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XXVI CONGRESO
NACIONAL DE
ACTUARIOS
Solvencia II
“El Margen de Riesgo”
México
Por: Pedro Aguilar B.
Septiembre 2013
XXVI CONGRESO
NACIONAL DE
ACTUARIOS
Contenido
1. Aspectos Generales sobre Margen de Riesgo
2. La Problemática
3. Planteamiento de una Posible Solución
4. Ejemplos y Conclusiones
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
El margen de riesgo, en términos de la directiva europea se define como:
“El margen de riesgo será igual al coste de financiación de un importe de fondos propios
admisibles igual al capital de solvencia obligatorio necesario para asumir las obligaciones de
seguro y reaseguro durante su período de vigencia.”
“La tasa de coste del capital empleada será igual al tipo adicional, por encima del tipo de
interés sin riesgo pertinente, que tendría que satisfacer una empresa de seguros o de reaseguros
por mantener un importe de fondos propios admisibles, igual al capital de solvencia obligatorio
necesario para asumir las obligaciones de seguro y de reaseguro durante el período de
vigencia de las mismas.”
“No obstante, cuando los flujos de caja futuros asociados a las obligaciones de seguro o
reaseguro puedan replicarse con fiabilidad utilizando instrumentos financieros en los que se
pueda observar un valor de mercado fiable, el valor de las provisiones técnicas asociadas con
esos flujos de caja futuros se determinará a partir del valor de mercado de dichos instrumentos
financieros.”
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Se ha explicado el margen de riesgo como, un elemento integrante de las reservas:
Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
Activos que cubren
reservas técnicas
Capital Disponible
Reservas Técnicas para
riesgos no hedgeable
Activos a
valor de
mercado
Requerimiento de Capital
de Solvencia (SCR)
Margen de Riesgo
Mejor Estimador
Source: CEIOPS
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
A medida que avanza la implementación del nuevo esquema regulatorio en México, han ido
surgiendo preguntas relevantes respecto al Margen de Riesgo (MR):
¿El MR de un
BEL negativo,
debe ser negativo,
cero o positivo?
¿El RCS
puede ser
creciente con
el tiempo?
¿El MR debe
ser equivalente
al margen de
utilidad?
¿A mayor
BEL
mayor
MR?
¿Pueden
existir
reservas con
MR cero?
¿El MR
debe ser un
valor
inferior a la
reserva?
¿Los
seguros
flexibles
debe tener
MR?
¿Qué
reservas
tienen
MR?
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Contenido
1. Aspectos Generales sobre Margen de Riesgo
2. La Problemática
3. Planteamiento de una Posible Solución
4. Ejemplos y Conclusiones
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
La problemática:
1. El nuevo esquema regulatorio adoptado en México, implica la estimación de obligaciones
mediante los flujos totales de ingresos y egresos, lo que generará que algunas reservas
tengan valores negativos.
2. Asimismo algunos métodos preliminares para el cálculo del margen de riesgo sugieren
prorratear el Requerimiento de Capital Global (RCS), en función del valor de las reservas
al momento del cálculo, para efectos de asignar a cada línea de negocio la porción de
Requerimiento de capital que le corresponde (Base de Capital (BC)).
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La problemática:
3. Como resultado del prorrateo se obtienen bases de capital negativas cuando en una línea de
negocios el monto de las reservas es negativo, lo cual produciría a su vez un Margen de
Riesgo negativo dado que la fórmula de cálculo es:
Ejemplo:
𝑀𝑅 = 𝐵𝐶0 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡
𝑛
𝑡=1
BEL RCS Base de Capital Duración Margen de
Riesgo
Dotales
5,000,000
100,000.00
475,000.00 7
332,500.00
Temporales -1,000,000
500,000.00 -95,000.00 5 -47,500.00
Total
4,000,000
380,000.00
380,000.00
285,000.00
¿MR<0?
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
La problemática:
4. Otro problema que se produce es que debido a que las reservas no siempre guardan
proporcionalidad con el valor del riesgo implícito en una línea de negocios (riesgo de
desviación), entonces, la determinación de la base de capital mediante prorrateo puede
generar márgenes de riesgo desproporcionados. Ello es muy visible en carteras que tienen
un componente de riesgo pequeño, pero con una reserva muy grande debido al componente
de ahorro, como en el caso de seguros dotales o flexibles.
Ejemplo:
BEL RCS
/marginal Base de Capital Duración
Margen de
Riesgo
Dotales
5,000,000
100,000.00
316,666.67 7
221,666.67
Temporales
1,000,000
500,000.00
63,333.33 5
31,666.67
Total
6,000,000
380,000.00
380,000.00
253,333.33
𝑀𝑅 = 𝐵𝐶0 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡
𝑛
𝑡=1
¿El MR de los seguros
temporales debe ser
menor que el de los
Dotales?
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1. Aspectos Generales sobre Margen de Riesgo
2. La Problemática
3. Planteamiento de una Posible Solución
4. Ejemplos y Conclusiones
Contenido
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
El Margen de Riesgo es un componente de las reservas técnicas que generalmente es concebido
con la siguiente estructura:
Sin embargo pudiera ser:
BEL MR
Reserva=BEL+MR
BEL MR
Reserva=BEL+MR
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La proporcionalidad entre el BEL y el MR, está determinada por la diferencia que existe entre
la media y el percentil al 99.5% de función de distribución de pérdidas:
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BEL
VaR (95th Percentil)
A mayor dispersión
mayor margen de riesgo.
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A menor desviación, menor margen de riesgo:
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BEL
VaR (95th Percentil)
A menor dispersión
menor margen de riesgo.
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Una cuestión que es muy relevante desde un punto de vista actuarial es que aún cuando la
media sea un valor negativo, el RCS debe ser siempre positivo:
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BEL< 0
VaR > 0
A mayor dispersión
mayor margen de riesgo.
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
El Margen de Riesgo, desde un punto de vista actuarial, debe representarse como el valor
actual de los costos futuros del capital regulatorio futuro (𝑅𝐶𝑆𝑡):
Que se puede representar también en términos de RCS inicial, como:
𝑀𝑅 = 𝑣𝑡 ∗ (𝑟𝑡 − 𝑖𝑡) ∗ 𝑅𝐶𝑆𝑡
𝑛
𝑡=1
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0 𝑣𝑡 ∗ 𝑟𝑡 − 𝑖𝑡 ∗
𝑅𝐶𝑆𝑡𝑅𝐶𝑆0
𝑛
𝑡=1
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Si las tasas 𝑟, 𝑖 se toman a valor promedio, entonces:
Que se puede representar también como:
𝑀𝑅 = (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝑅𝐶𝑆𝑡
𝑛
𝑡=1
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝐹𝐷𝑡
𝑛
𝑡=1
𝐹𝐷𝑡 =𝑅𝐶𝑆𝑡𝑅𝐶𝑆0
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Se puede observar que para determinar el margen de riesgo, es necesario conocer el valor
futuro del RCS, o bien su variación futura (incremento o decremento). Considerando que
el RCS es una variable aleatoria, si se pudiese estimar su valor esperado a cada año,
entonces:
𝑀𝑅 = (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝐸(𝑅𝐶𝑆𝑡)
𝑛
𝑡=1
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
Ante la dificultad práctica de estimar el RCS para cada año futuro, resulta útil encontrar
una forma de medir la variación futura del RCS, a partir del valor que tiene al momento
inicial (𝑅𝐶𝑆0) , es decir, interesa conocer una función que permita determinar el
incremento o decremento futuro del RCS en cada año t. Para ello se parte de que:
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝐹𝐷𝑡
𝑛
𝑡=1
𝐹𝐷𝑡 =𝑅𝐶𝑆𝑡𝑅𝐶𝑆0
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
Hasta ahora se ha definido el cálculo del margen de riesgo, mediante una fórmula que
sólo toma en cuenta la disminución que podría tener debido a las tasas de caducidad y de
muerte, es decir:
Definiendo la duración como:
𝐷 = 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥𝜏𝑡
𝑛
𝑡=1
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡
𝑛
𝑡=1
= 𝐵𝐶0 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡
𝑛
𝑡=1
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
Sin embargo, como se vio anteriormente, el 𝑅𝐶𝑆𝑡, guarda relación con la forma en que se
comporte la diferencia entre el percentil y la media. En ese sentido, sería adecuado tomar
como factor de variación futura del RCS (𝐹𝐷𝑡), alguna forma de aproximación de la
variación de las desviaciones respecto de la media 𝜎𝑡:
Donde:
𝜎𝑡 es el valor de diferencia entre el percentil al 99.5% y el valor de la media, ambos al
momento t.
𝜎0 es el valor de diferencia entre el percentil al 99.5% y el valor de la media, ambos al
momento 0.
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
𝑛
𝑡=1
𝐹𝐷𝑡 =𝑅𝐶𝑆𝑡
𝑅𝐶𝑆0 = 𝜎𝑡
𝜎0
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Para ello, partiremos de que en los seguros de largo plazo, una forma de estimar las
desviaciones es mediante la diferencia entre la reserva matemática estimada con una tabla
media ( 𝑣𝑥𝐴
𝑡 ) y la misma reserva estimada con una tabla recargada al 99.5% ( 𝑣𝑥𝐵𝑡 ), es decir:
𝜎𝑡 ≈ 𝑣𝑥𝐵𝑡 − 𝑣𝑥
𝐴𝑡
Donde
𝑣𝑥𝐴
𝑡 es el BEL valuado con una tabla media.
𝑣𝑥𝐵𝑡 es el BEL valuado con una tabla ajustada al 99.5%.
De manera que una forma de estimar la variación porcentual que tendrá el RCS en el
futuro respecto del momento inicial, sería:
𝐹𝐷𝑡 =𝑅𝐶𝑆𝑡𝑅𝐶𝑆0≈𝜎𝑡𝜎0=𝑣𝑥𝐵𝑡 − 𝑣𝑥
𝐴𝑡
𝑣𝑥𝐵
0 − 𝑣𝑥𝐴
0
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De manera que el margen de riesgo quedará dado por:
𝑀𝑅 ≈ 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
𝑛
𝑡=1
Si consideramos que 𝑅𝐶𝑆0 se refiere a la base de capital específica de algún plan j (𝐵𝐶𝑗),
al momento de valuación del MR, entonces:
𝑀𝑅 ≈ 𝐵𝐶𝑗 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
𝑛
𝑡=1
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Por otra parte, una consecuencia que se deriva de lo anterior, es la base de capital que en
esos casos se puede estimar mediante un prorrateo del RCS global (𝑅𝐶𝑆𝑇0), respecto de
la desviación del plan i en el año cero, es decir, si se tiene una cartera con n líneas de
negocio (tipos de planes), entonces, la base de capital para el plan tipo i (𝐵𝐶𝑖), será:
Asimismo, la duración quedaría dada como:
𝐷 = 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
𝑛
𝑡=1
𝐵𝐶𝑖 = 𝑅𝐶𝑆𝑇0 ∗ 𝜎𝑖 𝜎𝑘
𝑛
𝑘=1
−1
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Contenido
1. Aspectos Generales sobre Margen de Riesgo
2. La Problemática del Enfoque Actual
3. Planteamiento de una Posible Solución
4. Ejemplos y Conclusiones
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Ejemplo: Seguro Temporal
Seguro temporal 20, edad 60, plazo de pago de primas 20, suma asegurada $50,000.00
moneda nacional.
𝑣𝑥𝐵𝑡
𝑣𝑥𝐴𝑡
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Ejemplo: Seguro Temporal
Valor de 𝜎𝑡.
𝜎𝑡 = 𝑣𝑥𝐵𝑡 − 𝑣𝑥
𝐴𝑡
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Ejemplo: Seguro Temporal
Valor de 𝜎𝑡
𝜎0
𝜎𝑡𝜎0
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Si se integra la probabilidad de persistencia de la póliza y el valor presente, entonces el
comportamiento de valor futuro para un peso el RCS (𝑅𝐶𝑆𝑡) sería:
𝑅𝐶𝑆𝑡 ≈ 1 ∗ 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
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La duración para ese plan sería:
𝐷 ≈ 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
𝑛
𝑡=1
= 4.6448
𝑝𝑥𝜏𝑡 𝑣𝑡 𝐹𝐷𝑡 𝑖 𝑝𝑥
𝜏𝑡 *𝑣𝑡*𝐹𝐷𝑡
1 1 1.00 5.01% 1
0.71774 0.95226 1.02 5.01% 0.6945
0.57078 0.89823 1.03 5.51% 0.5293
0.47756 0.84185 1.05 5.91% 0.4217
0.41202 0.78560 1.07 6.22% 0.3449
0.36291 0.73096 1.08 6.47% 0.2870
0.32446 0.67877 1.10 6.67% 0.2418
0.29337 0.62947 1.11 6.84% 0.2053
0.26760 0.58322 1.12 6.97% 0.1753
0.24580 0.54004 1.13 7.09% 0.1501
0.22704 0.49985 1.13 7.18% 0.1285
0.21065 0.46252 1.12 7.26% 0.1095
0.19613 0.42790 1.10 7.33% 0.0927
0.18310 0.39581 1.07 7.39% 0.0773
0.17127 0.36610 1.01 7.44% 0.0632
0.16037 0.33860 0.92 7.49% 0.0498
0.15021 0.31316 0.79 7.53% 0.0370
0.14061 0.28962 0.60 7.56% 0.0246
0.13140 0.26784 0.35 7.59% 0.0123
0.12247 0.24770 - 7.62% -
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Para un seguro ordinario de vida para una persona de la misma edad, y con la misma
suma asegurada, las reservas serían de:
𝑣𝑥𝐵𝑡
𝑣𝑥𝐴𝑡
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Valor de 𝜎𝑡 sería:
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Si se integra la probabilidad de persistencia de la póliza 𝑝𝑥𝜏𝑡 y el valor presente, entonces
la duración y el comportamiento de valor futuro, para un peso el RCS (𝑅𝐶𝑆𝑡) sería:
𝐷 ≈ 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
𝑛
𝑡=1
= 5.5821
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Si se calcula el mismo seguro ordinario de vida pero para una persona de edad 30,
entonces:
𝐷 ≈ 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
𝑛
𝑡=1
= 6.013
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Ejemplo de Prorrateo
Tipo de Seguro 𝑣𝑥𝐴
𝑡 𝑣𝑥𝐵𝑡 𝜎𝑖 Edad SAi
año póliza
t RCSTo
Base de
Capital (BCi)
Temporal -$ 29.12 $ 1,185.93 $ 1,215.05 40 $ 50,000.00 6
$ 1,180.00
$ 383.60
Dotal $ 29,993.23 $ 30,124.28 $ 131.05 40 $ 50,000.00 15 $ 41.37
Vitalicio $ -360.41 2,031.11 $ 2,391.52 40 $ 50,000.00 11 $ 755.02
Total $ 29,603.70 $ 33,341.32 $ 3,737.63 $ 1,180.00
𝐵𝐶𝑖 = 𝑅𝐶𝑆𝑇0 ∗ 𝜎𝑖 𝜎𝑘
𝑛
𝑘=1
−1
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Conclusiones:
1. El prorrateo del RCS tomando como base el BEL, podría originar imprecisiones en el
cálculo del margen de riesgo, una fórmula actuarialmente más adecuada sería:
2. Aun cuando el BEL sea negativo el Margen de riesgo es siempre positivo.
3. La fórmula de margen de riesgo debe tomar en cuenta la forma en que se comportará la
varianza del riesgo en el futuro.
4. La fórmula de duración debe incluir un factor adicional que corresponde a la forma que
variará el RCS en cada uno de los años futuros.
𝑀𝑅 ≈ 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖) 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥
𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
𝑛
𝑡=1
𝐵𝐶𝑖 = 𝑅𝐶𝑆𝑇0 ∗ 𝜎𝑖 𝜎𝑘
𝑛
𝑘=1
−1
𝐷 = 𝑣𝑡 ∗ 𝑝𝑥𝜏𝑡 ∗𝜎𝑡𝜎0
𝑛
𝑡=1
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Solvencia II El Concepto de Margen de Riesgo
¿Preguntas?
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Solvencia II
El Margen de Riesgo
México
Por: Pedro Aguilar B.
Septiembre 2013
