Upload
sonmez
View
645
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
filozof.com.tr den alıntıdır. Bunun dışında nejdetkirpi.com daki videoları izlemenizi öneririm.
Citation preview
KPSS (VE DİĞER SINAVLAR İÇİN)
MUHAKEME PROBLEMLERİ
Bu dokümanın tüm hakları www.filozof.com.tr’ye aittir.
İnternette sadece bireysel kullanım için yayınlanmaktadır.
2
PROBLEMLER
SAYI - KESİR PROBLEMLERİ
Sayı - kesir problemlerini çözerken dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, denklemi doğru kurabil-mektir. Denklemi kurarken işlem önceliğinin soru çözümünde önemli olduğunu ve parantez ile işlem önceliğinin gösterilebileceğini unutmamalıyız.
Örneğin;
Bir x sayısının 3 katının 2 fazlası: İstenen ifade olur. Burada parantez kullanılmasına ge-
rek yok; çünkü ilk önce çarpma işlemi yapılır.
3 x 2
Bu ifadeyi 3 x şeklinde de yazar-
sak doğru yazmış oluruz. Bir örnek daha verelim:
2 (3 x) 2
Bir sayının 2 fazlasının 3 katı: İstenen ifade olur. Eğer parantez kullanılmamış ol-
saydı ifade olacaktı ve işlem önceliğin-den, önce ve ifade x + 6 olurdu ki,
(x 2) 3 x 2 3
2 3 6
(x 2) 3 x 6 dır.
Böyle bir yanlışa düşmemek için parantezi doğru yerde kullanmalıyız.
www.
filo
zof.
com
.tr
Herhangi bir sayı x olsun
1. Bir sayının 2 fazlası : x + 2
Bir sayının 5 fazlası : x + 5
2. Bir sayının 7 eksiği : x 7
Bir sayının 1 eksiği : x 1
3. Bir sayının 5 katı : 5 x
Bir sayının 7 katı : 7 x
4. Bir sayının yarısı : x
2
Bir sayının 8 de 1 i :x
8
5. Bir sayının 5
7 si :
5 5 xx
7 7
Bir sayının 3
4 katı :
3 3 xx
4 4
6. Bir sayının 3 te 1 inin 2
5 i :
1 2 x 2x
3 5 3 5
Bir sayının 4
5 inin
3
7 si :
4 3 4 x 3x
5 7 5 7
7. Bir sayının 4 katının 5 fazlası : 4 x 5
Bir sayının 2 katının 4 fazlası : 2 x 4
8. Bir sayının 5 fazlasının 4 katı :
4 (x 5) 4 x 4 5
Bir sayının 4 fazlasının 2 katı :
2 (x 4) 2 x 2 4
9. Bir sayının 6 katının 3 eksiğinin 2
5 i :
2 2 (6 x 3)
(6 x 3)5 5
Bir sayının 3 fazlasının 2 katının üçte biri :
1 2 (x 3)
2 (x 3)3 3
10. Bir sayının 2 katı ile 4 katının toplamı: 2 x 4 x
Bir sayının 9 katı ile 5 katının farkı: 9 x 5 x
Bir sayının 3 katı ile yarısının toplamı: x
3 x2
Bir sayının 2
3 ü ile 4 te 1 inin toplamı:
2 1 2 x
x x3 4 3
x
4
Bir sayının 3 te 1 inin 4 eksiği: 1 x
x 43 3 4
11. Bir sayının karesinin 1 fazlası : 2x 1
Bir sayının 1 fazlasının karesi : 2(x 1)
Bir sayının küpünün 5 katının 4 fazlası: 35 x 4
Bir sayının 4 fazlasının küpünün 5 katı:
35 (x 4)
Problemler
www.
filo
zof.
com
.tr
enklem Kurarken Dikkat Edilecek Husus-lar
akat ılarak denklem kurulma-
30 tane meyve vardır.
olmak üzere kulla-
toplanan ve çıkarılan ifadelerin aynı cins olması gerekir.
iri ile toplanır fakat
oplanmaz. Çünkü aynı cins
klemde eşitliğin sağ ve sol tarafını yazar-ken aynı cins çokluklar birbiri ile eşitlenir.
le eşitlenmez.
rdışık Sayı Problemleri
ayı adedi tek sayıda dedine bölündüğünde
D
1. Soruda bilinmeyen ifade bir harf ile belirtilir.
Örneğin; a, b, c … gibi
eyen bulunabilir; fSoruda birden fazla bilinmen az sayıda harf kullanlıdır.
Örneğin; Bir sepette elma ve armut olmak üzere toplam
Bu ifadeyi denklem olarak yazalım:
Elma sayısı x, armut sayısı y x + y 30 şeklinde yazmak yerine bir harfnarak elma sayısına x, armut sayısına (30 x) diyerek soruyu daha kolay çözebiliriz.
Çünkü denklemimiz bir bilinmeyenli (bilinmeyen x) denklem olacaktır.
2. Denklem kurulurken
Örneğin;
ye Bilye + Bil
Kitap + Kitap
Turist + Turist
bu ifadeler birb
Bilye + Kitap
Turist + Bilye
Kitap + Turist
Öğrenci + Sıra
ifadeleri birbiri ile tdeğillerdir.
3. Den
Öğrenci sayısı Öğrenci sayısı
Alınan yol Alınan yol
ı Sıra sayısı Sıra sayıs
Farklı cins çokluklar birbiri i
Öğrenci Sıra
Zaman Hız
k Tavşan Tavu
A
Ardışık sayı problemlerinde sise sayıların toplamı sayı aortadaki sayıyı verir.
Örneğin; ardışık beş sayının toplamı 100 ise bu sayıları bulunuz.
100 : 5 20 ortadaki sayı
18 19 20 21 22
en küçüksayı
en büyük sayı
Ardışık üç tam sayının toplamı:
+ (x + 1) + (x + 2) veya (a 1) + a + (a + 1)
ya
yının toplamı:
x
Ardışık üç tek tam sayı toplamı:
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) ve
x tek sayı olmak üzere,
x + (x + 2) + (x + 4)
Ardışık üç çift tam sa
2n + (2n + 2) + (2n + 4) veya
x çift sayı olmak üzere,
x + (x + 2) + (x + 4)
ÖRNEK SORU
2 Hangi sayının
3 ünün 4 eksiği, aynı sayının
s
A) D) 70 E) 72
mi
yarısının 5 fazla ına eşittir?
46 B) 54 C) 63
Çözüm:
Şimdi denkle yazalım. Sayımız x olsun.
(3)(2)
2 xx 4 5
3 2
2 x x5 4
3 2
4 x 3 x9
6
x9
6
x 6 9
x 54 bulunur.
(Cevap B)
3
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
ÖRNEK SORU
Üç basamaklı birbirinden farklı dört sayının top-
n büyüğü en fazla
www.
filo
zof.
com
.tr
lamı 500 dür.
Bu sayıların e kaçtır?
) 193
zalım.
aklı sayı ((abc) gibi …)
farklı
00
e büyüğü en fazla kaçtır?
ıla-
A) 197 B) 196 C) 195 D) 194 E
Çözüm:
Verilenleri ya
4 tane üç basam
Sayılar birbirinden farklı (rakamlar denmemiş)
Toplamları 5
İst neni yazalım. En
En büyüğünün en fazla olması için diğer sayrın en az olması gerekir.
l. sayı + ll. sayı + lll. sayı + lV. sayı 500
303
A)
100 + 101 + 102 + x 500
303 + x 500
x 500
x 197 olur.
(Cevap
ÖRNEK SORU
Farkları 8 olan iki sayıdan büyüğün 3 katı ile
açtır?
E) 18
ı: k
olsun.
8
nklemleri orta çözeceğiz.
iz.
ak,
3 b 4 k 73
küçüğün 4 katı toplamı 73 tür.
Buna göre, büyük olan sayı k
A) 12 B) 13 C) 15 D) 16
Çözüm:
l. Yol:
Küçük say
Büyük sayı: b
Denklemi kuralım.
1. denklem: b k
2. denklem: 3 b 4 k 73
Yukarıdaki de k
Büyük sayı istendiğinden k yı yok edeceğ
1. denklemi 4 ile çarpar 2. denklem ile toplars
4/ b k 8
3 b 4 k 73
4 b 4 k 32
+
7b 105 b 15 olur.
ll. Yol:
Büyük sayı: x + 8
Küçük sayı: x olsun.
kları 8 olduğu için böyle yazıldı.)
Büyük sayı: x + 8 7 + 8 15 bulunur.
(Cevap C)
(Far
7 x 24 73
3 (x 8) 4 x 73
73
x 7
3 x 3 8 4 x
7 x 49
ÖRNEK SORU
Bir manifaturacı, elindeki bir top kumaşın ilk
önce 1
3 ünü, daha sonra kalan kumaşın
2
5 ini
satmıştır.
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
Çözüm:
oplam kumaş x m olsun.
Geriye 42 m ku aş kaldığına göre ilk satılan kumaş kaç metredir?
m
l. Yol:
T
1. satılan kumaş: 1 x
x3 3
Kalan kumaş:
(3)3 1
(1)
x x x 2xx
3 3
2. satılan kumaş: 2x 2 4x
3 5 15
Kalan kumaş:
(5) (1)
2x 4x 6x 2x42 m
3 15 15 5
2x 422 x 42 5
5 1
x 105 m bulunur.
Soruda istenen ilk satılan kumaş:
x 10535 m olur.
3 3
4
Problemler
www.
filo
zof.
com
.tr
Toplam kumaşı ilk ön arçaya, daha sonra 5 parçaya bölebilmek için kumaşı OKEK(3, 5) 15 parçaya ayırır ve her parçaya x m dersek, kuma-şın tamamı m olur.
n kısım:
ll. Yol:
ce 3 p
15 x
İlk satıla1
15 x 5 x3
Kalan kumaş: 15 x 5 x 10 x
İkinci satılan kumaş: 2
10 x 4 x 5
x 7
:
(Cevap D)
Kalan kısım: 10 x 4 x 6 x 42
İlk satılan kısım 5 x 5 7 35 m olur.
ÖRNEK SORU
daş bir torbadaki bily eri eşit olarak paylaşıyorlar. Gruba 2 kişi dağında her birine düşen bilye sayısı 3 aza
Buna göre torbadaki bilye sayısı kaçtır?
A) 130 B) 12 C) 60 D) 30 E) 15
işi
bilye düşeceğinden her biri (a 3) tane bilye alır. Bilye
Toplam bilye sayısı:
Bir gruptaki 8 arka elha katıldı-
lıyor.
0
Çözüm:
Gruptaki 8 kişinin her biri a tane bilye almış ol-sun. Toplam bilye sayısı: 8 a olur. Gruba 2 keklenirse 10 kişi olur ve her birine 3 eksik
sayısı değişmediğinden,
8 a 10 (a Bilye Bilyesayısı sayısı
8 a 10 a 10 3
8 a 10 a 30
30 2 a
3)
15 a
8 a 8 15 120 olur.
(Cevap B)
ÖRNEK SORU
Bir oteldeki odalara turistler her odakalacak şekilde yerleştirilirse 6 turist odalara yer-leştirilemiyor. Eğer 4’er 4’er yerleştirilirse 5 odaboş kalıyor.
Bu otelde topla kaç oda vardır?
A) 20 B) 21 C) 23 D) 25 E) 26
da 3 kişi
m
Çözüm:
Otelde toplam x tane oda olsun. Her odaya 3 kişi yerleştirilirse 3 x kişi odalarda olur ve 6 kişi odalara yerleşti işti. Turist sayısırilemem : 3 x 6
olur.
Her odaya 4 kişi yerleştirilirse ve 5 oda boş kal-da dolmuştur. mışsa (x 5) o
Turist sayısı: 4 (x 5) olur.
du
Turist sayısı aynı ol ğundan,
Turistsayısı
3 x 6 4 (x 5)Turistsayısı
3 x 6 4 x
3 x 6 4 x 4 5
20
26 x
6 20 4 x 3 x
Otelde 26 oda bulunmaktadır.
(Cevap E)
ÖRNEK SORU
Bir kumbarada 50 kuruşluk ve 1 liraparalardan oluşan toplam 40 tane para vardır.
Bu paraların toplamı 25 lira olduğuna göre bu kumbarada kaç tane 50 kuruş vardır?
A) 20 B) 24 C) 30 D) 34 E) 38
Çözüm:
lık madeni
50 kuruşluk para sayısı: a tane olsun.
50 kuruşların toplam tutarı: 50 a kuruş olur.
100 kuruşluk para sayısı: 40 a tane ol
ur.
(1 lira 100 kuruş)
100 kuruşlukların toplam tutarı:
olur.
uruş
100 (40 a)
Kumbaradaki toplam para: (k olarak)
50 a 100 (40 a) 2500
Her tarafı 50 ye bölelim:
(Cevap C)
a 2 (40 a) 50
a 2 40 2a 50
80 a 50
a 30 bulunur.
5
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
ÖRNEK SORU
1
5
www.
filo
zof.
com
.tr
Bir çalışan 1 aylık maaşının ini ev kirasına,
kalanın 1
4 ini araba taksidine ve kalanın
2 ünü
3
mutfak masrafına ayırıyor.
Geriye çalışanı ı kaldığına göre, bu
A) B)
Çözüm:
Ev kirası
n 320 lirasçalışanın aylık kazancı kaç liradır?
1600 1200 C) 800 D) 700 E) 600
l. Yol:
Çalışan aylık kazancı: 5 x lira olsun.
: 1
5 x x5
lira
aksiti:
Kalan parası: 5 x x 4 x lira
Araba t 1
4 x x lira4
Kalan parası
Mutfak masrafı
: 4 x x 3 x lira
: 2
3 x 2 x lira3
Kalan parası:
kazancı
1600 lira olur.
e gösterelim
3 x 2 x x 320 lira
Çalışanın aylık : 5 x 5 320
ll. Yol:
Çalışanın maaşını şekil il .
Ev kirası
1
5
Maaşının tamamı 5 parça
Araba taksiti
1
4
Kalan para
Mutfak masrafı
2
3
Kalan para
En son kalan
320 lira
Toplam para:
320 320 320 320 320
Toplam para:
(Cevap A)
5 320 1600 lira
ÖRNEK SORU
Bir salona 12 büyük ve 8 küçük masa veya 10 büyük ve 12 küçük masa atılabiliyor.
Buna göre, bu salona küçük masalardan kaç tane atılır?
A) 10 B) 18 C) 24 D) 30 E) 32
Çözüm:
Salonun kapasitesi veya
Salonun kapasitesi =
Salon aynı salon olduğundan salon kapasit leri
12 B 8 K
10 B 12 K
eeşittir.
12 B 8 K 10 B 12 K
12 B 10 B 12 K 8 K
2 B 4 K
B 2 K
Bir büyük masa 2 küçük masa kadar yer kaplı-yormuş. Hepsinin küçük masa olması istendi-ğinden
Salonun kapasitesi 12 B 8 K
12 (2 K) 8 K
24 K 8 K
32 K
Buna göre bu salona 32 tane küçük masa atılır.
(Cevap E)
ÖRNEK SORU
2
7
dı
si su ile dolu olan bir kabın ağırlığı 5 kg
r. Kap tam dolu iken tüm ağırlık 15 kg oldu-
Çözüm:
ğuna göre boş kabın ağırlığı kaç kg dır?
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3
her biri x kg
kabın ağırlığı k kg olsun
+
2x + k 5
+
7x + k 15
/2x + k 5 7x + k 15 +
5x 10 x 2 dir. k 1 kg dır.
Beraber çözüm yapılırsa
her biri x kg
(Cevap A)
6
Problemler
www.
filo
zof.
com
.tr
YüzBun dır.
e ,erhangi ikisinin verilip üçüncü-
ı şeklindedir.
B’nin %a sı P olsun. (%a ifadesi “yüzde a” diye okunur.)
Yukarıdaki ifade matematiksel olarak,
YÜZDE PROBLEMLERİ
de problemlerinde genel olarak üç ifade vardır. lar: “temel sayı, yüzde oranı ve yüzde payı”
Yüzde probl mleri; “temel sayı” “yüzde oranı” ve “yüzde payı”ndan hsünün sorulmas
aB P
100 şeklinde gösterilir.
Bu formüldeki,
B ye, temel sayı;
a ya, yüzde oranı;
P ye, yüzde payı adı verilir.
Yüzde 27, aşağıdaki ifadelerden biri ile gösterilir.
270,27
100 %27
UYARI
Yüzde problemlerini çözerken yüzdesi alınmak
istenen sayı 100x şeklinde alınırsa soru daha ko-lay çözülebilir.
ÖRNEK
F sayısı A sayısının %30’u, A sayısı da D sayı-
F’ye oranını bulalım.
A sayısı D nin %70 i ise, A 70 olur.
sının %70 idir.
Buna göre, D’nin
Çözüm:
Uyarıyı dikkate alırsak,
D 100 alalım.
70 70D A 100 A A 7
100 100 0
F sayısı A nın %30 u ise,
30 30
F A 70 21 bulunur.
100 100
D nin F ye oranı,
D 100olur.
F 2
UYARI
olan çokluklar arasında sağAynı türdenkarşılaştırma
lıklı bir ve kıyaslama yapabilmek için bü-
zdesi olarak ifade ede-yüklüklerini birbirinin yübiliriz.
ÖRNEK
İki pazarlamacıdan birincisi yapmış olduğu 250 isi ise 150 TL lik satış-
tan 9 TL kazanç elde ediyor.
Buna göre, bu iki pazarlamacının hangisinin aha azdır
TL lik satıştan 10 TL, ikinc
kazanma oranı d ?
Çözüm:
Buna karar verebilmek için her iki kazanılan parayı yüzde olarak ifade edelim. Bunun için orantı kuralım:
250 TL den 10 TL kazanılırsa, 100 TL den a TL
kazansın. O halde,
250 den 10 TL ise
100 den a TL olur.
Doğru orantı
250a 1000
a 4 tür.
250 a 100 10
Bu işlem, a 10 100
250 10 a a 4100 250
şeklinde de yapılabilir.
150 TL den 9 TL kazanırsa, 100 TL den k TL kazansın
150 den 9 ise
100 den k olsun
Doğru orantı
150 k 100 9
100 9k
150
k 6 dır.
1
Bu lem, y 9 1
150 9 ise y 6100 150
00
pılabilir.
iş şek-
linde de ya
7
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
Birinci kazanma oranı %4 iken ikinci kazanma oranı %6
www.
filo
zof.
com
.tr
dır. Buna göre, 1. pazarlamacının ka-zanma oranı daha azdır.
Kazanma oranı aşağıdaki gibi de bulunabilir.
1. pazarlamacı için, 10 1 1 4 4
%4250 25 25 4 100
tür.
2. pazarlamacı için,
9 3 3 2 6
%6 dır.150 50 50 2 100
ÖRNEK SORU
x sayısı y sayısının %60 dır.
una göre, B x 3y
4x y
oranı kaçt
A)
ır?
18
5 B) 3 C)
18
7 D)
18
11 E) 4
Çözüm:
6 0x y
10 05x 3y
x 3x 3k ve y 5k alınabilir.
y 5
x 3y4x y
denkleminde x ve y yi yazarsak
x 3y 3k 3 5k
4x y 4 3k 5k
3k 15k
12k 5k
18k
7 k
ÖRNEK SORU
Bir öğrenci, elindeki kitabın önce %10 unu, daha sonra da kalan sayfaların %30 unu okumuştur.
una göre, kitabın toplam yüzde kaçını oku-muştur?
A) 27 B) 32 C) 37 D) 41 E) 46
Çözüm:
Kitap 100 sayfalık olsun. Öğrenci, önce %10 unu yani 10 sayfasını okumuş ve geriye
0 90 sa a kalmıştır.
Daha sonra kalan sayfaların %30 unu yani
B
100 1 yf
3090 27
100 sayfasını okumuştur.
Toplamda 10 + 27 37 sayfasını okum
Kitap 100 sayfa olup toplamda 37 sayfasını okuduğu için, kitabın %37 sini okumuştur.
(Cevap C)
uştur.
ÖRNEK SORU
Bir sınıftaki öğrencilerin %40 ı erkektir. Kız öğre ilerinin sayısı 48 olduğuna göre, sınıf
çtır? nc
mevcudu ka
60
%60 kız olur.
Sınıf mevcudu x olsun
A) 60 B) 70 C) 80 D) 120 E) 1
Çözüm:
%40 erkek ise
18olur.
7
(Cevap C)
60x 48 (kız öğrencilerin sayısı)
100
6x 48
10
x 80
(Cevap C)
8
Problemler
www.
filo
zof.
com
.tr
KÂR – ZARAR PROBLEMLERİ
Alış Fiyatı (Maliyet) A
elim.
atış Alış + Kâr)
ş Alış Zarar) ile hesaplanır.
Satış Fiyatı S
Kâr K
Zarar Z ile göster
Satış fiyatı, alış fiyatına kâr eklenerek veya alış fiyatından zarar çıkarılarak bulunur. Yani;
S A + K, (S
S A Z, (Satı
UYARI
Kâr-zarar problemlerinde, kâr veya zarar daima alış fiyatı (maliyet) üzerinden hesapl ır.
an
ÖRNEK
mağazacı bir gömleği 5 TL den aldı. 1 T Bir L kâr sattı.
TL lik kârını 5 TL (alış fiyatı) de etti. Bu mağazacının kâr oranı
bıraktı ve 5 + 1 6 TL ye
Bu mağazacı 1 üzerinden el
5 TL de 1 TL ise
Doğru orantı
100 TL de x TL dir.
x 20 olur.
5 x 100 1
Kâr oranı %20 dir.
UYARI
Kâr-zarar problemlerinde indirim veya zam he-saplanırken daima satış (etiket) fiyatı üzerinden
planır.
hesa
ÖRNEK SORU
Kampanya yapan bir satış yeri, fiyatlarda %3 0 indirim yapıyor. İlk ay satışın az olduğu görülün-ce ikinci ay indirimli fiyatlar üzerinden %20 indi-rim daha yapılıyor.
Buna göre, satış yeri s ibinin yaptığı tüm indirim yüzde kaçtır?
B) 50 C) 45 D) 44 E) 25
Kampanya yapılmadan önce bir malın etiket fiyatı 100 TL olsun. 100 TL den ilk ay %30 indi-rim yapılırsa indirim 30 TL olur. Bu durumda ma-
ah
A) 51
Çözüm:
lın fiyatı 70 TL olur.
70 TL den %20 indirim yapılırsa indirim
20
70 14 TL100
olur.
Toplam indirim 100 TL de 30 + 14 44 TL dir.
Buna göre, satış yeri sahibinin yaptığı tüm indi-rim %44 tür.
(Cevap D)
ÖRNEK
Bir pantolon %25 kârla 60 TL ye satılıyor. Bu
aliyeti (alış fiyatı) A TL olsun.
pantolon %15 zararına kaç TL ye satılmalıdır?
Çözüm:
I. Yol:
Pantolonun m Bu pantolon %25 kârla 60 TL ye satılıyor ise,
100 25A 60
100
125
A 60100
100
60A
125
A 48 dir.
Bu pantolon %15 zararına x TL ye satılıyor ise
100 15A
x
100
8548 x
100
x 40,
r Satış
Alış Zarar Satış
%100 %15 %85
x TL
8
II. Yol:
Alış + Kâ
%100 %25 %125
60 TL
%125 60 TL ise
Doğru orantı
%85 x TL dir.125 x 60 85
60 85x
125
x 40,8 di r.
9
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
ww
w.fi
loz
ÖRNEK SORU
of.c
om.t
r
Bir bakkal bir malı %50 kârla satarken satış fiyatı üzerinden %20 indirim yapıyor.
Buna göre, bu bakkal bu maldan % kaç kâr
) 30 D) 40 E) 50
00 TL olsun. %50 kârla satış L nin üzerinden %20 indi-
etmiştir?
A) 10 B) 20 C
Çözüm:
Bu malın maliyeti 1fiyatı 150 TL dir. 150 T
rim 15 0 2 0
100 30 TL dir.
150 30 120 TL yeni satış fiyatımız ır.
Bakkal bu maldan %20 kâr etmiştir.
(Cevap B)
d
ÖRNEK SORU
Bir malın 1
3 ü %50 kârla, kalanı ise %10 zararla
satıl
Buna i
ıyor.
göre, bu satıştak kâr - zarar durumu
)%20 zarar
D) %20 kâr E) %30 zarar
Çözüm:
3 tane malımız olsun bunların her birinin maliyet100 TL olsun. Toplam maliyetimiz 300 TL
aşağıdakilerden hangisidir?
A) %10 zarar B) %10 kâr C
i
100 150 90 1001 2 150 180 330
100 100
mizdeki toplam para)
(eli-
300 30 kâr
100 x
doğru orantı
x 10 %10 kâr
ÖRNEK SORU
Bir tüccar aldığı iki maldan birisinin maliyeti diğerinin üç katıdır. Tüccar maliyeti yüksek olan malı %20
ın
zararla ve maliyeti düşük olan malı
ği zarar % kaçtır?
2 4 E) 5
%50 kârla satıyor.
Buna göre, tüccarın bu satıştan etti
A) 1 B) C) 2,5 D)
Çözüm:
Maliyeti yüksek Maliyeti düşük
300 TL 100 TL
240 TL 150 TL
%20 zararla %50 kârla
ir. (Satış sonrası elimizdeki para)
240 + 150 390 TL d
400 TL 10 TL zarar
100 x
doğru orantı
x 2,5 %2,5 zarar
(Cevap C)
ÖRNEK SORU
Bir satıcı bifiyatı üzerin
r malı %40 zararla satarken satış den %80 artış yaparak ürünü
216 TL’ye satıyor.
Buna göre, bu malın maliyeti kaç TL dir?
A) 150 B) 180 C) 200 D) 210 E) 240
ti 100x olsun.
100x %40 zararla satışı 60x dir.
60x %80 artış yapılırsa 108x olur.
Çözüm:
Maliye
100 80 180
60 x 60 x 108 x tir.100 100
2
Maliyet 200 TL dir.
(Cevap C)
108x 216, x
(Cevap B)
10
Problemler
www.
filo
zof.
com
.tr
FAİZ PROBLEMLERİ
Faiz problemlerini yüzde problemi çözüyormuş gibi aynı mantıkla çözebiliriz. Çünkü faiz oranları da yüzde üzerinden veriliyor. Örneğin; “yıllık faiz
oranı %40 tır” gibi…
ÖRNEK
500 TL yıllık %40 yatırılıyor.
faiz oranı üzerinden bankaya
kaç TL faiz getireceğini bulalım.
faiz oranı üzerinden bankaya onunda kazanılacak faiz:
Bu paranın,
a) 3 yıl sonunda
b) 4 ay sonunda
Çözüm:
500 TL yıllık %40 yatırılırsa; bir yılın s
40500 200 TL dir.
100
a) Üç yıl :
ın sonunda kazanılacak faiz
600 TL dir. 3 200
b) 4 ay sonunda kazanılacak faiz:
1 yılda (12 ayda) 200 TL ise,
1 ayda 200
TL12
4 ayda 200 200
4 TL ol12 3
ur.
en faiz miktarı,
apital),
%)
aranın faizde kalma süresi
a süresi
ak anaparanın faizde kalma süresi
Kural:
F: Elde edil
A: Anapara (K
n: Yıllık faiz fiyatı (
t1: Yıl olarak anap
t2: Ay olarak anaparanın faizde kalm
t3: Gün olarolmak üzere,
1n
F A t olur. (Yıllık faiz) 100
2A n tF olur.
1200 (Aylık faiz)
3A n tF olur.
(Günlük faiz)
36000
ÖRNEK SORU
4000 TL yıll ankık %15 faiz oranı ile b aya yatırılı-yor.
sonra para, faizi ile beraber 4500 TL
8 D) 10 E) 11
fa-
Kaç ay olarak çekilir?
A) 4 B) 6 C)
Çözüm:
Para 4000 TL yatırılmış ve 4500 TL olarak çe-kilmiştir. Aradaki fark, 4500 4000 500 TLizdir.
n tF A
100
12
15 t4000
100 12
40
500
5010 100 3 5 t
100
3 4
50
0 10 5 t
500 50 t
10 t dir.
(Cevap D)
ÖRNEK SORU
Deniz, yıllık %25 faiz oranı üzerinden bankaya bir miktar para yatırıyor.
Buna göre, kaç yıl sonra yatırılan bu para kendisinin 4 katı kadar faiz getirir?
A) 32 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4
Yatırılan para x TL olsun.
Çözüm:
A n tF
100
kurabiliriz.
formülü yardımıyla şöyle bir denklem
x 25 t t4x 4
100 4
t 16 yıl olarak bulunur.
(Cevap B)
11
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
ÖRNEK SORU
www.
filo
zof.
com
.tr
4000 TL nin yıllık %40 dan 3 yılda getirdiği faiz X TL ve X TL nin yıllık %30 dan 2 yılda
getirdiği faiz Y TL olduğuna göre, X + Y top-lamı kaç TL dir?
A) 2880 B) 3000 C) 4800
D) 6680 E) 7680
Çözüm:
A n t
F
f100
ormülü yardımıyla
4000 40 3
X 40 40 3 4800 TL0
bulunur.
X 4800 T
10
L nin yıllık %30 dan 2 yılda getirdiği faiz ise,
4800 30 2Y 48 3
100
2880 TL dir.
0 2
Y 2880 TL bulunur.
X + Y 4800 + 2880 7680 TL dir.
(Cevap E)
ÖRNEK SORU
800 TL’nin bir kısm ı A bankasına yıllık %20 den eri kala k %10 ğına r yıl - 14 ıştır.
A bankasına yatırılan para kaç TL dir?
A) 200 B) 400 C) 500
D) 600 E) 750
ına yatırılan miktar x TL olsun.
B Bankasına yatırılan miktar ise 800 x TL dir.
1 yıllığına, g nı da yıllı dan B ban-kasına 1 yıllı yatırılıyor. Bi sonra her ikisinden toplam 0 TL faiz alınm
Buna göre,
Çözüm:
A Bankas
x 20 1 (800 x) 10 1140
100 100
2x 800 x140
10 10
ÖRNEK SORU
Bir bankaya, yıllık %60’tan beş yıllığı na yatırılan
r.
, alına apara
60 C) 80 D) 100 E) 120
n
para beş yıl sonunda faizi ile birlikte 160 TL ol-muştu
Buna göre n faiz an dan kaç TL fazladır?
A) 40 B)
Çözüm:
Yatırılan para x TL ve 5 yıl sonunda elde edilefaiz F olsun.
x F 160 TL dir.
x 60 5F F
100
3x
x + F 160 denklemin e F 3x yazarsak,
x + 3x 160
4x 160
x 40 TL dir.
F 120 TL dir.
F x 120 40 80 olur.
Faiz anaparadan 80 TL fazladır.
d
(Cevap C)
ÖRNEK SORU
Faiz oranı yıllık %30 olan bir bankaya yatırılan
r.
Buna göre, bank a yatırılan para kaç TL’dir?
A) 1500 B) 1350 C) 1200
ırılan para x TL olsun.
bir miktar paranın, 12 gün sonunda faizi 15 TL olarak çekiliyo
ay
D) 1050 E) 150
Çözüm:
Bankaya yat
800 x 2x 1400
x 800 1400
x 600 TL dir.
(Cevap D)
x 3 015
123600 0
A n tF günlük faiz
36000
36 x
15
3600
x 1500 TL dir.
(Cevap A)
12
Problemler
www.
filo
zof.
com
.tr
KARIŞIM PROBLEMLERİ
Kural:
Ağırlıkça tuz oranı %x olan A gramlık bir karı-
şımdaki tuz miktarı x
A dır.100
Bir tuzlu su karı şımındaki tuz oranı %x ise, su
Karışıma giren madde miktarlarının toplamı son add şittir
oranı %(100 x) tir.
karışımdaki m e miktarına e .
Saf M
Karışım Ora .O) adde Miktarı
nı (KTüm Madde Miktarı
Saf madde; tuz, şeker, alkol vb…
Tüm madde; karışıma katılan tüm maddelerin top-lamı
ÖRNEK
Tuz o karışı-mında .
ranı %40 olan 70 gramlık tuz-suki tuz ve su miktarlarını bulunuz
Çözüm:
Tuz oranı %40 olan 70 gramlık karışımda,
40 70 4070 2 v
8 gram tuz ar dır.100 100
90 28 42 gram su vardır.
ÖRNEK SORU
Alkol oranı %40 olan 50 litre alkol - su karışı-
50
Çözüm:
I. Yol
itrelik karışımdaki alkol miktarı,
mına 10 litre alkol karıştırılırsa, karışımın al-kol oranı yüzde kaç olur?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E)
Alkol oranı %40 olan 50 l
40
50 20 litredir.100
20 litre alkol olan 50 litrelik karışıma 10 litre alkol katılırsa, oluşan 50 + 10 60 litrelik karışımın 20 + 10 30 litresi alkol olur.
En son karışımın alkol oranı %a olsun.
60 litrenin 30 litresi alkol ise, 100 litrenin a litresi alkoldür. Bu orantı aşağıda gösterilmiştir.
Doğru orant
60 de 30 ise
100 de a dir.
ı
60a 100 30
100 30a
60
a 50 dir.
II. Yol
alkol oranı %100 dür.
karışımın alkol oranı %a olsun.
10 litre alkolün
En son
Verilenlere göre, alkol miktarlarının eşit olduğunu kullanırsak;
40 100 a50 10 (50 10)
100 100 100
50 40 10 100 (50 10) a
2000 1000 60 a
3000 60 a
50 a dır.
Kural:
Tuz (saf madde) oranı %a olan K gram tuz - su karışımı ile tuz (saf madde) oranı %b olan N gram tuz - su karışımı karıştırılıyor. Oluşan karışımın oranı %x ise, bu denklemi kuralım.
(Cevap E)
%a %b %x
N) gramK gram N gram (K +
+
a K b N x (K N) olur.
13
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
ww
w.fi
loz
f.co
m.t
r o
Eğer karışıma tuz (saf madde) eklenirse, ekle-nen maddeni
n (saf madde) tuz oranı %100 olur.
Eğer karışıma su eklenirse, suyun tuz oranı %0 olur.
Eğer karışımdan su buharlaştırılırsa, değişen sadece su miktarı olur, tuz (saf madde) miktarı değişmez. Toplam madde miktarı da azalır.
Karışıma A gram tuz (saf madde) eklenirse,
Karışım Oranı Saf Madde Miktarı + A
A
Tüm Madde Miktarı +
(Tuz Oranı)
(Su, sadece tüm madde miktarına eklenir.)
ÖRNEK SORU
30 litrelik alkol - su karışımının alkol oranını %25’ten %40 a çıkarmak için, karışımdan kaç litre su buharlaştırılmalıdır?
A) 18
5 B)
24
5 C)
41
4
D) 45
4 E) 15
Çözüm:
Kuralı uygularsak:
%25 Alkol - su
30 litre x litre
%40 %0
Su Alkol - su
(30 x) litr
Su buharlaştırıldığı için () yaptık, çıkardık.
e
30 25 x 0 (30 x) 40
30 25 (30 x) 40
Her iki tarafı 10 a bölersek
30 25 (30 x) 40
10 10
3 25 (30 x) 4
75 30 4 4 x
75 120 4x
4x 120 75
45x litre olur.
(Cevap D)
4
ÖRNEK SORU
Kilogramı 20 TL olan ceviz ile kilogramı 15 TL olan üzümden 400 gramlık bir karışım alınarak 7,5 TL ödenmiştir.
Buna göre, alınan karışımda kaç gram ce iz
350 B) 300 C) 270
D) 200 E) 150
Çözüm:
Ceviz
vvardır?
A)
Üzüm
x gr 400 x gr
x 20 (400 x) 157,5
1000 1000
1 kg 1000 gr 1000 gr 20 TL ise
201 gr TL
1000
20 xx gr TL dir.
1000
1 kg 1000 gr 1000 gr 15 TL ise
151 gr TL
1000
15 (400 x)(400 x) gr TL dir.
1000
7,51000 1000
20x 6000 15x 7500
5
x 20 (400 x) 15
x 1500
(Cevap B)
x 300 gr Ceviz
ÖRNEK SORU
Şeker oranı %20 olan 80 gramlık homojen şe-kerli su karışımının %50’si dökülüyor. Dökülen miktar kadar şeker ilave ediliyor.
Buna göre, son durumda karışımın su oranyüzde kaçtır?
A) 70 B) 60 C) 50 D) 45 E) 40
ı
14
Problemler
www.
filo
zf.
com
.tr
Çözüm:
Bu sorunun şekil olarak gösterimi:
o
%20 80 gr
Şeker-su
- %20 40 gr
Şeker-su
+ %100 40 gr
Şeker
= %x 80 gr
Son durumŞeker-su
her tarafı 10 a bölersek
%60 şeker
%40 su
20 80 20 40 100 40 x 80
2 80 2 40 10 40 8 x
160 80 400 8x
480 8x
x 60 bulunur.
(Cevap E)
ÖRNEK SORU
%40 ı su olan k litrelik bir karışıma 30 litre daha su ilave ediliyor.
Elde edilen karışımın %60 ı su olduğuna göre k kaçtır?
60 D) 65 E) 70
Çözüm:
Su miktarını göz önünde bulundurarak denklemi yazalım.
A) 45 B) 50 C)
Su miktarı
40 100 60k 30
100 (k 30)
100 100
Su miktarı
(Cevap C)
k 40 30 100 (k 30) 60
40k 3000 60k 1800
1200 20k
60 k bulunur.
ÖRNEK SORU
%30 u alkol olan 80 litrelik alkol-su karışımına 10 litre alkol ve 20 litre su katılırsa yeni karı-
ışımın alkol oran yüzde kaç olur?
A) 340
11 B)
240
11 C)
200
11
D) 160
E) 140
11
11
Çözüm:
tarını göz önünde bulundurarak denk-Alkol miklemi yazalım.
Alkol miktarı
3080
100 0 x10 20 (80 10 20)
100 100 100 100
Alkol miktarı
80 30 10 100 20 0 (80 10 20) x
2400 1000 0 110x
3400 110x
34
0x bulunur.
11
(Cevap A)
15
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
YAŞ PROBLEMLERİ
Yaş problemlerinin temel mantığı, yıllar geçtikçe her insanın yaşının geçen yıllar kadar artacağı veya önceki yıllarda aynı yıl kadar eksik olacağıdır. Buyüzden iki kişinin yaşları farkı daima sabit kalacaktır.
www.
filo
zof.
com
.tr
Bu kurallar göz önünde bulundurularak verilen prob-leme uygun denklemler yazılır.
Yaş problemlerinin çözümünde aşağıdaki bilgileri kullanırız.
Bir kişinin bugünkü yaşı x ise,
t yıl sonraki yaşı, x + t ve
t yıl önceki yaşı, x t dir.
n tane kişinin yaşları toplamı T ise,
t yıl sonra yaşları topla ı
t yıl önceki yaşları toplamı
İki kişinin yaşlarının fa ı yıllara göre değişmez. Bu durumda, iki kişinin yaşlarının farkı daima sabittir.
İki kişinin yaşlarının or ı yıllara göre değişir. Bu durumda, iki kişinin y larının oranı sabit değil-dir. Yaşları oranı sabit ise bu iki kişinin yaşları birbirine eşittir.
-
m , T n t ve
, T n t dir.
rk
anaş
ÖRNEK
Ali, Veli ve Kemal’in bugünkü yaşları toplamı 57 dir.
Buna göre, bu üç kişinin 4 yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bugünkü yaşları toplamı 57 olan Ali, Veli ve Kemal’den her birinin 4 yıl sonraki yaşı 4 arta-caktır.
y Buna göre, bu üç kişinin 4toplamı,
ıl sonraki yaşları
olur.
57 4 4 4 57 3 4 57 12 69
ÖRNEK
Özgül’ün yaşı, Özgür’ün yaşının 3 katından 3
?
üm:
Verilere göre tablo yapalım:
4 yıl önceki yaşı
Şimdiki yaşı 5 yıl sonraki yaşı
fazladır.
4 yıl önce Özgül ile Özgür’ün yaşları toplamı 27 olduğuna göre, 5 yıl sonra Özgül kaç ya-şında olacaktır
Çöz
Özgül (3x + 3) 4 3x + 3 (3x + 3) + 5
Özgür x 4 x x + 5
yaşı x olsun. Özgül’ün yaşı ının 3 katından 3 fazla olduğundan, ) yaşındadır.
4 + x 4 olur.
+ x 4 27
4x 5 27
4x 32
x 8 olur.
yıl sonra Özgül 3x + 3 + 5 3x + 8
3 . 8 + 8
24 + 8 32 olur.
Özgür’ün şimdikiÖzgür’ün yaşÖzgül (3x + 3
Tablodan 4 yıl önceki yaşlarını toplarsak, toplam
(3x + 3)
Toplam 27 verildiğine göre,
3x + 3 4
5
ÖRNEK SORU
aşları toplamı 45 tir.
Didem, -la 9 yaşıy
A B C) 27 D) 32
Didem’in yaşı 45
yla Didem
Leyla ile Didem’in bugünkü y
Leyla’nın bunda olduğuna
günkü yaşın göre, Ley
dayken, Leyla bugün kaç
aşındadır?
) 18 ) 25 E) 34
Çözüm:
Leyla’nın yaşı x olsun. Leyla ile Didem’in yaşla-rı toplamı 45 olduğuna göre,x olacaktır. Buna göre,
Le
Bugünkü yaşı x 45 x
t yıl önceki yaşı 9 x
Bu iki kişinin yaşları farkı daima sabit olduğu için,
(Cevap A )
2x x 9 45
x (45 x) 9 x
x 45 x 9 x
3x 54
x 18
16
Problemler
ÖRNEK SORU
www.
filo
zof.
com
.tr
Bir baba 29 yaş dadır ve iki çocuğunun yaşları
ıntoplamı 7 dir.
Buna göre, kaç yıl sonra babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 2 katına eşit olur?
A) 2 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10
Çözüm:
Baba Ç1 + Ç2
29 7
x yıl sonra 29 + x 7 + 2x
2 (7 + 2x)
2
5 yıl sonra babanın yaşı iki çocuğun yaşları toplamının 2 katı olacaktır.
(Cevap B)
9 + x 2
9 + x 14 + 4x
15 3x
x 5
ÖRNEK SORU
Zehra ile Selçuk’un yaşları toplamı 63’tür. Zehra Selçuk’un yaşına geldiğinde Selçuk 42 yaşında olacaktır.
Buna göre , Zehra’nın şimdiki yaşı kaçtır?
C) D) E)
35 40 47 A) 28 B) 30
Çözüm:
Zehra Selçuk
42 63 x
x 63 x olsun
aman sabit olacağından
42 (63 x)
21 + x
ın yaşı
yaşları farkı her z
(63 x) x
63 2x
3x 84
x 28 Zehra’n
(Cevap A)
ÖRNEK SORU
Sema ile Sare’nin yaşları toplamı 58’dir. Se-ma’nın yaşı Sare’nin yaşının iki katından 29 eksik olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
le Sare’nin yaşları aynıdır.
A) Sema ile Sare ikizdir.
B) Sare Sema’dan üç yaş büyüktür.
C) Sema i
D) Sare doğduğunda Sema iki yaşında idi.
E) Sare, Sema’dan 4 yaş büyüktür.
Çözüm:
Sema Sare
2x 29 x
Sema + Sare 58
2x 29 + x 58
3x 87
x 29
Sema
Sare
29 29
(Cevap C)
ÖRNEK SORU
Said 1960 yılında doğmuştur. Said Ebrar’dan 6 yaş büyüktür, Zeynep’ten
de 12 yaş küçüktür.
nep’in doğum yılları inde doğru olarak ve-
Buna göre, Ebrar ile Zeyaşağıdakilerden hangisrilmiştir?
Ebrar Zeynep
A) 1966 1958
B) 1954 1972
C) 1944 1976
D) 1966 1948
E) 1948 1966
Çözüm:
Said Ebrar
1966 1960
x + 6 x
Zeynep
1948
x + 18
(Cevap D)
17
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
HAREKET PROBLEMLERİ
Hız ve hareket problemlerinde birbiriyle alakalı üç temel unsur vardır.
Bunlar;
2.
Hayol an hız ile yol doğru orantılı değişken-
Hız abit ir yolu tmek için gereken zam ağ an hı aman ters orantılı değ .
şke arasın kiyi veren formül;
1. Hareketlinin hızı (v)
Hareketlinin aldığı yol (x)
www.
filo
zof.
com
.tr
3. Hareket süresince geçen zaman (t)
reketlinin hızı arttıkça sabit bir zamanda, alınan artacağınd
lerdir.
arttıkça s b kat ean azalac ınd z ile zişkenlerdir
Bu üç deği n daki iliş
YoHız , şeklinde
l xv
n t dir.
Problemde istenenlere göre formül,
Zama
Yol Hız Zaman, x v t veya
Yol xZaman , t şeklinde de kullanılabilir.
Hız v
UYARI
rmülleri üçgen çizerek kolayca aklımBu fo ızda tu-tabiliriz.
x
v t
nur. Örneğin; x isteniyorsa, x
kapatılır ve v ile t yan yana
olduğu için çarpılır.
n ifade kapatılarak,
alanlar çarpılarak veya
n ifade bulu-
İstenile
geriye k
bölünerek istenile
ÖRNEK
Bir hareketli, A kentinden B kentine saatte 80 km hızla 7 saatte varıyor.
Buna göre, A kenti ile B kenti arasındaki zaklık kaç km dir?
Çözüm:
I. Yol:
İstenen, yol (x) ? km olmak üzere,
u
Verilenlere göre, hız (v) 80 km/saat, süre (t) 7 saattir.
x v t 80 7 560 km dir.
II. Yol:
x
v t
Yolu (x) bulmak istiyoruz. x i
kapatırsak; v ile t yan yana
olduğu için çarparız.
x v t 80 7 560 km olur.
ÖRNEK
480 km lik bir yolu 10 saatte alan bir aracın hızı saatte kaç km dir?
Çözüm:
x zaman (t) alt alta olduğu için
bu i
v t
patalım. Yol (x) ve
fadeleri böleriz. Yani;
Hızı (v) ka
xv olu
t r.
x 480 km, t 10 saat ise,
480V 48 km / sa olur.
10
ÖRNEK
ızını 20 km azaltara Bir tren saatteki h k 240 km lik yolu 2 saat daha geç bir zamanda gidiyor.
Trenin ilk hızı kaç km/saat tir?
Çözüm:
YolHız
Zaman
xYani, v dir.
t
x 240 olduğundan 240
v dir. () t
, hız 20 km azalınca zaman 2 saat artıyor.
Aynı şekilde
18
Problemler
www.
filo
zf.
com
.tr
o
240v 20
t 2 (
() ve () dak
)
i denklemleri eşitlersek;
240 240 240 240v 20
t t 2 t t 2
20
(t 2) (t)
1 1240 20
t t 2
1 1 20
t t 2 240
t 2 t 1
t (t 2) 12
2 1
t (t 2) 12
t (t 2) 2 12
t (t 2) 2 4
t (t 2) 4 6
t 4 olur.
renin ilk hızıT , 240 240
v 60 km / st 4
aat tir.
Kural:
v1 v2 x
A B
arala-
rında x km bul alarından aynı anda rbirlerine doğru hareket ettiklerinde k rşılaşma
süresi t saat olsun. Bu iki araç arasındaki yolun uzunluğunun, hızlar toplamına oranı t’ye eşittir. Buna göre,
Saatteki hızları 1 2v km ve v km olan iki araç
unan A ve B noktbi a
1 2 1 2
AB xt d
v v v v
ir.
ÖRNEK SORU
Aralarında 600 km uzaklık bulunan iki hareketli-den birinin hızı 80 km/sa, diğerinin hızı 70 km/sa dır.
Bu iki hareketli aynı anda birbirine doğru hareket ettikten kaç saat sonra karşılaşırlar?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Çözüm:
l. Yol:
A B
600 km
M
v1 70 km/saat v2 80 km/saat
sonra ka
Bu verilere göre,
Hareketliler t saat rşılaşsınlar. Bu du-rumda karşılaşma gerçekleştiğinde iki aracın git-tiği toplam yol 600 km dir.
Hızı 70 km/saat olan aracın gittiği yol, 70 t dir.
Hızı 80 km/saat olan aracın gittiği yol, 80 t dir.
70 t 80 t 600
150 t 600
t 4 bulunur.
ll. Yol:
Yukarıdaki kurala göre yapalım.
1 2
1 2 1 2
x 600, v 80 km / sa, v 70 km / sa ise,
AB x 600 600t 4 saat
v v v v 80 70 150
(Cevap C)
Kural:
A
Çevre x
v1 v2 Saatteki hızları v
olan iki araç çevre unl
km olan daires zı
(birbirlerine do
lerinde karşıla
olsun. Çemb
hızlar toplamın t
1v km
uz
el pistte
ğru) harek
şma süresi t s
erin çevres
anı
e 2v km
uğu x
t yönde
et ettik-
aat
inin,
ye eşit-a or
tir. Yani, 1 2
Çevre (x)t dir.
v v
ÖRNEK SORU
Çevresi 3600 metre olan dairesel bir pistte aynı aynı anda ve zıt yönde harekete baş-
ki hareketlinin hızları sırasıyla; 34
Hareketliler kaç dakika sonra karşılaşırlar?
A) 41 B) 43 C) 45 D) 47 E) 48
noktadan,layan im/dakika ve 46 m/dakika dır.
19
Problemler
???
YC
ILIK
A
YIN
www.
filo
zf.
com
.tr
o
Çözüm:
Yol: I.
A
x1 Ç
x2
3600 m
B
v1 34 m/da v2 46 m/da Aynı anda A noktasın-
dan hareket
reketliler (hızları v1 34 m/dakika ve v2 46
m/dakika olan hareket-
ıyla 2
Buna göre,
t dir. (
t dir. (
() deki denklem ile () deki denklem taraf ta-rafa toplanırsa,
II. Yol:
Yukarıdaki kural ygulayalım.
liler sıras x
eden ha-
1 ve x
yollarını aldıktan sonra)
B noktasında t dakika
sonra karşılaşsınlar.
)
)
1x 34
2x 46
1 2x x 80 t
3600 80 t
t 45 olur.
ı u
Çevresi 3600 m olan çembersel bir pistin bir A noktasından, aynı anda ve zıt yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları 34 m/dakika, 46 m/dakika ise karşılaşma süresi,
1 2v v 34 46 80
Çevre(x) 3600 3600t 45 dakikadır.
(Cevap C)
Kural:
v1 km/saat v2 km/saat
A C B
v1 > v2
Saatteki hızları v1 km ve v2
rında x km bulunan A ve B n a et ettiklerinde arkadaki aracın
üresi t saat olsun. Bu iki racın aralar n uzunluğunun hızlar farkına
ranı t ye eşit re,
km olan iki araç arala-oktalarından aynı and
aynı yönde hareköndeki aracı yakalama sa ındaki yolu
o tir. Buna gö 1 2
ÖRNEK SORU
A ve Bhareket ede
noktalarından aynı anda ve aynı yönde n iki aracın saatteki hızları sırasıyla
55 ve 45 km’dir.
AB 90 km
olduğuna göre, A’dan hareket eden aracın B’den hareket eden aracı ya
kalama süresi
kaç saattir?
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10
Çözüm:
l. Yol:
55 km/sa
A C B
15 km/sa
Hareketliler harekete geçtikten t saat sonra C’ye gelmiş olsunlar (A aracı B aracını C de yakala-dı).
ABt dir.
v v
AC 55 t dir. ()
BC 45 t dir. ()
AB 90 km ise
AB AC BC
90 55 t 45 t
90 10 t
t 9 olur.
ll. Yol:
Kurala göre yapalım.
1 2v v 55 45 10
AB 90 90t 9 bulunur.
(Cevap D)
Kural:
A
v1
v2
Çevre
Saatteki hızları 1v km ve 2v km
x
v1 > v2
olan iki araç çevre unl
km olan dair t
d ö t
rinde hızlı ol ı
olan aracı ya
saat olsun. Çe çevr
hızlar farkı ye
Yani,
uz
esel pist
an arac
kalama
mberin
na oranı t
uğu x
e aynı
n yavaş
süresi t
esinin
eşittir.
an a aynı y ne hareke ettikle-
1 2
e (x)t d
v v
Çevr
ir.
20
Problemler
wilo
zof.
com
.tr
ww.f
ÖRNEK
Çevr esi 1470 m olan dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı ve aynı yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları sırasıyla 26 m/dakika ve 12 a dır.
Hızı fazla olan hareketli kaç dakika sonra diğerine ilk kez yetişir?
Çözüm:
Yukarıdaki kurala re yapalım.
anda
m/dakik
gö
1 21 2
Çevre (x)t , (v
v v
v )
oldu- 1v 26 2m / da, v 12 m / da, x 1470 m
ğuna göre,
1470 1470
t 105 dakika 26 12 14
(Dikkat edilirse hızlı olan 2. turunuyavaş olan 1. turunu atmaktadır. Yani hızlı olan 1 tur fazla atmıştır.)
Kural:
atmakta,
A B
vy Nehir
Nehirde A noktasından B noktasına gitmek isteyen bir yüzücü için;
AB x , Nehrin akış hızı: vA, Yüzücünün hızı: vY
ve AB yolunu alma süresi t olsun.
Nehirin akış yönünde giderse;
AB (Nehrin hızı + Yüzücünün hızı) x Zaman
nünün zıddı yönde giderse;
n y 1x (v v ) t formülü bulunur.
Nehirin akış yö
AB Yüzücünün hızı Nehrin hızı x Zaman
y nx v v t formülü bulunur.
ise y nv v AB yoluna ulaşır.
bulunduğu yerde sabit kalır.
ise akıntıda sürüklenir.
y nv v ise
y nv v
ÖRNEK
Bir yüzücü, köprüd en ırmağa atlayıp, K nokta-sından L noktasına doğru akıntıya karşı 12 daki-ka yüzerek 360 metre ilerliyor. Sonra geriye dö-nüp, yere göre hızını değiştirmeden 5 dakikada atladığı K noktasına ulaşıyor.
öre, yüzücünün yere göre hızı kaç m/da dır?
Çözüm:
Yüzücünün yere göre hızı vy metre/dakika ve akıntının yere göre hızı va metre/dakika olsun.
Yüzücü, giderken akıntıyı karşısına, dö üşte ise
yere göre gidiş hızı (vy va) met-re/da
Y ızı (vy + va) met-re/dakika olur.
olu gidiş süresine böld
Buna göre,
Buna g
narkasına aldığı için,
Yüzücünün kika
üzücünün yere göre dönüş h
Gidilen yolun uzunluğunun o yüğümüzde gidiş hızını buluruz.
y a360
v v12
v 30 dur. (1) y av
y a36
0
v v5
(1) deki d emi taraf tarafa toplanırsa,
(2) y av v 72 dir.
enklem ile (2) deki denkl
y a
y a
y
y
y
v v 72
2v 30 72
2v 102
v 51 olur.
v v 30
21
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ
www.
filo
zof.
com
.tr
A. İŞÇİ PROBLEMLERİ
konudaki işçi problemleri orantı konBu usundaki işçi rklı olup “birlikte iş yapma prob-
lemleri” dir.
ki işçinin bir işi b tirme süresini bulma” problemi ile ğun bir havuzu doldurma süresini bulma”
roblemi aynı matem emele dayanmaktadır.
irlikte iş yapma problemlerinde aşağıdaki bilgiler kullanılarak çözüme gidilir.
Bir işi;
Ali tek başına a s ,
irlikte işin tamamını t saatte bitirsin-ler. Buna göre,
Ali 1 saatte işin
problemlerinden fa
“İ i“iki muslup atik t
B
aatte
Veli tek başına b saatte bitirsin.
Ali ile Veli b
1
a kadarını bitirir.
saatte işinVeli 1 1
b kadar nı bitirir.
Ali ile Veli birlikte 1 saatte işin
ı
1
t kadarını bitirir-
Ali ile Veli’nin ayrı ayrı 1 saatte yaptıkları iş mik-tarlarının toplamı, birlikte 1 saatte yaptıkları iş miktarına eşittir. Buna göre,
ler.
1 1 1
a b t olur. Bu bağıntı
1 1
t 1a b
biçiminde de ifade edilebilir.
Bu ifade, Ali ile Veli beraber t saat çalışırlarsa işbitirirler şeklinde söylenebilir. Eşitliğin sağındaki 1(bir) i
i
şin bittiğinin göstergesidir.
ÖRNEK
Bir işi tek başına Zehra 8 günde, Elif 6 günde
işin kaçta kaçını yapmış olur?
bitirebiliyor.
İkisi birlikte çalışarak işi tamamladıklarına göre, Elif
Çözüm:
İkisi birlikte bu işi x günde bitirsinler.
(3) (4)
1 1x 1
8 6
3 4x 1
7x 1
24x tür.
7
24
24
Buna göre, Elif 24
x7
gün çalışmıştır.
Elif 6 günde işin tamamını ya ptığına göre,
1 günde i şin 1 24
sını, g24 1 4
ünde6 7 7 6 7
ünü
yapar.
ÖRNEK
Bir işin 4 te 3 ünü Kemal 6 saatte, aynı işin 5 te 2 sini Murat 4 saatte bitirebiliyor. Buna göre,
Kemal ile Murat birlikte bu işin tamamını kaç saatte bitirebilirler?
Çözüm:
Bir işin 4 te 3 ünü (4 parçadan 3 pamal 6 saatte, yapabiliyorsa bu kişi ay
rçasını) Ke-nı koşullar-
da bu işin;
1 parçasını 6 : 3 2 saatte,
4 parçasını (tamamını) ise saatte yapar.
Bir işin 5 te ikisini (5 parçadan 2 parçasını) Murat 4 saatte yapabiliyorsa bu kişi aynı koşullarda işin; 1 parçasını 4 : 2 2 saatte
5 parçasını (tamamını saatte yapar.
Aynı işi ikisi birlikte t saatte bitirsinler. O zaman,
2 4 8
) 5 2 10
(5) (4)
1 1 1
8 10 t
5 4 140 t
40
9 1
t
40t saat olur.
9
22
Problemler
UYARI
A, B ve C işçileri sırasıyla aynı işi x, y, z saatte birlikte ibitirsinler. Üçü
sonra C işçis
www.
filo
zof.
com
.tr
şe başladıktan m saat i işten ayrılıyor. Kalan işi A ve B iş-
çileri n saat daha çalışarak işi bitiriyorlar. Bu problemin denklemini yazalım.
1 1 1 1 1
dir. m n 1x y z x y
ÖRNEK SORU
günde, Bir işi tek başına Canan 6 Gamze 9 gün-de, Sümeyye 18 günde or. Üçü birlikte 2bitirebiliy
Geriye kal işi Canan ile Sümeyye birlikte kaç günde irebilir?
A)
gün çalıştıktan sonra Gamze ayrılıyor.
an bit
3
2 B)
4
3 C)
5
4 D)
6
5 E) 2
Çözüm:
Üçü birlikte 2 gün çalıştıktan sonra Gamze ayrı-lıyor. Kalan işi Canan ile Sümeyye x günde bitir-sinler.
Buna göre, üçü birlikte 2 gün, Canan ile Sümey-ye x gün çalışacaklardır.
(3) (2) (1) (3) (1)6 9 18 6 18
1 1 1 1 11
2 x
6 42 x 1
18 18
12 4x1
18
12 4x 18
4x 6
6 3x dir.
4 2
(Cevap A)
ÖRNEK SORU
Bir kalfa 3 günde 4 tak ım elbise, bir usta ise 4 günde 7 takım elbise dikebiliyor.
kebilirler?
A) 18 B) 20 C) 21 D) 23 E) 24
İkisi birlikte 74 takım elbiseyi kaç günde di-
Çözüm:
I. Yol:
Gün sayılarını eşitleyelim.
Bir kalfa 3 günde 4 takım elbise dikerse
3 4 12 günde 4 4 16 takım elbise diker.
Usta, 4 günde 7 takım elbise diker
se
4 3 12 günde 7 3 21 takım elbise diker.
İkisi birlikte 12 günde 16 + 21 37 takım elbise dikerler.
İkisi birlikte 37 takım elbiseyi 12 günde diktikleri-ne göre, 74 takım elbiseyi günde di-kerler.
II. Yol:
Bir günde yaptıkları işleri bulalım.
Verilenlere göre, kalfa bir günde
12 2 24
4
3 tak
usta ise bir günde
ım elbise,
7
4 takım elbise dikebiliyor. İki-
si birlikte 74 takım elbiseyi x günde diksinler. Buna göre,
(3)(4)
4 7x 74
3 4
16 21 x 712
4
x 74
)
37
12
x 24 olur.
(Cevap E
ÖRNEK
Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanma-ya başladığında, biri 4 saatte, diğeri 7 saatte ta-
nda u
olur?
mamıyla yanarak bitmektedir.
Bu iki mum aynı a yakıldıktan kaç dakikasonra, birinin boy diğerinin boyunun 2 katı
23
Problemler
???
YAYI
NC
ILIK
aynı anda yakıldıktan x saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun iki katı olsun.
1. mumun tamamı 4 saatte yanıyorsa, 1 saatte
www.
filo
zf.
com
.tr
o
Çözüm:
Bu iki mum
1
4 ü ve x saatte de
x
4 ü yanar.
x
4 ü yanan mu-
mun geriye x
14
ü kalır.
2. mumun tamamı 7 saatte yanıyorsa, 1 saatte 1
7 si ve x saatte de
x
7 si yanar.
x
7 si yanan
mumun x
17
si kalır.
Bu iki mum aynı anda yakıldıktan x saat sonra, birinin boyu diğerinin boyunun 2 katı ise,
(7) (2)
2 12 7
5x1
x x1 2 1
7 4
x 2x1 2
7 4
x x1 2
7 2
x x
5
14
14x olur.
14 14
saat 60 14 12
B. H
Havuz problemlerini işçi problemleri gibi düşünerek çöz oşal ukları negatif () olarak işleme dahil ederiz.
Bi aek atte doldursun. C mus-
aşına c saatte boşaltsın.
5 5
168 dakika bulunur.
AVUZ PROBLEMLERİ
eriz. Ancak b tan musl
Kural:
r havuzu A musluğu tek başına saatte, B musluğu t başına b saluğu dolu havuzu tek b
Üç musluk birlikte açıldığında boş havuz t saatte
dolsun. Buna göre, 1 1 1 1
a b c t olur.
ÖRNEK
Boş bir havuzu iki musluktan biri tek başına 6 saatte, diğeri 9 saatte doldurmaktadır.
Buna göre, iki musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
Çözüm:
İki musluk birlikte boş havuzu x saatte doldur-sun. Verilenlere göre,
(3) (2)
1 1 1
6 9 x
5 1
18 x
18x saat bulunur.
5
ÖRNEK SORU
Boş havuzun tamamını tek başına A msaatte, B musluğu 18 saatte doldurmakta
usluğu 9 dır. Ha-
vuzun tabanında bulunan C musluğu dolu havu-zu 27 saatte boşaltmaktadır.
Bu üç musluk birlikte açıldığında boş havuz kaç saatte dolar?
A) 59
7 B
54
7 C)
5
7 D)
48
7) E) 3
Çözüm:
Boş havuz, üç musluk birlikte açıldıktan a saatsonra dolsun. Buna göre,
(2)(6) (3)
1 1 1 1
9 18 27 a
6 3 2 1
(Cevap B)
54 a
7 1
54 a
54a saat
7
ÖRNEK SORU
A musluğunun su akıtma kapasitesi; B musluğu-nun su akıtma kapasitesinin 3 katı ve C muslu-ğunun su akıtma kapasitesinin 4 katıdır. Bir ha-vuzu bu üç musluk birlikte 12 saatte doldurabili-yor.
Buna göre, bu havuzu tek başına B musluğu kaç saatte doldurabilir?
A) 41 B) 45 C) 49 D) 53 E) 57
24
Problemler
25
ÖRNEK
www.
filo
zof.
com
.tr
12k, B 4k, C 3k olur.
, A ak k,
apasitesi ile doldurma süresi ters
lanın doldurma süresi t saat ise;
4k olanın doldurma süresi 3t,
3k olanın doldurma süresi 4t olur.
(Çalışma kapasitesi ile işi bitirme süresi ters orantılı olduğu için,
Havuzu üçü birlikte 12 saatte doldurabildiklerine göre,
Çözüm:
I. Yol:
A’nın su akıtma kapasitesi, B’nin su akıtma ka-
pasitesinin 3 katı ve C’nin su akıtma kapasitesi-nin 4 katı olduğuna göre,
3B 4C ise, A A
Yani nın su ıtma kapasitesi 12 B nin 4k, C nin 3k olur.
Su akıtma korantılıdır. Buna göre,
Su akıtma kapasitesi 12k o
(12k t 4k 3t 3k 4t dir.)
(12) (4) (3)
1 1 1 1
t 3t 4t 12
19 1
12t 12
t 19 bulunur.
Buna göre B musluğunun havuzu doldurmasüresi
3 t 3 19 57 saattir.
Yol:
II.
3k olur. Havuzu üçü l
usluğu havuzu tek başına x saatte un. Buna göre,
Verilenlere göre, A’nın su akıtma kapasitesi 12k olduğunda, B’nin 4k, C nin birlikte 12 saatte doldurabildik erine göre, havuz 12k + 4k + 3k 19k kapasite ile 12 saatte dol-muştur. B mdoldurs
19k ile 12 saatte
4k ile x saatte
Ters orantı
4 x 12 19
x 3 19 57 olur.
4 k x 12 19 k
(Cevap E)
h
h
A A m k
C
B
usluğu boş olan havuzu te
başına 12 saatte, C musluğu
d avuzu kendi seviyesine
kadar 18 saatte boşaltıyor.
Üç musluk aynı anda açılırsa boş olan havuz kaç saatte dolar?
başına 6 saatte dolduruyor. B
musluğu dolu olan havuzu tek
olu h
Çözüm:
h
h
A
Cll. kısım
l. kısımda; C musluğunun bir
görevi yoktur. Havuzun yarısı
olduğundan; A tamamını 6 saat-
te, yarısını 3 saatte doldurur. B
A, B, C
Bl. kısım
A, B
tamamını 12 saatte, yarısını 6
saatte boşaltır. İkisi beraber
havuzun l. kısmını;
1(2) (1)
1 1 1
3 6 t
1
11
2 1 1
6 t
1 1ise t 6 saat
6 t
l. Kısım 6 saatte dolar.
ll. kısımda üç muslukta görev yapar. Yine havu-zun yarısı olduğundan A muslu saatte dol-durur; B musluğu 6 saatte, C musluğuboşaltır.
ğu 3 18 saatte
2 2(6) (3)
2
22
1 1 1 1 6 3 1 1
3 6 18 t 18 t
2 1
18 t
1 1ise t
9 saat
ı;
15 saatte dolar.
9 t
Havuzun tamam
t1 + t2 6 + 9