1

Parametrični testi ponavadi izhajajo iz predpostavke, da je populacija, iz katere izbiramo vzorce, normalna. Kadar ta pogoj ni izpolnjen, postopki testiranja hipotez, ki smo jih obravnavali, ne dajejo dobrih rezultatov.

Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnosti

Včasih nas ne zanimajo parametri populacije, pač pa kako drugo vprašanje, kot je porazdelitev

Testom take vrste pravimo neparametrični testi

2

Znakovni test je alternativa enojnemu t testu

testiramo ničelno hipotezo 00 :H

pri ustrezni nasprotni hipotezi

Edina predpostavka je, da je populacija, iz katere izbiramo vzorec, zvezna in simetrična.

Predpostavko o simetričnosti populacije pa lahko izpustimo, če se ničelna hipoteza nanaša na mediano

3

Vrednosti vzorca, ki so večje od predpostavljene vrednosti ničelne hipoteze nadomestimo z znakom plus, vrednosti, manjše od nje, pa nadomestimo z znakom minus. Število znakov plus je binomska slučajna spremenljivka s parametrom n, to je skupnim številom znakov plus in minus, in verjetnostjo

1

2p

Pri dvostranskem testu je nasprotna hipoteza 1

2p

Pri enostranskem testu je nasprotna hipoteza

1

2p ali

1

2p

Če je kakšna vrednost enaka vrednosti ničelne hipoteze, jo izpustimo

4

 Kadar je vzorec tako velik, da velja np(1 – p) > 9 binomsko slučajno spremenljivko nadomestimo z normalno

1

x npz

np p

x : število znakov plus Znakovni test uporabimo tudi, ko imamo podatke v parih, imenujemo ga test dvojic

Vsak par nadomestimo z znakom +, če je prva vrednost para večja od druge, in z znakom -, če je prva vrednost para manjša od druge ,par pa izpustimo, če sta obe vrednost enaki

5

Wilcoxon-ov znakovno ranžirni test, upošteva poleg predznaka tudi velikost razlik

Rangiramo absolutne vrednosti razlik od najmanjše, ki ima rang 1, potem naslednje neposredno večje, ki ima rang 2, do največje absolutne razlike, ki ima rang n

Razlike, ki so nič, preprosto izpustimo

Če je več absolutnih razlik med seboj enakih, ima vsaka rang, ki je enak aritmetični sredini rangov, ki bi jih razlike zavzele, če bi jim dodelili različne zaporedne range.

6

Test sloni na vsoti rangov, ki pripadajo pozitivnim razlikam ali na vsoti rangov , ki pripadajo

negativnim razlikam ali pa na Τ min( , )

Znakovno ranžirni test ničelne hipoteze 0

zasnujemo na statistikah , ali

Naslednja tabela prikazuje kritične vrednosti teh statistik pri nasprotnih hipotezah in stopnji pomembnosti

7

0 T T

0 2T T

0 2T T

Nasprotna hipoteza

Zavrnitev ničelne hipoteze

Kritične vrednosti so zapisane v tabeli

8

T in tudi T je vrednost slučajne spremenljivkez matematičnim upanjem in varianco

1

4

n n

2 1 2 1

24

n n n

Za 15n je T je približno normalna

slučajna spremenljivka

9

tudi Wilcoxonov test ali tudi Mann-Whitneyev test

Uporabljamo za testiranje ničelne hipoteze o enakosti aritmetičnih sredin dveh populacij, ne da bi predpostavljali, da sta populaciji normalni

Predpostavljamo pa, da sta populaciji zvezni

Nadomešča nam parni t test, ki ga uporabljamo, kadar ni izpolnjen pogoj normalnosti primerjanih populacij.

10

Ničelna hipoteza je, da sta aritmetični sredini obeh populacij enaki, nasprotna hipoteza pa je, da sta različni.

Vrednosti obeh vzorcev uredimo v naraščajočem redu (kot bi bil en vzorec) in jim priredimo range

Če bi bilo več vrednosti enakih, bi jim dodelili povprečen rang izračunan iz rangov, ki bi jih zavzele te enote, če bi jim dodelili različne zaporedne range.

11

Wilcoxon je zasnoval test na vsoti rangov 1W

ki pripadajo vrednostim prvega vzorca,ali pa vsoti

2W rangov, ki pripadajo drugemu vzorcu.

1 2W W je vsota prvih 1 2n n naravnih števil

V konkretnih primerih teste gradimo na veličini

1 11 1

1

2

n nU W

ali

2 22 2

1

2

n nU W

oziroma manjšo med njima

1 2min( , )U U U

12

Pri stopnji pomembnosti zavrnemo ničelno

hipotezo 0 1 2:H pri nasprotni hipotezi

1 2 U U

1 2 2 2U U

1 2 1 2U U

Nasprotna hipoteza

Zavrnitev ničelne hipoteze

Kritične vrednosti so podane v tabeli

13

Kadar sta vzorca večja od 8, sta 1U in 2U

približno normalni slučajni spremenljivki zmatematičnim upanjem in varianco

1 2.

2

n n 1 2 1 22 . 1

12

n n n n

14

tudi Kruskal-Wallisov test, predstavlja posplošitev U testa

Uporabljamo ga za testiranje ničelne hipoteze, da k vzorcev pripada identičnim populacijam.

neparametrična alternativa enojni analizi variance.

Podatke vzorcev uredimo v skupno ranžirno vrsto od najmanjše do največje vrednosti, kot da bi predstavljali en vzorec.

15

V taki ranžirni vrsti vrednostim vsakega vzorca pripadajo določeni rangi

iRVsota rangov, ki pripadajo v skupni ranžirni vrsti vrednostim i-tega vzorca je

Test hipoteze je grajen na vrednostih

2

1

123 1

1

ki

i i

RH n

n n n

H zapišemo tudi v obliki

2

1

12 1

1 2

ki

ii i

R nH n

n n n

16

V tem primeru so vrednosti H enake vrednostim 2

slučajne spremenljivke z n –1 stopnjami prostosti

17

Neparametrična metoda za testiranje slučajnosti zaporedja

Ogledali si bomo tehniko, zgrajeno na skupinah

Skupina je niz (sklop) enakih črk (ali drugih simbolov) izbranih tako, da je pred skupino in za njo skupina drugačnih črk ali pa ni za njo ali pred njo nobene črke.

4 6 7 8 91 32 5

ddddd dddddddddssss ssd dd s d ddsss ss

18

1n število črk ali znakov ene vrste

2n število črk ali znakov druge vrste

u število skupin

Če sta majhni števili 1n in 2n napravimo testslučajnosti s pomočjo posebnih tabel, v katerih so podane kritične vrednosti

Ničelno hipotezo o tem, da je nabor črk slučajen, zavrnemo pri stopnji pomembnosti če velja

2

u u ali 2

u u

2

u in 2

u sta kritični vrednosti

19

Kadar sta obe števili 1n in 2n večji od 10 jeslučajna spremenljivka, katere realizacija je število skupin u, približno normalna z matematičnim upanjem in varianco

1 2

1 2

21

n n

n n

1 2 1 2 1 22

2

1 2 1 2

2 2

1

n n n n n n

n n n n