Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Zadatak 061 (Anita, gimnazija)
Zadane su točke A(2, 1) i B(26, 10). Na dužini AB zadana je točka C tako da je
: 1 : 2.AC CB = Koje su koordinate točke C?
Rješenje 061
Ponovimo!
( ) ( ) ( ) ( )Neka su A , i B , dvije točke ravnine. Tada vrijedi: .1 11 2 22 12
AB x x i yx x y jy y→ → →
= − ⋅ + − ⋅
Ako su ,a a i a j b b i b jx y x y
→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ dva vektora, oni su jednaki ako i samo ako su im
odgovarajuće koordinate jednake, tj. i .a b a bx x y y= =
Ako je ,a i b j c i d j→ → → →
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ onda je a = c i b = d.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Kažemo da točka C dijeli dužinu AB u omjeru λ, λ ≠ 0, ako vrijedi
.AC CBλ→ →
= ⋅
Ako su A(x1, y1) i B(x2, y2) dvije različite točke ravnine i { }\ 0, 1Rλ ∈ − , tada točka C koja dijeli
dužinu AB u omjeru λ ima koordinate
.1 2 1 2,1 1
x x y yC
λ λ
λ λ
+ ⋅ + ⋅
+ +
1.inačica
U našem primjeru točka C dijeli dužinu AB u omjeru 1
1 : 2 ili2
pa vrijedi
1.
2AC CB→ →
= ⋅
Odredimo vektore i .AC CB→ →
• ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )2
, 2, 11 1
,1 2 1
,2 2
AC x x i y
A x y A
C x y C
y
x y
j→ → →
= − ⋅ + − ⋅=
⇒ ⇒=
( ) ( )2 1AC x i y j→ → →
⇒ = − ⋅ + − ⋅
• ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
, ,1 1
, 26, 102
1 2 12
2CB x x i y y j
C x y C x y
B x y B
=⇒
→ → →= − ⋅ + ⇒
=− ⋅
( ) ( )26 10 .CB x i y j→ → →
⇒ = − ⋅ + − ⋅
Iz uvjeta
1
2AC CB→ →
= ⋅
dobije se
2
( ) ( )
( ) ( )
2 1
26 1
1
02
AC x i y j
CB x i y j
AC CB
→ → →= − ⋅ + − ⋅
⇒ ⇒→ → →
= − ⋅ + −
→ →=
⋅
⋅
( ) ( ) ( ) ( )1
2 1 26 102
x i y j x i y j→ → → →
⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⇒
( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 1 26 10jednakost
vek2 a2 torx i y j x i y j
→ → → →⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ ⇒
( )
( )
( )
( )
1 12 26 2 26
2 4 26/ 2
/ 2
2 2
1 1 2 2 101 10 1 10
2 2
x x x xx x
y yy y y y
− = ⋅ − − = ⋅ −⋅ − = −
⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ − = −
− = ⋅ − − = ⋅ −
⋅
⋅
2 26 4 3 30 3 30 10.
2 10 2 3
/ : 3
/12 :3 12 43
x x x x x
y y y y y
⋅ + = + ⋅ = ⋅ = =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⋅ + = + ⋅ = ⋅ = =
Koordinate točke C su
( ) ( ), 10, 4 .C x y C=
2.inačica
Budući da točka C dijeli dužinu AB u omjeru 1
1 : 2 ili2
, računamo njezine koordinate.
( ) ( ) ( ) ( ), 2, 1 , , 26, 101 1 2 2
A x y A B x y B= =
10.5
2λ = =
( ),C x y
1 2
1
x xx
λ
λ
+ ⋅=
+
2 0.5 26
1 0.5x
+ ⋅=
+
2 13
1.5x
+=
15
1.5x =
10x =
1 2
1
y yy
λ
λ
+ ⋅=
+
1 0.5 10
1 0.5y
+ ⋅=
+
1 5
1.5y
+=
6
1.5y =
4y =
( )10, 4C
3.inačica
Vektor AB→
podijelimo na 1 + 2 = 3 dijela i zbog
: 1 : 2AC CB =
vrijedi
1.
3AC AB→ →
= ⋅
3
Odredimo vektore i .AC AB→ →
• ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )2
, 2, 11 1
,1 2 1
,2 2
AC x x i y
A x y A
C x y C
y
x y
j→ → →
= − ⋅ + − ⋅=
⇒ ⇒=
( ) ( )2 1AC x i y j→ → →
⇒ = − ⋅ + − ⋅
• ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
, 2, 11 1
, 26, 12 1
21
02
2AB x x i y y j
A x y A
B x y B
=⇒
→ → →= − ⋅ + ⇒
=− ⋅
( ) ( )26 2 10 1 24 9 .AB i j AB i j→ → → → → →
⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅
Iz uvjeta
1
3AC AB→ →
= ⋅
dobije se
( ) ( )( ) ( )
2 1 12
11 24 9
3324 9
AC AAC x i y j
x i y j i j
A j
B
B i
→ →→ → →
→ → → →= − ⋅ + − ⋅⇒ ⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒
→ → →= ⋅
= ⋅
+ ⋅
( ) ( )jednakost
vektora
2 8 8 2 102 1 8 3 .
1 3 3 1 4
x x xx i y j i j
y y y
→ → → → − = = + =⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− = = + =
Koordinate točke C su
( ) ( ), 10, 4 .C x y C=
4.inačica
Vektor AB→
podijelimo na 1 + 2 = 3 dijela i zbog
: 1 : 2AC CB =
vrijedi
2.
3CB AB→ →
= ⋅
Odredimo vektore i .CB AB→ →
• ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
, ,1 1
, 26, 102
1 2 12
2CB x x i y y j
C x y C x y
B x y B
=⇒
→ → →= − ⋅ + ⇒
=− ⋅
( ) ( )26 10AC x i y j→ → →
⇒ = − ⋅ + − ⋅
• ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
, 2, 11 1
, 26, 12 1
21
02
2AB x x i y y j
A x y A
B x y B
=⇒
→ → →= − ⋅ + ⇒
=− ⋅
( ) ( )26 2 10 1 24 9 .AB i j AB i j→ → → → → →
⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅
Iz uvjeta
2
3CB AB→ →
= ⋅
dobije se
4
( ) ( )( ) ( )
26 10 226 10 24 9
32
2
34 9
CB ACB x i y j
x i y j i j
AB i
B
j
→ → →→ → → →= − ⋅ + − ⋅
⇒ ⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒→ → →
=
⋅
⋅ +
→ →
⋅
=
( ) ( )jednakost
vekt
26 1626 10 16 6
6ora 10
xx i y j i j
y
→ → → → − =⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒
− =
( )
( )
1016 26 10 10.
6 10 4 44
/ 1
/ 1
xx x x
y y yy
− = −− = − − = − =⇒ ⇒
⋅ −
⋅⇒ ⇒
− = − − − − −= =− =
Koordinate točke C su
( ) ( ), 10, 4 .C x y C=
Vježba 061
Zadane su točke A(4, 2) i B(10, 20). Na dužini AB zadana je točka C tako da je
: 1 : 2.AC CB = Koje su koordinate točke C?
Rezultat: C(6, 8).
Zadatak 062 (Zvonimir, veleučilište)
Odredi parametar λ tako da vektori 3 4 3 i 2 2a i j k b i j kλ→ → → → → → → →
= ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ budu
međusobno okomiti.
Rješenje 062
Ponovimo!
Formula za skalarni produkt vektora = i =a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y
→ → → → → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
pomoću njihovih komponenata u pravokutnom koordinatnom sustavu (Kartezijevom koordinatnom
sustavu) glasi:
.a b a b a b a bz zx x y y
→ →= ⋅ + ⋅ + ⋅�
Dva su vektora a→
i b→
okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:
5
0.a b a b a b a bx x y y z z
→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Budući da vektori trebaju biti međusobno okomiti, skalarni produkt vektora mora biti jednak nuli.
0 3 4 3 2 02 0 a b a b a bz za b i j k i j yk x x yλ→ → → → → → → → = ⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅= ⇒ + ⋅ + ⋅ ⇒
=
� �
( ) ( )3 4 2 3 2 0 3 8 6 0 3 8 6 3 14λ λ λ λ⇒ ⋅ + ⋅ − + − ⋅ = ⇒ ⋅ − − = ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒
/: 314
3 14 .3
λ λ⇒ ⋅ = ⇒ =
Vježba 062
Odredi parametar λ tako da vektori 2 4 3 i 2 2a i j k b i j kλ→ → → → → → → →
= ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ budu
međusobno okomiti.
Rezultat: 7.λ =
Zadatak 063 (Zvonimir, veleučilište)
Dokaži vektorski kosinusov poučak.
Rješenje 063
Ponovimo!
Vektor AB→
je usmjerena dužina AB kod koje razlikujemo početnu točku ili hvatište A i završnu točku
ili kraj B.
Zbroj dvaju vektora iOA a OB b→ → → →
= = s istim početkom O je vektor =OC c→ →
takav da je dužina OC
dijagonala paralelograma OACB.
OC = OA + OB , c = a + b
cb
a
C
O A
B
Dva se vektora oduzimaju tako da se dovedu u zajedničko hvatište O. Razlici odgovara vektor kome je
početak u završetku drugog vektora, a završetak u završetku prvog vektora.
a
b c
c = b - ac = a - b
cb
aO O
Duljina (iznos, norma) vektora a OA→ →
= je udaljenost između njegove početne i završne točke, a
označava se:
, .a AB→ →
Skalarni produkt vektora ia b→ →
je skalar (broj) koji označavamo sa a b→ →� i definiramo ovako:
6
co ,sa b a b ϕ→ → → →
= ⋅ ⋅�
gdje je φ kut između vektora ia b→ →
i uzimamo da je 0 ≤ φ ≤ π. Vrijedi:
2
cos0 1 .a a a a a a a a a a a a a a a→ → → → → → → → → → → → → → →
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =� � � �
, .a b b a a b c a b a c→ → → → → → → → → → →
= + = +
� � � � �
Vektore stranica trokuta orijentiramo kao na slici i prikažemo vektor c→
pomoću vektora i .a b→ →
γγγγ
c = a - b
cb
aO
Skalarnim kvadriranjem vektorske jednadžbe dobijemo:
2/c a b c a b c c a b a b→ → → → → → → → → → → →
= − ⇒ = − ⇒ = − − ⇒
� �
2c c a a a b a b b b c c a a a b b b→ → → → → → → → → → → → → → → → → →
⇒ = − − + ⇒ = − ⋅ + ⇒� � � � � � � � �
2 2 2 2 2 2
2 cos 2 cos .c a a b b c a b a bγ γ→ → → → → → → → → →
⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅
Vježba 063
Dokaži vektorski Talesov poučak: obodni kut nad promjerom kružnice je pravi.
Rezultat: Dokaz analogan.
Zadatak 064 (Zvonimir, veleučilište)
Dokaži vektorski Pitagorin poučak.
Rješenje 064
Ponovimo!
Vektor AB→
je usmjerena dužina AB kod koje razlikujemo početnu točku ili hvatište A i završnu točku
ili kraj B.
Zbroj dvaju vektora iOA a OB b→ → → →
= = s istim početkom O je vektor =OC c→ →
takav da je dužina OC
dijagonala paralelograma OACB.
7
OC = OA + OB , c = a + b
cb
a
C
O A
B
Dva se vektora oduzimaju tako da se dovedu u zajedničko hvatište O. Razlici odgovara vektor kome je
početak u završetku drugog vektora, a završetak u završetku prvog vektora.
a
b c
c = b - ac = a - b
cb
aO O
Duljina (iznos, norma) vektora a OA→ →
= je udaljenost između njegove početne i završne točke, a
označava se:
, .a AB→ →
Skalarni produkt vektora ia b→ →
je skalar (broj) koji označavamo sa a b→ →� i definiramo ovako:
co ,sa b a b ϕ→ → → →
= ⋅ ⋅�
gdje je φ kut između vektora ia b→ →
i uzimamo da je 0 ≤ φ ≤ π.
Dva su vektora a→
i b→
okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:
0.a b a b→ → → →
⊥ ⇒ =�
Vrijedi:
2
cos0 1 .a a a a a a a a a a a a a a a→ → → → → → → → → → → → → → →
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =� � � �
, .a b b a a b c a b a c→ → → → → → → → → → →
= + = +
� � � � �
Vektore stranica pravokutnog trokuta orijentiramo kao na slici i prikažemo zbroj vektora i .a b→ →
a + b = - c
c
b
a
8
Vektori ia b→ →
su međusobno okomiti pa vrijedi:
0.a b→ →
=�
Skalarnim kvadriranjem vektorske jednadžbe dobijemo:
2/a b c a b c a b a b c c→ → → → → → → → → → → →
+ = − ⇒ + = − ⇒ + + = − − ⇒
� �
0 0a a a b a b b b c c a a b b c c→ → → → → → → → → → → → → → → →
⇒ + + + = ⇒ + + + = ⇒� � � � � � � �
2 2 2
.a b c→ → →
⇒ + =
Vježba 064
Dokaži vektorski Talesov poučak: obodni kut nad promjerom kružnice je pravi.
Rezultat: Dokaz analogan.
Zadatak 065 (Pax, gimnazija)
Ako je vektor a i y j z k→ → → →
= + ⋅ + ⋅ okomit na vektore 2 ib i j k→ → → →
= − ⋅ +
2 ,c i j k→ → → →
= − + + ⋅ izračunaj koordinate y i z.
Rješenje 065 Ponovimo!
Skalarni umnožak vektora
a a i a j a kzx y
b b i b j b kzx y
→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅
→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅
u Kartezijevu koordinatnom sustavu jednak je zbroju umnožaka odgovarajućih koordinata vektora.
.a b a b a b a bz zx x y y
→ →= ⋅ + ⋅ + ⋅�
Dva su vektora a→
i b→
okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:
0.a b a b a b a bx x y y z z
→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Budući da je vektor a i y j z k→ → → →
= + ⋅ + ⋅ okomit na vektore 2 ib i j k→ → → →
= − ⋅ +
2 ,c i j k→ → → →
= − + + ⋅ skalarni produkti ia b a c→ → → →� � moraju biti jednaki nuli. Vrijedi:
•
1 , ,
2
1 , ,
0
2 1
a i y j z k
a a y a zx y z
b i j k
b b bx y
a b a b a bx x y y
z
z z
→ → → →= + ⋅ + ⋅
= = =⇒ ⇒
→ → → →= − ⋅ +
= = − =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
( )1 1 2 1 0 1 2 0 2 1y z y z y z⇒ ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⇒ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = − ⇒
9
( )/ 12 1 2 1.y z y z⋅⇒ − ⋅ + = −− ⇒ ⋅ − =
•
1 , ,
2
1 , 1 , 2
0
a i y j z k
a a y a zx y z
c i
a c a c a cx x y y z z
j k
c c cx y z
→ → → →= + ⋅ + ⋅
= = =⇒ ⇒
→ → → →= − + + ⋅
= −
⋅ + ⋅ + ⋅ =
= =
( )1 1 1 2 0 1 2 0 2 1.y z y z y z⇒ ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⇒ − + + ⋅ = ⇒ + ⋅ =
Iz sustava jednadžbi izračunamo y i z.
metoda suprotnih / 2
koeficijenata
2 1 2 1 4 2 2
2 1 2 1 2 1
y z y z y z
y z y z y z
⋅ − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ ⋅ = + ⋅ ⋅ =
⋅
= +
35 3 /3 .55 :
5y y y⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Računamo z.
2 13 3
2 1 2 1 3 10 5 10 5 335 5
5
/ 5
y z
z z z zy
+ ⋅ =
⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ − ⇒⋅ ⋅ ==
2 110 2 10 2 / : 10 .
1
2
100 5z z z z z⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Vježba 065
Ako je vektor 1
5a x i y j k→ → → →
= ⋅ + ⋅ + ⋅ okomit na vektore 2 ib i j k→ → → →
= − ⋅ +
2 ,c i j k→ → → →
= − + + ⋅ izračunaj koordinate y i z.
Rezultat: 3
1, .5
x y= =
Zadatak 066 (Paula, Nora, srednja škola ☺☺☺☺)
Odredi jedinični vektor istog smjera i iste orijentacije kao i vektor ,AB→
ako je A(3, 1),
B(– 1, – 2).
Rješenje 066
Ponovimo!
.a b a b
n n n
−= −
Neka su A(x1, y1), B(x2, y2) dvije točke ravnine. Tada vrijedi:
• vektor AB→
( ) ( )2 1 2 1AB x x i y y j→ → →
= − ⋅ + − ⋅
• duljina vektora AB→
( ) ( )2
1.
2
2 2 1AB x x y y→
= − + −
Jedinični vektor e→
vektora AB→
računa se po formuli
10
( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 1.
2 2
2 1 2 1
x x i y y jABe e
AB x x y y
→ →→− ⋅ + − ⋅→ →
= ⇒ =→− + −
Jedinični vektor iznosi:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
, 3, 11 1
, 1, 22 2
A x y A x x i y y je
x x y yB x y B
→ →− ⋅
=
⇒ ⇒ = − −
+ − ⋅→=
− + −
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 2 1 4 3 4 3
2 2 2 2 16 91 3 2 1 4 3
i j i j i je e e
→ → → → → →→ → →− − ⋅ + − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+
− − + − − − + −
4 3 4 3 4 3.
5 5 525
i j i je e e i j
→ → → →→ → → → →− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⋅ − ⋅
Vježba 066
Odredi jedinični vektor istog smjera i iste orijentacije kao i vektor ,AB→
ako je A(4, 2),
B(0, – 1).
Rezultat: 4 3
.5 5
e i j→ → →
= − ⋅ − ⋅
Zadatak 067 (Paula, Nora, srednja škola ☺☺☺☺)
Odredi 3 i 3 2 ,a b a b→ → → →
− ⋅ ⋅ − ⋅ ako je 3 i 2 5 .a i j b i j→ → → → → →
= − ⋅ = ⋅ − ⋅
Rješenje 067
Ponovimo!
Duljina vektora definira2 2
se= .a a i a j a a ax y x y
→ → → →⋅ + ⋅ = +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Računamo 3 .a b→ →
− ⋅
3 3 3 2 5 3 6 153
2 5
a b i j i j i j i ja i j
b i j
→ → → → → → → → → →− ⋅ = = − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = −
→ → →= − ⋅
→ → →= ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅ + ⋅ =
( )2 2
5 12 5 12 25 144 169 13.i j→ →
= − ⋅ + ⋅ = − + = + = =
Računamo 3 2 .a b→ →
⋅ − ⋅
3 2 33
3 2
2
5
5
2a b i j ia i j
b i j
j→ → → → → →
⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =
→ → →= − ⋅
→ → →= ⋅ − ⋅
11
( )2 2
3 9 4 10 1 1 1 1 1 1 2.i j i j i j i j→ → → → → → → →
= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + = − ⋅ + ⋅ = − + = + =
Vježba 067
Odredi 3 i 2 3 ,b a b a→ → → →
⋅ − ⋅ − ⋅ ako je 3 i 2 5 .a i j b i j→ → → → → →
= − ⋅ = ⋅ − ⋅
Rezultat: 13 i 2.
Zadatak 068 (Paula, Nora, srednja škola ☺☺☺☺)
Zadani su vektori 3 , 2 , 7 .a i j b i j c i j→ → → → → → → → →
= ⋅ − = − ⋅ = − + ⋅ Vektor v a b c→ → → →
= + +
prikaži kao linearnu kombinaciju vektora i .a b→ →
Rješenje 068
Ponovimo!
Neka su a→
i b→
vektori i α, β realni brojevi. Vektor c→
= α · a→
+ β · b→
nazivamo linearnom
kombinacijom vektora a→
i b→
s koeficijentima α i β.
Ako su a→
= ax i→
+ ay j→
, b→
= bx i→
+ by j→
dva vektora, oni su jednaki ako i samo ako su im
odgovarajuće koordinate jednake, tj. ax = bx i ay = by.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Odredimo vektor .v→
3
3
2 2
7
7v a b c v
a i j
b i j
c i j
i j i j i j
→ → → → → → → → → → → = + + ⇒ ⇒ = ⋅ − + − ⋅ − + ⋅ ⇒
→ → →= ⋅ −
→ → →= − ⋅
→ → →= −
+ ⋅
3 2 7 3 4 .i iv i j j j v i j→ → → → → → → →
⇒ = ⋅ − − ⋅ + ⋅→ →
⇒ ⋅ + ⋅− =+
Prikažimo vektor v→
kao linearnu kombinaciju vektora i .a b→ →
3 4 3 2
3 4
3
2
v i j
a i j
b i
v a b i j i j i
j
jα β α β
→ → → → → → → → → = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⇒
→ → →= ⋅ + ⋅
→ → →= ⋅ −
→ → →= − ⋅
3 4 3 2i j i j i jα α α β β→ → → → → →
⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
( ) ( )3 4 3 2jednakost
vektorai j i jα β α β
→ → → → ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒
metoda suprotnih / 2
koeficijen
3 3 3 3 3 3
4 2 2 4 2 4ata
α β α β α β
α β α β α β
= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = − − ⋅ − − ⋅ = − − ⋅ =
⋅
6 2 65 10 5 10 2./ 5
2:
4
α βα α α
α β
⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
− − ⋅ =
12
Računamo β.
3 33 2 3 6 3 3 6 3.
2
α ββ β β β
α
⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −
=
Sada je:
2 , 32 3 .v a b
v a b
α β
α β
= = − → → →⇒ = ⋅ − ⋅→ → →
= ⋅ + ⋅
Vježba 068
Zadani su vektori 3 , 2 .a i j b i j→ → → → → →
= ⋅ − = − ⋅ Vektor 8 6v i j→ → →
= ⋅ − ⋅ prikaži kao linearnu
kombinaciju vektora i .a b→ →
Rezultat: 2 2 .v a b→ → →
= ⋅ + ⋅
Zadatak 069 (Tihomir, gimnazija)
Odredi parametar n tako da iznosi (duljine) vektora ( )2 1 in
a e i n j n k→ → → →
= ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅
( ) ( )1 2b n i n j→ → →
= + ⋅ + − ⋅ budu jednaki.
Rješenje 069
Ponovimo!
2 2 2=Duljina vektora definira se .a a i a j a k a a a az zx y x y
→ → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ = + +
Parametar
Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 2002.
Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka
funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata.
Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 1983.
Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje.
Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.
0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =
( ) ( ) ( ) ( )2 2
,2
,2
2, .mn n n n n m
a a a b a b a a a b a a b b⋅
= ⋅ = ⋅ = + = + ⋅ ⋅ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0
2 1, , .f x g x
a b a a b b a a a f x g x− = − ⋅ ⋅ + = = ⇒ =
( )
( ) ( )
2 , , 12 1
1 ,2
21
, 0
na e a n a nzx
na e i n j n k
b n i n j
y
b n b n bzx y
→ → → → = ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒ ⇒→ → → =
= ⋅ = = −
= ++ ⋅ + − ⋅
= − =
( ) ( )
( ) ( )
2 222 1
2 2 21 2 0
uvjet
a b
na e n n
b n n
→ = ⋅ + + −
⇒ ⇒ ⇒ → = + + − +
→ →=
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22
2 1 1 2n
e n n n n⇒ ⋅ + + − = + + − ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22
2 1 1 2 2/n
e n n n n⇒ ⋅ + + − = + + − ⇒
13
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 22
2 1 1 2n
e n n n n
⇒ ⋅ + + − = + + − ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22
2 1 1 2n
e n n n n⇒ ⋅ + + − = + + − ⇒
2 2 2 2 24 2 1 2 1 4 4
ne n n n n n n n
⋅⇒ ⋅ + + − ⋅ + = + ⋅ + + − ⋅ + ⇒
2 2 2 21 1
24 2 2 4 4
ne n nn n n nn
⋅⇒ ⋅ − ⋅ =+ + + + −+⋅ ⋅ ++ ⇒
2 2 24 2 2 4 4 4 4 4 42 2 4
n n ne n n nn ne en
⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒ ⋅ = +− ⋅ ⋅ − ⇒⋅ ⋅ = ⇒
2 2 2 04 4 1 2 0/: 4 0.
n n ne e e e n n
⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Vježba 069
Odredi parametar n tako da iznosi vektora ( )2 1 in
a e i n j n k→ → → →
= ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅
( ) ( )1 2b n i n k→ → →
= + ⋅ + − ⋅ budu jednaki.
Rezultat: n = 0.
Zadatak 070 (Toni, gimnazija)
Zadani su vektori 5 8 3 i 12 9 4 .a i j k b i j k→ → → → → → → →
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ Koliki je iznos (modul)
vektora 2 .c a b→ → →
= ⋅ −
Rješenje 070
Ponovimo!
2 2 2=Duljina vektora definira se .a a i a j a k a a a az zx y x y
→ → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ = + +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
5 8 3
12 9 4
2ca i j k
b
a b
i j k
→ → → → = ⋅ + ⋅ + ⋅
⇒ ⇒ → → → → = ⋅ − ⋅ + ⋅
→ →⋅ −
→=
2 5 8 3 12 9 4c i j k i j k→ → → → → → →
⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒
10 16 6 12 9 4 2 25 2 .c i j k i j k c i j k→ → → → → → → → → → →
⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅ + ⋅
Računamo iznos (modul) vektora .c→
( )
2 , 25 , 222 25 2 2 2
2 25 22 2 22 , 25 , 2
c c czx yc i j k
cc c c cc c c zx yzx y
= − = = → → → → → = − ⋅ + ⋅ + ⋅→⇒ ⇒ = − + + ⇒
= + += − = =
4 625 4 633 25.16.c c c→ → →
⇒ = + + ⇒ = ⇒ =
Vježba 070
Zadani su vektori 5 8 3 i 12 9 4 .a i j k b i j k→ → → → → → → →
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ Koliki je iznos (modul)
vektora .c a b→ → →
= +
14
Rezultat: 18.41.
Zadatak 071 (Vox, gimnazija)
U vektorima 2 3 i 6 2a i j k b i j kβ α→ → → → → → → →
= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ odredite α i β tako da
vektori ia b→ →
budu kolinearni.
Rješenje 071
Ponovimo!
1, .
a c b d nn
b d a c= ⇒ = =
Za dva vektora dana sa svojim koordinatama
= i =a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y
→ → → → → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
kažemo da su kolinearni ako je
.aa ayx z
b b bzx y= =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Za dvije promjenjive međusobno zavisne veličine x i y kažemo da su proporcionalne s koeficijentom
razmjernosti k, k ≠ 0, ako je
ili .y
k y k xx
= = ⋅
Da bi vektori ia b→ →
bili kolinearni njihove koordinate moraju biti proporcionalne.
2 3 2
2 3 62 3
36 26 2
2
3
6
66
3
2
a i j k
b i j k
β α αβ
β βαα
− − → → → → = = = − ⋅ + ⋅ + ⋅ −− ⇒ = = ⇒ ⇒ ⇒ → → → → − = == ⋅ − ⋅ + ⋅
−
− −
( )/2 1 2 2
42 2 1 2 12
/ 2
.1 1 11
2 2 2 22 2
α ααα
β β ββ
− − − − − − = = = =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − − = −− = ==
⋅ −
⋅
Vježba 071
U vektorima 2 4 i 8 2a i j k b i j kβ α→ → → → → → → →
= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ odredite α i β tako da
vektori ia b→ →
budu kolinearni.
Rezultat: 4, 1.α β= = −
Zadatak 072 (Vjekoslav, gimnazija)
Odredi jedinični vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor ( ) ( ), 3, 1 , 1, 2 .AB A B→
− −
Rješenje 072
Ponovimo!
15
.a b a b
n n n
−= −
Vektor AB→
s početkom u točki A(x1, y1) i završetkom u točki B(x2, y2) ima prikaz
( ) ( )2 1 2 1AB x x i y y j→ → →
= − ⋅ + − ⋅
Duljina vektora ( ) ( )2 1 2 1AB x x i y y j→ → →
= − ⋅ + − ⋅ je
( ) ( )2
1.
2
2 2 1AB x x y y→
= − + −
Za vektor a→
kažemo da je jedinični vektor ili ort ako je njegova duljina
.1a→
=
Podijelimo li bilo koji vektor a→
(različit od nulvektora) njegovom duljinom dobit ćemo jedinični
vektor ili .0
a e→ →
.a
e
a
→→
= →
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, 3, 11 1
,
2 1 2 1
2 2
21,
12
2 22 1
x x i y y jABe e
AB x x y y
A x y A
B x y B
= ⇒ ⇒ ⇒
= − −
→ →→− ⋅ + − ⋅→ →
=
− + −
= →
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 2 1 4 3 4 3
2 2 2 2 16 91 3 2 1 4 3
i j i j i je e e
→ → → → → →→ → →− − ⋅ + − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+
− − + − − − + −
4 3 4 3 4 3.
5 5 525
i j i je e e i j
→ → → →→ → → → →− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⋅ − ⋅
0
j
i
e
AB
B
Ay
x
D
A
B
C
16
Vježba 072
Odredi jedinični vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor ( ) ( ), 1, 2 , 3, 1 .AB A B→
− −
Rezultat: 4 3
.5 5
e i j→ → →
= ⋅ + ⋅
Zadatak 073 (Dario, tehnička škola)
Iznos vektora pomaka je 810 m. Sa pozitivnim smjerom x – osi zatvara kut od 18°. Odrediti
skalarne komponente vektora pomaka te dobiveni rezultat zaokružite na najbliži cijeli broj.
. 710 , 360 . 550 , 570 . 580 , 660A x m y m B x m y m C x m y m= = = = = =
. 250 , 700 . 770 , 250D x m y m E x m y m= = = =
Rješenje 073
Ponovimo!
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.
Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
hipotenuze.
Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine
hipotenuze.
y
x
rr
αααα
x
yy
x
18°°°°C U
Uočimo pravokutan trokut čija je hipotenuza r, a katete su x i y, skalarne komponente vektora pomaka.
Pomoću funkcija kosinus i sinus dobijemo:
cos cos coscos
sinsin
/810
sin sin18
/
x x x
x rr r r
y y y y r
r r r
rr m
r
α α αα
αα
αα α
= = == ⋅
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅
= =
=
⋅=
⋅
=
�
810 cos18 770.36 770.
250.3
najbliži
ci0 2je 50810 si lin1 o8 br j
x m x m x m
y m y my m
= ⋅ = =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
= == ⋅
�
�
Odgovor je pod E.
Vježba 073
Iznos vektora pomaka je 810 m. Sa pozitivnim smjerom y – osi zatvara kut od 72°. Odrediti
skalarne komponente vektora pomaka te dobiveni rezultat zaokružite na najbliži cijeli broj.
. 710 , 360 . 550 , 570 . 580 , 660A x m y m B x m y m C x m y m= = = = = =
. 250 , 700 . 770 , 250D x m y m E x m y m= = = =
Rezultat: E.
17
Zadatak 074 (Filip, tehnička škola)
Vektori iv a i b j w c i d j→ → → → → →
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ okomiti su ako i samo ako je:
. 1 . . 1 . 0a c a b
A B a c b d C D a d b cb d c d
⋅⋅ = − ⋅ = ⋅ = − ⋅ − ⋅ =
⋅
Rješenje 074
Ponovimo!
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
Formula za skalarni produkt vektora = i =a a i a j b b i b jx y x y
→ → → → → →⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ pomoću njihovih
komponenata u pravokutnom koordinatnom sustavu (Kartezijevom koordinatnom sustavu) glasi:
.a b a b a bx x y y
→ →= ⋅ + ⋅�
Dva su vektora a→
i b→
okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:
0.a b a b a bx x y y
→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ =
Budući da vektori trebaju biti međusobno okomiti, skalarni produkt vektora mora biti jednak nuli.
0 0v a i b
v w a c b d aj
w c i d
c b
j
d
→ → →= ⋅ + ⋅
→ → →= ⋅
→ → = ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ + ⋅
�
1/ 1 1.
a c a ca c b d
b d bb d d
⋅⋅⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ = − ⇒ ⋅ = −
⋅⋅
Odgovor je pod A.
Vježba 074
Vektori iv a i b j w c i d j→ → → → → →
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ okomiti su ako i samo ako je:
. 1 . . 1 . 0a c a b
A B a c b d C D a d b cb d c d
⋅⋅ = − ⋅ = ⋅ = − ⋅ − ⋅ =
⋅
Rezultat: A.
Zadatak 075 (Mirela, srednja škola)
Vektori 3 4 i 9a i j b x i j→ → → → → →
= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ međusobno su okomiti. Koliko je puta duljina
vektora b→
veća od duljine vektora a→
?
. . 2 . . 31.5 2.25A B puta C D putaputa puta
Rješenje 075
Ponovimo!
Formula za skalarni produkt vektora = i =a a i a j b b i b jx y x y
→ → → → → →⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ pomoću njihovih
komponenata u pravokutnom koordinatnom sustavu (Kartezijevom koordinatnom sustavu) glasi:
.a b a b a bx x y y
→ →= ⋅ + ⋅�
Dva su vektora a→
i b→
okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:
0.a b a b a bx x y y
→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ =
Kako izračunati koliko je puta broj b veći od broja a?
18
?b
a=
Duljina vektora definira2 2
se= .a a i a j a a ax y x y
→ → → →⋅ + ⋅ = +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Odredimo komponente vektora i .a b→ →
3 , 4=3 4.
, 9= 9
a aa i j x y
b x bx yb x i j
→ → →= = −⋅ − ⋅
⇒→ → → = =
⋅ + ⋅
Budući da su vektori međusobno okomiti, vrijedi:
( )0 0 3 4 9 0 3 36 0a b a b a b x xx x y y
→ →= ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + − ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒�
3 36 3 36 23 .: 1/x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Vektor b→
glasi
=12 9 .b i j→ → →
⋅ + ⋅
Gledamo omjer:
( )
122 2 2 2
12 9 14, 9 4 81 225 153.
52 2 22 9 16 253
15
3 , 44
5
b bx y
a ax
b b bx y
a aa x yy
→
+ + += = = = = = = = → +
= =
= = − + + −
Odgovor je pod D.
Vježba 075
Vektori 3 4 i 9a i j b x i j→ → → → → →
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ međusobno su okomiti. Koliko je puta duljina
vektora b→
veća od duljine vektora a→
?
. . 2 . . 31.5 2.25A B puta C D putaputa puta
Rezultat: D.
Zadatak 076 (Ana, gimnazija)
Odredite vektor b→
ako je kolinearan s vektorom 2a i j→ → →
= − ⋅ + , a 3 5.b→
= ⋅
Rješenje 076
Ponovimo!
( ) ( ),2
1, .
nn n na b a b a a n⋅ = ⋅ = =
Duljina vektora definira2 2
se= .a a i a j a a ax y x y
→ → → →⋅ + ⋅ = +
Za dva vektora dana sa svojim koordinatama
19
= i =a a i a j b b i b jx y x y
→ → → → → →⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
kažemo da su kolinearni ako postoji skalar k (realan broj) takav da vrijedi:
• =a k b→ →
⋅
• .aa yx k
b bx y= =
Za realan broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
− <
Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,
vrijedi │x│= x.
Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,
x < 0, je │x│= – x.
,1
, 0
2
.x a
a b a b x a ax a
= − ⋅ = ⋅ = > ⇒
=
1.inačica
Vektor b→
kolinearan je s vektorom a→
, a to znači da je
= ,b k a→ →
⋅
pri čemu je k realan broj različit od nule. I nadalje, zahtjeva se
( )2 2
3 5 25
13
2
b
a i
b k a b k a k
j
→ → → →
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ − + ⇒
→= ⋅
→ → →= − ⋅ +
3 5 4 1 3 5 5 3 5 5 3/: 5k k k k⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒
31
3 .3
2
kk
k
= − ⇒ = ⇒
=
Odatle slijedi da postoje dva vektora.
3 26 31
1.
6 33 2 22
b i jb i j
b i jb i j
→ → → → → → = − ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⇒ → → →→ → → = − ⋅ + ⋅= ⋅ − ⋅ +
2.inačica
Neka je b x i y j→ → →
= ⋅ + ⋅ i 3 5.b→
= ⋅ Tada je
2 2
2 2 2 23 5 3 2/5
3 5
b x y
x y x y
b
→ = +
⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒→
= ⋅
( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 3 5 9 5 45.x y x y x y x y
⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + =
Vektori b→
i a→
kolinearni su pa vrijedi:
20
( )/ 2 222 .
21
xxk
kb x i y j x k
y kya i j y kk
⋅ −
→ → → = == ⋅ + ⋅ = − ⋅ − −⇒ ⇒ ⇒ → → → = = − ⋅ + ==
Riješimo jednadžbu po varijabli k.
( )22 2 2 2 2 2
45 2 45 4 452
5 45x y k k kx k
y kk k
+ = ⇒ ⇒ − ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = ⇒
= ⋅
=
−
32 2 2 1
5 45 9 9 9 .1,2 3
2
/: 5 /k
k k k kk
= − ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒
=
Odatle slijedi da postoje dva vektora.
3 26 31
1.
6 33 2 22
b i jb i j
b i jb i j
→ → → → → → = − ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⇒ → → →→ → → = − ⋅ + ⋅= ⋅ − ⋅ +
Vježba 076
Nema vježbe, odmorite se!
Rezultat: �
Zadatak 077 (Ana, građevinska škola)
U točki A(2, 1, – 1) djeluje sila r→
iznosa 7.r→
= Ako imamo dvije komponente sile rx = 2,
ry = – 3 i rz > 0, odredite krajnju točku B vektora r→
te bar jedan kut koji vektor r AB→ →
= zatvara s
koordinatnim osima. Koliko ima takvih kutova?
Rješenje 077
Ponovimo!
( ) .2
a a=
2 2 2=Duljina vektora definira se .a a i a j a k a a a az zx y x y
→ → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ = + +
Ako su dane točke A(x1, y1, z1) i B(x2, y2, z2), onda su koordinate vektora koji ih spaja:
( ) ( ) ( )2 1 2 1 2.
1AB x x i y y j z z k→ → → →
= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅
Ako su ,a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y
→ → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ dva vektora, oni su jednaki ako i
samo ako su im odgovarajuće koordinate jednake, tj. , , . .a b a b a bz zx x y y= = =
Kutovi koje vektor a a i a j a kzx y
→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ zatvara s koordinatnim osima x, y i z glase:
,1 1
cos cos cos cosa aa a y yx x
a a a a
α α β β− −
= ⇒ = = ⇒ =→ → → →
21
1c s .o cos
a az z
a a
γ γ−
= ⇒ =→ →
Najprije nađemo treću koordinatu (komponentu) vektora r→
, ako su zadane prve dvije i modul.
2
3= = 2 3 .r r i r j r k r i j r kz zx y
rx
ry
→ → → → → → → → =
=
⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅
−
Iz uvjeta 7r→
= slijedi:
( )22 2 2
= 2 3 2 3 77 4 9r i j r k r rz r rz z
→→ → → → → ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒ = + − + ⇒ ⇒ = + +
= ⇒
22 2 2 2 2
7 13 13 7 13 7 13 72/r r r rz z z z
⇒ = + ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒
2 2 2 213 49 49 13 36 36 6/ 3r r r r rz z z z z⇒ + = ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒
uvjet66.
06 r
rzr
zz
rz
= − ⇒ ⇒ ⇒ = >=
Vektor glasi:
= 2 3 6 .r i j k→ → → →
⋅ − ⋅ + ⋅
Odredimo vektor AB→
.
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2
, , 2, 1, 11 1 1
, , , ,2 2 2
1 2 1
A x y z A
B x y zAB x x i y y j z z k
B x y z
= −⇒
→ → → →= − ⋅ + − ⋅ + − ⇒
=⋅
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 1 .AB x i y j z k AB x i y j z k→ → → → → → → →
⇒ = − ⋅ + − ⋅ + − − ⋅ ⇒ = − ⋅ + − ⋅ + + ⋅
Budući da je vektor r→
zadan točkama A i B, možemo napisati:
( ) ( ) ( )jednakost
vekto= 2 3 6 2 1 1
rar AB i j k x i y j z k
→ → → → → → → → ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ ⇒ ⇒
2 2 2 2 2 2 4
3 1 1 3 3 1 2 .
6 1 1 6 6 1 5
x x x x
y y y y
z z z z
= − − = = + =
⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = − + ⇒ = − = + + = = − =
Točka B ima koordinate:
( ) ( ), , 4, 2, 5 .B x y z B= −
Kut koji vektor r AB→ →
= zatvara s koordinatnom osi x iznosi:
21 1cos cos
2
7cos 73 23'5 ''.
7
r rx x
r r
rx
rα α α α
=
→=
− −= ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ =→ →
�
Postoje tri kuta:
• α – kut koji vektor zatvara s osi x
• β – kut koji vektor zatvara s osi y
22
• γ – kut koji vektor zatvara s osi z.
Za njih vrijedi: 2 2 2
cos cos cos 1.α β γ+ + =
O
aγγγγ
ββββαααα
z
y
x
Vježba 077
U točki A(2, 1, – 1) djeluje sila r→
iznosa 7.r→
= Ako imamo dvije komponente sile rx = 2,
rz = 6 i ry < 0, odredite krajnju točku B vektora r→
.
Rezultat: ( )4, 2, 5 .B −
Zadatak 078 (Sara, srednja škola)
Odredite α tako da kut između vektora ip q→ →
bude 2
π ako je , ,p m n q m nα
→ → → → → →= + = ⋅ −
2, 1, , .3
m n m nπ→ → → →
= = ∠ =
Rješenje 078
Ponovimo!
11cos, , 0 cos
2 3 2, .
n m n ma a a a a
π π+= ⋅ = = =
Skalarni produkt vektora i :a b→ →
co ,sa b a b α→ → → →
= ⋅ ⋅�
2 2
cos0 1 , .a a a a a a a b b a→ → → → → → → → → →
= ⋅ ⋅ = ⋅ = =� � �
Okomitost vektora:
0.a b a b→ → → →
⊥ ⇒ =�
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
23
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Kut između vektora ip q→ →
mora biti .2
π To znači da su međusobno okomiti pa je njihov
skalarni umnožak (produkt) jednak nuli.
0 0p m n
q m n
p q m n m n
α
α
→ → → → → → = ⇒ ⇒ + ⋅ − = ⇒
→ → →= +
→ → →= ⋅ −
� �
2 2
0 0m m m n n m n n m m n m n nα α α α→ → → → → → → → → → → → → →
⇒ ⋅ − + ⋅ − = ⇒ ⋅ − + ⋅ − = ⇒� � � � � �
( )2 2 2 2
0 1 0m m n m n n m m n nα α α α→ → → → → → → → → →
⇒ ⋅ + ⋅ − − = ⇒ ⋅ + − ⋅ − = ⇒� � �
( )2 2
1 cos
2 ,
3
0
1
,
,m m n m n
n
n
m
m nπ
α α
→ → → → → → ⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ − = ⇒
→ →= =
→ → ∠
⇒ =
( ) ( )12 2
2 1 2 1 cos 1 0 4 1 2 1 1 03 2
πα α α α⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − = ⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − = ⇒
( )1
4 1 1 1 0 422
1 1 0 5 2 0α α α α α⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − = ⇒ ⋅ + − − = ⇒ ⋅ − = ⇒
25 2 /2 .55 :
5α α α⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Vježba 078
Odredite α tako da kut između vektora ip q→ →
bude 2
π ako je , ,p m n q m nα
→ → → → → →= + = ⋅ −
4, 1, , .3
m n m nπ→ → → →
= = ∠ =
Rezultat: 1
.6
α =
Zadatak 079 (Sara, srednja škola)
Nađite vektor c→
koji je kolinearan s vektorom a b→ →
+ ako je 5, 18,a b c b→ → → →
= =� �
2.b→
=
Rješenje 079
Ponovimo!
Skalarni produkt vektora i :a b→ →
co ,sa b a b α→ → → →
= ⋅ ⋅�
2 2
cos0 1 .a a a a a a→ → → → → →
= ⋅ ⋅ = ⋅ =�
.a b c a b a c→ → → → → → →
+ = + � � �
Kolinearnost vektora
Za dva vektora ia b→ →
kažemo da su kolinearni ako postoji neki realni broj λ tako da vrijedi
24
.b aλ→ →
= ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Budući da je vektor c→
kolinearan s vektorom ,a b→ →
+ mora vrijediti
, .c a b Rλ λ→ → →
= ⋅ + ∈
Dalje slijedi:
skalarno množimo/
s vektoromb
bc a b c a bλ λ
→ → → → → → = ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ + ⇒
→
→�
c b a b b c b a b b bλ λ→ → → → → → → → → → →
⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒
� � � � �
( ) ( )
18
5
22
18 5
2
2 18 5 4
c b
a b
b
c b a b bλ λ λ
→ → → → → ⇒ = ⋅ + ⇒ ⇒
→ →
= ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒
=
→ →=
→=
�
� � �
18 9 9 18 9 18 /: 2.9λ λ λ λ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Vektor c→
glasi:
2 2 2 .c a b c a b→ → → → → →
= ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅
Vježba 079
Nađite vektor c→
koji je kolinearan s vektorom a b→ →
+ ako je 5, 27,a b c b→ → → →
= =� �
2.b→
=
Rezultat: 3 3 .c a b→ → →
= ⋅ + ⋅
Zadatak 080 (Marijana, maturantica)
Duljina vektora r→
koji je rezultat zbrajanja vektora ia b→ →
približno je:
x / cm
y / cm
2 3
1
3
2
1
r
b
a
. 7 . 10 . 5 . 2 . 12A cm B cm C cm D cm E cm
Rješenje 080
25
Ponovimo!
Ako točka T ima koordinate (x, y) tada radijus – vektor OT→
ima prikaz
.r OT x i y j→ → → →
= = ⋅ + ⋅
Za vektore ia a i a j b b i b jx y x y
→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ vrijedi
( ) ( ) .a b a b i a b jx x y y
→ → → →+ = + ⋅ + + ⋅
Ako vektor a→
ima prikaz
,a a i a jx y
→ → →= ⋅ + ⋅
tada je duljina vektora a→
jednaka
2.
2a a ax y
→= +
O
B(5, 2)
A(-7, 5)
x / cm
y / cm
2 3
1
3
2
1
r
b
a
Sa slike vidi se:
• Točka A ima koordinate (– 7, 5) pa radijus – vektor a OA→ →
= ima prikaz
7 5 .a i j→ → →
= − ⋅ + ⋅
• Točka B ima koordinate (5, 2) pa radijus – vektor b OB→ →
= ima prikaz
5 2 .b i j→ → →
= ⋅ + ⋅
Vektor r→
je rezultat zbrajanja vektora ia b→ →
pa vrijedi:
7 5 5 2 2 7 .r a b r i j i j r i j→ → → → → → → → → → →
= + ⇒ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅
Duljina vektora r→
iznosi:
( )2 2
2 7 4 49 53 7.28 7 .r r r r cm r cm→ → → → →
= − + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ≈
Odgovor je pod A.
Vježba 080
Nema pitanja!
Rezultat: …