ż ł Zagadnienie transportoweZagadnienie transportowe ł ś ł ... · Joanna Józefowska Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 pro 1.Kluczbork

3/19/2011

1

Zagadnienie transportoweZagadnienie transportowe

Optymalizacja w procesach biznesowych

2011-03-19 1

Wykład 2

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Plan wykładu

Przykład zagadnienia transportowegoSformułowanie problemu

prof Sformułowanie problemu

Własności zagadnienia transportowegoMetoda potencjałówMetody wyznaczania rozwiązań początkowych

Metoda północno-zachodniego narożnikaMetoda minimalnego elementu macierzy kosztów

2011-03-19 22011-03-19 2

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztówMetoda Vogla (VAM)

Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązaniaInterpretacja rozwiązania

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a PrzykładFirma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjnezlokalizowane w Kluczborku, Białymstoku i Pile. Kwartalnaprodukcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000

prof produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000

kg, 6000 kg, i 2500 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji,zlokalizowane w Lublinie, Elblągu, Łodzi i Opolu. Przewidywanypopyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosiodpowiednio: 6000 kg, 4000 kg, 2000 kg oraz 1500 kg.Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu doposzczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy.

Tablica 1. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg]

2011-03-19 32011-03-19 3

Lublin Elbląg Łódź OpoleKluczbork 3 2 7 6Białystok 7 5 2 3Piła 2 5 4 5

Tablica 1. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg]

Znaleźć plan transportu minimalizujący koszty.

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Przykład

KluczborkLublin

500060003

2

Lublin Elbląg Łódź OpoleKluczbork 3 2 7 6

Białystok 7 5 2 3

Piła 2 5 4 5

prof

Białystok

Łódź

Elbląg

6000

2000

4000

2

76

257

3

2011-03-19 42011-03-19 4

PiłaOpole

25001500

DOSTAWCYDOSTAWCY ODBIORCYODBIORCY

25

4

5

DECYZJA?

3/19/2011

2

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Sformułowanie problemu

Zmienna decyzyjnail ść t i i d d tpr

of xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i, i = 1,…,3, do odbiorcy j, j = 1,…,4.

Funkcja celuMinimalizacja kosztów transportu

2011-03-19 52011-03-19 5

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Koszty transportu

KluczborkLublin

500060003x11

2x

prof

Białystok

Łódź

Elbląg

6000

2000

4000

2x12

7x136x14

2x23

5x227x21

5x323x24

2011-03-19 62011-03-19 6

PiłaOpole

25001500

2x314x33

5x34

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Sformułowanie problemuzminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14

+ 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24

+ 2x + 5x + 4x + 5x

prof + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34

2011-03-19 72011-03-19 7

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Zmienna decyzyjnail ść t i i d d t ipr

of xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i = 1,…,3; j = 1,…,4.


Ograniczenia

2011-03-19 82011-03-19 8

DostawcyDostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas

3/19/2011

3

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Koszty transportu

KluczborkLublin

50006000

x11

x

prof

Białystok

Łódź

Elbląg

6000

2000

4000

x12

x13x14

x23

x22x21

x32x24

2011-03-19 92011-03-19 9

PiłaOpole

25001500

x31x33

x34

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


+ 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24

+ 2x + 5x + 4x + 5x

prof + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34

przy ograniczeniach:x11+x12+x13+x14 ≤ 5000

x21+x22+x23+x24 ≤ 6000x31+x32+x33+x34 ≤ 2500

2011-03-19 102011-03-19 10

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Zmienna decyzyjnail ść t i i d dbi i dpr

of xij – ilość towaru przewieziona od odbiorcy i do dostawcy j, i = 1,…,3; j = 1,…,4.


Ograniczenia

2011-03-19 112011-03-19 11

DostawcyDostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapasOdbiorcyOdbiorcy: trzeba dostarczyć co najmniej tyle ile wynosi zapotrzebowanie

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Koszty transportu

KluczborkLublin

50006000

x11

x

prof

Białystok

Łódź

Elbląg

6000

2000

4000

x12

x13x14

x23

x22x21

x32x24

2011-03-19 122011-03-19 12

PiłaOpole

25001500

x31x33

x34

3/19/2011

4

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


+ 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24

+ 2x + 5x + 4x + 5x

prof + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34

przy ograniczeniach:x11+x12+x13+x14 ≤ 5000

x21+x22+x23+x24 ≤ 6000x31+x32+x33+x34 ≤ 2500

x11 +x21 +x31 = 6000

2011-03-19 132011-03-19 13

11 21 31

x12 +x22 +x32 = 4000x13 +x23 +x33 = 2000

x14 +x24 +x34 = 1500

xij ≥ 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Ogólny model zagadnienia transportowego

zminimalizować ∑∑= =

n

i

m

jijij xc

1 1całkowity koszt

prof

przy ograniczeniach

xij ≥ 0, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n

mjbx j

n

iij ,,, K1

1=≥∑

=

niax i

m

jij ,,, K1

1=≤∑

=

zapotrzebowanie

zapas

nieujemny przesył

2011-03-19 142011-03-19 14

gdzie:i - indeks dostawcy, i = 1, …, nj - indeks odbiorcy, j = 1, …, mxij - liczba jednostek przesłanych od dostawcy i do odbiorcy jcij - koszt jednostkowy transportu od dostawcy i do odbiorcy jai - zapas dostawcy ibj- zapotrzebowanie odbiorcy j

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Warianty zagadnienia transportowego

całkowita podaż nie jest równa Dodajemy t ”pr

of całkowitemu popytowi (zadanie

niezbilansowane)

maksymalizacja funkcji celu

minimalne i maksymalne pojemności

„sztucznego” dostawcę lub

odbiorcę.

Mnożymy przez (-1).

Dodajemy

2011-03-19 152011-03-19 15

dróg

niedopuszczalne połączenia

ograniczenia.

Obciążamy bardzo dużymi kosztami.

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Własności zagadnienia transportowego

Zadanie transportowe jest sformułowane jako

prof zadanie programowania liniowego zatem można je

rozwiązać stosując np. metodę simplex.Ze względu na szczególne własności zadania transportowego istnieją inne algorytmy, o mniejszej złożoności obliczeniowej, które można zastosować do rozwiązania tego zadania.

2011-03-19 162011-03-19 16

3/19/2011

5

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Każde zbilansowane zadanie transportowe posiada skończone rozwiązanie optymalne.

1n =[1 … 1]pr

of

1n 0 0 ... 00 1n 0 ... 0

A = ... ... ... ... ...0 0 0 1n

En En En ... En

En =⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

100

010001

L

LLLL

L

L

2011-03-19 172011-03-19 17

Rozwiązanie bazowe zadania transportowego składa się dokładnie z (m + n – 1) zmiennych bazowych.Jeżeli wszystkie ai i bj są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe (a więc również optymalne) jest utworzone z liczb całkowitych.

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Każdemu rozwiązaniu zadania transportowego można przyporządkować pewien graf rozwiązania b do an sposób następ jącpr

of zbudowany w sposób następujący:wierzchołkami są węzły (i, j), dla których xij > 0każda para wierzchołków sąsiednich jest połączona krawędzią, przy czym parą wierzchołków sąsiednich są takie dwa wierzchołki (i1, j1) (i2, j2), że albo i1 = i2 albo j1 = j2 oraz pomiędzy nimi nie ma innych wierzchołków

2011-03-19 182011-03-19 18

i \ j 1 2 3 4 51 2 0 1 0 02 0 2 0 0 43 2 5 0 4 0

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpo iadając m graf jest grafem spójn m i bepr

of odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli.Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.

2011-03-19 192011-03-19 19

i \ j 1 2 3 4 51 2 0 1 3 02 0 2 0 0 43 2 5 0 4 0

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Niech xB będzie dowolnym dopuszczalnymrozwiązaniem bazowym. Jeżeli przez B oznaczymybiór par (i j) takich że jest mienną ba o ą topr

of zbiór par (i,j), takich że xij jest zmienną bazową, tospełniony jest następujący układ równań:

cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B

gdzie zmienne ui i vj noszą nazwę potencjałów.

Macierz C0 = [(cij – zij)] = [cij + ui +vj], i=1,..m, j=1,..,n,nazywamy równoważną macierzą zerową

2011-03-19 202011-03-19 20

nazywamy równoważną macierzą zerowąrozwiązania bazowego xB.Na to, aby rozwiązanie bazowe xB zadaniatransportowego było optymalne potrzeba i wystarcza,aby jego równoważna macierz zerowa byłanieujemna.

3/19/2011

6

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Układ równań:cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B

prof

ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale wszystkie onewyznaczają tę samą równoważną macierz zerową.

Jeżeli macierz C0 zawiera elementy ujemne, toodpowiadające jej rozwiązanie nie jest rozwiązaniemoptymalnym.

2011-03-19 212011-03-19 21

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Własności zagadnienia transportowegoPrzez cykl γ(k,l) oznaczamy cykl w grafierozwiązania, który powstaje po dołączeniu zmiennej(k l) do rozwiązania bazowego

prof (k,l) do rozwiązania bazowego.

i \ j 1 2 3 4 51 2 0 1 3 02 0 2 0 0 43 2 5 0 4 0

Niech (k l) = (3 5)

123 4

γn((3,5) = {(3,5), (2,2)}

2011-03-19 222011-03-19 22

Wierzchołki grafu numerujemy kolejno, zaczynającod wierzchołka (k,l).Przez γp(k,l) oznaczamy zbiór wierzchołków onumerach parzystych, a przez γn(k,l) o numerachnieparzytych.

(k,l) (3,5)γp((3,5) = {(3,2), (2,5)}

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:

c + u + v = 0 dla i j ∈ B

prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B

3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że

{ }0000 <= ijijkl ccc :min

( ){ } θ=∈= Bjixx :min

2011-03-19 232011-03-19 23

8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:

10. Wrócić do kroku 2.

( ){ } θγ

=∈=∈

Bjixx ijjirslkp

,:min),(),(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈∉

−+=

),(),( dla),(),( dla),(),( dla

lkjilkjilkji

xx

xx

p

n

ij

ij

ij

ij

γγγ

θθ

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Wyznaczanie rozwiązań bazowych

• Metoda kąta północno-zachodniego

prof

• Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów

• Metoda VAM (Vogel’s Approximation Method)• ri, i = 1, 2, ..., m - różnica między dwoma najmniejszymi

elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C,• dj, j = 1, 2, ..., n - różnica między dwoma najmniejszymi

elementami kol mn j red ko anej macier C

2011-03-19 242011-03-19 24

elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C,• max(ri, dj)• ckl = min {ckj} albo ckl = min {cil}

3/19/2011

7

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Metoda kąta północno-zachodniego

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 5000

2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500

6000 4000 2000 1500

Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?

0

1000

2011-03-19 252011-03-19 25

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4


2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500

1000 4000 2000 1500


5000

0

2011-03-19 262011-03-19 26

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4


2. Białystok 1000 5 2 3 50003. Piła 2 5 4 5 2500

0 4000 2000 1500


1000

0

2011-03-19 272011-03-19 27

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4


2. Białystok 1000 4000 2 3 10003. Piła 2 5 4 5 2500

0 0 2000 1500


0

1000

2011-03-19 282011-03-19 28

3/19/2011

8

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4


2. Białystok 1000 4000 1000 3 10003. Piła 2 5 4 5 2500

0 0 1000 1500


1500

0

2011-03-19 292011-03-19 29

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4


2. Białystok 1000 4000 1000 3 03. Piła 2 5 1000 5 1500

0 0 0 1500


0

0

2011-03-19 302011-03-19 30

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ai


2. Białystok 1000 4000 1000 0 60003. Piła 0 0 1000 1500 2500bj 6000 4000 2000 1500

Czy jest to rozwiązanie bazowe?

2011-03-19 312011-03-19 31

Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli.

Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Wyznaczanie potencjałów

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

prof 1.Kluczbork 3 2 7 6

2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5

vj


2011-03-19 322011-03-19 32

u1 = 0

3/19/2011

9

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5

vj


2011-03-19 332011-03-19 33

3 + 0 + v1 = 0

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5

vj – 3


2011-03-19 342011-03-19 34

3 + 0 + v1 = 0

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5

vj – 3


2011-03-19 352011-03-19 35

7 + u2 + (–3) = 0f.

drha

b. iż

. Joa

nna

Józe

fow

ska Wyznaczanie potencjałów

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5

vj – 3


2011-03-19 362011-03-19 36

5 + (–4) + v2 = 0

3/19/2011

10

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5

vj – 3 – 1


2011-03-19 372011-03-19 37

2 + (–4) + v3 = 0

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5

vj – 3 – 1 2


2011-03-19 382011-03-19 38

4 + u3 + 2 = 0

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6

vj – 3 – 1 2


2011-03-19 392011-03-19 39

5 + (– 6) + v4 = 0f.

drha

b. iż

. Joa

nna

Józe

fow

ska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

prof

c0ij = cij + ui +vj

1.Kluczbork 3 2 7 6 02. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6

vj – 3 – 1 2 1

2011-03-19 402011-03-19 40

c ij = cij + ui +vj

c0ij = 0 dla (i, j) ∈ B

3/19/2011

11

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

1.Kluczbork 3 2 7 6 0

prof

c0ij = cij + ui +vj

2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6

vj – 3 – 1 2 1

Równoważna macierz zerowa

2011-03-19 412011-03-19 41

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

1.Kluczbork 0 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła 0 0 – 6

vj – 3 – 1 2 1

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


prof

c0ij = cij + ui +vj

2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6

vj – 3 – 1 2 1


2011-03-19 422011-03-19 42

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

1.Kluczbork 0 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła 0 0 – 6

vj – 3 – 1 2 1

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


prof

c0ij = cij + ui +vj

2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6

vj – 3 – 1 2 1


2011-03-19 432011-03-19 43

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

1.Kluczbork 0 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła – 7 0 0 – 6

vj – 3 – 1 2 1

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


prof

c0ij = cij + ui +vj

2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6

vj – 3 – 1 2 1


2011-03-19 442011-03-19 44

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

1.Kluczbork 0 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła – 7 0 0 – 6

vj – 3 – 1 2 1

3/19/2011

12

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


prof

c0ij = cij + ui +vj

2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6

vj – 3 – 1 2 1


2011-03-19 452011-03-19 45

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

1.Kluczbork 0 1 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła – 7 0 0 – 6

vj – 3 – 1 2 1

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


prof

c0ij = cij + ui +vj

2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6

vj – 3 – 1 2 1


2011-03-19 462011-03-19 46

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

1.Kluczbork 0 1 9 7 02. Białystok 0 0 0 0 – 43. Piła – 7 – 2 0 0 – 6

vj – 3 – 1 2 1

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Sprawdzanie czy rozwiązanie jest optymalne

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

prof 1 2 3 4


vj – 3 – 1 2 1

0

2011-03-19 472011-03-19 47

Zbadać, czy C0≥0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


c + u + v = 0 dla i j ∈ B





2011-03-19 482011-03-19 48



( ){ } θγ

=∈=∈

Bjixx ijjirslkp

,:min),(),(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈∉

−+=

),(),( dla),(),( dla),(),( dla

lkjilkjilkji

xx

xx

p

n

ij

ij

ij

ij

γγγ

θθ

3/19/2011

13

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Zmiana bazy

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

prof 1 2 3 4


vj – 3 – 1 2 1

{ }000

2011-03-19 492011-03-19 49

Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że { }0000 <= ijijkl ccc :min

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


c + u + v = 0 dla i j ∈ B





2011-03-19 502011-03-19 50



( ){ } θγ

=∈=∈

Bjixx ijjirslkp

,:min),(),(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈∉

−+=

),(),( dla),(),( dla),(),( dla

lkjilkjilkji

xx

xx

p

n

ij

ij

ij

ij

γγγ

θθ

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Wyznaczanie cyklu

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

prof 1 2 3 4


vj – 3 – 1 2 1

W nac ć c kl (k l) (k l)

1 2

34

2011-03-19 512011-03-19 51

Wyznaczyć cykl γp(k,l), γn(k,l).f.

drha

b. iż

. Joa

nna

Józe

fow

ska Metoda potencjałów

1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:

c + u + v = 0 dla i j ∈ B





2011-03-19 522011-03-19 52



( ){ } θγ

=∈=∈

Bjixx ijjirslkp

,:min),(),(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈∉

−+=

),(),( dla),(),( dla),(),( dla

lkjilkjilkji

xx

xx

p

n

ij

ij

ij

ij

γγγ

θθ

3/19/2011

14

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Zmiana bazy

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

prof 1 2 3 4


vj – 3 – 1 2 1

Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że

2011-03-19 532011-03-19 53

ą y ą rs ą

( ){ } θγ

=∈=∈

Bjixx ijjirslkp

,:min),(),(

Lublin Elbląg Łódź Opole1.Kluczbork 5000 0 0 0

2. Białystok 1000 4000 1000 0

3. Piła 0 0 1000 1500

θ = 1000

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


c + u + v = 0 dla i j ∈ B





2011-03-19 542011-03-19 54



( ){ } θγ

=∈=∈

Bjixx ijjirslkp

,:min),(),(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈∉

−+=

),(),( dla),(),( dla),(),( dla

lkjilkjilkji

xx

xx

p

n

ij

ij

ij

ij

γγγ

θθ

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Zmiana bazy

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

1.Kluczbork 5000 0 0 0

prof

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈∉

−+=

),(),( dla),(),( dla),(),( dla

lkjilkjilkji

xx

xx

p

n

ij

ij

ij

ij

γγγ

θθ θ = 1000

2. Białystok 1000 4000 1000 03. Piła 0 0 1000 1500

2011-03-19 552011-03-19 55

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

1.Kluczbork 5000 0 0 02. Białystok 0 4000 2000 03. Piła 1000 0 0 1500

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Rozwiązanie zdegenerowane

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

prof 1 2 3 4


Czy jest to rozwiązanie bazowe?

2011-03-19 562011-03-19 56

Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli.

Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.

3/19/2011

15

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania

Jeżeli graf rozwiązania zawiera mniej niż (n + m – 1) wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem

prof wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem

zdegenerowanym, w którym co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero.Postępowanie w takim przypadku polega na dołączeniu brakującej liczby zmiennych bazowych z wartościami zerowymi.Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie

2011-03-19 572011-03-19 57

Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie grafu spójnego i bez cykli.

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Rozwiązanie zdegenerowane

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

prof 1 2 3 4


2011-03-19 582011-03-19 58

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


c + u + v = 0 dla i j ∈ B





2011-03-19 592011-03-19 59



( ){ } θγ

=∈=∈

Bjixx ijjirslkp

,:min),(),(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈∉

−+=

),(),( dla),(),( dla),(),( dla

lkjilkjilkji

xx

xx

p

n

ij

ij

ij

ij

γγγ

θθ

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 3 33. Piła 2 5 4 5 1

vj –3 –8 –5 –6


2011-03-19 602011-03-19 60

u1 = 0

3/19/2011

16

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 3 33. Piła 2 5 4 5 1

vj –3 –8 –5 –6


2011-03-19 612011-03-19 61

u1 = 0

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


prof

2. Białystok 7 5 2 3 33. Piła 2 5 4 5 1

vj –3 –8 –5 –6

c0ij = cij + ui +vj

Lublin Elbląg Łódź Opole u

2011-03-19 622011-03-19 62

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

1.Kluczbork 0 –6 2 0 02. Białystok 7 0 0 0 33. Piła 0 –2 0 0 1

vj –3 –8 –5 –6

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Zmiana bazy

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

prof

{ }000

1 2 3 41.Kluczbork 0 –6 2 0 02. Białystok 7 0 0 0 33. Piła 0 –2 0 0 1

vj –3 –8 –5 –6

2011-03-19 632011-03-19 63

Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że { }0000 <= ijijkl ccc :minf.

drha

b. iż

. Joa

nna

Józe

fow

ska

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

Wyznaczanie cyklu

prof 1 2 3 4

1.Kluczbork 0 –6 2 0 02. Białystok 7 0 0 0 33. Piła 0 –2 0 0 1

vj –3 –8 –5 –6

W nac ć c kl (k l) (k l)

26

5

34

1

2011-03-19 642011-03-19 64

Wyznaczyć cykl γp(k,l), γn(k,l).

3/19/2011

17

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

Zmiana bazypr

of 1 2 3 41.Kluczbork 0 –6 2 0 02. Białystok 7 0 0 0 33. Piła 0 –2 0 0 1

vj –3 –8 –5 –6

Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że

2011-03-19 652011-03-19 65

ą y ą rs ą

( ){ } θγ

=∈=∈

Bjixx ijjirslkp

,:min),(),(

Lublin Elbląg Łódź Opole1.Kluczbork 5000 0 0 0

2. Białystok 0 4000 2000 0

3. Piła 1000 0 0 1500

θ = 1500

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Zmiana bazy

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

1.Kluczbork 5000 0 0 0

prof

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈∉

−+=

),(),( dla),(),( dla),(),( dla

lkjilkjilkji

xx

xx

p

n

ij

ij

ij

ij

γγγ

θθ θ = 1500

2. Białystok 0 4000 2000 03. Piła 1000 0 0 1500

2011-03-19 662011-03-19 66

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4


f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


2. Białystok 7 5 2 3 –33. Piła 2 5 4 5 1

vj –3 –2 1 0


2011-03-19 672011-03-19 67

u1 = 0f.

drha

b. iż

. Joa

nna

Józe

fow

ska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui


prof

2. Białystok 7 5 2 3 –33. Piła 2 5 4 5 1

vj –3 –2 1 0

c0ij = cij + ui +vj

Lublin Elbląg Łódź Opole u

2011-03-19 682011-03-19 68

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ui

1.Kluczbork 0 0 8 6 02. Białystok 1 0 0 0 –33. Piła 0 0 6 0 1

vj –3 –2 1 0

3/19/2011

18

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a RozwiązanieLublin

1Elbląg

2Łódź

3Opole

4ui

1 Kluczbork 0 0 8 6 0


2. Białystok 1 0 0 0 –33. Piła 0 0 6 0 1

vj –3 –2 1 0

Równoważna macierz zerowa jest nieujemna – rozwiązanie jest optymalne.

2011-03-19 692011-03-19 69

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4


f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Koszty transportu

KluczborkLublin

50006000

X11=3500

X =1500

prof

Białystok

Łódź

Elbląg

6000

2000

4000

X12=1500

X23=2000

X22=2500

2011-03-19 702011-03-19 70

PiłaOpole

25001500

X31=2500 X24=1500

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Rozwiązanie optymalne

Odbiorca Dostawca Zmienna Ilość Koszt jednostkowy

Koszt całkowity

prof

Kluczbork Lublin x11 3 500 3 10 500Kluczbork Elbląg x12 1 500 2 3 000Białystok Elbląg x22 2 500 5 12 500Białystok Łódź x23 2 000 2 4 000Białystok Opole x24 1 500 3 4 500Piła Lublin x31 2 500 2 5 000

2011-03-19 712011-03-19 71

Razem 39 500f.

drha

b. iż

. Joa

nna

Józe

fow

ska Wyznaczanie rozwiązań bazowych

• Metoda kąta północno-zachodniego

prof

• Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów

• Metoda VAM (Vogel’s Approximation Method)• ri, i = 1, 2, ..., m - różnica między dwoma najmniejszymi

elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C,• dj, j = 1, 2, ..., n - różnica między dwoma najmniejszymi

elementami kol mn j red ko anej macier C

2011-03-19 722011-03-19 72

elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C,• max(ri, dj)• ckl = min {ckj} albo ckl = min {cil}

3/19/2011

19

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów

prof Postępujemy podobnie, jak w metodzie północno-

zachodniego narożnika, ale wybieramy, jako kolejny, wierzchołek odpowiadający najmniejszemu nieskreślonemu elementowi macierzy kosztów.

2011-03-19 732011-03-19 73

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów


2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500

6000 4000 2000 1500


1000

0

2011-03-19 742011-03-19 74

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4


2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500

6000 0 2000 1500


0

3500

2011-03-19 752011-03-19 75

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4


2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2500 5 4 5 0

3500 0 2000 1500


4000

0

2011-03-19 762011-03-19 76

3/19/2011

20

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

prof


1.Kluczbork 3 4000 7 6 10002. Białystok 7 5 2000 3 40003. Piła 2500 5 4 5 0

3500 0 0 1500

2500

0

2011-03-19 772011-03-19 77

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

prof



3500 0 0 0

0

2500

2011-03-19 782011-03-19 78

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

prof



2500 0 0 0

0

0

2011-03-19 792011-03-19 79

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk


Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

prof 1.Kluczbork 1000 4000 0 0 5000

2. Białystok 2500 0 2000 1500 60003. Piła 2500 0 0 0 2500

6000 4000 2000 1500

2011-03-19 802011-03-19 80

3/19/2011

21

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a Metoda Vogla

1. Oznaczmy przez ri (i = 1, …, m) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami i-tego wiersza macierzy k tó d k j d t ó któ hpr

of kosztów zredukowanej o dostawców, których zapas został już wyczerpany i o odbiorców, których zapotrzebowanie zostało już zaspokojone.

2. Oznaczmy przez dj (i = 1, …, n) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami j-tej kolumny zredukowanej macierzy kosztów.

3. Wybierz α = max{ri, dj}.

2011-03-19 812011-03-19 81

3. Wybierz α max{ri, dj}.4. Jeżeli α = ri, to wybierz element w wierszu k = i oraz

kolumnie l, takiej że ckl = min{ckj}.5. Jeżeli α = dj, to wybierz element w kolumnie l = j oraz

wierszu k, takim że ckl = min{cil}.

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5dj

2011-03-19 822011-03-19 82

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla



2011-03-19 832011-03-19 83

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla



2011-03-19 842011-03-19 84

3/19/2011

22

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Voglapr

of 1.Kluczbork 3 2 7 6 12. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5dj

2011-03-19 852011-03-19 85

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5dj

2011-03-19 862011-03-19 86

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj

2011-03-19 872011-03-19 87

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1

2011-03-19 882011-03-19 88

3/19/2011

23

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Voglapr

of 1.Kluczbork 3 2 7 6 12. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1 3 2 2 3

α = max{ri, dj}

2011-03-19 892011-03-19 89

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1 3 2 2 3

α = max{ri, dj}

2011-03-19 902011-03-19 90

ckl = min{cil}

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500

6000 4000 2000 1500


1000

0

2011-03-19 912011-03-19 91

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla



2011-03-19 922011-03-19 92

3/19/2011

24

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Voglapr

of 1.Kluczbork 3 2 7 6 32. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5dj

2011-03-19 932011-03-19 93

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1 2 2 3

2011-03-19 942011-03-19 94

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1 2 2 3

ckl = min{ckj}

2011-03-19 952011-03-19 95

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500

6000 0 2000 1500


0

5000

2011-03-19 962011-03-19 96

3/19/2011

25

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

ri

Metoda Voglapr

of 1.Kluczbork 3 2 7 62. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 5 2 2 5

2011-03-19 972011-03-19 97

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500

5000 0 2000 1500


0

2500

2011-03-19 982011-03-19 98

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2500 5 4 5 0

2500 0 2000 1500


4000

0

2011-03-19 992011-03-19 99

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

Metoda Vogla


2. Białystok 7 5 2000 3 40003. Piła 2500 5 4 5 0

2500 0 0 1500


2500

0

2011-03-19 1002011-03-19 100

3/19/2011

26

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

Metoda Voglapr

of 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 02. Białystok 7 5 2000 1500 25003. Piła 2500 5 4 5 0

2500 0 0 0


0

0

2011-03-19 1012011-03-19 101

f. dr

hab.

iż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a

Lublin1

Elbląg2

Łódź3

Opole4

Metoda Vogla

prof 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 5000

2. Białystok 2500 5 2000 1500 60003. Piła 2500 5 4 5 0

6000 4000 2000 1500

2011-03-19 1022011-03-19 102

Documents

ż ł Zagadnienie transportoweZagadnienie transportowe ł ś ł ... · Joanna Józefowska Metoda kąta północno-zachodniego Lublin 1 Elbląg 2 Łódź 3 Opole 4 pro 1.Kluczbork