Zadatak 041 (Maturantica, gimnazija) đ 10 · PDF fileAstronautkinja putuje raketom koja se giba jednoliko po pravcu brzinom 3 2 c ... Zemlju. Ona je u svojem sustavu izmjerila da

1

Zadatak 041 (Maturantica gimnazija)

Zemljin satelit giba se brzinom v = 9 103 ms Osobi u satelitu prođe vremenski interval od jedan sat Koliki je taj vremenski interval na Zemlji Kolika je razlika u vremenu (c = 3 108 ms)

Rješenje 041

v = 9 103 ms t0 = 1 h = 3600 s c = 3 108 ms t =

Specijalna teorija relativnosti bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi Veza između vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i vremenskog intervala ∆t u sustavu S određena je izrazom

02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena Za osobu na Zemlji vremenski interval iznosi

36000 0 3600000002 2 2 2

31 1 9 1021

83 10

t t st t s

v v m

c scm

s

∆ ∆∆ = rArr ∆ = = =

minus minus sdot

minus

sdot

Razlika vremena je 6

3600000002 3600 0000002 2 10 2 0t t s s s s smicrominus

∆ minus ∆ = minus = = sdot =

Vježba 041 Zemljin satelit giba se brzinom v = 9 kms Osobi u satelitu prođe vremenski interval od jedan sat Koliki je taj vremenski interval na Zemlji (c = 3 108 ms)

Rezultat 3600000002 s Zadatak 042 (Maturantica gimnazija)

Jedan od blizanaca ostane na Zemlji dok drugi otputuje brzinom 0995 c do daleke zvijezde i vrati se na Zemlju 15 godina mlađi nego što je njegov brat koji je ostao na Zemlji Zanemari li se vrijeme akceleracije svemirskog broda pri okretanju odredite koliko je udaljena zvijezda od Zemlje

Rješenje 042

v = 0995 c t = t ndash t0 = 15 god = 15 36525 24 3600 s = 4734 108 s c = 3 108 ms s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba



2

02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena Budući da je blizanac koji putuje brzinom v mlađi za t nego njegov brat koji je ostao na Zemlji vrijedi sustav jednadžbi

metoda

supstituc

0 0

0 02 2 2

1 1 1ije

2 2 2

t t t t t t

t t t tt t t

v v v

c c c

∆ = ∆ + ∆ ∆ = ∆ minus ∆

∆ ∆ ∆ minus ∆∆ = ∆ =rArr rArr rArr ∆ = rArr

minus minus minus

2 2 2

1 1 2 2

1

221

2

t t v vt t t t t t t

c cv

c

v

c

∆ minus ∆rArr ∆ = rArr ∆ sdot minus = ∆ minus ∆ rArr ∆ minus ∆ = ∆ sdot minussdot minus rArr

minus

2 2 21 1 1 1 1

2 21

2

1 1 2

2v v v

t t t t t t t

c c c v

c

rArr ∆ minus ∆ sdot minus = ∆ rArr ∆ sdot minus minus = ∆ rArr ∆ sdot minus minus = ∆

minus

rArrsdot

minus

2 21 1 1 12

t tt t

v v

cc

∆ ∆rArr ∆ = rArr ∆ =

minus minus minus minus

To je vremenski interval za blizanca na Zemlji za koji je drugi blizanac otišao do zvijezde i vratio se natrag Polovica tog vremena trebat će samo u jednom smjeru na primjer za put od Zemlje do zvijezde pa traženi put iznosi

1 1 1 0995

2 22 2 20995

1 1 1 1

t ts v t s v s c

v c

c c

∆ ∆= sdot sdot ∆ rArr = sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr

sdotminus minus minus minus

1 1 0995 0995

2 22 2 1 1 099509951 1

c

t ts c s

c

c∆ ∆

rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot =

minus minussdotminus minus

81 4734 108 16

0995 3 10 7849 10 22 1 1 0995

m sm

s

sdot= sdot sdot sdot sdot = sdot

minus minus

Vježba 042 Jedan od blizanaca ostane na Zemlji dok drugi otputuje brzinom 298500000 ms do daleke zvijezde i vrati se na Zemlju 15 godina mlađi nego što je njegov brat koji je ostao na Zemlji Zanemari li se vrijeme akceleracije svemirskog broda pri okretanju odredite koliko je udaljena zvijezda od Zemlje

3

Rezultat 7849 1016 m Zadatak 043 (Megy gimnazija)

Koliki je Lorentzov faktor γ ako se tijelo giba brzinom 08 c

5 2 1 4

3 3A B C D

Rješenje 043

v = 08 c γ =

Lorentzov faktor koristi se u specijalnoj teoriji relativnosti i definira 1

21 2

v

c

γ =

minus

gdje je v brzina tijela c brzina svjetlosti Faktor se rabi u specijalnoj teoriji relativnosti za dilataciju vremena kontrakciju dužine i relativističku masu Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

1 1

2 2 1 11 12 2 2

08 081 1

0808

v v

cc c

v cv c

c

cc

γ γ

γ γ

= =

rArr rArr = rArr = rArrminus minus

sdot sdotminus minus

= sdot= sdot

1 1 1 1 1

62 061 064 0361 0810

γ γ γ γ γrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArrminusminus

110 51

6 6

1

3

0

106

γ γ γ γrArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 043


5 4 2 3

4 3A B C D

Rezultat A

Zadatak 044 (Iva gimnazija)

Astronautkinja putuje raketom koja se giba jednoliko po pravcu brzinom 3

2

c sdot u odnosu na

Zemlju Ona je u svojem sustavu izmjerila da njezino putovanje traje 2 godine Koliko je vremena putovanje trajalo za promatrača na Zemlji

Rješenje 044

3

2

cv

sdot= ∆t0 = 2 god ∆t =

4


s v t= sdot




02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena Budući da je blizanac koji putuje brzinom v mlađi za t nego njegov brat koji je ostao na Zemlji vrijedi sustav jednadžbi Za promatrača na Zemlji putovanje iznosi

2 20 02 2 2 2

3 31 122 21 1

t t god godt t t t

v v c

c

c

c

c

c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr


minus minus

2 2 2 2 2

2 3 1 3 4 3 113

1 4 1 4 4 42

god god god god godt t t t trArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

minusminus minus

minus

22 1 4

1 1

2 2

godgod

t t t godrArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ =

Vježba 044


2

c sdot u odnosu na


Rezultat 6 god Zadatak 045 (Nino srednja škola) Štap je u sustavu mirovanja dugačak 3 m Promatrač u odnosu na kojega se štap giba jednoliko duž svoje uzdužne osi mjeri da je duljina štapa 1 m Kolikom se brzinom štap giba u odnosu na promatrača (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 045 l0 = 3 m l = 1 m c = 3 middot 108 ms v =



5

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se mjere

21 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina mjerena iz sustava koji miruje

22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0

v v l v l v l vl l l l

l l lc c c cl c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus

sdot rArr

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c

rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 212 8 81 1 3 10 1 283 10 30 0

l l m m mv c v c

l l s m s

rArr = sdot minus rArr = sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 045 Štap je u sustavu mirovanja dugačak 6 m Promatrač u odnosu na kojega se štap giba jednoliko duž svoje uzdužne osi mjeri da je duljina štapa 2 m Kolikom se brzinom štap giba u odnosu na promatrača (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 283 middot 108 ms Zadatak 046 (Ana gimnazija)

Katete pravokutnog trokuta imaju duljinu 4 m i 3 m Kolikom bi se brzinom morao gibati trokut u smjeru dulje katete da bi bio jednakokračan (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 046 l0 = 4 m dulja kateta l = 3 m kraća kateta c = 3 middot 108 ms v =


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se mjere

21 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina mjerena iz sustava koji miruje Kontrakcija dužine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja a nema je u smjerovima okomitim na smjer gibanja Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake Stranice jednakih duljina zovemo kracima trokuta Kod jednakokračnog pravokutnog trokuta duljine kateta su jednake

22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0


l l lc c c cl c


sdot rArr

6

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 232 1 1 140 0

l l mv c v c v c

l l m

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

79 1 9 16 9 71

16 1 16 16 16 16v c v c v c v c v c

minusrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

7 7

4 4v c v crArr = sdot rArr = sdot

Ili

7 7 8 83 10 1984 10 4 4

m mv c

s s= sdot = sdot sdot = sdot

v

l

Il0

l

Vježba 046 Katete pravokutnog trokuta imaju duljinu 8 m i 6 m Kolikom bi se brzinom morao gibati trokut u smjeru dulje katete da bi bio jednakokračan (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 1984 middot 108 ms Zadatak 047 (Gimnazijalka gimnazija)

Pravokutni trokut giba se brzinom v u smjeru katete b Kolika je ploština trokuta za promatrača koji se giba zajedno sa trokutom a kolika za onoga koji se ne giba

Rješenje 047 a0 b0 P0 = P =



21 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina mjerena iz sustava koji miruje Kontrakcija dužine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja a nema je u smjerovima okomitim na smjer gibanja Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Ploština pravokutnog trokuta izračunava se po formuli

1

2P a b= sdot sdot

gdje su a i b duljine kateta

7

v

b0

a0

b

a0

Kada se promatrač giba zajedno sa pravokutnim trokutom za njega je ploština trokuta dana formulom

10 0 02

P a b= sdot sdot

Kada se pravokutni trokut giba brzinom v u smjeru katete b0 njezina duljina za promatrača koji miruje smanjit će se pa ploština trokuta iznosi

22 210 12

1 1 0 0 02 2210

0 0

2

102

P a b

vb b

v vc P a b P P

c cP a b

= sdot minus rArr = sdot sdot sdot minus = sdot sdotrArr rArr = sdot minus

= sdot sdot

Vježba 047 Pravokutni trokut giba se brzinom v u smjeru katete a Kolika je ploština trokuta za promatrača koji se giba zajedno sa trokutom a kolika za onoga koji se ne giba

Rezultat 2

1 1 0 0 0 0 22

vP a b P P

c

= sdot sdot = sdot minus

Zadatak 048 (Luka gimnazija)

U vlastitom referentnom sustavu pravokutnik ima dimenzije 10 cm x 15 cm Kolikom se brzinom i u kojem smjeru treba gibati da bi ga promatrač koji miruje vidio kao kvadrat (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 048 a0 = 15 cm b0 = 10 cm c = 3 middot 108 ms v =



21 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina mjerena iz sustava koji miruje Kontrakcija dužine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja a nema je u smjerovima okomitim na smjer gibanja Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri stranice Paralelogram je četverokut kojemu su po dvije nasuprotne stranice paralelne Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90ordm) Kvadrat je četverokut kojemu su sve stranice sukladne a dijagonale međusobno sukladne i okomite Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne

8

v

b0

aa0

b0

Kada se pravokutnik giba brzinom v u smjeru dulje stranice a0 njezina duljina smanji se (kontrakcija dužine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja) za promatrača koji miruje i iznosi

21 0 2

va a

c= sdot minus

Da bi promatrač vidio kvadrat mora biti 0a b=

Računamo brzinu v kojom se pravokutnik mora gibati u odnosu na promatrača koji miruje

1

0

0 2 2 202 1 1 10 0 0 02 2 21 00 2

a b

bv v vb a b a

v aa a c c a cc

= rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr

= sdot minussdot

2 2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 20

220 0

0

b b b bv v v v

a a a ac c cc

c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr

sdot

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1

0 1

0 0

b b bv c v c v c

a a a


12 2 2 2

10 201 1 1 115 30

0

15

b cmv c v c v c v c

a c

c

m

m

cm

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

54 1 4 9 4 51

9 1 9 9 9 9v c v c v c v c v c


5 5


Ili

5 5 8 83 10 224 10 3 3

m mv c


Vježba 048 U vlastitom referentnom sustavu pravokutnik ima dimenzije 1 dm x 15 dm Kolikom se brzinom i u kojem smjeru treba gibati da bi ga promatrač koji miruje vidio kao kvadrat (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat U smjeru dulje stranice 8224 10 m

vs

= sdot

Zadatak 049 (XY gimnazija)

Za koliko se postotaka poveća masa elektrona koji se giba brzinom 05 middot c gdje je c brzina svjetlosti u praznini

Rješenje 049

m0 ndash masa elektrona u mirovanju c ndash brzina svjetlosti v = 05 middot c p =

9

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer

9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine S ndash osnovna vrijednost p ndash postotak P ndash postotni iznos Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi

100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot

Najprije izračunamo masu elektrona u gibanju brzinom v

0 0 0 02 2 2 2

05 051 1 1 12

m m m mm m m m

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

0 0 0 11547 02 1 025 0751 05

m m mm m m m mrArr = rArr = rArr = rArr = sdot

minusminus

Tada postotak povećanja mase iznosi

11547 01547 015470 0 0 0

0 0

0

00

m m m m mp p

m

mp p

m m m

minus sdot minus sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr

154

1

70

001547 1547p p prArr = rArr = rArr =

Ili

0

11547 015470 0 0 0

S m

P m m m m m

p

=

= minus = sdot minus = sdot

=

100 01547100 0100 100 0

mPS p P S p P p p

SS

m

sdot sdotsdotsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = rArr = rArr

0

0

100 01547100 01547 1547

m

mp p p

sdot sdotrArr = rArr = sdot rArr =

Vježba 049


Rezultat 25

10

Zadatak 050 (Džana gimnazija)

Koliko se energije oslobodi pri fisiji 05 kg urana ako se u energiju transformira 02 mase urana (brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =

U specijalnoj teoriji relativnosti Einstein je dokazao ekvivalentnost mase i energije Ta je veza dana čuvenom formulom

2

E m c= sdot

gdje je E energija ekvivalentna masi m masa i c brzina svjetlosti u vakuumu Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Oslobođena energija pri fisiji iznosi 2

2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J

s= sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot

Vježba 050

Koliko se energije oslobodi eksplozijom bombe koja sadrži 3 kg fisijskog materijala ako se prilikom eksplozije samo 01 materijala pretvori u energiju (brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 27 middot 1014 J

Zadatak 051 (Miroslav tehnička škola)

Svemirski brod prolazi brzinom 08 middot c uz svemirsku postaju Astronauti u svemirskome brodu u smjeru svojega gibanja izmjere da duljina postaje iznosi 60 m Koliku duljinu postaje u smjeru gibanja broda izmjere promatrači smješteni u postaji Brzina svjetlosti u vakuumu je c

36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = rArr = rArr

minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c

rArr = rArr = rArr = rArr = rArrminusminussdot sdot

minus minus

60 60100 0 0 006036

m ml l l mrArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m

Rezultat D Zadatak 052 (Džana gimnazija)

Fuzijom četiri jezgre vodika u jednu jezgru helija na Suncu se oslobodi zračenje snage 300 YW Koliko se smanji masa Sunca za vrijeme ljudskog života (80 godina) (brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 052

P = 300 YW = 300 middot 1024 W = 3 middot 1026 W t = 80 god = [80 middot 36525 middot 24 middot 3600] = = 2525 middot 109 s c = 3 middot 108 ms m =


2

E m c= sdot

gdje je E energija ekvivalentna masi m masa i c brzina svjetlosti u vakuumu Kad tijelo obavlja rad mijenja mu se energija Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu Brzinu rada izražavamo snagom Snaga P jednaka je omjeru rada W i vremena t za koje je rad obavljen tj

W

P W P tt

= rArr = sdot

Računamo smanjenje mase Sunca za vrijeme t

1

2

22 2

2P tE m c

m c P t m c P t mE P t c c

sdot= sdotrArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = =

= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s

sdot sdot sdot= = sdot

sdot

Vježba 052

Fuzijom četiri jezgre vodika u jednu jezgru helija na Suncu se oslobodi zračenje snage 300 YW Koliko se smanji masa Sunca za jedan dan (brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 288 middot 1014 kg Zadatak 053 (Vesna gimnazija)

Svemirski brod čija je duljina u sustavu mirovanja 40 m giba se brzinom 08 middot c u odnosu na promatrača na Zemlji Kolika je duljina svemirskoga broda u odnosu na toga promatrača Brzina svjetlosti u vakuumu označena je s c

12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =

Specijalna teorija relativnosti bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav bull Brzina elektromagnetnih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na


21 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina mjerena iz sustava koji miruje Duljina svemirskoga broda u odnosu na promatrača na Zemlji je

2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc

sdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus = sdot minus = sdot minus =

240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m

Zadatak 054 (Zlatko gimnazija)

Putnik iz svemirskog broda koji napušta Zemlju brzinom 08 middot c pošalje laserski signal prema Zemlji Kolika je brzina laserskog signala u odnosu na putnika u brodu (v1) a kolika u odnosu na Zemlju (v2) Brzina svjetlosti u vakuumu je c

02 i 02 02 i 081 2 1 2A v c v c B v c v c= sdot = sdot = sdot = sdot

08 i 02 i1 2 1 2C v c v c D v c v c= sdot = sdot = =

Rješenje 054

v = 08 middot c v1 = v2 =


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi Budući da je brzina elektromagnetnih valova (svjetlosti) u vakuumu invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na svaki inercijski sustav i najveća moguća brzina u prirodi bit će i brzina laserskog signala u odnosu na putnika u brodu i brzina u odnosu na Zemlju jednaka c Odgovor je pod D

13

Vježba 054




Rezultat D


Ispred promatrača na Zemlji prolazi svemirski brod brzinom 06 middot c S bočne strane broda nalazi se okno Promatrač na brodu vidi da je okno kružno polumjera 05 m Kakvo okno na brodu vidi promatrač sa Zemlje Brzina svjetlosti u vakuumu je c

04A kružno polumjera m

05B kružno polumjera m

05C eliptično s velikom poluosi m položenoj okomito na smjer gibanja broda 05D eliptično s velikom poluosi m položenoj u smjeru gibanja broda

Rješenje 055

v = 06 middot c r = 05 m



21 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina mjerena iz sustava koji miruje Kontrakcija duljine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja a nema je u smjerovima okomitim na smjer gibanja

v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14

Zadatak 056 (Dragan gimnazija)

Vrijeme života neke čestice dok miruje jednako je 10-7 s Odredi put koji čestica prijeđe ako se giba brzinom 297000 km s (brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 m s)

Rješenje 056

∆t0 = 10-7 s v = 297000 km s = 297 middot 108 m s c = 3 middot 108 m s s =


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba Dilatacija vremena U bržem sustavu vrijeme sporije teče Neka je zadan inercijski sustav S koji se s obzirom na inercijski sustav S giba jednoliko po pravcu brzinom v Vremenski interval ∆t0 između dva događaja u istoj točki prostora inercijskog sustava S (vlastito vrijeme) i vremenski interval ∆t između ta ista dva događaja ali mjeren iz sustava S povezani su relacijom

02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti u praznini Put koji čestica prevali brzinom v iznosi

02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =

∆ ∆rArr = sdot rArr = sdot =minus

minus minus= sdot ∆

7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056

Vrijeme života neke čestice dok miruje jednako je 01 micros Odredi put koji čestica prijeđe ako se giba brzinom 297000 km s (brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 m s)

Rezultat 21054 m Zadatak 057 (Zlatko gimnazija)

Nestabilne čestice micro mezona u gornjim slojevima atmosfere imaju brzinu 0998 middot c Vlastito srednje vrijeme života micro mezona je 22 middot 10-6 s Koliki put prijeđe micro mezon prije nego se raspadne a) u sustavu vezanom za Zemlju b) u sustavu vezanom za mezon (brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 m s)

Rješenje 057

v = 0998 middot c ∆t0 = 10-7 s c = 3 middot 108 m s s = s0 =

15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti u praznini a) Zbog dilatacije vremena za promatrača u sustavu vezanom za Zemlju vrijeme života micro mezona je dulje i iznosi

02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus

pa će mezon prevaliti put

02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c

minus minussdot sdot

= sdot sdot = sdot sdot sdot =


622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot

= sdot sdot sdot = asymp

minus

b) U sustavu vezanom za mezon (vlastitom sustavu) prevaljeni put iznosi

8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s

minus= sdot ∆ rArr = sdot sdot ∆ = sdot sdot sdot sdot =

Vježba 057

Nestabilne čestice micro mezona u gornjim slojevima atmosfere imaju brzinu 0998 middot c Vlastito srednje vrijeme života micro mezona je 22 micros Koliki put prijeđe micro mezon prije nego se raspadne u sustavu vezanom za Zemlju (brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 m s)

Rezultat 1042 km

16

Zadatak 058 (Felix gimnazija)

Izračunaj valnu duljinu elektrona brzine 08 middot c (masa elektrona u mirovanju m0 = 911 middot 10-31 kg Planckova konstanta h = 6626 middot 10-34 J middot s brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 m s)

Rješenje 058

v = 08 middot c m0 = 911 middot 10-31 kg h = 6626 middot 10-34 J middot s c = 3 middot 108 m s λ =


2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu De Broglie je teorijski došao do zaključka da svaka čestica koja se giba mora imati valna svojstva Prema de Broglievoj relaciji valna duljina λ čestice mase m koja se giba brzinom v je

h

m vλ =

sdot

Brzina neutrona iznosi Budući da je brzina elektrona jako velika primijenit ćemo relativističku formulu

( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus

minus rArr rArr = rArr = rArrsdot

sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ

sdotsdot minus sdot minus

rArr = rArr = =sdot sdot sdot

20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k

sdotminussdot sdot sdot minus minus

sdot sdot sdot minus minus= = = sdot =

minus minussdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot

Vježba 058

Izračunaj valnu duljinu elektrona čija je brzina 80 brzine svjetlosti (masa elektrona u mirovanju m0 = 911 middot 10-31 kg Planckova konstanta h = 6626 middot 10-34 J middot s brzina svjetlosti u praznini c = 3 middot 108 m s)

Rezultat 182 pm

Zadatak 059 (Sonja srednja škola)

Kolikom će se brzinom gibati štap duljine 3 m da bi za promatrača koji miruje njegova duljina bila 25 m (brzina svjetlosti u praznini c)

Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =

Specijalna teorija relativnosti bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

17

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se mjere

21 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina mjerena iz sustava koji miruje c brzina svjetlosti v brzina gibanja predmeta Računamo brzinu gibanja

2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm

= sdot minus = sdot minus = sdot minus = sdot

Vježba 059

Kolikom će se brzinom gibati štap duljine 300 cm da bi za promatrača koji miruje njegova duljina bila 250 cm (brzina svjetlosti u praznini c)

Rezultat 0553 middot c


Pravokutna slika visine 1 m i širine 12 m visi na zidu jedne prostorije u svemirskom brodu Svemirski brod prolazi pokraj Zemlje brzinom 09 middot c Kolike su dimenzije slike za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u praznini c)

Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina mjerena iz sustava koji miruje c brzina svjetlosti v brzina gibanja predmeta Kontrakcija dužine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja a nema je u smjerovima okomitim na smjer gibanja

18

Giba li se brod u smjeru širine slike za promatrača na Zemlji visina slika ostat će ista

1 0a a m= =

Budući da se svemirski brod giba brzinom v širina slike b0 za promatrača koji miruje smanjit će se i iznosit će

2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus = sdot minus = sdot minus =

212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060

Pravokutna slika visine 100 cm i širine 120 cm visi na zidu jedne prostorije u svemirskom brodu Svemirski brod prolazi pokraj Zemlje brzinom 09 middot c Kolike su dimenzije slike za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u praznini c)

Rezultat visina 100 cm širina 52 cm

2

02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena Budući da je blizanac koji putuje brzinom v mlađi za t nego njegov brat koji je ostao na Zemlji vrijedi sustav jednadžbi

metoda

supstituc

0 0

0 02 2 2

1 1 1ije

2 2 2

t t t t t t

t t t tt t t

v v v

c c c

∆ = ∆ + ∆ ∆ = ∆ minus ∆

∆ ∆ ∆ minus ∆∆ = ∆ =rArr rArr rArr ∆ = rArr

minus minus minus

2 2 2

1 1 2 2

1

221

2

t t v vt t t t t t t

c cv

c

v

c

∆ minus ∆rArr ∆ = rArr ∆ sdot minus = ∆ minus ∆ rArr ∆ minus ∆ = ∆ sdot minussdot minus rArr

minus

2 2 21 1 1 1 1

2 21

2

1 1 2

2v v v

t t t t t t t

c c c v

c

rArr ∆ minus ∆ sdot minus = ∆ rArr ∆ sdot minus minus = ∆ rArr ∆ sdot minus minus = ∆

minus

rArrsdot

minus

2 21 1 1 12

t tt t

v v

cc

∆ ∆rArr ∆ = rArr ∆ =

minus minus minus minus

To je vremenski interval za blizanca na Zemlji za koji je drugi blizanac otišao do zvijezde i vratio se natrag Polovica tog vremena trebat će samo u jednom smjeru na primjer za put od Zemlje do zvijezde pa traženi put iznosi

1 1 1 0995

2 22 2 20995

1 1 1 1

t ts v t s v s c

v c

c c

∆ ∆= sdot sdot ∆ rArr = sdot sdot rArr = sdot sdot sdot rArr

sdotminus minus minus minus

1 1 0995 0995

2 22 2 1 1 099509951 1

c

t ts c s

c

c∆ ∆

rArr = sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot =

minus minussdotminus minus

81 4734 108 16

0995 3 10 7849 10 22 1 1 0995

m sm

s

sdot= sdot sdot sdot sdot = sdot

minus minus

Vježba 042 Jedan od blizanaca ostane na Zemlji dok drugi otputuje brzinom 298500000 ms do daleke zvijezde i vrati se na Zemlju 15 godina mlađi nego što je njegov brat koji je ostao na Zemlji Zanemari li se vrijeme akceleracije svemirskog broda pri okretanju odredite koliko je udaljena zvijezda od Zemlje

3



5 2 1 4

3 3A B C D

Rješenje 043

v = 08 c γ =


21 2

v

c

γ =

minus




1 1

2 2 1 11 12 2 2

08 081 1

0808

v v

cc c

v cv c

c

cc

γ γ

γ γ

= =



= sdot= sdot

1 1 1 1 1

62 061 064 0361 0810


110 51

6 6

1

3

0

106


Odgovor je pod A

Vježba 043


5 4 2 3

4 3A B C D

Rezultat A



2

c sdot u odnosu na


Rješenje 044

3

2

cv


4


s v t= sdot




02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


2 20 02 2 2 2

3 31 122 21 1

t t god godt t t t

v v c

c

c

c

c

c



minus minus

2 2 2 2 2

2 3 1 3 4 3 113

1 4 1 4 4 42


minusminus minus

minus

22 1 4

1 1

2 2

godgod


Vježba 044


2

c sdot u odnosu na






5


21 0 2

vl l

c= sdot minus


22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0


l l lc c c cl c


sdot rArr

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 212 8 81 1 3 10 1 283 10 30 0

l l m m mv c v c

l l s m s








21 0 2

vl l

c= sdot minus


22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0


l l lc c c cl c


sdot rArr

6

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 232 1 1 140 0

l l mv c v c v c

l l m


79 1 9 16 9 71

16 1 16 16 16 16v c v c v c v c v c


7 7


Ili

7 7 8 83 10 1984 10 4 4

m mv c


v

l

Il0

l







21 0 2

vl l

c= sdot minus


1

2P a b= sdot sdot


7

v

b0

a0

b

a0


10 0 02

P a b= sdot sdot


22 210 12

1 1 0 0 02 2210

0 0

2

102

P a b

vb b

v vc P a b P P

c cP a b


= sdot sdot


Rezultat 2

1 1 0 0 0 0 22

vP a b P P

c







21 0 2

vl l

c= sdot minus


8

v

b0

aa0

b0


21 0 2

va a

c= sdot minus



1

0

0 2 2 202 1 1 10 0 0 02 2 21 00 2

a b

bv v vb a b a

v aa a c c a cc


= sdot minussdot

2 2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 20

220 0

0

b b b bv v v v

a a a ac c cc

c


sdot

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1

0 1

0 0

b b bv c v c v c

a a a


12 2 2 2

10 201 1 1 115 30

0

15

b cmv c v c v c v c

a c

c

m

m

cm


54 1 4 9 4 51

9 1 9 9 9 9v c v c v c v c v c


5 5


Ili

5 5 8 83 10 224 10 3 3

m mv c




vs

= sdot



Rješenje 049


9


2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =




0 0 0 02 2 2 2

05 051 1 1 12

m m m mm m m m

v v c

c c

c

cc



0 0 0 11547 02 1 025 0751 05


minusminus


11547 01547 015470 0 0 0

0 0

0

00

m m m m mp p

m

mp p

m m m


154

1

70


Ili

0

11547 015470 0 0 0

S m

P m m m m m

p

=


=

100 01547100 0100 100 0

mPS p P S p P p p

SS

m


0

0

100 01547100 01547 1547

m

mp p p


Vježba 049


Rezultat 25

10



Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =


2

E m c= sdot



9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J


Vježba 050





36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc


minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



3



5 2 1 4

3 3A B C D

Rješenje 043

v = 08 c γ =


21 2

v

c

γ =

minus




1 1

2 2 1 11 12 2 2

08 081 1

0808

v v

cc c

v cv c

c

cc

γ γ

γ γ

= =



= sdot= sdot

1 1 1 1 1

62 061 064 0361 0810


110 51

6 6

1

3

0

106


Odgovor je pod A

Vježba 043


5 4 2 3

4 3A B C D

Rezultat A



2

c sdot u odnosu na


Rješenje 044

3

2

cv


4


s v t= sdot




02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


2 20 02 2 2 2

3 31 122 21 1

t t god godt t t t

v v c

c

c

c

c

c



minus minus

2 2 2 2 2

2 3 1 3 4 3 113

1 4 1 4 4 42


minusminus minus

minus

22 1 4

1 1

2 2

godgod


Vježba 044


2

c sdot u odnosu na






5


21 0 2

vl l

c= sdot minus


22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0


l l lc c c cl c


sdot rArr

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 212 8 81 1 3 10 1 283 10 30 0

l l m m mv c v c

l l s m s








21 0 2

vl l

c= sdot minus


22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0


l l lc c c cl c


sdot rArr

6

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 232 1 1 140 0

l l mv c v c v c

l l m


79 1 9 16 9 71

16 1 16 16 16 16v c v c v c v c v c


7 7


Ili

7 7 8 83 10 1984 10 4 4

m mv c


v

l

Il0

l







21 0 2

vl l

c= sdot minus


1

2P a b= sdot sdot


7

v

b0

a0

b

a0


10 0 02

P a b= sdot sdot


22 210 12

1 1 0 0 02 2210

0 0

2

102

P a b

vb b

v vc P a b P P

c cP a b


= sdot sdot


Rezultat 2

1 1 0 0 0 0 22

vP a b P P

c







21 0 2

vl l

c= sdot minus


8

v

b0

aa0

b0


21 0 2

va a

c= sdot minus



1

0

0 2 2 202 1 1 10 0 0 02 2 21 00 2

a b

bv v vb a b a

v aa a c c a cc


= sdot minussdot

2 2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 20

220 0

0

b b b bv v v v

a a a ac c cc

c


sdot

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1

0 1

0 0

b b bv c v c v c

a a a


12 2 2 2

10 201 1 1 115 30

0

15

b cmv c v c v c v c

a c

c

m

m

cm


54 1 4 9 4 51

9 1 9 9 9 9v c v c v c v c v c


5 5


Ili

5 5 8 83 10 224 10 3 3

m mv c




vs

= sdot



Rješenje 049


9


2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =




0 0 0 02 2 2 2

05 051 1 1 12

m m m mm m m m

v v c

c c

c

cc



0 0 0 11547 02 1 025 0751 05


minusminus


11547 01547 015470 0 0 0

0 0

0

00

m m m m mp p

m

mp p

m m m


154

1

70


Ili

0

11547 015470 0 0 0

S m

P m m m m m

p

=


=

100 01547100 0100 100 0

mPS p P S p P p p

SS

m


0

0

100 01547100 01547 1547

m

mp p p


Vježba 049


Rezultat 25

10



Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =


2

E m c= sdot



9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J


Vježba 050





36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc


minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



4


s v t= sdot




02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


2 20 02 2 2 2

3 31 122 21 1

t t god godt t t t

v v c

c

c

c

c

c



minus minus

2 2 2 2 2

2 3 1 3 4 3 113

1 4 1 4 4 42


minusminus minus

minus

22 1 4

1 1

2 2

godgod


Vježba 044


2

c sdot u odnosu na






5


21 0 2

vl l

c= sdot minus


22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0


l l lc c c cl c


sdot rArr

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 212 8 81 1 3 10 1 283 10 30 0

l l m m mv c v c

l l s m s








21 0 2

vl l

c= sdot minus


22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0


l l lc c c cl c


sdot rArr

6

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 232 1 1 140 0

l l mv c v c v c

l l m


79 1 9 16 9 71

16 1 16 16 16 16v c v c v c v c v c


7 7


Ili

7 7 8 83 10 1984 10 4 4

m mv c


v

l

Il0

l







21 0 2

vl l

c= sdot minus


1

2P a b= sdot sdot


7

v

b0

a0

b

a0


10 0 02

P a b= sdot sdot


22 210 12

1 1 0 0 02 2210

0 0

2

102

P a b

vb b

v vc P a b P P

c cP a b


= sdot sdot


Rezultat 2

1 1 0 0 0 0 22

vP a b P P

c







21 0 2

vl l

c= sdot minus


8

v

b0

aa0

b0


21 0 2

va a

c= sdot minus



1

0

0 2 2 202 1 1 10 0 0 02 2 21 00 2

a b

bv v vb a b a

v aa a c c a cc


= sdot minussdot

2 2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 20

220 0

0

b b b bv v v v

a a a ac c cc

c


sdot

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1

0 1

0 0

b b bv c v c v c

a a a


12 2 2 2

10 201 1 1 115 30

0

15

b cmv c v c v c v c

a c

c

m

m

cm


54 1 4 9 4 51

9 1 9 9 9 9v c v c v c v c v c


5 5


Ili

5 5 8 83 10 224 10 3 3

m mv c




vs

= sdot



Rješenje 049


9


2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =




0 0 0 02 2 2 2

05 051 1 1 12

m m m mm m m m

v v c

c c

c

cc



0 0 0 11547 02 1 025 0751 05


minusminus


11547 01547 015470 0 0 0

0 0

0

00

m m m m mp p

m

mp p

m m m


154

1

70


Ili

0

11547 015470 0 0 0

S m

P m m m m m

p

=


=

100 01547100 0100 100 0

mPS p P S p P p p

SS

m


0

0

100 01547100 01547 1547

m

mp p p


Vježba 049


Rezultat 25

10



Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =


2

E m c= sdot



9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J


Vježba 050





36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc


minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



5


21 0 2

vl l

c= sdot minus


22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0


l l lc c c cl c


sdot rArr

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 212 8 81 1 3 10 1 283 10 30 0

l l m m mv c v c

l l s m s








21 0 2

vl l

c= sdot minus


22 2 2 2 21 1 1 1 10 02 2 2 2

1 22

0 0 0

0


l l lc c c cl c


sdot rArr

6

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 232 1 1 140 0

l l mv c v c v c

l l m


79 1 9 16 9 71

16 1 16 16 16 16v c v c v c v c v c


7 7


Ili

7 7 8 83 10 1984 10 4 4

m mv c


v

l

Il0

l







21 0 2

vl l

c= sdot minus


1

2P a b= sdot sdot


7

v

b0

a0

b

a0


10 0 02

P a b= sdot sdot


22 210 12

1 1 0 0 02 2210

0 0

2

102

P a b

vb b

v vc P a b P P

c cP a b


= sdot sdot


Rezultat 2

1 1 0 0 0 0 22

vP a b P P

c







21 0 2

vl l

c= sdot minus


8

v

b0

aa0

b0


21 0 2

va a

c= sdot minus



1

0

0 2 2 202 1 1 10 0 0 02 2 21 00 2

a b

bv v vb a b a

v aa a c c a cc


= sdot minussdot

2 2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 20

220 0

0

b b b bv v v v

a a a ac c cc

c


sdot

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1

0 1

0 0

b b bv c v c v c

a a a


12 2 2 2

10 201 1 1 115 30

0

15

b cmv c v c v c v c

a c

c

m

m

cm


54 1 4 9 4 51

9 1 9 9 9 9v c v c v c v c v c


5 5


Ili

5 5 8 83 10 224 10 3 3

m mv c




vs

= sdot



Rješenje 049


9


2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =




0 0 0 02 2 2 2

05 051 1 1 12

m m m mm m m m

v v c

c c

c

cc



0 0 0 11547 02 1 025 0751 05


minusminus


11547 01547 015470 0 0 0

0 0

0

00

m m m m mp p

m

mp p

m m m


154

1

70


Ili

0

11547 015470 0 0 0

S m

P m m m m m

p

=


=

100 01547100 0100 100 0

mPS p P S p P p p

SS

m


0

0

100 01547100 01547 1547

m

mp p p


Vježba 049


Rezultat 25

10



Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =


2

E m c= sdot



9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J


Vježba 050





36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc


minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



6

2 2 2 22 22 2 2 21 1 1 1

2 20 0 0 0

2 v l v l l l

v c v cl l l lc

c

c


sdot

2 2 232 1 1 140 0

l l mv c v c v c

l l m


79 1 9 16 9 71

16 1 16 16 16 16v c v c v c v c v c


7 7


Ili

7 7 8 83 10 1984 10 4 4

m mv c


v

l

Il0

l







21 0 2

vl l

c= sdot minus


1

2P a b= sdot sdot


7

v

b0

a0

b

a0


10 0 02

P a b= sdot sdot


22 210 12

1 1 0 0 02 2210

0 0

2

102

P a b

vb b

v vc P a b P P

c cP a b


= sdot sdot


Rezultat 2

1 1 0 0 0 0 22

vP a b P P

c







21 0 2

vl l

c= sdot minus


8

v

b0

aa0

b0


21 0 2

va a

c= sdot minus



1

0

0 2 2 202 1 1 10 0 0 02 2 21 00 2

a b

bv v vb a b a

v aa a c c a cc


= sdot minussdot

2 2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 20

220 0

0

b b b bv v v v

a a a ac c cc

c


sdot

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1

0 1

0 0

b b bv c v c v c

a a a


12 2 2 2

10 201 1 1 115 30

0

15

b cmv c v c v c v c

a c

c

m

m

cm


54 1 4 9 4 51

9 1 9 9 9 9v c v c v c v c v c


5 5


Ili

5 5 8 83 10 224 10 3 3

m mv c




vs

= sdot



Rješenje 049


9


2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =




0 0 0 02 2 2 2

05 051 1 1 12

m m m mm m m m

v v c

c c

c

cc



0 0 0 11547 02 1 025 0751 05


minusminus


11547 01547 015470 0 0 0

0 0

0

00

m m m m mp p

m

mp p

m m m


154

1

70


Ili

0

11547 015470 0 0 0

S m

P m m m m m

p

=


=

100 01547100 0100 100 0

mPS p P S p P p p

SS

m


0

0

100 01547100 01547 1547

m

mp p p


Vježba 049


Rezultat 25

10



Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =


2

E m c= sdot



9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J


Vježba 050





36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc


minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



7

v

b0

a0

b

a0


10 0 02

P a b= sdot sdot


22 210 12

1 1 0 0 02 2210

0 0

2

102

P a b

vb b

v vc P a b P P

c cP a b


= sdot sdot


Rezultat 2

1 1 0 0 0 0 22

vP a b P P

c







21 0 2

vl l

c= sdot minus


8

v

b0

aa0

b0


21 0 2

va a

c= sdot minus



1

0

0 2 2 202 1 1 10 0 0 02 2 21 00 2

a b

bv v vb a b a

v aa a c c a cc


= sdot minussdot

2 2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 20

220 0

0

b b b bv v v v

a a a ac c cc

c


sdot

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1

0 1

0 0

b b bv c v c v c

a a a


12 2 2 2

10 201 1 1 115 30

0

15

b cmv c v c v c v c

a c

c

m

m

cm


54 1 4 9 4 51

9 1 9 9 9 9v c v c v c v c v c


5 5


Ili

5 5 8 83 10 224 10 3 3

m mv c




vs

= sdot



Rješenje 049


9


2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =




0 0 0 02 2 2 2

05 051 1 1 12

m m m mm m m m

v v c

c c

c

cc



0 0 0 11547 02 1 025 0751 05


minusminus


11547 01547 015470 0 0 0

0 0

0

00

m m m m mp p

m

mp p

m m m


154

1

70


Ili

0

11547 015470 0 0 0

S m

P m m m m m

p

=


=

100 01547100 0100 100 0

mPS p P S p P p p

SS

m


0

0

100 01547100 01547 1547

m

mp p p


Vježba 049


Rezultat 25

10



Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =


2

E m c= sdot



9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J


Vježba 050





36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc


minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



8

v

b0

aa0

b0


21 0 2

va a

c= sdot minus



1

0

0 2 2 202 1 1 10 0 0 02 2 21 00 2

a b

bv v vb a b a

v aa a c c a cc


= sdot minussdot

2 2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 20

220 0

0

b b b bv v v v

a a a ac c cc

c


sdot

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1

0 1

0 0

b b bv c v c v c

a a a


12 2 2 2

10 201 1 1 115 30

0

15

b cmv c v c v c v c

a c

c

m

m

cm


54 1 4 9 4 51

9 1 9 9 9 9v c v c v c v c v c


5 5


Ili

5 5 8 83 10 224 10 3 3

m mv c




vs

= sdot



Rješenje 049


9


2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =




0 0 0 02 2 2 2

05 051 1 1 12

m m m mm m m m

v v c

c c

c

cc



0 0 0 11547 02 1 025 0751 05


minusminus


11547 01547 015470 0 0 0

0 0

0

00

m m m m mp p

m

mp p

m m m


154

1

70


Ili

0

11547 015470 0 0 0

S m

P m m m m m

p

=


=

100 01547100 0100 100 0

mPS p P S p P p p

SS

m


0

0

100 01547100 01547 1547

m

mp p p


Vježba 049


Rezultat 25

10



Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =


2

E m c= sdot



9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J


Vježba 050





36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc


minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



9


2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =




0 0 0 02 2 2 2

05 051 1 1 12

m m m mm m m m

v v c

c c

c

cc



0 0 0 11547 02 1 025 0751 05


minusminus


11547 01547 015470 0 0 0

0 0

0

00

m m m m mp p

m

mp p

m m m


154

1

70


Ili

0

11547 015470 0 0 0

S m

P m m m m m

p

=


=

100 01547100 0100 100 0

mPS p P S p P p p

SS

m


0

0

100 01547100 01547 1547

m

mp p p


Vježba 049


Rezultat 25

10



Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =


2

E m c= sdot



9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J


Vježba 050





36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc


minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



10



Rješenje 050

m = 05 kg p = 02 = 0002 c = 3 middot 108 ms E =


2

E m c= sdot



9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =


100

pxsdot


2 8 130002 05 3 10 9 10

mE p m c kg J


Vježba 050





36 48 60 100A m B m C m D m

Rješenje 051

v = 08 middot c c l = 60 m l0 =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


2 21 10 0 0 02 2 2 2

1 12

1

21

2v

c

v v l ll l l l l l

c c v v

cc


minus minus

sdot

minus

11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



11

60 60 60 600 0 0 02 2 2 1 0641 0808 08

1 1c

m m m ml l l l

c

c c


minus minus

60 60100 0 0 006036


Odgovor je pod D

Vježba 051


100 150 160 200A m B m C m D m



Rješenje 052



2

E m c= sdot


W

P W P tt

= rArr = sdot


1

2

22 2

2P tE m c



= sdotsdot

26 93 10 2525 10 18

8417 10 2

83 10

W skg

m

s


sdot

Vježba 052




12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



12

Rješenje 053

l0 = 40 m v = 08 middot c l =



21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 22 08 081 1 40 1 40 10 02

c

c

v v cl l l l m m

c cc


240 1 08 24 m m= sdot minus =

l0 l

Vježba 053


Rezultat 32 m





Rješenje 054




13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



13

Vježba 054




Rezultat D






Rješenje 055




21 0 2

vl l

c= sdot minus


v

r r

r

Odgovor je pod C

Vježba 055





Rezultat C

14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



14



Rješenje 056




s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



7108

297 10 21054 2

8297 10

18

3 10

m sm

sm

sm

s

minus

= sdot sdot =

sdot

minus

sdot

Vježba 056




Rješenje 057


15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



15



s v t= sdot


02

1 2

t

t

v

c

∆∆ =

minus


02

1 2

tt

v

c

∆∆ =

minus


02

0 01 2 2 2

1 12

tt

t tvs v s v

c v v

s v t cc

∆∆ =



6 622 10 22 108

0998 0998 3 102 2

0998 09981 1

s m sc

sc

c

c

c




622 108

0998 3 10 10 41986 1042 2

1 0998

m sm km

s

minussdot


minus


8 60998 0998 3 10 22 10 65868 0 0

ms v t s c t s m

s


Vježba 057


Rezultat 1042 km

16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



16



Rješenje 058



2

2

0

1

mm

v

c

=

minus


h

m vλ =

sdot


( )

metoda zamjene

supstitucije

0 22 1 21 2

0 02

1 2

mm v

hvh c

c m m vvh

vm v

c

λ λ

λ

=sdot minus


sdot=

minussdot

2 208

1 1

080 0

v ch h

c c

m v m cλ λ



20834

6626 10 1 34 26626 10 1 08 12

182 10 182 31 8 31 8

911 10 08 3 10 911 10 08 3 10

J sJ s

m pmm m

kg gs

c

s

c

k




Vježba 058


Rezultat 182 pm



Rješenje 059

l0 = 3 m l = 25 m c v =


17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



17


21 0 2

vl l

c= sdot minus


2 2 2 21 1 1 10 02

1 2 0

2 2 20 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c


2 2 2 22 2 22 21 1 1 1

22

2 20 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c


sdot

2 2 22 2 21 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l


2 2 225 25 25

1 1 1 0553 3 3 3

mc c c c

m

mm


Vježba 059





Rješenje 060

a0 = 1 m b0 = 12 m v = 09 middot c a = b =



21 0 2

vl l

c

= sdot minus


18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



18


1 0a a m= =


2 2 22 09 091 1 12 1 12 10 02

v v cb b b b m m

c c cc


212 1 09 052 m m= sdot minus =

v

b

a = a0

b0

a0

Vježba 060



Documents

Zadatak 041 (Maturantica, gimnazija) đ 10 · PDF fileAstronautkinja putuje raketom koja se giba jednoliko po pravcu brzinom 3 2 c ... Zemlju. Ona je u svojem sustavu izmjerila da