Yanıt Yüzeyi Metodu

Yanıt Yüzeyi Metodu

• Şimdiye kadar olan deney tasarım konularında sisteme etki eden değişkenlerden en önemli olanları bulmayı, etkileşimlerin etkin olup olmadığını, belirlediğimiz değerler dahilinde hangi etkenlerin etkin olduğuna baktık.

• Şimdi cevabını aradığımız soru ise sistemin optimum yanıtına ulaştıracak değişken değerleri ne olmalı?

• Başka bir deyişle başlangıç noktası (x1

0,x20) noktasından optimum (x1,x2)

noktasına nasıl varırız?

Yanıt Yüzeyi Metodu• 1. Başlangıç noktası olarak belirlenen noktayı göz önüne

alarak etkensel tasarım planla ve deneyleri gerçekleştir• 2. Veriye doğrusal bir model uydur (Kuadratik ve

etkileşim terimi olmayan)• 3. En dik yükselme yolunu belirle• 4. Sistemin yanıtı önemli ölçüde değişim göstermeyi

bırakana dek o doğrultuda yeni deneyleri gerçekleştirmeye devam et.

• 5. Eğer yüzeyin eğimi büyükse 6. adıma git, yoksa 1’e git.

• 6. Optimum noktanın komşuluğunda yeni deney tasarımını planla, yap ve veriye 2. dereceden bir model uydur.

• 7. İkinci dereceden modele göre bağımsız değişkenleri optimum değerlerini belirle.

Örnek: Vaka Çalışması• Kok üretim tesisinden çıkan atıksuda fenol

bulunmaktadır. Fenol düşük derişimlerde biyolojik olarak parçalanabilirken, yüksek derişimleri engelleyici etki gösterir. Hobson and Mills derişimlerinin ve akış hızının fenol yükseltgenmesini nasıl etkilediğini ve hangi değerlerde fenol giderimin maksimum olduğunu bulmak için lab ölçekte bir arıtım sistemi kullandılar.

• Her bir deneyin sonuçlanması birkaç gün aldığından aşamalı bir deney planı yaparak maksimum giderim sağlayan etken değerlerini yanıt alanı metoduyla buldular.

Örnek: Vaka Çalışması• Deney Tasarımı: 1. Aşama: 2 seviyeli, 2 etkenli 22 etkensel

tasarım Etkenler: Seyreltme oranı: ( D)

Kalan Fenol Derişimi (C)Sistem Yanıtı: Fenol oksidayon hızı ( R)

1. Yineleme, Tasarım

1. Yineleme, Analiz

• Regresyon yöntemiyle inceleyip 4 gözlem olduğuna göre 4 parametreli bir model (hiperdüzlem) uydurabiliriz.

• R = b0 +b1C+b2D +b3CD

• R = -0,022-0,018C+0,2D +0,3CD

1.Yenileme Analiz• R = -0,022-0,018C+0,2D +0,3CD

Daha yüksek giderim hızlarına ulaşmak için gidilecek yol açık. En dik yükselme yönü (Direction of Steepest Ascent) deneyin etkenlerinin 0 seviyesinden geçen konturları dik kesen bir doğru ile gösterilebilir.

2. Yineleme, Tasarım• İlk sonuçlar umut verici bir yön göstermekte ancak ne kadarlık bir değişim

yapılması gerektiğini belirtmiyor. Ancak deneyi yapan kişinin daha önceki tecrübesi ve bu konudaki uzmanlığı seçilebilecek konsantrasyon değerine zaten doğal bir sınır getirecektir. Ayrıca aşamalı etkensel tasarımlar optimumu geçecek büyük bir adım atılmasına rağmen toplam deney sayısını artırmazlar.

• Fenolün engelleyici etkisi 1-2 g/L civarında etkin olduğu bilindiğine göre derişimde 0,5 g/l artış uygun bir adım büyüklüğü olacaktır. Bu durumda düşük seviye C = 1,0 ve yüksek seviye C = 1,5 g/l olarak seçilebilir. En dik yol doğrusu boyunca gidersek bu 0,16 ve 0,18 D değerlerine gelecektir. O halde ikinci deney tasarım matrisi aşağıdaki gibi olur.

2. Yineleme, Analiz

• Şekilde görüldüğü gibi ikinci yineleme sonuçlarında deney bölgesinden çok da uzaklaşılmamıştır. Hatta bir önceki kurulumdaki (C =1,0, D = 0,16) noktası ikinci kez yapılmış.

• Yinelenen bu deney sonuçları 0,040 ve 0,041 değerleri deneysel hatanın büyüklüğünü tahmin etmek için kullanılabilir.

2. Yineleme, Analiz

• Şekilde görüldüğü gibi deney bölgesinden çok da uzağa gidilmemiş. Hatta bir önceki kurulumdaki (C =1,0, D = 0,16) noktası ikinci kez yapılmış. Gözlemlenen 0,040 ve 0,041 değerleri de deneysel hatanın büyüklüğünü tahmin etmeden kullanılabilir.

2. Yineleme, Analiz

• Şekilden görüldüğü gibi bir sonraki yineleme için C azaltılmalı ve D’de bir miktar artış da iyi olabilir.

2. Yineleme, Analiz• Deneysel tasarım ayarlarına geçmeden önce elimizdeki

veriyi daha dikkatli incelersek, uydurulan modelin bir düzlem tanımladığını ve bu düzlemin de neredeyse yatay olduğunu görebiliriz. (C ve D’ değişkenlerinin parametrelerinin küçüklüğü) Ayrıca en dik yükselme yönü de birinci yinelemeden sonra ters yöne döndü. Bu demek ki optimum noktanın yakınlarında olabiliriz. Bunu test edebilmek için de optimum civarındaki artan eğimi farkedip tanımlayabilecek bir deney tasarımına ihtiyacımız var.

3. Yineleme, Tasarım

• Bu nedenle bazı kuadratik terimler içeren R = b0 + b1C + b2D +b11C2 + b22D2 şekliden bir modele ihtiyacımız var.

• Temel tasarım yine iki seviyeli etkensel tasarım olacak ama bu sefer birleşik tasarımı gerçekleştirebilmek için yıldız noktalar eklenmiş olacak. Yani merkez noktası optimum değerleri taşıyan bir elips veya daire olarak görselleştirebiliriz.

3. Yineleme

3. Yineleme, Analiz

3. Yineleme, Analiz

Maksimum fenol oksidasyon hızı 0,047 g/h C = 1,17 ve D = 0,17 noktasında elde edildi. Bu değerleri bulmak için yanıt alan modelinin (R ) C ve D ye göre kısmi türevleri alınıp 0’a eşitlenmesiyle bulundu.

∂R/ ∂C = 0,28-0,24C=0

∂R/ ∂D = 7,54-44,4D=0C = 1,17 D = 0,17

4. Yineleme Gerekir mi?

Şekillerden görüldüğü gibi bulunan optimum nokta oluşan yüzeyin en tepe noktasında yer almaktadır. Bu durumda başka bir yinelemenin gereksiz olduğu söylenebilir.

Matlab Kodları Olarak Optimumu Bulma

• Model parametrelerini bul: • >> c=[1 1 1.5 1.5 0.9 1.25 1.25 1.25 1.6]';• >> d=[0.16 0.18 0.16 0.18 0.17 0.156 0.17 0.184

0.17]';• >> R=[0.041 0.042 0.034 0.035 0.038 0.043 0.047

0.041 0.026]';• >> M=[ones(9,1) c d c.^2 d.^2];• >> b=M\Rb = -0.7564 0.2773 7.5366 -0.1171 -22.1962

Matlab Kodları Olarak Optimumu Bulma

• Modeli maksimum yapacak c ve d değerlerini bul. • fR=inline('1-(b(1)+b(2)*a(1)+b(3)*a(2)+b(4)*a(1).^2

+b(5)*a(2).^2)',‘a','b');• Fonksiyonu maksimize edecek C ve D değerleri a

vektörünün 1 ve 2 elemanı olarak gösterildi. Şimdi maksimuma gidecek ilk değerlerin atanması gerekir:

• a0= [0.2 1.0];• cdmax = fminsearch(fR,a0,[],b) %[] options default

değerleri • cdmax =

1.18 0.17

% R = -0,76+0,28C+7,54D-0,12C2-22,2D2 Modeli için Kontur Grafiğinin Çizilmesi

• C=0:0.2:2.0; %size 51• D=0.10:0.012:0.22; %size51• [C D] = meshgrid(C, D);• R = -0.76*ones(size(C))+0.28*C+7.54*D-

0.12*C.^2 -22.2*D.^2• [cs,h]=contour(C,D,R,[0.01 0.02 0.03 0.04]);• clabel(cs,h); • xlabel(' C');ylabel(' D ');

% R = -0,76+0,28C+7,54D-0,12C2-22,2D2 Modeli için Kontur Grafiğinin Çizilmesi

% R = -0,76+0,28C+7,54D-0,12C2-22,2D2 modeli için 3 Boyutlu yüzey grafiğinin Matlab’da çizilmesi. • C=0:0.05:2.5; ‘size 41• D=0.10:0.0025:0.20; ‘size41• [C D] = meshgrid(C,D);• R = -0.76*ones(size(C))+0.28*C+7.54*D-0.12*C.^2 -

22.2*D.^2• Surf(C,D,R) %veya• surfc(C,D,R) %(hem yüzey grafiği hem de kontur grafigi)• xlabel(' C');ylabel(' D '); zlabel(‘R’);• hold on;• plot3(1.17,0.17,0.05,'*')

% R = -0,76+0,28C+7,54D-0,12C2-22,2D2 modeli için 3 Boyutlu yüzey grafiğinin Matlab’da çizilmesi.