Van der Valsova jednačina

( ) RTVa

P m

m

=b-V

+2

( ) nRTnbVV

anP =−

+

2

2

2mm

mV

ab

V

aPbRTPV +−+=

2

2

mm V

a

bV

RT

V

na

nbV

nRTP −

−=

−−

=

023 =−

+

+−

P

abV

P

aV

P

RTbV mmm

−+=

2)(1

RT

a

RT

bPRTPVm

Sumiranje rezulata primene Van der Valsove jednačine

(1)Na visokim temperaturama i velikim zapreminama vdW prelazi u

jednačinu idealnog gasnog stanja jer:

� Na visokim temperaturama privlačne sile odnosno član a/V2m su

zanemarljivi

� Ako je Vm veliko, tada je Vm-b~Vm

(2) Tečnosti i gasovi postoje kada su privlačne i odbojne sile uravnotežene,

konstanta a odgovara privlačnim a b odbojnim silama.

(3) Kritične konstante su povezane sa vdW konstantama:

za T<Tc izoterme osciluju, prolazeći kroz minimum i maksimum koji

konvergiraju sa približavanjem Tc i prvi i drugi izvod su jednaki nuli

Kompresioni faktor u

kritičnom stanju

8/3/ == cccc RTVPZ

Druge jednačine stanja

Samo jednačine koje imaju dve konstante mogu biti izrežene u

redukovanom obliku.

Primer 1.

Van der Valsove konstante za gas Xe su

a=4,194 atm L2 mol-2 i b=0,05105 L/mol.

Izračunati korekcioni član za pritisak (atm)

za količinu od 32,5 mol gasa u zapremini

od 1,76 L balona na 750oC.

a) 1,43·103 b) 2,48·103

c) 2,48·102 d) 1,45·102

e) 1,12·103 f) ne znam

Primer 2. Van der Valsove konstante a i b su 1,390 L2atm

mol-2 i 0,03913 L mol-1 za azot. Izračunati korekcioni član

za: A) zapreminu (u L) za 285,5 molova jedinjenja u

balonu od 100 L na temperaturi od 300oC i B) pritisak (u

atm).

Rešenje:

A) Korekcioni član je: nb=285,5mol⋅0,03913L/mol=11,17 L

B)atm

L

molatmmolL

V

anPu 33,11

)100(

)5,285(39,12

2222

2

2

=⋅

==−

Primer 1. Ako se neki gas ponaša po Van der Valsovoj

jednačini, zaokruži tačno tvrñenje:

1)Gas se približava idealnom ponašanju pri:

a) visokom P b) visokom PV

c) niskoj T d) ni jedno

2) Jednačina za n molova gasa glasi:

a) PV=nRT b)

c) d) e) ni jedna

Primer 1a. Koji od sledećih gasova će pokazivati najveće

negativno odstupanje na dijagramu PV/RT od P?

a) H2O b) F2 c) CH4 d) Ne e) Ar

nRTbVV

aP =−

+ )(2

nRTbnVVn

aP =−

+ )(22 RTb

n

V

V

anP =

−

+

2

2

PITANJA

Još pitanja

2.Odnos istisnute zapremine molekula prema

njegovoj stvarnoj zapremini je:

a)2:1 b) 3:1 c)4:1 d)5:1

2a. Konstanta a u VdV jednačini je najveća kod:

a) helijuma

b) vodonika

c) kiseonika

d) amonijaka

3. Temperatura iznad koje gas ne može da se prevede u tečnost ma

kako bio visok pritisak je:

a) apsolutna nula

b) 0oC

c) Kritična temperatura

d) Inverziona temperatura

e) Bojlova temperatura

4. Veza izmeñu Pc, Vc i Tc je:

a) PcVc=RTc

b) PcVc=3RTc

c) PcVc=(3/5)RTc

d) PcVc=(3/8)RTc

e) PcVc=(8/3)RTc

5) Koji od sledećih parametara je tri puta veći od VdV konstante b:

a) Kritična zapremina

b) Kritični pritisak

c) Kritična temperatura

d) Napon pare

6) Temperatura pri kojoj je drugi virijalni koeficijent jednak nuli je:

a) kritična temperatura

b) eutektička temperatura

c) tačka ključanja

d) Bojlova temperatura

7) Idealan gas može da se prevede u tečno stanje pri:

a) T>Tc

b) P>Pc

c) P>Pc a T<Tc

d) Ne može se prevesti u tečno stanje pri bilo kom P i T

8) Koja od gasnih smeša se ne pokorava Daltonovom zakonu:

a) CO2 i H2 b) H2 i NH3 c) NH3 i HCl d) N2 i O2

9) U kom od sledećih parova, je kritična temperatura drugog gasa veća od kritične temperature prvog gasa:

a) CO2 i H2 b) H2 i NH3 c) NH3 i He d) H2 i He

molmPa

KmolJKV

atmPKTZP

ZRTV

RT

PVZ

m

mm

/00106,010132520

300314,886,0

2030086,0

311

=⋅

⋅⋅=

=====

−−

mLmolmmolnVV m 7,800106,0102,8 133 =⋅⋅== −−

Primer 3. Na temperaturi od 300 K i pritisku od 20 atm, kompresioni faktor

je 0,86. Izračunati zapreminu (u mL) koju zauzima 8,2 mmol gasa pod ovim

uslovima,

Rešenje:

Primer 4. Jedan mol nekog gasa na temperaturi od 273K i

pritisku od 3⋅106Pa zauzima zapreminu od 5⋅10-4m3. Ako je

a=0,50 Pa m6 mol-2, izračunati vrednost konstante b.

Rešenje:

Iz V.d.V. jednačine sledi da je b:

13444

86

84

2

2

1046,01054,4105

5,01025103

1025273314,8105

−−−−

−

−−

⋅=⋅−⋅

=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅=+

−=

molm

apV

RTVVb m

Primer 5. Koristeći Van der Valsove koeficijente za kiseonik

(a=1,378 L2atm mol-2, b= 3,183⋅10-2 L mol-1) izračunati: a)

Bojlovu temperaturu b) radijus molekula gasa

pretpostavljajući da se molekuli ponašaju kao krute sfere.

a)

KmolLatmKLmol

molatmL

bR

aTB 6,527

10206,810183,3

378,111212

12

=⋅⋅⋅

==−−−−−

−

b) 329

123

135

1032,110022,64

10183,3

4m

mol

molm

N

bv

A

mol

−−

−−

⋅=⋅⋅

⋅==

mvr mol

10

3/1

29

3/1

1047,11032,14

3

4

3 −− ⋅=

⋅⋅=

=ππ

Izračunati pritisak 1,0 mola etana koji se ponaša kao:

a) u idealnom gasnom stanju;

b) prema van der Valsovoj jednačini pod sledećim uslovima:

i) na 273,15 K i 22,414 L i ii) na 1000 K i 100 cm3.(a=5,489L2mol-2atm,

b=6,38⋅10-2L/mol)

Rešenje:

Domaći!

Primer 6. Kritične konstante za ugljendioksid su:

Pc=72,85⋅105Pa, Vc= 94,0 cm3/mol i Tc=304,2 K.

Izračunati van der Valsove koeficijente i proceniti radijus molekula

gasa (dati sve u SI).

Rešenja:

b=RTc/8Pc=4,34⋅10-5m3/mol

a=27R2T2c/64Pc=0,37m6 Pa mol-2

vmol=b/4NA=4,34⋅10-5m3mol-1/4·6,022⋅1023mol-1 =1,8⋅10-29m3

mvr mol

103/130

3/1

1063,1)1039,2(4

3 −− ⋅=⋅=

=π

Primer 7. Proceniti kritične konstante gasa iz Van der Valsovih

parametara a=0,751atmL2mol-2 i b=0,0226 Lmol-1 (Sve dati u SI).

Rešenje:

KT

LmolmolLatmK

atmmolL

Rb

aT

PaatmLmol

atmmolL

b

aP

molmLmolLmolbV

c

c

c

c

120

0226,0082,027

75,08

27

8

1052,55,54)0226,0(27

751,0

27

,/1078,60678,00226,033

111

22

6

21

22

2

3511

=

⋅⋅⋅

==

⋅==⋅

==

⋅==⋅==

−−−

−

−

−

−−−

Primer 8. Izračunati pritisak na kome se nalazi 1 mol SO2, ako

zauzima zapreminu od 10 dm3 na 100oC, upotrebljavajući jednačinu

idealnog gasnog stanja, van der Valsovu jednačinu i Diteričijevu

jednačinu. Za SO2 konstante su: a=6,78⋅105 Pa m6 kmol-2, b=0,0565

m3 kmol-1.

Rešenje:

Prema jednačini idealnod gasnog stanja pritisak je:

Prema Van der Valsovoj jednačini pritisak je:

Prema Diteričijevoj jednačini pritisak je:

PaV

RTP 510102,3 ⋅==

PaV

a

bV

RTP 5

5210052,3

0001,0

678,0

1065,501,0

15,373314,8⋅=−

⋅−⋅

=−−

=−

PaeebV

RTP RTV

a

5023691,31

678,0

10052,397838,07084,3119990099435,0

3691,3102⋅=⋅==

−=

−−

Primer 9. Odrediti zapreminu koju zauzima 1 mol kiseonika na

-88oC i na pritisku od 45,3·105Pa, ako je kritična temperatura

154,4 K a kritični pritisak 5,04·106Pa, ako je dat grafik Z=f(PR) za

različito TR.

1341072,28,09,02,1 −−⋅======= molmP

RTZVZ

P

PP

T

TT

c

R

c

R

2 4 6 8

1,1

1,21,3

1,52,0

T =1,0r

T =3,0r

Z

Pr

1,0

Rešenje:

Prema Van der Valsovoj jednačini zapremina se računa na osnovu

faktora stišljivosti. Faktor stišljivosti se očitava sa krive iz vrednosti

za redukovani pritisak i temperaturu:

Primer 10: Gasovi A, B, C i D se ponašaju prema Van der

Valsovoj jednačini sa konstantama a i b datim u tablici:

Gas A B C D

a (barm6 mol-2) 6 6 20 0,05

b (m3mol-1) 0,0250 0,15 0,10 0,02

a) Koji gas ima najvišu kritičnu temperaturu?

b) Koji gas ima najveće molekule ?

c) Koji gas je najpribližniji idealnom gasnom stanju na STP?

Rešenje:

a) Pošto je Tc∞ a/b, gas A ima najveće a i najmanje b, to on ima

najvišu Tc.

b) Veličina molekula je odreñena konstantom b, pa gas B ima najveće

molekule.

c) Gas koji ima najniže kritičnu temperaturu i pritisak najbliži je IGS.

Kako je Tc∞ a / b i Pc∞ a/b2 to je gas D najbliži IGS

Primer 11. Za gas, koji se pokorava Van der Valsovoj jednačini i

ima Pc=30 bar, Tc=473 K, kompresioni faktor PV/RT je veći od

jedan za uslove:

A)

a) P=50 bar T=523 K

b) P=1 bar T=373 K

c) P=500 bar T=773 K

Gas će se približavati idealnosti pri:

B)

a) niskoj T

b) niskoj gustini

c) niskom kompresionom faktoru

d) ni jedno

C)Izračunati konstantu b (L/mol) za ovaj gas.

Rešenje:

A) Z je veće od jedan pri najvišem pritisku i najvišoj temperaturi, tj.

500 bar i 773 K koje su veće od kritičnih

B) Gas se približava idealnosti pri niskoj gustini tj. pritisku

C) Iz vrednosti kompresionog faktora u kritičnoj tački može da se

nañe konstanta b:

molLmolmP

RTb

Vb

RT

VP

c

cc

c

cc /164,0/000164,010308

473314,8

838

3 3

5==

⋅⋅

⋅====

• Primer 12. Za gasoviti CO2 van der Valsove

konstante su b = 0,04286 ℓ mol−1 i

a = 3,658 bar ℓ2 mol−2. Na kojoj temperature

će drugi virijalni koeficijent biti jednak nuli

Rešenje:

B(T)=0 za T=TB

KRb

aTB 6,1026

mol l 0,04286 314,8

mol lbar 3,6581-

-22

=⋅

==

Primer 13. Gas NO ima Pc=64 bar, Tc=177 K

a gas CCl4 ima Pc= 45 bar i Tc= 550 K.

A) Koji gas ima manju konstantu b?

B) Ima manju vrednost konstante a?

C) Ima veću kritičnu zapreminu?

D) Se skoro idealno ponaša na 300K i 10 bar-a ?

A) Kako je:

to je b srazmerno odnosu Tc/Pc. Kako je:

Rb

aT

b

aPbV ccc

27

8

273

2===

4

4

22,1245

55076,2

64

177CClNO

CClc

c

NOc

c bbP

T

P

T⟨=∞

=∞

Rešenje:

B) Kako je konstanta a srazmerna odnosu Tc2/Pc to je:

4

4

2,672245

5505,489

64

177 2222

CClNO

CClc

c

NOc

c aaP

T

P

T⟨=∞

=∞

C) Vc(CCl4)= 38,1·10-5m3 Vc(NO)= 8,61 ·10-5 m3

Vc(CCl4)> Vc(NO)

D) Gas NO je bliži idealnom ponašanju na 300K jer je ta

temperatura veća od njegove kritične temperature.

• Primer 14. Izraziti α (kubni koeficijent širenja) i κT

(koeficijent izotermske kompresibilnosti)

• (i) za idealan gas (ii) za gas za koji važi jednačina

stanja: p (Vm − b) = RT .

PP

RT

RT

P

P

RT

P

V

P

V

V

TP

R

RT

P

P

R

T

V

P

RTV

T

V

V

T

TT

T

pp

11

11

22=

−⋅−=−=

∂∂

∂∂

−=

=⋅==

∂∂

=

∂∂

=

κκ

ααRešenje:

(i)

(ii)

VP

RT

P

RT

PbRT

P

P

RT

P

V

VP

R

PbRT

R

P

R

PbRT

P

P

R

T

V

PbRT

P

VP

PbRTb

P

RTV

T

T

P

222

1

=

−

+

−=−=

∂∂

=+

=

+

=

=

∂∂

+=

+=+=

κ

α

• Primer 15. Odrediti P i T pri kojima će a) NO koji

ima Pc=64bar i Tc = 177K i b) CCl4 koji ima

Pc=45bar i Tc=550K biti u stanju

korespodentnom stanju jednog mola N2 na

pritisku od 1bar i temperaturi od 25oC. Kritične

vrednosti za azot su Pc=33,54bar i Tc=126,3K.

36,23,126

15,2980298,0

54,33

1======

K

K

T

TT

bar

bar

P

PP

c

R

c

R

Rešenje:

a)

b)

KKTTNOT

barbarPPNOP

Rc

Rc

72,41736,2177)(

91,10298,064)(

=⋅==

=⋅==

KKTTCClT

barbarPPCClP

Rc

Rc

129836,2550)(

34,10298,045)(

4

4

=⋅==

=⋅==

Primer 16.

• Jednačina stanja za 1mol nekog gasa je:

• gde su a i b konstante različite od nule. Utvrditi

• da li gas ima kritičnu tačku ili ne.

V

a

bV

RTP −

−=

Rešenje

( ) ( )

( ) ( )

220

22

22

22

3322

332

2

22

cccc

cc

c

cc

c

VbVb

VbV

V

a

bV

RT

V

a

bV

RT

V

a

bV

RT

dV

Pd

V

a

bV

RT

dV

dP

≠−

→≠=−

=−

=−

−−

=+−

−=