XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов

2

АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абакумов А. И., 86, 111Авдеева М. О., 6Алексеев Г. В., 49Амосова Е. В., 50Аносов В. Д., 7Аносова С. В., 105Артемьева И. Л., 149

Бажин А. А., 136Берник В. И., 8Бескачко В. П., 51Богдан В. С., 9Боровик А. И., 112Бризицкий Р. В., 53Булгаков В. К., 133Бурый А. А., 150Бучина А. В., 9Бушманов А. В., 54

Виноградова П. В., 10Вихтенко Э. М., 55Власенко В. Д., 56Возжаева И. В., 56

Галанин М. П., 57Гамбарова Е. М., 151Ганжа К.А., 113Гассан С. В., 11Гиричева Е. Е., 114Головко Н. И., 58Головня О. А., 51Головчанский В. В., 12Гонтмахер П. Я., 163Горкуша О. А., 13

Городилова Л. И., 60Гостюшкин В. В., 156Грибова В. В., 152Гринблат А. Д. , 14Гузев М. А., 61, 62, 109, 137, 138Гусев В. Б., 116

Дeмшин И. Н., 47Давыдов Д. В., 116Десятов А. Ю., 64, 79Диго Г. Б., 118Диго Н. Б., 118Дмитриев А. А., 65Дубинин В. Н., 15Дургарян И. С., 130

Ермоленко А. В., 145

Жеравин М. В., 153Житникова Л. М., 156

Заикин А. К., 66Зарубин А. Г., 10Зацерковный А. В., 150Згонник Д. Б., 154

Иванко Н. С., 119Израильский Ю. Г., 61Илларионов А. А., 16, 68Илларионова Л. В., 69Ильин О. И., 70

Казанский А. В., 71Казеннов В. Е., 156Калинина Е. А., 72

3

Калмыков С. И., 17Капитонова М. С., 120Каретник В. О., 58Карп Д. Б., 18Катуева Я. В., 121Кацурин А. А., 122Ким В. Ю., 19Кириллова Д. А., 20Клевчихин Ю. А., 73Кленин А. С., 157Клещев А. С., 159, 160Климченко В. В., 123Князева М. А., 161Ковтанюк А. Е., 74Кожевникова Т. В., 66Колбина Е. А., 77Колобов А. Н., 77Колотилин Г. Ф., 163Коренченко А. Е., 51Коржавина С. Н., 41Косых Н. Э., 64, 79Кривошеев В. П., 131Крылов Д. А., 164Кузнецова Е. В., 94Кулаков М. П., 80

Лазарева Е. Г., 21Лазарь К. Г., 79Лашко В. А., 124Ли А. Б., 23Лихацкая Г. Н., 109, 154Логинов И. П., 163Ломакина Е. Н., 24Лопаткин В. Е., 26Лосев А. С., 26Лудов И. Ю., 81Луценко Н. А., 139–142, 165

Маевский М. С., 166Макарова Н. В., 143

Матина О. В., 140Миклашевич И. А., 125, 144Мирошниченко Т. П., 141Михайлов К. В., 28Морозов Н. А., 62Мун В. М., 90Мурашкин Е. В., 136

Нагаев С. В., 28Назаров В. Г., 81Назаров Д. А., 127Намм Р. В., 55Неверова Г. П., 83, 91Никитина Е. Ю., 62Никифорова Н. Ю., 167Николаев С. Г., 39Новикова О. Ю., 79

Овсянников Н. С., 79Олесов А. В., 30Осипова М. А., 84Островский Ю. И., 128

Павельев В. В., 129Пак Т. В., 60Пащенко А. Ф., 128Пащенко Ф. Ф., 130Первухин М. А., 32Пермяков Н. А., 65Петров П. С., 33Петрунько Н. Н., 130Пидюра Т. А., 86Плохих С. А., 168Поздняк П. Л., 150Полоник М. В., 145Пономаренко В. Г., 87Попов С. В., 88Попов Ю. П., 57Посвалюк Н. Э., 66, 163, 169Потапова С. В., 88Потянихин Д. А., 146

4

Прилепкина Е. Г., 35Пронина Е. А., 161Прохоров Д. В., 37Прохоров И. В., 90

Ревуцкая О. Л., 83, 91Рештаненко Н. В., 172Романов М. А., 37Рудой Е. М., 92Рукавишников А. В., 93Рукавишников В. А., 39, 94Рукавишникова Е. И., 95Рукавишникова М. Г., 40Рыжов Е. А., 96Рябцев Т. В., 173

Савенкова А. С., 96Савин С. З., 56, 79, 87, 156, 163,

169Сапронов А. Ю., 174Сачко М. А., 131Сергеева Л. А., 156Склюева О. Н., 47Смагин С. В., 160Смагин С. И., 175Смотров М. Н., 12Соболева О. В., 98Соколова Н. М., 125Солдатов А. В., 99Соловцова Л. А., 54Соловьева Т. Ф., 109Соломахо В. Л., 125Степанова А. А., 41Стехов Н. В., 163Стригунов В. В., 133

Тарасов А. В., 176Тарасов А. Г., 174, 182Тарасов Г. В., 177Тартачный А. А., 163, 169Терешко Д. А., 100

Ткаченко В. В., 42Ткаченко О. П., 147Торгашов А. Ю., 134Трещев И. А., 101Тучак М. Н., 102Тютюнник М. Б., 178

Устинов А. В., 43Ушаков А. А., 138Ушакова Е. П., 44

Филаретов В. Ф., 122, 135Фишман Б. Е., 103

Хавинсон М. Ю., 105Харитонов Д. И., 165, 179Хоменюк А. В., 156Хусаинов А. А., 45

Цициашвили Г. Ш., 105

Чеботарев А. Ю., 46, 106Чеботарев В. И., 28Черныш Е. В., 108Черняховская М. Ю., 181Чубчик Д. В., 130

Шалфеева Е. А., 184Шамов В. В., 163Шаповалов Т. С., 174, 182Шепелов М. А., 109Шишаева Е. А., 56Шиян Д. С., 165, 185Шлык В. А., 47Шлюфман К. В., 103Шупикова А. А., 71

Щебеньков Д. А., 142Щерба С. И., 182

Юхимец Д. А., 135

5

МАТЕМАТИКА

ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА КОЛИЧЕСКТВАОТНОСИТЕЛЬНЫХ МИНИМУМОВ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ

РЕШЕТОКМ. О. Авдеева (ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть Γ =m0γ

(0) + · · · +msγ(s)

∣∣ m0,m1, . . . ,ms ∈ Z

— (s + 1)-мерная решетка. Линейно-независимые векторы γ(i) = (γ(i)

0 , . . . , γ(i)s ) из

Rs+1 образуют базис решетки Γ с определителем D(Γ) = |det(γ(i)j )|.

Назовем ненулевой узел γ = (γ0, . . . , γs) относительным миниму-мом решетки Γ, если не существует другого ненулевого узлаη = (η0, . . . , ηs) из Γ, для которого |ηi| ≤ |γi| при i = 0, . . . , s и |ηj | < |γj |хотя бы при одном i = j. Множество всех относительных минимумоврешетки Γ обозначим через M(Γ). Для целочисленных решеток это мно-жество конечно и играет важную роль при изучении погрешностей мно-гомерных квадратурных формул Коробова с параллелепипедальнымисетками (см. [1], [2]).

ТЕОРЕМА. Для любой (s + 1)-мерной целочисленной решетки Γ cопределителем N

#M(Γ) ≤ 3s+1(s+ 1)s!

(s+ log2N)s.

Речь идет об уточнении константы перед степенью логарифма в ра-нее полученной оценке (см. в [3])

#M(Γ) ≤ 2(s+ 1) (2 log2N + 4)s.

Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума ДВО РАН(проект 06-I-П13-047) и гранта INTAS 03-51-5070.

[1] Быковский В.А.О погрешности теоретико-числовых квадратурных фор-мул // ДАН. 2003. T. 389. 2. C. 154-155.

[2] Быковский В.А.О погрешности теоретико-числовых квадратурных фор-мул // Чебышевский сборник. Тула. 2002. T. 3. В.2(4). C. 27-33.

6

[3] Горкуша О.А., Добровольский Н.М. Об оценках гиперболическойдзета-функции решеток // Чебышевский сборник. Тула. 2005. T. 6. В.2(14).C. 129-137.

О ГОМОМОРФИЗМАХ МНОГООСНОВНЫХАЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СВЯЗИ С

КРИПТОГРАФИЧЕСКИМИ ПРИМЕНЕНИЯМИВ. Д. Аносов (В/ч 43753, Москва)

В связи с криптографическими применениями в [1] рассматрива-лась возможность использования гомоморфизмов многоосновной уни-версальной алгебры для решения системы уравнений специального видас неизвестными элементами основных множеств многоосновной универ-сальной алгебры. В [2] при перенесении ряда классических результатов,связанных с разрешимостью уравнений, с полей на общие классы уни-версальных алгебр, рассматривались системы алгебраических уравне-ний с предметными переменными над произвольной одноосновной уни-версальной алгеброй A с использованием в этих целях полиномиальнойалгебры. Используя гомоморфизмы многоосновных алгебраических си-стем [3], при которых могут отождествляться как элементы основныхмножеств, так и операторы и предикаты, предложенный подход разви-вается на системы уравнений (соотношений) над многоосновными ал-гебраическими системами, в число неизвестных которых могут входитькак элементы основных множеств, так и операторы и предикаты. Рас-сматриваются методы решения систем уравнений (соотношений), ис-пользующие гомоморфизмы исходной многоосновной алгебраическойсистемы. В связи с использованием в криптографических алгоритмахпреобразований и предикатов, зависящих от ключа, указанные резуль-таты представляют прикладной интерес.

[1] Горчинский Ю.Н. О гомоморфизмах многоосновных универсальныхалгебр в связи с криптографическими применениями. Труды по дискрет-ной математике (1997) 1, 67 - 84.

[2] Lausch H., Nobauer W. Algebra of polynomials. Elsevier, Amsterdam,1973.

[3] Аносов В.Д. Гомоморфизмы многоосновных алгебраических систем. Меж-дународная конференция по алгебре. Институт математики СО АН СССР,Новосибирск, 1991, 6 - 7.

7

О ДИСКРИМИНАНТЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХМНОГОЧЛЕНОВ

В. И. Берник (ИМ НАН Беларуси, Минск)

Дискриминант D(P ) многочлена

Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x+ a0, n 2

H = H(P ) = max0jn

|aj |

с корнями α1, α, . . . , αn равен

D(P )a2n−2n

∏1i,jn

(αi − αj)2.

Он также определяется через результант многочлена и его производной,и когда коэффициенты aj , 0 j n, целые, то D(P ) — целое число.При n = 2 имеем D(P ) = a2

1 − 4a0a2 и зная D(P ) мы легко находим види значение корней P2(x).

Если при достаточно большом Q ∈ Z справедливо неравенство|aj | Q, то число многочленов с таким условием равно (2Q + 1)n+1 =c1(n)Qn+1. Нетрудно получить неравенство |D(P )| < c2(n)Q2n−2. По-этому, в частности, существуют отрезки длины c3(n)Qn−3, содержащи-еся в отрезке [0, c2(n)Q2n−2], в которых не содержатся значения |D(P )|.В докладе будет рассмотрена задача о распределении значений D(P ).Будет доказано, что при любом θ , 0 θ 2n − 2, и любого интерва-ла I1 = [c4(n)Qθ, c5(n)Qθ] существуют такие P (x), что D(P ) ∈ I. Приэтом для некоторых θ можно получить оценки сверху и снизу для числатаких многочленов.

Построить Pn(x) с заданным дискриминантом можно на основе эф-фективных метрических теорем теории диофантовых приближений. Наи-более сложное утверждение состоит в доказательстве того, что множе-ство B1 = B1(c5, c6) точек интервала I2, для которых при c5c6 < 2−n−11

выполняется система неравенств|Pn(x)| < c5Q

−n+v, 0 < v < 1/4,|P ′

n(x)| < c6Q1−v, H(P ) Q

имеет меру µB1 < µI2 . Поэтому далее можно рассматривать только

удобные для построения дискриминантов точки из множестваB2 = I \B1 с µB2 µI

2 .

8

ТОПОЛОГИИ ГРОТЕНДИКА НА ЧУ-ПРОСТРАНСТВАХВ. С. Богдан (ДВГУ, Владивосток)

Рассматривается топология Гротендика на произвольной нижнейполурешетке K, определяемая с помощью семейства α = ai ∈ K|i ∈ Iэлементов из K. А именно, если β = bj |j ∈ J, то для любого a ∈ K поопределению полагается

β ∈ τ(a) ⇔ α ∧ a ≺ β ≺ a.

Теорема 1. Для произвольного абелева τα-пучка A на K группыкогомологий Чеха и Гротендика изоморфны:

∀a ∈ K ∀n 0 Hnτα

(a,A) ∼= Hnτα

(a,A).

Они же изоморфны группам Hn(α ∧ a,A) когомологий Чеха семействаα ∧ a.

Эти и другие результаты применяются к Чу-пространствам. Если(X, Y, r :X×Y →0, 1) — Чу-пространство, где X и Y — произвольныемножества, то, как известно, с ним связывают множества

Xy = x ∈ X|r(x, y) = 1, Yx = y ∈ Y |r(x, y) = 1.

В качестве нижних полурешеток рассматриваются решетки подмно-жеств множеств X и Y , и вводятся топологии Гротендика τα и τβ , где

α = Xy ⊂ X|y ∈ Y , β = Yx ⊂ Y |x ∈ X,

связанные с такими характеристиками Чу-пространств, как длина икратность семейства элементов. В частности, имеет местоТеорема 2. Если дл.xi ∈ X|i ∈ I = n, то для любого τβ-пучка A

группы когомологий Hn+kτβ

(Y,A) тривиальны при k 1.Даются применения этих результатов к конкретным Чу-пространствам.

ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ КОНЕЧНЫХ ЧАСТИЧНОУПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ

А. В. Бучина (АмГПГУ, Комсомольск-на-Амуре)

Работа посвящена относительным группам гомологий конечных ча-стично упорядоченных множеств и их приложениям.

Подмножество W предупорядоченного множества X называется за-мкнутым, если оно вместе с каждым своим элементом w ∈W содержит

9

все x ∈ X, для которых w < x. На категории пар (X,W ), состоящих изконечного частично упорядоченного множества и его замкнутого под-множества определяется теория гомологий Hn. Разработан алгоритмдля вычисления групп гомологий Hn(X,W ). Показано, как с помощьюэтого алгоритма можно вычислять относительные группы гомологийконечных топологических пространств.

Полученные результаты применяются для изучения групп гомоло-гий структур событий.

ПРОЕКЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

П. В. Виноградова (ДВГУПС, Хабаровск),А. Г. Зарубин (ТоГУ, Хабаровск)

Пусть H1 — сепарабельное гильбертово пространство, плотно вло-женное в сепарабельное гильбертово пространство H. В пространствеH рассмотрим задачу Коши

u′(t) +A(t)u(t) +K(t)u(t) = h(t), u(0) = 0, (1)

где A(t), K(t)–трижды сильно непрерывно дифференцируемые операто-ры, определенные на [0, T ]. Оператор A(t) обладает следующими свой-ствами:

1) A(t) (0 ≤ t ≤ T )–самосопряженный, положительно определен-ный оператор в гильбертовом пространстве H с областью определенияD(A(t)) = H1, не зависящей от t;

2) существует число β ≥ 0 такое, что для всех u ∈ H1 выполняетсянеравенство (A′(t)u, u)H ≥ β‖A 1

2 (0)u‖2H .

Пусть B–сходный с A(0) оператор, образующий с A(0) острый уголна D(B) = D(A(0)) = H1. Оператор K(t) подчинен оператору B с по-рядком α, 0 ≤ α ≤ 1

2 . Пусть B−1 вполне непрерывен в H и Pn — ор-топроектор в H на линейную оболочку первых n собственных векторовϕ1, ϕ2, . . . , ϕn оператора B, λi — собственные числа, отвечающие соб-ственным элементам ϕi.

На отрезке [0, T ] введем равномерную сеткуω = ts = sτ, s = 0, 1, . . . N, τN = T.

Вектор ωτn = ωs

nNs=1, где

ωsn =

n∑j=1

αsjϕj ,

10

является решением системы уравнений:

ωs+1n − ωs−1

n

2τ+ PnA(ts)

(ωs+1

n + ωs−1n

2

)+ PnK(ts)ωs

n = Pnh(ts),

ω0n = 0, ω1

n = τ2ϕ1, s = 1, 2, . . . , N − 1.

Теорема. Пусть функция h(t) ∈ C3(0, T ;H), h′(0) ∈ D(B), h(0) = 0.Тогда верны оценки

sup0≤s≤N

‖ωsn − u(ts)‖H ≤ K1(τ2 + λ

α−12

n+1 ),

sup0≤s≤N

‖B 12 (ωs

n − u(ts))‖H ≤ K2(τ32 + τ−

12λ

α−14

n+1 ),

где положительные постоянные K1, K2 не зависят от n и s, u(t) —решение задачи (1).

О СКОРОСТИ РОСТА МНОГОМЕРНЫХ ПОДХОДЯЩИХЗНАМЕНАТЕЛЕЙ

С. В. Гассан (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Пусть ‖α‖ — расстояние от вещественного α до ближайшего целого.Действуя в рамках теории относительных минимумов Г.Ф. Вороного [1],для любого набора вещественных чисел (α1, . . . , αs) определим множе-ство D(α1, . . . , αs), состоящее из всех натуральных чисел Q со следу-ющим свойством: не существует натурального Q′, меньшего Q, длякоторого ‖αjQ

′‖ ‖αjQ‖ при всех j = 1, . . . , s.Согласно классической теореме Лагранжа о наилучших приближе-

ниях, при s = 1D(α1) = Qi(α1) | i = 1, 2, . . . ,

где натуральное Qi(α1) — знаменатель i-ой подходящей дробиPi(α1)/Qi(α1) = [q0; q1, . . . , qi−1] с целым Pi(α1) (взаимно простым сQi(α1)), ассоциированной с каноническим разложением в непрерывнуюдробь α1 = [q0; q1, . . . , qi, . . . ]. В связи с этим мы будем называть на-туральные из D(α1, . . . , αs) s-мерными подходящими знаменателями к(α1, . . . , αs).

Хорошо известно, что для любого α1 ∈ R выполняется неравенство

Qi(α1) 12(√

2)i (i = 1, 2, . . . ), которое эквивалентно оценке (∀ P 1)

#Q ∈ D(α1) | Q P 2 log2 P + 2.

11

Мы доказываем s-мерное обобщение этой оценки в следующем виде.Теорема. При P 1 для количества элементов множества

DP (α1, . . . , αs) = Q ∈ D(α1, . . . , αs) | Q P

выполняется неравенство

#DP (α1, . . . , αs) s!(4 log2 P + 2)s.

Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума ДВО РАН(проект 06-I-П14-050).

Автор благодарен В. А. Быковскому за постановку задачи и внима-ние.

[1] Вороной Г.Ф. Собрание сочинений в 3-х томах, Т. 1, Изд. АН УССР,Киев, 1952.

ЯВНАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ПРИМИТИВНЫХГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ Γ0(N).

В. В. Головчанский, М. Н. Смотров(ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск)

Понятие примитивного элемента дискретной подгруппы Γ дробно-линейных преобразований было введено А.Сельбергом. Число классовпримитивных гиперболических элементов данной нормы имеет геомет-рическую интерпретацию как число различных замкнутых геодезиче-ских данной длины на римановой поверхности, соответствующей дис-кретной подгруппе Γ.

Еще Дирихле фактически установил взаимно-однозначное соотве-тствие между классами примитивных гиперболических элементов и клас-сами неопределенных бинарных квадратичных форм для модулярнойгруппы SL2(Z), что позднее было явно сформулировано П. Сарнаком [1].

В данной работе получена явная формула числа классов примити-вных гиперболических элементов конгруэнц-подгрупп Γ0(N).

В частности для модулярной группы (N = 1) формула имеет следу-ющий вид

ν(L, 1) =∑

q|Q, q|Uk,k|m, k =m

h(q2D),

где ν(L,N) — число классов примитивных элементов подгруппыΓ0(N) со следом L;

12

D - фундаментальный дискриминант, который для L = 2 однозначноопределяется из соотношения L2 − 4 = Q2D;

(T1, U1) - фундаментальное решение уравнения Пелля t2 −Du2 = 4;(Tk, Uk) — k-я степень этого решения (Tk+Uk

√D)/2 = ((T1+U1

√D)/2)k;

целое m ≥ 1 определяется из равенства (L + Q√D)/2 = ((T1 +

U1

√D)/2)m.

[1] Sarnak P. Class Numbers of Indefinite Binary Quadratic Foms // J. NumberTheory 1982. v.15. p.229-247.

О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ДЛИН КОНЕЧНЫХНЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

O. А. Горкуша (ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск)Любое рациональное число r единственным способом расклады-

вается в конечную непрерывную дробь длины s = s(r)

r = [q0; q1, q2, . . . qs] = q0 + 1/q1 + 1/q2 + · · · + 1/qs

с целым q0 = [r] (целая часть r), натуральными q1, q2, . . . qs — (непол-ные частные). Для s ≥ 1 всегда qs ≥ 2.

Такое представление числа r имеет следующую геометрическую интерп-ретацию. Рассмотрим решетку Γα c 0 < α < 1/2 на плоскости:

Γα = (n− αm, m)| n,m ∈ Z.

Назовем ненулевой узел γ = (γ1, γ2) решетки Γα локальным миниму-мом, если не существует другого ненулевого узла решетки η = (η1, η2),для которого

|η1| < |γ1| и |η2| < |γ2|.Множество локальных минимумов будем обозначать через M(Γα). Со-гласно теореме Лагранжа о наилучших приближениях вещественногочисла α (см. [1])

M(Γα) = ±(Pi − αQi, Qi),где Pi и Qi — числитель и знаменатель подходящей дроби с номером iчисла α. В соответствии с этим #M(Γr) = 2s(r) + 4.

Обобщим данную конструкцию.Пусть Ω — ограниченная и замкнутая выпуклая область на плос-

кости с кусочно-гладкой границей, которая симметрична относительнокоординатных осей. Положим для положительных чисел t1 и t2

Ω(t1, t2) = (t1x1, t2x2)| (x1, x2) ∈ Ω.

13

Определение.Ненулевой узел γ = (γ1, γ2) решетки Γα назовем локаль-ным минимумом относительно Ω, если найдутся положительные числаt1 и t2, для которых:

1) узел γ лежит на границе Ω(t1, t2);2) внутри Ω(t1, t2) нет ненулевых узлов из Γα.

Множество таких минимумов будем обозначать через M(Γα; Ω). Легкозаметить, что M(Γα) = M(Γα; Ω) для квадрата

Ω = Ω′ = (x1, x2) ∈ R2∣∣ |x1| ≤ 1, |x2| ≤ 1.

Мы доказываем следующий результат.Теорема. Для любого натурального d > 2

[d/2]∑a=1

НОД (a,d)=1

#M(Γa/d; Ω) = φ(Ω)ϕ(d) log d+O(dσ3−1(d))

с некоторой положительной константой φ(Ω).В частном случае, при Ω = Ω′ получаем классический результат

Хейльбронна [2] c

φ(Ω) =12 log 2π2

.

Автор благодарна В.А. Быковскому и В.А. Устинову за внимание иполезные советы.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ДВО РАН(проект 06-III-А-01-017).

[1] Касселс Дж. В.С., Введение в теорию диофантовых приближений.ИЛ., М.,1961.

[2] Heilbronn H., On the average length of a class of finite continued fractions.In: Abh. Zahlentheorie und Anal., VEB Deutsher VerlagWisenschatten, Berlin,Plenum Press, New York, 1968, pp. 89-96

ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ В КАТЕГОРИИ СЕТЕЙПЕТРИ

А. Д. Гринблат (АмГПГУ, Комсомольск-на-Амуре)

Данная работа посвящена пределам и копределам в категории по-чти СЕ-сетей Петри. Этот класс сетей включает как подкласс СЕ-сети.

14

Отличие состоит в том что допускаются висячие вершины и каждое ме-сто (условие) может содержать более одной фишки, исключая лишь мо-мент начальной маркировки когда в каждом месте не более одной фиш-ки. Будем понимать такие сети как пятерки N = (M0, B,E, pre, post),где B,E — произвольные множества, называемые множеством условийи событий соответсвенно, M0 ⊆ B — начальная маркировка условий,pre, post- пара функций из E в 2B . А морфизмы между ними как пары(β, η), сохраняющие pre, post структуру сети, β−1 : B′ → B, η : E∗ → E′

∗.Предложение 1. Проиведением пары сетей N1 и N2 является сеть

N = (M01 ∪M02, B1 ∪ B2, E1 ×∗ E2, pre, post) и пара естественных про-екций.

Предложение 2. Уравнитель пары морфизмов из N1 в N2, это сетьN = (Im(coeq(β−1

1 |M02, beta−12 |M02)), Im(coeq(β−1

1 , beta−12 )),

eq(η1, η2)−1(E1), pre, post) и очевидный морфизм «вложение».Предложение 3. Данная категория является полной. Подобные утвер-

ждения имеют место и для двойcтвенных конструкций, для копределов.

ПРИНЦИПЫ МАЖОРАЦИИ В ТЕОРИИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В. Н. Дубинин (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Обсуждаются классические принципы мажорации для мероморф-ных отображений в терминах функций Грина и функций Робэна, атакже приводятся новые результаты [1,2]. В частности, в случае ре-гулярных отображений устанавливается аналог принципа Линделефа спривлечением функций Робэна, а в случае произвольных мероморфныхфункций доказывается утверждение для множеств

Dr(z1, ..., zm) =

z :

m∑k=1

gD(z, zk) > r

, r > 0,

где gD(z, zk) - функция Грина области D с полюсом в точке zk ∈ D ⊂Cz, k = 1, ...,m.Теорема. Пусть области D и G имеют классические функции Гри-

на D ⊂ Cz,∞ ∈ G ⊂ Cw. Предположим, что функция f являетсямероморфной в области D, имеет по крайней мере один полюс в D иудовлетворяет условию f(∂D) ⊂ ∂G (т.е. при стремлении точки zк границе области D все предельные значения функции f(z) принад-лежат границе G). Тогда для любого положительного r справедливовключение

15

f(Dr(z1, ..., zm)) \ f(∂Dr(z1, ..., zm)) ⊃ Gr(∞),

где z1, ..., zm - полюсы функции f в области D, каждый из которыхучитывается столько раз, каков его порядок.

В качестве приложений рассматриваются теоремы искажения и оцен-ки бернштейновского типа для рациональных функций с ограничения-ми на нескольких отрезках.

Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школРФ (грант - НШ 9004.2006.1), РФФИ (грант 05-01-00099) и ДВО РАН(грант 06-III-A-01-013).

[1] Dubinin V.N., Vuorinen M. Robin functions and distortion theorems forregular mappings// Reports in Math. Univ. of Helsinki, Finland/ Preprint454, February 2007, 21p.

[2] Дубинин В.Н., Калмыков С.И. Принцип мажорации для мероморф-ных функций// Метематический сборник (в печати).

ОЦЕНКА КОЛИЧЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНЫХМИНИМУМОВ НЕПОЛНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ

РЕШЕТОКА. А. Илларионов (ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть Γ — целочисленная решетка размера s ранга t . Ее можнозаписать в виде:

Γ =M · k : k ∈ Zt

,

где M — целочисленная матрица размера s× t ранга t.По определению, узел γ ∈ Γ \ 0 называется относительным мини-

мумом Γ, если не существует узла γ′ ∈ Γ \ 0, для которого

|γ′i| ≤ |γi| при i = 1, s,s∑

i=1

|γ′i| <s∑

i=1

|γ′i|.

Обозначим через M(Γ) множество всех относительных минимумов Γ;D = D(Γ) максимальный из модулей миноров матрицы M порядка t.Для полных решеток (т.е. при s = t) в [2] была доказана оценка видаM(Γ) s (log2D+1)s−1 (см. также [1,3,4] по поводу оценки константы).

Положим Lt(Zs;D) — множество всех целочисленных решеток Γ раз-мера s и ранга t с D(Γ) = D. Главным результатом настоящей работыявляется

16

Те о р ем а. Количество относительных минимумов решетки Γ ∈L(Rs;D) не больше, чем

(7/3)r+1(t(t+ 1)(r log2 t+ 2)

)r

·(4 log2(tD) + 3

)t−1

, (1)

где r = s− t.Отметим, что из (1) и результатов [5] вытекает двусторонняя оценка

logt−12 (D + 1) s sup

Γ∈Lt(Zs;D)

#M(Γ) s logt−12 (D + 1).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ДВО РАН(проект 06-I-П14-050).

[1] Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе.М.: МЦНМО, 2004.

[2] Быковский В.А. // Докл. РАН. 2003. Т. 382, 2. С. 154-155.

[3] Авдеева М.О. // Чебышевский сб., 2004. Т. 5. Вып. 4(12). С. 35-38.

[4] Горкуша О.А., Добровольский Н.М. // Чебышевский сб., 2005. Т. 6.Вып. 2.

[5] Авдеева М.О. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005.Т. 11, 6. С. 9-14.

НЕРАВЕНСТВО БЕРНШТЕЙНОВСКОГО ТИПА ДЛЯПОЛИНОМОВ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ДВУХ

ОТРЕЗКАХС. И. Калмыков (ДВГУ, Владивосток)

В докладе представлены теоремы для полиномов с вещественнымикоэффициентами с ограничением на двух отрезках. В частности, полу-чен следующий результат (ср. [1]).Теорема. Если полином P (z) = cnz

n + ...+c0, cn = 0, с веществен-ными коэффициентами удовлетворяет условию

|P (x)| ≤ 1, x ∈ [−1,−α] ∪ [α, 1], 0 < α < 1,

то для любого x ∈ [−1,−α] ∪ [α, 1] справедливо неравенство

|P ′(x)|√

(1 − x2)(x2 − α2) ≤ n|x|√

1 − P 2(x).

17

Равенство при четных n достигается для полинома

Tn/2

(2z2

1 − α2 − 1 + α2

1 − α2

), где Tn(z) — полином Чебышева первого рода.

Доказательство теоремы использует принцип мажорации для меро-морфных функций, представленный в работе [2].

Устремляя α к нулю, получаем классическое неравенство Бернштей-на - Сеге [3], в котором равенство достигается для полинома Чебышевапервого рода Tn(z).

Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школРФ (грант НШ - 9004.2006.1), РФФИ (грант 05-01-00099) и ДВО РАН(грант 06-III-A-01-013).

[1] Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функцийна нескольких отрезках, Изв. РАН. Сер. мат., Т.68, 3, 2004, С. 115-138.

[2] Дубинин В.Н., Калмыков С.И. Принцип мажорации для мероморф-ных функций. Математический сборник (в печати).

[3] Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and polynomial inequalities, Springer,N.Y., 1995.

О ЕМКОСТИ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХКОНДЕНСАТОРОВ ПРИ ПРОСТЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ПЛАСТИНД. Б. Карп (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

В докладе рассматривается поведение конформной емкости некото-рых плоских конденсаторов и логарифмической емкости множеств поддействием следующих преобразований: смещение зазора в одной илидвух пластинах, относительный сдвиг и поворот пластин, а также изломпластин. Важнейшие примеры исследуемых конденсаторов это конден-саторы с параллельными пластинами, хотя наши результаты справед-ливы и для гораздо более общих конфигураций. В большинстве случаевдоказаны теоремы о монотонности ҷмкости под действием исследуемыхпреобразований. Например, справедлива теоремаТеорема 1. Емкость конденсатора, пластины которого являются

параллельными прямоугольниками с одинаково расположенными зазо-рами, монотонно возрастает при смещении зазоров от краҷв пластин ссерединам.

В случаях, когда не удается доказать монотонность, доказываютсятеоремы об экстремальной конфигурации. В частности, получен следу-ющий результат:

18

Теорема 2. Среди всех конденсаторов с параллельными пласти-нами такими, что каждая из них является ломанной из двух равныхсегментов а сумма длин пластин и расстояние между ними фиксирова-ны, максимальной емкостью обладает конденсатор, пластины которого- прямолинейные отрезки.

Основными методами доказательства указанных результатов явля-ются поляризация и прямое применение расширенного принципа Дири-хле. Эти методы позволяют распространить результаты на конденсато-ры в n-мерном пространстве и виды емкости, определяемые функцио-налами отличными от интеграла Дирихле.

В докладе будут также приведены некоторые проверенные численногипотезы и нерешенные задачи.

Результаты, представленные в докладе, получены совместно с В.Н.Дубининым.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-00099), ДВО РАН (грант 06-III-В-01-020) и ведущей научной школы(НШ-9004.2006.1).

ТЕОРЕМА ПОКРЫТИЯ РАДИАЛЬНЫХ ОТРЕЗКОВ ПРИP -ЛИСТНОМ ОТОБРАЖЕНИИВ. Ю. Ким (ДВГУ, Владивосток)

Доказывается общая теорема покрытия радиальных отрезков с уче-том листности накрытия для p-листных отображений. Как следствияиз нее вытекают теоремы покрытия для p-листных в круге функций, атакже известные теоремы покрытия отрезков и площадей для конформ-ных и однолистных отображений круга и кольца [1]. Пусть функция w =f(z) регулярна и p-листна в кольце 1 ≤ |z| < R, причем

∫|z|=1

d arg f(z) =

2pπ; |f(z)| ≥ 1 при 1 ≤ |z| < R и |f(z)| = 1, когда |z| = 1. Обозна-чим через G(z,R) экстремальную функцию Греча, которая конформнои однолистно отображает кольцо 1 < |z| < R на внешность единично-го круга |w| > 1 с разрезом по вещественной пололжительной полуоси.Пусть функция E(ζ;n, p,R) = n

√G(ζn;Rnp), E(1;n, p,R) = 1 конформ-

но и однолистно отображает кольцо 1 < |ζ| < Rp на внешность круга|w| > 1 с разрезами вдоль лучей w : argwn = 0, |wn| ≥ G(Rnp;Rnp).Под римановой поверхностью будем понимать поверхность, склееннуюиз конечного числа плоских областей [2]. Обозначим через Lf (r, ϕ) верх-нюю грань длин отрезков на римановой поверхности функции, обратной

19

к функции w = f(z), 1 < |z| < r, лежащих над лучом argw = ϕ и со-держащих на конце точку над окружностью |w| = 1, 1 < r ≤ R. Тогдадля любых θ, n ≥ 1 и 1 < r ≤ R выполняется неравенство

n∏k=1

(Lf (r, θ + 2πk/n) + 1) ≥ G(rnp, Rnp).

Равенство достигается для функций f(z) = eiθE(αzp;n, p,R), |α| = 1.Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школ

РФ (грант НШ - 9004.2006.1), ДВО РАН (грант 06-III-A-01-013).

[1] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного перемен-ного. М.: Наука, 1966.

[2] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.

ПРОСТЕЙШИЕ ВАРИАЦИИ КОНФОРМНЫХ РАДИУСОВВ ЗАДАЧАХ О НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЯХ

Д. А. Кириллова (ДВГСГА, Биробиджан)

Рассматриваются вариации произведений конформных радиусов ли-бо мебиусовых инвариантов, порожденные элементарными функциями.Показано, что такие вариации дают как новые, так и известные необхо-димые условия экстремумов таких функционалов, полученные сложны-ми методами. В частности, в задаче о максимуме мебиусова инварианта

In =

n∏k=1

r(Dk, ak) ∏1k<ln

|ak − al| 2

n−1(1)

имеет место следующий результат.Теорема. Пусть области Dk ⊂ C, ak = ∞ и точки ak ∈ Dk такие,

что для них достигается максимум инварианта (1), Dk

⋂Dl = ∅ при

k = l, k, l = 1, n, n 2. Если функция hk(ζ) = ak +h′k(0)ζ+ 12h

′′k(0)ζ2 + ...

конформно и однолистно отображает круг |ζ| < 1 на соответствую-щую область Dk, то справедливо равенство

h′′k(0)(h′k(0))2

=2

n− 1

n∑l=1,l =k

1ak − al

, k = 1, n.

20

Как следствия отсюда вытекают равенства

n∑k=1

h′′k(0)(h′k(0))2

= 0,n∑

k=1

h′′k(0)(h′k(0))2

ak = n.

Задача о нахождении максимума инварианта (1) при n 5 до сихпор не решена [1-3].

Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школРФ (грант - НШ 9004.2006.1) и ДВО РАН (грант 06-III-A-01-013).

[1] В.Н. Дубинин Симметризация в геометрической теории функций ком-плексного переменного, Успехи мат. наук 49, вып.1 (1994), 3-76.

[2] Г.В. Кузьмина Методы геометрической теории функций. I, Алгебра ианализ, том 9, вып.3 (1997), 41-103.

[3] Г.В. Кузьмина Методы геометрической теории функций. II, Алгебра ианализ, том 9, вып.5 (1997), 1-50.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ПЕРЕСТАНОВОКВЕКТОРНЫХ РЯДОВЕ. Г. Лазарева (ТГУ, Томск)

В связи с проблемой описания области сумм ряда в бесконечномер-ном банаховом пространстве [1] мы продолжаем изучение следующегосвойства перестановок рядов (см. [2]).Определение. Пусть π, δ — перестановки, M ∈ R, E — банахово

пространство. Мы говорим, что перестановка δ принадлежит мно-жеству M ·π в пространстве E, если для любого сходящегося к нулю

ряда∞∑

k=1

xk в пространстве E из сходимости ряда∞∑

k=1

xπ(k) следует схо-

димость ряда∞∑

k=1

xδ(k), причем∞∑

k=1

xδ(k) = M ·∞∑

k=1

xπ(k). Записываем этоутверждение так:

δ ∈ (M · π)(E).

Заметим, что существуют перестановки, для которых множества (M ·π)(E ) пусты при любом M ∈ R \ 1. Конкретные примеры построенияперестановок из множеств (M ·π)(E ),M ∈ Z, можно найти в [2], причемэти конструкции работают в любом нормированном пространстве илиаддитивной топологической группе. Этот факт привел нас к вопросу:может ли вообще множество (M · π)(E ) зависеть от пространства E?Оказалось, что такой зависимости нет, а именно, верна

21

Теорема. Пусть E — банахово пространство, π, σ — перестановки,M ∈ R. Тогда

(M · π)(E ) = (M · π)(R).

С помощью следующей леммы можно ограничиться рассмотрениемрядов с рациональными членами, если M — целое число.Лемма. Пусть ak ∈ R, ε > 0. Тогда найдутся εk ∈ R такие, что

∞∑k=1

|εk| < ε и∞∑

k=1

εk = 0, причем rk = ak + εk ∈ Q.

Следствие. Пусть M ∈ Z. Тогда

(M · π)(Q) = (M · π)(R).

Основную роль в доказательстве теоремы играет линейное простран-ство последовательностей

SC,π(E) = X = (xk)∞k=1 :∞∑

k=1

xk,∞∑

k=1

xπ(k) сходятся в E ,

наделенное банаховой нормой |X|C,π = maxsupn∈N

‖n∑

k=1

xk‖, supn∈N

‖n∑

k=1

xπ(k)‖.Изучение этого пространства представляет самостоятельный инте-

рес, так как его свойства не очевидны даже при E = R. К примеру,последовательности с конечным числом ненулевых членов не образу-ют всюду плотного множества в этом пространстве, если переста-новка π меняет сумму. Из леммы следует, что ряды с рациональнымичленами являются всюду плотным множеством в пространстве SC,π(R).

Вопрос о сепарабельности этого пространства удается решить толь-ко для перестановок πp,q, p, q ∈ N, то есть таких, что πp,q : pN →qN, πp,q : N \ pN → N \ qN — сохраняет порядок. В этом случаеможно показать, что ряды, начинающиеся с произвольных рациональ-ных r1, ..., rn, со специальным однозначным продолжением, обуслов-ленным перестановкой πp,q, образуют всюду плотное множество, следо-вательно, пространство SC,πp,q

(R) сепарабельно.Замечание. Всюду, где идет речь о множестве рациональных чисел,

его можно заменить на любую всюду плотную топологическую подгруп-пу группы R.

[1] Kadets M. I., Kadets V.M. Series in Banach Spaces. Operator Theory,Advances and Applications. Vol.94. Berlin: Birkhauser Verlag, 1997.

22

[2] Лазарева Е. Г.Исследование области сумм векторного ряда посредствомумножения перестановки ряда на вещественные числа // Математическиетруды. 2001. T. 4, 1. C. 36–67.

МЕТОД КОМПЕНСИРОВАННОЙ КОМПАКТНОСТИ ДЛЯНЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С СОЛЕНОИДАЛЬНЫМИ

РЕШЕНИЯМИА. Б. Ли (ТОГУ, Хабаровск)

Одним из методов для решения нелинейных уравнений является такназываемый метод компенсированной компактности, изложенный в [1],который позволяет в некоторых случаях переходить к пределу при сла-бой сходимости последовательностей приближенного решения (в отли-чии от метода компактности [1], [3], где требуется сильная сходимость).«Компенсация» происходит за счет наложения некоторых дополнитель-ных условий, на нелинейные слагаемые и линейные соотношения, кото-рые выполнены для рассматриваемой в работе системы уравнений видаU∇U + ∇p− ν Uyy − F = 0, div(U) = 0. Где U = (u, v, 0), ν = const > 0,f1(x, y), f2(x, y) — заданные функции, F = (f1, f2) — вектор плотностивнешних массовых сил, u(x, y), v(x, y) — компоненты искомого вектораскорости U = (u, v), p(x, y) — искомое давление.

Эта система отличается от классической системы стационарных урав-нений Навье-Стокса остутствием вторых производных по одной из про-странственных переменных.

Показано как применение этого метода позволяет отказаться, в от-личии от работ [2] и [3], от излишней гладкости границы.

Основной результат.Теорема. Если граница ограниченной области Ω принадлежит клас-

су Липшица, и не имеет кусков прямых, параллельных оси OY, а также(f2x − f1y) ∈ L2(Ω), тогда задача

−∫Ω

(ζ(ugx + vgy) + νζygy)dΩ =∫Ω

(f2x − f1y)gdΩ ∀g ∈C1 (Ω)∩

W 2

2 (Ω)

с краевыми условиями (U,n)|Γ = 0, rotU |Γ = 0 (ny = 0 на Γ), имеетрешение из класса: U, ζ = rotU, ζy ∈ L2(Ω), причем div(U) = 0.

[1] Alexandre V.Kazhikhov.Approximation of weak limits and related problems.- Lectures, given at the CIME Summer School heid in Martina Franca, Italy,2003.

23

[2] Подгаев А.Г. О разрешимости некоторых неоднородных задач для па-раболизованных уравнений Навье-Стокса. - Хабаровск, 1992. -34с.

[3] Солопенко В.М. Приближенные модели динамики вязкой жидкости.Обоснование и методы расчета. - Киев: Высшая школа, 1980. -240с.

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ОДНОГОКЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Е. Н. Ломакина (ДВГУПС, Хабаровск)

В докладе представлены критерии ограниченности и компактностиинтегрального оператора

Kf(x) =∫ b(x)

a(x)

k(x, y)f(y)dy, (1)

с ядром, удовлетворяющим условиям:

1)k(x, y) ≥ 0; (2)

2)k(x, y) ≈ k(x, b(z)) + k(z, y), a(x) < y < b(z), x > z;

пределы интегрирования a(x), b(x) - непрерывные возрастающие функ-ции такие, что a(0) = b(0) = 0, a(x) < b(x) для x ∈ (0,∞) и a(∞) =b(∞) = ∞.Теорема 1. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞, 1

r = 1q − 1

p и интегральныйоператор определен формулой (1) с ядром удовлетворяющим (2). Тогданеравенство

‖Kf‖Lqv(0,∞) ≤ C‖f‖Lp

u(0,∞), f ≥ 0,

выполняется в том и только в том случае, если(∑m

(Em,1)r + (Em,2)r + (Em,3)r + (Em,4)r

)1/r

<∞,

причем, ‖K‖Lqv→Lp

u≈ (

∑m(Em,1)r + (Em,2)r + (Em,3)r + (Em,4)r)1/r

, где

Em,1 = supξm<xk<ξm+1

∑k

(∫ xk+1

xk

v(x)dx)r/q

(∫ b(xk)

b(xk−1)

kp′(xk, y)u1−p′

(y)dy

)r/p′1/r

,

24


∑k

∑n≥k

kq(xn+1, b(xn))∫ xn+2

xn+1

v

r/q

×(∫ b(xk)

0

u1−p′(y)dy

)r/q′ (∫ b(xk)

b(xk−1)

u1−p′(y)dy

)1/r

,


∑k

(∫ xk

xk−1

kq(x, b(ξn))v(x)dx

)r/q(∫ a(xk+1)

a(xk)

u1−p′(y)dy

)r/p′1/r

,


∑k

(∫ xk

xk−1

v(x)dx

)r/q(∫ a(xk+1)

a(xk)

kp′(ξm, y)u1−p′

(y)dy

)r/p′1/r

.

Теорема 2. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞, 1r = 1

q − 1p и интегральный

оператор определен формулой (1) с ядром удовлетворяющим (2). Тогдаоператор K : Lp

u → Lqv компактен в том и только в том случае, если

(∑m

(Em,1)r + (Em,2)r + (Em,3)r + (Em,4)r

)1/r

<∞.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантовНШ-9004.2006.1, РФФИ (проект 07-01-00054-а), ДВО РАН (проект 06-III-A-01-003).

[1] S tepanov V.D. Weighed norm inequalities for integral operators and relatedtopics // Invited lecture held at the internationl Spring School. Prague. 1994.

[2] Л омакина Е.Н., Степанов В.Д. Об операторах типа Харди в банаховыхфункциональных пространсвах на полуоси // Докл. РАН. 1998. Т. 359.1. С. 21-23.

[3] L omakina E., Stepanov V. On asymptotic behaviour of the approximationnumbers and estimates of Schatten von Neumann norms of the Hardy–typeintegral operators // Function spaces and application. Narosa PublishingHause. New Delhi. 2000. P. 153-187.

25

О ПОЛУКУБИЧЕСКИХ ГРУППАХ ГОМОЛОГИЙАСИНХРОННЫХ СИСТЕМ ПЕРЕХОДОВВ. Е. Лопаткин (КнАГТУ, Комсомольск-на-Амуре)

Предлагается простое доказательство формулы Кюннета для асин-хронных систем переходов, полученной Хусаиновым и Ткаченко. Про-извольной асинхронной системе переходов T поставим в соответствиеполукубическое множество Q∗(T ). Определим тензорное произведениеполукубических множеств Q∗ = (Q1)∗⊗(Q2)∗. Основной результат дан-ной работы есть следующая

Т е о р е м а: Пусть Ti , i ∈ 1, 2, две асинхронные системы переходови T = T1 ‖ T2 - их параллельное произведение, тогда Q(T1 ‖ T2)∗ ∼=Q(T1)∗ ⊗Q(T2)∗.

Формула Кюннета является одним из следствий этой теоремы.

ПОИСК УЗКИХ МЕСТ В ГРАФЕСО СЛУЧАЙНЫМИ РЕБРАМИА. С. Лосев (УГПИ, Уссурийск)

Возьмем ориентированный граф Γ с конечным множеством вершинU и множеством ребер W. Предположим, что U можно разбить на непе-ресекающиеся подмножества U0 = u∗, U1, . . . , Un = u∗ и для любогоребра (u, v) ∈W можно указать i, 0 ≤ i < n такое, что u ∈ Ui, v ∈ Ui+1.Обозначим R множество путей из начальной вершины u∗ в конечнуювершину u∗ в графе Γ и потребуем, чтобы R = .

Пусть α(u, v), (u, v) ∈ W случайная величина, принимающая зна-чения 0, 1 с вероятностями pu,v, q(u, v) = 1 − pu,v. Если α(u, v) = 1, торебро (u, v) считается работающим, а если α(u, v) = 0, то неработаю-щим, предположим, что

pu,v = pu,v(h) ∼ exp(−h−dc(u,v)), h→ 0, (1)

где существует d > 0 такое, что для любого ребра (u, v) ∈ W найдетсянатуральное c(u, v), удовлетворяющее нашему предположению.

Положим C(R) = minR∈R

max(u,v)∈R

c(u, v), WR = (u, v) ∈ W : c(u, v) =

C(R), и определим S(R) = (u, v) ∈ R : (u, v) ∈ WR, R ∈ R;N (R) =min(N(S(R)) : R ∈ R, C(R) = C(R)),

ЗададимS = S ⊆ W : (c(u, v) → c(u, v) − ε, (u, v) ∈ S) =⇒ (C(R) →

C(R) − ε), 0 < ε < 1.

26

Назовем S ′, совокупность минимального по включению множестваиз S узким местом в графе. Тогда вероятность P (α(Γ) = 1) существо-вания в графе Γ работающего пути R ∈ R удовлетворяет соотношению− lnP (α(Γ) = 1) ∼ N (R)h−C(R), h → 0. При этом S ′ = S(R) : R ∈R, C(R) = C(R), N(S(R)) = N (R).

Для нахождения C(R) предлогается следующий рекуррентный ал-горитм: C(u1) = 0,

C(uk+1) = min[max(C(uk), c(uk, uk+1)) : uk ∈ Uk], (2)

1 ≤ k < n, uk+1 ∈ Uk+1,

тогда C(R) = C(un).

Выделим в графе Γ последовательно, начиная с k = n − 1, ребра(uk, uk+1), удовлетворяющие равенству (2), 1 ≤ k < n, и образуем из нихграф Γ′ с непересекающимися множествами вершин Z1 ⊆ U1, ..., Zn ⊆

Un, U′ =

n⋃i=1

Zi и множеством ребер W ′ ⊆W.

Для определения числа N (R) сопоставим вершинам графа Γ′ числаm(uk), uk ∈ U ′

k, 1 ≤ k ≤ n, с помощью рекуррентной процедуры:m(un) = 0,

m(uk−1) = min[m(uk) + I((uk−1, uk) ∈WR), (uk−1, uk) ∈W ′], (3)

uk−1 ∈ U ′k−1, 1 < k ≤ n,

где I(A) — индикатор события A, тогда N (R) = m(u1).

Для определения множеств из семейства S ′ выделим в графе Γ′ путиR = (u1, . . . , un), удовлетворяющие равенствуN(R) = N (R), с помощьюрекуррентной процедуры: (uk−1, uk) ∈ R, если выполняется равенство(3), 1 < k ≤ n. Далее в пути R определим ребра (uk−1, uk), 1 < k ≤ n,удовлетворяющие включению (uk−1, uk) ∈ WR, число которых по по-строению равно N (R).

27

О КАЧЕСТВЕ ОДНОГО МЕТОДА СГЛАЖИВАНИЯ ВОЦЕНКЕ БЕРРИ – ЕССЕЕНА

С. В. Нагаев (Институт математики им. С.Л. Соболева,Новосибирск), К. В. Михайлов (ВЦ ДВО РАН, ДВГУПС,Хабаровск), В. И. Чеботарев (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть Vρ — класс функций распределения случайных величин с ну-левым математическим ожиданием, единичной дисперсией и конечнымтретьим абсолютным моментом ρ. Обозначим ∆n(F ) == supx∈R |Fn∗(x

√n ) − Φ(x)|, где F ∈ Vρ, n∗ – n-кратная свертка рас-

пределений, Φ(x) = 1√2π

∫ x

−∞ e−t2/2 dt.Неравенство Берри – Эссеена [1,2] (1941–1942) формулируется сле-

дующим образом: существует такая постоянная c0, что для любыхρ ≥ 1, F ∈ Vρ и n ≥ 1 справедлива оценка ∆n(F ) ≤ c0ρ√

n. До настояще-

го времени не известно наименьшее возможное значение c0, и попыткирешить эту задачу не прекращаются.

До 2006-го года наилучшим результатом считалась оценка И.С. Ши-ганова [3] (1982): c0 < 0.7655. В [4] (2006) И.Г. Шевцова утверждала,что модификация метода Шиганова приводит к более точной оценке:c0 < 0.7056. Однако проверить это утверждение, как и неравенство Ши-ганова, весьма затруднительно (в обеих работах производится миними-зация некоторой функции по пяти параметрам).

Это приводит к мысли искать такой способ решения задачи, в ко-тором бы применялись легко проверяемые вычисления. Кроме того, внашем подходе важное место занимает идея получения так называемыхусловных оценок. По-видимому, первую оценку такого рода получилС. Цаль [5] (1966): если ρ ≥ 3/

√2, то ∆n < 0.651 ρ√

n.

С учетом результата Цаля возникает вопрос об оценке при 1 ≤ ρ ≤3/√

2. В настоящей работе исследуется крайний случай: ρ = 1. Известночто класс V1 состоит из единственного распределения F0: оно двухто-чечное с атомами в −1 и 1, имеет преобразование Фурье cos t. Известнотакже, что c∗ := lim

n→∞√n∆n(F0) = 1√

2π≈ 0.3989. Кроме того, непосред-

ственный счет на компьютере значений функции√n∆n(F0) аргумента n

при 1 ≤ n ≤ 200 показывает, что ее графиком является зигзагообраз-ная кривая, причем для каждого фиксированного n ≤ 200 значениефункции меньше, чем c∗. Дополнительно проведенные вычисления для200 ≤ n ≤ 1000, картину не меняют. Это значит, что при любом nправдоподобно неравенство ∆n(F0) < 1√

2πn. Для того, чтобы получить

оценку√n∆n(F0) при всех n, воспользуемся следующим, доказанным

28

нами неравенством сглаживания. Пусть p(x) – четная функция плотно-сти, P (x) =

∫ x

−∞ p(y) dy.Лемма 1. Для любой функции распределения F и любого a > 0

supx

∣∣∣P (x) ∗[F ∗n(x

√n ) − Φ(x)

]∣∣∣ ≥≥ 2∆n(F )

(∫ a

0

p(y) dy −∫ ∞

a

p(y) dy)− 2a√

2πn

∫ a

0

p(y) dy.

Возьмем p(x) = 1λ√

2πe−x2/(2λ2), λ > 0 – параметр. Обозначим F (t) =∫∞

−∞ eitxdF (x), I = 12π

∫∞−∞

∣∣∣ (F (t))n−e−nt2/2

t

∣∣∣ e−t2λ2/2 dt, ε(a) = 2∫∞

ap(x) dx.

Из неравенства сглаживания можно вывести следующую оценку.Лемма 2. Пусть a > 0 такое, что 1 − 2ε(a) > 0. Тогда

∆n(F ) ≤ I+(1−ε(a))a/√

2πn1−2ε(a) .

Полагая F = F0, мы получаем оценку: I < Kn(λ) := 1π

[n

6(n−1+λ2)2 +√2

πn

∑∞k=1

1k e

−(kπλ)2/2 + 4π2(n+λ2) e

−(n+λ2)π2/8], откуда

√n∆n(F0) <

< En(a, λ) := Kn(λ)√

n+(1−ε(a))a/√

2π1−2ε(a) . Вычисления на компьютере дают

следующее: En(a, λ) = 0.450351 при λ = 0.38, a = 0.630016, n = 200. По-скольку Kn(λ)

√n убывает по n, то мы можем гарантировать справед-

ливость неравенства ∆n(F0) < 0.4504√n

, превысив гипотетическую оценку,подтвержденную опытным путем, приблизительно на 12.9%. Эти про-центы характеризуют качество метода (чем они больше, тем менее точенметод).

Работа выполнена при финансовой поддержке: РФФИ (06-01-00069,07-01-00054-а), ИНТАС (03-51-5018), ДВО РАН (06-III-A-01-003).

[1] Berry A. C. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum ofindependent variates// Trans. Amer. Math. Soc.–1941.– V. 49.–P. 122–126.

[2] Esseen C.-G. On the Liapunov limit error in the theory of probability//Ark. Mat. Astr. Fys.–1942.–V. 28A.–P.1–19.

[3] Шиганов И. С. Об уточнении верхней оценки константы в остаточномчлене центральной предельной теоремы// Проблемы устойчивости стоха-стических моделей.– М.: ВНИИСИ, 1982.– C.109–115.

[4] Шевцова И. Г. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в не-равенстве Берри–Эссеена// Теория вероятн. и ее примен. – 2006.– Т. 51,вып. 3. – С. 622–626.

[5] Zahl S. Bounds for the central limit theorem error// SIAM J. appl. Math.–1966.– V. 14, no 6. – P. 1225–1245.

29

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ

А. В. Олесов (МГУ им. Г.И. Невельского, Владивосток)

Целая функция f(z) называется целой функцией конечной степени,если

limz→∞

ln |f(z)||z| <∞.

Указанный предел называется степенью функции f(z). Положим

hf (θ) := limr→∞

ln |f(reiθ)|r

.

Определим класс Pσ как совокупность целых функций ω(z) конеч-ной степени таких, что ω(z) = 0 при z < 0, и hω(−π/2) = σ ≥ hω(π/2).

Теорема 1. Пусть ω(z) ∈ Pσ, hω(π/2) ≤ 0, и пусть f(z) – целаяфункция конечной степени, не превосходящей степени функции ω(z),такая, что |f(x)| ≤ |ω(x)| при x ∈ R, и maxhω(π/2), hf (π/2) = 0.Обозначим

δ = σ − maxhω′(z)−iσω(z)(−π/2), hf ′(z)−iσf(z)(−π/2) (δ ≥ 0).

Тогда при z ≤ 0 и |β| ≥ 1 имеем

|βf ′(z) + eiδz[f ′(z) − iσf(z)]| ≤ |βω′(z) + eiδz[ω′(z) − iσω(z)]|. (1)

Теорема 1 и установленные утверждения о случаях равенства в (1)содержат и уточняют результат Б.Я. Левина [1, с. 468] и теорему В.И.Смирнова [2, с. 356] для алгебраических многочленов.

Теорема 2. Пусть f(z) – целая функция конечной степени σ > 0такая, что hf (π/2) = 0, |f(x)| ≤ 1 при x ∈ R, и f(z) = 0 при z > 0.Обозначим µ = infx∈R |f(x)|,

δ = minσ − hf ′(z)−iσf(z)(−π/2), −hf ′(π/2) (0 ≤ δ ≤ σ).

Тогда при z ≤ 0 и ρ ≥ 1 имеем

ρ|f ′(z)| + |eiδz||f ′(z) − iσf(z)|σ

≤ ρ|eiσz| + |eiδz|2

− µρ|eiσz| − |eiδz|

2. (2)

30

Равенство в (2) при заданных z = ζ, ζ ≤ 0, и ρ ≥ 1 имеет местотогда и только тогда когда либо 1) ζ ∈ R, все нули функции f(z)вещественны, |f(ζ)| = 1; либо 2) ρ = 1, ζ ∈ R, |f(ζ)| = 1; либо 3)

f(z) = c1eiσz + c2, где |c1| + |c2| = 1, |c1| ≤ |c2|;

либо 4) ρ = 1, f(z) с точностью до преобразования поворота имеетвид

f(z) = A

[eiσz/2 + β

2

]2

− eiσz + β2

2, 0 < A ≤ 1, |β| = 1,

eiσζ/2

β< 0.

Неравенство (2) обобщает и улучшает результат Р.Б. Гарднера иН.К. Говила [3] и результат А. Азиза [4, следствие 1] для алгебраическихмногочленов.

Теорема 3. Пусть ω(z) ∈ Pσ, σ > 0, hω(π/2) = 0. Обозначим µ =infx∈R

|ω(x)|, δ = σ − hω′(z)−iσω(z)(−π/2). Тогда при z ≤ 0 и |β| ≥ 1

|βω′(z) + eiδz[ω′(z) − iσω(z)]|σ

≥ (|β|2 − 1)|eiδz||ω(z)||β + eiδz| + |βeiδz + 1|

+µ|eiσz| |β + eiδz|1 + |eiδz| .

|β||ω′(z)| − |eiδz||ω′(z) − iσω(z)|σ

≥ (|β| − 1)|eiδz|1 + |eiδz| |ω(z)|+µ|eiσz| |β| + |eiδz|

1 + |eiδz| .

Определены все случаи равенства в данных неравенствах.Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школ

РФ (грант НШ-9004.2006.1) и РФФИ (грант 05-01-00099).

[1] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – М.: ГИТТЛ, 1956.– 632 с.

[2] Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций ком-плексного переменного. М.: Наука, 1964. – 440 с.

[3] Gardner R.B., Govil N.K. Some inequalities for entire functions of exponentialtype // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123. 9. P. 2757-2761.

[4] Aziz A. Inequalities for the polar derivative of a polynomial // J. Approx.Theory. 1988. V. 55. P. 183-193.

31

АКСИОМАТИЗИРУЕМОСТЬ КЛАССОВ ПЛОСКИХЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛИГОНОВ

М. А. Первухин (ДВГУ, Владивосток)

В статьях [1] и [2] приводятся критерии аксиоматизируемости плос-ких полигонов. В данной работе вводится понятие частично упорядо-ченного полигона и описываются условия аксиоматизируемости классовчастично упорядоченных полигонов.Частично упорядоченным моноидом (ч.у. моноидом) называется мо-

ноид S, на котором введен частичный порядок ≤ так, что если s, t, u ∈ Sи s ≤ t, то us ≤ ut и su ≤ tu. Пусть S - ч.у. моноид. Левым частичноупорядоченным S-полигоном (ч.у. S-полигоном) называется частичноупорядоченное множество A, на котором определено действие ч.у. мо-ноида S следующим образом: (st)a = s(ta); 1a = a; если a ≤ a′, тоsa ≤ sa′; если s ≤ t, то sa ≤ ta, для любых a, a′ ∈ A и s, t ∈ S.

Левый ч.у. S -полигон B называется слабо плоским, если функтор− ⊗ B сохраняет вложения правых идеалов S в S, плоским, если онсохраняет произвольные вложения правых ч.у. S -полигонов, и сильноплоским, если он сохраняет свойства коуниверсального квадрата и урав-нителя.Теорема 1. Следующие условия для частично упорядоченного мо-

ноида S эквивалентны:(1) класс слабо плоских ч.у. полигонов аксиоматизируем;(2) класс слабо плоских ч.у. полигонов замкнут относительно уль-

трапроизведений;(3) для всякого скелетона S над S и a, a′ ∈ S существует конечное

число скелетонов-заменителей S1, ...,Sα(a,S,a′) над S такие, что длявсякого слабо плоского левого ч.у. S-полигона B, если пары (a, b), (a′, b′) ∈S × B связаны схемой T над S и B со скелетоном S, то пары (a, b) и(a′, b′) связаны схемой T ′ над aS∪a′S и B так, что скелетоном даннойсхемы будет Sk для некоторого k ∈ 1, ..., α(a,S, a′).Теорема 2. Следующие условия для частично упорядоченного мо-

ноида S эквивалентны:(1) класс плоских ч.у. полигонов аксиоматизируем;(2) класс плоских ч.у. полигонов замкнут относительно ультра-

произведений;(3) для всякого скелетона S над S и a, a′ ∈ S существует конеч-

ное число скелетонов-заменителей S1, ...,Sα(a,S,a′) над S такие, чтодля всякого правого ч.у. S-полигона A и любого плоского левого ч.у. S-полигона B, если пары (a, b), (a′, b′) ∈ A × B связаны схемой T над A

32

и B со скелетоном S, то пары (a, b) и (a′, b′) связаны схемой T ′ надaS∪a′S и B так, что скелетоном данной схемы будет Sk для некото-рого k ∈ 1, ..., α(a,S, a′).Теорема 3. Следующие условия для частично упорядоченного мо-

ноида S эквивалентны:(1) класс сильно плоских ч.у. полигонов аксиоматизируем;(2) для любых s, t ∈ S, R(s, t) = (u, v) ∈ S × S|su ≤ tv пусто или

конечно порождено как правый ч.у. S-полигон, и r(s, t) = u ∈ S|su ≤tu пусто или конечно порождено как правый ч.у. S-полигон.

Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школРФ (грант НШ-9004.2006.1).

[1] Gould V. Axiomatisability problems for S-systems // J. London Math. Soc.1987. V.35. 2. P.193-201.

[2] Bulman-Fleming S. and Gould V. Axiomatisability of weakly flat, flatand projective acts. Communications in Algebra 30 (2002), 5575–5593.

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА МНОГИХ МАСШТАБОВ ВСЛУЧАЕ НЕКОММУТИРУЮЩИХ ПЕРЕМЕННЫХ

П. С. Петров (ТОИ ДВО РАН, Владивосток)

Подход к гидродинамике с позиций теории струн берет свое начало,по-видимому, с работы Мигдала [1]. Аналогия между струнами и вихре-выми нитями отмечена также в работе [2]. В настоящее время этот под-ход интенсивно развивается [3]. Известная связь между теорией струни некоммутативной теорией поля [4] позволяет полагать, что последняяокажется сильным инструментом при исследовании динамики турбу-лентной жидкости и распространении волн в турбулентных средах. Всвязи с этим представляет интерес развитие асимптотических методовдля волн, распростаняющихся в пространстве с некоммутирующими ко-ординатами, начиная с ниболее простых случаев. Мы проведем анализпростейшего уравнения с параметром, который не коммутирует с не-зависимой переменной, и адаптируем для него понятия и конструкцииметода многих масштабов.

Для стационарного уравнения Шредингера

uxx + pq(x)u

где p - большой параметр, q(x) - некоторая функция, причем p и x некоммутируют между собой рассмотрим задачу в следующей постановке.

33

Неизвестная функция u предполагается зависящей от упорядоченного

набора переменных ([5]): u = u(1x,

2p) (от p как от параметра). Комму-

тационное соотношение между переменными имеет вид [x, p] = iθ, гдепараметр θ предполагается малым. Мы будем учитывать в нашем рас-смотрении лишь члены первого порядка по θ (от p как от параметра).Операция взятия производной от обычной функции по одной из сопря-женных переменных в некоммутативном случае определяется внутрен-ним образом с помощью коммутирования с другой переменной. Такимобразом, уравнение может быть переписано в следующем виде:

− 1θ2

[p, [p, u(1x,

2p)] + p2q(x)u(

1x,

2p) = 0

(если фейнмановские номера над переменными опущены, то предпола-гается, что умножение происходит в обычном порядке). Решение урав-

нения будем искать в виде u = u(1x,

2p S(

1x)), как обычно предполагая,

что u(1x,

2p S(

1x)) допускает равномерное асимптотическое разложение по

обратным степеням большого параметра p:

u(1x,

2p S(

1x)) = u0(

1x,

2p S(

1x)) +

1pu1(

1x,

2p S(

1x)) + . . .

Для такой постановки задачи нами были получены некоммутативныеаналоги продолженной производной, уравнения Гамильтона-Якоби иамплитудного уравнения коммутативного случая. В отличие от послед-него, в результате деформации уравнений решение задачи естественнымобразом распадается на две части:1) для функций q, символ которых удовлетворяет соотношению

q′(ξ)ξ∫0

q(ξ)dξ

2q(ξ)= C = const

символ функции u0(ξ, η) находится в виде:

u0(ξ, η) =A0

4√q(ξ)

eiη(1−Cθ) +B0

4√q(ξ)

e−iη(1+Cθ)

И, таким образом, аналогом ВКБ-приближения в некоммутативном слу-чае будет следующая функция от упорядоченного набора переменных:

u(1x,

2p) =

A0

4√q(

1x)exp(i

2p S(

1x)(1 − Cθ)) +

B0

4√q(

1x)exp(−i

2p S(

1x)(1 + Cθ))

34

2) для произвольной функции q получен следующий вид символа функ-ции u0(ξ, η):

u0(ξ, η) =A0

4√q(ξ)

(1 − 1

2θ√q(ξ)ω′(ξ)

)eiη

где

ω(ξ) = e12 ξ

1 − 14

ξ∫0

q′(ξ)√q(ξ)

ξ∫0

√q(ξ)dξ

e−12 ξdξ

Отметим, что в данном случае символ u0(ξ, η) - заведомо комплексно-значная функция. Некоммутативный аналог ВКБ-приближения в дан-ном случае дается выражением:

u(1x,

2p) =

A0

4√q(

1x)

(1 − 1

2θ

√q(

1x)ω′(

1x)

)ei

2pS(

1x)

Мы видим таким образом, что символы функций от упорядочен-ного набора операторов при исследовании уравнения методом многихмасштабов получают некоторые деформации по сравнению с коммута-тивным случаем.

[1] Мигдал А.А. Вихревое уравнение Фоккера-Планка. В кн.: Нелинейныеволны, М.:Наука,1987.

[2] Морозов А.Ю. Теория струн - что это такое? УФН т.162, 8, с.83-176.

[3] Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry.[http://arxiv.org/hep-th/9908142]

[4] Jackiw R. A Particle Field Theorist’s Lectures on Supersymmetric,Non-Abelian Fluid Mechanics and d-Branes [http://arxiv.org/physics/0010042]

[5] Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 544 c.

АСИМПТОТИКА ЕМКОСТИ ОБОБЩЕННОГОКОНДЕНСАТОРА ПРИ ВЫРОЖДЕНИИ ВСЕХ ПЛАСТИН

Е. Г. Прилепкина (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Асимптотическое поведение емкости конденсатора при вырожденииего пластин ведет к понятию приведенного модуля области, котороенашло существенное применение в геометрической теории функций. В

35

работе [1] исследована асимптотика емкости обобщенного конденсаторапри стягивании в точки всех его пластин, за исключением одной пла-стины, лежащей на границе области. В данном докладе обсуждаютсярезультаты совместной с Д. Б. Карпом работы, касающиеся поведенияемкости обобщенного конденсатора при стягивании в точки всех егопластин.

Пусть B – конечносвязная область на комплексной сфере Cz. Обоб-щенным конденсатором в B называется тройка C = (B, E ,∆), где E =Ekn

k=1 – совокупность замкнутых в B попарно непересекающихся мно-жеств Ek, k = 1, ..., n, а ∆ = δkn

k=1 – совокупность вещественных чиселδk, k = 1, ..., n. Емкость cap C конденсатора C определяется как точнаянижняя грань интегралов Дирихле

I(v, B) :=∫ ∫

B

|∇v|2dxdy

по всем допустимым функциям v(z) (z = x+ iy), т.е. вещественнознач-ным функциям v(z), непрерывным вB, удовлетворяющим условию Лип-шица в некоторой окрестности каждой конечной точки множества B иравным δk в некоторой окрестности пластины Ek, k = 1, ..., n. ЧерезNB(z, ζ) обозначим функцию Неймана области B с полюсом в точке ζ.Теорема. Пусть область B ограничена конечным числом анали-

тических жордановых кривых, Z = zknk=1 - совокупность конечных

точек области B, E− совокупность замкнутых кругов с центром в

точках zk радиуса ψk(r) = µkrνk , µk > 0, νk > 0, k = 1, .., n и

n∑k=1

δk

νk= 0.

Тогда для конденсатора C(r) = (B, E ,∆) при r → 0 справедлива асимп-тотическая формула

12πcapC(r) =

−1log r

n∑k=1

δ2kνk

+1

[log r]2

n∑k=1

δ2k log µk

ν2k

− 1[log r]2

n∑k,l=1

δkδlNlk

νkνl+O

([log r]−3

),

где Nk,l = NB(zk, zl) при k = l, и Nk,l = limz→zk(NB(z, zk) + log |z − zk|)

при k = l.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-

00099), ДВО РАН (грант 06-III-В-01-020) и ведущей научной школы(НШ-9004.2006.1).

36

[1] Дубинин В.Н. Обобщенные конденсаторы и асимптотика их емкостейпри вырождении некоторых пластин. Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 302(2003), с. 38-51.

НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХОПЕРАТОРОВ ТИПА ХАРДИ В ПРОСТРАНСТВАХ С

МЕРАМИД. В. Прохоров (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть λ, µ, ν — положительные σ-конечные борелевские меры на(a, b) ⊂ R; M+ обозначает класс неотрицательных борелевских функцийна (a, b); функция k неотрицательная µ × λ-измеримая и удовлетворя-ющая условию Ойнарова: существует константа D такая,что

D−1(k(x, z) + k(z, y)) ≤ k(x, y) ≤ D(k(x, z) + k(z, y)), при x ≥ z ≥ y.

Даны критерии выполнения неравенства(∫(a,b)

v(Kf)qdµ

) 1q

≤ C

(∫(a,b)

fpwdν

) 1p

для всех f ∈ M+

при 1 < p, q <∞ для интегральных операторов

(Kf)(x) :=∫

(a,x]

k(x, y)u(y)f(y) dλ(y),

где u, v, w ∈ M+.Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда

фундаментальных исследований (проект 07-01-00054-a) и ДВО РАН (про-екты 06-III-В-01-018, 06-III-А-01-003).

О ПОГРЕШНОСТИ МНОГОМЕРНЫХ КВАДРАТУРНЫХФОРМУЛ НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ

М. А. Романов (ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть p ∈ (1,∞) и q определяется из равенства1p

+1q

= 1. Положим

T = [0, 1) и для любого α >1q

определим класс E(α)p (Ts), состоящий из

функций f : Ts → C вида

f(x) =∑n∈Zs

c(n)e2πi〈n,x〉

Hα(n)

37

с H(n) =s∏

j=1

max1, |nj | и полунормой

‖f‖ =

(∑ ′

n∈Zs

|c(n)|p)1/p

<∞

(штрих над знаком суммы означает, что значение n = (0, . . . , 0) присуммировании пропускается).

Погрешностью квадратурной формулы∫Ts

f(x) dx =N∑

k=1

λkf(x(k)) +R(Ω; f)

на сетке Ω = (x(1), . . . , x(N);λ1, . . . , λN ) с N узлами x(1), . . . , x(N) из Ts ивесами λ1, . . . , λN ∈ R с условием нормировки λ1 + · · ·+λN = 1, называ-ется величина R(Ω) = sup |R(Ω; f)|, где sup берется по всем f ∈ E

(α)p (Ts)

с ‖f‖ = 1. На классе E(α)p (Ts) рассмотрим оптимальную погрешность

RN (E(α)p (Ts)) = inf R(Ω), где inf берется по всем указанным выше сет-

кам Ω с N узлами и весами. Хорошо известно (см. [1] – [4]), что дляp ∈ [2,∞] и N > 1

RN (E(α)p (Ts))

α,p,s

(logN)s−1

q

Nα.

В работе [5] был разработан метод изучения величины RN (E(α)p (Ts)) в

случае p ∈ (1, 2) для размерности s = 1. Дополняя его идеями из работы[6], мы доказываем следующий результат:Теорема. Пусть p ∈ (1, 2) и s 1. Тогда для любого натурального

N > 1

(logN)s−1

q

Nα+ 12− 1

q

α,p,s

RN (E(α)p (Ts))

α,p,s

(logN)(s−1)(α+ 3

2− 1q

)Nα+ 1

2− 1q

.

[1] Шарыгин И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул наклассах функций. Журнал вычислительной математики и математиче-ской физики, 1963, Т. 3, С. 370–376.

[2] Фролов К.К. Квадратурные формулы на классах функций. Дисс. ...канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1979.

38

[3] Быковский В.А. О правильном порядке погрешности оптимальных ку-батурных формул в пространствах с доминирующей производной и квад-ратичных отклонениях сеток. Владивосток, 1985. 31 с. (Препринт / АНСССР. Дальневосточный научный центр. Вычислительный центр).

[4] Лев В.Ф. О квадратурных формулах для классов с ограничениями накоэффициенты Фурье. М., 1987. Деп. в ВИНИТИ 27.8.1987, 6294–В87.

[5] В.А. Быковский, М.А. Романов Об экстремальных задачах теорииквадратурных формул на некоторых классах функций. Владивосток: Даль-наука, 2004. 22 с. (Препринт / ДВО РАН. Хабаровское отделение Инсти-тута прикладной математики; 4).

[6] С.А. Смоляк Квадратурные и интерполяционные формулы на тензор-ных произведениях некоторых классов функций. ДАН СССР, 1963, Т.148, 5, С. 1042–1045.

О Rν-ОБОБЩЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ТЕОРИИУПРУГОСТИ С ДВОЙНОЙ СИНГУЛЯРНОСТЬЮ

В. А. Рукавишников, С. Г. Николаев (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

В двумерной невыпуклой области, имеющей кусочно-постоянные упру-гие характеристики, рассматривается первая краевая задача теории упру-гости для системы уравнений Ламе с двойной сингулярностью. Осо-бенности вызваны разрывом коэффициентов в уравнениях и наличиемтупых углов на границе области и линии раздела подобластей (интер-фейсе), в которых коэффициенты непрерывны.

Для поставленной задачи вводится понятие Rν-обобщенного реше-ния. Построение дискретного аналога осуществляется с использовани-ем метода мортарных конечных элементов. Такой подход позволяет ис-пользовать сетки, нестыкующиеся на интерфейсе. Численное решениенаходится отдельно в каждой подобласти, а затем на основе условияслабой непрерывности осуществляется его склейка на интерфейсе. Длярешения систем линейных алгебраических уравнений, получающихся врезультате дискретизации задачи, применяется метод GMRES.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта07-01-00210) и Президиума ДВО РАН (грант 06-III-A-01-001).

39

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ОЦЕНКА СУММЫ НЕПОЛНЫХЧАСТНЫХ ДРОБЕЙ С ФИКСИРОВАННЫМ

ЗНАМЕНАТЕЛЕММ. Г. Рукавишникова (ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть d – натуральное число, большее 2. Обозначим через Zd набориз всех натуральных чисел от 1 до d. Далее, Z ′

d – подмножество в Zd,состоящее из натуральных чисел, взаимно простых с d. При этом

#Zd = d, #Z ′d = ϕ(d).

Речь идет о количестве элементов соответствующих множеств, во вто-ром случае совпадающим со значением функции Эйлера ϕ(d).

Пусть a ∈ Z ′d и

a

d= [0; q1, q2, . . . , qs]

– каноническое разложение числа ad в непрерывную дробь с неполными

частными qi = qi(a) (натуральные числа) и длиной s = s(a) = sd(a).При этом последнее неполное частное qs всегда больше или равно 2.Положим

ld(a) =s(a)∑i=1

qi(a).

Эта величина характеризует количество операций вычитания при вы-полнении алгоритма Евклида для пары (a, d) в античном варианте.

При оценке качества датчиков случайных чисел, основанных на ли-нейном конгруэнтном методе, возникает задача оценки величины ld(a)для почти всех a ∈ Z ′

d (см.[1],3.3.3). Опираясь на асимптотическую фор-мулу (см. [1], упр. 4.5.3-35, а также [2])

1ϕ(d)

∑a∈Z′

d

ld(a) =(

6π2

+ o(1))

log2 d,

Д. Кнут сделал следующий вывод: вероятность того, что ld(a) больше(log d)2+ε (для любого фиксированного ε > 0), стремится к нулю приd→ ∞.

В настоящей работе доказывается следующий более сильный резуль-тат на эту тему.

Теорема. Пусть g(d) – неограниченно возрастающая последова-тельность, для которой g(d) ≤ log2 d. Тогда при d ≥ 3

1ϕ(d)

#a ∈ Z ′d | ld(a) ≥ g(d) log d log log d 1

g(d).

40

В частности, из теоремы следует, что в утверждении Д. Кнута вме-сто показателя 2 + ε можно взять 1 + ε.

Работа выполнена при поддержке проекта 06 - I - П13 - 047 Прези-диума ДВО РАН.

Автор благодарит В.А. Быковского за внимание и полезные советы.

[1] Кнут Д.Э. Искусство программирования, том 2. Получисленные алго-ритмы, 3-е изд. – М.:Вильямс, 2001.

[2] Yao A., Knuth D.Analysis of the subtractive algorithm for greatest commondivisors//Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1975. Vol. 72. No. 12. pp. 4720-4722.

[3] Быковский В.А. Оценка дисперсии длин конечных непрерывных дро-бей// Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. Вып. 6.C. 15-26.

[4] Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.:Физматгиз, 1961.

ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРУППОИДАХА. А. Степанова, С. Н. Коржавина (ДВГУ, Владивосток)

Алгебра A языка L называется абелевой, если для любого термаt(x, y) языка L и любых a, b, c, d ∈ A равенство t(a, c) = t(a, d) равно-сильно равенству t(b, c) = t(b, d). Классическими примерами абелевыхалгебр служат абелевы группы и модули над кольцами. В [1] приво-дится характеризация абелевых группоидов с образом мощности 2 и 3.В данной работе изучаются абелевы группоиды с единицей и абелевыквазигруппы.Теорема 1. Группоид (A; ·) с единицей является абелевой алгеброй

тогда и только тогда, когда (A; ·) — коммутативный моноид и для любыхa, b ∈ A уравнение x+ a = b имеет в (A; ·) не более одного решения.Следствие.Конечный группоид (A; ·) с единицей является абелевой

алгеброй тогда и только тогда, когда (A; ·) — абелева группа.Пусть (A; ·) — квазигруппа, a ∈ A, Ra(x) = x · a, La(x) = a · x,

x + y = R−1a (x) · La(y)−1. Квазигруппа (A; +) является квазигруппой с

единицей a ·a (см. [2]). Равенства ra(x)+a = R−1a (x) и la(x)+a = L−1

a (x)определяют перестановки ra(x) и la(x) множества A.Теорема 2. Квазигруппа (A; ·) является абелевой алгеброй тогда

и только тогда, когда (A; +) — абелева группа и перестановки ra(x) иla(x) являются автоморфизмами этой группы.

41

Заметим, что класс абелевых (конечных) квазигрупп совпадает склассом квазигрупп, порождающих h-нормальный (ω-категоричный) класс(см. [3]).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (про-ект N 05-01-00411) и гранта ведущих научных школ РФ (грант НШ-9004.2006.1).

[1] Е.В. Овчинникова Об абелевых группоидах с образами малой мощно-сти // Алгебра и теория моделей. Сборник трудов. — Новосибирск: НГТУ,2005.

[2] В.Д. Белоусов Основы теории квазигрупп и луп, Наука, М.: 1967.

[3] Степанова А.А. h-нормальность и ω-категоричность классов некоторыхгруппоидов // Математический анализ и дискретная математика. Меж-вузовский сборник научных трудов. — Новосибирск: НГУ, 1988.

ПРЕДЕЛЫ И КОПРЕДЕЛЫ В КАТЕГОРИИ СИСТЕМПЕРЕХОДОВ

В. В. Ткаченко (АмГПГУ, Комсомольск-на-Амуре)

Система переходов состоит из множества состояний S вычислитель-ного процесса, с выделенным начальным состоянием s0 , множествасобытий E, определяющих множество переходов, характеризующее вы-числительный процесс на каждом этапе. Более точно: Системой пере-ходов называется четверка T = (S, s0, E, Tran) , где S – множествосостояний, с выделенным начальным состоянием s0, E – множество со-бытий, Tran ⊆ S × E × S – множество переходов. Обозначим Tran∗ =Tran ∪ (s, ∗, s) : s ∈ S.

Морфизмом T → T ′ называется пара (σ, λ), состоящая из отобра-жения множеств σ : S → S′ и отображения пунктированных множествλ : E ∪ ∗ → E′ ∪ ∗ таких, что σ(s0) = s′0 и (s1, a, s2) ∈ Tran ⇒(σ(s1), λ(a), σ(s2)) ∈ Tran′∗.

Доказано, что в категории систем переходов существуют уравнителии коуравнители. Показано, что категория систем переходов допускаетполное вложение в категорию рефлексивных графов. На основе этогоустановлено, что категория систем переходов обладает произвольнымипределами и копределами.

42

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЕРВОГО ИВТОРОГО МОМЕНТОВ ДЛЯ ЧИСЛА ШАГОВ В

АЛГОРИТМЕ ЕВКЛИДАА.В.Устинов (ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть s(c, d) = s(c/d) — число шагов в алгоритме Евклида, приме-ненном к числам c и d. Рассмотрим математическое ожидание и дис-персию величины s(c/d), когда натуральные c и d лежат в области1 ≤ c ≤ d ≤ R:

E(R) =2

R(R+ 1)

∑d≤R

∑c≤d

s(c/d),

D(R) =2

R(R+ 1)

∑d≤R

∑c≤d

(s(c/d) − E(R))2 .

В докладе планируется рассказать о следующих результатах.Теорема 1.

E(R) =2 log 2ζ(2)

logR+B +O(R−1 log5R).

Ранее эта асимптотическая формула была известна с худшим оста-точным членом O(R−1/6+ε) (см. [2]).Теорема 2.

D(R) = δ1 · logR+ δ0 +Oε(R−1/4+ε).

Последняя формула была доказана с остаточным членом O(R−γ)для некоторого γ > 0 (см [1]).

Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ, грант 07-01-00306 и проекта ДВО РАН 06-III-А-01-017

[1] Baladi V., Vallee B. Euclidean algorithms are Gaussian. J. Number Theory,v. 110, 2005, 331-386.

[2] Porter J. W. On a theorem of Heilbronn. Mathematika, 1975, v. 22, No 1,20–28.

43

МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВАХАРДИ

Е. П. Ушакова (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть n ∈ N, 0 < p, q <∞ и n-мерный интегральный оператор ХардиHn задан для некоторой неотрицательной на

Rn+ : = y = (y1, . . . , yn) : y1, . . . , yn ≥ 0

функции f(y) формулой

(Hnf)(x) : =∫ x1

0

. . .

∫ xn

0

f(y)dy, x1, . . . , xn > 0,

где dy : = dy1 . . . dyn. В работе охарактеризованы весовые функции wи v, заданные на Rn

+, такие, что неравенство вида(∫Rn

+

(Hnf)q (x)w(x)dx

) 1q

≤ C

(∫Rn

+

fp(y)v(y)dy

) 1p

(1)

выполнено для 1 < q < p <∞ и всех неотрицательных на Rn+ функций

f с независящей от f конечной константой C. Полученные результатыиспользованы для получения достаточных условий выполнения весово-го неравенства вида(∫

Rn+

(Gnf)q (x)w(x)dx

) 1q

≤ C

(∫Rn

+

fp(y)v(y)dy

) 1p

(2)

для n-мерного оператора геометрического среднего Gn, заданного сле-дующей формулой:

(Gnf)(x) : = exp(

1x1. . .xn

∫ x1

0

. . .

∫ xn

0

log f(y)dy), x1, . . . , xn > 0.

Теорема 1. Пусть 1 < q < p < ∞, 1/r = 1/q − 1/p и весо-вая функция v такова, что v(y) = v(y1, . . . , yn) = v1(y1) . . . vn(yn) и∫∞0v1(x1)1−p′

dx1 = . . . =∫∞0vn(xn)1−p′

dxn = ∞. Тогда неравенство (1)выполнено для всех измеримых на Rn

+ функций f если и только если

BPSn=

(∫Rn

+

(∫ t1

0

. . .

∫ tn

0

w(x)V1(x1)q . . . Vn(xn)qdx) r

q

44

× V1(t1)−rq . . . Vn(tn)−

rq dV1(t1) . . . dVn(tn)

) 1r

<∞,

где Vi(ti) =∫ ti

0vi(xi)1−p′

dxi, i = 1, . . . , n, и C ≈ BPSnс константами

эквивалентности, зависящими только от параметров p, q и размер-ности n.Теорема 2. Пусть 0 < q < p <∞. Тогда неравенство (2) выполнено

если и только если

BGn=

(∫Rn

+

(∫ t1

0

. . .

∫ tn

0

u(x)dx) r

q

t− r

q

1 . . . t− r

qn dt1 . . . dtn

) 1r

<∞,

где u(x) : = (Gnv)(x)−qpw(x).

Работа поддержана грантом РФФИ (проект 07-01-00054) и грантамиДВО РАН (проекты 06-III-A-01-003 и 06-III-B-01-018).

КУБИЧЕСКИЕ ГОМОЛОГИИ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЧНОКОММУТАТИВНЫХ МОНОИДОВ

А. А. Хусаинов (КнАГТУ, Комсомольск-на-Амуре)

Данная работа посвящена группам гомологий свободных частичнокоммутативных моноидов. Пусть E – множество, I ⊆ E × E – антире-флексивное симметричное отношение на E. Моноид заданный с помо-щью множества образующих E и соотношений ab = ba, выполненныхдля пар (a, b) ∈ I, называется свободным частично коммутативным иобозначается через M(E, I). Эти моноиды применяются при моделиро-вании параллельных вычислительных систем с помощью асинхронныхсистем переходов. В работе рассматриваются три основных вопроса.Первый из них посвящен гомологиям полукубических множеств с ко-эффициентами в гомологических системах абелевых групп. Второй во-прос посвящен гомологической размерности свободных частично ком-мутативных моноидов. В работе [1] было доказано, что гомологическаяразмерность моноида M(E, I), не имеющего троек попарно перестано-вочных образующих, не больше двух. В 2005 году была высказана гипо-теза о том, что если моноид M(E, I) имеет не более n попарно переста-новочных образующих, то его гомологическая размерность не больше n.В случае конечного множества E эта гипотеза подтверждена Л. Поля-ковой. В настоящей работе мы подтверждаем эту гипотезу в общем слу-чае. Третий вопрос посвящен гомологиям M(E, I)–множеств. Автором

45

в совместной работе с В. В. Ткаченко было показано, что асинхронныесистемы переходов можно рассматривать как правые пунктированныеM(E, I)—множества. Это позволило определить группы гомологий дляасинхронных систем переходов. Мы покажем, что эти группы изоморф-ны группам гомологий соответствующих полукубических множеств. Вработе [1] была высказана гипотеза о том, что если асинхронная си-стема переходов имеет не более n попарно независимых событий, то еегомологическая размерность не больше n [1, Open Problem 2]. Основнымрезультатом настоящей работы является доказательство этой гипотезы.

[1] Husainov A.On the homology of small categories and asynchronous transitionsystems. // Homology Homotopy Appl., 2004. V. 6, N 1. P. 439–471.http://www.rmi.acnet.ge/hha

0-УПРАВЛЯЕМОСТЬ СИСТЕМ НАВЬЕ-СТОКСА СФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

А. Ю. Чеботарев (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Пусть V и H — пара вещественных гильбертовых пространств та-ких, что V плотно в пространстве H, вложение V в H компактно иV ⊂ H = H ′ ⊂ V ′, где H ′ и V ′ — сопряженные с H и V . Нормы про-странств V и H будем обозначать через ‖ ·‖ и | · | соответственно; (·, ·) —отношение двойственности между пространствами V ′ и V и скалярноепроизведение в H.

Рассмотривается задача управляемости для полулинейного уравне-ния

u′ +Au+B[u] = f, t ∈ (0, T ), u(0) = u0. (1)

Здесь u′ = ∂u/∂t. A : V → V ′ — линейный непрерывный оператортакой, что

(Av, v) ≥ ν‖v‖2, ν > 0, (Av,w) = (Aw, v) ∀v, w ∈ V ;

B[u] = B(u, u) и B(u, v) : V × V → V ′ — билинейное непрерывное отоб-ражение, удовлетворяющее условиям:

(B(u, v), v) = 0 ∀u, v ∈ V ;

отображение B[u] : V → V ′ усиленно непрерывно;

Требуется найти управление f(t) ∈ H такое, что u(T ) = 0 и при этомвыполняется фазовое ограничение (w, u) ≥ |u|. Здесь w — заданныйэлемент пространства H.

46

Для доказательства 0-управляемости исследуется разрешимость за-дачи Коши для дифференциального включения

0 ∈ u′ +Au+B[u] + ∂φ(u) на (0, T ), u(0) = u0. (2)

Здесь ∂φ(u) является субдифференциалом функции φ,φ(v) = ρ(w, v) если v ∈ K, φ(v) = +∞ если v ∈ K.Множество K описывает ограничение на состояние управляемой си-

стемы, K = v ∈ H : (w, v) ≥ |v| .Существование сильного решения задачи (2) позволяет выбрать суб-

дифференциал ∂φ(u) в качестве искомого управления и получить оцен-ки решения управляемой системы (1), гарантирующие при достаточнобольшом значении параметра ρ > 0 выполнение условия u(T ) = 0.

В виде системы (1) можно записывать различные краевые задачидля уравнений Навье-Стокса. Выбор фазовых ограничений связан с по-иском управлений из конечномерного подпространства в H, переводя-щих начальное состояние в ноль.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ-ДВО РАН (06-01-96003) и Фонда содействия отечественной науке.

НОРМАЛЬНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ ВN-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕВ. А. Шлык, О. Н. Склюева (ВФРТА, Владивосток),

И. Н. Демшин (ДВГУ, Владивосток)

Понятие нормальной области на евклидовой плоскости ввeл Гретш.Многочисленные результаты, описывающие экстремальные свойства этихобластей можно найти в [1].

В данной работе рассматриваются свойства компактов, порождаю-щих нормальные прямоугольные области в n-мерном евклидовом про-странстве Rn, n ≥ 2.

Положим Π = x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : ai < xi < bi, i = 1, . . . , n,σ01 = ∂Π ∩ x ∈ Rn : x1 = a1, σ11 = ∂Π ∩ x ∈ Rn : x1 = b1. ПустьE — компакт, каждая компонента связности которого не соединяет вΠ компакты σ01 и σ11; Ln(·) — n-мерная мера Лебега; mp(F0, F1, G) —p-модуль семейства кривых, расположенных в области G ⊂ Rn и соеди-няющих компакты F0, F1 ⊂ G = G ∪ ∂G, F0 ∩ F1 = ∅, 1 < p < +∞;Ll

p(G) — класс локально интегрируемых в G числовых функций, имею-щих там суммируемые с показателем p ∈ (1,+∞) обобщҷнные частныепроизводные. Для Π\E обозначим через σ01 еҷ граничную компоненту,

47

которая либо имеет общие точки с σ01, либо отделяет σ01 от σ11 в Π,аналогично определим σ11.

Если Π \ E — область и

1) функция ρ0 =1

b1 − a1— обобщенная экстремальная метрика для

mp(σ01, σ11,Π \ E);

2) mp(σ01, σ11,Π) = mp(σ01, σ11,Π \E), то Π \E назовҷм нормальнойпрямоугольной областью относительно координатной оси x1.

Аналогично можно определить нормальные прямоугольные области от-носительно других координатных осей.

Теорема 1. Если Π\E — нормальная прямоугольная область отно-сительно оси x1, то 1) Ln(E∩Π) = 0; 2) (σi1\σi1) — p-исключительноемножество относительно кривых в Π \ E, i = 0, 1.

Теорема 2. Пусть Π\E — область, Ln(E ∩Π) = 0, (σi1 \σi1) — p-исключительное множество относительно кривых в Π\E, i = 0, 1. Π\E — нормальная прямоугольная область относительно оси x1 тогда итолько тогда, когда любую функцию f ∈ L1

p(Π\E) можно продолжитьдо абсолютно непрерывной функции на lx′ ∩ Π, lx′ = (x1, x

′) : −∞ <x1 < +∞, для почти всех x′ = (x1, x2, . . . , xn−1) ∈ Π′ = x ∈ Rn−1 :ai < xi < bi, i = 2, 3, . . . , n.

Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школРФ (грант НШ-9004.2006.1) и РФФИ (грант NC 05-01-000 99)

[1] Oikawa K. and Sario L. Capacity functions, Springer-Verlag, Berlin, 1969.

48

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ИМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯСТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА ИМАСС В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Г. В. Алексеев (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)Исследуются коэффициентные задачи идентификации для стацио-

нарных моделей переноса тепла и масс в вязкой несжимаемой жидко-сти. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных коэф-фициентов, входящих в рассматриваемые модели либо граничные усло-вия, по дополнительной информации об основном состоянии. Исследуе-мые модели состоят из уравнений Навье-Стокса, уравнения конвекции-диффузии для температуры, нелинейно связанных через силу плавуче-сти в приближении Буссинеска, а также конвективный перенос теплаи масс. Рассматриваемые задачи идентификации формулируются какзадачи условной минимизации определенных функционалов качествана слабых решениях исходной краевой задачи. Доказывается разреши-мость указанных задач идентификации, выводятся системы оптималь-ности, описывающие необходимые условия минимума.

Основное внимание уделяется исследованию вопроса о локальнойединственности и устойчивости решений рассматриваемых задач иден-тификации. Сложность исследования этого вопроса связана с тем обсто-ятельством, что коэффициентные задачи идентификации характеризу-ются двойной нелинейностью. Первая связана с нелинейностью исход-ных моделей, вторая с нелинейным вхождением в модели неизвестныхкоэффициентов. Тем не менее, структура дифференциальных уравне-ний, составляющих модели тепломассопереноса, такова, что с помощьюдетального анализа выведенных систем оптимальности удается уста-новить достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие ло-кальную единственность (и устойчивость) решений конкретных задачуправления.

Указанные условия имеют громоздкий вид. Чтобы сделать их бо-лее наглядными, вводятся безразмерные параметры (Рейнольдса, Рэ-лея и Прандтля). С использованием безразмерных параметров указан-ные условия единственности могут быть записаны в форме (см. [1,2]),

49

близкой к форме условий единственности коэффициентных обратныхзадач для стационарного линейного уравнения конвекции-диффузии-реакции.

Данное исследование поддержано грантом НШ-9004.2006.1, грантомРФФИ-Дальний Восток, проект N 06-01-96020-р_восток_а, и грантамиДВО РАН (проекты: 06-I-П22-086, 06-II-СО-03-010, 06-III-А-03-072).

[1] Алексеев Г. В.Обратные экстремальные задачи для стационарных урав-нений тепловой конвекции // Вестник НГУ. Сер. мат. мех. информ. 2006.Т. 6. С. 6–32.

[2] Алексеев Г. В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи длястационарных уравнений тепломассопереноса // Журн. вычисл. мат. имат. физики. 2007. Т. 47. N. 6. С. 1055–1076.

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МГД-ТЕЧЕНИЕМВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗАЕ. В. Амосова (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Рассматривается задача управления одномерным протеканием про-водящего политропного вязкого теплопроводного совершенного газа че-рез интервал. В качестве управления выбирается плотность внешнихтоков. Доказано существование оптимального управления. Выведенынеобходимые условия оптимальности. Установлена компактность мно-жества решений.

Начально-краевая задача для одномерных уравнений магнитной га-зовой динамики, записанной в лагранжевых переменных, имеет вид [1],[2]:

ρt + ρ2vx = 0, P = Rρθ,

vt = µ(ρvx)x − Px − 1µBBx,

cV θt = κ(ρθx)x − Pvx + ρ(vx)2 +J2

σρ,

1ρBt +Bvx =

1µσ

(ρBx)x + gx,

J = σ(E − vB) + g, Bx = −µJρ, (1)

где u, ρ и θ — соответственно скорость, плотность и абсолютная тем-пература газа, B — магнитное поле, E — электрическое поле, J и g

50

— плотность внутренних и внешних токов, µ = const > 0, cV — соот-ветственно коэффициенты динамической вязкости и теплопроводностипри постоянном объеме, R — газовая постоянная, σ — скалярная про-водимость газа, κ — теплопроводность газа.

К уравнениям (1) добавляются начальные условия:

ρ|t=0 = ρ0(x), v|t=0 = v0(x), θ|t=0 = θ0(x), B|t=0 = B0(x), x ∈ [0, 1]

и условия в точках x = 0 и x = 1:

v = θx = Bx = 0, t ∈ [0, T ].

Задача оптимального управления формулируется как задача мини-мизации следующего функционала, записанного в лагранжевых пере-менных:

Jα(g) = α1

T∫0

1∫0

ρg2xdxdt+ α2

T∫0

1∫0

1ρv2dxdt→ inf

g∈Uc

.

Здесь Uc — заданное множество управлений. Функции v = v(g;x, t),ρ = ρ(g;x, t), θ = θ(g;x, t), B = B(g;x, t) представляют собой состоя-ние системы (1), соответствующее плотности внешних токов, α1, α2 —положительные постоянные.

Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школРФ (грант - НШ 9004.2006.1).

[1] Бан Ши-н Магнитная газодинамика и динамика плазмы. М., 1964.

[2] Кажихов А.В., Смагулов Ш. Корректность и приближенные методыдля модели магнитной газовой динамики.// В сб. Динамика сплошнойсреды. Вып. 26, Новосибирск. 1976. С.

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙЖИДКОСТИ В РОТАЦИОННОМ ВИСКОЗИМЕТРЕВ. П. Бескачко, О. А. Головня, А. Е. Коренченко

(ЮУрГУ, Челябинск)

При исследовании вопроса о течении вязкопластической жидкостив случаях сложной геометрии а также для решения нестационарныхзадач используются различные численные модели. К таким моделям

51

относятся модель вязкопластичности с нелинейной вязкостью и нуле-вым пределом текучести, а также модель двойной вязкости. В настоя-щей работе проведен численный анализ установления течения линейнойвязкопластической жидкости в зазоре между двумя цилиндрами с уче-том порогового напряжения. Рассмотрены процессы формирования иэволюции застойной зоны и проведено сравнение с известным аналити-ческим решением.

Уравнение движения вязкопластической среды запишется как

∂Vϕ

∂t= −1

ρ

(1r2

· ∂∂r

(r2τrϕ

)). (1)

Определяющие соотношения для линейного вязкопластического ма-териала имеют вид

τij = −

η +τ0√

12(ε, ε)

εij ,

√12(τ, τ) > τ0, (2)

εij = 0,

√12(τ, τ) ≤ τ0,

где εij — компоненты тензора скоростей деформаций, из которых в при-ближении длинных цилиндров и осесимметричного течения, отлична от

нуля только εrϕ =∂Vϕ

∂r− Vϕ

r, η — коэффициент динамической вязкости,

τ0 — порог текучести.Уравнение (1) выполнено только в области вязкого течения, осталь-

ная часть жидкости представляет собой застойную зону и движется кактвердое тело. Получено конечно-разностное описание нестационарно-го процесса установления течения вязкопластической жидкости и фор-мирования застойной зоны. Получены значения времени установлениястационарного течения в зазоре между цилиндрами, значение которогонамного меньше периода вращения.

52

АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ МГД ПРИСМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В

АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕР. В. Бризицкий (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

В ограниченной области Ω ⊂ R3 с границей Γ, состоящей из двухчастей ΓN и ΓT , рассматривается краевая задача магнитной гидроди-намики

ν∆u + (u · ∇)u + ∇p− ærotH × H = f , divu = 0 в Ω, (1)

ν1rotH − E + æH × u = ν1j, div(µH) = 0, rotE = 0 в Ω, (2)

u = 0 на Γ, (µH · n)|ΓN= 0, H × n|ΓT

= 0, E × n|ΓN= 0. (3)

Здесь введены следующие обозначения: u и H – векторы скорости инапряженности магнитного поля, p = P/ρ0, где P – давление, ρ0 =const– плотность жидкости, æ = µ0µρ

−10 , ν1 = σ−1ρ−1

0 ≡ æνm, E = ρ−10 E, где

E –вектор напряженности электрического поля, ν и σ – постоянные ко-эффициенты вязкости и проводимости среды, ε0 и µ0 – электрическая имагнитная постоянные, ε0 и µ = µ(x), x ∈ Ω – электрическая и магнит-ная проницаемости. Величина νm = 1/σµ0µ имеет смысл коэффициентамагнитной вязкости, f – объемная плотность внешних сил, j – векторплотности тока внешних электродвижущих сил. Условия (3) означают,что граница Γ непроницаема для жидкости, причем часть ΓN границыΓ является идеально проводящей, тогда как другая часть ΓT являетсяидеальным диэлектриком.

С использованием результатов [1-4] устанавливаются достаточныеусловия глобальной разрешимости задачи (1)–(3), выводятся априор-ные оценки норм решения через нормы исходных данных, исследуютсявопросы единственности и регулярности полученных решений.

Данное исследование поддержано грантом НШ-9004.2006.1 и гранта-ми ДВО РАН (проекты: 06-I-П22-086, 06-II-СО-03-010, 06-III-А-01-011).

[1] Fernandes P. Magnetostatic and electrostatic problems in inhomogeneousanisotropic media with irregular boundary and mixed boundary conditions //Math. Methods Appl. Sci. 1997. V. 7. N 7. P. 957–991.

[2] Алексеев Г.В. Разрешимость задач управления для стационарных урав-нений магнитной гидродинамики вязкой жидкости // Сиб. мат. журн.2004. Т. 45. N 2. С. 243–262.

53

[3] Алексеев Г.В. Задачи управления для стационарной модели магнитнойгидродинамики вязкой теплопроводной жидкости // Успехи механики.2006. N 2. С. 66-116.

[4] Илларионов А.А. Краевые задачи и оптимизация для стационарныхмоделей несжимаемой жидкости. Кандидатская диссертация.

АНАЛИЗ ГЛУБИНЫ ЗАДЕЛКИ СТЕРЖНЯВ КОСТНОЙ ТКАНИ

А. В. Бушманов, Л. А. Соловцова (АГУ, Благовещенск)

Разработка аппаратов внешней фиксации является определяющимнаправлением развития современной травматологии. Их главной со-ставной частью являются стержни, посредством которых выполняетсякрепление фиксирующих устройств [1]. В зоне соединения металличе-ского стержня с костной тканью вследствие деформации костной ткани,возникают контактные напряжения, которые в сочетании с колебатель-ной нагрузкой, приводят к разрушению костной ткани вокруг металли-ческого стержня, что приводит к ослаблению прочности соединения вцелом. В работе исследуется зависимость возникающих напряжений взоне контакта от глубины заделки стержня в костную ткань. Задача ре-шается с применением объемных конечных элементов с использованиемпакета MATLAB 6.5.

Численное моделирование выполняется в два этапа. На первом этаперассматривается металлический стержень, для которого определяем си-лы реакции в точках контакта стержня с костной тканью при действиина консольную часть заданной сосредоточенной силы. Найденные реак-ции позволяют определить распределенную нагрузку, возникающую взоне касания стержня с костной тканью. На втором этапе моделируетсяфрагмент костной ткани, в который вставлен металлический стержень.Для расчетов перемещения и напряжения в костной ткани, возникаю-щих при взаимодействии с металлическим стержнем, используем ме-тод конечных элементов. Его главная задача Џ– построение матрицыжесткости для фрагмента кости. При этом используется общий подход,основанный на построении функции формы [2,3]. Метод позволяет каж-дый элемент рассматривать независимо от других и аппроксимироватьфункцию на этом элементе с помощью ее узловых значений. Векторнагрузок для фрагмента костной ткани формируется с учетом рассчи-танных на предыдущем этапе нагрузок, возникающих в зоне контактастержня с костной тканью. Имеем систему линейных уравнений , кото-рая с учетом граничных условий для фрагмента кости дает единствен-

54

ное решение. Определив вектор узловых перемещений для фрагментакости, вычисляется напряжения в узлах. Описанные два этапа выполня-ются для различных глубин заделки стержня в костную ткань. Анализнапряжений в зоне контакта и сравнение их с разрушающими напря-жениями для кости позволяют выбрать оптимальную глубину заделкистержня в костную ткань.

[1] Шаповалов В. М., Гуманенко Е. К., Дулаев А. К. и др. Хирурги-ческая стабилизация таза у раненых и пострадавших. – СПб.: МОРСАРАВ, 2000. - 240 с., ил.

[2] Лащеников Б.Я., Дмитриев Я.Б., Смирнов М.Н. Методы расчетана ЭВМ конструкций и сооружению – М.:Стройиздат, 1993. - 368с.

[3] Расчет на прочность деталей машин: Справочник/ И.А.Биргер,Б.Ф.Шорр, Г.Б.Иосилевич – М.:Машиностроение, 1979. - 702с.

СХЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯКВАЗИВАРИАЦИОННОГО НЕРАВЕНСТВА

СИНЬОРИНИЭ. М. Вихтенко, Р. В. Намм (ТОГУ, Хабаровск)

Рассматривается плоская контактная задача между упругим телом иабсолютно твердой опорой [1], [2]. Решение задачи удовлетворяет квази-вариационному неравенству, в котором сила трения зависит от искомогорешения. Для решения неравенства применяется метод последователь-ных приближений, на каждом шаге которого решается полукоэрцитив-ная задача Синьорини с заданным трением. Решение вспомогательнойзадачи сводится к поиску седловой точки модифицированного функци-онала Лагранжа.

[1] Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вари-ационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986.

[2] Kikuchi N., Oden T. Contact problem in elasticity: a study of variationalinequalities and finite element method. Philadelphia: SIAM, 1988.

55

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ

В. Д. Власенко (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

Работа посвящена постановке вариационной задачи электроупруго-сти и разработке схемы метода конечных элементов (МКЭ) для ее ре-шения, а также определению на этой основе характеристик осесиммет-ричных электроакустических преобразователей с пьезокерамическимиэлементами.

Записана вариационная постановка задачи электроупругости в тер-минах смещений и электрического потенциала. Получены теоретиче-ские оценки сходимости приближенных решений МКЭ статической ва-риационной задачи электроупругости, однако основной практическийинтерес представляет случай вынужденных гармонических колебаний,поэтому актуальным является исследование на конкретных примераххарактера сходимости приближенных решений задач о вынужденныхколебаниях в зависимости от частоты возбуждения. Ввиду сложности,а чаще – невозможности получения аналитических решений таких за-дач, даже областей канонической формы, рассматривается случай од-номерных колебаний.

Полученные результаты свидетельствуют о хорошей сходимости при-ближенных решений и показывают возможность решения задачи о вы-нужденных колебаниях практически во всем диапазоне частот возбуж-дения, за исключением узких интервалов вблизи резонансных частотобъекта, ширина которых не превышает нескольких процентов от соот-ветствующей резонансной частоты.

НЕЙРОННЫЕ СЕТИ В ЗАДАЧАХ МЕДИЦИНСКОЙДИАГНОСТИКИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ

ПРОГРЕССИРОВАНИЯ ЗАБОЛЕВАНИЯ (НА МОДЕЛИРАССЕЯННОГО СКЛЕРОЗА)

И. В. Возжаева, С. З. Савин, Е. А. Шишаева (ВЦ ДВО РАН)

При изучении закономерностей результатов исследований данных,полученных в результате обследований пациентов с заболеванием РСвозникла необходимость в решении задачи определения скорости про-грессирования заболевания с помощью математического моделирова-ния с использованием нейронных сетей. Поиск решения данной задачиосуществлялся методом обратного распространения ошибки. Наиболее

56

общим способом оптимизации нейросети является итерационная (по-степенная) процедура подбора весов, называемая обучением, в данномслучае - обучением с учителем, поскольку опирается на обучающую вы-борку примеров. Когда функционал ошибки задан, и задача сводитсяк его минимизации, осуществляется итерационная процедура подборавесов. Можно показать, что постепенно уменьшая темп обучения опи-санная выше процедура приводит к нахождению локального минимумаошибки. Исторически наибольшую трудность на пути к эффективно-му правилу обучения многослойных персептронов вызвала процедураэффективного расчета градиента функции ошибки. Ошибка сети опре-деляется по ее выходам, т.е. непосредственно связана лишь с выходнымслоем весов. Вопрос состоял в том, как определить ошибку для нейро-нов на скрытых слоях, чтобы найти производные по соответствующимвесам. Нужна была процедура передачи ошибки с выходного слоя кпредшествующим слоям сети, в направлении обратном обработке вход-ной информации. Поэтому такой метод, когда он был найден, получилназвание метода обратного распространения ошибки. Между тем, в слу-чае дифференцируемых функций активации рецепт нахождения произ-водных по любому весу сети дается так называемым цепным правиломдифференцирования. Суть метода back-propagation в эффективном во-площении этого правила. В докладе представлены результаты исследо-вания закономерностей на базе результатов обследования четырехсотпациентов с РС.

МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ ИНЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГОРЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИМ. П. Галанин, Ю. П. Попов

(ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, Москва)Существует широкий класс задач, решения которых содержат рез-

кие неоднородности, проявляющиеся на мелких по отношению к раз-меру области пространственных масштабах. Для решения таких задачв [1, 2] предложен метод конечных суперэлементов (МКСЭ). В докла-де описан алгоритм построения и исследования аппроксимаций методаконечных суперэлементов (МКСЭ) Р.П. Федоренко [3 – 8], выполне-но его сравнение с другими МКСЭ. Приведены результаты численногорешения задачи о скважине для уравнения Лапласа в двумерной об-ласти, задачи о скоростном скин - слое в двумерном случае и задачи

57

теории упругости композиционных материалов в трехмерном случае.Представлены результаты исследования алгоритма, основанного на сов-местном использовании метода конечных элементов и метода конечныхсуперэлементов. Реализованы различные варианты МКСЭ, проведен ихсравнительный анализ. Работа выполнена при частичной финансовойподдержке РФФИ (проекты 06-01-00421 и 05-01-00618).

[1] Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Об одном варианте метода конеч-ных элементов // ЖВМ и МФ. 1979. Т. 19. 4. С. 950-960.

[2] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд - во МФ-ТИ, 1994. 528 с.

[3] Галанин М.П., Савенков Е.Б. К обоснованию метода конечных супер-элементов Федоренко // ЖВМ и МФ. 2003. Т. 43. 5. С. 713-729.

[4] Галанин М.П., Савенков Е.Б. Метод конечных суперэлементов в за-дачах математической физики в неоднородных областях // Информаци-онные технологии и вычислительные системы. 2005. 3. С. 34 - 49.

[5] Galanin M., Savenkov E., Temis J. Finite Superelements Method forElasticity Problems. // Mathematical Modelling and Analysis. 2005. V. 10.3. P. 237 - 246.

[6] Galanin M., Lazareva S., Savenkov E. Numerical Investigation of theFinite Superelement Method for the 3d Elasticity Problems. // MathematicalModelling and Analysis. 2007. V. 12. 1. P. 39 - 50.

[7] Галанин М.П., Савенков Е.Б., Темис Ю.М., Щеглов И.А., Яко-влев Д.А. Применение метода конечных суперэлементов для расчета ха-рактеристик дисперсно - армированных композиционных материалов //Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Cер. Естественные науки. 2007. 3. Впечати.

[8] Галанин М.П., Гузев М.А., Низкая Т.В. Численное решение задачитермопластичности с дополнительными параметрами состояния // Пре-принт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2007. 8. 20 с.

НЕЗАВЕРШЕННАЯ РАБОТА В СМО С БЕСКОНЕЧНЫМНАКОПИТЕЛЕМ И СКАЧКООБРАЗНОЙ

ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДНОГО ПОТОКАН. И. Головко, В. О. Каретник (ТГЭУ, Владивосток)

В связи с развитием вычислительной техники и средств передачиинформации активно проводились исследования по проектированию ианализу функционирования информационных сетей. Аналитическими

58

моделями сети в целом и отдельных еҷ элементов являются системымассового обслуживания.

В данном докладе представлены результаты исследования незавер-шенной работы в системе массового обслуживания (СМО) с бесконеч-ным накопителем, с экспоненциальным обслуживанием на одном обслу-живающем приборе, дважды стохастическим (ДС) входным потокомзаявок со скачкообразной интенсивностью.

Незавершенная работа в системах с постоянными параметрами до-статочно хорошо изучена в литературе [1]. Однако на практике чащеприходится сталкиваться с системами, параметры которых изменяютсяс течением времени. Например, для локальных вычислительных сетейхарактерна скачкообразная интенсивность входного потока. Изучениютакого случая и посвящено настоящее исследование.

В работе [2] исследовалась незавершенная работа в ДС СМО ти-па M/G/1 при скачкообразной интенсивности входного потока прибли-женными методами анализа. В работе [3] исследовалось стационарноераспределение числа заявок в ДС СМО типа M/M/1 со скачкообраз-ной интенсивностью входного потока с применением метода производя-щих функций. Исследование показало возможность установления ста-ционарного режима в СМО при определенных условиях. В настоящейработе исследуется незавершенная работа в СМО, приводится выводуравнения типа Такача (т.е. аналогичного уравнению Такача) для рас-пределения незавершенной работы в ДС СМО M/G/1, рассматривают-ся для ДС СМО типа M/M/1 и M/G/1 со скачкообразной интенсивно-стью входного потока следующие вопросы: 1) вывод уравнения типа Та-кача для рассматриваемой ДС СМО со скачкообразной интенсивностьювходного потока; 2) доказательство существования и единственностирешения полученных уравнений типа Такача в нестационарном и ста-ционарном режимах; 3) доказательство эргодичности нестационарногорешения уравнения типа Такача; 4)вычисление моментов незавершен-ной работы. Получено доказательство существования и единственностистационарного режимов для незавершенной работы, эргодичности не-стационарного решения уравнения типа Такача.

[1] Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. – М.: Машиностроение,1979.

[2] Головко Н.И., Коротаев И.А. Время задержки сообщения в узле сетипри переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и вычис-лительная техника. – 1989. – 2. – С. 36-39.

59

[3] Головко Н.И., Катpахов В.В. Стационарное распределение числа за-явок в системах обслуживания с бесконечным накопителем при скачко-образной интенсивности вход-ного потока // Препринт ИПМ ДВО РАН.– Владивосток: изд-во Дальнаука, 2004. – 23. – 18 с.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ДИНАМИКИ НЕРЕСТОВОЙ ПОПУЛЯЦИИЛ. И. Городилова, Т. В. Пак (ДВГУ, Владивосток)

Рассматриваем в качестве объекта моделирования нерестовую попу-ляцию. За основу модели взято уравнение неразрывности для плотностиразмерного распределения [1]:(∂n(x, t)∂t

+∂

∂xn(x, t)g(x) = −d(x, t, n(x, t))n(x, t), 0 < x <∞, t > 0,

(1)где g = dx

dt - скорость роста, d(x, t, n(x, t)) - функция специфическойразмерной смертности, n(x, t) - функция плотности размерного распре-деления.

Дополним уравнение граничным и начальным условиями:

R(t) = n(x0, t)g(x0) = B(t− a)f(B(t− a)), (2)

n(x, a) = ϕ(x). (3)

Интенсивность рождаемости B(t−a) определяется следующим образом:

B(t− a) =∫ ∞

x0

p(ξ, n)n(ξ, t− a)dξ, 2a ≤ t ≤ T. (4)

Пусть функциональная зависимость смертности и рождаемости от раз-мерной плотности задается в виде:

p(x, n) = p(x,N), p(x,N) = p1(x)p2(N), p′1(N) ≤ 0,

p2(x) = p2(x0) exp(−θt), θ > 0,

d(x, n) = d(x,N), d(x,N) = d1(x)d2(N), d′(N) ≥ 0.

Тогда вместо задачи (1) − (4) получаем систему I:dNdt = p1(N)B − d(N)N,dBdt = p2(x0)p1(N) − θ − d(N)B.

60

Эта система имеет в положительном квадранте два состояния рав-новесия. Первое - (N∗, B∗), которое является либо устойчивым узлом,либо устойчивым фокусом. Вторая особая точка (0, 0) является слож-ным состоянием, которое может быть либо трехкратной особой точкой,которая при бифуркации распадается на седло и два устойчивых узла:(N∗, B∗) и (−N∗, B∗); либо двукратным седло-узлом [2].

Если p2(x) - положительная возрастающая функция и p′2 = θ; θ =

const, то вместо задачи (1) − (4) получаем систему II:dNdt = B − d(N)N,dBdt = p2(x0)p1(N) − d(N)B + θp1(N)N.

Эта система имеет в положительном квадранте два состояния рав-новесия. Первое - (0, 0) - является либо устойчивым узлом, либо седлом.И второе - (N∗, B∗), которое может быть либо устойчивым узлом, либоустойчивым фокусом [2].

При всей условности задания функций p(x, n), d(x, n), n(x, t), не имеяоснований утверждать, однако, можем предположить, что у изолиро-ванной популяции, в которой молодь и взрослые обитают вместе, отсут-ствуют устойчивые колебания численности при стационарных внешнихусловиях.

[1] Pak Sergey B.Mathematical Model of Dynamics of Spawing Size - StructuredPopulation (with an Application), Fisheries Research.- Elsevier Science Pub-lishers B.V., Amsterdam - Printed in the Netherlands.,1989.-8.-PP.141-158.

[2] Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного ис-следования динамических систем на плоскости. Изд-во Наука. Главнаяредакция физико-математической литературы, 1976, c. 13-42, 68-95.

ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКИНЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

М. А. Гузев, Ю. Г. Израильский (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Для одномерной цепочки материальных точек, взаимодействующихпосредством потенциала Леннарда-Джонса

U(r) = D

[(ar

)12

− 2(ar

)6]

численно исследовано влияние нелинейности на динамику системы ча-стиц. Показано, что при растяжении такой цепочки с постоянной ско-ростью положение точки разрыва существенно изменяется даже при

61

незначительном изменении параметров системы. Это позволяет предпо-ложить, что мы имеем дело с плохо обусловленной системой, а сильнаячувствительность системы к малому изменению ее параметров вызванахаотической динамикой системы, что является типичным для динами-ческих систем с числом степеней свободы большим единицы.

Для иллюстрации хаотического поведения одномерной цепочки ос-цилляторов с потенциалом взаимодействия Леннарда-Джонса был рас-смотрены два случая: цепочка состоящая из четырех частиц, с фиксиро-ванными координатами первой последней частиц, и цепочка состоящаяиз трех частиц с неподвижной первой частицей и последней частицей,совершающей вынужденные гармонические колебания.

Динамика системы изучалась методом отображений Пуанкаре. По-казано, что в результате резонансов различного порядка на сечении Пу-анкаре появляется ряд неподвижных точек как эллиптического, так игиперболического типов, причем в окрестности гиперболических точеквозникают зоны хаоса, особенно хорошо заметные для резонансов низ-ких порядков. При увеличении частоты внешнего возбуждения областьхаотического поведения системы смещается в сторону увеличения ам-плитуды колебаний. При увеличении амплитуды внешнего возбужденияобласть хаоса также расширяется.

Работа выполнена при поддержке проектов 06-II-СО-01-002 и 06-01-96014 РФФИ ДВО РАН.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ ВКРИМИНОЛОГИИ

М. А. Гузев (ДВО РАН, Владивосток),Н. А. Морозов, Е. Ю. Никитина (ДВГУ, Владивосток)

Формализация знаний в областях гуманитарного профиля являет-ся в настоящее время большой проблемой, так как многие выводы ввышеуказанной сфере основаны на личностном восприятии данного че-ловека, но с другой стороны ситуация заставляет подходить к решениюнекоторых вопросов так, чтобы минимизировать человеческий личност-ный фактор. Так, в юриспруденции существует острая необходимость внеперсонифицированной трактовке накопленных юридических знаний.Констатации факта повсеместного роста преступности и использованияобщепринятых статистических методов исследований явно недостаточ-но для выработки адекватных и эффективных мер и решений. Основ-ная проблема построения объективной модели криминологической си-

62

туации состоит в выборе терминов ее описания и установлении крите-риальных ограничений.

В своем исследовании мы основывались на том наблюдении, что вусловиях устойчивого экономического развития общества криминаль-ные взаимоотношения сложились и представляют собой устойчивуюструктуру, в которой возможны некоторые нерадикальные изменения,в большинстве своҷм связанные с внешними воздействиями. Позволимсебе привести следующую аналогию: процесс ценообразования в стра-нах со стабильной экономикой приводит к появлению некой объектив-ной цены. Вследствие этого экономическую ситуацию в стране можноописывать с помощью устойчивых математических моделей, используякак традиционные методы, так и новые нестандартные подходы. В сво-ей работе мы используем идеи и подходы, изложенные в [1], для моде-лирования криминологической ситуации в Японии. Не останавливаясьна математических аспектах проведҷнного исследования, укажем, какданный метод может быть использован для построения математическихмоделей в криминологии. Очень важным для построения модели явля-ется качество отбора исходных данных — они должны быть «сырыми»,т.е. абсолютными, ранее не подвергавшимися никаким преобразовани-ям. Нами рассматривались данные о зарегистрированных преступлени-ях по 33 составам в Японии за 10 лет (с 1996 по 2005 годы). Количествозарегистрированных преступлений по одному составу рассматривает-ся как частота встречаемости состава. Каждому составу присваиваетсяранг, зависящий от частоты встречаемости состава так, что наибольшийранг имел состав с наибольшей частотой встречаемости. Для проведе-ния последующих сравнений ранги и частоты нормировались (частотавстречаемости на население — стандартный юридический метод, ранг -на мощность словаря знаков (количество рассматриваемых составов).

Данный подход позволил определить устойчивую функциональнуюзависимость между рангом и частотой встречаемости состава. Так какразница в данных по некоторым составам составляла 2 и более поряд-ка, была проведена кластеризация сходных по составам преступлений, витоге остался 21 состав. Заметим, что после кластеризации метод опи-сывает макроскопическую модель по группам преступлений сходногосостава. Анализ показывает, что получаемая характерная кривая яв-ляется двухпараметрической и может быть записана в элементарныхфункциях, что позволяет строить прогностическую модель развитиякриминальной ситуации во времени.

Данное исследование поддержано грантом НШ-9004.2006.1.

63

[1] Маслов В.П. Квантовая экономика -2-е изд., доп.-М.: Наука, 2006. – 92 с.

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ НАЛИЧИЯ МИКРОЭЛЕМЕНТОВ ВПОЧВЕ НА УРОВЕНЬ ЗАБОЛЕВАЕМОСТИ

ЗЛОКАЧЕСТВЕННЫМИНОВООБРАЗОВАНИЯМИ ВХАБАРОВСКОМ КРАЕ

А. Ю. Десятов, Н. Э. Косых (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

Исследован вопрос особенности распространения злокачественныхновообразований в различных геохимических провинциях. В качестведанных нами были использованы материалы о содержании 36 микро-элементов в 10234 пробах почв и пород взятых из 524 точек на терри-тории 14 административных районов в Хабаровском крае. Мы провелирегрессионный анализ и определили вклад отдельных факторов в фор-мирование значений показателей онкологической заболеваемости. Былоотмечено влияние микроэлементов на уровень заболеваемости саркомойскелета и мягких тканей в популяции лиц 0-39 лет. Результаты расчетов,свидетельствуют, что наибольшее влияние — 30,9% — оказывало сереб-ро (положительное). Меньший вклад был отмечен для 1-й группы мик-роэлементов (17,3%) и меди (16,8%). Отрицательное влияние отмеченодля 3-ей группы микроэлементов, стронция и мышьяка. Наибольшийвклад в формирование уровней заболеваемости хроническим миелолей-козом вносили содержание в почвах серебра (23,6%) и меди (22,3%).Отрицательное влияние обнаружено только для содержания мышьяка.

Другой подход заключается в использовании кластерно-дискрими-нантного анализа. Мы разбили всю матрицу наблюдений на кластеры,преварительно удалив фон, характерный для всей территории края ипровели дискриминантный анализ, где в качестве группирующей пе-ременной был использован номер кластера, к которому принадлежитнаблюдение. Далее был оценен уровень статистической значимости ипеременные, включенные в дискриминантную модель. Охарактеризуемкаждый из кластеров, определив средние значения содержания микро-элементов почв в рамках каждого кластера. Используя данные о за-болеваемости в каждой субпопуляции (кластере), нами был рассчитанпоказатель отношения шансов возникновения основных форм злокаче-ственных новообразований и определена его достоверность. Распростра-нение большинства форм злокачественных новообразований не зависитот содержания в почвах микроэлементов. Вместе с тем, для отдельныхформ злокачественных новообразований существуют определенные осо-бенности территориального распространения.

64

Использование регрессионого анализа и кластерно-дискриминантногоподхода к решению задачи об оценке влияния факторов малой интен-сивности на особенности территориального распространения злокаче-ственных новообразований на наш взляд объективно отражает причинно-следственные связи, реально существующие в изучаемом объекте.

[1] Десятов А.Ю. Математическое моделирование системы охраны здоро-вья населения Дальнего Востока // Обозрение прикладной и промыш-ленной математики, T.4, 2006. С.812. (в соавт. Косых Н.Э., Савин С.З.,Смирнов Д.В)

[2] Десятов А.Ю. Модели медико-социальной активности населения уда-ленного региона России // Фундаментальные исследования. 12-2005. С.61-62. (в соавт. Мороз М.В., Савин М.С., Шварова М.А.

[3] Десятов А.Ю. Моделирование процесса распространения запущенныхформ социально значимых заболеваний// Сборник трудов первой меж-дународной студенческой научно-технической конференции. – г.Донецк –2005 – С.54-55 (соавт. Макаренко Н.А, Посвалюк Н.Э)

[4] Косых Н.Э Системный анализ распространения злокачественных ново-образований у детей. Владивосток: Дальнаука, 1997. 160 с. (в соавт. СавинМ.С.

[5] Косых Н.Э. Системный анализ распространения первично-множественныхЗН в популяции. Владивосток: Дальнаука, 2002. 106 с. (в соавт. СавинС.З., Смирнов Д.В)

ЗАВИСИМОСТЬ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛА ОТ МАСШТАБА

УСРЕДНЕНИЯА. А. Дмитриев, Н. А. Пермяков(ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

При расчете физических параметров твердого тела методом молеку-лярной динамики встает вопрос о достоверности результатов контину-альной модели, полученной после усреднения по некоторому простран-ственному масштабу. Для моделей, допускающих аналитические реше-ния, одним из способов проверки корректности численных расчетов мо-жет служить метод, основанный на использовании точных решений со-ответствующих задач.

В работе рассматривается дискретная модель одномерного кристал-ла, являющаяся обобщением модели рассмотренной в [1], которая пред-ставлена системой попарно взаимодействующих частиц (гармонических

65

осцилляторов). Первая частица кристалла зафиксирована. На послед-нюю частицу действует сила постоянной величины.

Математическая задача сводится к исследованию собственных чиселтрехдиагональной матрицы An = I+

n + I−n + In + αEn, где I+n - верхняя

наддиагональная матрица, I−n - сопряженная к I+n , In - единичная и En

- матрица со всеми нулями, кроме правого нижнего элемента, равногоединице. Для собственных чисел справедливо уравнение:

detAn(λ) ≡ Un(λ) + αUn−1(λ) = 0,

где Un(λ) - полином Чебышева второго рода. Исследовано поведениесобственных чисел в зависимости от α. В случае α = 0,±1 уравнениедопускает точные решения.

На основании полученного точного решения выведена зависимостьнапряжения от масштаба усреднения. Таким образом, прослеживает-ся поведение механических характеристик материала при постепенномпереходе от дискретной модели к континуальной. Проведены вычисле-ния распределения температуры вдоль стержня на разных масштаб-ных уровнях. Вычисления показывают выравнивание температурногораспределения с увеличением масштаба усреднения, что согласуется сизвестными представлениями механики сплошных сред. С другой сто-роны, выявленная температурная неоднородность говорит о том, чтоиспользование метода молекулярной динамики позволяет наблюдатьболее тонкие эффект, которые отсутствуют в модели сплошной среды.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 05-01-00618а.

[1] Гузев М. А., Израильский Ю. Г., Шепелов М. А. Молекулярно-динамические характеристики одномерной точно решаемой модели наразличных масштабах. Физ. мезомех. Т.9, 5, 2006

ВЛИЯНИЕ КОНЦЕНТРАЦИЙ МИКРОЭЛЕМЕНТОВ -АНТАГОНИСТОВ НА РАСПРОСТРАНЕННОСТЬ

СВИНЦОВОГО МЕТАЛЛОТОКСИКОЗА У ЖИТЕЛЕЙГОРОДА ХАБАРОВСКА

А. К. Заикин, Т. В. Кожевникова, Н. Э. Посвалюк(ВЦ ДВО РАН)

В последние десятилетия отмечается ухудшение состояния обще-ственного здоровья, связанное с воздействием факторов социально эко-номического и экологического характера. Этот негативный процесс с

66

одной стороны выражается в увеличении количества хронических за-болеваний и росте смертности, особенно в трудоспособных группах и удетей, а с другой - в снижении рождаемости и средней продолжитель-ности жизни населения.

Учитывая тот факт, что здоровье населения является инертным по-казателем и разрыв между влиянием неблагополучных факторов и не-благоприятными эффектами в здоровье составляет продолжительноевремя чрезвычайно важно своевременно отслеживать изменение эколо-гической ситуации в местах постоянного проживания людей. Антропо-генное загрязнение окружающей человека природной среды во многомсвязанно с микроэлементами из группы тяжелых металлов. Известно,что в непосредственной близости от многих промышленных предпри-ятий образуются зоны с повышенным содержанием свинца, мышьяка,ртути, кадмия и никеля. В тоже время в результате водного и воздуш-ного переноса этих токсикантов, могут загрязняться значительные тер-ритории, находящиеся на отдалении от источника загрязнения.

Целью исследования являлась оценка риска развития свинцовоготоксикоза у жителей города Хабаровска. Оценивалось распределениеконцентраций кальция, магния и цинка в волосах жителей города взависимости от нарастания концентраций свинца - продукта антропо-техногенного воздействия.

Нами была выдвинута гипотеза о том, что люди с более высокимиконцентрациями эссенциальных микроэлементов - антогонистов свинцаимеют меньший риск развития металотоксикоза по сравнению с другимнаселением, проживающим в нашем городе.

Были проанализированы результаты исследования минерального со-става волос жителей города Хабаровска (291 образец) в период с 2004по 2007 годы. Лабораторное исследование волос проводилось на базеАНО «Центр биотической медицины» (г. Москва). Использована мето-дика спектроскопии в ионной связанной плазме. Данные анализирова-лись математическими методами регрессионного и факторного анализас использованием программы MS Excel. При помощи двухфакторногодисперсионного анализа с повторениями установлено, что свинец вли-яет на содержание в волосах кальция, магния и цинка. При анализеизменения концентрации кальция в зависимости от содержания свинцаустановлено, что при превышении свинцом токсического порога резковозрастает содержание кальция. Также выяснилось, что связь междуконцентрациями цинка и свинца отсутствуют. В ходе математическогомоделирования не нашла подтверждения гипотеза о том, что кальций

67

обладает защитными свойствами по отношению к токсическим воздей-ствиям свинца.

К ВОПРОСУ О РАЗРЕШИМОСТИ СТАЦИОНАРНОЙКРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

С НЕНУЛЕВЫМИ ПОТОКАМИА. А. Илларионов (ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть Ω — ограниченная область из Rd (d = 2, 3) с границей Γ;Γi (i = 1,m) — компоненты связности Γ. Рассмотрим краевую задачудля стационарных уравнений Навье-Стокса однородной несжимаемойжидкости:

−∆u + (u · ∇)u + ∇p = f , div u = 0 в Ω,u = g на Γ, (1)

где u = u(x) и p = p(x) — неизвестные функции (вектор скорости идавление жидкости), а f = f(x) и g = g(x) — заданные вектор-функции.Обозначим∫

Γi

g · n ds = ai — поток жидкости через Γi (i = 1,m),

n — единичный вектор внешней нормали к Γ. Они должны удовлетво-рять необходимому условию:

m∑i=1

ai ≡∫

Γ

g · n ds = 0. (2)

Известно, что в случае ненулевых потоков ai задача (1) имеет решениепри выполнении условий типа малости либо в двумерном случае, когдаисходные данные и область Ω удовлетворяют определенным условиямсимметрии. Вопрос о существовании (либо несуществовании) решенийзадачи (1) в общем случае является открытым. Основным результатомнастоящей работы является

Т е о р ем а. Пусть Γ ∈ C0,1, f ∈ H−1(Ω) g ∈ H1/2(Γ) и выполняется(2). Тогда, если любое решение w ∈ H1(Ω), q ∈W 1

3/2(Ω) задачи

(w · ∇)w + ∇q = 0, div w = 0 в Ω, w|Γ = 0

68

удовлетворяет условию: ∫Γ

q (g · n) ds = 0,

то существует решение u ∈ H1(Ω), p ∈ L2(Ω) краевой задачи (1).Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школ

РФ (грант НШ-9004.2006.1), гранта РФФИ – ДВО РАН (06-01-96003).

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФРАКЦИИ

АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛНЛ. В. Илларионова (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

Пусть в пространстве R3, заполненном однородной изотропной сре-дой, имеется однородной изотропное включение Ωi, ограниченное за-мкнутой поверхностью S. Поставим задачу: изменяя источники звукаво внешней среде получить поле звукового давления в Ωi (либо его ча-сти) наиболее «близкое» к заданному. При этом изменение имеющих-ся источников не должно быть «большим». Математически эту задачуможно сформулировать так. Найти функции Φi, Φe (комплексные ам-плитуды поля давлений проходящего и отраженного волновых полей)и управление g, удовлетворяющие уравнениям:

∆Φi(e) + k2i(e)Φi(e) = 0 в Ωi(e),

Φi − Φe = g, pi∂Φi

∂n− pe

∂Φe

∂n= f на S,

∂Φe

∂|x| − ikeΦe = o(|x|−1

)при |x| → ∞,

12

∫Q

|Φi − Φd|2 dx+λ

2‖g − gd‖2

H1/2(S) → min, g ∈ K.

Здесь ki(e) — волновое число, pi(e) = (ρi(e)ω(ω+ iγi(e)))−1, ρi(e) и γi(e) —плотность и коэффициент поглощения среды Ωi(e), λ —заданное поло-жительное вещественное число; Φd и gd, f — заданные на Q и S соот-ветственно комплекснозначные функции (Q — подмножество Ωi); K —некоторое множество функций заданных на S.

В работе доказано существование и единственность поставленной за-дачи, предложен алгоритм решения, обоснована его сходимость и при-ведены результаты тестовых расчетов.

69

О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙЭКСПЛУАТАЦИИ ПРОМЫСЛОВОЙ ПОПУЛЯЦИИ

БИОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ.О. И. Ильин (КамчатНИРО, Петропавловск-Камчатский)

В работе рассмотрен алгоритм численного решения задачи опти-мальной эксплуатации промысловой популяции биологических объек-тов. Она заключается в нахождении максимума целевого функционала

I =

T∫0

L∫l0

F0(t, l, x(t, l), u(t, l)) dt dl → supu, (1)

на множестве решений задачи

∂x

∂t+∂(kx)∂l

= −m(l)x(t, l) − u(t, l)x(t, l), (t, l) ∈ 0 ≤ t ≤ T, l0 ≤ l ≤ L,x(t, l) = x0(t, l), l0 ≤ l ≤ L, −h ≤ t ≤ 0,

k(l0)x(t, l0) = Φ

(L∫

l0

α(l)x(t− h, l) dl

), 0 < t ≤ T,

(2)при ограничениях

Sk −L∫

l0

β(l)x(tk, l) dl ≤ 0, 1 ≤ k ≤ N, 0 < t1 < t2 < . . . < tN ≤ T, (3)

0 ≤ u(t, l) ≤ U. (4)

Здесь x(t, l) — плотность объектов размером l в момент времени t, k(l)— коэффициент скорости роста объектов, m(l) — коэффициент скоро-сти элиминации объектов, α(l) — коэффициент рождаемости, u(t, l) —интенсивность промысла, x0(t, l) — начальное распределение плотностиобъектов, l0 и h — размер и возраст пополнения (т.е. объектов, всту-пающих в промысел), функция Φ характеризует зависимость междуплотностью пополнения и плотностью объектов-родителей.

Функционал (1) определяет суммарный доход от промысла объектовразмером l0 ≤ l ≤ L за время T лет. Смысл ограничений (3) в том,

что величинаL∫

l0

β(l)x(t, l) dl, характеризующая популяцию в целом (при

70

β(l) ≡ 1, например, общая численность объектов) в момент времен tkдолжна быть не меньше заранее определенного Sk.

В основе численного метода лежит метод условного градиента [1], накаждой итерации задача определения текущего приближения управле-ния u(t, l) сводится к задаче линейного программирования. Приводятсярезультаты вычислительных экспериментов.

[1] Ф. П. ВасильевМетоды решения экстремальных задач. М.: Наука. Глав-ная редакция физ.-мат. литературы, 1981. 400с.

АССИМИЛЯЦИЯ ПРОФИЛЕЙ СКОРОСТИ СПОМОЩЬЮ СТРИМЛЕТОВ (STREAMLETS)

А. В. Казанский, А. А. Шупикова(ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Рассматривается задача ассимиляции данных акустического доппле-ровского профилирования течений (ADCP) и заякоренных буев с пер-спективой применения к допплеровским лидарным измерениям профи-лей ветра (DWL), в частности, к однокомпонентным измерениям атмо-сферной динамической миссии ADM-Aeolus. Применяется предложен-ная ранее стримлетная модель струйных течений и вихрей, которая да-ет возможность использовать профильные данные без нарушения ихфункциональной целостности. Обсуждаются некоторые преимуществатакого подхода перед обычным методам ассимиляции данных, ориенти-рованным на точечные изменения, v в частности: использование функ-ционального контекста для исправления недооценки скорости и восста-новление векторов скорости по однокомпонентным измерениям. Извест-но, что синоптические струи и вихри обладают высоко организованной(когерентной) структурой в потоковых (натуральных) координатах, вкоторых поперечное распределение скорости является компактным. Бо-лее того, как показано на нескольких различных примерах, она хорошопредставляется конусом скорости с эллиптическим основанием. Асси-миляция профилей скорости сводится поэтому к подгонке конуса ско-рости стримлетной модели к профилям, интерпретируемым как кони-ческие сечения (треугольные и гиперболические). Устойчивость оцен-ки демонстрируется выбором некоторого подмножества из имеющихсяпрофилей. Метод позволяет моделировать множественные струи раз-ных масштабов, поскольку стримлеты вводятся для каждого синопти-ческого объекта отдельно. Для сложных структур используется деком-позиция целого потока на отдельные синоптические элементы, выделяя

71

их траектории, и оценивая только некоторые параметры модели. Этонаправление сейчас активно развивается под названием синоптическоеобъектное моделирование (feature modeling). Работа выполнена при под-держке РФФИ, проект 06-01-00660-а.

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯКОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ-РЕАКЦИИ

Е. А. Калинина (УГПИ, Уссурийск)

В работе рассматривается две обратные задачи для уравнения кон-векции-диффузии-реакции. Первая – обратная задача идентификацииплотности источника двумерного нестационарного уравнения конвек-ции - диффузии с постоянными коэффициентами

∂ϕ

∂t−Dϕ+ u · gradϕ+ γϕ = f, (1)

ϕ(x, y, t) |Γ= 0, 0 < t ≤ T, ϕ(x, y, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2, (2)

где плотность источника представляется в виде

f(x, y, t) = η(t)ψ(x, y), 0 < x < l1, 0 < y < l2, 0 < t ≤ T. (3)

Здесь ϕ - концентрация загрязняющего вещества (примеси), γ - по-стоянная распада загрязняющего вещества, u = (a, b) - заданный векторскорости, Dϕ - оператор диффузии, ψ(x, y)- известная функция, сосре-доточенная в области носителя источника.

Задача заключается в нахождении функции η, входящей в правуючасть (3), так же, как и решения ϕ задачи (1)-(2), по дополнительномунаблюдению за концентрацией в некоторой внутренней точке (x∗, y∗) ∈Ω: ϕ(x∗, y∗, t) = c(t), 0 ≤ t ≤ T во все моменты времени.

Для решения этой задачи развивается вычислительный алгоритм[1], основанный на сведении рассматриваемой обратной задачи к вспо-могательной задаче для нагруженного параболического уравнения.

Вторая - обратная задача идентификации параметра γ, характери-зующего распад загрязняющего вещества за счет химических реакций,для двумерного стационарного уравнения конвекции - диффузии

−Dϕ+ u · gradϕ+ γϕ = f в Ω, ϕ = ψ на Γ (4)

72

по дополнительному заданию поля концентраций ϕd, создаваемым ис-точником в некоторой подобласти Q ⊂ Ω.

В результате задача определения параметра γ сводится к задаче ми-нимизации некоторого сглаживающего функционала качества на реше-ниях задачи (4).

Теоретическое исследование представлено в [2]. В работе проводитсясравнительный анализ вычислительных экспериментов, проведенных сиспользованием двухслойного градиентного метода [2] и квазиалгорит-ма Ньютона.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта04-01-00136), гранта поддержки ведущих научных школ (проект: НШ-9004.2006.1), грантов Президиума ДВО РАН (проекты: 06-I-II22-086, 06-II-CO-03-010, 06-III-A-01-011), а также гранта УГПИ N2 за 2007 г.

[1] Borukhov V.T., Vabishchevich P.N. Numerical solution of the inverseproblem of reconstructing a distributed right-hand side of a parabolic equation//Computer Physics Communications,2000 T. 126 N.1. P. 32-36.

[2] Алексеев Г.В., Калинина Е.А. Идентификация младшего коэффици-ента для стационарного уравнения конвекции - диффузии - реакции //Сиб. журн. индустр. математики. 2007. Т. 11. N 1. с.3-16.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ

ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИЮ. А. Клевчихин (ДВГУ, Владивосток)

В ограниченной области Ω ⊂ R3 с липшицевой границей Γ = ΓD∪ΓN

рассматривается модель тепловой конвекции вида

−ν∆u + (u · grad)u + gradp = f − βTTG,divu = 0 в Ω, u|Γ = g, (1)

−λ∆T + u · gradT = f в Ω,T |ΓD

= ψ, λ (∂T/∂n+ αT ) |ΓN= χ.

(2)

Здесь u — скорость, T — температура в среде, p = P/ρ, где P —давление, ρ=const — плотность среды, ν > 0, λ > 0 — постоянные ко-эффициенты кинематической вязкости и диффузии, f и f — объемныеплотности источников массовых сил и вещества, G — вектор ускорениясвободного падения, f , βT , g, f , ψ, α и χ — некоторые функции.

73

В работе рассматривается задача идентификации для модели (1),(2), заключающаяся в нахождении тройки (α,ψ, χ) по дополнительнойинформации о состоянии среды. Для ее исследования применяется ме-тодика, разработанная в [1,2]. Основное внимание в докладе уделеноустановлению достаточных условий на исходные данные, обеспечиваю-щих локальную единственность и устойчивость решений.

[1] Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управле-ния для уравнений тепловой конвекции. Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, N.5. С. 982–998.

[2] Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных урав-нений тепловой конвекции. Вестник НГУ. Сер. мат. мех. информ. 2006. Т.6. С. 6–32.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСАПОЛЯРИЗОВАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОИСТОЙ

СРЕДЕ С ФРЕНЕЛЕВСКИМИ УСЛОВИЯМИСОПРЯЖЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА СРЕД

А. Е. Ковтанюк (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)Рассматривается стационарный процесс переноса монохроматическо-

го поляризованного излучения в среде, имеющей плоскопараллельноестроение. Пусть плоскости z = zi являются границами раздела слоев

Gi = (zi−1, zi) многослойной системы G0 =p⋃

i=1

Gi. Процесс переноса в

такой среде в случае азимутальной симметрии излучения может бытьописан следующим интегродифференциальным уравнением

νfz(z, ν) + µ(z)f(z, ν) = µs(z)

1∫−1

P (z, ν, ν′)f(z, ν′)dν′ + J(z, ν). (1)

Здесь f = (f1, f2) - двухкомпонентная вектор-функция, описывающаяполяризованное излучение, и связанная с системой параметров Стокса(I‖, I⊥) следующими соотношениями

f1(z, ν) =I‖(z, ν)n2(z)

, f2(z, ν) =I⊥(z, ν)n2(z)

,

где n(z) – показатель преломления среды (n(z) = ni = const, z ∈ Gi).Переменная ν ∈ [−1, 1] есть косинус угла между направлением рас-пространения излучения и положительным направлением оси z. Бу-дем считать, что функции µ, µs, Ji неотрицательны, µ > µs ≥ 0, и

74

µ,µs ∈ Cb(G0), где Cb(G0) - есть банахово пространство функций, не-прерывных и ограниченных на G0 с нормой

‖ϕ‖Cb(G0) = supx∈G0

|ϕ(x)|.

Введем следующее обозначениеX0 = G0×[−1, 0)∪(0, 1]. Относительноматрицы рассеяния P будем предполагать, что ее компоненты pij ∈Cb(X0 × [−1, 1]\0), и (Pf)1,2 ≥ 0 для f1,2 ≥ 0.

Также введем пространство V (X0) двухкомпонентных вектор-функцийϕ = (ϕ1, ϕ2), таких что ϕi ∈ Cb(X0), с нормой ‖ϕ‖V (X0) = max

i=1,2‖ϕi‖Cb(X0).

Положим, что J ∈ V (X0).Рассмотрим следующие множества

Γint =p−1⋃i=1

zi×[−1, 0)∪(0, 1], Γ±ext = z0× [∓1, 0)∪zn×(±1, 0],

Γ± = Γint ∪ Γ±ext, Γ = Γ+ ∪ Γ−.

Присоединим к уравнению (1) граничные условия вида

f−(z, ν) = (Bf+)(z, ν) + h(z, ν), (z, ν) ∈ Γ−, (2)

где

f±(z, ν) =f(z ± 0, ν), ν < 0,f(z ∓ 0, ν), ν > 0,

Здесь функция h полагается равной нулю на множестве Γint и описы-вает внешние источники излучения. Будем полагать, что h ∈ V (Γ−).Неотрицательный непрерывный оператор B задает условия сопряже-ния Френелевского типа на Γint. Положим, что Bφ = 0 на Γext.

В работе рассматривается задача нахождения вектор-функции f изуравнения (1) и условий (2) при заданных µ, µs, P, J, h,B. Определимкласс D(X0) в котором будем искать решение задачи (1),(2).Определение. Будем говорить, что функция f = (f1, f2) принад-

лежит D(X0), если она обладает следующими свойствами:a) fj(z, ν)− абсолютно непрерывна по z ∈ (zi, zi+1], при всех ν >

0 и абсолютно непрерывна по z ∈ [zi, zi+1), при всех ν < 0, i =0, p− 1, j = 1, 2;b) (Lf)(z, ν) = νf ′z(z, ν) + µ(z)f(z, ν) ∈ V (X0);c) f−(z, ν) ∈ V (Γ−).

75

Пусть µ(z) = (µ(z) + µs(z))/2. Введем в пространстве D(X0) норму

‖ϕ‖D(X0) = max

‖ϕ−‖V (Γ−),

∥∥∥∥Lϕµ∥∥∥∥

V (X0)

.

Введем в рассмотрение функции

K(z, z′, ν) = exp

−1ν

z∫z′

µ(t)dt

, ξ(z, ν) =zi, (z, ν) ∈ (zi−1, zi] × [−1, 0),zi−1, (z, ν) ∈ [zi−1, zi) × (0, 1].

Выражения

(Aϕ)(z, ν) =1ν

z∫ξ

K(z, z′, ν)ϕ(z′, ν)dz′,

(Sϕ)(z, ν) = µs(z)

1∫−1

P (z, ν, ν′)ϕ(z, ν′)dν′,

(Tf)(z, ν) = (Bf+)(ξ(z, ν), ν)K(z, ξ(z, ν), ν) + (ASf)(z, ν)

определяют линейные операторы A : V (X0) → D(X0), S : V (X0) →V (X0), T : D(X0) → D(X0).Теорема 1.Пусть ‖B‖ ≤ 1, тогда существует единственное реше-

ние задачи (1),(2), которое может быть найдено в виде ряда Неймана

f(z, ν) =∞∑

k=0

(T kf0)(z, ν), f0(z, ν) = K(z, ξ, ν)h(ξ, ν)+(AJ)(z, ν), ξ = ξ(z, ν),

Теорема 2. Пусть Ji = 0, i = 1, 2, тогда справедлива оценка

‖fi‖Cb(X0) ≤ ‖h‖V (Γ−), i = 1, 2.


76

ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ПРОМЫСЛА НА ДИНАМИКУАЛЛЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ И ЧИСЛЕННОСТИ

МЕНДЕЛЕВСКОЙ ПОПУЛЯЦИИЕ. А. Колбина (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Проблема описания динамики естественного отбора в биологическихпопуляциях является одной из центральных в экологии и теории эволю-ции. В настоящее время при анализе механизмов динамики численностимногих биологических видов весьма важно также учитывать характерантропогенных воздействий на данный вид. Примером таких воздей-ствий может служить процесс промысла. Понимание воздействий про-мысла на судьбу популяции - ее численность и сохранение в ней гене-тической изменчивости - безусловно, является актуальной задачей.

Для детального изучения возможных механизмов регуляции числен-ности путем изменения ее генетического состава была построена и ис-следована модель эволюции однолокусной диаллельной менделевскойпопуляции при наличии генетического разнообразии по приспособлен-ностям, являющимся линейными функциями численности.

Задача оптимального управления решалась для двух наиболее попу-лярных стратегий промысла. Показано, что оптимальная доля изъятияне зависит от рассматриваемых стратегий промысла. Проведен срав-нительный анализ динамики неэксплуатируемой популяции и популя-ции, подверженной промыслу. Показано, что оптимальный промыселс постоянной долей изъятия стабилизирует популяционную динамику.Промысел с переменной долей изъятия может вызывать колебания чис-ленности, а при определенных начальных условиях - даже привести квымиранию популяции. Выявлено, что промысел может привести к из-менениям результатов отбора и вызвать разрушение или способствоватьподдержанию полиморфизма.

ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА КОНКУРЕНЦИИ ВРАСТИТЕЛЬНЫХ СООБЩЕСТВАХ ПОСРЕДСТВОМИМИТАЦИОННОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ

А. Н. Колобов (ИКАРП ДВО РАН, Биробиджан)

В современном компьютерном моделировании лесных экосистем по-лучили широкое распространение имитационные гэп-модели (Карев 1999).Гэп-модели эффективно используются для кратко- и среднесрочныхпрогнозов динамики конкретных лесных экосистем, находящихся в опре-

77

деленных внешних условиях на относительно небольших (1-1000 га) тер-риториях.

В данной работе приводятся результаты построения имитационнойгэп-модели динамики роста различных видов деревьев в нескольких ти-пах древостоев, расположенных на шести постоянных пробных площа-дях территории заповедника «Бастак». Формализуется процесс ростаодиночного дерева, проводятся качественные и количественные оценкивлияния конкуренции в процессе роста древесного сообщества, просчи-тываются и анализируются различные прогнозные сценарии развитиядревостоев на данных участках.

Для формализации процесса роста дерева под влиянием конкурен-ции со стороны окружающего древостоя предложено уравнение, полу-ченное на основе идеи энергетического баланса:

dxj

dt=

(n∑

i=1

Pi

i

)· a− bx2

j − c

где xj — линейный размер j-го дерева; a, b, c — параметры характери-зующие вид дерева; Pi - доля кроны j-го дерева перекрываемая i раз

другими деревьями;n∑

i=1

Pi

i — коэффициент конкуренции;

Возобновление и гибель деревьев на участке задаются соответству-ющим случайным процессом и поскольку модель является стохастиче-ской, прогнозируемое состояние гэпа вычисляется как среднее по доста-точно большому (80-100) числу независимых реализаций.

Разработанная модель позволяет проводить качественные и количе-ственные оценки влияния конкуренции в процессе роста деревьев.

Исследования проведены при финансовой поддержки РФФИ-ДВОРАН, проект 06-04-96025 и ДВО РАН в рамках Программы Прези-диума РАН «Динамика генофондов и биоразнообразие», проект 06-1-П11-035.

78

ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИИЗМЕНЕНИЯ МЕДИКО-ДЕМОГРАФИЧЕСКИХПАРАМЕТРОВ ПОПУЛЯЦИИ ЧЕЛОВЕКА

ХАБАРОВСКОГО КРАЯН. Э. Косых, С. З. Савин, А. Ю. Десятов (ВЦ ДВО РАН,Хабаровск), О. Ю. Новикова (ВОЗ ДВГМУ, Хабаровск),Н. С. Овсянников (ГУЗ 1-я краевая больница, Хабаровск),

К. Г. Лазарь (МИАЦ Минздрава Хабаровского края, Хабаровск)

Изучены закономерности влияния смертности от социально значи-мых заболеваний на социально-демографическую ситуацию в условияхДальневосточного региона на примере распространения злокачествен-ных новообразований (ЗН) в Хабаровском крае. Методами многомер-ной математической статистики рассчитаны условные социально-эко-номические потери за счет смертей от ЗН за период с 1992 по 2004гг. При финансовой поддержке РГНФ, грант 06-06-06410а «Инфор-мационное моделирование динамики распространения социально зна-чимых заболеваний» исследованы структура, возрастно-половые зако-номерности и временные тренды смертности от злокачественных ново-образований, территориальные закономерности онкологической смерт-ности в популяции Хабаровского края. Выделены наиболее значимыесоциально-экономически локализации и нозологические коды заболева-ний. На основании оценки территориальных закономерностей и времен-ных тенденций естественного движения населения в Хабаровском краеи вклада онкологической смертности в этот процесс выполнен прогнозситуации на пятилетний период. Таким образом, впервые в условияхДальнего Востока, характеризующегося общей депрессивной демогра-фической ситуацией, на примере крупной административной террито-рии оценено влияние онкологической смертности на естественное дви-жение населения, оценены косвенные экономические потери в связи сосмертью от ЗН на территории Хабаровского края с точностью до ад-министративного района, изучены территориальные закономерности идинамика экономических потерь за 15-летний период, разработано по-дробное медико-географическое картирование риска смерти от основ-ных форм ЗН с точностью до административного района и населенногопункта. В результате изученных закономерностей влияния смертностиот ЗН на демографическую и экономическую ситуацию в Хабаровскомкрае сделан вывод о вероятном снижении уровня общей смертности содновременным ростом экономических потерь.

79

РАВНОВЕСНЫЕ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ ВМОДЕЛЯХ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕННО

НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕМ. П. Кулаков (ИКАРП ДВО РАН, Биробиджан)

Задача поиска механизмов синхронизации пространственной дина-мики двух взаимодействующих популяций, занимающих равную эко-логическую нишу, представляется весьма важной, как с теоретической,так и с практической точки зрения. Традиционно взаимодействия такихпопуляций описывается миграционными связями.

Для детального изучения механизмов влияния миграции на про-странственную динамику рассматривалась дискретная модель двух по-пуляций одного вида с непересекающимися поколениями. В случае ми-грации непосредственно после сезонного размножения, исследоваласьсистема:

xn+1 = f(xn) +m · (f(yn) − f(xn))yn+1 = f(yn) +m · (f(xn) − f(yn))

где xn и yn — численности каждой из популяций, f — функция воспро-изводства, m — доля мигрирующих особей.

Для данной системы показано, что при использовании в качествефункции f — функции запас-пополнение Рикера f(x) = axe−bx мигра-ционное взаимодействие не способно коренным образом изменять фазо-вое пространство системы. Более того, в данном случае миграция спо-собна поддерживать численность в обеих популяциях в устойчивом со-стоянии в более широкой параметрической области, чем при отсутствиимиграции.

Показано, что при переходе через границу устойчивости, когда од-но из собственных чисел системы рано -1, система, в зависимости отвеличины m, характеризуется наличием от двух до шести пар возмож-ных элементов 2-цикла системы, устойчивость которых определяетсяначальными условиями. Две из этих пар всегда являются, соответствен-но, синхронными и асинхронными циклами. Причем, прежде чем до-стигнуть одного из этих возможных устойчивых циклических состоянийтраектория системы проходит через неустойчивые циклические состоя-ния, а численность при этом испытывает сильные изменения.

В докладе выносится на обсуждение анализ построенной модели,приводятся наиболее интересные результаты численных экспериментов.Исследования проведены при финансовой поддержке РФФИ-ДВО РАН

80

проект 06-04-96025 и ДВО РАН в рамках Программы ОБН РАН «Био-логические ресурсы России», проект 06-1-ОБН-102.

О ПРОБЛЕМЕ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИПЛОТНОСТНОГО РИНГА

И. Ю. Лудов (ДВГУ, Владивосток)

В настоящий момент актуальной проблемой является разработка мо-дели аксисимметрического вихря, состоящего из верхнего слоя легкой инижнего более тяжелой воды, находящихся в геострофическом равнове-сии - плотностного ринга. Эксперименты убедительно демонстрируют,что в этом случае профиль скорости имеет структуру линейного возрас-тания вплоть до зоны максимальных скоростей, после которой следуетопять же линейное убывание. С другой стороны, решения уравненийгидродинамики в геострофическом приближении не являются удовле-творительными, поскольку скорость является сингулярной.

В данной работе исследован вопрос построения адекватной моделивихревого движения указанного типа, лишенной сингулярностей. Вы-двинута гипотеза, согласно которой наблюдаемое поведение может бытьобусловлено дефицитом энергии между начальным и установившимсясостояниями вращающейся жидкости. Возможным подходом к реше-нию указанной выше проблемы является установление дополнительно-го условия на границе раздела двух сред. Быстрое изменение градиентаскорости, локализованное в районе зоны максимальных скоростей, мо-жет быть объяснено наличием дополнительных механизмов трения.

Работа выполнена при поддержке гранта НШ - 9004.2006.1.

О НАХОЖДЕНИИ ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВАНЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА РЕНТГЕНОСКОПИЧЕСКИМ

МЕТОДОМВ. Г. Назаров (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Рассматривается задача нахождения химического состава неодно-родного тела, состоящего из конечного числа однородных по химиче-скому составу частей G1, ..., Gq, по результатам просвечивания этоготела рентгеновским излучением для некоторого набора значений энер-гии E1, .., EN . Предполагается, что тело занимает в R3 ограниченнуюобласть G.

81

Под задачей нахождения химического состава понимается нахожде-ние в каждой из подобластей Gk, k = 1, ..., q перечня всех входящих вGk химических элементов X1, ..., XN , определение их массовых долейwk1, ..., wkN в составе вещества и плотности ρk вещества в подобластиGk. Такая постановка задачи представляется оправданной в случае, ко-гда, например, речь идет о нахождении химического состава компонен-тов изделия непосредственный доступ к которым затруднен.

В качестве математической модели взаимодействия рентгеновскогоизлучения с веществом бралось стационарное интегро-дифференциальноеуравнение переноса [1].

На первом этапе решения задачи, путем просвечивания области Gколлимированным рентгеновским излучением вдоль специально выби-раемого набора прямых l1, ..., lq находилась плотность выходящего изG потока излучения. Далее задача сводилась к решению системы изN · q + q уравнений и условий

(L×M) · x = α. (1)

N∑j=1

wkj = 1, wkj ≥ 0, k = 1, ..., q. (2)

В уравнении (1) (L ×M) есть qN × qN матрица, все элементы кото-рой известны, при этом L есть q × q матрица, характеризующая гео-метрию области G, а M − (N × N) матрица, составленная из массо-вых коэффициентов ослабления химических элементов X1, ...,XN , длязначений энергии E1, .., EN ; x и α есть q · N – компонентные вектор-столбцы, причем вектор x состоит из произведений неизвестных вели-чин: xki = ρkwki, k = 1, ..., q, i = 1, ..., N, а компоненты вектора αизвестны по результатам просвечивания тела на первом этапе решениязадачи.

Были найдены необходимые и достаточные условия обратимостиматрицы(L×M), и построено аналитическое решение задачи (1), (2). На основеметода компьютерного моделирования выполнен ряд успешных числен-ных экспериментов с использованием данных для реальных материалов[2].

Работа выполнена при государственной поддержке научных иссле-дований, проводимых ведущими научными школами РФ (грант НШ-9004.2006.1) и в рамках гранта N 06-II-СУ-01-001 конкурса интеграци-

82

онных проектов ДВО РАН с научными учреждениями Сибирского иУральского отделений РАН.

[1] Anikonov D.S., Nazarov V.G., Prokhorov I.V. Poorly visible media inX-ray tomography. Utrecht, Boston: VSP, 2002.

[2] Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Кольев Н.В., Кононенко А.А.,Назаров В.Г., Прохоров И.В., Яровенко И.П. База данных радиа-ционных характеристик веществ, представляющих интерес в рентгеноди-агностике. http://sxray.iam.dvo.ru/

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ К ОПИСАНИЮ И АНАЛИЗУ

РЕГИОНАЛЬНОЙ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ(НА ПРИМЕРЕ ЕВРЕЙСКОЙ АВТОНОМНОЙ ОБЛАСТИ)Г. П. Неверова, О. Л. Ревуцкая (ИКАРП ДВО РАН, Биробиджан)

Проведен анализ и сопоставление динамических режимов для трехтипов моделей динамики численности населения региона (однокомпо-нентной, трехкомпонентной и 14-компонентной по количеству возраст-ных групп, определяемых демографической статистикой). Оценка ко-эффициентов моделей проводилась на основе статистических данных очисленности населения ЕАО с 1994 по 2006 гг.

Однокомпонентная модель представляет собой модифицированнуюмодель Мальтуса. Точечная оценка мальтузианского параметра, харак-теризующего процесс годового воспроизводства (0,89), показывает, чтотип воспроизводства, сложившегося в настоящее время, является сужен-ным. Равновесное значение численности по данной модели с учетом ми-грации оценивается в 177 тыс. человек.

Трехкомпонентная модель, описывает динамику численности насе-ления в возрастах младше трудоспособного, трудоспособного и старшетрудоспособного. Построенная модель не является автономной, ее ко-эффициенты зависят от параметра, характеризующего среднедушевойдоход населения. Изучен характер воздействия уровня среднедушевогодохода на процесс воспроизводства.

Для анализа динамики численности возрастных когорт населениябыла использована модифицированная модель Лесли с учетом специ-фики сбора статистических данных о численности населения, что поз-волило оценить коэффициенты выживаемости для каждой когорты.

На основе построенной многокомпонентной модели проведен прогноздинамики численности населения, в соответствии с которым в случае

83

сохранения характеристик процесса воспроизводства в краткосрочнойперспективе предполагается:

— некоторая стабилизация численности населения, с последующимизменением возрастной структуры;

— рост численности новорожденных, за счет подхода к детородномувозрасту поколений 1982-1987 годов;

— рост численности населения младше трудоспособного возраста,связанный с увеличением числа новорожденных;

— снижение численности трудоспособного населения;— рост численности населения в возрасте старше трудоспособного.Работа поддержана Фондом содействия отечественной науке.

НЕНАДЕЖНЫЕ ЗАЯВКИ В МОДЕЛЯХ МАССОВОГООБСЛУЖИВАНИЯ

М. А. Осипова (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

В работе были исследованы системы и сети массового обслужива-ния с ненадежными заявками. Для рассматриваемых моделей удалосьполучить мультипликативные формулы вычисления предельных рас-пределений числа заявок в их узлах.Система M |M |1|∞. Предположим, что заявки могут отказывать с ин-тенсивностью α и восстанавливаться с интенсивностью β на m ремонт-ных местах. Опишем функционирование системы марковским процес-сом x(t) c множеством состояний X = (n, n′) : n ≥ 0, n′ ≥ 0, где n -число работоспособных заявок, n′ - число неработоспособных заявок всистеме, и ненулевыми переходными интенсивностями

λ((n, n′), (n+ 1, n′)) = λ, λ((n, n′), (n− 1, n′)) = µ,

λ((n, n′), (n− 1, n′ + 1)) = α, λ((n, n′), (n+ 1, n′ − 1)) = βmin(m,n′).

Здесь λ - интенсивность входного потока, µ - интенсивность обслужи-вания.Теорема 1. Если ρ =

λ

µ< 1, ρρ′ < 1, ρ′ =

α

β, то процесс x(t) является

эргодическим и его предельное распределение имеет вид

Π(n, n′) = C−1π(n′)(1 − ρ)ρn, C =∞∑

n′=0

π(n′),

84

π(0) = 1, π(n′) =n′∏

k=1

(ρρ′)k

min(k,m), n′ > 0.

Полученные результаты обобщаются на случай системы M |M |n|∞.Открытая сеть. Рассмотрим сеть с пуассоновским входным потокоминтенсивности λ, состоящую из m одноканальных узлов с экспонен-циальными временами обслуживания интенсивности µi, i = 1, ...,m.Динамика перемещения заявки в сети задается неразложимой марш-рутной матрицей Θ = ||θij | |mi,j=0, узел с номером 0 - внешний источник,и как следствие вектор Λ = (λ, λ1, . . . , λm) является единственным ре-шением системы Λ = ΛΘ. За i-ым узлом закреплено ремонтное место,на котором могут восстанавливаться заявки с интенсивностью βi, от-казывающие с интенсивностью αi во время их обслуживания в этомузле.

Функционирование рассматриваемой сети опишем марковским про-цессом x(t) с множеством состояний X = (n ,n ′) : n ≥ 0 , n ′ ≥ 0, гдеn = (n1, ..., nm) - вектор числа работоспособных заявок, n ′ = (n′1, ..., n

′m)

- вектор числа неработоспособных заявок, и ненулевыми переходнымиинтенсивностями ((n ,n ′), (l , l ′) ∈ X)

λ((n ,n ′), (l , l ′)) =

λθ0j , l = n + ej , l ′ = n ′,µjθj0, l = n − ej , l ′ = n ′,µjθji, l = n + e i − ej , l ′ = n ′,αj , l = n − ej , l ′ = n ′ + ej ,

βj , l = n + ej , l ′ = n ′ − ej .

Здесь 0 - m-мерный нулевой вектор, ek - m-мерный вектор, у которогоk-ая компонента равна 1, остальные - 0.

Теорема 2. Если ρj =λj

µj< 1, ρjρ

′j < 1, где ρ′j =

αj

βj, для j = 1,m,

то процесс x(t) является эргодическим и его предельное распределениеимеет вид

Π(n ,n ′) = Cπ(n ′)Ψ(n), Ψ(n) =m∏

i=1

ρni ,

π(n ′) =m∏

i=1

(ρiρ′i)

n′i , C =

m∏j=1

(1 − ρj)(1 − ρjρ′j).

85

МАГИСТРАЛЬНОСТЬ В МАТРИЧНОЙ МОДЕЛИНЕЙМАНА

Т. А. Пидюра ( УГПИ, Уссурийск),А. И. Абакумов ( ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Наиболее общей моделью экономической динамики является модельНеймана-Гейла, матричная модель Неймана - ее частный случай. До-клад посвящен доказательству теоремы о магистрали для матричноймодели Неймана из теоремы о магистрали для общей модели Неймана-Гейла.

Матричной моделью Неймана назовем конус MA = (x, y) ∈ Rn+ ×

Rn+|0 ≤ y ≤ Ax в пространстве Rn × Rn, где A - неотрицательная

неразложимая квадратная матрица.Модель Неймана-Гейла - это такой выпуклый замкнутый конусM ⊂

Rn+ × Rn

+, что ∀y = 0, (0, y) /∈ M , Pr2M ∩ (o

Rn+) = ∅. По конусу M

можно построить многозначное отображение f : K → P (Rn+), где K =

Pr1M, f(x) = y | (x, y) ∈ M. Отображение f называется производ-ственным отображением модели Неймана-Гейла.

На основе теоремы о магистрали в сильной форме для модели Неймана-Гейла [1] нами получен следующий результат для матричной моделиНеймана.Теорема о магистрали для матричной модели Неймана. Пусть

MA - матричная модель Неймана с неотрицательной неразложимой мат-рицейA. Тогда для всякой конечной оптимальной траектории (xt)T

t=0, T >t0 + k0, исходящей из точки x0, по любому ε > 0 найдутся такие t0, k0 ∈N , не зависящие от T , что неравенство ρ(xt, A

tx0) < ε выполняется длявсех t с условием t0 < t < T − k0.

Этот результат означает, что оптимальная траектория почти все-гда находится вблизи траектории (Atx0)T

t=0. Если T достаточно велико,то последняя траектория для t >> 1 близка к траектории (αtx0)∞t=0

[2]. Результат согласуется с традиционными представлениями о маги-стральных свойствах траекторий в моделях экономической динамики.

[1] Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономическойдинамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

[2] Абакумов А.И., Худзик Т.А. Асимптотика в матричных моделях ди-намических систем // Дальнев. математ. журн. 2003. Т.4, N 1, C. 44 -51.

86

ИНФОРМАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВСПОРТИВНОЙ ХРОНОМЕДИЦИНЕВ. Г. Пономаренко (СКА, Хабаровск),С. З. Савин (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

С позиций метода информационного моделирования исследуютсяпроцессы адаптации организма человека при сдвиге фаз принудителя,происходящие при перелетах в широтном направлении. На примере со-ревновательной деятельности футбольных и хоккейных команд Дальне-го Востока (Хабаровск, Владивосток), в соответствии с календарем со-ревнований вынужденных совершать многократные перелеты с пересе-чением до 15-20 раз в год 5-7 часовых поясов в условиях, недостаточныхдля полной реадаптации, построены математические модели динамикициклов функционального, нейрофизиологического и психоэмоциональ-ного состояния спортсменов. В результате наступает не только общая«разбитость» организма и, как следствие, снижение работоспособностис одновременным возрастанием технического брака, но и целый ряд бо-лее серьезных психосоматических и патологических изменений, в томчисле хронических заболеваний (неврозы, язвенная болезнь, хрониче-ская усталость, психастения и пр.). Это приводит к возрастанию трав-матизма и увеличению сроков реабилитации при временной утрате тру-доспособности, частоты обращения к врачу, в том числе по поводу мик-ротравм, простудных и инфекционных заболеваний, психических кри-зов и т.п. Сделан вывод о качественном отличии исследуемого явленияот описанного в хронобиологической литературе процесса одноразовойпоясно-временной адаптации. Обработка на ЭВМ основных характери-стик жизнедеятельности и профессиональной активности показала, чтов начале каждого сезона отмечаются их пилообразные изменения, к се-редине сезона приводящие к затяжному непрерывному спаду формысинхронно у всех игроков независимо от уровня исходной готовности ксезону и степени физической нагрузки. Этот процесс, названный нами«маятникообразным хроническим десинхронозом», усугубляется накоп-лением психофизиологической усталости при многочасовом пребываниина борту самолета, в аэропортах транзита, при резкой смене климати-ческих условий различных географических зон страны. Выявлено, чтодля дальневосточных команд наиболее оптимальным является кален-дарь соревнований, предусматривающий чередование игр на своем ичужом поле через сутки на вторые (скользящий режим) либо сериюигр общей продолжительностью не менее 12 дней в крайних часовыхпоясах. Показано, что наиболее эффективным является организация

87

соревновательно-тренировочного процесса по среднему времени с соот-ветствующим сдвигом всего распорядка дня игроков команд на 3-4 ча-са вперед в крайней восточной точке перелета и соответственно назадв крайней западной точке перелета по сравнению с местным пояснымвременем.

ГЛАДКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СМЕШАННЫХ УРАВНЕНИЙПЕРЕМЕННОГО ТИПА

С. В. Попов (НИИ математики при ЯГУ, Якутск),С. В. Потапова (ЯГУ, Якутск)

В смешанных уравнениях переменного типа гладкость начальныхи граничных данных полностью не обеспечивает принадлежность ре-шения гельдеровским пространствам. Применение теории сингулярныхуравнений дает возможность наряду с гладкостью данных задачи ука-зать дополнительно необходимые и достаточные условия, обеспечиваю-щие принадлежность решения таким пространствам. Более того, приме-нением единого подхода при общих условиях сопряжения (склеивания)для параболических уравнений переменного типа удается показать, чтонецелый показатель гельдеровского пространства может существенновлиять как на количество условий разрешимости, так и на гладкостьискомого решения уравнения:

sgnxut = Lu, (1)

где

Lu =∂n

∂xn

(k(x, t)

∂nu

∂xn

)+ c(x, t)u

k(x, t) ≥ δ > 0, c(x, t) ≤ 0.

Решение уравнения (1) ищется из пространства Гельдера Hp,p/2nx t ,

p = 2nl + γ, 0 < γ < 1. удовлетворяющее следующим начальным усло-виям

u(x, 0) = ϕ1(x), x > 0, u(x, T ) = ϕ2(x), x < 0, (2)

и условиям склеивания

∂ku

∂xk(−0, t) = σk

∂ku

∂xk(+0, t) (k = 0, . . . , 2n− 1), (3)

где σk — действительные постоянные, l ≥ 1 — целое число.

88

Большое число работ посвящено изучению таких уравнений приn = 1 (см. [1] и имеющуюся там библиографию).

Рассматриваются параболические уравнения 2n–го порядка (n ≥ 2)с меняющимся направлением эволоции, связанные с применением тео-рии сингулярных интегральных уравнений [1]-[4], а также систем этихуравнений [5].

Общие условия сопряжения для параболических уравнений четвер-того порядка были исследованы в работах [6,7] и для них были най-дены зависимости показателей гельдеровских пространств от весовыхфункций склеивания. В частности, было замечено, что при p − [p] ≥1 − 4θ(σk) > 0 гладкость решения не повышается с увеличением глад-кости входных начальных данных.

Центральным местом данной работы является явное представлениеусловий 2nl–разрешимости

Ls(ϕ1, ϕ2) = 0, s = 1, . . . , 2nl. (4)

для краевых задач (1)—(3), когда n — произвольное натуральное число.Для доказательства 2nl–разрешимости при n = 2 и n = 3 необходиморассмотрение общих условий склеивания, более того, находится зави-симость показателей гельдеровских пространств от весовых функцийсклеивания, а при n ≥ 4, оказалось, достаточно рассмотрения на линиираздела непрерывных условий склеивания, включая 2n − 1-ую произ-водную (случай σk = 1).

Рассмотренные методы решения краевых задач для параболическихуравнений можно распространить и на другие смешанные задачи пере-менного типа [8]: уравнения Трикоми, Чаплыгина, Франкля, Лаврен-тьева-Бицадзе и других.

[1] Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлени-ем времени. Новосибирск: Наука, 1985. 105 с.

[2] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

[3] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Нау-ка, 1968. 512 с.

[4] Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллипти-ческих систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. 424 с.

[5] Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука,1968. 380 с.

89

[6] Попов С.В. О гладкости решений параболических уравнений с меняю-щимся направлением эволюции // Доклады Академии Наук. 2005. Т. 400, 1. С. 29–31.

[7] Попов С.В. Гельдеровские классы решений параболических уравненийчетвертого порядка с меняющимся направлением эволюции // Мат. за-метки ЯГУ. 2004. Т. 11, 1. С. 84–100.

[8] Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 296 с.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕРАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН ФОТОННОЙ ПЛОТНОСТИ

И. В. Прохоров (ИПМ ДВО РАН, Владивосток),В. М. Мун (ДВГУ, Владивосток)

Рассматривается процесс распространения света в трехмерной сре-де в случае, когда входящее в среду излучение модулировано по ин-тенсивности на частотах в диапазоне 100 МГц – 10 ГГц. В качествематематической модели используется квазистационарное уравнение пе-реноса с коэффициентами, которые могут иметь разрывы первого рода.Разрывность коэффициентов соответствует тому, что среда G состоитиз нескольких разнородных по своим физическим характеристикам ма-териалов. Для каждого материала заданы коэффициенты ослабления,рассеяния и коэффициент преломления, характеризующие его оптиче-ские свойства. На поверхностях, где рвутся коэффициенты, ставятсяусловия сопряжения. Условия сопряжения выражают связь между па-дающим, отраженным и преломленным потоками на границах разделаоднородных сред [1]. Поскольку рассматривается гармонический про-цесс переноса излучения, то решение уравнения ищется в виде

F (·, t) = f(·)eiνmt,

где νm — частота модуляции, t—время. Комплексная амплитуда излуче-ния f(·) описывается стационарным уравнением переноса с комплекс-ным показателем ослабления. Обычно такие решения называют вол-ны фотонной плотности. Физический смысл следует придавать веще-ственной, либо мнимой части F (·, t) [2]. Зачастую, при решении ква-зистационарного уравнения переходят к его диффузионному прибли-жению, которое является уравнением типа уравнения Гельмгольца [2].Это уравнение описывает волновые процессы и является хорошо изу-ченным с теоретической точки зрения. Однако, при исследовании крае-вых задач для уравнения переноса в слаборассеивающих средах G(вода,

90

воздух, стекло и т.д.), диффузионное приближение является достаточ-но грубым. В этом случае предпочтительнее иметь дело с уравнениемпереноса, а не его диффузионным приближением. В данной работе ис-следована краевая задача для квазистационарного уравнения переноса.Построен численный алгоритм нахождения приближенного решения вслаборассеивающих средах и представлена серия вычислительных экс-периментов.


[1] Прохоров И.В. О разрешимости краевой задачи теории переноса излу-чения с обобщенными условиями сопряжения на границе раздела сред.// Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67, 6. C. 169–192.

[2] David A. Boas Diffuse photon probes of structural and dynamical propertiesof turbid media: theory and biomedical applications. //A Dissertation inPhysics, University of Pennsylvania, 1996.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИЧИСЛЕННОСТИ ДВУХВОЗРАСТНОЙ ПРОМЫСЛОВОЙПОПУЛЯЦИИ С УЧЕТОМ ПОЛОВОЙ СТРУКТУРЫ

ВЗРОСЛЫХ ОСОБЕЙО. Л. Ревуцкая, Г. П. Неверова (ИКАРП ДВО РАН, Биробиджан)

Для интенсивно эксплуатируемых популяций процесс промысловогоизъятия влияет на динамику численности не менее существенно, чемпроцессы естественной смертности или размножения. В совокупностипроцессы размножения, естественной смертности и промыслового изъ-ятия определяют характер изменения популяции.

В данном сообщении рассматривается трехкомпонентная модель, опи-сывающая динамику численности популяции с учетом разделения стар-ших особей по полу при условии ежегодного промысла. Такая модельможет быть представлена системой трех рекуррентных уравнений. Пер-вое уравнение системы описывает динамику численности неполовозре-лой части популяции, второе и третье — динамику численности поло-возрелых самок и самцов и их промысловое изъятие.

Изменение численности популяции определяется пополнением млад-ших возрастов, зависящим от соотношения самок и самцов в популяции,переходами младших возрастов в старшие, выживанием старших воз-растов. Регулирование роста численности осуществляется плотностно-

91

зависимым лимитированием выживаемости младшего возрастного клас-са и промысловым изъятием.

Приводятся и обсуждаются результаты анализа построенной моделис учетом дифференцированного промысла из разных половозрастныхгрупп популяции.

Выведены функциональные зависимости стационарных численно-стей исследуемых половозрастных групп популяции от параметров си-стемы. Проведено численное исследование системы.

Рассмотрена задача оптимизации промыслового изъятия. Показано,что увеличение коэффициента репродуктивного потенциала популяцииприводит к потере устойчивости стационарного решения системы. Од-нако оптимальное управление промыслом, а именно определение опти-мальной доли промыслового изъятия, позволяет стабилизировать дина-мику численности популяции.

Исследования проведены при финансовой поддержке РФФИ-ДВОРАН проект 06-04-96025 и ДВО РАН в рамках Программы Отделе-ния Биологических Наук РАН «Биологические ресурсы России», проект06-1-ОБН-102, а также при поддержке Фонда содействия отечествен-ной науке.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ЭНЕРГИИВ ЗАДАЧЕ О КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРЕЩИНЕ СВОЗМОЖНЫМ КОНТАКТОМ БЕРЕГОВЕ. М. Рудой (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск)

Исследуется N -мерное тело (N = 2, 3), содержащее криволинейную(N = 2) или поверхностную (N = 3) трещину. На берегах трещины зада-ется условие непроникания типа Синьорини — условие одностороннегоограничения, имеющее вид неравенства. Считается, что тело изготовле-но из однородного анизотропного материала, для которого справедливзакон Гука. На внешней границе выполнены условия жесткого защем-ления.

Данная работа касается математических вопросов теории трещин,в которой широко используется критерий разрушения Гриффитса. Всоответствии с этим критерием развитие трещины начинается тогда,когда производная функционала энергии по параметру возмущения об-ласти достигнет некоторой критической величины, зависящей толькоот свойств материала, из которого изготовлено тело.

Рассмотрено общее возмущение области с разрезом, зависящее отмалого параметра. В возмущенной области определяется функционал

92

энергии. Выведена формула для производной функционала энергии попараметру возмущения. С помощью этой формулы получены инвари-антные интегралы для различных возмущений области. В частности,построен инвариантный интеграл типа Черепанова-Райса для криволи-нейных трещин.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов ПрезидентаРФ (МК-9627.2006.1 и НШ-7525.2006.1) и Фонда содействия отечествен-ной науке.

ПОСТРОЕНИЕ НЕКОНФОРМНОГО МЕТОДАКОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИТЕЧЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ ЖИДКОСТИ СКРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕРФЕЙСОМ

А. В. Рукавишников (ХО ИПМ ДВО РАН, Хабаровск)В работе рассматривается двумерная задача течения двухфазной

жидкости без перемешивания в формулировке несжимаемых уравненийНавье-Стокса с непрерывно изменяющимся во времени интерфейсоммежду жидкостями различной плотности и вязкости. Для его определе-ния в каждый момент времени используется level set функция. Впервыетакая функция была предложена в [1], а в [2] методика была перенесенана случай задачи течения двухфазной жидкости. Авторы в [2] пред-ложили отказаться от условий согласования решения на интерфейсепутем внесения компенсирующей добавки в основные уравнения. За-тем, благодаря добавке, произвести сглаживание исходных разрывныхкоэффициентов. В результате таких преобразований предлагалось ре-шать задачу уже без сингулярных особенностей на всей области. Привсех преимуществах метода есть и существенные недостатки, к кото-рым, прежде всего, необходимо отнести отсутствие теоретического обос-нования. Ведь под сглаживанием разрывных коэффициентов подразу-мевается перемешивание жидкостей в некотором пограничном слое, аиспользование разностных схем подразумевает гладкость не только ре-шения и коэффициентов, но и их производных. Вообще говоря, в случаеразрыва коэффициентов не существует классического решения задачи.Поэтому нами предложено определить обобщенное решение на подобла-стях (см. [3]), где коэффициенты плотности и вязкости постоянны, а наинтерфейсе произвести согласования решения с помощью интегрально-функциональных соотношений (условий слабой непрерывности).

Такой подход позволил провести независимую дискретизацию за-дачи на подобластях и, таким образом, использовать нестыкующиеся

93

сетки на интерфейсе, а так же склеивать решения на общей границеподобластей с помощью мортарных конечных элементов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума ДВО РАН(проект 06-III-А-01-001), РФФИ (код проекта 07-01-00210) и грантаПрезидента РФ МК-2092.2007.1 .

[1] Osher S., Sethian J. Front propagating with curvature-dependent speed:Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations// J. Comput. Phys. 1988.V. 79. P. 12-49.

[2] Chang Y., Hou T., Merriman B., Osher S. A level set formulation ofeulerian interface captured methods for incompressible fluid flows//J. Comput.Phys. 1996. V. 124. P. 449-464.

[3] Рукавишников А.В. Обобщенная постановка задачи течения двухфаз-ной жидкости с непрерывно изменяющимся криволинейным интерфей-сом// Мат. моделирование. 2007 (в печати).

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИДИРИХЛЕ С НЕСОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

ИСХОДНЫХ ДАННЫХВ. А. Рукавишников (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск),

Е. В. Кузнецова (ДВГУПС, Хабаровск)

В работе [1] были исследованы коэрцитивные свойства задачи Дири-хле с сильной сингулярностью, вызванной несогласованным вырожде-нием исходных данных в точках границы произвольной выпуклой дву-мерной области Ω.

На основании этих свойств для численного решения указанной кра-евой задачи построена и обоснована схема метода конечных элементов(МКЭ), основными ососбенностями которой являются: (1) схема МКЭстроится на основе определения Rν–обобщенного решения; (2) базисныефункции конечноэлементного пространства содержат сингулярную со-ставляющую; (3) анализ погрешности проводится в норме специальноговесового множества W 1

2,ν∗+β/2(Ω, δ).Исследована погрешность аппроксимации и установлено, что ско-

рость сходимости приближенного Rν–обобщенного решения к точномуимеет первый порядок.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта07–01–00210) и Президиума ДВО РАН (грант 06–III–A–01–001).

94

[1] Рукавишников В.А., Кузнецова Е.В. Коэрцитивная оценка для кра-евой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // Диф-ференциальные уравнения, 2007. — Т. 43, 4. — С. 533-543.

ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С

СИНГУЛЯРНОСТЬЮЕ. И. Рукавишникова (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

Рассмотрена смешанная задача с первым однородным граничнымусловием для общего вида параболического уравнения второго порядкас коэффициентами, не зависящими от переменной t, и с сильной син-гулярностью решения в цилиндре QT = Ω × [0, T ] ⊂ R3 высоты T > 0(Ω ⊂ R2 – выпуклая ограниченная область).

Следуя теории граничных задач для эллиптических уравнений вто-рого порядка с согласованным и с несогласованным вырождением ис-ходных данных (см. [1]-[4]), решение предложенной задачи определяетсякак Rν-обобщҷнное. Такое определение решения позволило изучить егосуществование, единственность в весовом пространстве С.Л. Соболева.

Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума ДВО РАН(код проекта 06-III-A-01-001).

[1] Рукавишников В.А. О дифференциальных свойствах Rν-обобщҷнногорешения задачи Дирихле // Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, 6. С. 1318-1320.

[2] Рукавишников В.А. Задача Дирихле с несогласованным вырождениемисходных данных // Докл. РАН. 1994. Т. 337, 4. С. 447-449.

[3] Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Третья краевая задачас сильной сингулярностью. Препринт 11 / ВЦ ДВО РАН. Хабаровск:Дальнаука, 1997. 16 с.

[4] Рукавишников В.А. О единственности Rν-обобщҷнного решения длякраевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // До-кл. РАН. 2001. Т. 376, 4. C. 451-453.

95

ОЦЕНКИ ШИРИН СТОХАСТИЧЕСКИХ СЛОЕВ ВДВУХСЛОЙНОЙ МОДЕЛИ ОКЕАНАЕ. А. Рыжов (ДВГТУ, Владивосток)

В докладе представлены результаты исследования хаотической ад-векции в вихревом потоке двухслойной жидкости. Проблема транспор-та и перемешивания жидкости являются одними из важнейших задачв гидродинамике.

В последние десятилетия, в качестве одного из основных механиз-мов указанных процессов рассматривается хаотическая адвекция. Подхаосом понимается экспоненциальная расходимость изначально близкорасположенных траекторий жидких частиц.

В работе исследуется движение маркеров в поле течения невязкой,несжимаемой жидкости, порожденное взаимодействием набегающего по-тока с подводной возвышенностью в двухслойной жидкости на f -плос-кости. Для построения динамически согласованной функции тока тече-ния, используется концепция фоновых течений [1].

В слоях с постоянной плотностью движение описывается геострофи-ческими функциями тока [1].

С использованием теории возмущений [2], получена оценка шириныстохастического слоя в окрестности невозмущенной сепаратрисы дляверхнего и нижнего слоҷв жидкости. Показано, что ширины стохасти-ческих слоҷв пропорциональны корню квадратному из относительнойамплитуды возмущения. Проведено сравнение с численными результа-тами. Проведен анализ пределов применимости Мельниковской теории.

[1] Козлов В.Ф., Кошель К.В., Степанов Д.В. Влияние границы нахаотическую адвекцию в простейшей модели топографического вихря //Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41, 2. С. 242-252.

[2] Гледзер А.Е. Захват и высвобождение массы в вихревых структурахокеана // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1990. Т. 35, 6. С.838-845.

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГОУПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

А. С. Савенкова (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

В работе рассматривается задача оптимального мультипликативно-го управления для уравнения Гельмгольца в неограниченной области.

96

Пусть D ⊂ R3 — ограниченная область с достаточно гладкой гра-ницей Γ, моделирующая препятствие, Ω = R3 \ D — среда, в которойраспространяются гармонические волны; uf = ui +u — полное звуковоеполе в области Ω, ui — заданная падающая волна (например, плоскаяволна или волна от точечного источника), u — рассеянная препятствиемD волна. Функция u удовлетворяет уравнению Гельмгольца в областиΩ

∆u+ κu = 0 в Ω, (1)

импедансным краевым условиям на границе Γ = ∂Ω

∂u

∂n+ αu = −

(∂ui

∂n+ αui

)на Γ, (2)

и условиям на бесконечности, которые можно записать в виде

u ∈ V = H1(Ω), (3)

Здесь n — внешняя нормаль к границе Γ, κ = k2 + ik′ — волновое чис-ло с ненулевой мнимой частью, характеризующей эффект поглощениягармонических волн в среде (k, k′ ∈ R+), α характеризует импедансныесвойства поверхности Γ.

Пусть ΓR — сфера радиуса R, целиком содержащая область D. Зада-ча оптимального управления состоит в нахождении такого импеданса αна поверхности Γ рассеивающего объекта, чтобы полное поле было какможно ближе к заданному на «целевой» сфере ΓR полю ud. Формальноэта задача заключается в минимизации функционала качества

J(u(α), α) = J(α) =12

∫ΓR

|u(α) − u0|2 ds+δ

2‖α‖2

L2(Γ) → minα∈Uad

.

Здесь Uad ⊂ L2(Γ) — множество допустимых управлений, δ ≥ 0 — пара-метр регуляризации, u0 = ud − ui. Ограничения, при которых происхо-дит минимизация функционала, определяются слабой формулировкойпрямой задачи (1)-(3).

В работе доказывается единственность решения задачи оптимально-го управления при ограничениях малости, строится система рекуррент-ных уравнений относительно функций uk, pk, αk (k ≥ 1) и выводитсяасимптотика решения при малых значениях параметра µ = 1/δ. Основ-ной результат может быть сформулирован следующим образом:

97

Теорема. Пусть α, u — оптимальные управление и состояние, p —соответствующее сопряженное состояние; αk ∈ Uad, uk ∈ V , pk ∈ V— решение системы рекуррентных уравнений. Если µ < minK, 1/θ,тогда решение задачи оптимального управления единственно и привсех k ≥ 1 справедливо

‖u− uk‖ + ‖p− pk‖ + ‖α− αk‖L2(Γ) ≤ (µθ)k−1µQ,

где постоянные Q, θ зависят только от исходных данных задачи (κ, ui, u0),K — такая постоянная, что при µ < K решение задачи единственно.

Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школРФ (грант НШ-9004.2006.1).

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

ЗАГРЯЗНЕНИЙО. В. Соболева (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Важнейшей задачей прикладной экологии является задача защитыокружающей среды от антропогенных загрязнений. Решение указаннойзадачи с помощью метода математического моделирования приводитк необходимости решения обратных задач идентификации неизвестныхплотностей источников и коэффициентов, входящих в используемые мо-дели распространения загрязнений.

Пусть Ω – ограниченная область из пространства Rd (d = 2, 3) с лип-шицевой границей Γ, состоящей из двух частей ΓD и ΓN . Рассмотрим вэтой области следующую краевую задачу:

−∆C + u · gradC − w0∂C

∂z+ kC = f, C|ΓD

= ψ,∂C

∂n+ αC|ΓN

= χ. (1)

Здесь C – концентрация примеси, u = (u, v, w) – скорость, k ≥ 0 –величина, характеризующая распад загрязняющего вещества за счетхимических реакций, f – плотность распределеных источников, w0 –величина вертикальной скорости осаждения частиц под действием силытяжести, α,ψ, χ – некоторые функции.

В работе рассматривается задача, заключающаяся в нахождении не-известных параметров α, k и χ по дополнительной информации о со-стоянии среды в некоторой подобласти Q ⊂ Ω. Указанная задача фор-мулируется как задача минимизации определенного функционала каче-ства на решениях исходной краевой задачи. На основании [1] исследует-ся ее разрешимость, выводятся системы оптимальности, описывающие

98

необходимые условия экстремума, развивается численный алгоритм еерешения, основанный на дискретизации задачи (1) методом конечныхразностей, используется метод Ньютона для решения экстремальнойзадачи.

Работа поддержана грантом НШ-9004.2006.1, грантом РФФИ 06-01-96020-р_восток_а и грантами ДВО РАН (проекты 06-I-П22-086, 06-II-СО-03-010, 06-III-А-01-011, 06-III-А-03-072)

[1] Алексеев Г.В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи длястационарных уравнений тепломассопереноса // Журн. вычисл. мат. имат. физики. 2007. Т. 47. N 6. С. 1055–1076.

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В

ЛОКАЛЬНО-НЕРЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕА. В. Солдатов (ДВГУ, Владивосток)

В докладе представлен численный алгоритм решения обратной экс-тремальной задачи идентификации коэффициента рефракции, входя-щего в уравнение Гельмгольца, рассматриваемое в двумерной области,имеющей вид полосы с прямолинейной верхней границей z = 0 и криво-линейной нижней границей z = H(x) > 0, моделирующей акустическийволновод с мягкой свободной поверхностью и жестким криволинейнымдном. Для простоты рассматривается задача в локально нерегулярномволноводе. Это означает, что H(x) = const при x > x∞.

Прямая краевая задача для неоднородного уравнения Гельмгольцаописывается соотношениями [1]

Lp ≡ ∆p+ qp = −f,p = 0 при z = 0, ∂p

∂n = 0 при z = H(x), p = g1 при x = 0,

причем решение p удовлетворяет условиям излучения при x→ ∞. Здесьf и q удовлетворяют условиям: f(x, z) = 0, а q(x, z) = const при x >x∞ в силу локальной нерегулярности задачи. Такая задача может бытьсведена к задаче на ограниченной области x ≤ x∞, для решения которойприменяется метод конечных элементов.

Для решения обратной задачи используется информация о поле врегулярной части волновода вида p(x0, z) = g0(z), где x0 > x∞. Пред-лагаемый численный алгоритм приближенного решения обратной зада-чи основан на выводе системы оптимальности для задачи управления

99

и итерационном решении прямой и сопряженной задач для уравненияГельмгольца.

Работа поддержана грантом НШ-9004.2006.1, грантом РФФИ 06-01-96024-р−восток−а и грантом ДВО РАН (проект 06-I-П22-086).

[1] Алексеев Г.В. Метод нормальных волн в подводной акустике. Влади-восток: Дальнаука, 2006. 360 с.

ЧИСЛЕННОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТАТЕПЛООБМЕНА ПО ЗАДАННОМУ ПОЛЮ

ТЕМПЕРАТУРЫД. А. Терешко (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Данная работа посвящена восстановлению коэффициента теплооб-мена, входящего в граничное условие для уравнения конвекции-диффузии,по известным значениям температуры в области течения или некоторойее подобласти.

Процесс распространения тепла в ограниченной плоской области Ωс границей Γ описывается следующей краевой задачей:

−λ∆T + u · ∇T = f в Ω, T = g на ΓD, λ∂T

∂n+ αT = χ на ΓN .

Здесь T – температура жидкости, λ = const > 0 – коэффициент темпе-ратуропроводности, u – заданный вектор скорости жидкости, f – объ-емная плотность источников тепла, α – коэффициент теплообмена, g иχ – некоторые функции. Открытые участки границы ΓD и ΓN удовле-творяют условиям Γ = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN = ∅.

Исследуется обратная задача определения функции α(x) на частиΓN границы Γ по дополнительной информации о поле температуры.Она сводится к задаче минимизации некоторого функционала качествана решениях исходной краевой задачи (более подробно см. в [1]). Длянее доказывается теорема существования решения, обосновывается при-менение принципа неопределенных множителей Лагранжа, выводитсясистема оптимальности, а также устанавливаются условия единствен-ности и устойчивости решения.

Рассматриваются два алгоритма численного решения экстремаль-ной задачи, использующие полученную при теоретическом исследова-нии систему оптимальности (см. [2]). Первый алгоритм основан на гра-диентном методе, причем для нахождения градиента на каждой ите-рации приходится решать прямую и сопряженную задачи. Второй ал-горитм использует метод Ньютона. Для дискретизации краевых задач

100

используется метод конечных элементов. При проведении численныхэкспериментов подробно исследуется влияние значений параметров ал-горитма, величины и места расположения подобласти наблюдения тем-пературы T на точность восстановления коэффициента теплообмена.

Данное исследование поддержано грантом НШ-9004.2006.1, грантомРФФИ-Дальний Восток, проект N 06-01-96020-р_восток_а, и грантамиДВО РАН (проекты: 06-I-П22-086, 06-II-СО-03-010, 06-III-А-03-072).

[1] Алексеев Г.В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи длястационарных уравнений тепломассопереноса // Журн. вычисл. матем. иматем. физики. 2007. Т. 47. N 6. С. 1055–1076.

[2] Терешко Д.А. Численное решение задач идентификации параметровпримеси для стационарных уравнений массопереноса // Вычисл. технол.2004. Т. 9. Спец. вып. Часть 4. С. 92–98.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХСИСТЕМ

И. А. Трещев (ГОУВПО «КнАГТУ», Комсомольск-на-Амуре)

Для ускорения выполнения команд микропроцессора применяетсяидея конвейерной сборки автомобиля. Многократно выполняющаясяоперация разлагается в композицию микроопераций, выполняемых от-дельными специализированными вычислительными устройствами. Вол-новые системы являются обобщением конвейера, где в роли специализи-рованных устройств могут выступать как отдельные микропроцессорыв случае вычислительных станций с SMP-архитектурой, так и выде-ленные рабочие станции в случае кластеров. Под волновой системоймы будем понимать совокупность параллельно выполняющихся после-довательных процессов, обменивающихся между собой данными черезканалы. Здесь под каналом мы подразумеваем тип данных языка ОК-КАМ. Волновая система принимает данные из входного потока, обраба-тывает эти данные и выводит результаты обработки в выходной поток.Каждый канал мы представляем в виде ориентированного ребра. Реб-ро может соединять два процесса, или соответствовать принимающемуканалу волновой системы, или соответствовать каналу для вывода по-лученных результатов. Мы будем требовать, чтобы ребра не составлялиориентированных циклов.Модель волновой системы допускает обобще-ние, при котором частичный граф не предполагается ацикличным. Этамодель больше подходит для исследования одновременной работы про-цессов, поскольку в ней учитывается порядок приема и передачи дан-

101

ных. Мы предлагаем использовать ее для расчетов, связанных со вре-менем работы вычислительной системы. Так же в работе определенакатегория [1] волновых систем и строиться функтор в категорию сетейПетри. Моделирование с помощью сетей Петри не пригодно для расчетапроизводительности волновой системы. Предлагаемая в данной работемодель волновой системы более приспособлена для этой цели. Даетсяопределение временных волновых систем и для них приведена нижняяи верхняя оценка времени работы волновой системы.

[1] Маклейн С. Категории для работающего математика / Пер. с англ.подред. В.А. Артамонова. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352с.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯДВУМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

ЗАГРЯЗНЕНИЙМ. Н. Тучак (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Целью настоящей работы является численное исследование начально-краевой задачи для двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции.

Пусть Ω – ограниченная область из пространства R2 с липшицевойграницей Γ, состоящей из двух частей ΓD и ΓN . Рассмотрим в этойобласти следующую начально-краевую задачу:

∂C

∂t− λ∆C + u · gradC + kC = f, (1)

C|t=0 = C0(x, y), C|ΓD= ψ,

∂C

∂n+ αC|ΓN

= χ. (2)

Здесь λ – коэффициент диффузии, ∆ – оператор Лапласа, u – скоростьвещества в жидкости, C – концентрация примеси, k ≥ 0 – величина,характеризующая распад загрязняющего вещества за счет химическихреакций, f – плотность распределеных источников, α,ψ, χ,C0 – некото-рые функции.

При дискретизации уравнения (1) использовались противопоточнаясхема первого порядка точности, схема Кранка-Николсона, имеющаявторой порядок точности по пространству и времени, а также схемыповышенного порядка точности, построенные на основе методологии ра-боты [1] с использованием расширенной формулы трапеций и формулы

102

Симпсона. В работе обсуждаются результаты вычислительных экспери-ментов и проводится сравнительный анализ полученных решений дляразных значений параметров λ и k.

Работа поддержана грантом НШ-9004.2006.1 и грантами ДВО РАН(проекты 06-I-П22-086, 06-II-СО-03-010, 06-III-А-03-072)

[1] Chawla M.M., AL-Zanaidi M.A., AL-Aslab M.G. Extended One-StepTime-Integration Schemes for Convection-Diffusion Equations // Comp. andMath. Appl. 2000. V.39. P.71-84.

СИСТЕМНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО ХОДАТЕМПЕРАТУРЫ ВОЗДУХА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ

АТМОСФЕРЫБ. Е. Фишман, К. В. Шлюфман

(ИКАРП ДВО РАН, ГОУ ВПО ДВГСГА, Биробиджан)

Важнейшей задачей системного изучения и моделирования динами-ки естественных процессов является получение содержательной диагно-стики и прогноз развития рассматриваемых процессов, заданных дис-кретно через равные промежутки времени. Наиболее часто для решенияобратной задачи такого рода используется спектральный анализ, пре-образующий последовательность дискретных и равноотстоящих во вре-мени значений реального процесса в его спектральную плотность. Ав-торы рассматривают систему частотно-пространственного анализа ком-понентов динамических процессов, в которой интерпретация и осмыс-ление спектральной плотности опирается на модельное представлениепроцесса как суммы нескольких информативных компонентов с фикси-рованными частотами и шума с широким частотным спектром. Такимобразом, в указанной системе используются модели, в которых инфор-мативные компоненты хорошо аппроксимируются тригонометрически-ми функциями.

Последовательно рассматриваются модели, содержащие одну инфор-мативную компоненту (первое приближение), две информативные ком-поненты (второе приближение) и т.д. Для оценки качества конкретноймодели используются три критерия качества: коэффициент парной кор-реляции между значениями, полученными в модели, и фактическими;остаточная дисперсия; максимальное отклонение значений, полученныхв модели, от фактических. Развивается комплекс моделирования, от-крытый по отношению к количеству рассматриваемых компонентов и

103

по отношению к возможности рассматривать часть компонентов стоха-стической природы.

Для апробации разрабатываемой системы частотно-пространствен-ного анализа была рассмотрена реальная динамика температуры возду-ха в приземном слое атмосферы, представленная данными максималь-ных и минимальных (за сутки) значений в девяти фиксированных пунк-тах наблюдений (станциях ГМС). Использованы данные наблюдений последующим пунктам: Архангельск (64.6 С 40.5 В) — длительность на-блюдений 59 лет, Благовещенск (50.3 С 127.6 В) — 82 г., Брест (52.1 С23.7 В) — 48 лет, Владивосток (43.1 С 131.8 В) — 63 г., Вилюйск(63.8 С 121.6 В) — 71 г., Караганда (49.8 С 73.1 В) — 44 г., Ту-ра (64.3 С 100.2 В) — 62 г., Туруханск (65.8 С 87.9 В) — 36 лет,Усть-Цильма (65.5 С 52.2 В) — 78 лет.

Спектрограммы построенные по каждому временному ряду, взято-му полностью, указали на существование пяти информативных компо-нентов. Первый информативный компонент имеет период равный году.Второй, третий, четвертый и пятый информативные компоненты имеютсоответственно периоды 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 года. Рассмотрена гипотезао том, что указанные информативные компоненты представляют не-кий единый системный процесс, влияющий на динамику годового ходатемпературы воздуха в приземном слое атмосферы. Проверка гипотезыо взаимосвязи этих компонентов с помощью линейного уравнения ре-грессии подтвердила ее справедливость с очень высокой доверительнойвероятностью. Все частоты ωi, i = 1, 5 находятся в функциональнойсвязи вида ωi = 0.017204195 ·i, i = 1, 5. Здесь коэффициент 0.017204195является частотой наиболее значимой информативной компоненты с пе-риодом приближенно равным одному году (365.2124 дней).

Т.к. спектрограммы, построенные по данным наблюдений всех рас-смотренных пунктов, содержат указанную связь, то обнаруженное яв-ление не может рассматриваться как явление локального характера.Необходимо заметить, что попытка рассмотреть зависимость амплиту-ды первого информативного компонента от географических характери-стик пунктов наблюдений (долготы и широты) не привела к удовлетво-рительному описанию.

104

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙРАЗВИТИЯ ПРОМЫШЛЕННОСТИ РЕГИОНА (НАПРИМЕРЕ ЕВРЕЙСКОЙ АВТОНОМНОЙ ОБЛАСТИ)

М. Ю. Хавинсон, С. В. Аносова(ИКАРП ДВО РАН, Биробиджан)

Планирование развития промышленности региона опирается на вы-явление основных тенденций в соответствующих социально-экономи-ческих процессах. Адекватность оценки текущего состояния производ-ства требует определения показателей развития промышленности, ко-торое может быть отражено в математическом моделировании.

Показано, что динамику факторов производства — численности за-нятого населения и основных фондов — с достаточно высокой степеньюточности описывают уравнения модели глобальной динамики Дж. Фор-рестера.

Обосновано применение в качестве модели, описывающей динами-ку показателей развития промышленности ЕАО (объема производствапромышленной продукции, валовой добавленной стоимости промыш-ленности и индексов физического объема продукции к 1990 г.), функцииКобба-Дугласа.

Использованные модели верифицированы на официальных стати-стических данных 1996-2004 гг. о промышленности Еврейской автоном-ной области.

На основании результатов моделирования сделаны выводы о нали-чии в развитии промышленности ЕАО устойчивого состояния со стаби-лизацией на невысоком уровне производства. Перспективным направле-нием развития промышленности области может стать реализация про-екта освоения Кимканского и Сутарского железорудных месторожде-ний на территории ЕАО.

ФОРМУЛА ЭМБРЕХТСА-ВЕРАВЕРБЕКЕ ВМНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ МАССОВОГО

ОБСЛУЖИВАНИЯГ. Ш. Цициашвили (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

В докладе рассмотрены математические модели многоканальных си-стем массового обслуживания: с конкуренцией между каналами, с кон-куренцией между заявками, с линейной зависимостью времени обслу-живания и интервала между приходом заявок от времени ожидания.

105

Единым методом асимптотического анализа этих моделей является ис-пользование формулы Эмбрехтса-Веравербеке и ее многомерного ана-лога.

На основе полученных соотношений для хвостов стационарных рас-пределений времен ожидания и отношения пропускных способностейпроведен сравнительный анализ систем с конкуренцией между канала-ми, с конкуренцией между заявками и без таковой. Было показано, чтовведение конкуренции между каналами за заявки существенно улуч-шает качество многоканального обслуживания. Проведенный сравни-тельный анализ позволил обойти сложную процедуру получения болееточных оценок для хвоста распределения предельного времени ожида-ния в классической многоканальной системе.

Для хвоста стационарного распределения времени ожидания в си-стеме с линейной зависимостью времени обслуживания и интерваламежду приходом заявок от времени ожидания построены верхняя инижняя оценки и доказана их асимптотическая эквивалентность. В слу-чае многоканальной системы полученный результат является следстви-ем многомерного обобщения формулы Эмбрехтса-Веравербеке.

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТОРМОЖЕНИЕММГД ТЕЧЕНИЯ

А. Ю. Чеботарев (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Течение однородной вязкой несжимаемой и проводящей жидкости вограниченной односвязной области Ω ⊂ R3 со связной границей Γ = ∂Ωмоделируется уравнениями магнитной гидродинамики (МГД) в безраз-мерных переменных:

∂u/∂t− ν∆u+ rotu× u = −∇h+ S · rotB ×B, x ∈ Ω, t > 0, (1)

∂B/∂t+ rotE = 0, rotB = 1/νm(E + u×B), (2)

div u = 0, divB = 0. (3)

Здесь u, B, E — векторные поля скорости, магнитной индукции и элек-трической напряженности соответственно, h — полный напор течения,ν = 1/Re. νm = 1/Rm, S = M2/ReRm, где Re — число Рейнольдса, Rm

— магнитное число Рейнольдса, M — число Гартмана.К уравнениям (1)-(3) добавляют условия на границе Γ области те-

чения

n× u = 0, h = l(x), B · n = 0, n× E = 0, (x, t) ∈ Γ × (0, T ), (4)

106

где n единичный вектор внешней нормали к границе Γ, и начальныеусловия

u|t=0 = u0(x), B|t=0 = B0(x), x ∈ Ω. (5)

Здесь u0 — стационарное решение уравнений Навье-Стокса (1) при от-сутствии магнитного поля, которое удовлетворяет краевым условиям(4).

Предлагается поэтапная процедура торможения течения за счет им-пульсного управления магнитным полем. В качестве управляющих функ-ций выбираются значения магнитного поля в моменты времени0 = t0 < t1 < t2 < ... < tm = T. На каждом из временных интерва-лов (ti, ti+1) минимизируется функционал

Ji = (1/2)∫

Ω

((rotu)2 + (rotB)2)dx+ (λ/2)∫

Ω

(rotBi)2dx

за счет выбора управляющих воздействий Bi = B|t=ti, λ > 0 — пара-

метр регуляризации. Значения поля скоростей в моменты времени t = tiне изменяются.

Основной проблемой при исследовании задач оптимального управ-ления трехмерными системами типа Навье-Стокса является регуляр-ность оптимального состояния течения. Для данной постановки пока-зано, что сингулярности решения (в смысле Лере) не развиваются стечением времени за счет их подавления магнитным полем. Доказанаразрешимость задачи управления. Построена система оптимальности,регулярность которой обоснована в целом по времени.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ–ДВО РАН (06-01-96003), гранта НШ-9004.2006.1 и Фонда содействия отечественной нау-ке.

[1] Sermange M., Temam R. Some mathematical questions related to the MHDequations // Comm. on Pure and Applied Math. Vol. 36, 1983. P. 635 - 664.

[2] Чеботарев А.Ю., Савенкова А.С. Вариационные неравенства в маг-нитной гидродинамике. Матем. заметки. том 82, выпуск 1, июль, 2007,стр.135-149.

[3] Чеботарев А.Ю. Оптимальное управление в нестационарных задачахмагнитной гидродинамики // СибЖИМ. Т.10, N 3(31), 2007.

107

ПРИНЦИПЫ КЛАССИФИКАЦИИ ЗАБОЛЕВАЕМОСТИПО СТЕПЕНИ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕНИЯ

Е. В. Черныш (ДВГУ, Владивосток)

В современных условиях возникает проблема формализации знанийдля некоторых областей науки и практики. Одной из таких областейявляется медицина, где необходимо учитывать различные факторы иусловия окружающей среды, влияющие на здоровье человека. Тогдана основе общепринятых, стандартных статистических методов анализамедико-экологических данных можно делать выводы и давать прогнозыпо заболеваемости населения исследуемой территории.

Методы кластерного анализа позволяют по некоторому математиче-скому критерию разбить исходное множество объектов на классы, ха-рактеризующиеся близкими по значениям наборами параметров. Такимобразом, выделяют зоны распространения заболеваемости населения,затем полученные зоны ранжируют по уровню потенциального воздей-ствия неблагоприятных факторов. На здоровье населения влияют какгеохимические показатели основных объектов биосферы, географиче-ское положение, температурный фонд, уровень влажности территории,так и социальные факторы (питание, благополучие населения и т.п.),и др. Такая многофакторность усложняет достоверность результатованализа и прогноза заболеваемости.

С другой стороны важно выполнять мониторинг по группам забо-леваний. Для анализа этой ситуации могут быть использованы методыи подходы, которые развиты в других областях, например, в экономике(анализ и прогноз цен, влияние различных факторов на колебания цен).

В рамках одного региона и определенных групп населения (дети,подростки, взрослые) данные ранжируются в зависимости от частотыповторяемости уровня заболеваемости. Затем таким данным присваи-вается ранг и строится функциональная зависимость ранга от частоты.Анализируя полученную кривую по годам можно будет для данногоранга предсказать его частоту повторяемости.

Работа выполнена при поддержке гранта НШ-9004.2006.1.

108

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА РАВНОВЕСНОЙМОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ МЕМБРАННЫХБЕЛКОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫМ. А. Шепелов (ДВГУ, Владивосток), Г. Н. Лихацкая,Т. Ф. Соловьева (ТИБОХ ДВО РАН, Владивосток),М. А. Гузев (Президиум ДВО РАН, Владивосток)

Одной из фундаментальных проблем современной молекулярной био-логии является изучение динамики и механизмов функционированиябелков на основе их математических моделей. В работе исследуютсяпорины — интегральные мембранные белки, выделенные из наружноймембраны грамотрицательных бактерий и образующие трансмембран-ные водонаполненные каналы с диаметром 0.6–2.3 нм. Функциональнаяактивность поринов определяется структурой и конформацией белка.В настоящее время получены рентгеноструктурные данные и изуче-на трехмерная структура некоторых поринов, что позволяет выяснитьособенности их функционирования на атомном уровне. Важным пара-метром, характеризующим белки, является термостабильность. Обна-ружено, что термостабильность поринов различна, и структурная ос-нова этих различий не ясна.

Цель работы — исследование потенциальной энергии молекул белков-поринов в мономерной и олигомерной формах, в вакууме, при сольвата-ции и в липидном бислое, при разной температуре, а так же расчет из-менения структуры молекул в зависимости от температуры. В качествеобъектов исследования использовали кристаллическую структуру по-рина из банка данных пространственных структур белков (www.pdb.org)и теоретические модели структур поринов, полученные методами ком-пьютерного моделирования. Исследуемые системы состояли из 3, 4∗103

частиц в случае мономеров и 104 частиц в случае тримеров. Это обу-словило применение высокопроизводительных вычислительных системи специальных пакетов программ молекулярной динамики для анализаизменений систем в зависимости от температуры.

Минимизацию энергии молекул проводили в вакууме и при сольва-тации системы с помощью пакета программ GROMACS 3.3 с парамет-рами emtol = 100 КДж мол-1 нм-1, emstep = 0.01 нм при температурахот 300 К до 370 К. Методом равновесной молекулярной динамики изу-чалось поведение систем в зависимости от температуры с шагом моле-кулярно динамического моделирования 0.002 пс и временем симуляцииот 100 пс до 1 нс.

109

Для организации численого эксперимента исследования белка в ли-пидном беслое, GROMACS 3.3 был дополнен разработанным модулем,позволяющим объединять белок и липидный белок в единую систему ирассчитывать с заданными параметрами.

Показано, что в исследуемом диапазоне температур наблюдаютсясущественные изменения вторичной структуры мономеров поринов инарушения структуры олигомеров. Выявлены отличия в динамике из-менения структуры исследуемых систем — поринов в мономерной и втримерной формах в зависимости от температуры, определены функ-циональные особенности данных изменений.

Работа выполнена при поддержке грантов 06-II-УО-01-001 и 06-III-А-05-123.

110

ОПТИМИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХМОДЕЛЯХ ДЛЯ БИОСИСТЕМ

А. И. Абакумов (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Динамика численности биологической системы со сбором урожая вдостаточно общем случае описывается системой уравнений в частныхпроизводных:

∂x

∂t+ divα(µ x) = f(t, α, x, u),

где x(t, α) вектор-функция состояния системы с условием

x(0, α) = x0(α),

а u(t, α) - вектор-функция интенсивности сбора урожая. Под произведе-нием µx матрицы µ на столбец x понимается перемножение элементовстрок матрицы µ на соответствующего номера компоненты вектора x.

При оптимизации процесса сбора урожая функция u(t, α) выбира-ется обычно из множества U непрерывных или кусочно-непрерывныхфункций с дополнительными ограничениями при оптимизации некото-рого функционала полезности собираемого урожая∫

T×A

ϕ(t, α, x, u)dαdt→ supu∈U

.

Здесь T = [0; t] - промежуток времени при сборе урожая, компактноемножество A ⊂ Rp означает множество возможных значений харак-теристик α особей биосистемы. Предполагается выполненным условиенеперехода через границу:

µ(t, α)|α∈∂A = 0.

В предположениях необходимой гладкости функций с помощью функ-ции Лагранжа L(t, α, x, u, λ) = ϕ + λf поиск оптимального решения в

111

части необходимых условий сводится к решению краевой задачи длясистемы уравнений в частных производных:

∂x

∂t+ divα(µ x) = f(t, α, x, u),

∂λ

∂t+ diag(µ · ∂λ

∂α) = −∂L(t, α, x, u, λ)

∂xс условиями

x(0, α) = x0(α), λ(t, α) = 0.

Использованы обозначения: diag M - вектор-строка из диагональныхэлементов матрицы M , u(t, α, x, λ) = arg max

u∈UL(t, α, x, u, λ).

Ищется функция x(t, α) состояния системы и некоторая сопряжен-ная функция λ(t, α).

В расчетах проявляются магистральные (асимптотические) свойстваоптимальных решений, аналогичные таким свойствам в моделях эко-номической динамики. Работа поддержана грантом ДВО РАН, проект06-III-A-01-458, и грантом Ученого совета Дальрыбвтуза 2007 года.

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В МОДЕЛИПРОИЗВОДСТВА

А. И. Боровик (ДВГУ, Владивосток)

Обсуждается задача об управлении процессом производства, хране-ния и сбыта товара с точки зрения теории оптимального управления. Вотличие от работы [1] вводится дополнение в математическую модельрассматриваемой задачи, связанное с учетом коэффициента окупаемо-сти товара. Основной результат состоит в построении алгоритма длянахождения оптимального позиционного управления.Математическая модель рассматриваемой задачи выглядит следующимобразом:

z = U − P ;w = (m− c0)P ;z(t0) = z0, w(t0) = w0

Здесь z(t) – количество товара на складе производителя, U(t) – ско-рость производства, P (t) = z(t)n0 exp(− c0w0

w(t) ) – скорость продажи, w(t)– количество средств у потребителя, предназначенных для покупки то-вара, m – коэффициент окупаемости товара, c0 – стоимость единицытовара, n0 – коэффициент покупательной способности.

112

После выполнения линеаризации данной математической модели вокрестности известных параметров z0 и ω0 приходим к следующей си-стеме уравнений:

z = −αn0(z + γw) + αn0z0c0 + U ;w = −αβ(z + γw) + αβz0c0;

(1)

которая дополняется условиями: z(t0) = z0 , ω(t0) = ω0 Здесь α =exp(−c0), β = n0(c0 −m), γ = z0c0

ω0. Будем рассматривать скорость про-

изводства U(t) ∈ [t0;U0] в качестве управления. Экстремальная задачазаключается в нахождении указанного управления из условия макси-мизации общего дохода:

J(T ) =∫ T

t0

(c0P1(t) − U(t) − kz(t))dt→ max (2)

где P1 = α(z + γω − z0c0)n0, k > 0 – коэффициент затрат на хранениетовара.

Постановка (1)-(2) представляет собой задачу оптимального управ-ления линейной системой дифференциальных уравнений. Цель работысостоит в построении оптимального позиционного управления и опреде-ления характера зависимости этого управления от параметров задачи,таких как z0 и w0, а так же в определении характера зависимости до-хода, выраженного формулой (2) от различных начальных данных.

[1] Параев Ю. И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранениии сбыте товара // Вестник ТГУ. 2000. C. 152-156.

[2] Ащепков Л.Т., Шапаренко Н.Н. Оптимальный синтез и упреждаю-щая стабилизация линейной системы // Изв. академии наук. Теория исистемы управления. 1999. N1. C. 24-30.

СИНТЕЗ ВЕКТОРНОГО ОПТИМАЛЬНОГОУПРАВЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА И СБЫТА

ТОВАРАК. А. Ганжа (ДВГУ, Владивосток)

Рассматривается линейная динамическая модель процесса производ-ства, хранения и сбыта товаров. Пусть z(t) — количество товара на скла-де производителя, w(t)— количество средств у потребителя, предназна-ченных для покупки данного товара, c(t)— текущая стоимость товара,

113

P (t)—скорость продажи, U(t) — скорость производства. Изменение этихпараметров во времени описывается следующей системой:

z = −αn0(z + γw) + αn0z0c+ U ;w = −αβ(z + γw) + αz0c(β − n0) + αγw0n0;

(1)

которая дополняется начальными условиями:

z(t0) = z0, w(t0) = w0 (2)

Здесь α = exp(−c0), β = n0(c0 −m), γ = z0c0/w0.Параметры z0, c0, w0 представляют собой величины в окрестности

которых проводится оптимизация.Будем рассматривать скорость производства U(t) и текущую цену

товара c(t) в качестве управлений. При этом U(t) ∈ [0;U0], где U0—максимально возможная скорость производства.

Экстремальная задача заключается в нахождении указанных управ-лений из условия максимизации общего дохода. Величина общего дохо-да определяется интегралом:

J(T ) =∫ T

t0

(c(t)P1(t) − U(t) − kz(t))dt→ max (3)

где k > 0 — коэффициент затрат на хранение товара, P1 = α(z + γw −z0c)n0.

В представленной работе получены явные формулы для оптималь-ного позиционного векторного управления U(t), c(t) в случае когда c0 < 1и исходное количество средств на приобретение товара w0 согласованос c0 и начальным количеством товара z0. Приводится экономическаяинтерпретация полученных результатов.

ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ РЫБНОГО ПРОМЫСЛАЕ. Е. Гиричева (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

В работе рассматривается задача максимизации прибыли, получа-емой от промысла нескольких видов рыб за определенный промежу-ток времени. Численность популяций описывается функциями xi(t),i = 1, . . . ,m. Изменение численности происходит по естественным при-чинам (рождаемость и смертность), описываемым функциями fi(x) для

114

каждого вида рыб, и в результате промысловых изъятий. Промысел осу-ществляется n способами (под способами понимаются различные техно-логии). Эффективность способа j при изъятии единицы вида i опреде-ляется величиной αij . Доли изъятия популяций определяются величи-нами промысловых усилий, описываемыми функциями uj(t),j = 1, . . . , n. Эту задачу опишем следующей моделью:

T∫0

[m∑

i=1

pixi(t)n∑

j=1

αijuj(t) −n∑

j=1

cju2j (t)

]dt → sup

u(t)

,

dxi

dt= fi(x) − xi(t)

n∑j=1

αijuj(t), xi(0) = x0i , i = 1, . . . ,m,

uj(t) ≥ 0, j = 1, . . . , n.

Здесь pi — рыночные цены за единицу каждого вида, cj — затраты накаждый вид промысла.

С помощью принципа максимума Понтрягина для задачи полученынеобходимые условия оптимальности промысловых усилий uj(t), j =1, . . . , n, представляющие краевую задачу для системы обыкновенныхдифференциальных уравнений, которая решена численно методом стрель-бы.

В качестве примера рассмотрена экосистема, включающая пять ви-дов рыб (вариант 1)), а также варианты, когда зафиксированы числен-ности первых двух видов (вариант 2)) и первых трех видов (вариант 3)).Расчеты показали, что структура промысла тем сложнее, чем большееколичество связей между видами учитывается в модели. А прибыль отпромысла четвертого и пятого вида выше в первом варианте.

Оптимальный вариант был сравнен с неоптимальными (значенияпромысловых усилий предполагались неизменными на всем временноминтервале). В этих вариантах прибыль от промысла оказалась ниже,чем в оптимальном. В случаях, когда значения промысловых усилийв несколько раз превосходят их оптимальные значения, численностьпопуляций заметно сокращается (происходит переэксплуатация), а за-траты на промысел выше дохода.

Работа поддержана грантом ДВО РАН, проект 06-Ш-А-01-458.

115

МОДЕЛИ САМООРГАНИЗАЦИИ В СИСТЕМЕИНДИКАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В. Б. Гусев (ИПУ РАН, Москва)

Основная идея механизма индикативного управления в организаци-онных системах заключается в определении сценарных значений пока-зателей хозяйственной деятельности, соответствующих гипотезе пози-тивного развития и последующего их использования участниками эко-номического процесса в своей практической деятельности [1]. Слабымместом такого подхода является малая эффективность механизма ре-ализации индикативного плана в силу индикативного (необязательно-го) характера последнего. Действительно, индивидуальные краткосроч-ные интересы отдельных участников очень часто не совпадают с дол-госрочными коллективными интересами, отражение которых содержатиндикативные планы. Подход, излагаемый ниже, состоит в том, чтоучастнику сообщаются не только значения индикативных показателей,а индикативные (рекомендуемые) правила проведения хозяйственныхопераций. Выполнение этих правил гарантирует в долгосрочном пла-не выход на оптимальные показатели экономической деятельности. Вэтом случае можно использовать регулятор, ориентированный на до-стижение оптимального уровня показателя. Для максимизации уровняприбыли обратная связь регулятора должна контролировать индика-тор оптимума — предельную прибыль, принимающую нулевое значениев экстремальной точке.

[1] Левинталь А.Б., Ефременко В.Ф., Гусев В.Б., Пащен-ко Ф.Ф.Расчет показателей индикативного планирования для программ разви-тия региона. Научное издание. - М.: Институт проблем управления РАН,2006, 54 с.

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИСКРЕТНОЙИНТЕРВАЛЬНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С

ИНТЕРВАЛЬНЫМ НАБЛЮДЕНИЕМД. В. Давыдов (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

В современной литературе известно большое количество разнообраз-ных постановок задач идентификации в моделях управляемых систем,в том числе достаточное внимание уделено задачам идентификации вусловиях стохастической неопределенности. Однако в условиях скудо-сти статистических данных о распределениях параметров управляемой

116

системы детерминированные и стохастические методы находят ограни-ченное применение.

Одним из интересных и перспективных способов учета высокой сте-пени неопределенности в задачах идентификации является интерваль-ный анализ [1, 2]. В интервальных постановках не требуется знаниестатистических распределений неопределенных параметров: известнылишь границы их изменений.

В данной работе рассматривается задача идентификации векторапараметров w линейной дискретной интервальной динамической систе-мы с линейным интервальным наблюдением:

xt+1 = Atxt +Btw, yt = Ctx

t, t = 0, 1, ..., T.

Здесь xt-фазовый вектор, yt- вектор наблюдений; неопределенные мат-рицы состояния At, управления Bt и наблюдения Ct лежат в известныхинтервалах

|At −At0| ≤ ∆At, |Bt −Bt0| ≤ ∆Bt, |Ct − Ct0| ≤ ∆Ct.

Отличительной чертой данной постановки задачи является динамиче-ский подход к учету неопределенности: границы интервалов являютсяфункциями времени.

Цель работы: на основании известных наблюдений yt построить оцен-ку вектора параметров w, а также востановить оценку начального со-стояния x0 динамической системы.

В работе показано, что нахождение универсальных решений [3] сво-дит исходную задачу идентификации к задаче линейного программи-рования, а близкие к минимальным по значениям невязки субунивер-сальные решения имеют простую аналитическую форму представления.Приводится верхняя оценка относительной погрешности идентифика-ции.

[1] Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интерваль-ного анализа. Новосибирск: Наука, 1986

[2] Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное ре-шение. Дисс. : д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2000

[3] Ащепков Л.Т., Давыдов Д.В. Универсальные решения интервальныхзадач оптимизации и управления. М.: Наука, 2006

117

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ОЦЕНОК КОНСТАНТЛИПШИЦА ПРИ ПОИСКЕ ГЛОБАЛЬНОГО

ЭКСТРЕМУМА АЛГОРИТМИЧЕСКИ ЗАДАННОЙФУНКЦИИ

Г. Б. Диго, Н. Б. Диго (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Проблемы поиска глобального экстремума возникают в различныхобластях науки и техники. Это могут быть задачи проектирования,управления, моделирования реальных процессов или явлений, анали-за данных. Специфика задачи многомерной глобальной оптимизациисостоит в многоэкстремальности целевой функции и неразрешимости вобщем случае. Трудности численного решения подобных задач связа-ны как с их размерностью, так и с отсутствием достаточной априорнойинформации о целевой функции. Так, может быть недоступна допол-нительная информация о функции (например, ее градиент). Возмож-на ситуация, когда в ходе решения задачи оказываются доступнымилишь значения целевой функции, заданной в алгоритмической форме,получение которых (вычисление значений целевой функции в некото-рой точке допустимой области) требует значительных вычислительныхресурсов.

Использование алгоритмов глобального поиска, отличных от пере-борных, требует каких-либо априорных предположений о свойствах рас-сматриваемой целевой функции, например, ее липшицевости или диф-ференцируемости. Для многих практических задач выполнение условийЛипшица очевидно, но значение ограничивающей константы (констан-ты Липшица), как правило, неизвестно.

Пусть на n−мерном гиперпараллелепипеде алгоритмически зада-на многоэкстремальная функция, удовлетворяющая в области поискаусловию Липшица с неизвестной константой. Глобальный экстремумтакой функции можно искать, используя неравномерное покрытие до-пустимого множества [1], такое как методы интервалов и половинныхделений. В методе половинных делений [1] при отыскании глобально-го минимума предполагается существование оценки минимума целе-вой функции на произвольном параллелепипеде. Техника интерваль-ного анализа для ее отыскания не требует знания константы Липшица,но использует явный вид функции, ее дважды непрерывную дифферен-цируемость и наличие у первых и вторых производные конечного чис-ла нулей, поэтому не пригодна для алгоритмически заданных целевыхфункций [2]. В связи с этим при построении оценки нижней границызначений для не аналитически заданной целевой функции приходится

118

обращаться к оценкам константы Липшица.Рассмотрены случаи применения глобальной оценки константы Лип-

шица, определяемой для всей допустимой области, и локальных оценок,определяемых для ее отдельных подобластей [3].

Работа поддержана грантом РФФИ 05-08-01398 и грантом ДВО РАН06-III-А 03-070.

[1] Евтушенко Ю.Г. Метод половинных делений для глобальной оптими-зации функций многих переменных. Ю.Г. Евтушенко, В.А. Ратькин //Известия Академии наук СССР. Техническая кибернетика. 1987. 1. С.119–127.

[2] Орлянская И.В. Современные подходы к построению методов глобаль-ной оптимизации// Электронный журнал "Исследовано в России".http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/189.pdf.

[3] A.Molinaro, C. Pizzuti, Ya.D. Sergeyev Acceleration tools for diagonalinformation global optimization algorithms // Computational Optimizationand Applications. – 2001. – Vol. 18, no 1. – P. 5–26.

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОВИДОВЫХПРОМЫСЛОВ

Н. С. Иванко (Дальрыбвтуз, Владивосток)

Пусть b ∈ Rm, b ≥ 0 - допустимые объемы сбора каких-либо m видовресурсов. В качестве таковых могут выступать виды в биологическомсообществе. Если орудия сбора являются многовидовыми, столбцы пря-моугольной матрицы A означают доли сбора видов в урожай способомj. Многовидовые орудия являются обычными, например, для рыбногопромысла. Определим такие разрешенные объемы x ∈ Rp, x ≥ 0, сбо-ра урожая, чтобы результат мало отличался от b ∈ Rm.Матрица A внашем случае является неотрицательной, ищем также неотрицательноерешение x.

Задача приобретает вид

Φ(x) =‖ Ax− b ‖2→ infx≥0

. (1)

На этих же исходных данных можно составить еще одну оптимиза-ционную задачу

‖ Ax ‖→ supAx ≤ bx ≥ 0

. (2)

119

Множество D оптимальных решений описывается системой уравне-ний

A∇Ax = A∇bx ≥ 0 . (3)

Если матрица A не имеет нулевых столбцов, то множество D ком-пактно, если оно непусто. Один из элементов множества D можно найтирешением вспомогательной оптимизационной задачи

ez → infA∇Ax+ z = A∇bx ≥ 0, z ≥ 0

.

Если существует решение задачи (3), то можно ставить дополнитель-ную задачу об оптимальном решении в смысле другого функционала,например, задачу о минимизации затрат, или максимизации доходов:

Φ(x) → supA∇Ax = A∇bx ≥ 0

.

Задача (2) может решаться как задача линейного программированияпри выборе подходящей нормы.

В докладе приводятся примеры, расчеты и анализ результатов.Работа поддержана грантом Ученого совета Дальрыбвтуза в 2007

году.

СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯОДНОЗВЕННЫМ РОБОТОМ-МАНИПУЛЯТОРОМ

М. С. Капитонова (АГУ, Благовещенск)

В рамках применения критерия гиперустойчивости, предложен спо-соб построения системы управления простым однозвенным роботом-манипулятором, периодическое движение выходного звена которого во-круг одного из концов осуществляется посредством эластичного соеди-нения звена и исполнительного механизма.

Рассматривая модель системы в пространстве состояний, получаемзадачу управления нелинейным объектом с относительным порядкомпередаточной функции больше единицы.

120

В основной контур управления этой системы, с целью придания ейжелаемых динамических свойств, введено дополнительное устройство– динамический компенсатор, состоящий из последовательно соединен-ных упругих звеньев.

В исследуемой системе управления на основе критерия гиперустой-чивости формируется адаптивный регулятор, в основной контур кото-рого вводится генератор периодических сигналов, который также ис-пользуется в предлагаемом контуре адаптации в виде периодическихблоков настройки.

Результаты моделирования показывают высокую эффективность при-менения динамического компенсатора в системах управления скаляр-ными периодическими объектами и достаточно хорошее качество функ-ционирования системы при использовании предлагаемого контура адап-тации.

ПРИМЕНЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ КРИТЕРИЕВВ ЗАДАЧЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАДЕЖНОСТИЯ. В. Катуева ( ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Задача оптимального параметрического синтеза технических уст-ройств и систем по критерию надежности с учетом отклонения зна-чений параметров системы от расчетных является классической опти-мизационной задачей [1]. Целевой функцией является надежность си-стемы, которая определяется как вероятность безотказной работы назаданном времени эксплуатации.Решение задачи базируется на анализевзаимосвязей выходных характеристик системы и параметров состав-ляющих ее элементов с учетом технологического разброса, температур-ного и временного дрейфа этих параметров.Часто необходимая апри-орная информация о вероятностных свойствах отклонений параметровот расчетных значений отсутствует или является недостаточно полной.В этом случае вместо статистических показателей могут быть исполь-зованы некоторые детерминированные (минимаксные) критерии типа«запасов» (работоспособности, надежности и т.д.). Расчет таких пока-зателей не требует знания полных вероятностных характеристик слу-чайных величин, фигурирующих в математической модели системы. Поотношению к статистическим они имеют и более ясную физическуюинтерпретацию. Вместе с тем, расчет «запаса» (работоспособности, на-дежности и т.п.) по каждому из схемных параметров затрудняет оценку

121

влияния величин этих «запасов» на выполнение того или иного условияработоспособности системы в целом. При этом часто оказывается целе-сообразным рассматривать показатели типа «запасов»относительно несхемных, а выходных параметров системы, ограничения на которые исоставляют условия работоспособности системы.

Детерминированные критерии применяются также при известныхзаконах дрейфа параметров для уменьшения вычислительных затратстохастической оптимизации.

Работа поддержана грантом РФФИ 05-08-01398 и грантом ДВО РАН06-III-А 03-070.

[1] Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетомтребований надежности / О.В. Абрамов М.: Наука. 1992.

СИСТЕМА ПОЗИЦИОННОГО ТЕЛЕУПРАВЛЕНИЯМАНИПУЛЯТОРОМ

А. А. Кацурин, В. Ф. Филаретов(ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

В системах телеуправления манипуляторами человек-оператор фор-мирует перемещение схвата или другого рабочего органа с помощью за-дающего устройства (ЗУ). При этом его действия основаны только наизображении рабочего пространства на экране монитора. Указанныйрежим работы не всегда является удобным и не всегда обеспечивает ка-чественное выполнение технологических операций. Это связано с тем,что оператор должен постоянно учитывать взаимное расположение ма-нипулятора и телекамеры. Кроме того, ЗУ в процессе выполнения опе-раций может оказаться в положении неудобном для оператора. В связис этим возникает задача совершенствования методов телеуправленияманипуляторами для устранения указанных недостатков.

В отличие от ранее выполнявшихся работ в этом направлении, приразработке данной системы использовались другие подходы к описаниюсистем координат, что позволило получить новые результаты. Пред-лагаемая система управления манипулятором может работать в двухрежимах: слежения и стабилизации. Переключение режимов осуществ-ляется с помощью переключателя, установленного на рукоятке ЗУ.

При включении режима стабилизации пространственное положениеманипулятора запоминается в блоке памяти и сохраняется неизменным.Движение рукоятки ЗУ при этом не оказывает влияния на системууправления приводами манипулятора.

122

При включении режима слежения определяются текущее положенияи взаимная ориентация ЗУ и схвата манипулятора, которые принима-ются за исходные. В дальнейшем эта взаимная ориентация поддержи-вается неизменной. Перемещения рукоятки ЗУ фиксируются системойдатчиков и преобразуются в задающие сигналы для соответствующихстепеней подвижности манипулятора. При этом движение рукоятки ЗУи движение изображения схвата манипулятора, наблюдаемое на экра-не телемонитора, воспринимаются оператором как движения в единойсистеме координат.

Таким образом, предлагаемая система телеуправления манипулято-ром обладает следующими преимуществами: автоматически учитыва-ется пространственная ориентация телекамеры; оператор всегда имеетвозможность выбрать удобное для себя положение рукоятки ЗУ; сни-жена психологическая нагрузка на оператора.

[1] Филаретов В.Ф., Алексеев Ю.К., Лебедев А.В. Системы управле-ния подводными роботами. - М.: Круглый год, 2001. - 288 с.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХПРОЦЕССОВ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМВ. В. Климченко (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Многие задачи фильтрации и прогнозирования приводят к инте-гральному уравнению Винера-Хопфа, которому должна удовлетворятьвесовая функция искомой оптимальной системы. При решении этогоуравнения используется передаточная функция фильтра, формирую-щего данный случайный процесс из белого шума. Спектральная факто-ризация по сути является процедурой отыскания формирующего филь-тра исходя из заданной спектральной плотности процесса.

Эта задача была решена Колмогоровым для случая дискретного вре-мени и впоследствии распространена Винером на процессы с непрерыв-ным временем.

В середине пршедшего столетия был разработан алгоритм спектраль-ной факторизации для многомерных процессов с непрерывным време-нем. Однако предложенная процедура опирается на свойства спектраль-ной плотности, не имеющие аналога в дискретном случае и, следова-тельно, неприменима для этого класса процессов.

Альтернативным подходом является описание модели формирующе-го фильтра в пространстве состояний. При этом связь между входом и

123

выходом фильтра задается не «напрямую» (как это делается при помо-щи передаточной матрицы), а посредством введения дополнительныхпеременных (переменных состояния). Это приводит к возрастанию ко-личества параметров модели, что оказывает отрицательное влияние наточность идентификации.

В докладе предлагается метод спектральной факторизации много-мерных процессов, ориентированный на случай дискретного времени.Применение этого подхода приводит к адекватной модели передаточнойматрицы формирующего фильтра, содержащей сравнительно неболь-шое число параметров, подлежащих статистическому оцениванию. Ос-новное преимущество таких моделей заключается в более точной иден-тификации. В частности, построение моделей прогнозирующих филь-тров предлагаемым методом уменьшает дисперсию ошибок прогноза посравнению с традиционными подходами.

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯТЕРМОГАЗОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

КОМБИНИРОВАННОГО ДВИГАТЕЛЯВ. А. Лашко (ТОГУ, Хабаровск)

Физическая природа исследуемого объекта - термогазогидродина-мическая система комбинированного двигателя внутреннего сгорания(КДВС) представлена системой дифференциальных уравнений, описы-вающих энергетическое пространство в цилиндре двигателя и смежныхс ним системах и соотношениями, связанными с нелинейными преоб-разованиями в вариационном исчислении. Введение координаты дина-мической системы - эффективный КПД двигателя и его приращения(функционал системы), позволяет сформулировать вариационную зада-чу Майера и получить расширенную систему уравнений, описывающихфизические процессы в проточных частях КДВС.

Для термогазогидродинамической системы комбинированного дви-гателя, используя общую теорию множителей Лагранжа, была пред-ставлена расширенная функция. В дальнейшем после соответствую-щих преобразований были получены обобщенные уравнения Эйлера-Лагранжа для термогазогидродинамической системы КДВС - необхо-димые условия существования экстремума функционала.

Необходимые и достаточные условия достижения минимума (мак-симума) функционала были рассмотрены с точки зрения выполненияусловия Вейерштрасса. К условию Вейерштрасса можно придти, иссле-

124

дуя так называемую сильную вариацию. Получено необходимое усло-вие минимума (максимума) функционала, являющегося частным слу-чаем условия Вейерштрасса при слабых вариациях - условие Лежандра-Клебша.

Совокупность условий Эйлера-Лагранжа и Лежандра-Клебша поз-волило выйти на теорему о переключении границ экстремалей. Это даловозможность записать соответствующие уравнения линий экстремалейуправления для выпускного, впускного клапана и топливоподающей ап-паратуры.

Полученные уравнения являются основной составной частью систе-мы уравнений, обеспечивающих оптимальное управление термогазогид-родинамическими процессами в комбинированном двигателе. Главнаятрудность на пути отыскания экстремалей состоит в использованииначальных данных, заданных на краях экстремали. При решении ва-риационной задачи Майера для термогазогидродинамической системыКДВС неизвестными являются множители Лагранжа. Эти рассужде-ния приводят к необходимости формулировки краевой задачи, котораятребует самостоятельного рассмотрения.

ПОСТРОЕНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ МЕТОК ОБЪЕКТОВИ. А. Миклашевич, Н. М. Соколова, В. Л. Соломахо

(БНТУ, Минск)

В работе доказывается существование инвариантного базиса, в ко-тором вводится мера сходства объектов на основе теории квадратичныхформ и дуальной теоремы Пифагора.

Контурное представление объекта на плоскости описывается n век-торами, образующими замкнутую выпуклую или невыпуклую фигуру.

По известному алгоритму системе n двухмерных векторов поставле-ны в соответствие два вектора в n-мерном пространстве, для которыхвведены линейные формы a1, b1, c = a1 + b1.

cn = (a1 + b1)1 = (a1 + b1)cn−1 = a1cn−1 + b1c

n−1 = ann + bnn, (1)

где ann ≡ a1c

n−1; bnn = b1cnn, или an = a

1n1 c

n−1n ; bn = b

1n1 c

n−1n .

Если задано уравнение an + bn = cn и выбраны числа an, bn (они мо-гут быть целыми), которым можно придать смысл длин ребер правиль-ных "n - кубов", то из равенства an

n +bnn = cn определяем c = n√an

n + bnn.

125

Полагая c = a1 + b1, находим a1 = ann

cn−1 ; b1 = bnn

cn−1 . С учетом опреде-ления an

n имеем

an

c=

(a1

an

) 1n−1

;bn

c=

(b1bn

) 1n−1

.

Несложными выкладками можно показать

(an

c

)n

+(bnc

)n

≡(a1

an

) nn−1

+(b1bn

) nn−1

=(a n

n−1

c

) nn−1

+(b n

n−1

c

) nn−1

≡ 1

(2)где an

nn−1

≡ an−11 c, bnn

n−1≡ bn−1

1 c или a nn−1

= an

n−11 c

1n ; b n

n−1= b

nn−11 c

1n .

Выражение 2 позволяет сформулировать дуальную теорему Пифагора:“Квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме дуальных пря-моугольников, построенных на катетах, a n

n−1·an +b n

n−1·bn ≡ a1c+b1c =

c2 = a22 + b22”.

Только в случае n = 2 = nn−1 прямоугольники a n

n−1·an и b n

n−1·bn ста-

новятся квадратами, и дуальная теорема превращается в классическуютеорему Пифагора. Тождества 2 описывают цифровую модель объектаи разные формы модели обусловлены необходимостью учитывать ве-личины an, bn, a n

n−1, b n

n−1, построенные линейными формами объекта:

a1, b1, c = a1 + b1

Тождественные билинейные формы означают следующее: в инвари-антном базисе фрактальные длины a n

n−1, b n

n−1находятся в пространстве

целой (натуральной) размерности, а в пространстве нецелой (фракталь-ной) n

n−1 размерности существуют рациональные an, bn длины.

В работе приведены алгоритмы раздельного вычисления величины∆n,∆p, характеризующих преобразование растяжение при простран-стве углов; и величины ∆n, ∆p, характеризующих преобразование вра-щений при постоянстве длин сторон. Составлены метки объектов: N =∆p+∆p

∆n+∆n, или M = ∆p+∆n

∆p+∆n.

126

РАСПРЕДЕЛЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИРАБОТОСПОСОБНОСТИ В ЗАДАЧЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА

Д. А. Назаров (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

В докладе рассматривается алгоритм построения области работоспо-собности[1] на основе матричного представления[1,2] с использованиемтехнологии распределенных вычислений.

Построение матричного представления области работоспособности[2] (далее - просто построение области работоспособности) часто свя-зано с большими вычислительными затратами [1,2]. Метод построенияобласти работоспособности позволяет проводить это построение по ча-стям в независимых друг от друга процессах.

В последнее время приобретает все большую известность и областьприменения технология распределенных вычислений с использованиемузлов вычислительной сети различных конфигураций, вычислительныхмощностей и ресурсов [3]. Такая технология особенно удобна при воз-можности дробления одной задачи на подзадачи, которые выполняютсяавтономно без сообщения вычислительных узлов между собой. Работувсех вычислительных узлов конролирует и координирует главный узел,планировщик. При отключении одного из вычислительных узлов от се-ти или выходе его из строя, во всей системе не наблюдается никакихсбоев по этой причине. Данная система должна быть динамичной, лег-ко масштабируемой [3].

Решение задачи построения области работоспособности ложится нацентральный узел распределенной системы, который должен разбитьматричное представление описанного бруса[2] на фрагменты, передатьэти фрагменты узлам системы и, получив результаты, построить общеематричное представление области работоспособности. Перед отправкойзаданий узлам сети планировщик определяет сроки их выполнения и,если какой-либо узел в установленный срок не справился с задачей (на-пример, вышел из строя или проблемы с сетью), то данная задача пе-ренаправляется свободному узлу, последнему, кто запрашивал заданиядля обработки. Работа поддержана грантами ДВО РАН 06-III-А-03-070 и РФФИ 05-08-01398

[1] Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем по кри-терию надежности. М.: Наука, 1992.

[2] Катуева Я.В., Назаров Д.А Аппроксимация и построение областейработоспособности в задаче параметрического синтеза// Международный

127

симпозиум ҝНадежность и качествоњ, Пенза: ПГУ, 2005, С. 130 Џ 134.

[3] Афанасьев А.П., Волошинов В.В., Посыпкин М.А., СухорословО.В., Хуторной Д.А. Грид-технологии и вычисления в распределен-ной среде//Избранные доклады III Международной конференции ҝПа-раллельные вычисления и задачи управленияњ PACOЎ2006 памяти И.В.Парангишвили. Москва, 2–4 октября 2006 г. Институт проблем управ-ления им. В.А. Трапезникова РАН. М.: Институт управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2006, С 5–16.

ВЫБОР ИНФОРМАТИВНЫХ ФАКТОРОВ ВИНФОРМАЦИОННЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ

Ю. И. Островский, А. Ф. Пащенко (ИПУ РАН, Москва)

Исследуются вопросы моделирования и построения автоматизиро-ванных систем управления и сбора информации биотехнологическихсистем на примере промышленного птичника.

Работа по созданию автоматизированной системы оптимального уп-равления микроклиматом в птичниках включает следующие этапы: раз-работка автоматизированной системы сбора информации о парамет-рах технологического процесса выращивания бройлеров; разработка си-стемы автоматической стабилизации на заданных уровнях температу-ры и влажности воздуха в птичнике с использованием современныхсредств управления технологическими процессами; оптимизация пара-метров микроклимата с целью минимизации себестоимости.

Для решения задач всех указанных выше этапов необходимо прове-сти анализ и выбор информативных, контролируемых факторов и мо-делирование биотехнологических процессов промышленного птичника.

Одним из основных путей уменьшения себестоимости мяса птицыявляется оптимизация микроклимата в птичниках. Для определениянабора контролируемых параметров исследуется задача выбора инфор-мативных переменных. Известные подходы и методы выбора информа-тивных переменных направлены, в основном, на решение задач модели-рования линейных процессов и не всегда даҷт приемлемые результатыпри моделировании нелинейных систем. В работе предложена модифи-кация метода включения, основанная на использовании обобщенных имаксимальных коэффициентов корреляции как состоятельных мер за-висимости между случайными величинами.

Первым этапом работы по созданию автоматизированной системыоптимального управления микроклиматом является создание автома-тизированной системы сбора информации о параметрах технологиче-

128

ского процесса выращивания бройлеров. Описаны задачи, решаемыесистемой сбора информации. Экспериментальный образец автоматизи-рованной системы сбора информации о параметрах технологическогопроцесса выращивания бройлеров был установлен на Петелинской пти-цефабрике.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОВЕДЕНИЯКОНКУРСОВ НИОКР

В. В. Павельев (ИПУ РАН, Москва)

Анализ метода линейных сверток и исследование результатов егоприменения для комплексной оценки конкурсных заявок НИОКР пока-зали, что он обладает рядом очень важных для практики недостатков.Применение линейных сверток корректно только в том случае, когдадопустима взаимная компенсация ухудшения значений одних показа-телей улучшением значений других показателей. В случае обобщенияне взаимозаменяемых показателей комплексная оценка, полученная сприменением линейных сверток не чувствительна к появлению недо-пустимо низких оценок по отдельным показателям. В конкурсе можетпобедить заявка, содержащая неприемлемое для заказчика значениеважной характеристики. Практическое применение этого метода длякомплексной оценки конкурсных заявок показало, что он имеет еще идругие изъяны. Предлагается методика, основанная на методе вектор-ной стратификации, обладающем по сравнению с методом линейной ад-дитивной поэтапной свертки балльных оценок значительными преиму-ществами 1 . Результаты параметрического анализа показывают, чтоиспользуемые в рамках метода векторной стратификации система по-казателей, а также схема оценивания обладают требуемыми свойствамиустойчивости, критичности, соответствия. Выполнение перечисленныхтребований обеспечивает непротиворечивость, возможность использо-вания оптимизационных процедур при анализе результатов оцениванияи формировании рекомендаций для претендентов.

[1] Глотов В. А., Павельев В. В. Векторная стратификация. - М.: Наука,1984.

129

ИДЕНТИФИКАЦИЯ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЗНАНИЙФ. Ф. Пащенко, И. С. Дургарян (ИПУ РАН, Москва)

Рассматриваются вопросы идентификации слабоформализуемых си-стем, систем, функционирующих в условиях неопределҷнности, непол-ноты знаний и нечҷткости описаний как самой системы, так и действу-ющих на нее сигналов и возмущений. Опыт создания систем управле-ния для таких объектов показал неэффективность применения толькоформальных классических методов теории информации и управленияи необходимость применения новых методов и подходов, формируемыхв теории систем на основе знаний. Частным классом этих систем явля-ются системы управления на основе идентифицируемой модели.

В работе предлагается метод и система идентификации, основанныена использовании знаний. Решение задачи строится на основе методафункциональных преобразований и эвристических (экспертно-аналити-ческих) методов, на основе знаний об исследуемой системе, результа-тов ее взаимодействия с окружающей средой и действующих помехах.Блок-схема идентификации представляет собой двухуровневую иерар-хическую структуру. Ее верхний уровень объединяет в себе базу зна-ний и устройство вывода. Нижний уровень соответствует применениюаналитических алгоритмов. В устройстве вывода на основе знаний, со-держащихся в базе знаний и критерия идентификации, формируютсяпреобразования входных и выходных процессов и вариантов модели.На нижнем уровне формальными аналитическими методами уточня-ются структуры и параметры этих преобразований в соответствии скритерием идентификации.

Данный метод позволяет: разбить процедуру непараметрической иден-тификации на несколько более простых последовательных стадий припостроении моделей широкого класса нелинейных систем; полностьюформализовать выбор нелинейных преобразований входа и выхода; по-строить критерий идентифицируемости, использующий состоятельнуюмеру зависимости случайных процессов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ФИЗИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДИАГНОСТИКИ

ТРЕХФАЗНОГО ТРАНСФОРМАТОРАН. Н. Петрунько, Д. В. Чубчик (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Трехфазный трансформатор в простейшем случае представляет со-бой 6 обмоток, находящихся на 3-хстержневом броневом сердечнике

130

из электротехнической стали. В процессе эксплуатации трансформаторможет подвергаться коротким замыканиям, силовое воздействие токовкороткого замыкания представляет собой мощный механический ударпо обмоткам и их изоляции. В результате обмотки могут деформиро-ваться, а твердая изоляция повреждаться. Поэтому особо важное зна-чение приобретает диагностика обмоток, в том числе - в отключенномсостоянии.

Одним из новых, недавно предложенных методов диагностики транс-форматоров является метод SFRA (Sweep Frequency Response Analysis).Он заключается в измерении частотных характеристик обмоток приспециальных схемах включения в широком диапазоне частот (до 2 МГц).Однако сложность этого метода заключается в проблемах интерпрета-ции получаемых частотных характеристик. Теоретически обоснованныхметодов такой интерпретации пока не создано.

Альтернативой такому методу рассматривается возможность изме-рения параметров трансформатора как параметров многополюсника напромышленной частоте при специальных неполнофазных схемах вклю-чения. При этом для двухобмоточного трехфазного трансформаторавозможно получение, по крайней мере, 36 численных значениий еговходных и передаточных параметров (сопротивлений, проводимостейили коэффициентов передачи). Эти параметры просто измеряются и вдостаточной степени характеризуют техническое состояние обмоток.

Приводятся специальные схемы включения, математическое описа-ние трансформатора в этих схемах и результаты численных и лабора-торных экспериментов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ НАСТРОЕЧНЫХПАРАМЕТРОВ В КАСКАДНОЙ АВТОМАТИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЕ РЕГУЛИРОВАНИЯМ. А. Сачко, В. П. Кривошеев

(ВГУЭС, Владивосток)

Для определения параметров настроек каскадной автоматическойсистемы регулирования (АСР), требуется найти вектор C оптимальныхнастроечных параметров стабилизирующего и корректирующего регу-ляторов, обеспечивающих минимальное значение квадратичной инте-гральной оценки I0 при заданном значении степени колебательностиmzad, в 2-х контурной каскадной АСР.При расчете настроечных параметров стабилизирующего и корректиру-ющего регуляторов используются передаточные функции эквивалент-

131

ных объектов соответственно в виде:

WE1 (S) = W1(S) −W0(S) R(S),

WE1 (S) =

−R1(S) W0(S)1 −W1(S) R1(S)

.

Особенности расчета состоят в том, что линия Д-разбиения, в плос-кости настроечных параметров стабилизирующего и корректирующе-го регуляторов имеют петлеобразную форму. Это не позволяет опреде-лять оптимальные настоечные параметры по аналогии с одноконтур-ной АСР. Нахождение оптимальных настроечных параметров каскад-ной АСР можно осуществить при помощи нахождения минимальногозначения квадратичной интегральной оценки качества I0 на линии Д-разбиения методом сканирования в частотной области реального функ-ционирования системы.Для вычисления I0 используется следующие выражение:

I0 =(−1)n+1Mn

2a′0∆n,

где Mn - определитель матрицы коэффициентов характеристическогоуравнения a′n; ∆n - определитель матрицы коэффициентов характери-стического уравнения b′n и a′n.Коэффициенты характеристического уравнения a′n, b′n находятся по сле-дующим формулам:

b′n = (−1)n [a2n +

n∑i=1

((−1)i 2an+1 an−1)] C20 ,

a′n = an−1C0 +K(bn + bn−1 C0 C1 + bn−2 C0 C2),

где: C0, C1, C2 - соответственно пропорциональная, интегральная идифференциальная составляющая вектора настроечных параметры ре-гулятора; bn, an - коэффициенты полиномов соответственно числителяи знаменателя передаточной функции замкнутой системы.

132

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯМАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ РЕГИОНА РФПРИ ЗАДАННОМ ГОРИЗОНТЕ ПЛАНИРОВАНИЯВ. В. Стригунов, В. К. Булгаков (ТОГУ, Хабаровск)

В работе рассматривается решение задачи оптимального управле-ния динамикой макроэкономической системы региона РФ для заранеезаданного горизонта планирования. Задача состоит в следующем [1]:найти управление w∗(t) ∈ W , W = w(t) ∈ C[0, Tp] : w ∈ [w1, w2],которое переводит процесс

dx

dt= aB(x) − λx− pw

из начального фиксированного состояния x(0) = x1 в конечное фик-сированное состояние x(Tp) = x2 за заданное заранее время Tp < ∞

при условии, что интеграл благосостояния J(w) =Tp∫0

wα(t)dt принимает

максимальное значение. Здесь a, λ, p > 0 – параметры экономическоймодели, B(x) – производственная В-функция [2], α = const, α ∈ (0, 1).

Математическая постановка задачи имеет вид

maxw∈W

=Tp∫0

wα(t)dt

dx

dt= aB(x) − λx− pw, x(0) = x1, x(Tp) = x2

B(x) = b (1 − e−x) + (1 − b)x(1 − e−

1x

)

.

В докладе излагается разработанный авторами алгоритм решениякраевой задачи оптимального управления и соответствующих ему опти-мальных траекторий. Определены условия существования и единствен-ности решения рассматриваемой задачи оптимального управления. Про-ведены численные исследования для экономики Хабаровского края.

[1] Булгаков В. К., Стригунов В. В. Оптимальное управление динами-кой региональной экономической системы при заданном горизонте пла-нирования // Вестник ТОГУ. 2. 2006.

[2] Булгаков В. К., Булгаков О. В. Моделирование динамики обобща-ющих показателей развития региональных экономических систем России// Экономика и мат. методы. Т. 42. 1. 2006. С. 32-49.

133

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

А. Ю. Торгашов (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)Рассматривается решение задачи идентификации запаздывания ли-

нейного динамического объекта с известной импульсной характеристи-кой. На каждом такте времени k происходит уточнение запаздываниясогласно уравнению

dk = dk−1 − µ(yk − S1WΦ(d)uk−1) (1)

где dk - оцениваемое значение запаздывания; µ - коэффициент, влия-ющий на устойчивость и скорость процесса идентификации; yk - изме-ряемая выходная переменная объекта; S1, W - матрицы идентифика-тора; uk−1 = [uk−1...uk−M ]T - вектор управления. Элементами блочно-диагональной матрицы Φ(d) являются векторыYdk−i

= [δdk−i,0...δdk−i,dmax]T; i = 1, ...,M ; dmax - максимально возмож-

ное время запаздывания (известно априорно); δ(.) - символ Кронекера.

Лемма 1 Преобразование dk−i → Ydk−iможет быть аппроксимиро-

вано посредством непрерывных функций

yi(dk−i) = σ

N1∑j=1

σ(αjdk−i + β1j)γji + β2i

,если выполняется неравенство

N1 ≥ dmax,

где σ(.) - сигмоидная функция; α, β, γ - некоторые вещественные коэф-фициенты.

Теорема 1 Алгоритм идентификации (1) устойчив, если

µ ≤ 1∑Mi=1 S1WFi(A)

,

где A - вектор с коэффициентами гармонических линеаризаций

aj =1π

∫ 2π

0

yi(dj sin(ωt)) sin(ωt)d(ωt), dj ∈ [0; dmax].

Работа поддержана грантами ДВО РАН 06-III-В-03-080 и РФФИ 06-08-96014-р-восток-а.

134

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИКИНЕМАТИКИ УСТРОЙСТВА ОРИЕНТАЦИИДВИЖИТЕЛЯ ПОДВОДНОГО АППАРАТА

Д. А. Юхимец, В. Ф. Филаретов (ИАПУ, Владивосток)

В работе решается задача получения аналитического решения обрат-ной задачи кинематики устройства ориентации движителя подводногоаппарата. Это устройство построено на базе сферического параллель-ного манипулятора и выполняет две основные функции. Во-первых, онодолжно обеспечивать заданную пространственную ориентацию движи-теля, во-вторых, с помощью противовращения насадки движителя обес-печивать компенсацию опрокидывающего противомомента, действую-щего на аппарат со стороны движителя. Для успешного выполненияуказанных задач необходимо в процессе функционирования устройстваориентации непрерывно решать обратную задачу кинематики парал-лельного манипулятора, что позволит определить нужный угол пово-рота его приводов для придания конечному звену параллельного мани-пулятора заданной пространственной ориентации.

Разработанные подходы к аналитическому решению обратной зада-чи кинематики параллельного манипулятора требуют применения слож-ных логических условий, для формирования желаемых углов поворо-та его приводов. В данной работе, на основе геометрического подхода,было получено другое решение обратной задачи кинематики, котороепозволяет рассчитать желаемое положение соответствующих шарнировустройства. Используя предложенный в работе алгоритм, желаемые по-ложения шарниров устройство пересчитываются в желаемые углы по-ворота приводов манипулятора, при этом указанный пересчет выпол-няется без использования каких либо логических выражений. Провер-ка предложенного решения показала правильность подхода, использу-емого для формирования желаемых значений углов поворота приводовустройства ориентации движителя подводного аппарата.

135

ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХСРЕД И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ

ТЕХНОЛОГИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ

РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИОДИНОЧНОГО СФЕРИЧЕСКОГО ДЕФЕКТА

СПЛОШНОСТИА. А. Бажин, Е. В. Мурашкин (ИАПУ, Владивосток)

Существуют состояния продеформированного тела, когда деформа-ции нельзя считать малыми даже если осуществлялось только обра-тимое деформирование. Это относится, например, к деформированноесостояние в окрестностях дефектов сплошности. Эволюция таких со-стояний связывается с реологическими эффектами ползучести и релак-сации напряжений. В настоящем сообщении предпринимается попыткапромоделировать подобные процессы. Принимаем, что тензор полныхдеформаций Альманси разделяется на обратимую и необратимую со-ставляющие следующей зависимостью:

dij = eeij + ev

ij −12eeike

ekj − ee

ikevkj − ev

ikeekj + ee

ikevkse

esj . (1)

Тензоры обратимых eeij и скоростей необратимых εv

ij деформацийсвязаны с тензором напряжений σij формулами Мурангана и закономНортона соответственно:

σij = −p+∂W (ee

ij)∂ee

ik

(δkj − ee

kj

), (2)

εvij =

∂V (σij)∂σij

. (3)

Задание функций W (eeij) и V (σij) однозначно определяет упругие и

реологические свойства материала деформируемого тела. Тензор скоро-стей необратимых деформаций связан с тензором необратимых дефор-маций соответствующим уравнением переноса[1]. В рамках построеннойматематической модели решается задача о всестороннем сжатии полойсферы, давлением приложенным к ее внешней поверхности.

136

[1] Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Мурашкин Е.В. Об остаточных на-пряжениях в окрестности цилиндрического дефекта сплошности вязко-упругопластического материала //ПМТФ, Т. 47, 2. 2006. С. 110-119.

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕРАЗДЕЛА ФАЗ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА

С УЧЕТОМ ДИНАМИКИМ. А. Гузев (Президиум ДВО РАН)

Начиная со второй половины XX века, при решении ряда проблемфеноменологической теории фазовых переходов твердых тел исследо-ватели отказались от попыток определить скалярный химический по-тенциал и ввели тензор химического потенциала. Изучение на осно-ве принципа Гиббса условий термодинамического равновесия двух фазнелинейно-упругого материала при когерентном фазовом переходе при-водит к требованию непрерывности нормальной компоненты тензорахимического потенциала на фазовой границе [1]. В начале XXI векапродолжались исследования фазовых переходов твердых тел с учетомразличных эффектов. Однако задача получения условий на границераздела фаз нелинейно-упругого материала с учетом динамики средыне была решена даже при простейших предположениях.

В данной работе на основе вариационного принципа получено пред-ставление для тензора химического потенциала упругой среды при уче-те динамики среды. При этом термодинамические условия на границераздела фаз нелинейно-упругого материала в условиях термическогоравновесия совпадают с условиями для скачков термодинамических ве-личин на границе. Результаты работы показывают, что анизотропиятензора химического потенциала определяется как анизотропией тен-зора напряжений, так и метрического тензора в отличие от квазистати-ческого приближения, в котором анизотропные свойства определяетсятолько тензором напряжений. Из полученных соотношений в квазиста-тическом приближении для модели газа-жидкости следуют классиче-ское условие равновесия фаз Гиббса, а также условие непрерывностиобобщенного химического потенциала на фронте при отсутствии дисси-пации на межфазной поверхности [2].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 05-01-00618-a).

[1] Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовыхпревращений. М.: Наука, 1990. 312с.

137

[2] Трускиновский Л.М. Равновесные межфазные границы // Докл. АНСССР. 1982. Т. 265. 2. С. 306–310.

КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА ВНЕЕВКЛИДОВОЙ МОДЕЛИ ЗОНАЛЬНОЙДЕЗИНТЕГРАЦИИ ГОРНЫХ ПОРОД

М. А. Гузев (Президиум ДВО РАН, Владивосток),А. А. Ушаков(ДВГТУ, Владивосток)

Последние десятилетия ХХ века были отмечены открытиями новыхгеомеханических явлений, которые с точки зрения традиционных пред-ставлений о деформировании и разрушения горных пород следует ха-рактеризовать не иначе как аномальными. Речь идет прежде всего оявлении зональной дезинтеграции, заключающейся в том, что вокруггорных выработок формируются периодические структуры в формечередующихся зон слабо нарушенных и разрушенных пород [1]. Приэтом поведение горных пород носит критический характер, связанныйс существованием пороговой величины нагрузки, при превышении ко-торой возникает периодическое распределение компонент напряженийвокруг выработки. Модели, в рамках которых анализировалось явле-ния зональной дезинтеграции, не отражают критического характераповедения горных пород, поскольку в них не учитываются внутренниемеханизмы неупругого деформирования, определяемые структурнымидефектами (микронеоднородностями), которые всегда присутствуют вреальном массиве. В данной работе поставлена задача объяснения кри-тического характера поведения поля напряжений, связанного с перехо-дом от монотонного к осциллирующему поведению поля напряженийпри достижении внешней нагрузкой некоторой предельной величины.В принятой математической модели предполагается, что материал со-держит дефекты, параметризация которых выполнена в терминах не-евклидовой характеристики модели - скалярной кривизны, определяю-щей несовместность деформаций [2]. Выполненное исследование показа-ло, что характер поведения компонент поля напряжений определяетсяскалярной кривизной. При этом изменение функциональных свойствпоследней, связанных с переходом от локализованного к осциллирую-щему поведению, наблюдается, если величина внешнего приложенногонапряжения превышает критическое значение, определяемое характе-ристиками среды. С точки зрения физики это означает, что в материа-ле, изначально содержащий отдельные дефекты, которым соответству-

138

ет локализованное решение для скалярной кривизны, начинает разви-ваться дефектная структура.

Работа выполнена в рамках интеграционного гранта 06-II-УО-01-001.

[1] Шемякин Е. И., Фисенко Г. Л., Курленя М. В., Опарин В. Н. идр Эффект зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземныхвыработок // ДАН СССР. - Т. 289. - 5. - 1986. - С. 1088-1094.

[2] Гузев М.А., Парошин А.А. Неевклидовая модель зональной дезинте-грации горных пород вокруг подземных выработок// ПМТФ. - 2000. - 3.- С. 181-195

ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХТЕЧЕНИЯХ ГАЗА ЧЕРЕЗ ПОРИСТЫЕТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Н. А. Луценко (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

В результате природных или техногенных катастроф могут возни-кать очаги тепловыделения в пористых средах. Единственно возмож-ным эффективным средством предотвращения их критического разо-грева и, соответственно, повторных катастроф может оказаться газовоеохлаждение таких источников тепла. Типичным примером такого пори-стого тепловыделяющего элемента, охлаждающегося естественной кон-векцией воздуха, является аварийный энергоблок Чернобыльской АЭС[1].

В настоящей работе рассматриваются нестационарные осесиммет-ричные течения газа через твердый однородный неподвижный пори-стый элемент, в котором происходит тепловыделение. Модель охлажде-ния строится в предположении двух взаимодействующих взаимопро-никающих континуумов [2]. Отличительной особенностью модели яв-ляется открытость саморазогревающейся пористой среды в атмосферуснизу и сверху, поэтому расход и скорость фильтрации газа на входе вэлемент неизвестны и должны определяться при решении задачи.

На основе численного метода для моделирования нестационарныходномерных [3, 4] и плоских [5] режимов газового охлаждения пори-стых тепловыделяющих элементов разработан метод для исследованияосесимметричных течений газа. Изучены режимы охлаждения осесим-метричных элементов ступенчато сужающейся и плавно сужающейсяформы. Показано, что в зависимости от начально-краевых условий и

139

параметров задачи возможен как переход к устойчивому стационарно-му режиму охлаждения, так и неограниченный разогрев тепловыделя-ющего элемента, ведущий к плавлению твердой фазы. Проанализиро-вано влияние геометрии тепловыделяющего элемента на процесс егоохлаждения, проведено сравнение осесимметричных и плоских теченийгаза, определены наиболее разогреваемые зоны у рассмотренных пори-стых элементов.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ПрезидентаРоссийской Федерации МК-6493.2006.1, гранта РФФИ-ДВО РАН 06-01-96020-р_восток_а, проекта ДВО РАН 06-III-В-03-079.

[1] Маслов В.П., Мясников В.П., Данилов В. Г.Математическое моде-лирование аварийного блока Чернобыльской АЭС. М.: Наука, 1987. 144 с.

[2] Нигматулин Р.И.Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.336 с.

[3] Луценко Н.А. Нестационарные режимы охлаждения пористого тепло-выделяющего элемента // Математическое моделирование. 2005. Т. 17. 3. C. 120–128.

[4] Левин В.А., Луценко Н.А. Возникновение неустойчивых режимовохлаждения пористого тепловыделяющего элемента при докритическихкраевых условиях // Горение и плазмохимия. 2005. Т. 3, 2. С. 81-90.

[5] Левин В.А., Луценко Н.А. Численное моделирование двумерных не-стационарных течений газа через пористые тепловыделяющие элемен-ты // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. 6. C. 44-58.

О СТАЦИОНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ГАЗА ЧЕРЕЗПОРИСТЫЙ ТЕПЛОПОГЛОЩАЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ

Н. А. Луценко (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток),О. В. Матина (ДВГТУ, Владивосток)

Рассмотрена одномерная стационарная задача об охлаждении газапри его движении через твердый пористый теплопоглощающий элемент.Элемент предполагается однородным и неподвижным, в его нижнюючасть под давлением подается горячий газ, который движется снизувверх и вытекает в свободное пространство с заданным давлением. От-личительной особенностью задачи является то, что расход и скоростьфильтрации газа на входе и на выходе из пористого элемента неизвест-ны и должны определяться при решении.

Модель строится в предположении двух взаимодействующих взаи-мопроникающих континуумов [1]. Система уравнений, моделирующая

140

такой процесс, является системой обыкновенных дифференциальныхуравнений и решается численно-аналитически с использованием методаРунге-Кутта. Вначале рассмотрен случай, когда теплоемкость твердойфазы бесконечна, то есть ее температура постоянна. Найдены и про-анализированы решения, исследована зависимость основных газовыххарактеристик от температуры газа на входе. Далее рассмотрен случайконечной теплоемкости твердой фазы. Также получены и проанализи-рованы решения, проведено сравнение поведения искомых величин прибесконечной и конечной теплоемкости твердой среды.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РоссийскойФедерации МК-6493.2006.1, гранта РФФИ-ДВО РАН 06-01-96020-р_восток_а, проекта ДВО РАН 06-III-В-03-079.


О ТЕЧЕНИИ ГАЗА ЧЕРЕЗ ПОРИСТУЮ СРЕДУ ИЗПОДЗЕМНОЙ ПОЛОСТИ С ВЫСОКИМ ДАВЛЕНИЕМ

Н. А. Луценко (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток),Т. П. Мирошниченко (ДВГТУ, Владивосток)

В работе исследуется процесс течения газа через слой твҷрдой не-подвижной пористой среды. Предполагается, что под слоем находитсярезервуар, заполненный газом, а над слоем - свободное пространствос заданным давлением. Рассмотрена следующая нестационарная одно-мерная задача: в начальный момент времени в резервуаре происходитмгновенный значительный рост давления газа, и вслед за этим происхо-дит истечение газа через пористый слой, которое сопровождается изме-нением основных газовых характеристик в резервуаре. Отличительнойособенностью задачи является то, что изменение со временем давлениягаза в резервуаре и его расход не задается, а определяется при решении.

Модель строится в предположении двух взаимодействующих взаи-мопроникающих континуумов [1]. Вначале рассмотрен изотермическийслучай. Система уравнений, моделирующая такой процесс, является не-линейной гиперболической и решается численно с использованием пред-ложенного в [2, 3] метода. Далее рассмотрен неизотермический случай.Получающаяся при этом система уравнений является нелинейной сме-шанной гиперболически-параболической и также решается с использо-ванием предложенного в [2, 3] метода. Для обоих случаев проведҷн ана-лиз изменения искомых величин как в пористом слое, так и в резерву-

141

аре. Проведено сравнение изотермической и неизотермической филь-трации и показано, что мгновенный рост температуры в резервуаре вначальный момент времени, происходящий вместе с мгновенным ростомдавления, существенно влияет на решение.



[2] Луценко Н.А. Нестационарные режимы охлаждения пористого тепло-выделяющего элемента // Математическое моделирование. 2005. Т. 17. 3. C. 120–128.

[3] Левин В.А., Луценко Н.А. Возникновение неустойчивых режимовохлаждения пористого тепловыделяющего элемента при докритическихкраевых условиях // Горение и плазмохимия. 2005. Т. 3, 2. С. 81-90.

О ТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СОПРЯЖЕНИЯ В ПОРИСТЫХСРЕДАХ С ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ

Н. А. Луценко (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток),Д. А. Щебеньков (ДВГТУ, Владивосток)

В работах [1, 2] исследовалось движение газа через пористый теп-ловыделяющий элемент над которым, соприкасаясь с ним, находитсяинертное твердое пористое однородное вещество (называемое далее за-валом). При анализе указанных работ оказалось, что нетривиальной яв-ляется проблема постановки в общем случае физически обоснованныхусловий сопряжения, возникающих на границе раздела тепловыделяю-щего элемента и завала.

В настоящей работе рассмотрена задача о течении газа через по-ристый тепловыделяющий элемент с завалом. В нижнюю часть тепло-выделяющего элемента под давлением подается газ, который движетсяснизу вверх, нагреваясь в результате теплообмена, затем газ проходитчерез завал и вытекает в свободное пространство с заданным давлени-ем. Модель строится в предположении двух взаимодействующих взаи-мопроникающих континуумов [3] и включает в себя уравнения нераз-рывности, движения, энергии и состояния для каждой фазы. На основеинтегральных уравнений, справедливых во всей области двухфазнойсреды, получены точные условия сопряжения на границе раздела зава-ла и тепловыделяющего элемента. Изучен одномерный стационарный

142

случай, для которого получено решение рассматриваемой задачи и про-веден его анализ.


[1] Луценко Н.А. Одномерный стационарный режим фильтрации газа че-рез слой неподвижного тепловыделяющего конденсированного материа-ла // Дальневосточный математический журнал. 2002. Т. 3, 1. С. 123-130.

[2] Теплицкий Ю.С., Ковенский В.И. О постановке граничных усло-вий и условий сопряжения для задач теплопереноса в зернистых слояхна основе двухтемпературной модели // Инженерно-физический журнал.2006. Т. 79. 6. C. 98–106.


ИСТИРАЕМОСТЬ ЗЕРНИСТОГО КОМПОЗИТА СХРУПКОЙ МАТРИЦЕЙ

Н. В. Макарова (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Рассмотрен процесс абразивного износа тяжелого бетона как ком-позита с хрупкой матрицей на основе феноменологического подхода.Модель предполагает, что истираемость зависит от физических харак-теристик матрицы, размера зерен и сцепления между ними. Работа,затраченная на уменьшение объема, рассматривается как критерий. Бе-тон является композитным материалом с неупорядоченной структуройи поэтому его изучение в плане истирания затрудненно. На макроуровнеструктуру тяжелого бетона можно представить как цементно-песчануюматрицу с внедренными в нее зернами заполнителя произвольной фор-мы и размеров. Физические свойства этих веществ различны, и пове-дение их при истирании недостаточно изучено. Исследования показа-ли, что разрушение в результате истирания происходит в приповерх-ностном слое по границе между матрицей и заполнителем, причем раз-рушение носит усталостный характер. Выполнены экспериментальныеисследования процесса истирания бетона. Образцы различных составовбетона размерами 70х70х70 мм испытывались в соответствии с ГОСТ13087- 81 на истирающем круге ЛКИ-3. В качестве абразивного матери-ала использовалось шлифзерно 16 по ГОСТ 3647-80. Предварительно

143

отшлифовывалась одна боковая грань до обнажения поверхности круп-ного заполнителя. Затем на эту грань наклеивались тензорезисторныедатчики, таким образом, чтобы датчики располагались через границумежду матрицей и зерном заполнителя на разном расстоянии от по-верхности истирания. В процессе испытания образцы проходили путь600 м, одновременно с этим регистрировались показания с наклеенныхна боковую грань датчиков с помощью измерительного комплекса ИКС.Предложенная экспериментальная методика позволила зафиксироватьмомент раскрытия усталостной трещины на границе между матрицейи заполнителем, получена зависимость роста усталостной трещины наповерхности сцепления матрицы и заполнителя от пройденного пути.Установлено влияние фибрового армирования и мелкодисперсной до-бавки на сопротивление тяжелого бетона истиранию.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ КАК МЕТОДУПРАВЛЕНИЯ ТРАЕКТОРИЕЙ ТРЕЩИНЫ

И. А. Миклашевич (БНТУ, Минск)

Трещина рассматривается в лучевом приближении на основании оп-тико - механической аналогии [1]. На основании уравнения Эйлера дляфункционала упругой энергии F (x, y) и с использованием критерия Сиимеем уравнение траектории трещины в общем виде

y′′ −B∂ (E(x, y))

∂xy′

(1 + y′2

)+B

∂ (E(x, y))∂y

(1 + y′2

)2= 0. (1)

В уравнении (1) введены обозначения A = 1 + y′2, B = 2γ − Piui, Pi =σijnj , nj - направляющий косинус на площадке поверхности трещины.

Для композитного материала в котором упругая энергия имеет вид

Q(x) = C1 exp(−δxω + γ sin(ωx)

ω

), (2)

мы получили для траектории уравнение Дуффинга которое содержитy и система имеет негамильтонов характер.

y − y(1 − εδ) + y3 = εγy cosωx (3)

Уравнение (3) исследовалось для разных значений параметров матери-ала. Показано, что в общем поведение траектории стабильно и суще-ствуют аттракторы.

144

В случае если уравнение (2) содержит электромагнитную компонен-ту (например, периодическую) поведение трещины существенным обра-зом изменяется и приобретает хаотический характер [2]. Электромаг-нитное поле может быть создано, например набором актюаторов (ин-теллектуальные материалы) и использовано для контроля траекториитрещины.

[1] Miklashevich I.A., Chigarev A.V., Korsunsky A. M Variational de-termination of the crack trajectory in inhomogeneous media // Int. Journ. ofFracture, v. 111, 2, L29-L34, 2001

[2] Miklashevich I.A.Micromechanics of fracture in generalised spaces // Elsevier,Oxford, 2007

О ВОЗНИКНОВЕНИИ НЕОБРАТИМОГОДЕФОРМИРОВАНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ

СФЕРИЧЕСКОГО ДЕФЕКТА СПЛОШНОСТИУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПРИ

ЗАКАЛИВАНИИМ. В. Полоник (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток),

А. В. Ермоленко (ДВГТУ, Владивосток)

Изучается возможность повышения эксплуатационных качеств ме-таллоизделий в технологическом приеме закаливание, связанным с на-гревом материала до определенной температуры, выдержке и последу-ющем быстрым охлаждением. Предполагается, что в результате такоготеплового удара происходит «залечивание», микродефектов сплошно-сти (микропор, микротрещин) за счет необратимого деформирования вих окрестности.

Рассматривается одномерная краевая задача об охлаждающем теп-ловом ударе термоупругопластической среды. В следствие тепловогоудара к центру шара r = R0 с одиночным дефектом сплошности r = r0распространяется две сферические поверхности разрывов деформаций.Одна из них является упругой ударной волной, распространяющейсясо скоростью Gν =

√(λ+ 2µ)/ρ0. Другая – поверхностью разрыва тем-

пературы и скорости (Gτ < Gν). Таким образом, предполагается, чтотепло по среде распространяется медленнее по сравнению с распростра-нением деформаций.

В области распространения упругой ударной волны решение стро-ится в рамках граничных условий: u(R, t) = f(t), u(R − Gνt, t) = 0.

145

Таким образом поле перемещений перед второй поверхностью опреде-лено с точностью до неизвестной функции f(t). За второй поверхностьюбудем считать, что среда деформируется термоупруго и определяетсянекоторой функцией f(t). Необратимые деформации в данной областиотсутствуют, а единственным необратимым процессом в такой среде мо-жет быть только процесс теплопередачи.

При отражении упругой волны от свободной границы полости r = r0(σrr|r=r0 = 0, u(r, t)|r=r0+Gνt = u+) в некоторый момент времени t1возникает пластическое течение. В работе показано, что пластическаяобласть движется с некоторой скоростью C (C < Gτ на два порядка),которая оказывается постоянной величиной и зависит от предела упру-гости k материала. Это позволяет записать закон движения границипластической области r1(t) = r0 + Ct и определить перемещения в сре-де.

Такое необратимое деформирование приводит к резкому уменьше-нию геометрического размера дефекта вплоть до такого, что вступаютв действие силы молекулярного взаимодействия, чем и объясняем яв-ление «залечивания». Изменения в структуре материала здесь не учи-тываем. Считаем, что такое «залечивание» микродефектов сплошностиявляется основным фактором повышения прочностных эксплуатацион-ных качеств обрабатываемых изделий.

Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействияотечественной науке и Российского фонда фундаментальных исследо-ваний (05-01-00537).

КОСОЕ ОТРАЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ ЖЕСТКОЙГРАНИЦЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕД. А. Потянихин (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Рассматривается динамическая краевая задача косого отраженияплоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от жест-ко закрепленной границы в нелинейной упругой среде. Считаем, что доначального момента времени среда находится в свободном состоянии.Пусть в начальный момент времени по среде начинает распространять-ся сжимающая продольная ударная волна Σ0(t) с постоянной интен-сивностью и постоянной скоростью. Неизменность параметров задачи(интенсивности и скорости падающей волны) позволяет провести ее ре-шение в рамках автомодельного представления.

Выход продольной ударной волны на жесткую границу под углом

146

0 < α < π2 приводит к отражению возмущений обратно в среду. С мате-

матической точки зрения, возможно одновременное существование двухрешений данной задачи. Во-первых, отражение может происходить по-средством двух ударных волновых фронтов (рис.1): квазипродольной(Σ1(t)) и квазипоперечной (Σ2(t)) ударных волн. Второе решение (рис.2)включает в себя квазипродольный ударный фронт Σ1(t) и центрирован-ную волну со слабыми фронтами ξ+ и ξ− на границах. Выбор первойили второй волновой картины определяется в процессе численного ре-шения задачи путем проверки условия эволюционности ударной волныΣ2(t) и условия неубывания энтропии на ней. Для реализации первойпостановки (рис.1) необходимо выполнение обоих условий; в остальныхслучаях считаем, что имеет место вторая волновая картина (рис.2). Ре-шение задачи в области центрированной волны получено при помощичисленного интегрирования дифференциально-алгебраической системыуравнений.

Численное решение задачи показало, что при неизменной интенсив-ности волны Σ0(t) можно определить критическое значение угла паде-ния α∗

0, при превышении которого отражение происходит посредствомдвух ударных волн (рис.1), а при угле отражения меньшем, чем α∗

0, –посредством ударной и центрированной волн (рис. 2).

УЕДИНЕННАЯ ВОЛНА В ТОРОИДАЛЬНОМТРУБОПРОВОДЕ

О. П. Ткаченко (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

В приближении идеальной жидкости и малых перемещений упругойстенки построена математическая модель распространения нелинейныхгидроупругих волн в тороидальном трубопроводе на основе методов, из-ложенных в [1]. Показано существование уединенной волны в изучаемоймеханической системе. Проведено численное исследование влияния из-гиба осевой линии трубы на движение уединенной волны в замкнутомкольцевом трубопроводе. Найдено, что при стремлении кривизны оситрубы к нулю математическая модель вырождается в уравнение Кор-тевега - де Фриза для цилиндрической трубы, вывод которого обсуж-дался в докладе [2]. Тем самым построенная математическая модельсогласована с известными результатами.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта07-01-00210) и Президиума ДВО РАН (грант 06-III-A-01-001).

147

[1] Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир, 1989. - 326 c.

[2] Ткаченко О.П. Уравнение Кортевега - де Фриза при исследовании не-линейных волн в трубопроводе // Фундаментальные и прикладные во-просы механики. Материалы всероссийской конференции, посвященной70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова. – Владивосток:ИАПУ ДВО РАН, 2006. – С.103–104.

148

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

СЛОЖНО СТРУКТУРИРОВАННЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕОБЛАСТИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИИ. Л. Артемьева (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Назовем предметную область сложно структурированной, если онаобладает следующими свойствами: (1) в ней существуют разделы, кото-рые описываются в разных, но похожих системах понятий, (2) разделы,в свою очередь, имеют подразделы, которые описываются в разных, нопохожих системах понятий, (3) любой подраздел в свою очередь, можетиметь подразделы, обладающие указанным свойством.

Раздел (и подраздел) сложно структурированной ПО является так-же предметной областью, в которой происходит своя профессиональ-ная деятельность и которая характеризуется своим множеством задач,причем среди множества задач разных разделов могут существоватьпохожие задачи. При решении задач профессиональной деятельности всложно структурированной ПО могут использоваться понятия онтоло-гий ее разных разделов, а также знания разных разделов.

Примером сложно структурированной ПО является химия. Приме-рами ее разделов являются физическая, органическая и аналитическаяхимия. Физическая химия изучает физико-химические процессы. Опи-сание этих процессов дается в терминах свойств участвующих в про-цессах веществ и реакций. Органическая химия добавляет терминоло-гию, позволяющую говорить о структурных свойствах веществ. Анали-тическая химия изучает процессы воздействия на вещества различнымиизлучениями. Примерами подразделов для физической химии являют-ся химическая термодинамика и химическая кинетика, для аналитиче-ской химии подраздел связан с конкретным методом анализа (напри-мер, рентгено- флуорисцентный анализ).

Математическая модель предметной области содержит модель мно-гоуровневой онтологии, модель знаний и модель действительности ПО[12]. Если онтология ПО имеет n уровней, то число уровней моделипредметной области будет равно n+ 2.

Многоуровневая модель онтологии представляет собой многоуров-невую необогащенную систему логических соотношений. Верхний уро-вень этой модели содержит один модуль. Он задает математическую

149

модель метаонтологии всей предметной области. Все следующие уровниявляются модульными. Они задают математические модели разделов иподразделов предметной области.

Модель знаний представляет собой совокупность модулей обогащен-ной системы логических соотношений. Каждый модуль соответствуетодному из подразделов предметной области.

Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН, проект 06-I-П14-051.

СИСТЕМА ОРГАНИЗАЦИИ РЕСУРСОВИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЕТИА. А. Бурый, А. В. Зацерковный, П. Л. Поздняк

(ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Представляемый проект является платформой для создания системучҷта различных информационных ресурсов вычислительных сетей. Воснову проекта положены принципы Семантической сети, то есть се-ти, где каждый ресурс снабжен описанием, понятным компьютеру. Дляреализации подобных описаний был использован формат RDF. Осно-ву системы представляют два сервиса: сервис автоматического получе-ния метаинформации и сервис построения семантической сети и поискапо ней. Сервис автоматического получения метаинформации являетсямногомодульной структурой, интегрирующей в себе функции автома-тического и тривиального получения метаинформации, в случае когдаметаинформация задана для ресурса человеком, ,например, в виде спе-циальных тегов). Извлечение каждого вида информации реализуетсячерез использование отдельного модуля (поставляемого в качестве пла-гина), что способствует лҷгкому расширению системы для увеличенияфункциональности. На данный момент реализована следующая функ-циональность: извлечение информации, заданной для ресурса челове-ком, анализ текстовой информации с применением регулярных выра-жений, статистический анализ текста (автоматическая каталогизация,выделение ключевых понятий). После извлечения полученная метаин-формация поступает на обработку сервису построения семантическойсети. Данный сервис осуществляет структурирование полученных дан-ных в соответствии с используемой в системе онтологией, преобразуя ихв формат RDF. Затем полученный документ в формате RDF заноситсяв базу данных. Также для достижения выигрыша в производительно-сти литералы семантической сети заносятся в полнотекстовый индекс.

150

В данной системе реализована возможность работы с метаинформациейсторонних агентов в соответствии с принципами Семантической сети. Вданный момент ведҷтся разработка некольких сторонних агентов, ра-ботающих на базе данной системы. К ним относится поисковая системаSemantic Search System и система интеллектуального кэширования за-просов.

ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ (ИНС) ДЛЯРАСПОЗНАВАНИЯ ОБЪЕКТОВ НА КОСМИЧЕСКИХ

СНИМКАХ ВЫСОКОГО РАЗРЕШЕНИЯЕ. М. Гамбарова (НИИ аэрокосмических исследований, Баку)

В докладе представлены и обоснованы принципы проведения оце-нок и анализа качества продукта работы нейронного классификатора«Многослойный Перцептрон» с помощью средств геоинформационнойобработки данных. Работы были проведены для решения реальной при-кладной задачи по определению ареалов распространения редких типоврастительности, присутствующих на многоспектральном снимке высо-кого разрешения, полученного со спутника Ikonos..

Объектом нашего интереса являются полупустынные территорииюжнее города Баку, биоресурсы которой играют большую роль в тра-диционном животноводчестве региона. Изначально были определены12 редких типов растительности и почв, динамика изменения ареаловраспространения которых, по мнению экологов, является индикатором,отражающим антропогенное воздействие на природу изучаемой терри-тории.

Были выбраны две классификационные схемы — первоначальная имодифицированная — и проведена процедура обучения МСП по этимдвум схемам. После проведения процедуры обучения была осуществле-на автоматическая классификация по всей сцене, охватываемой космо-снимком (многоспектральный снимок со спутника Ikonos, 110 км2) дляраспознавания объектов из соответствующих классов.

В данной работе мы исследовали два совмещенных тематическихрастра и использовав возможности символизации ГИС для акцентиро-вания различий при показе всей сцены, мы выделили 3 фрагмента, гдебыли выявлены и определены следующие особенности пространствен-ного распространения исследуемых объектов:

151

• Высокая пространственная вариативность характера распределе-ния различных типов растительности на данном участке.

• Тонкие переходы между типами распознаваемых объектов.

• Малозаметное (слабое) присутствие объекта на фоне других объ-ектов.

[1] Wang F. 1994b, The use of artificial neural networks in a geographicalinformation system for agricultural land-suitability assessment. Environmentand Planning, 265–280

МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЯ ИНТЕРФЕЙСА ВСООТВЕТСТВИИ С МЕТРИКАМИ ЮЗАБИЛИТИ

В. В. Грибова (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Качество программного продукта обеспечивается не столько в ре-зультате комплексного тестирования конечного продукта, сколько в про-цессе его проектирования. Соответственно, актуальной задачей являет-ся разработка методов поддержки юзабилити пользовательского интер-фейса на этапе его проектирования.

Одним из решений является автоматизация разработки проекта пред-ставления пользовательского интерфейса в соответствии с метрикамиюзабилити. Для этого разработан метод автоматизированного отобра-жения модели предметной области в модель представления (проектWIMP-интерфейса) с учетом метрик юзабилити. Множество отображе-ний описывается в терминах онтологии отображения представлений.Она определяет структуру правил отображения информационных еди-ниц в презентационные либо атомарные презентационные единицы сучетом метрик юзабилити. Таким образом, формируется множество отоб-ражений (база знаний отображений). Любое отображение описываетсяпарой — условием отображения и множеством возможных представле-ний (презентационных либо атомарных презентационных единиц). Усло-вие отображения может состоять из множества условий, каждое из ко-торых задает значения параметров, истинность которых проверяется впроекте системы понятий диалога. Параметры условий задаются в тер-минах онтологии системы понятий диалога.

«Сканирование» базы знаний и проверка условий отображения осу-ществляется с помощью автоматизированного средства. Если условие

152

выполняется и ему соответствует несколько представлений, то это озна-чает, что каждое из возможных представлений отвечает требованиямюзабилити. В этом случае выбор единственного представления из мно-жества допустимых осуществляет разработчик интерфейса.

В настоящее время в отделе Интеллектуальных систем разработанпрототип инструментального средства, который является компонентомИнструментального комплекса для проектирования и автоматическойгенерации пользовательского интерфейса на основе онтологий [1]. Ра-бота выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН, грант «Расши-ряемая система обеспечения качества пользовательского интерфейса».

[1] В.В. Грибова, А.С. Клещев Использование методов искусственногоинтеллекта для проектирования пользовательского интерфейса // Ин-формационные технологии. 8. 2005. С.58-62

ОНТОЛОГИЯ ЦЕЛЕВЫХ ПЛАТФОРММ. В. Жеравин (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Онтология целевых платформ предназначена для описания целевыхплатформ в форме, ориентированной генерацию низкоуровневого кодаописываемой платформы автоматически.

Объектом многоцелевой генерации является программа на языкеМСП [1, 2]. В процессе работы метода генерации происходит анализпромежуточной программы и синтез эквивалентного низкоуровневогокода. При этом модель целевой платформы, для которой осуществля-ется синтез низкоуровневого кода, является основным параметром.

Модель целевой платформы, описанная в виде терминов онтологии,является описанием целевой платформы и состоит из базы проекций иописания свойств платформы.

База проекций представляет собой набор некоторого количества про-екций, содержащих шаблоны операций промежуточного и низкоуров-невого языков. В статье [3] предложен метод сопоставления шаблоновтаких проекций для генерации низкоуровневого кода. Описание свойствцелевой платформы включает в себя описание регистров и их множеств,описание методов адресации, описание функций и их вызовов, и описа-ние взаимодействия с операционной системой (ввод/вывод, системныепроцедуры и т.д.).

В описание каждой проекции входит:1. шаблон операции промежуточного языка;2. множество местоположений операндов;

153

3. множество местоположений результата;4. шаблоны для результирующего кода;5. стоимость операции.

В онтологию целевых платформ входят термины для описыванияшаблонов операций, кода, множеств местоположений операндов и ре-зультата, стоимости операций и свойств целевой платформы.

Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН, проект«Интернет - система управления информацией о преобразованиях про-грамм».

[1] Артемьева И.Л., Князева М.А., Купневич О.А. Модель онтологиипредметной области «Оптимизация последовательных программ». Ч.1.Термины для описания объекта оптимизации // НТИ. Сер. 2.-2002.-12.-С. 23-28.

[2] Артемьева И.Л., Князева М.А., Купневич О.А. Модель онтологиипредметной области «Оптимизация последовательных программ». Ч.2.Термины для описания процесса оптимизации // НТИ. Сер. 2.-2003.-1.-С. 22-29.

[3] Князева М.А., Жеравин М.В. Генерация низкоуровневого кода, управ-ляемая знаниями // Информационные технологии (в печати).

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОВРЕЖДЕННЫХ ФАЙЛОВ PDBДЛЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ ОРГАНИЧЕСКИХМОЛЕКУЛ

Д. Б. Згонник (ИПМ ДВО РАН, Владивосток),Г. Н. Лихацкая (ТИБОХ ДВО РАН, Владивосток)

Развитие программ, позволяющих конструировать структуру моле-кулы, т.е. программ-редакторов, привело к необходимости разработкиформатов данных для хранения результатов. Одним из наиболее рас-пространенных на сегодняшний день формат файлов для хранения мо-делей молекул является формат PDB.

Минимальной структурной единицей хранения данных в файле фор-мата PDB является текстовая строка. Одна строка может содержатькак вспомогательную информацию, например, название молекулы, таки характеристики отдельного атома. Набор строк, содержащих харак-теристики атомов, описывают структуру молекулы. В каждой такойстроке содержится информация о типе атома и его координаты в про-странстве. Под типом атома подразумевается как его химический знак

154

в периодической таблице Менделеева, так и данные о его вхождении вразличные структуры (например, циклы) и степень гибридизации ато-ма.

В некоторых случаях файлы PDB могут лишь частично соответ-ствовать стандарту. Среди типичных ошибок, встречающихся в такихфайлах можно выделить следующие:

а) Отсутствие в типе атома иной информации, кроме его знака впериодической таблице элементов;

б) Противоречивость информации о типах атомов;

в) Запись информации о типе атома в форме, не соответствующейстандарту.

Существующие программы-редакторы не позволяют работать с по-врежденными PDB-файлами. Данная работа посвящена разработке прог-раммы-редактора органических молекул, которая могла бы работать споврежденными файлами в формате PDB, содержащими до несколькихдесятков тысяч атомов. Отсутствующую информацию о типах атомовпредлагается восстанавливать автоматически, предварительно опреде-лив связи каждого атома.

В рамках работы создан алгоритм построения связей. Для функци-онирования алгоритма необходимо наличие в файле PDB лишь мини-мального набора данных: координат атома и его знака в периодическойтаблице. Наличие связи между каждой парой атомов определяется сле-дующим образом: между двумя атомами органической молекулы естьковалентная связь, если евклидово расстояние между ядрами атомовменьше суммы их ковалентных радиусов (плюс некоторая константа).Кратность каждой связи, т.е. число пар электронов, участвующих вее образовании, определяется на основании ее длины и проверки пред-положений о вхождении связи в какие-либо из известных соединений,полученных экспериментальным путем.

Визуализация системы производится с применением библиотекиOpenGL. Для определения новых координат атомов при модифика-ции молекулы производится минимизация потенциальной энергии си-стемы, являющейся функцией координат атомов (используется потен-циал MMFF94).

Данная работа выполнена при финансовой поддержке ведущих на-учных школ РФ (грант - НШ 9004.2006.1) и гранта 06-II-УО-01-001.

155

ВИРТУАЛЬНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ВЗАДАЧАХ СЕМЕЙНОЙ ТЕЛЕМЕДИЦИНЫ

В. Е. Казеннов, Л. М. Житникова (ДВГМУ, Хабаровск),В. В. Гостюшкин, С. З. Савин, Л. А. Сергеева, А. В. Хоменюк

(ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

В рамках исследований по гранту программы «Старт» «Исследо-вание, разработка и адаптация программно-технического обеспечениявиртуальных информационных систем для задач телемедицины» (про-ект 6171) нами реализованы принципы создания виртуальных инфор-мационных моделей (ВИМ) для поддержки принятия решений в си-стемах виртуальной реальности (СВР). ВИМ представляет собой осо-бый способ компьютерного моделирования живой системы, результата-ми которого являются как многомерная модель произвольного медико-биологического объекта (форма), так и создание моделей его физиоло-гического и патологического функционирования (функция). При этоми модель формы, и модель функции максимально приближены к ре-альным форме и функциям моделируемого объекта. Входные данные— срезы в графических форматах, отображаемые стандартами телеме-дицины HL7, Dicom, 3D Doctor. ВИМ состоит из базы данных и ос-новных и вспомогательных программ, обращающихся к базе данныхи осуществляющих непосредственный процесс моделирования. Назна-чение программы - занесение в базу данных(БД ВИМ) информации опроизвольных срезах, содержащейся в рентгенограммах, томограммахи прочих клинико-диагностических документах с последующей матема-тической обработкой этих данных. Добавление или удаление срезов вБД ВИМ осуществляется заданием номера горизонтального среза илиуказанием, что необходимо добавить/удалить все имеющиеся срезы. Впрограмме реализован счет количества аномальных тел в указанномучастке трехмерной модели организма; количества точек, из которыхсостоят эти тела (объем); количества крайних точек этих тел (площадь);процентного отношения объема аномальных тел к объему окружающихтканей. Для облегчения и ускорения занесения в БД дополнительнойдинамической информации предусмотрены вспомогательные таблицы.Программа позволяет создавать и сопровождать сразу несколько БДСВР. Для этого необходимо выбрать директорию, в которой находит-ся БД. Разработанное программное обеспечение ВИМ СВР применя-ется в практике клиники семейной медицины при проведении сеансов

156

телемедицинских конференций и переподготовки врачей общей практи-ки районных лечебных учреждений региона. Разработанный комплекспрограммно-технических средств виртуальной имитации различных со-стояний организма в норме и патологии с применением данных, до-ступных пользователям Интернета, может быть успешно применен примедико-экологическом мониторинге, диспансеризации, доклиническомобследовании пациентов для повышения эффективности профилакти-ки и выборе наиболее приемлемого метода лечения социально значимыхзаболеваний.

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ СКАЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ В ЗАДАЧАХГЕОХИМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

A. C. Кленин (ДВГУ, Владивосток)

Проблема визуализации пространственных полей скалярных значе-ний часто встречается в задачах моделирования океана, атмосферы ит.п. Сходные проблемы возникают и при моделировании литосферы, впервую очередь с целью поиска рудных аномалий и прогнозированиязапасов полезных ископаемых.

В то же время, требования к системам визуализации в этой областиимеют ряд особенностей:

• Отображение разрезов различными поверхностями — плоскостямив различных положениях, а так же поверхностями произвольнойформы, например рельефом или линиями разломов.

• Одновременное отображение большого количества слоев, типичо-не значение — около десяти слоев.

• Привязка к географическим данным и взаимодействие с геоин-формационными системами.

• Отображение изолиний и меток.

• Соответствие стандартам на геологические карты, пригодные длявключения в отчеты — корректное отображение координатной сет-ки, легенды, гибкое управление символами визуализации, точноевычисление масштаба и др.

• Широкий диапазон масштабов, в том числе неравномерных.

• Минимальные искажения, вносимые собственно визуализатором.

157

• Интерактивный уровень производительности.

В рамках программного комплекса геохимического анализа «Гео-том», разрабатываемого автором совместно с коллективом геохимикови математиков, реализована развитая подсистема визуализации, соот-ветствующая перечисленным требованиям. Подсистема поддерживаетболее 10 видов слоев и предоставляет пользователю широкие возмож-ности по управлению визуализацией, в общей сложности более 50 видовпараметров.

В процессе работы были оптимизированы существующие и созданыоригинальные методы:

• Интерполяции, в том числе распределений химических элементови рельефа, многоуровневой интерполяции.

• Построения изолиний в реальном времени, в том числе для участ-ков с высоким градиентом.

• Построения областей по наборам внутренних точек.

• Оптимального расположения меток с применением различных ме-тодов многопараметрической оптимизации.

• Организации интерфейса работы с несколькими визуализаторамиодновременно, в том числе синхронизированными, дочерними исгруппированными визуализаторами.

Работа выполнялась частично за счет средств государственных кон-трактов 22-205/п «Создание и апробация специализированных прог-раммно-технологических модулей для прогнозирования рудных объек-тов по геохимическим данным» и 4384р/6769 «Разработка модулейдля анализа, визуализации и прогнозной оценки данных о рудных ано-малиях на основе ореолов и потоков рассеяния».

158

НА ПУТИ К СИСТЕМАМ ИНТЕРАКТИВНОГОПОСТРОЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ДЛЯ НАУЧНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЙА. С. Клещев (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Рассматриваются требования к системам интерактивного построе-ния доказательств для научных исследований. Основным из них являет-ся поддержка коллективного развития базы знаний на основе Интернет-технологий. Система обеспечивает взаимодействие администратора, поль-зователей и системных процессов. Каждый пользователь имеет персо-нальную информационную базу, а администратор развивает общую ба-зу на основе персональных. Внутренняя структура информации опреде-ляется расширяемой моделью математической практики. Внешнее пред-ставление информации поддерживается редактором, управляемым РБ-НФ.

Каждый пользователь занимается развитием своей персональной ба-зы в процессе интерактивного построения интуитивных доказательств.При этом он может выбирать для себя необходимые функциональныевозможности, расширять внутреннюю модель математической практи-ки, использовать текстовый или управляемый способы взаимодействияс системой, пользоваться предложением релевантной информации и ин-терактивно использовать интуитивные метадоказательства.

Системные процессы автоматически формируют контекстные усло-вия для вводимой информации и вспомогательные утверждения, осу-ществляют их ассоциативный поиск во внутренней базе, унификацию,конкретизацию метадоказательств, в случае необходимости - автома-тический поиск их полных доказательств, а также поддержку опера-ций, выполняемых пользователем. Они также выполняют обобщениеинтуитивных и полных доказательств. Администратор рассматриваетрезультаты деятельности пользователей и включает в общую базу ивнутреннюю модель математической практики те из них, которые мо-гут представлять общий интерес. Наконец, он рассматривает теоремы,формируемые системой на основе метадоказательств и включает в об-щую базу нетривиальные теоремы и их доказательства.

Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН в рамкахПрограммы 16 фундаментальных исследований ОЭММПУ «Пробле-мы анализа и синтеза интегрированных технических и социальных си-стем управления», проект «Синтез интеллектуальных систем управле-ния базами знаний и базами данных».

159

ОБЩАЯ СХЕМА ОРГАНИЗАЦИИ КОМПЬЮТЕРНЫХЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО ИНДУКТИВНОМУ

ФОРМИРОВАНИЮ ЗНАНИЙА. С. Клещев, С. В. Смагин(ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

На сегодняшний день предложены различные проблемно-независимыеи проблемно-ориентированные методы индуктивного формирования зна-ний (ИФЗ), которые решают задачу формирования базы знаний — в томили ином представлении — на основе выборки [1,2]. При решении при-кладных задач возникает необходимость выбора наиболее подходящегометода ИФЗ и формирование выборки достаточного объема. Такой вы-бор должен осуществляться исходя из условий и ограничений задачи,а также из известных свойств методов ИФЗ. Основными свойствамиметодов ИФЗ являются зависимость времени ИФЗ от объема выборокпримеров (ВП) и выборок контрпримеров (ВКП), а также скорость схо-димости метода ИФЗ при увеличении объема выборки.

Важной характеристикой каждого метода ИФЗ является устойчи-вость значений свойств этого метода. Она может быть двух видов —устойчивость относительно разных выборок одной и той же предметнойобласти (ПО) и устойчивость относительно свойств самой ПО. Свойствометода устойчиво относительно разных выборок одной и той же ПО, ес-ли значения этого свойства близки на разных выборках (этой ПО) од-ного и того же объема, причем, чем больше объем выборок, тем значе-ния ближе. Свойство метода устойчиво относительно свойств ПО, еслизначения этого свойства близки на разных выборках (взятых из различ-ных ПО) одного и того же объема, причем, чем больше объем выборок,тем значения ближе. Теоретическое исследование свойств методов ИФЗобычно неэффективно (см., например, [3]), поэтому предпочтительнымстановится их экспериментальное изучение.

В докладе предлагается общая схема организации компьютерныхэкспериментов по исследованию свойств методов индуктивного форми-рования знаний на выборках различного объема. Идея проведения экс-периментальных исследований методов ИФЗ на модельных данных та-кова. На основе непримитивной онтологии ПО генерируется случайнаямодель знаний (СМЗ). На ее основе генерируются наборы случайныхВП различного объема. Исходя из онтологических соглашений, фор-мируются наборы ВКП, также различного объема. Затем проводятсяэкспериментальные исследования метода ИФЗ, входными данными длякоторых являются сгенерированные ВП и ВКП, а результатом - индук-

160

тивно сформированные модели знаний (ИМЗ).Использование ВП и ВКП различных объемов посредством сравне-

ния СМЗ и ИМЗ позволяет исследовать зависимость внешнего качества(оценка правильности и точности ИМЗ) и внутреннего качества (сте-пень сходства сгенерированной и индуктивно сформированной моделейзнаний) СМЗ и ИМЗ, а также времени их формирования от объемов ВПи ВКП, на основе которых они были получены. Очевидно, что проводяэксперименты на реальных данных, исследовать зависимость внутрен-него качества от объемов ВП и ВКП невозможно, т.к. исходная модельзнаний в этом случае неизвестна.

Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН в рамкахПрограммы Президиума РАН 14 «Фундаментальные проблемы ин-форматики и информационных технологий», проект 06-I-П14-051 «Ин-теллектуальные системы, основанные на многоуровневых моделях пред-метных областей».

[1] Ryszard S. Michalski, Kenneth A. Kaufman.Data Mining and KnowledgeDiscovery: A Review of Issues and a Multistrategy Approach. (1997).http://citeseer.ist.psu.edu/michalski97data.html

[2] Клещев А.С. Задачи индуктивного формирования знаний в терминахнепримитивных онтологий предметных областей. // НТИ. - 2003. - Сер.2. - 8. - С. 8-18

[3] Приобретение знаний: Пер. с япон. / Под ред. С.Осуги, Ю.Саэки. - М.:Мир, 1990. - 304 с.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕТОДОВ ПОТОКОВОГО АНАЛИЗАДЛЯ РАСПАРАЛЛЕЛИВАЮЩИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙПРОГРАММ В БАЗЕ ЗНАНИЙ ПОТОКОВОГО АНАЛИЗА

СБКЗ ППМ. А. Князева (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток),

Е. А. Пронина (ДВГУ, Владивосток)

Для решения научных, практических и образовательных проблем вобласти преобразования программ, была предложена концепция управ-ления информацией о преобразованиях программ в рамках специали-зированного банка знаний о преобразованиях программ (СБкЗ ПП) [1].Основными компонентами СБкЗ ПП являются: информационное на-полнение (ИН) и программное наполнение (ПН). Подсистема потоко-вого анализа входит в состав ПН СБкЗ ПП и реализует управляемыйзнаниями потоковый анализ программ.

161

Модель структурной программы (МСП) является единым внутрен-ним представлением, на котором проходит потоковый анализ программ[1].Расширение МСП - это добавление к представлению программы спе-циальных дуг управления и введение новых фрагментов программы вМСП, которые появляются в результате потокового анализа программ.Расширенная МСП является основой для преобразования программ.Методы потокового анализа программ представляются на языке опи-сания методов потокового анализа программ (язык МПА)[2].

С помощью редактора знаний методы потокового анализа программзаносятся в базу знаний потокового анализа программ. База знанийформируется экспертом предметной области. В нее могут входить какметоды, взятые из различных источников (описанные в литературе, всети Интернет и т.д.), так и методы разработанные непосредственноэкспертом.

В базе знаний СБкЗ ПП представлены методы для следующих рас-параллеливающих преобразований программ: обмен циклов, распреде-ление цикла, объединение циклов, разбиение цикла, развертка цикла,разгрузка цикла[3].

В подсистеме потокового анализа для распараллеливающих преоб-разований программ происходит интерпретация методов потокового ана-лиза программ и формирование расширенной МСП в процессе интер-претации методов.

Работа выполнена в рамках программы 14 фундаментальных ис-следований Президиума РАН, проект 06-I-П14-052.

[(] 1 )Клещев А.С., Князева М.А. Управление информацией о преобразова-ниях программ. I. Анализ проблем и пути их решения на основе методовискусственного интеллекта //Изв. РАН. ТиСУ.-2005.- 5.-С.120-129.

[(] 2 )Князева М.А. Волков Д.А. Потоковый анализ программ, управляемыйзнаниями // Программные продукты и системы. -2007.-1.-С.49-52.

[(] 3 )Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. - СПб.:БХВ Петербург, 2002.

162

ГЕОИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЗАДАЧАХЭТНОНАРКОЛОГИИ

Г. Ф. Колотилин, И. П. Логинов (ДВГМУ, Хабаровск),П. Я. Гонтмахер (ДВГГУ, Хабаровск),

В. В. Шамов (ИВЭП ДВО РАН, Хабаровск),Н. Э. Посвалюк, С. З. Савин, Н. В. Стехов, А. А. Тартачный


Наркотики имеют ярко выраженные деструктивные последствия какдля отдельной личности, так и для целых этносов. Архаичная психоло-гия аборигена соединяла его с естественной природной средой, где спон-танно человек создавал уникальную этнокультуральную среду, в кото-рой он следовал законам развития биосферного и социально-природногопорядка. Технологизация трудовой деятельности и наркотизация обы-денной жизни архаичных народов в корне меняют психологию человека.С позиций психологической антропологии этнопсихиатрия и этнонар-кология изучается интегративно как многомерное пространство при-знаков. Основа нарколого-психиатрических симптомов кроется в трехглавных причинах: социальной, психологической и индивидуально-био-логической. В рамках работ по гранту РГНФ 07-06-12126в «ГИС визучении эпидемиологии социально значимых заболеваний» разрабо-таны принципы создания геоинформационной системы для исследова-ния динамики распространения наркотиков в городах и промышлен-ных поселках Хабаровском крае на основе социологических, медико-биологических, криминологических, информационных и наркоэпидемио-логических методов. Собраны пространственные данные по этнокуль-туральной характеристике группового употребления психоактивных ве-ществ (ПАВ), ретроспективной исторической оценке процессов приоб-щения к потреблению ПАВ в популяции коренных народностей края.С помощью ГИС-технологий и методов математической статистики вы-полнена оценка социально-экономических потерь вследствие наркотиза-ции групп населения и прогноз медико-социальных исходов злоупотреб-ления ПАВ среди аборигенов. Разработаны историко-этнографическиеи медико-социальные электронные карты наркотизации населения Ха-баровского края для задач мониторинга и анализа социально-экономи-ческих потерь вследствие наркотизации. Тематические слои ГИС со-держат также криминологические характеристики групповых потреби-телей ПАВ, что позволяет осуществлять системный анализ правовыхаспектов распространения наркотиков и их аналогов, оценку социально-экономических потерь вследствие группового вовлечения несовершен-

163

нолетних лиц в незаконный оборот наркотиков организованными пре-ступными группировками и социально-правовых мер контроля нарко-логической ситуации. На основе электронного картографического моде-лирования этнокультуральных параметров наркотизации коренных на-родностей Приамурья разработаны новые методы профилактики, пси-хокоррекции и реабилитации потребителей ПАВ в местах компактногопроживания представителей коренных народностей Дальнего Востока.

МНОГОУРОВНЕВОЕ СИНТАКСИЧЕСКИУПРАВЛЯЕМОЕ РЕДАКТИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ

Д. А. Крылов (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

При формировании программ, спецификаций, баз знаний и баз дан-ных возникает задача редактирования информации под управлениемметаинформации. Если редактируемая информация, в свою очередь мо-жет использоваться как метаинформация, то возникает задача много-уровневого редактирования. В качестве метаинформации в первой зада-че можно взять грамматику в расширенной форме Бэкуса-Наура. Припорождении по такой грамматике может формироваться две взаимо-связанные структуры — текст и дерево разбора. Дерево разбора можетиспользоваться для дальнейшей обработки информации, а текст — дляконтроля правильности действий пользователя. При порождении поль-зователь должен выбирать нужные альтернативы и задавать все лексе-мы. Этот механизм может быть дополнен механизмом грамматическо-го копирования, при котором значения нетерминальных символов мо-гут прямо или с синтаксически правильными модификациями копиро-ваться из других частей текста при контроле синтаксической правиль-ности результата. Редактирование также основано на грамматическойструктуре текста и контроле синтаксической правильности результата.Поддержка контекстных условий требует расширения грамматики до-полнительными средствами. Это различные формы циклов по деревуразбора, движение по нему к предкам и потомкам, поиск в нем вершин,удовлетворяющих заданным условиям, формирование списков лексем,выбор из этих списков элементов и подсписков, задание условных аль-тернатив и т.п. Задача многоуровневого порождения в общем случаеможет быть сведена к задаче порождения одного текста (и его дереваразбора) с использованием информации из других, уже порожденныхтекстов (и их деревьев разбора). Для этого основная грамматика долж-на быть расширена средствами перехода из нее в другие грамматики,

164

в терминах которой указывается информация из соответствующих имтекстов, используемая при порождении основного текста. Работа вы-полнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 06-07-89071-а «Ис-следование возможностей коллективного управления в семантическомвебе информационными ресурсами различных уровней общности».

О ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМА ДЛЯМОДЕЛИРОВАНИЯ ДВУМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

ТЕЧЕНИЙ ГАЗА ЧЕРЕЗ ПОРИСТЫЕТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Н. А. Луценко, Д. И. Харитонов, Д. С. Шиян(ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

В [1] предложен численный метод для исследования плоских (дву-мерных) нестационарных течений газа через пористые тепловыделяю-щие элементы, основанный на комбинации явных и неявных конечно-разностных схем. В данном методе присутствует ограничение на шаг повремени, а так как исследуемый процесс может быть достаточно дли-тельным (время установление стационарности либо разрушения пори-стого объекта может быть много более часа), то при измельчении рас-четной сетки время вычисления становится значительным. Для преодо-ления указанной трудности необходимо распараллеливание алгоритмаи организация вычислений на многопроцессорных компьютерах.

В настоящей работе рассмотрен процесс распараллеливания алго-ритма для моделирования плоских нестационарных течений газа че-рез пористые элементы с источниками тепла. Использование объектно-ориентированного подхода при модификации представленной програм-мы позволило распараллелить ее без внесения существенных измененийв код. На примере рассматриваемой программы показана важность при-менения индивидуального подхода к распараллеливанию алгоритмов.Также показано, что некоторые этапы процесса распараллеливания воз-можно автоматизировать.

Полученная параллельная программа использовалась на многопро-цессорной вычислительной платформе с применением интерфейса MPI.Моделирование нестационарных течений газа через пористые тепловы-деляющие элементы на многопроцессорных компьютерах позволило ис-следовать режимы охлаждения пористых объектов достаточно сложнойформы.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской

165

Федерации МК-6493.2006.1, гранта РФФИ-ДВО РАН 06-01-96020-р_восток_а, проектов ДВО РАН 06-III-В-03-079 и 06-I-П14-052.

[1] Левин В.А., Луценко Н.А. Численное моделирование двумерных не-стационарных течений газа через пористые тепловыделяющие элемен-ты // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. 6. C. 44-58.

МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ПОДСИСТЕМЫ ПРОВЕРКИКОНТЕКСТНЫХ УСЛОВИЙ В СИСТЕМЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОГРАМММ. С. Маевский (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

В работе [1] для целей решения образовательных, научных и практи-ческих задач в области преобразования программ, предлагается специа-лизированный банк знаний по преобразованиям программ (СБкЗ ПП).СБкЗ ПП представляется хранилищем информации и программ для ис-следования процесса преобразования компьютерных программ. Банкзнаний предоставляет пользователю возможность влиять на процесспреобразования программ, создавая и изменяя оптимизирующие пре-образования и порядок их применения, в рамках фиксированных онто-логий знаний о преобразованиях программ [2].

Подсистема проверки контекстных условий и поиска участков эконо-мии (далее подсистема) являясь частью СБкЗ ПП, производит разборформулы контекстного условия (КУ) и выполняет поиск участков эко-номии, согласно условию. Подсистема реализована в виде набора блокови состоит из Интерпретатора формулы контекстного условия и блокаПоиска участков экономии. Исходные данные заносятся с помощью Ре-дактора оптимизирующих преобразований и Редактора программ наязыке высокого уровня в соответствующие базы знаний. Взаимодей-ствие подсистемы с редакторами и другими подсистемами СБкЗ ПП, атакже источниками данных обеспечивается Подсистемой управления.

Формула КУ, разобранная Интерпретатором представляется в видедерева. Далее блок Поиска ищет такие фрагменты модели структур-ной программы (МСП) [2], при которых КУ стало бы истинным. Приразработке блока интерпретации КУ использовался СПТ ANTLR [3].Алгоритм поиска основан на шаблоне «Посетитель». Вся подсистемареализована на языке Java 1.6.

Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН, проект«Интернет - система управления информацией о преобразованиях про-грамм».

166

[1] Клещев А.С., Князева М.А. Управление информацией о преобразова-ниях программ. I. Анализ проблем и пути их решения на основе методовискусственного интеллекта // Изв. РАН. ТиСУ. 2005. 5.

[2] Князева М.А., Купневич О.А. Модель онтологии предметной области«Оптимизация последовательных программ». Определение языка моделиструктурных программ. // НТИ. Сер. 2.-2005.-2.-С. 17-21.

[3] www.antlr.org

ИСПЫТАНИЯ И СОПРОВОЖДЕНИЕ СИСТЕМЫУПРАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫМИ РЕСУРСАМИ

Н. Ю. Никифорова (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Интернет-система управления информационными ресурсами (Мно-гоцелевой банк знаний) предназначена для поддержки жизненного цик-ла совместимых систем обработки информации и, по мере развития пол-ного цикла обработки информации в конкретных научных исследова-ниях, конкретной образовательной или практической деятельности.

С точки зрения испытаний в структуре системы управления ин-формационными ресурсами условно выделено три вида существующихи планируемых компонентов или испытываемых/проверяемых элемен-тов — основообразующие, развиваемые и структурные. К основообра-зующим компонентам относится собственно программное обеспечениесистемы управления информационными ресурсами - оболочка инфор-мационного наполнения, административная и информационная систе-мы. Развиваемые компоненты — это элементы информационного и про-граммного наполнения — теории (онтологии), прикладные программы,агенты и методы. Структурные компоненты системы управления ин-формационными ресурсами — специализированные банки знаний, биб-лиотеки агентов, библиотеки методов.

Добавление новых развиваемых и структурных компонентов требуетпроведения предварительного их испытания и оценивания, в том числена правильность взаимодействия с существующим программным обес-печением и наполнением. Также как и модифицирование основообра-зующих компонентов недопустимо без проведения испытания модифи-цированных функций и взаимодействия с существующим наполнени-ем. Таким образом, главной особенностью жизненного цикла системыуправления информационными ресурсами с точки зрения испытанийявляется планируемая непрерывность и практически бесконечность ееразвития и использования.

167

В процессе испытаний основообразующих компонентов и программ-ного наполнения используются традиционно применяемые при испыта-ниях и подтверждении программного обеспечения методы структурно-го и функционального тестирования отдельных программных компо-нентов системы. Для испытаний структурных компонентов и работысистемы управления информационными ресурсами в целом применя-ются методы системного тестирования. Подтверждение правильностионтологий осуществляется путем проведения экспертного оцениваниясинтаксической и семантической правильности онтологий.

Работа выполняется при финансовой поддержке РФФИ, проект 06-07-89071, «Исследование возможностей коллективного управления в се-мантическом вебе информационными ресурсами различных уровней общ-ности».

МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯСПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО БАНКА ЗАННИЙ О

ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ПРОГРАММС. А. Плохих (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Специализированный банк знаний по преобразованиям программ(СБкЗ ПП) представляется хранилищем информации и программ дляисследования процесса преобразования компьютерных программ [1]. Банкзнаний содержит тестовые примеры программ на языке высокого уров-ня (ЯВУ), оптимизирующие преобразования (ОП), редакторы для вво-да новых программ и редактирования ОП, преобразователь, для приме-нения ОП к программе и генератор, для генерации низкоуровнего кодапреобразованной программы. СБкЗ ПП ориентирован на фиксирован-ные онтологии знаний о преобразованиях программ и модель структур-ной программы (МСП) [2]. Модель представленная в докладе формаль-но описывает систему управления СБкЗ ПП.

Формально модель СУ СБкЗ ПП представляется тройкой: СУ =<СБкЗ, УМ, А>, где СБкЗ — Банк знаний содержащий знания и функ-циональные модули о преобразованиях программ; УМ — управляющиймодуль который организует процесс работы в среде СБкЗ ПП; A = Ai,i = 1, . . . , n — набор функциональных модулей для текущей версии СУ.

Более подробно о каждом компоненте СУ: Компонент СБкЗ опреде-ляется как СБкЗ= <ПН, ИН>, где ПН — Набор сервисов для работы сИН реализованных через оболочку ИРУО [3] в МБкЗ; ИН — Онтологиии знания о преобразовании программ.

168

Компонент управляющий модуль УМ определяется тройкой УМ =<Р, ТН, И>, где P = Pj , j = 1, . . . , k — режимы работы СУ, которыеможно показать, как взаимодействие набора модулей [A1, . . . , Ak] черезправила взаимодействия Pk. ТН — текущая настройка. Описываемыйэлемент представляет собой настройку для модели оптимизирующегокомпилятора; И — процедуры интерфейса взаимодействия с визуальнойкомпонентой пользователя.

Компонент А — список функциональных модулей в текущей версииСУ. Каждый модуль характеризуется следующими параметрами: ВхД— входные данные; ВыхД — выходные данные; ДопД — дополнительныеданные (данные использующиеся только для работы текущего блока итребующие отдельной теории в СБкЗ ПП).

Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН, проект«Интернет — система управления информацией о преобразованиях про-грамм».

[1] Клещев А.С., Князева М.А. Управление информацией о преобразова-ниях программ. I. Анализ проблем и пути их решения на основе методовискусственного интеллекта // Изв. РАН. ТиСУ. 2005. 5.

[2] Князева М.А., Купневич О.А. Модель онтологии предметной области«Оптимизация последовательных программ». Определение языка моделиструктурных программ. // НТИ. Сер. 2.-2005.-2.-С. 17-21.

[3] Орлов В.А., Клещев А.С. Компьютерные банки знаний. Многоцелевойбанк знаний // Информационные технологии. 2006. 2.

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОФАКТОРНЫХМЕДИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙСРЕДСТВАМИ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

АККУМУЛИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ НАПРИМЕРЕ ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО РЕГИСТРАПАЦИЕНТОВ С РАССЕЯННЫМ СКЛЕРОЗОМ

Н. Э. Посвалюк, С. З. Савин (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск),А. А. Тартачный (ТОГУ, Хабаровск)

Целью данного проектирования является совершенствование техно-логии учета и обработки медико-статистической информации на моде-ли базы данных (БД) о больных рассеянным склерозом (РС). Работа синформацией, предоставляемой различными сторонними организация-ми, должна быть автоматизирована. Временные затраты на обработкуБД должны быть сведены к возможному минимуму. В итоге должна

169

быть налажена информационная система, эффективно выполняющаязапросы специалистов и обработку информации. Типовыми задачамиреализуемой базы данных (БД) является сбор, хранение, оперативныйпоиск и аналитическая обработка информации (в нашем случае — ин-формация разных форматов о больных рассеянным склерозом). Обра-ботка информации заключается, как правило, в составлении обзоров,отчетов, выявлении закономерностей и взаимосвязей между различны-ми явлениями и факторами окружающей среды и организма. Основойдля создания такой системы стали учетно-контрольные данные о боль-ных РС. Обновление и пополнение данных производится на основе по-ступающей информации от территориальных представителей — орга-низаций медико-социального профиля, обществ рассеянного склероза,предоставляющих информацию о своих пациентах, имеющих указанноезаболевание. Процесс обновления БД реализуется поэтапно: 1) Обнов-ление информации (удаление, изменение и добавление) на местах. Приэтом важную роль играет разрабатываемый в рамках надежности БДпринцип журнализации изменений БД, с указанием времени измененийи уникального номера пользователя; 2) Отправка изменений на главныйсервер и проверка поступившей информации на достоверность и непро-тиворечивость с исходными данными; 3) Внесение соответствующих из-менений в БД сервера и передача обновлений остальным удаленнымпользователям.

Многие аналитические задачи связаны с просмотром и анализомбольшого количества разнообразных документов. Помощь исследовате-лю реализована в автоматическом выделении значимых объектов, при-знаков, установления связей, компоновки информации с ее представле-нием в наиболее удобном для пользователя виде. Работа с БД требу-ет специальных навыков, обучения. Квалифицированный специалист,принимающий решения, часто плохо представляет себе работу с база-ми данных. Ему трудно изучать многочисленные окна, меню, формы.С этой целью разработана блочная система организации интеллекту-ального интерфейса (отображение «родственной» информации о паци-ентах в отдельных блоках), максимально приближенного к специали-сту, принимающему решения. С этой целью разрабатывается комплексмакросов, которые служат для автоматизации выполнения часто по-вторяющейся операции. Он создается в результате выбора из спискавозможных действий (макрокоманд), которые выполняются последова-тельно или в заданном порядке. Например, нажав кнопки, можно за-пустить макрос, который откроет, распечатает и закроет отчет. Поиск

170

данных может осуществляться как непосредственно в таблицах, так ис помощью специального объекта запросы. Первый вариант позволя-ет осуществить поиск и отбор данных в соответствии с относительнопростыми условиями поиска, второй является более развитым инстру-ментом и позволяет осуществлять поиск по разнообразным сложнымкритериям.

При необходимости полученная информация подвергается анализус целью выявления каких-либо закономерностей. Сама БД дает отно-сительно ограниченный инструментарий к решению подобных задач.Однако, формирование запросов для выделения интересующих специ-алистов данных в отдельные (независимые) блоки восполняют данныйнедостаток. БД содержит обширный блок конфиденциальной инфор-мации о больных (ФИО, адреса и т.д.), в связи с этим решается во-прос о ее сохранении. Установлен пароль БД, ввод этого пароля тре-буется от каждого пользователя, открывающего базу данных. Однакопосле открытия БД других средств безопасности при этом не имеет-ся, если дополнительно не определена защита на уровне пользователей.Microsoft Access хранит пароль БД в незашифрованном виде и это на-рушает безопасность защищаемой паролем БД, поэтому для наилучшейзащиты БД, наряду с использованием пароля на БД, определена защитана уровне пользователей и групп, которая помогает управлять досту-пом к важной информации в базе данных. Когда для рабочей группыопределена защита на уровне пользователей, становится возможным ис-пользование паролей учетных записей. Пароль учетной записи пользо-вателя запрещает несанкционированным пользователям регистрацию сиспользованием другой учетной записи. На начальном этапе проектиро-вания базы данных были определены три группы пользователей: Admin(группа системных администраторов, имеющих полные разрешения налюбые действия в базе данных), User (группа наделена правами чтенияданных, внесение дополнений, запуск/открытие форм, отчетов и макро-сов), Guest (только чтение данных). Однако, в ряде случаев существу-ет возможность чтения базы в текстовом редакторе строковые данныехранятся в Access в виде обычных строк). Чтобы избежать чтения ба-зы как текста, было осуществлено шифрование (встроенная процедураMicrosoft Access). Шифрование БД целесообразно использовать тольковместе с паролем.

171

МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГОБАНКА ЗНАНИЙ ПО ОРГАНИЧЕСКОЙ ХИМИИН. В. Рештаненко (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Специализированный комьютерный банк знаний по органическойхимии (СКБЗ ОХ) состоит из следующих подсистем: административнаясистема банка, система поддержки работы сопровождающего програм-миста и пользовательская часть СБКЗ ОЗ. Функции административнойсистемы СКБЗ ОХ выполняет административная система многоцелево-го банка знаний, разработанного в ИАПУ ДВО РАН. Поддержка рабо-ты сопровождающего программиста выполняется средствами СУБД.

Пользовательская часть СКБЗ ОХ состоит из двух частей: сервер-ной и клиентской. Серверная часть содержит информационное напол-нение (ИН), редакторы ИН, решатели прикладных задач и библиотекуметодов решения задач. Клиентская часть содержит интерфейсы ре-дакторов ИН и решателей задач.

Развитие онтологий и баз знаний органической химии обеспечивает-ся наличием трехуровневого редактора метаонтологий разделов пред-метной области, онтологий разделов и модулей знаний. Создание и ре-дактирование метаонтологии раздела управляется метаонтологией хи-мии. Редактор метаонтологии раздела автоматически формирует не-которые термины создаваемой метаонтологии и предоставляет пользо-вателю возможность их редактирования. Такая схема редактированияобеспечивает создание метаонтологии раздела, для которой выполненыонтологические соглашения, задаваемые метаонтологией химии.

С помощью редактора онтологии пользователь может добавлять но-вый модуль онтологии раздела. С помощью редактора знаний он можетвносить информацию о значениях терминов этого модуля. Если требу-ется внесение информации о структурных формулах, то используетсяспециализированный графический редактор (компонент редактора зна-ний, который позволяет вносить эту информацию в привычном поль-зователю графическом виде). Вызов графического редактора управля-ется онтологией. Введенная пользователем информация о структурнойформуле автоматически преобразуется в структурное описание в соот-ветствии с описанием этой структуры в модели онтологии.

Схема базы данных для представления знаний автоматически опре-деляется на основе задания терминов и связей между ними в онтологии.Если термин в модели онтологии определен как множество, то он пред-ставлен в виде таблицы, содержащей два поля: код каждого элементамножества (ключевое поле) и значение элемента множества. Если тер-

172

мин определен как функция, то ему соответствует таблица, число полейкоторой на единицу (кодовое ключевое поле) больше суммы числа ар-гументов функции и числа элементов в представлении результата (еслирезультат есть элемент декартова произведения, то каждому элементуэтого произведения соответствует свое поле). Если термин определенкак предикат, то он рассматривается как функция, возвращающая ло-гическое значение. Типы значений в каждом поле определяются огра-ничениями на значения, задаваемыми модулем онтологии. Если какое-либо из значений поля является значением из множества, обозначенно-го каким-либо из терминов онтологии, то автоматически формируетсясвязь между таблицами.

Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН, проект 06-III-А-01-005.

МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО ПРОЦЕССАТ. В. Рябцев (ДВГУ, Владивосток)

МУП содержит описание управленческих мероприятий для обеспе-чения эффективного выполнения «ненадежными элементами» заплани-рованной деятельности.

Цель разработки модели: формализация алгоритма оценки эффек-тивности деятельности на всех этапах по заданным критериям, фор-мализация необходимых мероприятий по достижению показателей эф-фективности, а также формализация применения приемов защиты отблокирующих воздействий — характеристик «ненадежного элемента» испособов мотивации.

В рамках решения задачи «управления ненадежными элементами»нас интересует проблема разработки процедур управления людьми прирешении профессиональных задач. К числу наиболее эффективных про-цедур управления, которые можно применить в рамках решения нашейзадачи можно отнести следующие:1.Способ управления на основе требований должностных инструкций2.Способ управления на основе поощрительных и штрафных санкций3.Способ управления, в котором учитываются интересы и психологиче-ские особенности личности.4.Способ управления, при котором учитывается личное участие работ-ника в принятии решений5.Способ управления, при котором учитывается личное участие работ-ника в принятии решений.

173

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ ВИРТУАЛИЗАЦИИ XEN НАВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ КЛАСТЕРЕ ВЦ ДВО РАНА. Ю. Сапронов, А. Г. Тарасов, Т. С. Шаповалов


В рамках работ по внедрению современных технологий на учебномкластере ВЦ ДВО РАН были проведены исследования по работе с си-стемой виртуализации XEN [1]. Целью исследования было тестированиемеханизма виртуализации для определения средних показателей потерьпроизводительности как при миграции задач, так и в штатном режиме(без миграции задач).

Системы виртуализации позволяют запускать несколько копий опе-рационных систем на одной машине. Отличия системы виртуализацииXEN от «обычных» виртуальных машин состоят в следующем:

• код исполняется на реальном центральном процессоре, а не на эму-лируемом

• системные вызовы гостевой ОС обслуживаются хостовой опера-ционной системой.

К достоинствам XEN относятся возможность приостановки выпол-нения задач, создания резервных копий (т.н. checkpoint), миграции функ-ционирующей копии операционной системы с одного узла вычислитель-ной сети на другой без значительной по времени приостановки процесса,дополнительной защиты от умышленных и неумышленных вредонос-ных действий пользователей вычислительного кластера.

Для тестирования системы был создан отдельный логический кла-стер в составе кластера ВЦ ДВО РАН [2], по пакету программ идентич-ный основному кластеру. Отличие являлось модифицированное стан-дартное ядро Linux, с установленной поддержкой XEN. Во время тести-рования имитировался процесс оптимизации выполнения вычислитель-ной задачи. Оптимизация заключалась в миграции выполняющейся ко-пии операционной системы с запущенными вычислительными задачами(тест Linpack) с одного из узлов (с меньшим числом ресурсов согласномодели) на другой (обладающий большими свободными ресурсами намомент миграции).

Ниже приведены результаты тестовых испытаний:

174

число миграций в час 12 6 3 2 0производительность,ГФЛОПС

8.83 9.73 10.57 10.68 11

Относительные потерипроизводительности, %

19.72 11.55 3.9 2.9 −

Таким образом без использования возможностей виртуализации XEN- накладные расходы минимальны и результаты практически идентич-ны аналогичным результатам тестирования, приведҷнным в [2]. К не-достаткам следует отнести большие требования к оперативной памяти.При использовании сравнительно небольшого числа миграций, потерипроизводительности для задач незначительны. Использование же зна-чительного числа миграций является неоправданным и сильно влияетна производительность вычислительного кластера.

[1] XEN // http://www.xensource.com/products/xen/

[2] Пересветов В.В., Сапронов А.Ю., Тарасов А.Г. Вычислительныйкластер бездисковых рабочих станций. Препринт 83. Хабаровск: Вы-числительный центр ДВО РАН, 2005. - 50с.

ГРИД-ТЕХНОЛОГИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯС. И. Смагин (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

Рассматриваются базовые вопросы создания и развития распреде-ленных информационных и вычислительных систем на основе техно-логий ГРИД — глобальной интеграции распределенных информацион-ных и вычислительных ресурсов. Дан обзор современного состоянияработ по применению ГРИД-технологий в различных областях науки итехники. Изложены результаты и перспективы работ по созданию рас-пределенной информационно-вычислительной среды с использованиемтехнологий ГРИД в рамках целевой программы «Информационные ителекоммуникационные ресурсы ДВО РАН».

175

ОПЫТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНСТРУМЕНТАЛЬНОГОСРЕДСТВА ONTO DEV ПРИ РАЗРАБОТКЕ

ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИХ ИНТЕРФЕЙСОВ НА ОСНОВЕОНТОЛОГИЙ

А. В. Тарасов (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Особенности проектирования и реализации пользовательского ин-терфейса привели к появлению специализированных средств их разра-ботки. Основными требованиями к таким средствам являются: обеспе-чение инструментальной поддержки проектирования и автоматическойгенерации кода всех компонентов интерфейса; раздельная разработка имодификация интерфейса и прикладной программы; расширяемость иповторная используемость компонентов интерфейса. Современный ин-струментарий для разработки интерфейса (Построители интерфейса иМоделеориентированные средства) не отвечает указанным требовани-ям в полной мере [1]. Для создания инструментария, удовлетворяю-щего перечисленным требованиям, предложен новый, онтологическийподход к разработке пользовательского интерфейса [2]. Основная идеяподхода - разработать модели онтологий, в терминах которых будетосуществляться проектирование интерфейса; разработка модели интер-фейса осуществляется с помощью структурных и графических редак-торов на основе моделей онтологий; разработать обобщенный алгоритмгенерации программного кода интерфейса на основе его модели. Ин-струментальное средство Onto Dev было использовано при разработкеСистемы интеллектуальной поддержки обследования больных для вра-ча уролога. Основное назначение системы состоит в обеспечении интел-лектуальной поддержки врача-уролога при формировании и веденииисторий болезни. Каждая история болезни формируется на основе мо-дели предметной области (базы наблюдений) в области урологии, опи-санной в [3, 4, 5]. База наблюдений содержит более 700 терминов и около3000 вариантов значений. Применение Onto Dev для разработки поль-зовательского интерфейса системы позволило значительно сократитьтрудоемкость разработки и упростить сопровождение интерфейса си-стемы. Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН, грант«Проектирование, разработка и развитие банка медицинских знаний всети интернет».

[1] Puerta A. Issues in Automatic Generation of User Interfaces in Model-BasedSystems. Computer-Aided Design of User Interfaces, ed. by Jean Vanderdonckt//Presses Universitaires de Namur, Namur, Belgium, 1996.-P. 323-325.

176

[2] В.В. Грибова, А.С. Клещев Концепция разработки пользовательскогоинтерфейса на основе онтологий Вестник ДВО РАН. 6.2005.-с.123-128

[3] М.Ю. Черняховская, Ю.В. Кулаков, А.И. Ицкович, Г.И. Быкова,А.Я. Осин История болезни для студентов педиатрического факультета.Препринт. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2000. 28с.

[4] Нагорный Д.В., Черняховская М.Ю. База знаний системы интеллек-туальной поддержки обследования больных для врача уролога. Препринт.Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2002. Ч. 1. 64с.

[5] Нагорный Д.В., Черняховская М.Ю. База знаний системы интеллек-туальной поддержки обследования больных для врача уролога. Препринт.Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2002. Ч. 2. 46с.

МОДЕЛЬ БЛОКИРУЮЩИХ MPI ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ВТЕРМИНАХ СЕТЕЙ ПЕТРИ

Г. В. Тарасов (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Основным подходом организации взаимодействия процессов в па-раллельной программе на вычислительных машинах с распределеннойархитектурой памяти является передача сообщений. Стандартом про-граммирования в этой области является MPI (Message Passing Interface),разработанный группой исследовательских коллективов и ведущих ком-паний в сфере высокопроизводительных вычислений. Стандарт MPI ре-гламентирует правила взаимодействия процессов, специфицирует заго-ловки функций для использования в прикладных программах, описы-вает возможные методы профилирования конечных программ. Однако,такой немаловажный раздел как отладка MPI-программ оставлен запределами стандарта и полностью определяется его реализацией.

Наибольшее распространение получили две реализации стандарта:LAM и MPICH. Основу отладки параллельных MPI-программ, разрабо-танных на базе этих библиотек, составляют средства сбора трассировоч-ной информации о выполнении MPI-функций. Полученная информацияпозволяет сгенерировать для разработчика различные формы представ-ления логики взаимодействия процессов (временные диаграммы, мат-рицы и графы передачи сообщений и т.п.). Визуальные средства суще-ственно облегчают процесс отладки параллельных MPI-программ, хотяих использование имеет ряд ограничений. Наиболее серьезным ограни-чением является тот факт, что все параллельные программы облада-ют недетерминированным характером исполнения. В результате разра-ботчик может не получить достоверной картины работы параллельной

177

программы и не сможет принять правильных решений для отысканияпричин ошибок. Альтернативным подходом отладки параллельных про-грамм служит подход, основанный на применении формальных средствмоделирования для описания поведения процессов программы и средыих взаимодействия.

В данной работе автор использует теорию сетей Петри для постро-ения модели реализации блокирующих MPI-функций, семантика кото-рых описана стандартом. Модель учитывает следующие режимы пере-дачи сообщений: стандартный (standard), синхронный (synchronous), сиспользованием буфера (buffered) и «по готовности» (ready). Учиты-вается локальный и нелокальный характер завершения вызовов. Дляпостроении модели применялся традиционный подход, принятый в тер-минологии сетей Петри. Связь мест и переходов отражает связь состо-яний и событий, взаимное наступление которых описывает передачусообщений от одного процесса другому.

Модельное представление позволяет не только наглядно предста-вить логику выполнения передачи сообщений, но и обеспечивает про-верку правильности взаимодействия процессов параллельной програм-мы. Корректность передачи сообщений может быть проверена на моде-ли, полученной в результате композиции модели MPI-функций и моде-лей взаимодействующих процессов.

Работа выполнена в рамках проекта программы Президиума РАН14 (раздел 2).

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕПРОТОТИПА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

ПРОДУКЦИЙМ. Б. Тютюнник (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

В работах [1] и [2] даны описания схем распараллеливания вычис-лений для системы конфлюэнтных продукций с использованием мно-жества активных правил. На их основе был построен прототип систе-мы продукций и проведены экспериментальные исследования, которыепоказали возможность распараллеливания вычислений. Однако такоераспараллеливание, несмотря на то, что дает более эффективный спо-соб вычислений по сравнению с однопроцессорной ЭВМ, не учитыва-ет все возможности улучшения времени работы системы продукций. Вработе [3] описаны схемы распараллеливания вычислений для правилодного модуля логической программы. В последних схемах для органи-зации параллельных вычислений используется информационный граф.

178

Во всех вышеперечисленных работах содержится также описание ре-зультатов исследований рассмотренных схем. Если пользователь описы-вает сложные задачи, то он может использовать разбиение программысовокупности модулей, что требует использования других схем управ-ления вычислениями, в которых бы учитывалось наличие множествамодулей. Традиционно каждый из модулей описывает правила реше-ния некоторой подзадачи.

Для реальных предметных областей большим является либо числоправил, либо объем обрабатываемых правилами данных. И то, и другоеприводит к уменьшению скорости вычислений. Использование инфор-мационного графа программы позволяет эффективно распараллелитьпроцесс логического вывода. Свойствами информационного графа яв-ляются количество его вершин, количество ветвей графа, которые мож-но обрабатывать в параллельном режиме и т.д. Для выбора той илииной схемы распараллеливания процесса логического вывода необходи-мо знать не только свойства графа, но и архитектурные и системныеограничения, налагаемые вычислительной средой. В докладе описы- ва-ется серия экспериментов, в которых исследуются зависимости временивычислений правил от структуры программ и условий применения тойили иной схемы распараллеливания.

Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН в рамкахпрограммы 14 Президиума РАН, проект 06-I-П14-052.

[1] Артемьева И.Л., Тютюнник М.Б. Схемы распараллеливания вычис-лений для системы конфлюэнтных продукций // Информатика и системыуправления. - 2005. - 2(8). - C. 102-112.

[2] Артемьева И.Л., Тютюнник М.Б.Методы распараллеливания вычис-лений для системы параллельного программирования на основе деклара-тивных продукций // Тр. II междунар. конф. «Параллельные вычисленияи задачи управления». М.: ИПУ РАН, 2004. - С. 727-737.

[3] Тютюнник М.Б. Использование информационного графа при распарал-леливании вычислений для системы конфлюэнтных продукций. // Ин-форматика и системы управления. - 2006. - 1(11). - C. 181-192.

СПЕЦИФИКАЦИЯ В ТЕРМИНАХ СЕТЕЙ ПЕТРИПРОТОКОЛА С++ КЛАССА

Д. И. Харитонов (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Проверка корректности программ — это сложная, многоплановаяматематическая задача, не имеющая в общем случае алгоритмическо-

179

го решения. Методы и средства проверки корректности программ раз-рабатываются на протяжении многих десятилетий и уже существуютсредства верификации более или менее сложных программ [3]. Однаков последние годы стало очевидным, что технологический процесс про-граммирования нуждается в новых методах и инструментальных сред-ствах проверки корректности программ, упрощающих традиционныйтехнологический процесс верификации.

Одним из перспективных подходов к разработке новых методов ве-рификации программ является применение формальной теории сетейПетри [1], которая, во-первых, уже доказала на практике свою состо-ятельность в области разработки коммуникационных протоколов [2].А во вторых, некорректности программ имеют прямую интерпретациюв сетях Петри: ошибки, приводящие к бесконечному ожиданию — этодедлоки или тупики; зацикливание программы — это отсутсвие живо-сти переходов; а аварийная остановка — это недостижимость конечногосостояния или достижимость аварийных состояний.

В настоящем докладе предлагается обобщить схему описания и ана-лиза протоколов в терминах сетей Петри для разработки и анализаобъектно-ориентированных программ. При этом в качестве аналога вза-имодействующих сторон протоколов использовать экземпляры классов,взаимодействующие посредством вызова функций и обращения к пере-менным членам классов, а в качестве протоколов — правила вызововфункций и обращения к переменным, которые в настоящее время су-ществуют в виде неформальных описаний классов, сделанных разра-ботчиками.

Применение сетей Петри при формализации описаний протоколовкласса позволяет использовать эти описания для раздельного анализакорректности реализации класса и проверки корректности обращений кклассу методами, наработанными в области теории протоколов. Тем са-мым проблема верификации программ разделяется во времени по мереразработки классов и их использования в программе.

[1] Анисимов Н.А.,Голенков Е.А., Харитонов Д.И. Композициональ-ный подход к разработке параллельных и распределенных систем на ос-нове сетей Петри. «Программирование» 6, 2001, с. 30–43.

[2] Бандман О.Л. Проверка корректности сетевых протоколов с помощьюсетей Петри. // Автоматика и вычислительная техника, 1986, 6, с. 82–91.

[3] Непомнящий В.А., Ануреев И.С., Михайлов И.Н., Промский А.В.На пути к верификации С-программ. Язык C-light. // Тезисы докладов.

180

Конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Алексея Андре-евича Ляпунова. Новосибирск. 2001 г.

БАЗА НАБЛЮДЕНИЙ В УРОЛОГИИМ. Ю. Черняховская (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

База наблюдения в области урологии была разработана на основе он-тологии наблюдений. Все элементы базы наблюдений делятся на четырекласса: группы наблюдений, наблюдения, характеристики, значения.Группы наблюдений — объединение (группа) ряда концептуально

связанных наблюдений. Группы наблюдений это всегда верхний эле-мент в иерархии, за которым следует либо группа наблюдений, либонаблюдение. Группа наблюдений «жалобы» состоит из наблюдений: бо-ли, кровь в моче, мутная моча, изменения мочи количественные, от-хождение камней, расстройства мочеиспускания, выделения из уретрыи т.п.Наблюдения — это такие элементы в иерархии, которые традици-

онно определены в качестве понятий в медицине. Наблюдения могутбыть простыми или составными. Элементами структуры составных на-блюдений являются характеристики. Примерами простых наблюденийявляются общее состояние. Примерами составных наблюдений являют-ся: боль, изменения мочи качественные, анализ крови, УЗИ почек и т.п.Характеристика является элементом структуры составных наблю-

дений, характеризующих его с различных точек зрения. Например, ха-рактеристиками наблюдения боль являются: локализация, характер,иррадиация,...

Характеристики могут быть составными и определятся другими ха-рактеристиками. Например, наблюдение анализ крови имеет характе-ристику — лейкоциты, которая в свою очередь описывается характери-стиками: нейтрофилы, эозинофилы, базофилы, лимфоциты, моноциты.Значения (совокупность значений) характеризуют область значе-

ний простых наблюдений или характеристик. Значения могут быть ка-чественными и количественными (в этом случае областью возможныхзначений является числовой интервал). Например, простое наблюдение— «начало заболевания» (группа наблюдений — история настоящегозаболевания) описывается областью возможных значений — острое, по-степенное; числовое наблюдение — температура тела имеет значения от34 до 42 градусов С.

181

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ДВО «Про-ектирование, разработка и развитие Банка медицинских знаний сетиИнтернет».

ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ GRID-СЕТИДВО РАН

Т. С. Шаповалов, А. Г. Тарасов, С. И. Щерба(ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

В докладе представлено описание вычислительной GRID-сети ДВОРАН. GRID — технология объединения ресурсов разных типов, доступк которым пользователь может получить из любой точки, независимоот места их расположения, посредством сервисов управляющего цен-тра. В целях объединения вычислительных ресурсов ДВО РАН быласоздана вычислительная GRID-сеть. Данная сеть основывается на су-ществующей локальной сети ДВО РАН и объединяет на данный моментдва вычислительных кластера. В качестве инструментария функцио-нирования GRID был выбран, ставший в последнее время стандартомде-факто, пакет Globus Toolkit [1].

Первый вычислительный кластер с пиковой производительностью204 Gflops создан в ВЦ ДВО РАН в 2007 году. Он состоит из 8 уз-лов — одного управляющего сервера и семи бездисковых станций, объ-единенных коммуникационной сетью Gbit Ethernet. Все узлы оснащеныдвумя процессорами Dual Core Intel Xeon 5060 EM64T 3.20 ГГц.

Второй вычислительный кластер с пиковой производительностью 54Gflops представляет собой созданный в ВЦ ДВО РАН в 2004 году кла-стер [2], состоящий изначально из 9 бездисковых узлов с процессорамиPentium-4 3 ГГц объединҷнных коммуникационной сетью Gbit Ethernet.На данный момент кластер функционирует в экспериментальном режи-ме с меньшим числом узлов.

На кластерах установлена операционная система Linux. В качествесистемы диспетчеризации заданий на обеих кластерах используется PBSTORQUE.

Структура GRID-сети на данный момент состоит из трех компо-нент. Первая и она же - главная часть — управляющий сервер, на ко-тором установлен Globus Toolkit 4.0.4. На управляющих узлах обоихвычислительных кластеров функционируют клиентские части GlobusToolkit, которые обеспечивают взаимодействие сервера Globus с систе-мами диспетчеризации заданий. Большое внимание уделено вопросам

182

безопасности передачи данных и процедуре аутентификации между вы-числительными кластерами. Для решения этих вопросов в инструмен-тарии Globus Toolkit применяется механизм аутентификации GSI (GridSecurity Infrastructure) на базе сертификатов X.509. Чтобы получить до-ступ к ресурсам системы (например, запустить задачу), каждый поль-зователь и каждый узел в GRID-сети должен иметь сертификат. Приорганизации GRID был решен ряд вопросов, касающихся автоматиче-ского генерирования сертификатов безопасности: как для существую-щих пользователей вычислительных кластеров ВЦ ДВО РАН так и длявновь зарегистрированных. В рамках этой системы на сервере Globusсоздан центр управления сертификатами, который позволяет создавать,отзывать и подписывать сертификаты для серверов и пользователей.Разработан набор sh-скриптов позволяющий автоматизировать управ-ление сертификатами пользователей. Регистрация новых пользовате-лей GRID-cети осуществляется через веб-интерфейс. После заполненияданных о себе пользователь становиться в очередь на регистрацию и ад-министратор GRID-cети, рассмотрев заявку регистрирует так же черезвеб-интерфейс нового пользователя. В результате чего, помимо получе-ния учетных записей на вычислительных кластерах для пользователягенерируется сертификат, необходимый для доступа к ресурсам GRID-сети.

В рамках проекта по развитию GRID-вычислений в ДВО РАН былсоздан web-сайт поддержки пользователей GRID-сети. На данном сайтерасположены краткие руководства по работе с GRID. Так же на немнаходится форма регистрации новых пользователей GRID-сети.

Основным направлением развития вычислительной GRID-сети яв-ляется ее дальнейшее расширение за счет подключения новых вычис-лительных ресурсов. Так же необходимо отметить следующие направ-ления развития: дальнейшая разработка web-интерфейса пользователяи администратора GRID-сети, автоматическое управление сертифика-тами для вновь подключаемых вычислительных кластеров, развитиекоммуникационной сети между отдельными ресурсами.

[1] Globus Toolkit // http://www.globus.org/toolkit

[2] Пересветов В.В., Сапронов А.Ю., Тарасов А.Г. Вычислительныйкластер бездисковых рабочих станций. Препринт 83. Хабаровск: Вы-числительный центр ДВО РАН, 2005. - 50с.

183

ОБЪЕКТИВНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ИЗБЫТОЧНОСТИ ИПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ОНТОЛОГИЯХ С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАТАЛОГАСТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ

Е. А. Шалфеева (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

Разработчики онтологий и различные их пользователи заинтересо-ваны в том, чтобы онтологии обладали нужными им свойствами, былипригодными для использования. Среди важных свойств — неизбыточ-ность, непротиворечивость свойств сущностей и связей между сущно-стями. Единый подход к определению свойств онтологий и разработан-ный каталог структурных свойств [1], предусматривающий построениеграфовых моделей разных групп по текстам онтологий для их изме-рения, предлагает эффективный подход к анализу таких свойств. (Ра-бота выполняется в рамках программы 16 Президиума РАН, проект«Синтез интеллектуальных систем управления базами знаний и база-ми данных».) Графы из группы стандартных и группы концептуальныхсвязей дают возможность определить и объективно измерить метрикидля определения вышеуказанных свойств. Такой подход значительнооблегчает анализ онтологий большого объема.

Одной из больших по размеру онтологий является онтология «Хи-мические элементы» (авторы: M. Fernandez Lopez и A. Gomez Perez,лаборатория «de Inteligencia Artificial» [http://delicias.dia.fi.upm.es]), на-писанная на языке kif (текст одного модуля занимает более 4000 строк).Для определения избыточности в такого рода онтологиях достаточ-но двух графовых моделей - графа таксономии сущностей и графапредметно-ориентированных связей. Свойства (или метрики) список вер-шин-«отправителей» связи (по графу предметно-ориентированных свя-зей), список вершин-предков сущности (по графу таксономическому) иизбыточность как наличие одной и той же связи с одинаковыми полу-чателями у сущности и ее предка (по объединению этих двух графов)выявляют избыточность атрибутов ряда сущностей, например, сущно-сти Alkalines (атрибут Chemical-Group), и ее представителей, таких какCesium, Lithium и др. Избыточным является их указание для предста-вителей в условиях, когда для самой сущности такой атрибут уже заданс точным значением.

Эти же графы позволяют выявить противоречивость онтологии. Длясущности Alkaline-Terrea установлен атрибут Chemical-Group со значе-нием, равным единице: «(and (Alkaline-Terrea ?Alkaline-Terrea) Hardness?Alkaline-Terrea ?Hardness)) (== ?Hardness 1))», тогда как для ее пред-

184

ставителей Calcium, Magnesium и Strontium этот атрибут получил дру-гие значения (Hardness Calcium 1.5), (Hardness Magnesium 2.0) и (HardnessStrontium 1.8). Аналогично устанавливается «недоопределенность» (сос-тавляющая неполноты) значений этого же атрибута для Francium (по-скольку для сущности Alkalines, представителем которой он является,атрибут задан как диапазон, а для самого Francium не уточнен).

Применение графов из группы стандартных и группы концептуаль-ных связей для анализа онтологий является эффективным способомобъективного измерения таких важных свойств, как противоречивость,избыточность, неполнота.

[1] Кещев А.С., Шалфеева Е.А. Каталог структурных свойств онтологий.Принципы организации каталога. Препринт ИАПУ ДВО РАН, 2007

ВЛИЯНИЕ НЕАЛГОРИТМИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ НАВРЕМЯ РАБОТЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ.

Д. С. Шиян (ИАПУ ДВО РАН, Владивосток)

При распараллеливании последовательных программ важным явля-ется получение эффективного параллельного кода, одним из основныхкритериев которого является время работы полученной параллельнойпрограммы. Причем время работы программы зависит не только отприменяемого алгоритма, но также от ряда неалгоритмических факто-ров, которые составляют пространство оптимизации работы програм-мы. В число неалгоритмических факторов можно отнести физическиефакторы, определяющие условия исполнения параллельной програм-мы (тип и частота процессора, объем оперативной и кэш памяти, быст-родействие коммуникационной среды, количество вычислительных уз-лов), и структурные факторы, к которым относятся особенности орга-низации используемых в программе структур данных и порядок вычис-лений на этих структурах. Широко используемые средства автомати-ческой оптимизации, предоставляемые компиляторами, не затрагива-ют структурные факторы, концентрируясь в основном на оптимизацииопределенных физических факторов, либо на улучшении реализацииалгоритма.

Несмотря на достаточно высокий показатель увеличения эффектив-ности программ, данные средства, по мнению авторов, не позволяютдостичь максимально возможного при данных физических факторахуменьшения времени работы особенно для программ, реализующих вы-числения на регулярных структурах данных. Так, при вычислениях

185

процессор не может обращаться к данным в оперативной памяти на-прямую, а только через кэш-память. Физическая память разбивается настраницы одинакового размера порядка 4Кбайт, часть из которых, при-надлежащая кэш-памяти, является активными. При попытке процессо-ра обратиться к данным, отсутствующим в кэше, происходит аппарат-ная ошибка попадания в кэш, обработка которой осуществляется черезпроцедуру выгрузки-загрузки страниц из кэш-памяти, на выполнениекоторой тратится процессорное время, что ведет к увеличению времениработы программы. Поэтому при оптимизации работы программы не-обходимо так реорганизовать используемые структуры данных, чтобыколичество вызовов процедуры выгрузки-загрузки страниц стремилоськ минимуму.

В докладе рассмотрена важность осуществления реорганизации ис-пользуемых структур данных при распараллеливании последователь-ных программ в соответствии с особенностями программы и условия-ми ее исполнения. Также отмечается удобство использования объектно-ориентированного подхода при реорганизации структур данных на при-мере регулярных структур, широко использующихся в программах, ре-ализующих численные методы.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта программыПрезидиума РАН 14 (раздел 2).

186

СОДЕРЖАНИЕ

Авторский указатель 3

Математика 6Авдеева М. О. Верхняя оценка количества относительных ми-

нимумов целочисленных решеток . . . . . . . . . . . . . . . 6Аносов В. Д. О гомоморфизмах многоосновных алгебраических

систем в связи с криптографическими применениями . . . 7Берник В. И. О дискриминанте целочисленных многочленов . . 8Богдан В. С. Топологии Гротендика на Чу-пространствах . . . . 9Бучина А. В. Группы гомологий конечных частично упорядо-

ченных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Виноградова П. В., Зарубин А. Г. Проекционно-разностный ме-

тод для дифференциального уравнения с дифференциру-емыми операторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Гассан С. В. О скорости роста многомерных подходящих зна-менателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Головчанский В. В., Смотров М. Н. Явная формула числа клас-сов примитивных гиперболических элементов группы Γ0(N). 12

Горкуша О. А. О среднем значении длин конечных непрерыв-ных дробей специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Гринблат А. Д. Предельные конструкции в категории сетейПетри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Дубинин В. Н. Принципы мажорации в теории аналитическихфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Илларионов А. А. Оценка количества относительных миниму-мов неполных целочисленных решеток . . . . . . . . . . . . 16

Калмыков С. И. Неравенство бернштейновского типа для поли-номов с ограничением на двух отрезках . . . . . . . . . . . 17

Карп Д. Б. О емкости некоторых плоских конденсаторов припростых геометрических преобразованиях пластин . . . . . 18

Ким В. Ю. Теорема покрытия радиальных отрезков при p-листном отображении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

187

Кириллова Д. А. Простейшие вариации конформных радиусовв задачах о неналегающих областях . . . . . . . . . . . . . 20

Лазарева Е. Г. Об одном свойстве перестановок векторных рядов 21Ли А. Б. Метод компенсированной компактности для нелиней-

ных уравнений с соленоидальными решениями . . . . . . . 23Ломакина Е. Н.Об ограниченности и компактности одного клас-

са интегральных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Лопаткин В. Е.О полукубических группах гомологий асинхрон-

ных систем переходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Лосев А. С. Поиск узких мест в графе со случайными ребрами 26Нагаев С. В., Михайлов К. В., Чеботарев В. И. О качестве одного

метода сглаживания в оценке Берри – Эссеена . . . . . . . 28Олесов А. В. Некоторые экстремальные свойства целых функ-

ций конечной степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Первухин М. А. Аксиоматизируемость классов плоских частич-

но упорядоченных полигонов . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Петров П. С. Реализация метода многих масштабов в случае

некоммутирующих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 33Прилепкина Е. Г. Асимптотика емкости обобщенного конденса-

тора при вырождении всех пластин . . . . . . . . . . . . . . 35Прохоров Д. В. Неравенства для класса интегральных операто-

ров типа Харди в пространствах с мерами . . . . . . . . . . 37Романов М. А.О погрешности многомерных квадратурных фор-

мул на некоторых классах функций . . . . . . . . . . . . . 37Рукавишников В. А., Николаев С. Г. О Rν-обобщҷнном решении

задачи теории упругости с двойной сингулярностью . . . . 39Рукавишникова М. Г. Вероятностная оценка суммы неполных

частных дробей с фиксированным знаменателем . . . . . . 40Степанова А. А., Коржавина С. Н. Об абелевых группоидах . . . 41Ткаченко В. В. Пределы и копределы в категории систем пере-

ходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Устинов А. В. Асимптотическое поведение первого и второго

моментов для числа шагов в алгоритме Евклида . . . . . . 43Ушакова Е. П. Многомерные интегральные неравенства Харди . 44Хусаинов А. А. Кубические гомологии свободных частично ком-

мутативных моноидов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Чеботарев А. Ю. 0-управляемость систем Навье-Стокса с фазо-

выми ограничениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

188

Шлык В. А., Склюева О. Н., Дeмшин И. Н. Нормальные прямо-угольные области в n-мерном евклидовом пространстве . . 47

Прикладная математика и математическое моделирование 49Алексеев Г. В. Коэффициентные задачи идентификации для

стационарных моделей переноса тепла и масс в вязкойнесжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Амосова Е. В. Оптимальное управление МГД-течением вязкоготеплопроводного газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Бескачко В. П., Головня О. А., Коренченко А. Е. Нестационар-ное течение вязкопластической жидкости в ротационномвискозиметре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Бризицкий Р. В. Анализ стационарной модели МГД при сме-шанных граничных условиях в анизотропной среде . . . . 53

Бушманов А. В., Соловцова Л. А.Анализ глубины заделки стерж-ня в костной ткани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Вихтенко Э. М., Намм Р. В. Схема двойственности для решенияквазивариационного неравенства Синьорини . . . . . . . . 55

Власенко В. Д. Численное решение вариационных задач элек-троупругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Возжаева И. В., Савин С. З., Шишаева Е. А. Нейронные сетив задачах медицинской диагностики. Определение скоро-сти прогрессирования заболевания (на модели рассеянно-го склероза) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Галанин М. П., Попов Ю. П. Методы конечных суперэлемен-тов и некоторые их приложения для численного решенияпространственных задач теории упругости и пластичности 57

Головко Н. И., Каретник В. О. Незавершенная работа в СМО сбесконечным накопителем и скачкообразной интенсивно-стью входного потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Городилова Л. И., Пак Т. В. Качественное исследование некото-рых частных случаев математической модели динамикинерестовой популяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Гузев М. А., Израильский Ю. Г. Хаотическая динамика одно-мерной цепочки нелинейных осцилляторов . . . . . . . . . 61

Гузев М. А., Морозов Н. А., Никитина Е. Ю. Применение методаквантовой статистики в криминологии . . . . . . . . . . . . 62

189

Десятов А. Ю., Косых Н. Э. Оценка влияния наличия микроэле-ментов в почве на уровень заболеваемости злокачествен-ными новообразованиями в Хабаровском крае . . . . . . . 64

Дмитриев А. А., Пермяков Н. А. Зависимость термомеханиче-ских характеристик материала от масштаба усреднения . 65

Заикин А. К., Кожевникова Т. В., Посвалюк Н. Э. Влияние кон-центраций микроэлементов - антагонистов на распростра-ненность свинцового металлотоксикоза у жителей городаХабаровска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Илларионов А. А. К вопросу о разрешимости стационарной кра-евой задачи для уравнений Навье-Стокса с ненулевымипотоками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Илларионова Л. В. Задача оптимального управления для ста-ционарных уравнений дифракции акустических волн . . . 69

Ильин О. И. О численном решении задачи оптимальной эксплу-атации промысловой популяции биологических объектов. . 70

Казанский А. В., Шупикова А. А. Ассимиляция профилей ско-рости с помощью стримлетов (streamlets) . . . . . . . . . . 71

Калинина Е. А. Численное исследование некоторых задач иден-тификации для уравнения конвекции-диффузии-реакции . 72

Клевчихин Ю. А. Теоретический анализ задачи идентификациидля стационарной модели тепловой конвекции . . . . . . . 73

Ковтанюк А. Е. Краевая задача для уравнения переноса поля-ризованного излучения в слоистой среде с френелевскимиусловиями сопряжения на границе раздела сред . . . . . . 74

Колбина Е. А. Изучение влияния промысла на динамику ал-лельных частот и численности менделевской популяции . 77

Колобов А. Н. Описание процесса конкуренции в раститель-ных сообществах посредством имитационной компьютер-ной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Косых Н. Э., Савин С. З., Десятов А. Ю., Новикова О. Ю., Ов-сянников Н. С., Лазарь К. Г. Информационные модели ди-намики изменения медико-демографических параметровпопуляции человека Хабаровского края . . . . . . . . . . . 79

Кулаков М. П. Равновесные и колебательные режимы в моделяхдвух популяций в пространственно неоднородной среде . . 80

Лудов И. Ю. О проблеме построения модели плотностного ринга 81Назаров В. Г. О нахождении химического состава неоднородно-

го тела рентгеноскопическим методом . . . . . . . . . . . . 81

190

Неверова Г. П., Ревуцкая О. Л. Применение математическогомоделирования к описанию и анализу региональной демо-графической динамики (на примере Еврейской автоном-ной области) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Осипова М. А. Ненадежные заявки в моделях массового обслу-живания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Пидюра Т. А., Абакумов А. И. Магистральность в матричноймодели Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Пономаренко В. Г., Савин С. З.Информационное моделированиев спортивной хрономедицине . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Попов С. В., Потапова С. В. Гладкие решения для смешанныхуравнений переменного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Прохоров И. В., Мун В. М.Математическое моделирование рас-пространения волн фотонной плотности . . . . . . . . . . . 90

Ревуцкая О. Л., Неверова Г. П.Математическая модель динами-ки численности двухвозрастной промысловой популяциис учетом половой структуры взрослых особей . . . . . . . . 91

Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в за-даче о криволинейной трещине с возможным контактомберегов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Рукавишников А. В. Построение неконформного метода конеч-ных элементов решения задачи течения двухфазной жид-кости с криволинейным интерфейсом . . . . . . . . . . . . 93

Рукавишников В. А., Кузнецова Е. В. Метод конечных элемен-тов для задачи Дирихле с несогласованным вырождениемисходных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Рукавишникова Е. И. Первая смешанная задача для параболи-ческого уравнения с сингулярностью . . . . . . . . . . . . . 95

Рыжов Е. А. Оценки ширин стохастических слоев в двухслой-ной модели океана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Савенкова А. С. Асимптотика решений задачи оптимальногоуправления для уравнения Гельмгольца . . . . . . . . . . . 96

Соболева О. В. Обратные экстремальные задачи для стацио-нарной модели распространения загрязнений . . . . . . . . 98

Солдатов А. В. Численное исследование обратной задачи дляуравнения Гельмгольца в локально-нерегулярном волноводе 99

Терешко Д. А. Численное восстановление коэффициента тепло-обмена по заданному полю температуры . . . . . . . . . . . 100

Трещев И. А. Математическое моделирование волновых систем 101

191

Тучак М. Н. Численное решение краевых задач для двумерныхмоделей распространения загрязнений . . . . . . . . . . . . 102

Фишман Б. Е., Шлюфман К. В. Системное моделирование годо-вого хода температура воздуха в приземном слое атмосферы103

Хавинсон М. Ю., Аносова С. В. Моделирование основных пока-зателей развития промышленности региона (на примереЕврейской автономной области) . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Цициашвили Г. Ш. Формула Эмбрехтса-Веравербеке в много-канальных системах массового обслуживания . . . . . . . 105

Чеботарев А. Ю. Оптимальное управление торможением МГДтечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Черныш Е. В. Принципы классификации заболеваемости постепени экологического напряжения . . . . . . . . . . . . . 108

Шепелов М. А., Лихацкая Г. Н., Соловьева Т. Ф., Гузев М. А. Ис-пользование метода равновесной молекулярной динамикидля изучения пространственной структуры мембранныхбелков в зависимости от температуры . . . . . . . . . . . . 109

Оптимизация и управление 111Абакумов А. И. Оптимальное управление в распределенных мо-

делях для биосистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Боровик А. И. Синтез оптимальных управлений в модели про-

изводства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Ганжа К. А. Синтез векторного оптимального управления в мо-

дели производства и сбыта товара . . . . . . . . . . . . . . 113Гиричева Е. Е. Задача оптимизации рыбного промысла . . . . . 114Гусев В. Б. Модели самоорганизации в системе индикативного

управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Давыдов Д. В. Идентификация параметров дискретной интер-

вальной динамической системы с интервальным наблюде-нием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Диго Г. Б., Диго Н. Б. Использование локальных оценок кон-стант Липшица при поиске глобального экстремума алго-ритмически заданной функции . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Иванко Н. С. Задачи оптимизации многовидовых промыслов . . 119Капитонова М. С. Синтез периодической системы управления

однозвенным роботом-манипулятором . . . . . . . . . . . . 120

192

Катуева Я. В. Применение детерминированных критериев в за-даче стохастической оптимизации параметрической надеж-ности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Кацурин А. А., Филаретов В. Ф. Система позиционного теле-управления манипулятором . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Климченко В. В. Спектральная факторизация многомерных про-цессов с дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Лашко В. А. Вариационная задача для термогазогидродинами-ческой системы комбинированного двигателя . . . . . . . . 124

Миклашевич И. А., Соколова Н. М., Соломахо В. Л. Построениеинвариантных меток объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Назаров Д. А. Распределенное построение области работоспо-собности в задаче параметрического синтеза . . . . . . . . 127

Островский Ю. И., Пащенко А. Ф. Выбор информативных фак-торов в информационных и управляющих системах . . . . 128

Павельев В. В. Методическое обеспечение проведения конкур-сов НИОКР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Пащенко Ф. Ф., Дургарян И. С. Идентификация систем на ос-нове знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Петрунько Н. Н., Чубчик Д. В. Математическое и физическоемоделирование процесса диагностики трехфазного транс-форматора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Сачко М. А., Кривошеев В. П. Определение оптимальных на-строечных параметров в каскадной автоматической систе-ме регулирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Стригунов В. В., Булгаков В. К. Решение задачи оптимально-го управления макроэкономической системой региона РФпри заданном горизонте планирования . . . . . . . . . . . . 133

Торгашов А. Ю. Идентификация запаздывания динамическогообъекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Юхимец Д. А., Филаретов В. Ф. Аналитическое решение обрат-ной задачи кинематики устройства ориентации движите-ля подводного аппарата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Проблемы механики сплошных сред и смежные вопросытехнологии машиностроения 136Бажин А. А.,Мурашкин Е. В. Релаксация напряжений в окрест-

ности одиночного сферического дефекта сплошности . . . 136

193

Гузев М. А. Термодинамические условия на границе разделафаз нелинейно-упругого материала с учетом динамики . . 137

Гузев М. А., Ушаков А. А. Критическое поведение параметрапорядка в неевклидовой модели зональной дезинтеграциигорных пород . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Луценко Н. А. Об осесимметричных нестационарных теченияхгаза через пористые тепловыделяющие элементы . . . . . 139

Луценко Н. А., Матина О. В. О стационарном течении газа черезпористый теплопоглощающий элемент . . . . . . . . . . . . 140

Луценко Н. А., Мирошниченко Т. П. О течении газа через пори-стую среду из подземной полости с высоким давлением . . 141

Луценко Н. А., Щебеньков Д. А. О точных условиях сопряженияв пористых средах с источниками тепловыделения . . . . . 142

Макарова Н. В. Истираемость зернистого композита с хрупкойматрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Миклашевич И. А. Электромагнитное поле как метод управле-ния траекторией трещины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Полоник М. В., Ермоленко А. В. О возникновении необратимо-го деформирования в окрестности сферического дефектасплошности упругопластического материала при закали-вании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Потянихин Д. А. Косое отражение ударной волны от жесткойграницы в нелинейной упругой среде . . . . . . . . . . . . . 146

Ткаченко О. П. Уединенная волна в тороидальном трубопроводе 147

Компьютерные технологии 149Артемьева И. Л. Сложно структурированные предметные об-

ласти и их математические модели . . . . . . . . . . . . . . 149Бурый А. А., Зацерковный А. В., Поздняк П. Л. Система орга-

низации ресурсов информационно-вычислительной сети . 150Гамбарова Е. М. Практические аспекты обучения искусствен-

ных нейронных сетей (ИНС) для распознавания объектовна космических снимках высокого разрешения . . . . . . . 151

Грибова В. В. Метод проектирования интерфейса в соответ-ствии с метриками юзабилити . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Жеравин М. В. Онтология целевых платформ . . . . . . . . . . 153Згонник Д. Б., Лихацкая Г. Н. Восстановление поврежденных

файлов PDB для визуализации и моделирования простран-ственной структуры органических молекул . . . . . . . . . 154

194

Казеннов В. Е., Житникова Л. М., Гостюшкин В. В., Савин С. З.,Сергеева Л. А., Хоменюк А. В. Виртуальные информаци-онные модели в задачах семейной телемедициные . . . . . 156

Кленин А. С. Визуализация скалярных полей в задачах геохи-мического моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Клещев А. С. На пути к системам интерактивного построениядоказательств для научных исследований . . . . . . . . . . 159

Клещев А. С., Смагин С. В. Общая схема организации компью-терных экспериментов по индуктивному формированиюзнаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Князева М. А., Пронина Е. А. Представление методов потоко-вого анализа для распараллеливающих преобразованийпрограмм в базе знаний потокового анализа СБКЗ ПП . . 161

Колотилин Г. Ф., Логинов И. П., Гонтмахер П. Я., Шамов В. В.,Посвалюк Н. Э., Савин С. З., Стехов Н. В., Тартачный А. А.Геоинформационные технологии в задачах этнонаркологии 163

Крылов Д. А. Многоуровневое синтаксически управляемое ре-дактирование информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Луценко Н. А., Харитонов Д. И., Шиян Д. С. О параллельнойреализации алгоритма для моделирования двумерных не-стационарных течений газа через пористые тепловыделя-ющие элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Маевский М. С. Методы реализации подсистемы проверки кон-текстных условий в системе преобразования программ . . 166

Никифорова Н. Ю.Испытания и сопровождение системы управ-ления информационными ресурсами . . . . . . . . . . . . . 167

Плохих С. А.Модель системы управления специализированногобанка занний о преобразованиях программ . . . . . . . . . 168

Посвалюк Н. Э., Савин С. З., Тартачный А. А. Оптимизация мно-гофакторных медико-статистических исследований сред-ствами информационной системы аккумулирования и об-работки данных на примере Дальневосточного регистрапациентов с рассеянным склерозом . . . . . . . . . . . . . . 169

Рештаненко Н. В.Методы реализации специализированного бан-ка знаний по органической химии . . . . . . . . . . . . . . 172

Рябцев Т. В. Модель управленческого процесса . . . . . . . . . . 173Сапронов А. Ю., Тарасов А. Г., Шаповалов Т. С. Применение си-

стемы виртуализации XEN на вычислительном кластереВЦ ДВО РАН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

195

Смагин С. И. ГРИД-технологии и их приложения . . . . . . . . 175Тарасов А. В. Опыт использования инструментального сред-

ства Onto Dev при разработке пользовательских интер-фейсов на основе онтологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Тарасов Г. В.Модель блокирующих MPI взаимодействий в тер-минах сетей Петри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Тютюнник М. Б. Экспериментальное исследование прототипапараллельной системы продукций . . . . . . . . . . . . . . 178

Харитонов Д. И. Cпецификация в терминах сетей Петри про-токола С++ класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Черняховская М. Ю. База наблюдений в урологии . . . . . . . . 181Шаповалов Т. С., Тарасов А. Г., Щерба С. Организация вычис-

лительной GRID-сети ДВО РАН . . . . . . . . . . . . . . . 182Шалфеева Е. А. Объективное оценивание избыточности и про-

тиворечивости в онтологиях с использованием каталогаструктурных свойств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Шиян Д. С. Влияние неалгоритмических факторов на времяработы параллельной программы. . . . . . . . . . . . . . . 185

196

Documents

XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов