

3

4

5

5432

1

2

3

4

5

54320 1 0 1

2 52 5

2 55

2 22

a ba b

a bP W W Ja b

W

W P

= == =

sdot sdot= rArr rArr = rArr =sdot

=

=

Odgovor je pod C

Vježba 265



10 7 5 25A J B J C J D J

6

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rezultat A

Zadatak 266 (Marija srednja škola)

U opruzi je pohranjena energija 25 J uz produljenje 125 cm Kolikom je silom djelovano na

oprugu

Rješenje 266

Eep = 25 J s = 125 cm = 125 m F =

Ako tijelo obješeno o elastičnu oprugu izvučemo iz položaja ravnoteže za neki pomak s i pustimo ga

ono će harmonijski titrati Za svako tijelo koje se giba poput tijela na opruzi što uzrokuje sila upravno

proporcionalna pomaku s smjera suprotnoga pomaku kažemo da harmonijski titra

Elastična sila je sila kojom se tijelo opire deformaciji zbog djelovanja vanjske sile F i razmjerna je

pomaku iz ravnotežnog položaja s

F k srarr rarr

= minus sdot

Iznos elastične sile je

F k s= minus sdot

gdje je k konstanta elastičnosti opruge

Potencijalna energija elastične deformacije opruge konstante k kojoj se duljina djelovanjem sile F

smanjila ili povećala za s

1 2

2E k sep = sdot sdot

Računamo silu kojom se djelovalo na oprugu

2 metoda2

sup

21 21 2222

stitucije

EepE k s kE k s epep

s

F k s F k

s

s F k s

sdot= sdot sdot == sdot sdot

rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot =

sdot

sdot

2 2 2 2540

2 125

E E Jep epF s F N

s ms

sdot sdot sdotrArr = sdot rArr = = =

Vježba 266


oprugu

Rezultat 40 N

7


Koliko iznosi konstanta opruge koja se produlji za 05 m pod djelovanjem sile 200 N

Rješenje 267

s = 05 m F = 200 N k =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot


Konstanta opruge iznosi

200400

0

1

5

F N NF k s F k s k

s m ms= sdot rArr = =sdotsdot rArr = =

Vježba 267


Rezultat 400 N

m


Za sabijanje elastične opruge za 1 cm potrebno je djelovati silom od 30 N Koliku energiju je

potrebno uložiti za sabijanje iste opruge za 15 cm

Rješenje 268

s1 = 1 cm = 001 m F = 30 N s2 = 15 cm = 015 m Eep =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2


Računamo energiju potrebnu za sabijanje opruge

1

metoda1

supstitucije

111

1 21 12 222 2 22 2

FF k s kF k s

s

E k sepE k s E k sep e

s

p

= sdot == sdot

rArr rArr rArr rArr= sdot sdot

= sdot

sdot

sdot = sdot sdot

( )1 30 2

015 3375 2 001

NE m Jep

mrArr = sdot sdot =

8

Vježba 268



Rezultat 3375 J

Zadatak 269 (Barbara gimnazija)

Automobil vozi po horizontalnom putu brzinom 60 kmh Vozač stisne kočnicu i automobil se

zaustavi na putu od 20 m Koliki put bi prešao do zaustavljanja da mu je brzina bila 120 kmh Sila

koja zaustavlja automobil jednaka je u oba slučaja

20 40 60 80A m B m C m D m

Rješenje 269

v1 = 60 kmh s1 = 20 m v2 = 120 kmh = 2 v1 F = konst s2 =

Drugi Newtonov poučak Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila

F

a F m am

= rArr = sdot


22 v a s= sdot sdot

gdje je v brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t Za jednoliko usporeno gibanje vrijedi isti izraz

Budući da je sila koja zaustavlja automobil jednaka u oba slučaja i akceleracija je jednaka Iz sustava

jednadžbi dobije se traženi put s2

2po2

d2 2 22 ijel 21 1 2 2 2 2 2 22 2 22

imo

jednadžbe 22 1 1 12

1 1 12 2

v a s v a s v s v s

a s s sv v vv a s

a

a

= sdot sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdot sdot= sdot sdot

sdot

sdot

2 2 2 222

2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 12

1 1 1 1 1

1 11

1s

s v s v s v v vs s s s

s s v s v v vv

sdotrArr = rArr = rArr = rArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

22 2

2 20 4 80 2 1

12 1

1s sv

vs s m m

sdotrArr = sdot rArr = sdot = sdot =

Odgovor je pod D

Vježba 269




20 40 60 80A m B m C m D m

Rezultat D


Da se automobil ubrza iz stanja mirovanja do brzine 10 ms treba uložiti rad W0 Zanemarite

li silu trenja i otpor zraka koliko je rada potrebno uložiti da se automobil ubrza od brzine 10 ms do

brzine 30 ms

8 4 3 20 0 0 0

A W B W C W D Wsdot sdot sdot sdot

Rješenje 270

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =

9


1 2

2E m v

k= sdot sdot

Kad tijelo obavlja rad mijenja mu se energija Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu

Da bi se tijelu povećala kinetička energija mora okolica na njemu obaviti rad Ako se tijelu smanjuje

kinetička energija tijelo obavlja rad







Rad je jednak promjeni energije

Da se automobil ubrza iz stanja mirovanja do brzine v1 treba uložiti rad W0

1 1 1 1 12 2 2 2 20

0 1 0 0 1 0 12 2 2 2 2W m v m v W m v m W m v= sdot sdot minus sdot sdot rArr = sdot sdot minus sdot sdot rArr = sdot sdot

Da se automobil ubrza od brzine v1 do brzine v2 treba uložiti rad W

( )1 1 12 2 2 2

2 1 2 12 2 2W m v m v W m v v= sdot sdot minus sdot sdot rArr = sdot sdot minus

Iz sustava jednadžbi dobije se uloženi rad W

( )( ) ( )1

podijelimo 21jednadžbe

1 2 1 2 2 2 20 1 2 1 2 12 2

1 2 21 2 2 0 01 12 1 22 2

mW m v m v v v vW W

W WW mm v vm v v

= sdot sdot sdot sdot minus sdot minus

rArr rArr = rArr = rArr

sdot sdot sdot= sdot sdot minus

sdot

sdot

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

02 2 20 01 1 1

0

v vW

v v v vW WW W

W Wv v v

sdotminus minus minus

rArr = rArr = rArr = sdot rArr

2 2

30 10

8 0 02

10

m m

s sW W W W

m

s

minus

rArr = sdot rArr = sdot

Odgovor je pod A

Vježba 270



brzine 20 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rezultat C



li silu trenja i otpor zraka koliko je rada potrebno uložiti da se automobil zaustavi kada ima brzinu

30 ms

2 4 8 90 0 0 0


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20


Da se automobil zaustavi kada ima brzinu v2 treba uložiti rad W

1 1 1 1 12 2 2 2 20

2 0 2 22 2 2 2 2W m v m v W m v m W m v= sdot sdot minus sdot sdot rArr = sdot sdot minus sdot sdot rArr = sdot sdot

(gledamo samo iznos rada pa je predznak pozitivan)


1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv

= sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr = rArr


sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10

mv v vW W sW W W W W W

mW v W vW

v

s

rArr = rArr = rArr = sdot rArr sdot rArr =sdot = sdot

Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B

Zadatak 272 (Ante srednja škola)

Automobil mase 800 kg ubrza iz stanja mirovanja do brzine 108 kmh za 10 s Kolika je

srednja snaga motora potrebna za ubrzavanje

Rješenje 272

m = 800 kg v0 = 0 ms v1 = 108 kmh = [108 36] = 30 ms t = 10 s P =


11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=

Računamo srednju snagu motora Rad je jednak promjeni energije pa vrijedi

( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2

W E m v m v m v vk EkP P PW

t t tPt

= ∆ sdot sdot minus sdot sdot sdot sdot minus∆rArr = rArr = rArr = =

=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW


Dizalica snage 1800 W podiže tijelo mase 200 kg na visinu 20 m Koliko dugo traje

podizanje (ubrzanje sile teže g = 10 ms2)

Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=

Računamo vrijeme podizanja tijela Rad je jednak promjeni energije pa vrijedi

W Egp E E E m g hgp gp gpP P t tW

t t P PPt

t

P

=sdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArrsdot = ==

200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s


Kolica mase 80 kg brzine 4 ms zaustave se sabijajući dugu oprugu za 40 cm Odredi

konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2









Zbog zakona očuvanja energije kinetička energija kolica bit će jednaka elastičnoj potencijalnoj

energiji sabijene opruge

2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2

m vE E m v k x m v k x kep

xxk

sdotsdot

= rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr = =

2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13

Zadatak 275 (Ivan srednja škola)

Kamen mase 40 grama bačen je vertikalno prema dolje s visine 60 m početnom brzinom 4 ms

i pao je brzinom 32 ms Koliki je obavljen rad (g = 981 ms2)

Rješenje 275 m = 40 g = 004 kg h = 60 m v1 = 4 ms v2 = 32 ms g = 981 ms

2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot







Zbog zakona očuvanja energije zbroj rada W koji obavi zaustavna sila (otpor zraka) i kinetičke

energije Ek2 koju kamen ima pri padu jednak je zbroju gravitacijske potencijalne Egp i kinetičke

energije Ek1 kamena u trenutku izbacivanja s visine h

1 12 22 12 1 2 2

W E E E W m v m g h m vgpk k+ = + rArr + sdot sdot = sdot sdot + sdot sdot rArr

1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2

W m g h m v m v W m g h v vrArr = sdot sdot + sdot sdot minus sdot sdot rArr = sdot sdot + sdot minus sdot =

2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss

= sdot sdot + sdot minus sdot =

Vježba 275



Rezultat 6768 J

Zadatak 276 (Any gimnazija)

Na dva nepomična tijela masa m i 4 m počinje djelovati jednaka sila F na putu s Koliki je

omjer kinetičkih energija na kraju puta s

1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot










Kinetička energija tijela jednaka je utrošenom radu sile F na putu s Zato vrijedi

bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==

= sdot rArr rArr = sdot= sdot

=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

Omjer kinetičkih energija na kraju puta s iznosi

1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A



omjer brzina tijela na kraju puta s

11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica

Budući da na dva nepomična tijela masa m1 i m2 počinje djelovati jednaka sila F na putu s vrijedi

bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s

= sdot = sdot sdot sdot sdot sdotrArr rArr rArr = rArr = rArr

sdot sdot= sdot sdot= sdot sdot

2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1

v vs s F s F s F sv v v

F m F m m m mF

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot

bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s

= sdot = sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr rArr rArr = rArr = rArr

sdot sdot sdot sdot= sdot sdot= sdot sdot

2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF

sdot sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

sdot sdot sdot sdot sdotsdot

Omjer brzina tijela na kraju puta s je

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22

F s F sv v v v v vm m

F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot

sdot sdot sdot sdot sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdotsdot

sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d

E W m v F s m v F sk

E Wk m v F s m v F s

= sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot

rArr rArr rArr rArr=

sdot sdot = sdot sdot sdot sdot = sdot

16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot

rArr = rArr = rArr = rArr = rArrsdot sdot sdotsdot sdot sdot sdot sdot

sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B

Zadatak 278 (Marija gimnazija)

Tijelo mase 3 kg guramo jednoliko duž kosine koja je dugačka 4 m a visoka 2 m Trenje

zanemarujemo Koliki se rad obavi nad tijelom ako ga guramo od dna do vrha kosine (g = 10 ms2)

Rješenje 278

m = 3 kg v = konst s = 4 m h = 2 m g = 10 ms2 W =



energiju






W F s= sdot


Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada Prema drugom

Newtonovom poučku

G m g= sdot

gdje je G sila teža m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka

Prvi Newtonov poučak

Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba

jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot toga kuta i duljine

hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti Kraće

Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne)

Kutovi s okomitim kracima

αααα = ββββββββ

αααα

1inačica

Kada tijelo mase m guramo jednoliko duž kosine čija je visina h njegova gravitacijska potencijalna

energija poraste za

E m g hgp∆ = sdot sdot

Promjena energije jednaka je obavljenom radu nad tijelom

3 10 2 60 2

E m g hgp mW m g h kg m J

W Egp s

∆ = sdot sdotrArr = sdot sdot = sdot sdot =

= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

Silu težu (težinu tijela) G rastavimo na dvije komponente

bull komponentu F1 u smjeru kosine koja tijelo ubrzava niz kosinu

bull komponentu F2 okomitu na kosinu koja pritišće kosinu

Uočimo pravokutne trokute

bull pravokutan trokut čija je kateta F2 i hipotenuza G (žuta boja)

bull pravokutan trokut čija je kateta h i hipotenuza s (plava boja)

αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18

Trokuti su slični jer imaju jednake kutove Zato vrijedi

1sin1 1

1 1

sin

F

F Fh h h hGF G F m g

G s G s s sh

s

G

α

α

=

rArr = rArr = rArr = sdot rArr = sdot sdot

=

sdot

Tijelo se giba jednoliko duž kosine pa sila F kojom guramo tijelo mora biti po iznosu jednaka sili F1

ali suprotnog smjera

αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=

rArr = sdot sdot= sdot sdot

Obavljeni rad W nad tijelom koje prevali put s ako se gura od dna do vrha kosine iznosi

23 10 4 60

2 4

h m mW F s W m g s W kg m J

s ms

= sdot rArr = sdot sdot sdot = = sdot sdot sdot =

Vježba 278


zanemarujemo Koliki se rad obavi nad tijelom ako ga se gura od dna do vrha kosine (g = 10 ms2)

Rezultat 80 J

Zadatak 279 (Matea srednja škola)

Vagon mase 20 t giba se jednoliko po vodoravnoj pruzi brzinom 1 ms te nalijeće na mirni

vagon mase 30 t Koliko se kinetičke energije pretvori u druge oblike energije ako se vagoni nakon

sudara gibaju zajedno

Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot





Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije mora se pojaviti i jednak prirast nekog

drugog oblika energije

19

Količinu gibanja definiramo kao umnožak mase tijela i njegove brzine Količina gibanja je vektorska

veličina

kad računamo izno sp m v p m vrarr rarr

= sdot = sdot

Zakon o sačuvanju količine gibanja

Zbroj količina gibanja dva tijela prije njihova mentildeusobnog djelovanja jednak je zbroju njihovih

količina gibanja nakon mentildeusobnog djelovanja To vrijedi i za više od dva tijela

Zakon održanja količina gibanja dvaju tijela masa m1 i m2 kojima su početne brzine bile v1 i v2 a

brzine nakon njihova mentildeusobnog djelovanja v1 i v2 glasi

1 1 2 2 1 1 2

2

m v m v m v m vsdot + sdot = sdot + sdot

Zbroj količina gibanja obaju tijela prije njihova mentildeusobnog djelovanja jednak je zbroju njihovih

količina gibanja nakon mentildeusobnog djelovanja

Uporabom zakona o očuvanju količine gibanja odredimo brzinu v kojom se vagoni zajedno gibaju

nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2

m v m v m v m v m v m m v m vsdot + sdot = sdot + sdot rArr sdot + sdot = sdot + sdot rArr

( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1

m vm v m m v m v m m v v

m mm m

sdotrArr sdot = + sdot rArr sdot = + sdot rArr =

+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot

Računamo kinetičke energije

bull prije sudara prvog vagona mase m1 i brzine v1

1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot

bull prije sudara drugog vagona mase m2 koji miruje

02

Ek

=

bull nakon sudara vagona koji se zajedno gibaju brzinom v

( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot

Razlika kinetičke energije prije i poslije sudara pretvori se u druge oblike energije

( )1 12 21 1 1 21 2 2

E E E E m v m m vk k kz k

∆ = minus rArr ∆ = sdot sdot minus sdot + sdot =

( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s

= sdot sdot sdot minus sdot sdot + sdot sdot = = sdot =

vv1

m2m1m2m1

Vježba 279

Vagon mase 20 t giba se jednoliko po vodoravnoj pruzi brzinom 36 kmh te nalijeće na mirni



Rezultat 6 kJ

20

Zadatak 280 (Saša tehnička škola)

Tane mase m doleti horizontalno do drvene kugle koja je na podu Tane proleti središtem

kugle Treba odrediti kolika je energija prešla u toplinu ako je v1 brzina taneta prije nego što je

pogodilo kuglu v2 brzina taneta nakon prolaza kroz kuglu a mk masa kugle Trenje izmentildeu poda i

kugle zanemarimo

Rješenje 280

m1 = m v2 = 0 ms kugla miruje v1 = v1 v1 = v2 m2 = mk v2 =

Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2




Uporabom zakona o očuvanju količine gibanja odredimo brzinu v2 kugle nakon što kroz nju proleti

tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2

m v m v m v m v m v m m v m vk k

sdot + sdot = sdot + sdot rArr sdot + sdot = sdot + sdot rArr

01 2 2 1 2 2 2 2 1

m v m v m v m v m v m v m v m v m vk k k

rArr sdot + = sdot + sdot rArr sdot = sdot + sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

( ) ( ) 2 1 2 2

1

1 2 2 1 2m v m v m v m v m v v m v m v v

k k mk

krArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot = sdot minus sdotminus rArr sdot rArr

( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus

Računamo kinetičku energiju

bull taneta mase m koje se giba brzinom v1 prije nego što prontildee kroz kuglu

1 211 2

E m vk

= sdot sdot

bull kugle mase mk koja miruje

10 0

2 22E m E

k k k= sdot sdot rArr =

bull taneta mase m koje se giba brzinom v2 nakon što je prošlo središtem kugle

21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot

bull kugle mase mk koja se giba brzinom v2 nakon što je kroz nju prošlo tane

( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2

m mE m v E m v v E m v v

k k k k k km mk k

= sdot sdot rArr = sdot sdot sdot minus rArr = sdot sdot sdot minus rArr

( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk

mrArr = sdot sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus

Zbroj kinetičkih energija prije prolaza taneta kroz drvenu kuglu iznosi

1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v

k k= + rArr = sdot sdot + rArr = sdot sdot

Zbroj kinetičkih energija nakon prolaza taneta kroz drvenu kuglu je

( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk

= + rArr = sdot sdot + sdot sdot minus

Energija koja je prešla u toplinsku jednaka je razlici kinetičke energije prije i poslije prolaza taneta

kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2

mQ E Q E E Q m v m v v v

k mk

= ∆ rArr = minus rArr = sdot sdot minus sdot sdot + sdot sdot minus rArr

( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2

m m mQ m v m v v v Q v v v v

m mk k

rArr = sdot sdot minus sdot sdot minus sdot sdot minus rArr = sdot minus minus sdot minus

v2

v2v1

Vježba 280



pogodilo kuglu v2 brzina taneta nakon prolaza kroz kuglu a 123 middot m masa kugle Trenje izmentildeu poda

i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v

= sdot minus minus sdot minus

2

Zadatak 262 (TNT medicinska škola)

Koja veličina ima jedinicu kg m2 s

-2


Rješenje 262

Jedinica za

bull duljinu je metar

[ ]s m=

bull vrijeme je sekunda

[ ]t s=

bull masu je kilogram

[ ]m kg=

bull brzinu je metar u sekundi

[ ] 1mv m s

s

minus= = sdot

bull akceleraciju je metar u sekundi na kvadrat

[ ]2

2m

a m s

s

minus= = sdot

Sila je fizikalna veličina kojom se opisuje mentildeudjelovanje tijela i njegove okoline koje može

uzrokovati promjenu brzine ili oblika tijela


F m a= sdot

Jedinica za silu je

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2

2

mF m a F kg F kg m s

s


Količina gibanja je vektorska fizikalna veličina koja odrentildeuje inertnost pri gibanju neke mase tvari

Matematički se računa p m v= sdot

Jedinica za količinu gibanja je

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1

mp m v p kg p kg m s

s


Impuls sile vektorska je fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile na tijelo


I F t= sdot

Jedinica za impuls sile je

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 1I F t I kg m s s I kg m s


Rad je skalarna fizikalna veličina kojom se iskazuje djelovanje sile na putu


W F s= sdot

Jedinica za rad je

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2W F s W kg m s m W kg m s


Odgovor je pod D

Vježba 262 Koja veličina ima jedinicu kg m s

-2


Rezultat A

3




10 40 100 400N N N N

A B C Dm m m m

Rješenje 263

m = 01 kg h = 2 m y = 10 cm = 01 m g = 10 ms2 k =










položaja

F k x= minus sdot




1 2









y

h



4

2

1 1 22 2

22 22


y

k y kgp epy


( )

2 01 10 222

400 2 2

01

mkg m

m g h Nskmy m


rArr = = =

Odgovor je pod D

Vježba 263



10 40 100 400N N N N

A B C Dm m m m

Rezultat D



djeluje sila

3 1000 10 10 10A W B kW C kJ D kW

Rješenje 264

F = 103 N v = 10 ms P =


obavljen tj

W

Pt

=


P F v= sdot



3 310 10 10 10 10

mP F v N W kW


Odgovor je pod B

Vježba 264


djeluje sila

3 1000 10 10 10A W B kW C kJ D kW

Rezultat B




10 7 5 25A J B J C J D J

5

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rješenje 265

a = 2 b = 5 W = P =



W F s= sdot


W

s

F




2

a bP

sdot=


W

F N

d md m

F N

1

2

3

4

5

5432

1

2

3

4

5

54320 1 0 1

2 52 5

2 55

2 22

a ba b

a bP W W Ja b

W

W P

= == =


=

=

Odgovor je pod C

Vježba 265



10 7 5 25A J B J C J D J

6

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rezultat A



oprugu

Rješenje 266

Eep = 25 J s = 125 cm = 125 m F =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



2 metoda2

sup

21 21 2222

stitucije


s

F k s F k

s

s F k s


rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot =

sdot

sdot

2 2 2 2540

2 125

E E Jep epF s F N

s ms


Vježba 266


oprugu

Rezultat 40 N

7



Rješenje 267

s = 05 m F = 200 N k =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot



200400

0

1

5

F N NF k s F k s k


Vježba 267


Rezultat 400 N

m




Rješenje 268

s1 = 1 cm = 001 m F = 30 N s2 = 15 cm = 015 m Eep =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



1

metoda1

supstitucije

111

1 21 12 222 2 22 2

FF k s kF k s

s


s

p

= sdot == sdot


= sdot

sdot

sdot = sdot sdot

( )1 30 2

015 3375 2 001

NE m Jep

mrArr = sdot sdot =

8

Vježba 268



Rezultat 3375 J





20 40 60 80A m B m C m D m

Rješenje 269




sila

F

a F m am

= rArr = sdot


22 v a s= sdot sdot





2po2

d2 2 22 ijel 21 1 2 2 2 2 2 22 2 22

imo


1 1 12 2

v a s v a s v s v s

a s s sv v vv a s

a

a



sdot

sdot

2 2 2 222

2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 12

1 1 1 1 1

1 11

1s


s s v s v v vv


22 2

2 20 4 80 2 1

12 1

1s sv

vs s m m


Odgovor je pod D

Vježba 269




20 40 60 80A m B m C m D m

Rezultat D




brzine 30 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rješenje 270

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =

9


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



( )1 1 12 2 2 2



( )( ) ( )1


1 2 1 2 2 2 20 1 2 1 2 12 2

1 2 21 2 2 0 01 12 1 22 2

mW m v m v v v vW W

W WW mm v vm v v




sdot

sdot

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

02 2 20 01 1 1

0

v vW

v v v vW WW W

W Wv v v



2 2

30 10

8 0 02

10

m m

s sW W W W

m

s

minus


Odgovor je pod A

Vježba 270



brzine 20 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rezultat C




30 ms

2 4 8 90 0 0 0


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



1 1 1 1 12 2 2 2 20




1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv




sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10


mW v W vW

v

s


Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B




Rješenje 272



11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


3




10 40 100 400N N N N

A B C Dm m m m

Rješenje 263

m = 01 kg h = 2 m y = 10 cm = 01 m g = 10 ms2 k =










položaja

F k x= minus sdot




1 2









y

h



4

2

1 1 22 2

22 22


y

k y kgp epy


( )

2 01 10 222

400 2 2

01

mkg m

m g h Nskmy m


rArr = = =

Odgovor je pod D

Vježba 263



10 40 100 400N N N N

A B C Dm m m m

Rezultat D



djeluje sila

3 1000 10 10 10A W B kW C kJ D kW

Rješenje 264

F = 103 N v = 10 ms P =


obavljen tj

W

Pt

=


P F v= sdot



3 310 10 10 10 10

mP F v N W kW


Odgovor je pod B

Vježba 264


djeluje sila

3 1000 10 10 10A W B kW C kJ D kW

Rezultat B




10 7 5 25A J B J C J D J

5

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rješenje 265

a = 2 b = 5 W = P =



W F s= sdot


W

s

F




2

a bP

sdot=


W

F N

d md m

F N

1

2

3

4

5

5432

1

2

3

4

5

54320 1 0 1

2 52 5

2 55

2 22

a ba b

a bP W W Ja b

W

W P

= == =


=

=

Odgovor je pod C

Vježba 265



10 7 5 25A J B J C J D J

6

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rezultat A



oprugu

Rješenje 266

Eep = 25 J s = 125 cm = 125 m F =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



2 metoda2

sup

21 21 2222

stitucije


s

F k s F k

s

s F k s


rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot =

sdot

sdot

2 2 2 2540

2 125

E E Jep epF s F N

s ms


Vježba 266


oprugu

Rezultat 40 N

7



Rješenje 267

s = 05 m F = 200 N k =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot



200400

0

1

5

F N NF k s F k s k


Vježba 267


Rezultat 400 N

m




Rješenje 268

s1 = 1 cm = 001 m F = 30 N s2 = 15 cm = 015 m Eep =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



1

metoda1

supstitucije

111

1 21 12 222 2 22 2

FF k s kF k s

s


s

p

= sdot == sdot


= sdot

sdot

sdot = sdot sdot

( )1 30 2

015 3375 2 001

NE m Jep

mrArr = sdot sdot =

8

Vježba 268



Rezultat 3375 J





20 40 60 80A m B m C m D m

Rješenje 269




sila

F

a F m am

= rArr = sdot


22 v a s= sdot sdot





2po2

d2 2 22 ijel 21 1 2 2 2 2 2 22 2 22

imo


1 1 12 2

v a s v a s v s v s

a s s sv v vv a s

a

a



sdot

sdot

2 2 2 222

2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 12

1 1 1 1 1

1 11

1s


s s v s v v vv


22 2

2 20 4 80 2 1

12 1

1s sv

vs s m m


Odgovor je pod D

Vježba 269




20 40 60 80A m B m C m D m

Rezultat D




brzine 30 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rješenje 270

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =

9


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



( )1 1 12 2 2 2



( )( ) ( )1


1 2 1 2 2 2 20 1 2 1 2 12 2

1 2 21 2 2 0 01 12 1 22 2

mW m v m v v v vW W

W WW mm v vm v v




sdot

sdot

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

02 2 20 01 1 1

0

v vW

v v v vW WW W

W Wv v v



2 2

30 10

8 0 02

10

m m

s sW W W W

m

s

minus


Odgovor je pod A

Vježba 270



brzine 20 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rezultat C




30 ms

2 4 8 90 0 0 0


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



1 1 1 1 12 2 2 2 20




1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv




sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10


mW v W vW

v

s


Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B




Rješenje 272



11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


4

2

1 1 22 2

22 22


y

k y kgp epy


( )

2 01 10 222

400 2 2

01

mkg m

m g h Nskmy m


rArr = = =

Odgovor je pod D

Vježba 263



10 40 100 400N N N N

A B C Dm m m m

Rezultat D



djeluje sila

3 1000 10 10 10A W B kW C kJ D kW

Rješenje 264

F = 103 N v = 10 ms P =


obavljen tj

W

Pt

=


P F v= sdot



3 310 10 10 10 10

mP F v N W kW


Odgovor je pod B

Vježba 264


djeluje sila

3 1000 10 10 10A W B kW C kJ D kW

Rezultat B




10 7 5 25A J B J C J D J

5

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rješenje 265

a = 2 b = 5 W = P =



W F s= sdot


W

s

F




2

a bP

sdot=


W

F N

d md m

F N

1

2

3

4

5

5432

1

2

3

4

5

54320 1 0 1

2 52 5

2 55

2 22

a ba b

a bP W W Ja b

W

W P

= == =


=

=

Odgovor je pod C

Vježba 265



10 7 5 25A J B J C J D J

6

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rezultat A



oprugu

Rješenje 266

Eep = 25 J s = 125 cm = 125 m F =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



2 metoda2

sup

21 21 2222

stitucije


s

F k s F k

s

s F k s


rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot =

sdot

sdot

2 2 2 2540

2 125

E E Jep epF s F N

s ms


Vježba 266


oprugu

Rezultat 40 N

7



Rješenje 267

s = 05 m F = 200 N k =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot



200400

0

1

5

F N NF k s F k s k


Vježba 267


Rezultat 400 N

m




Rješenje 268

s1 = 1 cm = 001 m F = 30 N s2 = 15 cm = 015 m Eep =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



1

metoda1

supstitucije

111

1 21 12 222 2 22 2

FF k s kF k s

s


s

p

= sdot == sdot


= sdot

sdot

sdot = sdot sdot

( )1 30 2

015 3375 2 001

NE m Jep

mrArr = sdot sdot =

8

Vježba 268



Rezultat 3375 J





20 40 60 80A m B m C m D m

Rješenje 269




sila

F

a F m am

= rArr = sdot


22 v a s= sdot sdot





2po2

d2 2 22 ijel 21 1 2 2 2 2 2 22 2 22

imo


1 1 12 2

v a s v a s v s v s

a s s sv v vv a s

a

a



sdot

sdot

2 2 2 222

2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 12

1 1 1 1 1

1 11

1s


s s v s v v vv


22 2

2 20 4 80 2 1

12 1

1s sv

vs s m m


Odgovor je pod D

Vježba 269




20 40 60 80A m B m C m D m

Rezultat D




brzine 30 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rješenje 270

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =

9


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



( )1 1 12 2 2 2



( )( ) ( )1


1 2 1 2 2 2 20 1 2 1 2 12 2

1 2 21 2 2 0 01 12 1 22 2

mW m v m v v v vW W

W WW mm v vm v v




sdot

sdot

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

02 2 20 01 1 1

0

v vW

v v v vW WW W

W Wv v v



2 2

30 10

8 0 02

10

m m

s sW W W W

m

s

minus


Odgovor je pod A

Vježba 270



brzine 20 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rezultat C




30 ms

2 4 8 90 0 0 0


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



1 1 1 1 12 2 2 2 20




1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv




sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10


mW v W vW

v

s


Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B




Rješenje 272



11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


5

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rješenje 265

a = 2 b = 5 W = P =



W F s= sdot


W

s

F




2

a bP

sdot=


W

F N

d md m

F N

1

2

3

4

5

5432

1

2

3

4

5

54320 1 0 1

2 52 5

2 55

2 22

a ba b

a bP W W Ja b

W

W P

= == =


=

=

Odgovor je pod C

Vježba 265



10 7 5 25A J B J C J D J

6

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rezultat A



oprugu

Rješenje 266

Eep = 25 J s = 125 cm = 125 m F =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



2 metoda2

sup

21 21 2222

stitucije


s

F k s F k

s

s F k s


rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot =

sdot

sdot

2 2 2 2540

2 125

E E Jep epF s F N

s ms


Vježba 266


oprugu

Rezultat 40 N

7



Rješenje 267

s = 05 m F = 200 N k =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot



200400

0

1

5

F N NF k s F k s k


Vježba 267


Rezultat 400 N

m




Rješenje 268

s1 = 1 cm = 001 m F = 30 N s2 = 15 cm = 015 m Eep =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



1

metoda1

supstitucije

111

1 21 12 222 2 22 2

FF k s kF k s

s


s

p

= sdot == sdot


= sdot

sdot

sdot = sdot sdot

( )1 30 2

015 3375 2 001

NE m Jep

mrArr = sdot sdot =

8

Vježba 268



Rezultat 3375 J





20 40 60 80A m B m C m D m

Rješenje 269




sila

F

a F m am

= rArr = sdot


22 v a s= sdot sdot





2po2

d2 2 22 ijel 21 1 2 2 2 2 2 22 2 22

imo


1 1 12 2

v a s v a s v s v s

a s s sv v vv a s

a

a



sdot

sdot

2 2 2 222

2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 12

1 1 1 1 1

1 11

1s


s s v s v v vv


22 2

2 20 4 80 2 1

12 1

1s sv

vs s m m


Odgovor je pod D

Vježba 269




20 40 60 80A m B m C m D m

Rezultat D




brzine 30 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rješenje 270

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =

9


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



( )1 1 12 2 2 2



( )( ) ( )1


1 2 1 2 2 2 20 1 2 1 2 12 2

1 2 21 2 2 0 01 12 1 22 2

mW m v m v v v vW W

W WW mm v vm v v




sdot

sdot

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

02 2 20 01 1 1

0

v vW

v v v vW WW W

W Wv v v



2 2

30 10

8 0 02

10

m m

s sW W W W

m

s

minus


Odgovor je pod A

Vježba 270



brzine 20 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rezultat C




30 ms

2 4 8 90 0 0 0


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



1 1 1 1 12 2 2 2 20




1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv




sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10


mW v W vW

v

s


Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B




Rješenje 272



11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


6

F N

d m

1

2

3

4

5

54320 1

Rezultat A



oprugu

Rješenje 266

Eep = 25 J s = 125 cm = 125 m F =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



2 metoda2

sup

21 21 2222

stitucije


s

F k s F k

s

s F k s


rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot =

sdot

sdot

2 2 2 2540

2 125

E E Jep epF s F N

s ms


Vježba 266


oprugu

Rezultat 40 N

7



Rješenje 267

s = 05 m F = 200 N k =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot



200400

0

1

5

F N NF k s F k s k


Vježba 267


Rezultat 400 N

m




Rješenje 268

s1 = 1 cm = 001 m F = 30 N s2 = 15 cm = 015 m Eep =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



1

metoda1

supstitucije

111

1 21 12 222 2 22 2

FF k s kF k s

s


s

p

= sdot == sdot


= sdot

sdot

sdot = sdot sdot

( )1 30 2

015 3375 2 001

NE m Jep

mrArr = sdot sdot =

8

Vježba 268



Rezultat 3375 J





20 40 60 80A m B m C m D m

Rješenje 269




sila

F

a F m am

= rArr = sdot


22 v a s= sdot sdot





2po2

d2 2 22 ijel 21 1 2 2 2 2 2 22 2 22

imo


1 1 12 2

v a s v a s v s v s

a s s sv v vv a s

a

a



sdot

sdot

2 2 2 222

2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 12

1 1 1 1 1

1 11

1s


s s v s v v vv


22 2

2 20 4 80 2 1

12 1

1s sv

vs s m m


Odgovor je pod D

Vježba 269




20 40 60 80A m B m C m D m

Rezultat D




brzine 30 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rješenje 270

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =

9


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



( )1 1 12 2 2 2



( )( ) ( )1


1 2 1 2 2 2 20 1 2 1 2 12 2

1 2 21 2 2 0 01 12 1 22 2

mW m v m v v v vW W

W WW mm v vm v v




sdot

sdot

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

02 2 20 01 1 1

0

v vW

v v v vW WW W

W Wv v v



2 2

30 10

8 0 02

10

m m

s sW W W W

m

s

minus


Odgovor je pod A

Vježba 270



brzine 20 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rezultat C




30 ms

2 4 8 90 0 0 0


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



1 1 1 1 12 2 2 2 20




1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv




sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10


mW v W vW

v

s


Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B




Rješenje 272



11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


7



Rješenje 267

s = 05 m F = 200 N k =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot



200400

0

1

5

F N NF k s F k s k


Vježba 267


Rezultat 400 N

m




Rješenje 268

s1 = 1 cm = 001 m F = 30 N s2 = 15 cm = 015 m Eep =






F k srarr rarr

= minus sdot


F k s= minus sdot




1 2



1

metoda1

supstitucije

111

1 21 12 222 2 22 2

FF k s kF k s

s


s

p

= sdot == sdot


= sdot

sdot

sdot = sdot sdot

( )1 30 2

015 3375 2 001

NE m Jep

mrArr = sdot sdot =

8

Vježba 268



Rezultat 3375 J





20 40 60 80A m B m C m D m

Rješenje 269




sila

F

a F m am

= rArr = sdot


22 v a s= sdot sdot





2po2

d2 2 22 ijel 21 1 2 2 2 2 2 22 2 22

imo


1 1 12 2

v a s v a s v s v s

a s s sv v vv a s

a

a



sdot

sdot

2 2 2 222

2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 12

1 1 1 1 1

1 11

1s


s s v s v v vv


22 2

2 20 4 80 2 1

12 1

1s sv

vs s m m


Odgovor je pod D

Vježba 269




20 40 60 80A m B m C m D m

Rezultat D




brzine 30 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rješenje 270

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =

9


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



( )1 1 12 2 2 2



( )( ) ( )1


1 2 1 2 2 2 20 1 2 1 2 12 2

1 2 21 2 2 0 01 12 1 22 2

mW m v m v v v vW W

W WW mm v vm v v




sdot

sdot

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

02 2 20 01 1 1

0

v vW

v v v vW WW W

W Wv v v



2 2

30 10

8 0 02

10

m m

s sW W W W

m

s

minus


Odgovor je pod A

Vježba 270



brzine 20 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rezultat C




30 ms

2 4 8 90 0 0 0


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



1 1 1 1 12 2 2 2 20




1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv




sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10


mW v W vW

v

s


Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B




Rješenje 272



11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


8

Vježba 268



Rezultat 3375 J





20 40 60 80A m B m C m D m

Rješenje 269




sila

F

a F m am

= rArr = sdot


22 v a s= sdot sdot





2po2

d2 2 22 ijel 21 1 2 2 2 2 2 22 2 22

imo


1 1 12 2

v a s v a s v s v s

a s s sv v vv a s

a

a



sdot

sdot

2 2 2 222

2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 12

1 1 1 1 1

1 11

1s


s s v s v v vv


22 2

2 20 4 80 2 1

12 1

1s sv

vs s m m


Odgovor je pod D

Vježba 269




20 40 60 80A m B m C m D m

Rezultat D




brzine 30 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rješenje 270

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =

9


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



( )1 1 12 2 2 2



( )( ) ( )1


1 2 1 2 2 2 20 1 2 1 2 12 2

1 2 21 2 2 0 01 12 1 22 2

mW m v m v v v vW W

W WW mm v vm v v




sdot

sdot

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

02 2 20 01 1 1

0

v vW

v v v vW WW W

W Wv v v



2 2

30 10

8 0 02

10

m m

s sW W W W

m

s

minus


Odgovor je pod A

Vježba 270



brzine 20 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rezultat C




30 ms

2 4 8 90 0 0 0


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



1 1 1 1 12 2 2 2 20




1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv




sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10


mW v W vW

v

s


Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B




Rješenje 272



11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


9


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



( )1 1 12 2 2 2



( )( ) ( )1


1 2 1 2 2 2 20 1 2 1 2 12 2

1 2 21 2 2 0 01 12 1 22 2

mW m v m v v v vW W

W WW mm v vm v v




sdot

sdot

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

02 2 20 01 1 1

0

v vW

v v v vW WW W

W Wv v v



2 2

30 10

8 0 02

10

m m

s sW W W W

m

s

minus


Odgovor je pod A

Vježba 270



brzine 20 ms

8 4 3 20 0 0 0


Rezultat C




30 ms

2 4 8 90 0 0 0


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



1 1 1 1 12 2 2 2 20




1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv




sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10


mW v W vW

v

s


Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B




Rješenje 272



11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


10

Rješenje 271

v0 = 0 ms v1 = 10 ms W0 v2 = 30 ms W =


1 2

2E m v

k= sdot sdot












1 1 1 1 12 2 2 2 20



1 1 1 1 12 2 2 2 20




1podijelimo 2

1jednadžbe

2

1 2 1 2 2 20 1 2 22 2 2

21 2 21 2 0 0 0 11 12 22

W m v m v v vW W W

W W W vm v vW m

m

mv




sdot

sdot

22 2 2 30

2 2 2 9 0 0 0

0

0

1 0 1 1 10


mW v W vW

v

s


Odgovor je pod D

Vježba 271



20 ms

2 4 8 90 0 0 0


Rezultat B




Rješenje 272



11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


11

1 2

2E m v

k= sdot sdot





obavljen tj

W

Pt

=


( )1 1 12 2 2 21 0 1 02 2 2


t t tPt


=

2 21

800 30 02

36000 36 10

m mkg

s s

W kWs

sdot sdot minus

= = =

Vježba 272



Rezultat 36 kW




Rješenje 273

P = 1800 W m = 200 kg h = 20 m g = 10 ms2 t =



energiju






obavljen tj

W

Pt

=



t t P PPt

t

P

=sdot sdot


200 10 202

2222 1800

mkg m

s sW

sdot sdot

= =

12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


12

Vježba 273



Rezultat 2222 s



konstantu opruge

Rješenje 274

m = 80 kg v = 4 ms x = 40 cm = 04 m k =


1 2

2E m v

k= sdot sdot




položaja

F k x= minus sdot




1 2











2

21 1 1

2

12 2 2 2

22 2 2 2


xxk

sdotsdot


2

80 43

8000 8 10 2

04

mkg

N Ns

m mm

s

sdot

= = = sdot

Vježba 274


konstantu opruge

Rezultat 8 103 Nm

13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


13





2 W =



energiju





1 2

2E m v

k= sdot sdot










1 12 22 12 1 2 2


1 1 1 12 2 2 21 2 1 22 2 2 2


2 21 1

004 981 60 4 32 3384 J2 2 2

m m mkg m

s ss


Vježba 275



Rezultat 6768 J




1 2 3 4A B C D

Rješenje 276

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

Ek

Ek

=



W F s= sdot


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


14

1 2

2E m v

k= sdot sdot











bull

11

11

1 11

11

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=

bull

22

22

2 22

22

E Wk

E Wk

W F s E F sk

W F sF F

==


=


1 1 1 1

2 2 2

E E Ek k kF s

E F s E Ek k

F s

F sk

sdot= rArr =

sdotrArr =

sdot sdot

Odgovor je pod A

Vježba 276



1 2 3 4A B C D

Rezultat A




11 1 1 1 1 2 4 2

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rješenje 277

m1 = m m2 = 4 m F1 = F2 = F s 1

2

v

v=


1 2

2E m v

k= sdot sdot



15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


15










W F s= sdot


22 v a s= sdot sdot


za vrijeme t



sila

F

a F m am

= rArr = sdot

1inačica


bull podijelimo

jedna

2 21 1 2 21 1

22 džbe22 11

F ma

a

a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 2 2

2 22 21 1

1 1 1


F m F m m m mF


bull podijelimo 2

jednadžbe

2 242 2 22 222 422 22

4

Fa

a

m a F m a v va s s

F m a F mv a sv a s



2 22 22 2

2 2 22 2 2 2 2


F m F m m m mF




2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 21

2 2 2 2 2 22 2 22


F sv v v v v vF s

mm

F s

m

F s

m

sdot

sdot



sdot sdotsdot

Odgovor je pod B

2inačica


1 12 21 1 1 podij1 11 2 2

1 12 22

elimo

jedna42 2 2 2 22

žbe

2

d






16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


16

1

2 41

2

1 2 2 2 21 12 1 11 1

2 21 2 2 4 44 4 2 22 22

mm v v v vF s

F s v v

F s

Fmm v v

s

sdot sdot sdotsdot


sdotsdot

sdotsdot

sdot

2 221 1 1 1 14 4 4 4 22

2 2 2 22

v v v v v

v v v vv


Odgovor je pod B

Vježba 277



11 1 1 1 6 3 9 3

2 2 2 2

v v v vA B C D

v v v v= = = =

Rezultat B




Rješenje 278




energiju






W F s= sdot





Newtonovom poučku

G m g= sdot


na Zemlji jednaka





hipotenuze

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


17



1 1 11 1

1

a b ck

a b cα α β β γ γ= = = = = =





αααα

1inačica


energija poraste za



3 10 2 60 2


W Egp s


= ∆

2inačica

F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα







αααα

αααα

αααα

h

s

F1

G

F2F2

G

F1

s

h

αααα

αααα

αααα

18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


18


1sin1 1

1 1

sin

F


G s G s s sh

s

G

α

α

=


=

sdot



αααα

αααα

αααα

h

s

F1

F

G

F2

1

1

F Fh

F m ghsF m g

s

=



23 10 4 60

2 4


s ms


Vježba 278



Rezultat 80 J





Rješenje 279

m1 = 20 t = 2 104 kg v1 = 1 ms m2 = 30 t = 3 10

4 kg v2 = 0 ms

v1 = v2 = v = Ek =


1 2

2E m v

k= sdot sdot







19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


19


veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





nakon sudara

01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2


( ) ( ) 1 11 1 1 2 1 1 1 2

1

2 1 2

1


m mm m


+sdot

+=

42 10 1

04 4 4

2 10 3 10

mkg

ms

skg kg

sdot sdot= =

sdot + sdot



1 21 11 2

E m vk

= sdot sdot


02

Ek

=


( )1 2

1 22E m m v

kz= sdot + sdot


( )1 12 21 1 1 21 2 2



( )2 2

1 14 4 4 32 10 1 2 10 3 10 04 6000 6 10 6

2 2

m mkg kg kg J J kJ

s s


vv1

m2m1m2m1

Vježba 279




Rezultat 6 kJ

20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


20





kugle zanemarimo

Rješenje 280


Q =


1 2

2E m v

k= sdot sdot








veličina


= sdot = sdot






1 1 2 2 1 1 2

2





tane

01 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



01 2 2 1 2 2 2 2 1



( ) ( ) 2 1 2 2

1


k k mk


( ) 2 1 2

mv v v

mk

rArr = sdot minus



1 211 2

E m vk

= sdot sdot


10 0

2 22E m E



21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


21

1 223 2

E m vk

= sdot sdot


( ) ( ) ( )2

22 21 1 12 1 2 1 24 4 4 22 2 2


k k k k k km mk k


( ) ( )2 22 21 1

1 2 1 24 42 22

m mE v v E v v

k kk mm kk



1 12 20

1 1 1 1 11 2 2 2E E E E m v E m v



( )2 21 12

2 2 2 1 23 4 2 2

mE E E E m v v v

k k mk



kroz kuglu

( )2 21 1 12 2

1 2 1 2 1 22 2 2


k mk


( ) ( )2 2 21 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2


m mk k


v2

v2v1

Vježba 280




i kugle zanemarimo

Rezultat ( )212 2

1 2 1 22 123

mQ v v v v


Documents

Zadatak 261 (Mia, strukovna škola) č 2proporcionalna pomaku s, smjera suprotnoga pomaku kažemo da harmonijski titra. Elasti čna sila je sila kojom se tijelo opire deformaciji zbog