Bölüm 01 : Açı ve Açısal Kavramlar ...................................................................................7

Bölüm 02 : Üçgende Açılar ................................................................................................23

Bölüm 03 : Dik Üçgenler ....................................................................................................41

Bölüm 04 : İkizkenar ve Eşkenar Üçgenler ........................................................................65

Bölüm 05 : Üçgende Alanlar ..............................................................................................77

Bölüm 06 : Üçgende Açıortay Bağıntıları ...........................................................................109

Bölüm 07 : Üçgende Kenarortay Bağıntıları.......................................................................133

Bölüm 08 : Üçgende Benzerlik ...........................................................................................155

Bölüm 09 : Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları ......................................................................191

Bölüm 10 : Trigonometri .....................................................................................................221

Bölüm 11 : Çokgenler.........................................................................................................235

Bölüm 12 : Dörtgenler ........................................................................................................269

Bölüm 13 : Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen ....................................................................293

Bölüm 14 : Dikdörtgen........................................................................................................317

Bölüm 15 : Kare .................................................................................................................333

Bölüm 16 : Deltoid ..............................................................................................................347

Bölüm 17 : Yamuk ..............................................................................................................357

İÇİNDEKİLER

GEOMETRİ

Bir yüzey parçasını doğru olarak bölmek gereksinimi, cisim ve biçimleri ölçme ve sayı ile anlatma bilgisi olan geometriyi doğurmuştur. Bu nedenle bu dersin, insanların günlük yaşamlarıyla ilgili bir yeri vardır (Fidan, 1986).

Çocukların geometri düşüncelerinin gelişimini; geometrik cisimlere dokunarak cisimleri keşfettikle-ri, şekillerin çizimleri ile perspektif oluşturduklarını ve uzamsal becerileri ise, cisimlere el temasının zihinsel döndürme ve uzamsal görselleştirme üzerine olumlu bir etkisi olduğunu vurgulamışlardır (Clements ve Battista,1992; Werthessen, 1999).

Çocuklar, daha okula başlamadan önce geometri ile ilgili birçok deneyime sahip olmaktadırlar. Za-manlarının çoğunu şekillerle ilgili olarak araştırma yapma, oyun oynama ve yapılandırma ile geçir-mektedirler. Oyun oynarken şekiller arası ilişkileri doğal olarak kurmaktadırlar. Çocuklar daha çok ellerinde bulunan şekilleri sınıflama yaparak, bir araya getirerek ve yuvarlayarak deneyim sahibi olabilirler. Çocukların okula başlamadan önce örendikleri bu ilk deneyimler daha sonraki yıllarda geometri çalışmalarının da temelini oluşturmaktadır. Bu nedenle, çocukların daha okula başlamadan karşılaştıkları bu ilk deneyimler okul matematiğine uygun olarak eğitici ve istenilen düzeyde olmalı-dır (Burns, 2000, s. 79). Geometri soyut kavramlar ve ilişkiler üzerine inşa edildiği için ilköğretimin birinci kademesinde dikkatle verilmesi gereken bir alandır. Birinci kademe örencileri somut ve sonlu nesneler yoluyla kavramları ve ilişkileri anlayabileceğinden geometri alt örenme alanları mümkün olduğunca çocuğun yaşadığı, görebileceği yakın çevreden ve algılayabileceği düzeyde ele alınmalı-dır (MEB, 2005; s. 27).

İlköğretim geometri konularının öğretimi matematiğin diğer konularının öğretimi kadar önemlidir. İlköğretimdeki matematik öğretiminde geometri konularına da yer verilmesinin bazı sebepleri aşağı-dakiler olabilir (Baykul, 2005:363).

1. İlköğretimde matematik çalışmaları arasında eleştirici düşünme ve problem çözme önemli bir yer tutar. Geometri çalışmaları, öğrencilerin eleştirici düşünme ve problem çözme becerilerinin gelişmesinde önemli katkı getirir

2. Geometri konuları, matematiğin diğer konularının öğretiminde yardımcı olur. Örneğin kesir sa-yıları ve ondalık sayılarla ilgili kavramların kazandırılmasında ve işlemlerin tekniklerinin öğreti-minde dikdörtgensel, karesel, bölgelerden ve daireden büyük ölçüde yararlanılır.

3. Geometri, matematiğin günlük hayatta kullanılan önemli parçalarından biridir. Örneğin odaların şekli, binalar, süslemelerde kullanılan şekiller geometriktir.

4. Geometri, bilim ve sanatta da çok kullanılan bir araçtır. Örnek olarak mimarların, mühendislerin geometrik şekilleri çok kullandıkları; fizikte, kimyada ve diğer bilim dallarında geometrik özel-liklerin fazlaca kullanıldığı gösterilebilir.

5. Geometri öğrencilerin içinde yaşadıkları dünyayı daha yakından tanımalarına ve değerini takdir etmelerine yardım eder.

6. Geometri, öğrencilerin hoş vakit geçirmelerinin hatta matematiği sevmelerinin bir aracıdır.

Fischbein ve Nachlieli (1998)’e göre muhakeme sürecinde şekil ve kavram arasında gerçekleşen etkileşimin kavramın kontrolünde gelişmesi, oluşturulan öğretim ortamının yapısına bağlıdır ve öğ-retim ortamına öğrencilerin şekil ve kavram arasındaki etkileşimi görebilecekleri örneklerin getiril-mesi çok önemlidir. Bu örnekler öğrencilerin, kavram ve şekil (zihinsel imge) arasında gerçekleşecek muhtemel uyumsuzlukları kavramın kontrolünde çözmeleri gerektiğini anlamalarına hizmet edecek şekilde hazırlanmalıdır. Örneğin sınıf içi bir etkinlikte kare ile dikdörtgenin şekilsel özelliklerine ba-kıp, aralarındaki ilişkiyi göremeyen öğrencilerin kavramsal yönlerini güçlendirmek gerekmektedir. Dikdörtgenin tanımı gereği kareyi de içine alan geometrik bir şekil olduğu ancak kavram bilgisi ile çözülebilecek bir süreçtir.

Geometrik nesnelerin kavramsal özelliği yapılan matematiksel işlemlerin mantıksal tutarlılığını ve genellenebilirliğini garanti altına alırken, şekil olarak temsil edilmesi, keşif için gerekli sezginin temelini oluşturmaktadır (Fischbein ve Nachlieli, 1998; Fischbein, 1993).

Geometri öğretiminde öğrencilerin yüksek düzey zihinsel beceriler kazanması çok önemlidir. Bu zihinsel becerilerden biriside keşfedilen ilişkinin genellenebilirliğini sağlamaktır (Güven,2002). Matematikte bir teoremin ispatıyla yapılmak istenen aslında keşfedilen ilişkinin genellenebilirliğini garanti altına almaktır (Yıldırım,2000).

Geometri, çeşitli bilim dallarında yaygın olarak kullanılan, temel eğitim matematiği içinde tüm dün-yada önemli bir alandır. Geometrinin yarattığı bakış açısı sayesinde öğrenciler problemleri analiz edebilir, çözebilir ve matematik ile yaşam arasında bağ kurabilirler. Bunun yanında, geometrik gös-terimler soyut kavramların anlaşılmasında yardımcı olur (Duatepe, 2000: 562). Geometri çalışmanın öğrencilere pek çok faydası vardır. Geometri sayesinde, çevrelerindeki dünyayı ifade etmeye ve anlamaya başlarlar, problemleri analiz ederler ve çözebilirler, soyut sembolleri daha iyi anlamak için şekilsel ifade edebilirler. Aynı şekilde, ölçmenin de öğrencilerin günlük hayatla okul matematiği ara-sında bağ kurması açısından büyük faydaları vardır (Strutchens, Haris, Martin, 2003: 1-4 akt. Gülten ve Gülten, 2004: 74).

Öğrenciler öğrenme-öğretme sürecinde kendileri için anlamlı ve somut hedefler olduğunda, öğretim faaliyetlerinde daha etkin olarak yer alır. Bunun yanı sıra öğrencilerin kendi kişisel deneyimlerini birleştirmeleri bilişsel yeteneklerin gelişmesinde büyük bir katkı sağlar. Öğrencilerin yaparak ya-şayarak öğrenmelerinin onlar için daha anlamlı olduğu ve öğrenmedeki kalıcılığın arttığı yapılan araştırmalarla ortaya konulmuştur. Öğrenme- öğretme sürecinde bireyi, öğretmenden bilgileri alan pasif bir alıcı konumundan araştıran, inceleyen ve bilgiye ulaşan ve bilgileri anlamlandıran öğrenen-ler haline getirmek çağdaş eğitim anlayışının temelini oluşturmaktadır (Demirel, 2002. Akt: Ceren, E ve Önder, A, 2012)

Öğrenmenin aktif ve katılımlı bir süreç olduğu göz önüne alınırsa, matematik öğrenirken öğrencile-rin yaparak, yaşayarak ve uygulayarak öğrenmelerini sağlayan öğrenme ortamlarının hazırlanması önemlidir. Öğrencilere, matematik öğrenirken, mümkün olduğu kadar etkin ve katılımlı öğrenme ortamları sağlayacak etkinlikler sunulmalı ve bu konuda gerekli araç ve gereçler de sağlanmalıdır (Ersoy, 1998; Milli Eğitim Bakanlığı, 2005; National Council of Teachers of Mathematics, 1998; National Research Council, 1990). ilköğretim ve ortaöğretim düzeyinde kısmen farklılaşmakla bir-likte; farklı ilgi, yetenek ve zeka yapılarına sahip öğrencilere hitap edebilecek ve onları da etkin kılabilecek zenginlikte etkinliklerin uygulanmaması, gereğince günlük hayatla ilişkilendirilme ya-pılmaması, özellikle ilköğretim öğrencileri için soyut konuların yeterince yapılandırılmaması ya da gerekli biçimde somutlaştırılmaması ve öğrencinin matematik bilgisi yapılanırken müfredatı yetiştir-me kaygısıyla gerekli öğrenme sürecinin aceleye getirilerek sadece bilgi aktarımı ve soru çözümüy-le yetinilmesi, ortak bazı önemli sorunlardır. Bu ve benzeri sıkıntıların giderilmesi için matematik öğretiminde, sadece belli kesim öğrencilerin değil farklı öğrencilerin de ilgisini çekebilecek ve öğ-rencileri aktif kılacak, anlamlı, yeterince somut ve olabildiğince günlük hayatla ilişkili etkinliklerden yararlanılmalıdır (Adams, 2000; Baki, Çatlıoğlu, Coştu and Birgin, 2009; MEB, 2005; NRC, 1990; Schoenfeld, 1992; NCTM, 1989).

Geometri; nokta, doğru, düzlem, düzlemsel şekiller, uzay, uzaysal şekiller ve bunlar arasındaki iliş-kilerle geometrik şekillerin uzunluk, açı, alan, hacim gibi ölçülerini konu edinen matematiğin bir dalıdır (Baykul, 1998). Geometri, öğrencilerin gerek doğal varlıkların gerekse ev ve iş yaşamlarında kullanmış oldukları nesnelerin hangi geometrik özellikleri sayesinde fonksiyonlarını yerine getire-bildiklerini öğrenmeleri açısından önemlidir. Geometri öğretiminde ve öğrenciler tarafından anlaşıl-masında bazı sıkıntılar olduğu belirtilmektedir (Yılmaz, Keşan ve Nizamoğlu, 2000). İyi planlanmış etkinlikler, uygun araçlar ve öğretmen desteğiyle öğrenciler, geometriyle ilgili kavramları keşfedebi-lirler ve geometri ile ilgili düşüncelerini geliştirebilirler.

109

BÖLÜM

6

Örnek:

�

� � ���

�

ABC bir üçgen

|AB| = 10 cm

|AC| = 20 cm

|BN| = 5 cm

|AB||AC|

= |BN||NC|

1020 = 5

x

Örnek:

�

�

� �

� �

�

�

ABC bir üçgen

[BD] [AC]

|AD| = |DC|

|BE| = 8 cm

|EA| = 6 cm

�

�

� �

� �

�

�

�

-

-

|BE||BC|

=

= 814 = 4

7

Örnek:

�

� �� �

ABC bir üçgen

|BC| = 18 cm

|AB||AC|

= 45

|AB||AC|

= 45

= |BN||NC|

|BN||NC|

= 4k5k

�

� ������� � ��

|BC| = 18 = 4k + 5k

9k = 18

k = 2

Örnek:

�

� �

�

�

� �

��

[AB] [BC]

|AB| = 8 cm

|DC| = 9 cm

|BC| = 15 cm

-

A(AOC) = A(BOC)

cb =

x

k2

110

�

� �

�

�

� �

��

�

�

� �

|AD|2 = |KA|2 + |KD|2

6

Örnek:

�

� �� �

� �

ABC bir üçgen

|AB| = 12 cm

| AC| = 15 cm

�

� �� �

� �

�����������������

|AB||AC|

= |BN||NC|

1215

= x

45

= x

Örnek: �

� �

�

��

�

��

ABC bir üçgen

[AB] [AC]

|AD| = 6 cm

|EC| = 8 cm

2

�

� �

�

��

��

�

�

���������

A(DEC) = 2 =

2 = 24 cm2

Örnek:

�

� �

�

��

��

�

ABC bir üçgen

[AB] [AC]

|DC| = 15cm

-

-

-

-

-

ABC ikizkenar üç-

-

111

�

� �

�

��

��

�

�

�

�

��

-

|AB| = a

|AB| = |BH| = a

|BC | = a

|DC|2 = |DH|2 + |HC|2

(15)2 = x2 + 122

225 = x2

Örnek:�

� ��

���

ABC bir üçgen

|DB| = 8 cm

|EC| = 12 cm

2 2

�

� ��

�

��

��

����

���

�

�����

�� �

-

A(DBN) + A(ENC) = 60

2 +

2 = 60

2 + 2

= 60

A(DBN) = 2 =

22

�

� �� �

� �

�

mn

= cb

mc

= nb

A

nA2 c

b = mb

= A(ABN)A(ANC)

Örnek:

�

� � ���

�

|BN| = 12 cm

x = 1215

= 45

-

-

-

|DC||DB|

= |AC||AB|

bc =

x

k2

112

Örnek: �

� � ���

!�

n

mn

= 67

Örnek:

�

� � �

��

��

x = 5

15 = 1

3

Örnek:

�

� ��

��

�

a

ab

= 1012

= 56

Örnek:

�

� � ���

��

ABC üçgen

|AB| = 6 cm

|AC| = 12 cm

4x

= 612

�

� � ���

��6x = 48

x = 8 cm

�

� � ���

��

6x = 48

Örnek: �

� � ��"

�� |BN| = 3

3x = 48

Örnek:

�

� � ���

��

16x = 64

113

Örnek:

�

� � ��

��

|BN| = 4

Örnek:

�

� �

�

�

��

��!

|AN||NC|

= 26

2k/ /

Örnek:

�

� � ���

�#�

8x = 4(x+10)

Örnek:

�

� � ��

!"

ABC üçgen

|AB| = 3 cm

|AC| = 7 cm

�

� � �����

!"

������������� 10x = 18

Örnek:

�

� � ��

�

ABC üçgen

|AB| = |NC|

|BN| = 5 cm

�

� � ��

�

�

� x2 = 100

Örnek:

�

� � ��

ABC üçgen

|AB||AC|

= 35

�

� � ���������������������

"� ��

|AB||AC|

= 35

k/ k/

8x = 120

|AB|

|AC| =

|BD|

|CD|

-

|AB|

|AC| =

|BD|

|CD| = m

n

-

|AD|2

m(N

114

Örnek:

�

� �

��

�

ABC üçgen

|AB| = 6 cm

|AN| = 4 cm

|NC||CB|

= |AN||AB|

�

� �

��

�

��

��

|NC||CB|

= 46

6k + 4k = 40 10k = 40

Örnek:

�

��

�

��

�

���

-

|AB| = 8 cm

|AC| = 12 cm

�

��

�

��

�

���

"���

A |BN||NC|

= 812 = 2

3

B / /

Örnek:

�

� �

�

�

�

���

�

���

-

|AB| = 12 cm

|BN| = 4 cm

|NC| = 5 cm

�

� �

�

�

�

���

�

���

�����

A

Örnek:

�

� � ��� �

�� �

|AB| = 10 cm

|BN| = 8 cm

|ND| = 12 cm

115

�

� � ��� �

�� �

�����

A

8n = 120

A|AD||DC|

= 159

= 53

Örnek:

�

� � ��

��

�

�

ABC üçgen

|AD||DN|

= 3

|BN| = 8 cm

�

� � ��

��

�

�

"�

�

����

|AD||DN|

A / /

A

8x = 240

Örnek:

�

� � �

�

�

��

�

�

ABC üçgen

[AN] [BD]

|BE| = |ED|

|AD| = 6 cm

|DC| = 2 cm

�

� � �

�

�

��

�

��

A

-BD ikizkenar

A

Örnek:

�

�

�

�

�

$

� #

�

�#�

|BP| = 10 cm

|PC| = x + 4 cm

|PB| = |PC| |AB| = |AC|

116

Örnek:

�

� � ��

��

"�

�

ABC üçgen

[ND] [AB]

|DN| = 3 cm

|AN| = 5 cm

[NE] �

� � ��

�"

��

�

�

�

"

�������

����

��

��

|

A

|AE|2+32 = 52

Örnek:

�

�

�

� �

��

��

[AD] [DB]

[AB] [BC]

m(DAB) = m(BAC)

|AD| = 16 cm

[BE]

�

�

�

� �

��

��

� ���� �

����������

�

�

|AE| = |AD| = 16

82

Örnek:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

[AB] [BC]

m(BAC) = m(CAD)

|AB| = 16 cm

|BC| = 12 cm

�

�

�

�

�

�

�

�

�

���������

����

����

�

��

��

[AE]

|AE| = |AB| = 16

Örnek:

�

� � ���%

�����%

ABC üçgen

m(ABC) = 60°

m(ACB) = 45°

|NC| = 6

[ND] �

� � ���%

�����%

�

�

"% ��%

�

��"

[NE]

N

D

|BN| = 4

235

ÇOKGENLER

BÖLÜM

11

Çokgen

1 2 3, ... gibi n tane (n

çokgen denir.

�

��

��

67��8�3 �79�:3�;�9���<=

tür çokgenlere

denir.

�

�

�

� �

biri çokgeni kesmiyorsa

çokgen denir.

2/>��7/

2/>��7/

�

�

�

�

çokgenin kenar

genin denir.

denir.

çokgenin

elde edilebilir.

çokgen denir.

� �

�

>�3��(�87:3�;28.:8��87:3�=

��(3;28.:8��2?(+:3�=

� �

� �

�

�

� �

�

kenarlar paraleldir.

236

ÇOKGENLER

� �

� �

�

��� �

��

�

�

� ��

�

� -

�

�

�

�

n

n

��������

�

�� (

,

e

� �

�

� �

görülüyor.

��

�

� �

�

�

��

�

� �

�

4

�

�

�

��

�����

2

237

ÇOKGENLER

2 idi.

2

2 2

NOT—————————

NOT—————————

NOT—————————

nin

2

238

ÇOKGENLER

�

�

�

�

���

"%

�%

�%

��

��

���

�%

�%

��

��

!%!%!%

�%

�%�%

��%��%

�%

�%

239

ÇOKGENLER

2

2

2

��

�

�

� �

�

�

�

��

�

��

�

�

�

�

�

�

� gene

m(

ise n .

n

• Bir düzgün sekizgende

� �

�

�

�

� �

�

�

�

"�%

"�%

�%

"�%

"�%

�%

m(B

NOT—————————

tanedir.

240

ÇOKGENLER

�

� �

�

�

�

�

� �

�

�

�

�

�

��"��

"%�

%

"%

�%�

�

ABCDEF bir düzgün

|FC| = 2x dir.

�

�

�

�

�

-

Bir düzgün çokge

da kenar atlana

�

-

��

��

�

��"%

-

��

��

�

�

"%

"%"%

�%

�

� �

�

�

��

2 ise

�

� �

�

�

��

2

2

22

241

ÇOKGENLER

� �

�

�

�

dn2

– 1n

d(n–1)2

– 1n

� �

�

�

��

çokgen

ise

�

�

�

��

��

m (B

212

�%

�

�

��

çokgen

%

�

�

��

%%�%

%

n

•

�

�

�

�

�

�

��

� gen olmak üzere,

242

ÇOKGENLER

�

� � �

�%çokgen

�

� � �

�%

�� �%#�

dersek,

m(B

n

�

��

�

�����

�

��

�

�

�

� �

�

�

@

�$

gün çokgenin simet

ri eksenleridir.

na simetri ekseni denir.

� � �

'

�

�

��

@

�

$�

�

�

�

�

�

birer simetri eksen

leridir.

ri eksenleridir.

� �

�

�

-�

�

�

"

� �

�

�

-�

�

�

"

�

�

tay teoreminden

ise

3

-

� �

�

�

�

-

� �

�

�

�

��

��

243

ÇOKGENLER

idir,

67+3A3+73��3(

73<(3B73��3(

,

@

(

�

�

�

�

�

�

�

�

��

çemberin merkezi,

merkezi

birle

n

�

�

�

�,

(

.. çokge

rinin merkezi

� �

�

�

�

�

-�

�

� �

�

�

�

�

-�

�

�)�)

�))

)

))

3

���

�,

@@

@

@@ ) )

))

�

�

� �linde n tane üçgenin

12

n2

2. sin n

olarak

��% ��

� �

�

�

�

-

�

,

12

12

. 4 . 4 . 22

32 2

244

ÇOKGENLER

� �

��

�

���

�

� �

�)

�

�

�

�

�

gen içerisinde

a2 34

� �

��

�

3 2 ise

� �

��

��

���%"%

"%

"%��" �

dersek,

a.a 32

2 dir.

2

245

ÇOKGENLER

n2

!%

% !%

!%

!%

�%

%

%

�%

�%

%

�%

"

�

�

����?>3:3�C�<�(0"�87:3�&3B��?B5:3 3�� (/B�/>D

"��?>3:3�C�<�(0��87:3�&3B��?B5:3 3�� (/B�/>D

�"

�

�"

�

melidir.

2 2

2

246

ÇOKGENLER

�

�

� �

� ise,

�

�

� �

�"�% "�%

�% �%

"�%

"�%dir.

� �

�

�

�

� ise,

� �

�

�

�

�"%�%

"%

"%

�%

"%

�%

dir.

�

� �

��

�

'

�

�

ise,

�

� �

��

�

'

�

�

�%

"�%��%

�%�%

m(

m(

m(

BK de,

2

�� �

�

��

��

1212

12

2

toplam 12 adet üç

2

247

ÇOKGENLER

�

� �

� �

�

���

�� �

��

�%

�% �%

2 idi.

2

2 idi.

2

n2

n

a2 34 idi.

a2 34

3 idi.

a2

248

ÇOKGENLER

� �

�

�

�

1 �

�

gen

� �

�

�

�

1 ��

"�"�%

"%

"%

"

"

�

olan bir ikizkenar üç

x2 3)2 2

� �

� �

�

$

+�

�

�

�

.

�

�������

��

��

�

�

'

�

� �

� �

�

�

�

�

�

�

�

��

��

�

��

'

�

�

için daima

� �

�

�

�

�

� �

�

�

�

�

"%

"%

�%

�

�

�

x.x. 32

3 x2

dir.

n

dir.

n

249

ÇOKGENLERÇÖZÜMLÜ TEST

�

�

� �

�

�

�%

�

�

��

�

düzgün çokgen

�%

�

�

�

�

düzgün çokgen

�

�

�

�

�

-

�

�!

�

bir düzgün çokgen

�

�

�

�

�

-

���%

bir düzgün çokgen

�

�� �

�

�

�

1

NOT—————————

çokgenlere denir.

Bir düzgün sekizge

—————————

250

ÇOKGENLER

�

�

� �

�

�

�

�� ��

�

�

�dersek,

dan,

dan,

n

n

2

2

2

�%

�

�

�

�

�%"�%1

n

n

�

�

�

�

�

-

�

�!

�

!

�

�

�

�

�

�

-

��

�%

�%�%

�

�

� Bir düzgün çokgen

gördükleri kenar

2a yi görüyor.

�

�� �

�

�

� �

�

��

�

bütün kenarlar birbi

3.B

—————————

raleldir.

dir.

üçgenleri