1

STUDENTEXAMENS-NÄMNDEN

MATEMATIKPROVLÅNG LÄROKURS

18.3.2015

Högst tio uppgifter får lösas. Uppgifter som markerats med en stjärna (*) ger maxi-malt 9 poäng, övriga uppgifter maximalt 6 poäng.

LÅNG 1, 29.4.2014  

1. Rita tre enhetscirklar och märk ut följande vinklar och deras motsvarande periferipunkter:   a)  405 .  b)  120 .   

c) 34 rad. 

  

2. a) Rita  en  figur  av  det  område  i  planet  som  definieras  av  olikheterna   0 | |y x  då 

  1 1.x  b) Lös ekvationen  1 2 .x x x    

3. Under  tidsperioden  2003−2013  ökade  antalet  invånare  i Helsingfors  som  talar  ett  främ‐mande språk som modersmål med 7,5 procent per år. År 2013 antog man att detta antal kommer  att  ytterligare  fördubblas  under  tidsperioden  2013−2033.  Beräkna  den  genom‐snittliga årliga procentuella ökningen av antalet  invånare som  talar ett  främmande språk under dessa 30 år.   

4. Vi granskar ekvationen  4 2 2( 1) 1 0t x t x  för olika värden på parametern  0t . a) Lös ekvationen då  1.t  b) Bestäm  alla  de  värden  på  parametern  0t   för  vilka  ekvationen  har  åtminstone  en 

lösning  .xR    

5. Anta att  ( 2 2)A , , (3 1)B , ,   ( 2 3)C ,  och  (1 1).D , Beräkna de exakta värdena för koordinaterna för skärningspunkten mellan sträckorna AB och CD.   

6. Vi  antar  att  befolkningens  intelligenskvot  är  normalfördelad  (100 15).N ,   Bestäm  ett symmetriskt  intervall  kring  väntevärdet  100  som  exakt  hälften  av  befolkningen  tillhör.    

7. a) För vilka värden på variabeln x är uttrycket  ln(sin )x  definierat? Enheten för variabeln x  är radianer. b) Bestäm närmevärdena för alla lösningar till ekvationen  ln(sin ) 2x  i intervallet

  0 10x med två decimalers noggrannhet.   

2

8. En oljecistern har formen av en rak cirkulär cylinder och dess axel är horisontell. Diametern av det tvärsnitt som står vinkelrätt mot axeln är 1,3 meter. a) Bestäm cisternens längd då dess volym är 3 000 liter. b) Oljedjupet i den djupaste punkten mäts till 40 centimeter. Hur många liter olja finns då 

kvar i cisternen?  

                                                   <http://www.tankkituomiset.fi/palavan‐nesteen‐sailiot/kuivurisailiot>     Läst 20.2.2014   

9. Man har reserverat 16 kvadratmeter tyg för ett tält som har formen av en rak cirkulär kon. Tyg används inte för tältets botten. Bestäm diametern för den cirkulära basytan då tältets volym är så stor som möjligt.  

                                    <http://www.indios.cz/cs/rytirske‐a‐stredoveke‐stany/merlin/>      Läst 3.2.2014  

10. Anta  att  0.a   Grafen  ( )y f x   till  funktionen  ( )f x a x   roterar  kring  x‐axeln  i intervallet  [0 1], ,  varvid volymen av den rotationskropp som uppstår är  2 .  Bestäm arean 

av kroppens rotationsyta med formeln 1

2

02 ( ) 1 ( ) .A f x f x dx  

<http://www.tankkituomiset.fi/palavan-nesteen-sailiot/kuivurisailiot>. Hämtad 20.2.2014.

<http://www.indios.cz/cs/rytirske-a-stredoveke-stany/merlin/>. Hämtad 3.2.2014.

8. En oljecistern har formen av en rak cirkulär cylinder och dess axel är horisontell. Diametern av det tvärsnitt som står vinkelrätt mot axeln är 1,3 meter. a) Bestäm cisternens längd då dess volym är 3 000 liter. b) Oljedjupet i den djupaste punkten mäts till 40 centimeter. Hur många liter olja finns då 

kvar i cisternen?  

                                                   <http://www.tankkituomiset.fi/palavan‐nesteen‐sailiot/kuivurisailiot>     Läst 20.2.2014   

9. Man har reserverat 16 kvadratmeter tyg för ett tält som har formen av en rak cirkulär kon. Tyg används inte för tältets botten. Bestäm diametern för den cirkulära basytan då tältets volym är så stor som möjligt.  

                                    <http://www.indios.cz/cs/rytirske‐a‐stredoveke‐stany/merlin/>      Läst 3.2.2014  

10. Anta  att  0.a   Grafen  ( )y f x   till  funktionen  ( )f x a x   roterar  kring  x‐axeln  i intervallet  [0 1], ,  varvid volymen av den rotationskropp som uppstår är  2 .  Bestäm arean 

av kroppens rotationsyta med formeln 1

2

02 ( ) 1 ( ) .A f x f x dx  

10.

11. Visa att ett tal  5 4 3 25 4 3 2 1 07 7 7 7 7a a a a a a  som är uttryckt i 7‐systemet är delbart 

med talet 6 exakt då siffrornas summa  5 4 3 2 1 0a a a a a a  är delbar med talet 6. Här 

gäller att  5 4 3 2 1 0 {0 1 2 3 4 5 6}.a a a a a a , , , , , , , , , , ,  

 

12. Italienaren Fibonacci beräknade år 1225 närmevärdet 1 368808108x ,  för roten till ekva‐

tionen  3 22 10 20 0x x x .  a) Visa att ekvationen har exakt en rot i mängden av reella tal. b) Med hur många iterationer får man första gången samma nio decimaler som i Fibonaccis 

närmevärde då man använder Newtons metod och startvärdet  0 1x ?   

                                                         <http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci>    Läst 20.2.2014 

       <http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton>  Läst 17.3.2014   

13. a) Visa genom att undersöka en differenskvot att funktionen  

                                                              ( )1 | |xf xx

 

är deriverbar i punkten  0.x   

b) Anta att  ( ) ( )g x f x  då  .xR  Visa genom att undersöka en differenskvot att  funk‐tionen  ( )g x  inte är deriverbar i punkten  0.x  

        

3

13.

11.

12.

<http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci>. Hämtad 20.2.2014.<http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton>. Hämtad 17.3.2014.

14. I ett tvådagarsevenemang för hundar, JuliJubel, kan man anmäla sig till antingen  lördags‐utställningen eller söndagsutställningen eller till båda två. Ett år anmäldes 1 372 hundar, av vilka 31 endast anmäldes till  lördagsutställningen och 43 endast  till söndagsutställningen. Anta  att  L  är  händelsen  ”En  hund  som  anmälts  till  JuliJubel  anmäldes  till  lördagsut‐ställningen” och S händelsen ”En hund som anmälts  till  JuliJubel anmäldes  till söndags‐utställningen”. a) Beräkna sannolikheten P(L och S) för detta år. (3 p.) b) Hur definierar man oberoende för två händelser i sannolikhetsläran? (2 p.) c)  Är L och S oberoende detta år? (2 p.) d) Anta  allmänt  att  a  är  antalet  hundar  som  är  anmälda  till  endast  lördagen,  b  antalet 

anmälda till båda dagarna och c antalet anmälda till endast söndagen. För vilket villkor gällande talen a, b och c är händelserna L och S oberoende av varandra? (2 p.) 

  

15. Vi undersöker summan  1

1 .( 1)

n

k k k  

a) Beräkna  summorna då  1 2 5n , , , ,  och  formulera med hjälp av dem en gissning  för värdet av summan som funktion av den övre gränsen n. (2 p.) 

b) Bestäm sådana koefficienter  AR  och  BR,  så att formeln 

                                                    1

( 1) 1A B

k k k k

 

  gäller för varje  1.k  (2 p.) c)  Bevisa  att  ditt  gissade  uttryck  i  deluppgift  a  är  korrekt  genom  att  använda  formeln  i 

deluppgift b. (4 p.) 

d) Bestäm gränsvärdet  1

1lim .( 1)

n

n k k k  (1 p.) 

  

4

*14.

*15.