142 Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011

NAUKA SCIENCE

Praca dopuszczona do druku po recenzjach Article accepted for publishing after reviews

Jerzy Jasieńko, Krzysztof Raszczuk

Wzmacnianie kopuł obrotowychna kierunku równoleżnikowym

Strengthening of the rotatingdome in latitudinal direction

1. Introduction

1.1. Importance of dome geometry

Roofs in the form of domes are a common featurein the cultural landscape all over the world. From thehistorical, architectonic or philosophical point of viewthe generalized form of the vault converging in the high-est point situated in the centre of gravity of the plancross section is most important. Examples of such struc-tures are rotating domes and cloister vaults. The latter,often referred to as polygonal domes (Csonka, 1969),are made of cylindrical surfaces. From the structuralpoint of view the geometric arrangement of the roofelements and surfaces, forming a model solvable in ac-cordance with the theory of elasticity and plasticity, ishighly important.

Because of the complex state of stress in shell roofsthey are sensitive to any geometric deformations. His-torical structures have repeatedly been exposed to theeffects of fires. As a result of the additional thermal stress-es generated by the sudden cooling caused by firefight-ing the tensile load capacity of the masonry would oftenbe exceeded. This is one of the hypotheses concerningthe cause of the damage to St. John the Baptist Churchin Owińska (Wierszycki, 2001). A too heavy lantern andan improper geometry may also cause considerable vaultdeformations.

In order to confirm or rule out that deformationsare the cause of damage one should make geodetic meas-urements of the existing state to accurately map theshape of the dome. If the geometry of the roof is pre-cisely determined the results of the static-strength cal-culations will be more accurate. A conservator surveymade using laser measuring instruments and 3D HDSscanners should supply data for the proper analysis ofthe deformations, stability and cracking of the historic

1. Wprowadzenie

1.1. Znaczenie geometrii kopuł

Przekrycia o charakterze kopuł występują powszech-nie w krajobrazie kulturowym na całym świecie. Podwzględem historycznym, architektonicznym czy filozo-ficznym najistotniejszy jest uogólniony charakter formysklepienia zbiegającego się w najwyższym punkcie zlo-kalizowanym w środku ciężkości przekroju rzutu. Przy-kładem takich konstrukcji są zarówno kopuły obrotowe,jak i sklepienia klasztorne, zwane często kopułami wie-lobocznymi (Csonka, 1969), które są wykonane z po-wierzchni walcowych. Różnica pomiędzy wspomniany-mi konstrukcjami polega na istnieniu podwójnej krzy-wizny w przypadku kopuł obrotowych. Z konstrukcyj-nego punktu widzenia bardzo ważny jest układ geome-tryczny elementów i powierzchni przekrycia, tworzącychmodel rozwiązywalny zgodnie z teorią sprężystości i pla-styczności.

Złożony stan naprężeń w przekryciach powłokowychpowoduje wrażliwość tych ustrojów na wszelkie defor-macje geometryczne. Konstrukcje historyczne były wie-lokrotnie narażone na oddziaływania wywołane pożara-mi. Dodatkowe naprężenia termiczne, które występo-wały na skutek nagłego ochładzania przy gaszeniu poża-ru, powodowały niejednokrotnie przekraczanie nośno-ści muru na rozciąganie. Jest to jedna z hipotez w kwestiiprzyczyn powstania uszkodzeń w kościele św. JanaChrzciciela w Owińskach (Wierszycki, 2001). Zbyt cięż-ka latarnia i źle dobrana geometria mogą również powo-dować znaczne deformacje sklepień. Dodatkowo zmia-na stosunków gruntowo-wodnych, przyczyny związanez nierównomiernym osiadaniem podłoża pod funda-mentem budowli oraz czynniki reologiczne mogą po-wodować zmniejszenie nośności historycznych układówkonstrukcyjnych.

Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011 143

Aby w badanym obiekcie potwierdzić lub wykluczyć,iż przyczyną uszkodzeń są deformacje, należy wykonaćpomiary geodezyjne stanu istniejącego w celu dokładnegoodzwierciedlenia kształtu kopuły. Prawidłowe określeniegeometrii przekrycia umożliwi zwiększenie dokładnościobliczeń statyczno-wytrzymałościowych. Danych do wła-ściwej analizy deformacji, stateczności i zarysowania obiektupowinna dostarczać inwentaryzacja konserwatorska wyko-nywana z użyciem mierników laserowych i skanerów wy-sokiej gęstości 3D HDS. Pomiary wykonane za pomocątych ostatnich pozwalają na przejście od wyników uzyska-nych tą drogą do modelowania układów konstrukcyjnychobiektu zabytkowego przed i po wzmocnieniu.

1.2. Stan naprężeń w kopule obrotowej

Gdy przyjmuje się stan błonowy w powłoce kopułyobrotowej, na poziomie dolnych pierścieni pojawiają sięsiły rozciągające. Wycinek powłoki pracuje wówczas w zło-żonym stanie naprężenia, dla którego występuje ściskaniena kierunku południkowym oraz rozciąganie na kierun-ku równoleżnikowym. Ten stan naprężeń jest przyjmo-wany przy obliczaniu nośności układów błonowych.Z uwagi na fakt, iż kopuły są często przekryciami o nie-wielkich rozpiętościach, dla których wartość stosunku pro-mienia krzywizny do grubości jest nieznaczna, przy ana-lizie statycznej należy rozważać uwzględnienie naprężeńdodatkowych (na grubości powłoki). Uproszczenia leżą-ce u podstaw modelowania numerycznego powłok gru-bych mogą powodować uzyskiwanie niemiarodajnychwyników obliczeń. W takim przypadku niezbędne jestprzyjęcie odpowiedniej hipotezy wytrzymałościowej.

Teoretycznie przyjmuje się, iż wytrzymałość muruna rozciąganie jest zbliżona do zera. Podejście, aczkol-wiek słuszne w fazie projektowania, jest uproszczeniemnie mającym racji bytu w konstrukcjach istniejących przyanalizie stanu zarysowania. Wytrzymałość muru podda-nego rozciąganiu w kierunku prostopadłym do spoinwspornych zależy od wytrzymałości zaprawy na rozcią-ganie i jej przyczepności do elementów murowych.Zniszczenie w tym przypadku ma postać rysy biegnącejprzez spoinę wsporną w przekroju α – α. W przypadkumuru poddanego rozciąganiu w kierunku równoległymdo spoin wspornych zniszczenie może nastąpić przezprzekrój łamany α – α lub przez spoiny i elementy mu-rowe w przekroju prostym β – β lub przez spoiny i ele-menty murowe w przekroju prostym.

Wytrzymałość muru na rozciąganie ft jest niewielkaw porównaniu z wytrzymałością na ściskanie fc i najczę-ściej przyjmuje się jej orientacyjną wartość z przybliżo-nego wzoru: ft ~ 0,1fc.

Wobec powyższych rozważań celowe wydaje się byćmodelowanie (zarówno fizyczne, jak i analityczne i nu-meryczne) pierścieni rozciąganych jako elementówkonstrukcyjnych reprezentujących pasma równoleżni-kowe kopuł obrotowych. W dotychczasowych pracachzajmowana się głównie łukiem jako elementem repre-zentacyjnym wszelkiego rodzaju przekryć historycz-nych, zarówno o pojedynczej, jak i podwójnej krzywiź-nie. Praca ma na celu przedstawienie analizy pierście-nia rozciąganego jako elementów reprezentatywnychdla kopuł obrotowych.

building. The results of measurements made by meansof 3D HDS scanners can be used directly to model thestructural systems of the historic building before andafter its strengthening.

1.2. State of stress in rotating dome

If the membrane state of the rotating dome shell isassumed, tensile forces appear at the level of the lowerrings. Then a dome sector is subject to complex stress,i.e. compression along the meridional direction and ten-sion along the latitudinal direction. This state of stressis assumed for the calculation of the load capacity ofmembrane systems. Since domes are often small-spanroofs for which the radius of curvature to thickness ra-tio is small, once should consider taking additionalstresses (along the thickness of the shell) into account.The simplifications inherent in the numerical model-ling of thick shells may lead to unreliable calculationresults. In such a case it is necessary to adopt a suitablestrength hypothesis.

It is theoretically assumed that the tensile strength ofmasonry is close to zero. Although correct at the designstage, this approach is a simplification which has no jus-tification in the case of structures analyzed with regardto the cracking state. The strength of masonry subjectedto tension in the direction perpendicular to the bed jointsdepends on the tensile strength of the mortar and its ad-hesion to the masonry units. A failure in this case hasthe form of a crack running through the bed joint alongstraight line α – α. If masonry is subjected to tension inthe direction parallel to the bed joints, a failure may runalong broken line α – α or through the joints and ma-sonry units along straight line β – β.

Tensile strength ft of the masonry is low in compari-son with its compressive strength fc and usually its ap-proximate value calculated from the formula: ft ~ 0,1fc isassumed.

Considering the above, it seems sensible to model(both physically and analytically and numerically) thetensioned rings as structural elements representing thelatitudinal bands of rotating domes. The existing stud-ies have mainly dealt with the arch as an element rep-resentative of all kinds of historic roofs with both sin-gle and double curvature. This paper presents an anal-ysis of tensioned rings as elements representative ofrotating domes.

2. Static behaviour of domes

2.1. Rotating and polygonal domes

The most common vault with a central layout is therotating dome. Unlike cloister vaults (e.g. on an octagonplan), the dome is a structure with double curvature.Both domes and cloister vaults may have different forms,differing in their curvature, elevation and plan (in theshape of an ellipse). Consequently, it is difficult to findand describe an exact analytical solution since the staticbehaviour of domes is directly connected with their ge-ometric shape. An analytical solution for polygonal domesis presented in (Jasieńko et al., 2006). Approximately, it

144 Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011

can be assumed that there is a membrane state of stressin the cylindrical shells forming the dome’s sectors. Alongthe base polygon one can distinguish the support ring inwhich tensile normal stresses are concentrated. The pres-ence of ribs clearly distinguishes polygonal domes fromrotating domes.

The theory of polygonal domes is difficult to applyin practice because of the complicated formulas and itslimitation to domes based on regular polygons. Moreo-ver, the accuracy with which the behaviour of real domesis described may suffer because of the simplificationsconsisting in the application of the membrane theory tocylindrical shells and the omission of the ribs’ bendingand shearing. The rotating dome is the subject of analy-sis in the chapters that follow.

2.2. Assumptions of membrane theory

The traditional approach to the static solution ofdomes is based on the membrane theory. The ideal modelassumes an infinitely thin shell in which membrane forc-es (a membrane state) occur. Very thin shells may be indanger of buckling locally. The problem arises for civilengineering applications and may be important if thespans are very large. The membrane stress resultants havedimensions of force per unit length. This state of stressis correct for roofs whose span to thickness ratio is con-siderable. Assuming Rc to be a curvature radius one candefine the span of the dome as 2 · Rc. The dome’s thick-ness is denoted as t. If the span/thickness ratio is consid-erable (index ψ = Rc / t >20), one can assumea membrane state (shell forces Nϕ and Nθ) to be present.Otherwise, one should take into account the stresses ex-isting along shell thickness σr.

The foremost historic (masonry, concrete or rein-forced concrete) domes in the world are characterizedby the following index ψ values:

– the dome of St. Peter’s Basilica in Rome ψ ≈ 7– the Pantheon in Rome ψ ≈ 6– Hagia Sophia in Istanbul ψ ≈ 5– Gol Gumad in Bijapur ψ ≈ 6– the Church in Owińska ψ ≈ 20In the last case the above condition is satisfied since

the averaged span of the dome of the Church in Owińs-ka amounts to 14.8 m and the dome’s thickness is ina range of 0.35–0.38 m (Wierszycki, 2001). The span ofhistoric domes in Italy would be in a range of 8–20 m(Kowal, 2000). If the state of stress in such structures isto be analyzed in accordance with the membrane theo-ry, shell thickness should not exceed 0.25–0.50 m, whichusually is not the case. The span of the spherical domesof the baroque side chapels in Poland usually did notexceed 8–15 m.

It follows from the above that when analyzing thestate of stress of most of the domes one should take intoaccount the stresses stemming from shell thickness. Ac-cording to the membrane theory, such a small shell thick-ness should be assumed that the shell’s bending rigiditywill be negligible in comparison to the elongation rigid-ity (Csonka, 1969). It is also assumed that the membraneforces arising in the shell are uniformly distributed andthat their resultant lies on the central surface. Obviously,

2. Zachowanie statyczne kopuł

2.1. Kopuły obrotowe i wieloboczne

Najczęściej występującym przypadkiem sklepień o za-łożeniu centralnym jest kopuła obrotowa. W przeciwień-stwie do sklepień klasztornych (np. na rzucie ośmioboku)kopuła jest konstrukcją o podwójnej krzywiźnie. Zarów-no kopuły, jak i sklepienia klasztorne mogą występowaćw zróżnicowanych formach, począwszy od zmian krzy-wizny, poprzez wymiar wyniesienia, na zmianach rzutu(kształt elipsy) skończywszy. Z tego względu utrudnionejest znalezienie i opisanie dokładnego rozwiązania anali-tycznego, gdyż zachowanie statyczne kopuł jest bezpo-średnio związane z ich kształtem geometrycznym. Roz-wiązanie analityczne kopuł wielobocznych przedstawio-no w pracy (Jasieńko i inni, 2006). W przybliżeniu moż-na przyjąć, że w powłokach walcowych tworzących sek-tory kopuły występuje błonowy stan naprężenia. Wzdłużwieloboku podstawy wyodrębnia się wieniec podporowy,w którym koncentrują się naprężenia normalne rozciąga-jące. Występowanie żeber w istotny sposób różni kopuływieloboczne od kopuł obrotowych.

Teoria kopuł wielobocznych jest trudna w praktycz-nym stosowaniu z uwagi na skomplikowaną budowęwzorów oraz ograniczenia jej przedmiotu do kopuł roz-piętych na wielobokach foremnych. Ponadto uproszcze-nia polegające na stosowaniu teorii błonowej dla powłokwalcowych oraz pominięcie zginania i ścinania żeber,mogą mniej dokładnie opisywać prace kopuły rzeczywi-stej. W dalszej części pracy poddano analizie konstruk-cję obrotową.

2.2. Założenia teorii membranowej

Klasyczne podejście w rozwiązywaniu statycznymkopuł bazuje na teorii membranowej. Model idealnyzakłada nieskończenie cienką powłokę, w której wystę-pują siły membranowe (stan błonowy). Taki stan naprę-żeń jest słuszny w przypadku przekryć dla których sto-sunek rozpiętości do grubości jest znaczny. Przyjmującza Rc promień krzywizny można określić rozpiętość ko-puły jako 2 · Rc. Grubość kopuły oznaczono jako t. Jeślistosunek rozpiętości do grubości jest znaczny (wskaźnikψ = Rc / t > 20), można założyć występowanie stanu bło-nowego (siły powłokowe Nϕ i Nθ). W przeciwnym wy-padku należy uwzględnić naprężenia występujące na kie-runku grubości powłoki σr.

Przykładowe historyczne kopuły świata (zarównomurowane jak i betonowe czy żelbetowe) mają następu-jące wartości wskaźnika ψ:

– Kopuła Bazyliki św. Piotra w Rzymie ψ ≈ 7– Panteon w Rzymie ψ ≈ 6– Hagia Sofia w Stambule ψ ≈ 5– Gol Gumad w Bijapur ψ ≈ 6– Kościół w Owińskach ψ ≈ 20Ostatni przykład pokazuje spełnienie warunku, gdyż

uśredniona rozpiętość kopuły kościoła w Owińskachwynosi 14,8 m, a grubość kopuły zawiera się w przedziale0,35–0,38 m (Wierszycki, 2001). Rozpiętość historycz-nych kopuł na terenie Włoch zawierała się najczęściejw przedziale 8–20 m (Kowal, 2000). Aby stan naprężeń

Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011 145

the above assumptions are only seldom (and in most cas-es, not fully) practicable. Thus the results obtained onthe basis of the membrane theory of shells can be accu-rate only to a limited degree (Csonka, 1969).

3. Equivalent ring model

3.1. Dome solution in accordancewith membrane theory

3.1.1. Dome geometryThe analyzed structure is a technical model of the

rotating dome with curvature radius Rc = 1.5 m and con-siderably large thickness relative to span t = 33.5 cm. Forthe above data, index ψ ≈ 4,5.

3.1.2. Material characteristicsProper material characteristics should be selected in

order to enable the calibration of the numerical modelto the physical model of the structure. Since currentlyproduced brick and lime mortar are used in laboratorytests, the analytically and numerically modelled materialhas the corresponding properties. From the macroscop-ic point of view, it can be assumed that the separatelyconsidered solid masonry units and the mortar are ho-mogenous isotropic materials, but differing in their phys-ical properties. The anisotropy of masonry manifests it-self mainly in its elastic or strength properties. In macro-scopic models it is usually assumed that masonry hasorthotropic properties.

3.1.3. LoadsThe shell is loaded with its self weight g, which for

a masonry structure with prescribed thickness t is as-sumed to be g = 7 kN/m2.

3.1.4. Analytical solution in accordancewith elasticity theory

The analytical solution for rotating domes, present-ed in (Heymann 1977), is used in this paper. The forcesare denoted as follows: + tension, – compression.

The meridional forces in the dome, generated by theself weight are expressed by the formula:

(1)

It appears from the above formula that the meridi-onal forces:vary from Nϕ = –0.5 · g · Rc at ϕ = 0o

to Nϕ = – g · Rc at ϕ = 90o.In the considered case, the forces are within this in-

terval: Nϕ = [(–5.25) ÷ (–10.50)] kN/m.The latitudinal forces in the dome, generated by the

self weight, are expressed by the formula:

(2)

It appears from the formula that the latitudinalforces:

w takich konstrukcjach mógł być rozpatrywany zgodniez teorią błonową, grubość powłok nie powinna przekra-czać 0,25–0,50 m, co najczęściej nie jest spełnione.W przypadku barokowych kaplic bocznych kościołów naterenie Polski rozpiętość kopuł sferycznych nie przekra-czała zwykle 8–15 m.

Z powyższych danych wynika fakt, iż w analizie stanunaprężeń większości kopuł powinno się uwzględniać na-prężenia wynikające z grubości powłoki. Zgodnie z teo-rią błonową zakłada się tak małą grubość powłoki, że jejsztywność na zginanie może być pominięta w porówna-niu do sztywności wydłużenia (Csonka, 1969). Przyjmu-je się takie założenie, iż siły błonowe powstające w po-włoce są na jej grubości równomiernie rozłożone oraz żeich wypadkowa leży na powierzchni środkowej. Założe-nia te można oczywiście tylko rzadko – i przeważnie niecałkowicie – zrealizować w rzeczywistości. Wyniki uzy-skane na podstawie błonowej teorii powłok mogą miećzatem tylko ograniczoną dokładność (Csonka, 1969).

3. Ekwiwalentny model pierścienia

3.1. Rozwiązanie kopuły zgodniez teorią błonową

3.1.1. Geometria kopułyZałożono, iż badaną konstrukcją jest model technicz-

ny kopuły obrotowej o promieniu krzywizny Rc = 1,5 mi znacznej grubości w stosunku do rozpiętościt = 33,5 cm. Dla powyższych danych wskaźnik ψ ≈ 4,5.

3.1.2. Charakterystyka materiałowaDobór odpowiednich charakterystyk materiałowych

ma na celu umożliwienie kalibracji modelu numerycz-nego z modelem fizycznym konstrukcji. Z uwagi na fakt,iż w badaniach laboratoryjnych wykorzystuje się cegłęi zaprawę wapienną produkowaną współcześnie, analo-giczne właściwości ma materiał modelowany analitycz-ne i numerycznie. W ujęciu makroskopowym możnaprzyjąć, że elementy murowe pełne oraz zaprawa, trak-towane z osobna, są materiałami jednorodnymi izotro-powymi, lecz o różnych właściwościach fizycznych. Ani-zotropia muru przejawia się głównie w jego właściwo-ściach sprężystych oraz wytrzymałościowych. W mode-lach makroskopowych najczęściej przyjmuje się, że murma właściwości ortotropowe.

3.1.3. ObciążeniaPowłoka jest obciążona ciężarem własnym g, które-

go wartość dla konstrukcji murowej o zadanej grubości tprzyjęto g = 7 kN/m2.

3.1.4. Rozwiązanie analityczne zgodniez teorią sprężystości

W pracy wykorzystano znane rozwiązania analitycz-ne dla kopuł obrotowych (Heymann, 1977). Przyjętonastępujące znakowanie sił: + rozciąganie, – ściskanie.

Siły południkowe w kopule od ciężaru własnegowyrażone są wzorem:

(1)

146 Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011

range from Nθ = –0.5 · g · Rc at ϕ = 0o

to Nθ = g · Rc at ϕ = 90o.In the considered case, the forces are within the in-

terval: Nθ = [(–5.25) ÷ 10.50] kN/m. The sign of theforces changes at angle ϕ0 = 51o49'. The analytical solu-tion is shown in fig. 2.

3.1.5. Numerical solution obtainedusing program LUSAS FEA

The analytical solutions for the uniformly loadedrotating dome on the plan of a circle are commonlyknown, whereas the calculation of the differential equa-tions for cloister vaults (polygonal domes) may presentdifficulties in engineering practice. Therefore it is nec-essary to adopt a discrete model to replace the analyticalsolutions with algebraic solutions, using the finite ele-ment method (FEM). This is critical in the case of his-toric buildings, particularly the ones in immediate fail-ure condition, where each decision can be fraught withconsequences. For the purposes of this research, numer-ical simulations of the dome were carried out and latitu-dinal forces Nθ were determined.

The complex composite (two-material) structureand nonlinear characteristic of masonry make it neces-sary to introduce a uniformed, homogenized equiva-lent medium. Basically, two methods of computer mod-elling, i.e. micromodelling and macromodelling, can bedistinguished. When an equivalent material model isused, the two-material composite is transformed intoa homogenous model. For the purposes of this researchtwo basic materials forming the dome structure: a brickmodular unit and lime mortar (most commonly foundin historic structures) were assumed. A model ofa quasi-brittle material with a nonlinear characteristicwas adopted. The failure mechanism of such a modelarises due to the appearance of internal microcrackswhich subsequently develop into clearly visible macro-cracks.

Fig. 3 shows a map of stresses in the latitudinal di-rection of the rotating dome. The model was made us-ing the program LUSAS FEA v.14.5-2 and 4800 sur-face elements of the TSL6 type (triangular thin-shellelements).

3.1.6. Comparison of resultsIn table 1 the latitudinal force values are compared

for the analytical solution (obtained using formula 2) andthe numerical solution (Lusas FEA) for selected valuesof angle ϕ.

Z powyższego wzoru widać, iż siły południkowezmieniają się w zakresie:od Nϕ = –0,5 · g · Rc dla ϕ = 0o

do Nϕ = – g · Rc dla ϕ = 90o.Dla zadanego przypadku wartości sił zawierają się

w przedziale Nϕ = [(–5,25) ÷ (–10,50)] kN/m.Siły równoleżnikowe w kopule od ciężaru własnego

wyrażone są wzorem:

(2)

Z powyższego wzoru widać, iż siły równoleżnikowezmieniają się w zakresie:od Nθ = –0,5 · g · Rc dla ϕ = 0o

do Nθ = g · Rc dla ϕ = 90o.Dla zadanego przypadku wartości sił zawierają się

w przedziale: Nθ = [(–5,25) ÷ 10,50] kN/m. Zmianaznaku sił występuje przy wartości kąta ϕ0 = 51o49'. Roz-wiązanie analityczne zaprezentowano na ryc. 2.

3.1.5. Rozwiązanie numeryczne przeprowadzonew programie LUSAS FEA

O ile rozwiązania analityczne kopuły obrotowej narzucie okręgu obciążonej równomiernie są powszechnieznane, o tyle obliczanie za pomocą równań różniczkowychsklepień klasztornych (kopuł wielobocznych) może na-stręczać trudności w praktyce inżynierskiej. Wobec powyż-szego nieodzownym staje się przyjęcie modelu dyskret-nego celem zastąpienia rozwiązań analitycznych, rozwią-zaniami algebraicznymi przy użyciu Metody ElementówSkończonych (MES). Szczególnego znaczenia nabiera tow przypadku analizy obiektów historycznych, a w szcze-gólności w stanach awaryjnych, gdzie każda decyzja możebyć brzemienna w skutkach. Dla celów niniejszej pracyprzeprowadzono symulacje numeryczne kopuły wrazz określeniem sił równoleżnikowych Nθ.

Złożona, kompozytowa (dwumateriałowa) struktu-ra i nieliniowa charakterystyka muru wymaga wprowa-dzenia ujednoliconego, zhomogenizowanego ośrodkazastępczego. Zasadniczo można wskazać dwa sposobymodelowania komputerowego: mikromodeling i makro-modeling. W przypadku zastosowania modelu materia-łu ekwiwalentnego dwumateriałowy kompozyt zostajeprzekształcony w model jednorodny. Dla celów niniej-szej pracy założono dwa podstawowe materiały tworzą-ce konstrukcję kopuły: element blokowy z cegły orazzaprawa wapienna (najpowszechniej występująca w kon-strukcjach historycznych). Przyjęto model quasi-kruche-

wartość kąta ϕ [o] 0 o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o

angle ϕ

Nθ rozwiązanie analityczne [kN/m] –5.25 –5.05 –4.45 –3.47 –2.10 –0.35 1.75 4.23 7.12 10.50Nθ analytical solution

Nθ rozwiązanie numeryczne [kN/m] –5.29 –5.08 –4.47 –3.49 –2.11 –0.34 1.76 4.24 7.14 10.52Nθ numerical solution

Tab. 1. Porównanie wartości sił równoleżnikowych dla rozwiązania analitycznego i numerycznegoTab. 1. Comparison of latitudinal force value for analytical and numerical solution

Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011 147

The numerically determined angle ϕo, at which thesign of the latitudinal forces changes in both cases,amounts to ~54o.

3.2. Characterization of latitudinal band

The solutions presented in sect. 3.1 assume the stateof stress in the shell in accordance with the membranetheory. As pointed out earlier, a substantial number ofhistoric building structures should be analyzed in accord-ance with the theory of thick shells. In order to assessthe effect of dome thickness t on the distribution of in-ternal forces, a latitudinal band for angle ϕ = 80o was iso-lated whereby the influence of the stress disturbance atthe support ring was eliminated.

3.3. Solution of equivalent masonry ring

3.3.1. Ring geometryThe ring has central radius Rc = 1,5 m, it is

t = 33,5 cm thick and ∆m = 25 cm high.

3.3.2. Characterization of materialThe same material properties as in sect. 3.12. were

assumed. For the numerical model a concrete materialmodel representing the behaviour of a brittle material,similar to that of a masonry structure, was adopted.

3.3.3. LoadsInternal pressure p [kN/m2] acts on the inner face of

the ring, uniformly along its circle. The value of pres-sure p was iteratively matched to the dome analyticalsolution for the prescribed angle ϕ = 80o. It was assumedthat the ring’s centre line coincides with the central sur-face of the dome’s shell. According to the analytical so-lution the membrane force in the latitudinal directionamounts to 7.12 kN/m. Internal pressure p was calculat-ed in accordance with Lame’s solution for the centre lineof a thick-walled ring

.

3.3.4. Solution of Lame problem(Krzyś and Życzkowski, 1962)

The plane problem solution was assumed. Assum-ing that stress perpendicular to ring surface σz = 0, inthe elastic strains range, radial stress σr, circumferentialstress σθ and displacement u are expressed by the for-mulas:

(3)

(4)

(5)

go materiału o nieliniowej charakterystyce. Mechanizmzniszczenia takiego modelu powstaje na skutek pojawie-nia się wewnętrznych mikrorys zmieniających się następ-nie w wyraźnie już widoczne makrorysy.

Na ryc. 3 przedstawiono mapę naprężeń na kierun-ku równoleżnikowym kopuły obrotowej. Model zostałwykonany w programie LUSAS FEA v.14.5-2. Wyko-rzystano 4800 elementów powierzchniowych typuTSL6 (Trójkątne Elementy Cienkopowłokowe).

3.1.6. Porównanie wynikówTabela 1 przedstawia porównanie wartości sił rów-

noleżnikowych dla rozwiązania analitycznego (na pod-stawie wzoru 2) i numerycznego (Lusas FEA) dla wy-branych wartości kąta ϕ.

Numerycznie oznaczony kąt ϕo, dla którego w obuprzypadkach występuje zmiana znaku sił równoleżniko-wych, ma wartość ~54o.

3.2. Charakterystyka pasma równoleżnikowego

Rozwiązania przedstawione w pkt. 3.1 zakładają stannaprężeń w powłoce wg teorii błonowej. Jak wykazanowcześniej, znaczna część obiektów historycznych powin-na podlegać analizie wg teorii powłok grubych. Aby oce-nić wpływ grubości t kopuły na rozkład sił wewnętrz-nych, wyodrębniono pasmo równoleżnikowe dla kątaϕ = 80o, eliminując w ten sposób wpływ zaburzenia na-prężeń przy pierścieniu podporowym.

3.3. Rozwiązanie ekwiwalentnegopierścienia murowego

3.3.1. Geometria pierścieniaPierścień o promieniu środkowym Rc = 1,5 m, gru-

bości t = 33,5 cm oraz wysokości ∆m = 25 cm.

3.3.2. Charakterystyka materiałowaPrzyjęto właściwości materiałowe analogicznie jak

w rozważaniach w pkt. 3.1.2. Dla modelu numeryczne-go założono betonowy model materiałowy „concrete”,który reprezentuje zachowanie materiału kruchego, zbli-żone do zachowania konstrukcji murowej.

3.3.3. ObciążeniaCiśnienie wewnętrzne p [kN/m2] oddziaływające na

wewnętrzne lico pierścienia, równomiernie po jego okrę-gu. Wartość ciśnienia p została dobrana iteracyjnie, abyosiągnąć wartość zgodną z rozwiązaniem analitycznymkopuły dla zadanego kąta ϕ = 80o. Założono, iż liniaśrodkowa pierścienia pokrywa się z powierzchnią środ-kową powłoki kopuły. Zgodnie z rozwiązaniem anali-tycznym wartość siły membranowej na kierunku rów-noleżnikowym jest równa 7,12 kN/m. Wartość ciśnieniawewnętrznego p obliczono zgodnie z rozwiązaniem La-mego dla linii środkowej pierścienia grubościennego

.

3.3.4. Rozwiązanie analityczne zagadnienia Lamego(Krzyś i Życzkowski, 1962)

Założono rozwiązanie zagadnienia płaskiego. W za-kresie odkształceń sprężystych przy założeniu, że naprę-

148 Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011

It appears from formulas (3, 4) that the highest cir-cumferential tensile stress σθ occurs on the ring’s innersurface. Considering that re ≥ r, radial stress σr < 0, i.e.according to the notation it is compressive stress. Assum-ing a unit ring thickness one can determine the forcestensioning and compressing the ring, as follows:

(6)

(7)

It was assumed that according to the membrane the-ory tensile forces occur in the centre line of the ring.Hence Nθ(Rc) = 7.12 kN/m and so p = 1.8025 kN/m2.

3.3.5. Numerical solution obtainedusing program LUSAS FEA

For this purpose 733 TPN6 (triangular plain-strain)surface elements were used A model of a 25 cm thickmodel was introduced.

3.3.6. Comparison of resultsTable 2 shows a comparison of the latitudinal forces

for the analytical solutions (based on formulas 3, 4, 6, 7)and the numerical solution (Lusas FEA) for points dis-tributed along ring thickness t in accordance with theformula:

(6)

It appears from the results calculated by the analyti-cal method and the numerical method that the differ-ences in the values are negligible and they are due solelyto the limited number of finite elements.

3.4. Conclusions from analyses

For simple strength cases the numerical simulationresults were found to converge with the results of theanalytical calculations done according to the theory ofelasticity. Latitudinal force Nθ = 7.14 kN/m calculatedin accordance with the membrane theory is located inthe centre line of the ring. Taking into account the Lamesolution for the ring loaded with internal pressure, theestimated increase in the tensile force on the vault’s in-ner plane amounts to +15%. The decrease in the tensileforce on the outer side amounts to –11%. According tothe analytical calculations, the maximum tensile force islocated on the ring’s inner side and it amounts toNθ,max(ri) = 8.17 kN/m, while the minimum tensile force

żenia prostopadłe do powierzchni pierścienia σz = 0, na-prężenia promieniowe σr, naprężenia obwodowe σθ orazprzemieszczenia u wyrażone są wzorami:

(3)

(4)

(5)

Z powyższych wzorów (3, 4) wynika, że największerozciągające naprężenie obwodowe σθ występuje po we-wnętrznej stronie pierścienia. Z uwagi na fakt, iż re ≥ r,to naprężenie promieniowe σr < 0, a więc zgodnie zeznakowaniem jest naprężeniem ściskającym. Zakładającjednostkową grubość pierścienia można wyznaczyć siłyrozciągające i ściskające pierścień:

(6)

(7)

Założono, iż zgodnie z teorią błonową siły rozciągającewystępują w linii środkowej pierścienia. W związku z po-wyższym Nθ(Rc) = 7,12 kN/m. Stąd p = 1,8025 kN/m2.

3.3.5. Rozwiązanie numeryczne przeprowadzonew programie LUSAS FEA

Wykorzystano 733 elementy powierzchniowe typuTPN6 (Trójkątne Elementy Płaskiego Odkształcenia).Wprowadzono model pierścienia o grubości 25 cm.

3.3.6. Porównanie wynikówTabela 2 przedstawia porównanie wartości sił rów-

noleżnikowych dla rozwiązań analitycznych (na podsta-wie wzorów 3, 4, 6, 7) i numerycznego (Lusas FEA) dlapunktów rozłożonych na grubości t pierścienia, zgodnieze wzorem:

(6)

Z porównania wyników obliczeń metodą analitycz-ną i numeryczną widać, że różnice w wartościach są po-mijalne i wynikają tylko i wyłącznie z ograniczonej licz-by elementów skończonych.

∆r [cm] 33.5 27.9 22.3 16.8 11.2 5.6 0.0

Nθ rozwiązanie analityczne [kN/m] 6.37 6.59 6.84 7.12 7.43 7.78 8.17Nθ analytical solution

Nθ rozwiązanie numeryczne [kN/m] 6.37 6.60 6.84 7.14 7.43 7.79 8.17Nθ numerical solution

Tab. 2. Porównanie wartości sił równoleżnikowych dla rozwiązania analitycznego i numerycznegoTab. 2. Comparison of latitudinal forces for analytical and numerical solutions

Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011 149

Ryc. 1. Osiowe rozciąganie muru: a) w kierun−ku prostopadłym do spoin wspornych; b) w kie−runku równoległym do spoin wspornychFig. 1. Axial tensioning of masonry: a) in di−rection perpendicular to bed joints; b) in direc−tion parallel to bed joints

Ryc. 2. a) rozwiązane analityczne kopuły obrotowej od obciążenia ciężarem własnym, b) siłypołudnikowe Nϕ, c) siły równoleżnikowe NθFig. 2. a) Analytical solution for rotating dome under its dead weight,b) meridional forces Nϕ, c) latitudinal forces Nθ

Ryc. 3. Mapa naprężeń równoleżnikowych NθFig. 3. Map of latitudinal stresses Nθ

Ryc. 4. Geometria pierścienia rozciąganegociśnieniem wewnętrznym pFig. 4. Geometry of ring tensioned by inter−nal pressure p

Ryc. 5. Naprężenia: a) rozciągające Nθ, b) ści−skające Nr, w pierścieniu od obciążenia ci−śnieniem wewnętrznymFig. 5. Stresses in ring under internal pres−sure: a) tensile stress Nθ, b) compressivestress Nr

Ryc. 6. Mapy sił: a) Nθ i b) NrFig. 6. Maps of forces a) Nθ and b) Nr

Ryc. 7. Charakterystyczne przekroje wzajemnie prostopadłe przez kopułę obrotową:a) kopuła niewzmocniona; b) kopuła wzmocniona po stronie zewnętrznej; c) kopuła wzmoc−niona po stronie wewnętrznej; d) kopuła wzmocniona poprzez wykonanie szczeliny nagrubości powłoki z aplikowanym wzmocnieniemFig. 7. Characteristic mutually perpendicular cross sections through rotating dome: a) un−reinforced dome; b) dome reinforced from outside; c) dome reinforced from inside; d) domewith reinforcement applied in cut made along dome thickness

150 Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011

is located on the outer side and it amounts to Nθ,min(re) =6.37 kN/m. The calculation results were confirmed bythose of the numerical simulations. The analyses weremade for the models of the dome and the ring. In thenext stage, laboratory tests on physical models need tobe made to corroborate the calculation results.

4. Strengthening of domesin latitudinal direction

Domes are strengthened mainly in the latitudinal di-rection. Throughout history various building materialsand techniques, enabling the transfer of tensile forces (inthe case of a semicircular rotating dome, usually occur-ring in the shell’s lower parts), have been used. Thedomes built in the 17th and 18th centuries included ironchains on several levels in their structure (de Martinoand Russ, 2005), which shows that the builders were ofthe distribution of tensile forces in rotating and polygo-nal (cloister vaults) domes.

The traditional techniques adequately increase thedome’s load capacity, rigidity and durability, but they arelabour-intensive, often irreversible and aesthetically andconservationwise questionable. Thanks to the use of fi-brous building materials masonry structures are able tocarry tensile stresses. A significant advantage of suchmaterials is that they are easily adjustable to curved andrough surfaces (especially to meshes embedded in a min-eral matrix).

Tests carried out on a dome strengthened with FRP(fibre reinforced polymer) strips glued on with epoxyresins along the latitudinal direction were presented in(Foraboschi, 2004). Their aim was to create such a rein-forcing system which would eliminate the hinge-likemechanism of failure. The obtained results made it pos-sible to precisely identify the mechanisms of failure ofdifferent masonry vaults (barrel, cross and cloister vaultsand rotating domes). The most common forms of fail-ure were found to be: (1) the crushing of the masonrypart, (2) sliding in the bond between the reinforcingmaterial and the masonry, (3) debonding of the reinforc-ing material from the masonry and (4) rupture of theFRP strip. One of the rotating dome models was rein-forced with an FRP strip glued on circumferentially atthe level of the lowest abutment ring. No strain in thestrip situated in this way was registered at the instant offailure. The next model was reinforced with four FRPstrips uniformly spaced from the abutment to the top ofthe dome. The strips did not change the failure mecha-nism through the isolation of independent masonry frag-ments, but replaced the formation of hinges with thecrushing of bricks. Thus one can conclude that the rein-forcement changed the failure mechanism, but it did notchange the character of the deformation. A polygonaldome (four cylindrical surfaces) was reinforced with fourstrips bilaterally strengthening the quoin, and a latitudi-nal strip (rectangular in plan) in the dome’s upper part.The circumferential reinforcement did not change thedivision of the structure into four parts, but it changedthe failure mechanism from the hinge-like failure to therupture of the strip, which contributed to an increase infailure load and consequently, in load capacity. Circum-

3.4. Wnioski z analiz

Dla prostych przypadków wytrzymałościowych wy-stępuje zbieżność symulacji numerycznych z obliczenia-mi analitycznymi zgodnymi z teorią sprężystości. Siłarównoleżnikowa Nθ = 7,14 kN/m obliczona zgodniez teorią membranową znajduje się w linii środkowej pier-ścienia podlegającego kolejnej analizie. Uwzględniającrozwiązanie Lamego pierścienia obciążonego ciśnieniemwewnętrznym można oszacować wzrost siły rozciągają-cej na wewnętrznej płaszczyźnie sklepienia o +15%. Na-tomiast zmniejszenie siły rozciągającej po stronie ze-wnętrznej wynosi –11%. Wg obliczeń analitycznych mak-symalna siła rozciągająca znajduje się po wewnętrznejstronie pierścienia i wynosi Nθ,max(ri) = 8,17 kN/m, na-tomiast minimalna wartość siły rozciągającej znajduje siępo stronie zewnętrznej i wynosi Nθ,min(re) = 6,37 kN/m.Obliczenia zostały potwierdzone symulacjami numerycz-nymi. Analizy zostały przeprowadzone dla modeli kopu-ły i pierścienia, które w następnym etapie można zreali-zować w warunkach laboratoryjnych i potwierdzić wyni-ki obliczeń poprzez badania na modelach fizycznych.

4. Wzmacnianie kopuł na kierunkurównoleżnikowym

Wzmacnianie kopuł odbywa się głównie na kierun-ku równoleżnikowym. Na przestrzeni dziejów używa-no różnych materiałów budowlanych oraz technik, któ-re umożliwiały przenoszenie sił rozciągających wystę-pujących najczęściej (w przypadku półkolistej kopułyobrotowej) w dolnych partiach powłoki. Obiekty reali-zowane w XVII i XVIII wieku zawierały w swoich kon-strukcjach łańcuchy żelazne w kilku poziomach (deMartino i Russ 2005), co świadczy o świadomości ów-czesnych budowniczych o rozkładzie sił rozciągającychw kopułach obrotowych i wielobocznych (sklepieniaklasztornych).

Tradycyjne techniki z jednej strony umożliwiają od-powiedni wzrost nośności, sztywności i trwałości, z dru-giej strony są pracochłonne, często nieodwracalne i bu-dzą wątpliwości natury estetycznej oraz z punktu widze-nia konserwatorskiego. Materiały budowlane o charak-terze włóknistym umożliwiają konstrukcji murowejprzenoszenie naprężeń rozciągających. Istotną zaletą tychmateriałów jest łatwa adaptacja do powierzchni zakrzy-wionych i szorstkich (w szczególności w przypadku uży-cia siatek zatapianych w matrycy mineralnej).

Badania kopuły wzmocnionej za pomocą taśm FRPdoklejonych przy użyciu żywic epoksydowych (FiberReinforced Polymer) na kierunku równoleżnikowymprzedstawiono w pracy (Foraboschi, 2004). Celem ba-dań było stworzenie takiego układu wzmacniającego,który wyeliminowałby przegubowy mechanizm znisz-czenia. Otrzymane wyniki umożliwiły sprecyzowaniemechanizmów zniszczenia różnych sklepień murowa-nych (kolebkowych, krzyżowych, klasztornych oraz ko-puł obrotowych). Wykazano, iż najczęstsze postaciezniszczenia to: (1) zmiażdżenie części murowej, (2) po-ślizg na połączeniu materiału wzmacniającego z częściąmurową, (3) odspojenie materiału wzmacniającego odczęści murowej oraz (4) zerwanie taśmy FRP. Jeden

Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011 151

ferential reinforcement with strips at the level of thehaunches (1/3 of the dome’s height) is more effectivethan reinforcement at the level of the polygonal dome’stop. Consequently, the reinforcement of the dome at thelevel of the haunches resulted in a more than double in-crease in the failure load. In this way the authors havedemonstrated that the meridional reinforcement (in theplaces where the ribs are situated) of the polygonal domedoes not contribute to any improvement in the load ca-pacity of the structure.

Figure 7 shows mutually perpendicular cross sectionthrough fragments of the rotating dome.

The traditional approach to reinforcing is shown infig. 7b). It is advantageous as regards the application andprestressing of the reinforcing elements. Figure 7c) showsreinforcement advantageous as regards the distributionof tensile forces along the ring’s thickness. However, thismethod is disadvantageous as concerns the aesthetic as-pects since the inner surface of the intrados is often cov-ered with paintings or coffers. Figure 7d) shows rein-forcement in a slit extending down to 1/3 of the shell’sthickness, which may be covered from the dome’s in-side and is consistent with the distribution of internalforces along the ring’s thickness.

In order to ensure proper diffusion conditions ina historic building, the number of reinforcing elements,and so the roof surface, must be limited. Computationalmethods have made significant advances for the analysisof historic masonry structures. They require significantassumptions about material properties and other mod-elling parameters. Therefore studies aimed at determin-ing the increase in the load capacity and rigidity of thestructure after the application of strip reinforcement needto be carried out. On the basis of the acquired data onecan minimize the number of reinforcing elements andobtain a sufficient load capacity margin and a maximumdiffusion area at a minimum interference into the his-toric substance.

On the basis of the forms of failure of masonry arch-es, described in, e.g., (Foraboschi, 2004) and (Jasieńkoand Bednarz, 2010), and the conclusions emerging fromthe reported research presented in this paper, one mayanticipate the following main forms of failure of rein-forced rings under tension stresses:

– the exceedance of the tensile strength of themortar;

– debonding;– rupture of the reinforcing material.The above anticipations will be verified through nu-

merical simulations and laboratory studies in the nearfuture.

5. ConclusionsIn most cases, a masonry structure’s immediate fail-

ure condition is diagnosed from the pattern of cracks vis-ible on the vault’s surface. Cracks divide the shell intoindividual parts which behave as two-dimensional struc-tures usually modelled as arches (Jasieńko and Bednarz,2010). This approach does not fully cover the problemsconnected with tensile stresses which play the key rolein roofs with spatial double-curvature geometry.

z modeli kopuły obrotowej został wzmocniony za po-mocą taśmy FRP doklejonej w sposób obwodowy nawysokości najniższego pierścienia wezgłowiowego. Za-rejestrowano brak wytężenia tak usytuowanej taśmyw momencie zniszczenia. Następny model wzmocnio-ny został czterema pasmami taśm FRP w równomier-nym rozstawie od wezgłowia aż po koronę kopuły. Ta-śmy nie zmieniły modelu zniszczenia poprzez wyod-rębnienie niezależnych fragmentów murowych, leczzastąpiły powstanie przegubów na rzecz zmiażdżeniacegieł. Stąd wniosek, iż wzmocnienie zmieniło mecha-nizm zniszczenia, natomiast nie zmieniło charakterudeformacji. Kopuła wieloboczna (cztery powierzchniewalcowe) została wzmocniona za pomocą 4 taśm obu-stronnie wzmacniających naroże oraz taśmy równoleż-nikowej (o rzucie prostokąta) w górnej partii kopuły.Wzmocnienie obwodowe nie zmieniło podziału kon-strukcji na 4 części, natomiast umożliwiło zmianę me-chanizmu zniszczenia z przegubowego na zerwanie ta-śmy, co w efekcie dało zwiększenie obciążenia niszczą-cego, a zatem wzrost nośności. Wzmocnienie obwodo-we za pomocą taśm na wysokości pach (1/3 wysokościkopuły) jest bardziej efektywne niż wzmocnienie nawysokości korony kopuły wielobocznej. W efekciewzmocnienie sklepienia na wysokości pach dało ponad-dwukrotne zwiększenie obciążenia niszczącego. Auto-rzy dowiedli, iż wzmocnienie na kierunku południko-wym kopuły wielobocznej (w miejscach usytuowaniażeber) nie jest zasadne z punktu widzenia polepszenianośności ustroju.

Na ryc. 7 przedstawiono wzajemnie prostopadłe prze-kroje przez fragmenty kopuły obrotowej.

Tradycyjne podejście do wzmacniania zaprezentowa-no na ryc. 7b. Jest ono korzystne z punktu widzenia apli-kacji i sprężenia elementów wzmacniających. Na ryc. 7czaproponowano wzmocnienie korzystne z uwagi na roz-kład sił rozciągających na grubości pierścienia. Jest tosposób niekorzystny z uwagi na aspekty estetyczne, gdyżwewnętrzna powierzchnia podniebienia jest często po-kryta malowidłami lub kasetonami. Ryc. 7d przedstawiasposób wzmocnienia w szczelinie dochodzącej do 1/3grubości powłoki. Takie rozwiązanie może być zakryteod wnętrza obiektu i jest zgodnie z rozkładem sil we-wnętrznych na grubości pierścienia.

Aby zapewnić odpowiednie warunki dyfuzyjnew obiekcie historycznym, liczba elementów wzmacnia-jących, a tym samym powierzchnia pokrywająca, musibyć ograniczona. Niezbędne są zatem badania umożli-wiające określenie przyrostu nośności i sztywności ist-niejącej konstrukcji po zastosowaniu wzmocnienia w for-mie pasmowej. Mając tak określone dane można zmini-malizować ilość elementów wzmacniających, uzyskującw ten sposób dostateczny zapas nośności, maksymalnąpowierzchnię dyfuzyjną oraz minimalną ingerencjęw substancję zabytkową.

Analizując postacie zniszczenia, które wystąpiływ przypadku badania łuków murowanych między in-nymi w pracach (Foraboschi, 2004) i (Jasieńko i Bed-narz, 2010), oraz wnioski płynące z przytoczonych pro-gramów badawczych, można prognozować następują-ce postacie zniszczenia wzmocnionych pierścieni roz-ciąganych:

152 Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011

Masonry structures in the form of the domes of his-toric buildings are characterized by a high value of coef-ficient ψ (defined in sect. 2.2). Consequently, the resultsof roof calculations in accordance with the membranetheory usually carry an error. Analytical solutions con-sistent with the theory of thick shells are complicatedand inconvenient to use in present-day design projects.Numerical modelling based on 3D shell elements stillcarries an error. The approach consisting in the (analyt-ical or numerical) calculation of the dome and then inthe calculation (in accordance with Lame’s solution) ofthe ring may indicate (depending on thickness t) a localincrease in stress on the vault’s intrados. In the case ofthe model presented in this paper, the increase amountsto +15%.

Also the choice of appropriate reinforcing techniquesis important. The traditional reinforcement is in the formof (usually a few) external circumferential rings situatedon different levels. For this purposes reinforced concretestructures, steel sections or tendons are typically used.Today reinforcements are made using fibre materials.Particularly worthy of note are meshes based on steel,carbon and glass fibres, embedded in a mineral (oftennoncementitious) matrix.

It emerges from this study that laboratory tests ofmasonry rings tensioned by an internal stretcher bar, sim-ulating in this way the axial tension of the masonry crosssection, need to be carried out. The numerical studiesrepresent the initial stage on the basis of which furtherstudies using physical models can be designed. For thepurposes of laboratory studies one can omit the com-pressive loads in the meridional direction and investi-gate a model of a ring tensioned from inside to generatea state of tensile stress. In the next stage reinforcing ele-ments should be introduced on the outer or inner side.Finally, the laboratory results should be validated by nu-merical simulations.

Paper sent to the Science Committee of World Conference “Domesin the World”, Florence, March 2012.

– przekroczenie wytrzymałości zaprawy na rozcią-ganie,

– poślizg,– zerwanie materiału wzmacniającego.Powyższe przypuszczenia należy w następnych eta-

pach sprawdzić poprzez symulacje numeryczne i bada-nia laboratoryjne.

5. WnioskiStan zagrożenia konstrukcji murowanej jest w więk-

szości przypadków diagnozowany na podstawie układurys widocznego na powierzchni sklepienia. Rysy wydzie-lają w powłoce poszczególne części, które pracują jakokonstrukcje dwuwymiarowe, najczęściej modelowanew formie łuków (Jasieńko i Bednarz, 2010). Takie po-dejście nie wyczerpuje w pełni zagadnień naprężeń roz-ciągających, odgrywających główną rolę w przekryciacho przestrzennej geometrii dwukrzywiznowej.

Konstrukcje murowane realizowane w postaci sklepieńobiektów historycznych posiadają znaczną wartość współ-czynnika ψ (zdefiniowanego w pkt. 2.2). W związku z po-wyższym obliczanie przekryć zgodnie z teorią membra-nową jest zwykle obarczone błędem. Rozwiązania anali-tyczne zgodne z teorią powłok grubych są skomplikowa-ne i niewygodne dla stosowania we współczesnych opra-cowaniach projektowych. Modelowanie numerycznez użyciem elementów powłokowych przestrzennych jestnadal obarczone błędem. Podejście opierające się na obli-czaniu kopuły (analitycznym lub numerycznym), a na-stępnie na obliczaniu pierścienia (zgodnie z rozwiązaniemLamego), może wykazać (w zależności od grubości t) lo-kalny przyrost naprężeń po wewnętrznej stronie sklepie-nia. Dla modelu zaprezentowanego w pracy przyrost tenwynosi +15%.

Nie bez znaczenia jest również dobór odpowiednichtechnik wzmacniających. Klasyczne podejście do wzmac-niania jest realizowane w formie zewnętrznych pierścieniobwodowych (najczęściej kilku, na różnych poziomach).Do tego cel służą zwykle konstrukcje żelbetowe, profilestalowe lub cięgna. Współcześnie wzmocnienia realizo-wane są przy użyciu materiałów włóknistych. Na szcze-gólną uwagę zasługują siatki na bazie włókien stalowych,węglowych i szklanych zatapiane w matrycy mineralnej(często bezcementowej).

Niniejsza praca wskazuje zasadność przeprowadzeniabadań laboratoryjnych murowanych pierścieni, rozciąga-nych za pomocą rozporu wewnętrznego, symulując w tensposób stan osiowego rozciągania przekroju murowane-go. Badania numeryczne zrealizowano jako część wstęp-ną, która pozwala programować dalsze badania na mode-lach fizycznych. Dla celów wykonania badań laboratoryj-nych można pominąć obciążenia ściskające na kierunkupołudnikowym i zrealizować model pierścienia rozciąga-nego od wewnątrz, wywołując tym samym stan naprężeńrozciągających. Kolejnym etapem jest wprowadzenie ele-mentów wzmacniających po stronie zewnętrznej lub we-wnętrznej, z następnym potwierdzeniem wyników badańpoprzez symulacje numeryczne.

Pracę przesłano do komitetu światowej konferencji „Domes inthe World”, Florencja, marzec 2012.

Wiadomości Konserwatorskie • Conservation News • 30/2011 153

Literatura[1] Csonka P. (1969): Powłoki cienkie, stan błonowy, Ar-

kady, Warszawa.[2] Foraboschi P. (2004): Strengthening of Masonry Ar-

ches with Fibre-Reinforced Polymer Strips, Journal ofcomposites for construction, May/June.

[3] Heyman J. (1977): Equilibrium of shell structures,Oxford.

[4] Jasieńko J., Bednarz Ł. (2010): Strengthening of hi-storic masonry vaults, International Masonry Confe-rence, Dresden.

[5] Jasieńko J., Łodygowski T., Rapp P. (2006): Na-prawa, konserwacja i wzmacnianie wybranych, zabytko-wych konstrukcji ceglanych, DWE, Wrocław.

[6] Kowal E.A. (2000): Kopuła kościoła w Gostyniu, Wy-

dział Architektury Politechniki Wrocławskiej (roz-prawa doktorska), Wrocław.

[7] Krzyś W., Życzkowski M. (1962): Sprężystość i pla-styczność. Wybór zadań i przykładów, PWN, Warszawa.

[8] de Martino G., Russo V. (2005): Structural damageprevention in the historical building site. Theory and pra-xis in the eighteenth century in Campania, StructuralAnalysis of Historical Constructions – Modena,Lourenco-Roca.

[9] Wierszycki M. (2001): Analiza numeryczna ceglanejkopuły kościoła pocysterskiego pw. św. Jana Chrzcicielaw Owińskach koło Poznania, praca magisterska, Po-litechnika Poznańska.

[10] Lusas Theory Manual (2010).

Abstract

Both domes and cloister vaults may have differentforms, differing in their curvature, elevation and plan (inthe shape of an ellipse). Consequently, it is difficult tofind and describe an exact analytical solution since thestatic behaviour of domes is directly connected with theirgeometric shape. This paper deals with the static behav-iour of rotating domes with regard to their latitudinalstrengthening. The internal forces in the dome undera prescribed system of loads, and an equivalent systemof a single ring under tensile forces are presented. If themembrane state of the rotating dome shell is assumed,tensile forces appear at the level of the lower rings. Thena dome sector is subject to complex stress, i.e. compres-sion along the meridional direction and tension alongthe latitudinal direction. Comparative analyses for theanalytical solution and the numerical solution of the ro-tating dome and the masonry ring are carried out. Theproblem of determining the tensile strength of mason-ries as composites modelled by quasi-brittle materials isdiscussed. In addition, the assumptions for analyses basedon the membrane theory are discussed and an errorwhich may arise if shell thickness is not taken into ac-count is indicated. After the masonry structure is homog-enized an FEM analysis is carried out using the macro-modelling method to describe the static behaviour of themodel. The existing studies have mainly dealt with thearch as an element representative of all kinds of historicroofs with both single and double curvature. It is dem-onstrated that studies of masonry rings are useful withregard to the effectiveness of the latitudinal strengthen-ing of the dome’s double-curvature shell system.

Streszczenie

Zarówno kopuły, i jak sklepienia klasztorne mogąwystępować w zróżnicowanych formach, począwszy odzmian krzywizny poprzez wymiar wyniesienia, na zmia-nach rzutu (kształt elipsy) skończywszy. Z tego względuutrudnione jest znalezienie i opisanie dokładnego roz-wiązania analitycznego, gdyż zachowanie statyczne ko-puł jest bezpośrednio związane z ich kształtem geome-trycznym. Praca dotyczy zachowania statycznego kopułobrotowych w aspekcie ich wzmacniania na kierunkurównoleżnikowym. Przedstawiono siły wewnętrznew kopule przy zadanym układzie obciążeń oraz ekwiwa-lenty układ pojedynczego pierścienia pod działaniemobciążeń rozciągających. Po przyjęciu stanu błonowegow powłoce kopuły obrotowej, na poziomie dolnych pier-ścieni pojawiają się siły rozciągające. Wycinek powłokipracuje wówczas w złożonym stanie naprężenia, dla któ-rego występuje ściskanie na kierunku południkowymoraz rozciąganie na kierunku równoleżnikowym. Celempracy jest przedstawienie analiz porównawczych dla ko-puły obrotowej oraz pierścienia ceglanego, przy rozwią-zaniu analitycznym oraz numerycznym. Poruszono kwe-stię określania wytrzymałości na rozciąganie murów, jakokompozytów modelowanych materiałami quasi-kruchy-mi. Dodatkowo omówione zostały założenia do analizzgodnie z teorią membranową oraz wskazano oszacowa-nie błędu, jeśli nie zostanie uwzględniona grubość po-włoki. Analiza przeprowadzona przy użyciu FEM, wy-konana metodą makromodelingu po uprzedniej homo-genizacji konstrukcji murowej, ma na celu opis zacho-wania statycznego modelu. W dotychczasowych pracachzajmowano się głównie łukiem jako elementem repre-zentacyjnym wszelkiego rodzaju przekryć historycznych,zarówno o pojedynczej, jak i podwójnej krzywiźnie.Celem pracy jest wykazanie przydatności badań nad pier-ścieniami ceglanymi w aspekcie efektywności wzmacnia-nia dwukrzywiznowego układu powłokowego kopuły nakierunku równoleżnikowym.