1

matematyka inżynierska

wykład dla studentów Wydziału Mechanicznego

Politechniki Wrocławskiej

część 1 (Wiktor Stefurak)

Wrocław 2015 r.

2

Spis rzeczy 1 Funkcje dyskretne ............................................................................................................................. 8

1.1 Dyskretyzacja ............................................................................................................................ 9

1.1.1 Próbkowanie ...................................................................................................................... 10

1.1.2 Kwantyzacja ....................................................................................................................... 20

2 Interpolacja ..................................................................................................................................... 22

2.1 Interpolacja wielomianowa .................................................................................................... 23

2.1.1 Wielomian w postaci naturalnej ........................................................................................ 25

2.1.2 Interpolacja wielomianami Czebyszewa pierwszego rodzaju ............................................ 33

2.1.3 Interpolacja wielomianem Lagrange’a ............................................................................... 36

2.1.4 Wielomiany Newtona ........................................................................................................ 40

2.1.5 Schemat Aitkena. ............................................................................................................... 47

2.1.6 Schemat Neville’a. .............................................................................................................. 50

2.2 Interpolacja funkcjami trygonometrycznymi .......................................................................... 52

2.3 Interpolacja – Podsumowanie ................................................................................................ 55

3 Aproksymacja .................................................................................................................................. 56

3.1.1 Aproksymacja liniowa. ....................................................................................................... 63

3.1.2 Aproksymacja z wagami. .................................................................................................... 64

3.1.3 Aproksymacja - jakobiany. ................................................................................................. 67

3.1.4 Aproksymacja funkcjami innymi niż wielomiany. .............................................................. 69

3.1.5 Wybór postaci funkcji aproksymującej .............................................................................. 71

3.1.6 Aproksymacja - podsumowanie ......................................................................................... 80

4 Różniczkowanie funkcji dyskretnej ................................................................................................. 81

4.1 Pierwsza pochodna funkcji dyskretnej. ................................................................................... 83

4.2 Druga pochodna funkcji dyskretnej. ....................................................................................... 86

4.3 Pochodna funkcji dyskretnej - podsumowanie ....................................................................... 88

5 Całkowanie funkcji dyskretnej ........................................................................................................ 89

5.1 Metoda prostokątów: ............................................................................................................. 89

5.2 Modyfikowana metoda prostokątów ..................................................................................... 90

5.3 Metoda trapezów.................................................................................................................... 91

5.4 Metoda Simpsona 1/3 ............................................................................................................. 92

3

5.5 Metoda Simpsona 3/8 ............................................................................................................. 94

5.6 Metoda Monte Carlo .............................................................................................................. 95

6 Analiza widmowa. ........................................................................................................................... 96

6.1 Szeregi Fouriera. ..................................................................................................................... 98

6.1.1 Wyprowadzenie wartości współczynników Fouriera ....................................................... 100

6.2 Postać zespolona transformaty Fouriera .............................................................................. 105

6.3 Dyskretne przekształcenie Fouriera ...................................................................................... 107

7 Równania nieliniowe ..................................................................................................................... 112

7.1 Metoda bisekcji ..................................................................................................................... 112

7.2 Metoda "regula falsi" ............................................................................................................ 115

7.3 Metoda siecznych ................................................................................................................. 118

7.4 Metoda stycznych ................................................................................................................. 120

7.5 Metoda kolejnych przybliżeń ................................................................................................ 122

4

Spis przykładów

Przykład 1 - Interpolacja wielomianami naturalnymi ............................................................................ 30

Przykład 2 - Interpolacja wielomianami Czebyszewa ............................................................................ 34

Przykład 3 - Interpolacja wielomianami Czebyszewa ............................................................................ 35

Przykład 4 - Interpolacja wielomianem Lagrange'a ............................................................................... 39

Przykład 5 - I wzór Newtona .................................................................................................................. 44

Przykład 6 - Interpolacja wg I wzoru Newtona ...................................................................................... 45

Przykład 7 -Schemat Aitkena .................................................................................................................. 49

Przykład 8 - Schemat Neville'a ............................................................................................................... 51

Przykład 9 - Interpolacja wielomianami trygonometrycznymi .............................................................. 53

Przykład 10. Aproksymacja wielomianem kwadratowym ..................................................................... 59

Przykład 11. Aproksymacja z wagami .................................................................................................... 65

Przykład 12. Aproksymacja - Jakobiany ................................................................................................. 68

Przykład 13. Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład A .................................................................. 71

Przykład 14. Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład B .................................................................. 74

Przykład 15. Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład C .................................................................. 76

Przykład 16. Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład D .................................................................. 79

Przykład 17.Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład E ................................................................... 80

Przykład 18. Rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji prostokątnej ....................................................... 102

Przykład 19. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(t)-t ....................................................................... 104

Przykład 20 - Bisekcja ........................................................................................................................... 113

Przykład 21. Metoda "regula falsi" ....................................................................................................... 117

Przykład 22. Metoda siecznych ............................................................................................................ 119

Przykład 23. Metoda stycznych ............................................................................................................ 122

Przykład 24. Metoda kolejnych przybliżeń ........................................................................................... 124

Spis Tabel

Tabela 1. Przykładowy ciąg wartości funkcji dyskretnej ........................................................................ 16

Tabela 2. Częstotliwości próbkowania dźwięku ..................................................................................... 19

Tabela 3. Liczba bitów przetwornika, a liczba poziomów kwantyzacji .................................................. 21

Tabela 4. Funkcja spróbkowana i warunki interpolacji .......................................................................... 23

Tabela 5. Krzywa nagrzewania się łożyska ............................................................................................. 25

Tabela 6. Dane wyjściowe ...................................................................................................................... 30

Tabela 7. Dane do interpolacji metodą wielomianów Czebyszew I rodzaju .......................................... 34

Tabela 8.Tablica progresywnych różnic skończonych dla węzłów. ........................................................ 40

Tabela 9. Przykładowa tabela różnic wstecznych .................................................................................. 41

Tabela 10. Funkcja spróbkowana z krokiem stałym............................................................................... 41

Tabela 11. I wzór Newtona - dane do obliczeń ...................................................................................... 44

Tabela 12. Tabel wartości dla przykładu interpolacji I wzorem Newtona ............................................. 45

Tabela 13. Różnice wsteczne ................................................................................................................. 47

Tabela 14. Schemat Aitkena ................................................................................................................... 48

Tabela 15 Interpolacja trygonometryczna - dane ................................................................................. 53

Tabela 16. Dane do aproksymacji z wagami .......................................................................................... 65

Tabela 17. Definicje pochodnych funkcji dyskretnej ............................................................................. 88

Tabela 18. Wyjściowa funkcja dyskretna i wyniki analizy widmowej .................................................. 108

5

Tabela 19. Sygnał harmoniczny jak poprzednio, próbkowany z częstotliwością 10,66667 Hz (okres

próbkowania 0,09375 s) ................................................................................................................................... 110

Tabela 20. Kolejne kroki iteracji dla przykładu 1.................................................................................. 114

Tabela 21. Kolejne kroki iteracji - metoda "regula falsi" ...................................................................... 118

Tabela 22. Wyniki obliczeń metodą siecznych ..................................................................................... 119

Tabela 23. Wyniki obliczeń metodą stycznych. .................................................................................... 122

Tabela 24. Kolejne kroki iteracji (metoda kolejnych przybliżeń) ......................................................... 125

Spis rysunków

Rys. 1. Obraz graficzny funkcji ciągłej i dyskretnej ................................................................................... 9

Rys. 2. Dyskretyzacja w pętli while... do oraz w w pętli od ... ilość powtórzeń ...................................... 11

Rys. 3. Wykres funkcji dyskretnej ze stałym okresem próbkowania ..................................................... 12

Rys. 4. Definicje funkcji trygonometrycznych ........................................................................................ 12

Rys. 5. Wykres funkcji sinus (ciągłej funkcji kąta) .................................................................................. 12

Rys. 6. Funkcja harmoniczna - zmiana dziedziny ................................................................................... 13

Rys. 7. Widmo amplitudowo- i fazowo-częstotliwościowe.................................................................... 13

Rys. 8. Widmo sygnału okresowego, będącego sumą sygnałów harmonicznych (poliharmonicznego)14

Rys. 9. Zniekształcenie obrazu dyskretnego funkcji ciągłej w zależności od okresu próbkowania

(sin(2*pi()*t/T); T=1s) ......................................................................................................................................... 14

Rys. 10. Niejednoznaczność próbkowania - przykład 1 ......................................................................... 15

Rys. 11. Niejednoznaczność próbkowania - przykład 2 ......................................................................... 15

Rys. 12. Niejednoznaczność próbkowania - przykład 3 ......................................................................... 15

Rys. 13. Przykłady błędnego próbkowania ............................................................................................ 16

Rys. 14. Niejednoznaczność odwzorowania funkcji podczas próbkowania ........................................... 16

Rys. 15. Przykład wykresu funkcji f(x) = - 3x^3 + 15x^2 – x – 15 przy różnym okresie próbkowania; a)

Δx = 0,08 ; b) Δx = 1)............................................................................................................................................ 18

Rys. 16. Funkcja skwantowana i przykład jej realizacji (pomiar wysokości lustra wody w zbiorniku)... 20

Rys. 17. Funkcja spróbkowana i skwantowana ...................................................................................... 21

Rys. 18. Funkcja ciągła zdyskretyzowana i jej funkcja interpolująca ..................................................... 22

Rys. 19. Krzywa nagrzewania się łożyska (dane w tabeli 5) ................................................................... 26

Rys. 20. Interpolacja krzywej nagrzewania się łożyska z tabeli 5 wielomianem dziewiątego stopnia (na

pierwszych 10 punktach) .................................................................................................................................... 26

Rys. 21. Efekt Runge'go .......................................................................................................................... 27

Rys. 22. Funkcja spróbkowana ze zmiennym okresem próbkowania .................................................... 27

Rys. 23. Interpolacja przedziałami (na 4 punktach) ............................................................................... 29

Rys. 24. Interpolacja liniowa .................................................................................................................. 30

Rys. 25. Ilustracja graficzna przykładu 1 ................................................................................................ 33

Rys. 26. Geometryczna interpretacja schematu Aitkena ....................................................................... 49

Rys. 27. Ilustracja parzystości funkcji ..................................................................................................... 53

Rys. 28. Wykres wielomianu trygonometrycznego dla funkcji z przykładu 9 ........................................ 54

Rys. 29. Ilustracja twierdzenia Stona-Weierstrassa. .............................................................................. 56

Rys. 30. Zbiór wartości uzyskanych z eksperymentów, dobrze aproksymowalny prostą. .................... 57

Rys. 31. Funkcja dyskretna dobrze aproksymowalna wielomianem drugiego stopnia ......................... 59

Rys. 32. Wykres funkcji aproksymującej G(x) dla przykładu 1 ............................................................... 61

Rys. 33. Wielomian aproksymujący trzeciego stopnia dla danych z przykładu 1 .................................. 62

Rys. 34. Wykres wielomianu aproksymującego czwartego stopnia dla danych z przykładu 1 .............. 62

6

Rys. 35. Wielomiany aproksymujące drugiego stopnia z wagami różnymi i równymi .......................... 67

Rys. 36. Obraz funkcji często aproksymowanej funkcjami: y(x)=ax; y(x)=axb; y(x)= a0+a1x+a2x2 ........... 71

Rys. 37. Wielomian aproksymujący y(x)= a0+a1x+a2x2 na tle pierwotnej funkcji dyskretnej.................. 72

Rys. 38. Funkcja typu y=b*a^x na tlE funkcji dyskretnej z poprzedniego przykładu ............................. 73

Rys. 39. Aproksymacja danych z przykładu A funkcją wykładniczą postaci y(x)=axb ............................. 74

Rys. 40. Obraz funkcji zazwyczaj aproksymowanej wielomianem stopnia drugiego lub trzeciego ....... 74

Rys. 41. Wykres kwadratowego wielomianu aproksymującego na tle pierwotnej funkcji dyskretnej.. 75

Rys. 42. Wykres wielomianu stopnia trzeciego na tle pierwotnej funkcji dyskretnej ........................... 76

Rys. 43. Funkcja dyskretna do przykładu C ............................................................................................ 76

Rys. 44. Funkcja aproksymująca y(x) = b +a log(x) na tle funkcji pierwotnej ......................................... 77

Rys. 45. Funkcja aproksymująca y=b*x^a .............................................................................................. 78

Rys. 46. Funkcja aproksymująca postaci y(x)=ax/(x+b) .......................................................................... 79

Rys. 47. Inny przykład postaci funkcji dyskretnej i jej aproksymaty ...................................................... 79

Rys. 48. Przykłady funkcji dyskretnych i zależności dobrze je aproksymujących................................... 80

Rys. 49. Geometryczna interpretacja pochodnej ................................................................................... 81

Rys. 50. Interpretacja różnicowa pochodnej ......................................................................................... 82

Rys. 51. Graficzna interpretacja gradientu............................................................................................. 82

Rys. 52. Pierwsza pochodna liczona z różnic progresywnych ................................................................ 84

Rys. 53. Pierwsza pochodna liczona z różnic wstecznych ...................................................................... 85

Rys. 54. Różnice wartości pochodnej dla tego samego węzła liczonej z różnic progresywnych i

wstecznych .......................................................................................................................................................... 85

Rys. 55. Różnice w wartościach pierwszych pochodnych liczonych z różnic skończonych .................... 86

Rys. 56. Geometryczna interpretacja całki oznaczonej .......................................................................... 89

Rys. 57. Całkowanie metodą prostokątów............................................................................................. 90

Rys. 58. Modyfikowana metoda prostokątów ....................................................................................... 90

Rys. 59. Całkowanie metodą trapezów .................................................................................................. 91

Rys. 60. Całkowanie metodą Simpsona 1/3 ........................................................................................... 94

Rys. 61. Całkowanie metodą Simpsona 3/8 ........................................................................................... 94

Rys. 62. Metoda Monte Carlo liczenia całki. .......................................................................................... 95

Rys. 63. Sygnał okresowy ....................................................................................................................... 96

Rys. 64. Drgania struny gitary ................................................................................................................ 97

Rys. 65.Wykresy funkcji z równań(1). .................................................................................................... 98

Rys. 66.Funkcja piłokształtna ................................................................................................................. 99

Rys. 67.Wykres wartości amplitud harmonicznych funkcji składowych .............................................. 101

Rys. 68. Funkcja prostokątna ............................................................................................................... 102

Rys. 69, Transformata odwrotna ......................................................................................................... 103

Rys. 70. Funkcja f(t)=t ........................................................................................................................... 104

Rys. 71. Odwrotna transformata Fouriera funkcji z Rys. 70 ................................................................ 105

Rys. 72. Okresowa funkcja dyskretna .................................................................................................. 107

Rys. 73. Widmo funkcji z Tabela 18 ...................................................................................................... 109

Rys. 74. Powielanie sygnału w DFT ...................................................................................................... 109

Rys. 75. Przykład funkcji okresowej - funkcja dyskretna i jej widmo amplitudowe ............................. 111

Rys. 76. Ilustracja twierdzenia Bolzano-Cauchy'ego ............................................................................ 112

Rys. 77. Schemat metody bisekcji ........................................................................................................ 113

Rys. 78. Ilustracja rozwiązania przykładu 1 .......................................................................................... 115

Rys. 79. Wybór krańców w "regula falsi" ............................................................................................. 116

7

Rys. 80. Metoda "regula falsi" – algorytm dla f’(x)*f(x)>0 ................................................................... 116

Rys. 81. Schemat graficzny metody siecznych ..................................................................................... 119

Rys. 82. Ilustracja graficzna i algorytm metody stycznych ................................................................... 121

Rys. 83 . Metoda kolejnych przybliżeń - algorytm zbieżny .................................................................. 123

Rys. 84. Metoda kolejnych przybliżeń - algorytm rozbieżny ................................................................ 123

Rys. 85. Metoda kolejnych przybliżeń .................................................................................................. 124

Rys. 86. Wybór postaci przkształcenia ............................................................................................... 125

8

1 Funkcje dyskretne

W dalszej części wykładu posługiwać będziemy się pojęciem funkcji, rozumianej jako zależność

pomiędzy pewnymi wielkościami fizycznymi.

Funkcją lub inaczej, odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu

elementowi ze zbioru X jednego elementu ze zbioru Y

f:X→ Y

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy go jako Df natomiast elementy

dziedziny nazywamy argumentami. Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji

f:X→ Y

Zbiór wartości oznaczamy przez f(X)

łac. functio 'czynność' od fungi 'wykonywać; zarządzać; sprawować urząd';

(W. Kopaliński ”Słownik wyrazów obcych”)

Czasami jednak pojawi się pojęcie sygnału i zgodnie z teorią sygnałów (bo częściowo będziemy z niej

korzystać) przytaczamy definicję tego pojęcia:

SYGNAŁ proces zmian pewnej wielkości fizycznej lub stanu obiektu fizycznego w czasie lub

w przestrzeni.

Sygnał jest nośnikiem informacji.

Przywykliśmy do tego, że w algebrze korzystamy z funkcji ciągłych. Że wiele zjawisk w mechanice czy

wytrzymałości materiałów opisujemy funkcjami ciągłymi, ale jednak niemal zawsze mamy do czynienia

z funkcjami, które mają wartości tylko w ściśle określonych punktach. Tak dzieje się wtedy, gdy dokonujemy

obliczeń metodami numerycznymi (przy pomocy komputera). Żadna funkcja w reprezentacji komputerowej

(jeśli nawet jest analityczną funkcją ciągłą) nie ma wartości dla każdej wartości argumentu, bo obliczenia

nigdy by się nie skończyły.

Funkcje (sygnały) dyskretne otrzymujemy również jako wynik eksperymentu, ponieważ niemal

zawsze pomiary odbywają się przy pomocy mierników i rejestratorów cyfrowych lub na zasadzie okresowego

odczytu wskazań mierników analogowych.

Co więc nazywamy funkcją dyskretną lub sygnałem dyskretnym?

Co to jest funkcja już mówiliśmy, należy więc wyjaśnić pochodzenie drugiego członu nazwy:

Discretio – łac. ‘oddzielnie, rozróżnienie’ (W. Kopaliński ”Słownik wyrazów obcych”)

Dyskretny = nieciągły

9

Przyjmiemy następującą definicję:

Funkcją dyskretną yi = f(xi) nazywamy funkcję, która przyjmuje wartości yi tylko dla

określonych wartości argumentu xi, które nazywać będziemy węzłami. Wartości funkcji yi

nazywać będziemy wartościami węzłowymi.

W reprezentacji komputerowej każdą funkcję ciągłą zastępuje się ciągiem wartości funkcji dla

wybranych wartości argumentu. Podobnie wygląda postać funkcji zdjętej w pomiarach – Rys. 1

Rys. 1. Obraz graficzny funkcji ciągłej i dyskretnej

W przedziale znanych wartości argumentu xi-1 ≤ x ≤ xi wartość y(x) nie jest znana.

Proces zamiany funkcji ciągłej na dyskretną nazywamy dyskretyzacją.

Właściwie po co zamieniać znaną nam funkcje ciągłą na ciąg jej wartości? Funkcję ciągłą zazwyczaj

można różniczkować, całkować, a przede wszystkich z postaci analitycznej wyznaczyć można jej wartość dla

DOWOLNEJ wartości argumentu.

Dyskretyzacja funkcji ciągłej (jeśli rzeczywiście potrafimy opisać ją jedną zależnością) stosowana jest

wówczas, gdy koszt wyznaczenia jej wartości jest duży, czyli innymi słowy, gdy nakład pracy konieczny do

wyznaczenia wartości funkcji jest znaczny. Łatwiej jest wtedy zdobyć się na jednorazowy wysiłek

stabelaryzowania funkcji i odczytywania z niej wartości metodą interpolacji – o czym dalej.

Dyskretyzacja funkcji ciągłej ma również miejsce wtedy, gdy opis zjawiska jest bardzo złożony

i parametry funkcji uzyskiwane są z wielu równań i wreszcie wtedy, gdy zamierzamy sporządzić wykres

funkcji.

W przypadku eksperymentu jest to właściwie obecnie jedyna metoda odwzorowania.

1.1 Dyskretyzacja

Zamiana funkcji ciągłej w ciąg wartości liczbowych może odbywać się na kilka sposobów. Najczęściej

spotykanym w obliczeniach numerycznych jest próbkowanie, ale w pewnych sytuacjach zamiana ta może

odbywać się w procesie kwantowania lub w połączonych procesach próbkowania i kwantowania.

-10

-5

0

5

10

0 2 4 6

-10

-5

0

5

10

0 2 4 6

xi-1 -10

-5

0

5

10

0 2 4 6

xi

yi yi-1

10

1.1.1 Próbkowanie

Próbkowanie

Proces tworzenia funkcji dyskretnej (sygnału dyskretnego) reprezentującej funkcję

ciągłą za pomocą ciągu wartości nazywanych próbkami.

Liczbowe odwzorowanie funkcji ciągłej – dyskretyzacja – dokonywane droga obliczeń numerycznych

realizowanych w dowolny sposób (obliczenia „ręczne”, obliczenia przy pomocy algorytmu zapisanego

w konkretnym języku programowania czy obliczenia realizowane narzędziem uniwersalnym, zwanym

arkuszem kalkulacyjnym) polega na wyznaczeniu ciągu wartości yi = f(xi) dla argumentów xi, oddalonych od

siebie wartość Δxi = xi – xi-1.

Taki proces dyskretyzacji nazywamy próbkowaniem, a wartość Δxi nazywamy krokiem lub okresem

próbkowania, ponieważ co pewien krok - niekoniecznie stały – pobieramy próbkę wartości funkcji.

W obliczeniach numerycznych najczęściej posługujemy się stałym krokiem próbkowania, co wynika

z konstrukcji języków programowania. Kolejne wartości funkcji yi = f(xi) wylicza się w pętli, np. wg schematu

od… do, powiększając wartość argumentu. Algorytm takiego postępowania przedstawiono na Rys. 2.

Inny schemat pętli w językach programowania polega na wyznaczaniu kolejnych wartości argumentu

poprzez określona liczbę powtórzeń operacji dodawania stałego okresu próbkowania do wartości

początkowej argumentu (Rys. 2).

Ponieważ posłużyliśmy się pojęciem algorytmu, pora przytoczyć jego definicję.

ALGORYTM (W.Kopaliński „Słownik wyrazów obcych..”)

mat. formuła, wzór, schemat, program obliczania, mechanicznego rozwiązywania danego typowego

zadania mat.

inf. sposób rozwiązania jakiegoś zadania, który może być zrealizowany w postaci programu

komputerowego

śrdw. łac. algorismus ‘algorytm’ od arab. przydomka matematyka pers. abu-Dżafar Mohammed ibn

Mũsa al-Chwãrizmi (ok.852 r.) – przydomek Algoritmi

Definicja algorytmu wg encyklopedii PWN

Przepis rozwiązania danego zagadnienia matematycznego; metoda postępowania zawierająca

wszystkie formuły obliczeniowe, określająca kolejność ich stosowania, warunki, przy których stosuje

się tę lub inną formułę, zasady przechodzenia od jednego etapu procesu obliczeniowego do

następnych oraz informacje o rodzajach i własnościach odpowiednich obiektów matematycznych:

liczb, wektorów, macierzy, a także tablic, które są danymi początkowymi zadania lub pojawiają się

podczas obliczeń

11

Algorytm musi charakteryzować się następującymi cechami:

jednoznaczność - jednoznaczna droga postępowania wiodąca do wyznaczonego celu,

ma początek i koniec - (algorytm Euklidesa dla np. pary liczb 0 i 15 jest nieskończony),

efektywność - wymaganie, by wszystkie operacje były wystarczająco proste i by czas osiągania celu

był określony i skończony,

masowość - możliwość rozwiązywania całej klasy podobnych zadań (nie tylko dla jednego,

unikalnego zestawu danych).

START

Czytaj t0;deltat;k

i=0

t=t0+i*deltaty=f(t)

i>k

Pisz t,y

KONIECtak

Nie

START

Czytaj xp;xk

x=xp

x=x+deltax

x>xk

Pisz t,y

KONIECtak

Nie

x=xp

xp=10;deltax=10;xk=100;while x<=xk do begin x=x+deltax y=f(x) end

t0=10;deltat=10;k=10;for i=0 step 1 until k do begin t=10+i*delta y=f(x) end

Rys. 2. Dyskretyzacja w pętli while... do oraz w w pętli od ... ilość powtórzeń

W badaniach doświadczalnych próbkowanie polega na odczytaniu wartości mierzonej zazwyczaj co

pewien odstęp czasu Δt (niekoniecznie stały), również zwany okresem próbkowania .

Na Rys. 3 pokazano wykres funkcji dyskretnej y = f(x), uzyskany przez próbkowanie drogą obliczeń lub

pomiarów ze stałym krokiem próbkowania.

12

`

Rys. 3. Wykres funkcji dyskretnej ze stałym okresem próbkowania

W przypadku obliczeń numerycznych bywa, że okres próbkowania nie jest stały. Na krańcach

przedziałów czasami punkty się zagęszcza, by przy „wygładzaniu” funkcji uniknąć jej „rozbiegania” (Efekt

Runge'go), co będzie zilustrowane podczas omawiania zagadnienia interpolacji.

Próbkowanie w obliczeniach numerycznych jest najczęściej stosowaną metodą dyskretyzacji.

Wprowadza jednak ona ryzyko silnego zniekształcenia funkcji odwzorowywanej, dlatego próbkowanie musi

odbywać się z zastosowaniem pewnych kryteriów.

Zanim omówimy te błędy, zajmiemy się opisem ruchu harmonicznego, ponieważ występuje on

powszechnie w wielu zjawiskach w mechanice (gr. harmonia 'spojenie, łącze; związek; zgoda; harmonia').

Gwoli przypomnienia na Rys. 4 pokazano definicje funkcji trygonometrycznych.

Rys. 4. Definicje funkcji trygonometrycznych

Funkcję trygonometryczną sinus (lub cosinus, bo jest to ta sama funkcja przesunięta w fazie)

zilustrowano na Rys. 5 jako funkcję kąta. W praktyce opisywana jest często w dziedzinie czasu lub

odwzorowywana jeszcze inaczej. Punkty zaznaczone na wykresie są wartościami funkcji próbkowanej z

okresem próbkowania Δφ = 15°

Rys. 5. Wykres funkcji sinus (ciągłej funkcji kąta)

Zmiana dziedziny – z w dziedzinę czasu - opiera się na założeniu, że okres funkcji wynosi T.

φ

sin

(φ)=y

y0

x

0

y1

x

1

y2

x

2

y3

x

3

y4

x

4 Δx Δx Δx Δx

x

y

13

Rys. 6. Funkcja harmoniczna - zmiana dziedziny

Zakładając, że promień wodzący obraca sie ze stała prędkością kątową ω wiemy, że kąt φ

przebędzie w czasie

a pełny obrót wykona w czasie

.

Podstawiając otrzymujemy:

sin( ) = sin( t) = sin(

( 1)

Prędkość kątową ω nazywamy pulsacją lub częstością kołową, która zawiera informację o tym, ile

pełnych obrotów (o kąt 2π) wykonał promień wodzący w ciągu 1 sekundy.

Często posługujemy sie pojęciem częstotliwości f wyrażanej w Hz, która mówi o tym, ile okresów

funkcji mieści się w jednej sekundzie, czyli:

f=1

T

Podstawiając f do równania ( 1)mamy:

sin =sin(2 π f t) ( 2)

Zamiast wykresu w funkcji czasu, można posłużyć się przedstawieniem funkcji harmonicznej w

dziedzinie częstotliwości (widmo amplitudowo- częstotliwościowe – Rys. 7).

Rys. 7. Widmo amplitudowo- i fazowo-częstotliwościowe

T

Przebieg czasowy Widmo

fazowe - Widmo amplitudowe -

0 t

y A

f 0

f 0 =1/T 0 f

φ 0

?

?

f 0 =1/T

φ

φ 0 A 0 A

0

- 1 - 0,8 - 0,6 - 0,4 - 0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 ?

14

Rys. 8. Widmo sygnału okresowego, będącego sumą sygnałów harmonicznych (poliharmonicznego)

Funkcji harmonicznej będziemy w dalszej części wykładu często używać do ilustracji pewnych

zagadnień.

Wspomniano już, że próbkowanie może bardzo zniekształcić obraz odwzorowywanej funkcji. Na Rys.

9 pokazano funkcję

o okresie T = 1 s próbkowaną z różnym okresem (częstotliwością).

Pierwszy wykres dość dobrze układa się w postać sinusoidy, natomiast drugi wykres ma wyraźny

charakter trójkątny, a pozostałe dwa wykresy sugerują raczej zależność liniową.

Rys. 9. Zniekształcenie obrazu dyskretnego funkcji ciągłej w zależności od okresu próbkowania (sin(2*pi()*t/T); T=1s)

Zniekształcenie postaci funkcji może powodować fałszywy jej opis. Jeśli zbiór wartości pochodzi np.

z pomiarów, możemy zmierzonej funkcji przypisać inną postać, niż ma ona w rzeczywistości. Na kolejnych

rysunkach (Rys. 11,Rys. 12,Rys. 13) jest ilustracja tego zjawiska.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

dt=0,1 s

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6

dt=0,25 s

-1

-0,5

0

0 10 20 30

dt=0,995 s 0

0,2

0,4

0,6

0 5 10 15 20 25 30

dt=1,003 s

15

-1,000

-0,800

-0,600

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

0 50 100 150 200 250

T=3 s; dt =2,85 s

-1,000

-0,800

-0,600

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

0 50 100 150 200 250

T=57 s; dt =2,85 s

Rys. 10. Niejednoznaczność próbkowania - przykład 1

-1,000

-0,800

-0,600

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

0 50 100 150 200 250

T=3 s; dt = 2,75 s

-1,000

-0,800

-0,600

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

0 50 100 150 200 250

T=33,1 s; dt = 2,75 s

Rys. 11. Niejednoznaczność próbkowania - przykład 2

-0,4000

-0,3500

-0,3000

-0,2500

-0,2000

-0,1500

-0,1000

-0,0500

0,0000

0 50 100 150 200 250 300

Funkcja harmoniczna o okresie T = 3sy=sin(2π/3*t) dt = 2,998 s

-0,400

-0,350

-0,300

-0,250

-0,200

-0,150

-0,100

-0,050

0,000

0 50 100 150 200 250 300

liniowa y=-0,40291/296,8*t ; dt =2,998 s

Rys. 12. Niejednoznaczność próbkowania - przykład 3

16

-0,400

-0,350

-0,300

-0,250

-0,200

-0,150

-0,100

-0,050

0,000

0 50 100 150 200 250 300

Funkcja harmoniczna o okresie T = 3sy=sin(2π/3*t) dt = 2,998 s

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0 50 100 150 200 250 300

Funkcja liniowa o równaniu y = 0,40291/296,8*t dt = 3,002

Rys. 13. Przykłady błędnego próbkowania

Próbkowanie sygnału możemy prowadzić z dowolną częstotliwością. Jedynym ograniczeniem

fizycznym są możliwości naszego sprzętu (gdy mowa o eksperymencie) lub dysponowalny czas obliczeń. Nie

każda jednak częstotliwość próbkowania pozwoli na odtworzenie oryginalnego sygnału.

Jeśli dysponujemy tylko próbkami sygnału, nie znając postaci funkcji wyjściowej, może się okazać, że

próbki te mogą być niereprezentatywne. Jakaś funkcja może "udawać" drugą, podszywając się pod nią.

Wyobraźmy sobie, że wartości zdjęte w pomiarach układały się w taki ciąg, jak w Tabela 1:

Tabela 1. Przykładowy ciąg wartości funkcji dyskretnej

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9

yi 0 0,866 0,866 0 -0,866 -0,866 0 0,866 0,866

Wiemy, że jest to sinusoida - jednak jaka? Pasuje tu zarówno sinusoida o okresie T=7s, jak i sinusoida

T1 = 1s (Rys. 14). Który więc sygnał został zmierzony? Zapewne nasza interpretacja wskazywałaby na funkcję

"wolniejszą", choć z fizyki zjawiska wynika, że była to funkcja "szybsza".

Rys. 14. Niejednoznaczność odwzorowania funkcji podczas próbkowania

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8

dyskretna

sinus 1

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8

dyskretna

sinus 1

17

Z tego przykładu wynika, że próbkowanie ze zbyt niską częstotliwością prowadzi do błędnej

interpretacji częstotliwości sygnału odtworzonego. Przyjęliśmy niższą wartość od rzeczywistej.

Zjawisko ukrywania się funkcji pod inną postacią zgodną z wartościami węzłowymi nazywamy

aliasingiem.

Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona, znane również jako twierdzenie Whittakera-Nyquista-

Kotielnikova-Shannona lub twierdzenie o próbkowaniu, mówi o tym, jakie warunki należy spełnić podczas

próbkowania sygnału ciągłego y(t), by z uzyskanego sygnału dyskretnego yi(ti) można było wiernie ten sygnał

odtworzyć.

Warunkiem transformacji odwrotnej jest spełnienie warunku:

Częstotliwość próbkowania jako odwrotność okresu próbkowania, czyli odstępu w czasie pomiędzy

kolejnymi próbkami

musi być co najmniej dwukrotnie wyższa od najwyższej częstotliwości

w sygnale obserwowanym.

Zgodnie z twierdzeniem Shannona, w celu uniknięcia aliasingu, sygnał musi być próbkowany

z częstotliwością większą niż dwukrotność najwyższej częstotliwości występującej w sygnale. Można je

zinterpretować również tak, że maksymalna częstotliwość, jaką da się odtworzyć z sygnału próbkowanego

z częstotliwością fpr jest połową tej częstotliwości próbkowania.

TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU

Sygnał ciągły może być ponownie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany z

częstotliwością co najmniej dwa razy większą od granicznej częstotliwości swego widma.

Maksymalna częstotliwość sygnału, która może być właściwie (bez aliasingu) zinterpretowana przy

określonej częstotliwości próbkowania nosi nazwę częstotliwości Nyquista i jest równa połowie

częstotliwości próbkowania.

Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona mówi o tym, jaką najwyższą częstotliwość może mieć sygnał

próbkowany z zadaną częstotliwością, by można było odtworzyć go bez zniekształceń.

Twierdzenie mówi o tym, jaka powinna być częstotliwość próbkowania, gdy znamy najwyższą

składową częstotliwości w sygnale mierzonym.

KRYTERIUM NYQUISTA

Próbkując sygnał z określoną częstotliwością można wiernie zidentyfikować tylko te częstości,

które są przynajmniej dwukrotnie mniejsze od częstotliwości próbkowania.

Najwyższą, poprawnie rejestrowaną częstotliwością jest , zwana częstotliwością Nyquista

18

Sygnały o częstotliwości wyższej od częstotliwości Nyquista ukażą się zniekształcone w postaci

„aliasów”, o częstotliwościach pomiędzy 0 a .

Częstotliwość aliasu wyznaczyć można z zależności:

gdzie:

fa – częstotliwość aliasu,

n - liczba całkowita,

fpr – częstotliwość próbkowania,

f – częstotliwość sygnału mierzonego,

przy czym n*fpr jest wielokrotnością częstotliwości próbkowania, najbliższą częstotliwości sygnału

mierzonego.

Jeśli próbkujemy z częstotliwości fpr= 100 Hz sygnał o częstotliwości f =70 Hz, to ze wzoru Nyquista

wiemy, że nasz sygnał leży w paśmie nie do odtworzenia. Zamiast naszego sygnału zobaczymy jego alias:

fa = |1*100 - 70| = 30 Hz

ALIASING

Nieodwracalne zniekształcenie sygnału w procesie próbkowania spowodowane niespełnienieniem

warunku Nyquista.

Niejednoznaczności związane z próbkowaniem dotyczą nie tylko funkcji harmonicznych.

Częstym przypadkiem jest również "gubienie" miejsc zerowych lub ekstremów lokalnych. Przykład

takiej deformacji pokazano na Rys. 15.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y(x)=-3x^3+15x^2-x-15; dx = 0,08

-200000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

250000

-60 -40 -20 0 20 40 60

y(x)=-3x^3+15x^2-x-15; dx = 1

Rys. 15. Przykład wykresu funkcji f(x) = - 3x^3 + 15x^2 – x – 15 przy różnym okresie próbkowania; a) Δx = 0,08 ; b) Δx = 1)

Częstotliwość próbkowania związana jest z częstotliwością analizowanego sygnału. Na przykład w

analizie dźwięku, ze względu na cechy zmysłu słuchu (inne zakresy częstotliwości w przypadku mowy,

muzyki...) stosuje się różne częstotliwości próbkowania (Tabela 2).

a) b)

19

Tabela 2. Częstotliwości próbkowania dźwięku

Czętotliwość Przenaczenie sygnału

8 kHz - telefonia

16 kHz - komunikacja medialna

22,5 kHz - komputery osobiste

32 kHz - cyfrowe radio i telewizja

44,1 kHz - płyty CD audio

48 kHz - magnetofony cyfrowe DAT, (Digital Audio Tape),HDTV

96 kHz - DVD

Próbkować można z dowolnie wysoką częstotliwością. Ograniczeniem są jedynie możliwości sprzętu

i dostępna przestrzeń dyskowa.

20

1.1.2 Kwantyzacja

Próbkowanie nie jest jedyną metodą dyskretyzacji. W obliczeniach i pomiarach stosuje się również

inny sposób zamiany funkcji ciągłej na dyskretną. Sposób ten nazywa się kwantyzacją (od łac. quantum ‘ile’ -

W. Kopaliński ”Słownik wyrazów obcych").

Kwantyzacja Nieodwracalne nieliniowe odwzorowanie statyczne zmniejszające dokładność danych przez

ograniczenie ich zbioru wartości. Zbiór wartości wejściowych dzielony jest na rozłączne przedziały.

Każda wartość wejściowa wypadająca w określonym przedziale jest w wyniku kwantyzacji

odwzorowana na jedną wartość wyjściową przypisaną temu przedziałowi, czyli tak zwany poziom

reprezentacji. W rozumieniu potocznym proces kwantyzacji można przyrównać do "zaokrąglania"

wartości do określonej skali.

Wartości wejściowe muszą być jednoznacznie kojarzone z poziomami reprezentacji, dlatego

przedział dopuszczalnych wartości wejściowych jest dzielony na podprzedziały. Punkty podziału

nazywamy poziomami decyzyjnymi, których liczba jest o jeden mniejsza od liczby poziomów

reprezentacji. Każda wartość należąca do danego podprzedziału jest zastępowana przez poziom

reprezentacji przypisany do danego przedziału. Poziomem reprezentacji może być górna lub dolna

granica przedziału, jednak najczęściej jest nią wartość ze środka przedziału. Powoduje to

minimalizację błędu średniokwadratowego, ale pod warunkiem, że rozkład prawdopodobieństwa

wartości wejściowych jest stały w danym przedziale. Warunek ten jest w przybliżeniu spełniony, jeśli

szerokości przedziałów kwantyzacji są "bardzo małe".

Przykładem kwantyzacji jest pokazany na Rys. 16 sposób pomiaru objętości cieczy w zbiorniku.

Rys. 16. Funkcja skwantowana i przykład jej realizacji (pomiar wysokości lustra wody w zbiorniku)

Omówione procedury można skojarzyć. Funkcja może być spróbkowana i skwantowana, i wtedy

wyraźnie widoczny jest problem kojarzenia wartości próbki z poziomem decyzyjnym.

t

V

(t)

t

i

V

i(ti) V

i(ti-1)

t

i-1

Źr

ód

ło

świa

tła Fo

to

elem

ent

21

Rys. 17. Funkcja spróbkowana i skwantowana

Kwantowanie funkcji ciągłej drogą obliczeń numerycznych jest procesem złożonym. Najpierw funkcję

się próbkuje (taki jest charakter obliczeń numerycznych), a potem kwantuje, zaliczając próbkę do

konkretnego poziomu decyzyjnego. Należy pamiętać o tym, że takie odwzorowanie jest odwzorowaniem

stratnym - nie można dokładnie odtworzyć funkcji (sygnału skwantowanego).

Odwzorowanie to jest tym bliższe oryginału, im więcej jest poziomów decyzyjnych. W pomiarach

związane jest to z ilością bitów przetwornika analogowo-cyfrowego (czyli ilością poziomów możliwych do

zapisania) - tabela 1.

Tabela 3. Liczba bitów przetwornika, a liczba poziomów kwantyzacji

Liczba bitów n Liczba poziomów

4 24 =16

8 28 = 128

12 212 = 4096

16 216 = 65536

Δx

Δy

y

(t)

t

22

2 Interpolacja

Funkcja dyskretna yi= f(xi) ma wartości określone dla skończonego ciągu wartości argumentu xi,

zwanych węzłami:

n = 0,1,2,…n

Dla innych niż węzłowe wartości argumentu x wartość funkcji y = f(x) nie jest określona. Nie jest

również określona dla wartości argumentu spoza zbioru węzłów.

Wartość funkcji y=f(x) można wyznaczyć dla dowolnej wartości argumentu z przedziału wartości

znanych, stosując interpolację.

INTERPOLACJA

Zastąpienie funkcji dyskretnej funkcją ciągłą (zwaną funkcją interpolującą), która

zachowuje węzłowe wartości funkcji dyskretnej.

Funkcja interpolującą w przedziałach pomiędzy węzłami najczęściej przebiega inaczej, niż pierwotna

funkcja ciągła, którą zamieniono na ciąg wartości w procesie dyskretyzacji.

Rys. 18. Funkcja ciągła zdyskretyzowana i jej funkcja interpolująca

W procesie interpolacji przyjmuje się postać funkcji interpolującej i najczęściej wykorzystuje się

wielomiany algebraiczne, trygonometryczne lub funkcje wymierne.

Dyskretyzacja funkcji ciągłej f(x) ma miejsce często wtedy, gdy funkcja jest analitycznie złożona i koszt

wyznaczenia wartości funkcji dla konkretnej wartości argumentu jest znaczny. Opłaca się wówczas funkcje

stabelaryzować w wybranym zakresie wartości argumentu. Jeżeli zajdzie potrzeba wyznaczenia wartości

funkcji dla argumentu x spoza znanego przedziału <xmin, xmax>, wówczas interpolacja będzie „tańsza” niż

wyznaczenie wartości funkcji f(x) dla konkretnego x. Zabieg taki może wymagać mniejszego nakładu pracy,

ale wyznaczona wartość zawsze obarczona jest błędem.

Interpolacje stosujemy również i wtedy, gdy opis matematyczny jakiegoś zjawiska nie jest możliwy.

Gdy zagadnienie jest opisane np. hierarchicznie – parametry wynikają z wartości funkcji pośrednich –

x0

x1

x2

y1

y2

y

Funkcja interpolująca

Funkcja pierwotna f(x)

x x3

xi

xn

x

y0

y

y3

yi

yn

Zdyskretyzowana funkcja f(x)

23

a zależność końcowa niemożliwa jest do scalonego opisu analitycznego. Jedyna droga pozostaje analiza

numeryczna i wynikiem jej zawsze jest funkcja dyskretna. Powtarzanie tak złożonej procedury wymaga zbyt

dużego kosztu, więc obliczenia przeprowadzamy raz, a wartości pośrednie dostajemy z funkcji interpolującej.

Interpolację stosujemy więc wtedy, gdy:

trzeba zastąpić funkcję złożoną, dla której wyznaczenie wartości wymaga dużego nakładu pracy,

prostszą,

należy obliczyć wartości funkcji dyskretnej dla argumentów innych niż węzły,

trzeba rozwiązać równanie f(x) = 0 (interpolacja odwrotna).

2.1 Interpolacja wielomianowa Mamy ciąg wartości funkcji y = f(x), określonych dla konkretnych wartości argumentu z zadanego

przedziału <x0, xn>, czyli mamy (n+1) punktów. Szukamy funkcji ciągłej W(x) o zadanej postaci, która w

węzłach przyjmie ich wartości. Mamy więc układ (n+1) równań, z którego wyznaczyć można (n+1) wartości.

Problem polega więc tylko na tym, jak przyjmiemy postać funkcji W(x), która musi mieć (n+1) parametrów, by

wykorzystać pełny układ równań.

Tabela 4. Funkcja spróbkowana i warunki interpolacji

x y W(x)

x0 y0 = f(x0) W(x0) = y0

x1 y1 = f(x1) W(x1) = y1

… … …

xi yi = f(xi) W(xi) = yi

… … …

xn yn = f(xn) W(xn) = yn

W procesie interpolacji najczęściej przyjmujemy wielomianową postać funkcji interpolującej ( 3)

( 3)

Z układu równań (Tabela 4) można wyznaczyć wartości współczynników ai. Wielomian uogólniony ma

więc postać .

( 4 )

Funkcje nazywamy funkcjami bazowymi, a współczynnikami wielomianu.

Równanie ( 3) można zapisać macierzowo ( 5)

( 5)

gdzie:

24

Macierz funkcji bazowych Φ(x) jest wektorem wierszowym o wymiarach (1x(n+1)), natomiast macierz

współczynników A jest wektorem kolumnowym o wymiarach ((n+1)x1).

Wychodząc z warunku równości wartości wielomianu interpolującego W(xi) z wartościami węzłowymi

yi ( 6) układ równań z Tabela 4 sprowadzić można do postaci ( 7).

( 6)

( 7)

gdzie :

X - macierz interpolacyjna o rozmiarach (n+1) x (n+1)

A - macierz współczynników - wektor kolumnowy o (n+1) wierszach

Y - macierz wartości w węzłach funkcji interpolowanej - wektor kolumnowy o (n+1) wierszach

Jeżeli wyznacznik macierzy X ma wartość różną od zera:

to wyznaczyć można wartości macierzy współczynników z równania ( 8).

( 8)

Podstawiając wyznaczone wartości A do równania ( 7) otrzymamy ( 9).

( 9)

25

2.1.1 Wielomian w postaci naturalnej

W interpolacji problemem jest wybór postaci funkcji bazowych . Przyjmiemy najprostszą

z postaci - naturalną ( 10):

( 10)

wielomian interpolujący będzie miał postać ( 11):

( 11)

Macierz interpolacyjna ma więc postać ( 12):

( 12)

Wiemy, że układ równań ( 8) ma jedno rozwiązanie względem ai, jeśli wyznacznik macierzy X≠0.

Rozwiązaniem jest macierz ( 13) współczynników A:

( 13)

Interpolacja dużych zbiorów danych daje niestety duże macierze, które trzeba odwrócić. Czasami

macierze te są źle uwarunkowane i podczas ich odwracania występują błędy.

Przykładem takich danych jest zbiór wartości z Tabela 5.

Tabela 5. Krzywa nagrzewania się łożyska

czas [s]

temp. Łożyska [°C]

czas [s]

temp. Łożyska [°C]

czas [s]

temp. Łożyska [°C]

czas [s]

temp. Łożyska [°C]

czas [s]

temp. Łożyska [°C]

0 21,6 5 31,5 10 46,7 18 79,2 23 83,5

1 21,8 6 34,0 11 50,7 19 81,6 24 83,6

2 24,1 7 37,3 15 70,2 20 83,3 25 83,6

3 25,7 8 39,9 16 74,3 21 83,3

4 28,5 9 42,7 17 77,3 22 8,4

26

Bardzo wysoki stopień wielomianu i asymptotyczny wzrost temperatury ustalającej się na poziomie

ok. 84°C spowodowały olbrzymie błędy przy odwracaniu macierzy. W efekcie wielomian interpolacyjny, który

miał przechodzić przez wszystkie wartości węzłowe zupełnie się od nich odsunął (Rys. 19).

Rys. 19. Krzywa nagrzewania się łożyska (dane w tabeli 5)

Dla tego samego zbioru wartości obniżenie stopnia wielomianu do dziewiątego (10 pierwszych

węzłów dało dobre rozwiązanie, przedstawione na rys.

Rys. 20. Interpolacja krzywej nagrzewania się łożyska z tabeli 5 wielomianem dziewiątego stopnia (na pierwszych 10 punktach)

Innym zjawiskiem jest tzw. efekt Runge’go (Rys. 21). Polega ona na tym, że w przypadku

wielomianów wysokiego stopnia następuje „rozfalowania” wartości przy krańcach przedziału. Zjawisko to

widoczne jest wtedy, gdy węzły rozłożone są równomiernie (stały okres próbkowania). Jeśli węzły przy

krańcach przedziału się zagęści umieszczając je w punktach Czebyszewa (o czym później), wówczas tego

efektu można uniknąć. Na Rys. 21 pokazano funkcję dyskretną uzyskaną poprzez próbkowanie ze stałym

okresem funkcji y(x) i wielomian ją aproksymujący W(x). Rys. 22 pokazuje tę samą funkcję y(x), ale

próbkowaną ze zmiennym okresem (węzły w punktach Czebyszewa) i jej wielomian aproksymujący W(x).

W obu przypadkach stopień wielomianu jest ten sam (wielomiany naturalne).

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20 25 30

Tem

pe

ratu

ra ło

żysk

a [s

top

ni C

]

Czas [s]

W(x)

yi(xi)

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

45,0

50,0

-1 1 3 5 7 9 11

temp. Łożyska [°C]

w(x) 10pkt

27

Rys. 21. Efekt Runge'go

Rys. 22. Funkcja spróbkowana ze zmiennym okresem próbkowania

2.1.1.1 Punkty Czebyszewa

Optymalne położenia węzłów stanowią zera wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju, których

postać trygonometryczna podana jest niżej :

Zera wielomianów (czyli wartości węzłów) wyznacza się z zależności:

gdzie:

n - liczba punktów;

m - indeks punktu.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

Stały okres próbkowania

W(x)

y

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

Punkty Czebyszewa

W(x)

y-czebyszewa

dyskretna1

28

Ponieważ punkty Czebyszewa należą do przedziału <-1,1> a nasza funkcja ma wartości określone w

przedziale węzłów <a,b> trzeba wartości xm przeskalować.

Skalowanie z przedziału <-1,1> na <a,b>:

Ostatecznie:

Skalowanie z przedziału <a,b> na <-1,1>:

Optymalne położenie węzłów można wyznaczyć wg wzoru:

Węzły są zagęszczone na krańcach przedziału.

Ze względu na kłopoty z odwracaniem dużych macierzy oraz na efekt Runge'go, który w pomiarach

jest nie do uniknięcia z powodu niemal powszechnej rejestracji wartości mierzonych co stały okres czasu,

taktowany zegarem urządzeń pomiarowych, interpolację przeprowadza się na ograniczonej liczbie węzłów,

na których rozpina się wielomian interpolacyjny. Zmniejszenie stopnia wielomianu oznacza też mniejszą

macierz do odwrócenia. W zasadzie nie stosuje się stopni wyższych niż piąty. Oznacza to jednak, że cały zbiór

węzłów aproksymować należy przedziałami, co w konsekwencji prowadzi do innych współczynników

wielomianu dla każdego z interpolowanych zakresów (Rys. 23). Oczywiście z wyznaczonego wielomianu

interpolacyjnego skorzystać można tylko w zakresie węzłów, użytych do interpolacji. poza tym zakresem

wielomian nie przechodzi przez wartości węzłowe.

Patrząc na Rys. 23 dochodzimy do wniosku, że funkcję interpolującą można "posklejać" z fragmentów

różnych wielomianów wyznaczonych dla kolejnych, przyległych podzbiorów wartości węzłowych. Tak właśnie

powstała metoda funkcji sklejanych, o której już mówić nie będziemy.

29

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

próbki

W(x) dla 4 punktów

-2

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

próbki

W(x) dla 4 punktów

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

próbki

W(x) dla 4 punktów

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

próbki

W(x) dla 4 punktów

Rys. 23. Interpolacja przedziałami (na 4 punktach)

2.1.1.2 WADY INTERPOLACJI WIELOMIANAMI NATURALNYMI

Procedura wyznaczania wartości współczynników wymaga odwracania macierzy interpolacyjnej.

Odwracanie macierzy jest operacją kosztowną i podczas odwracania macierzy dużych stopni

występują błędy.

Macierz interpolacyjna nie zawsze jest dobrze uwarunkowana

punkt startowy 2

punkt startowy 8

punkt startowy 12

punkt startowy 20

30

2.1.1.3 Interpolacja liniowa

Jeżeli stopień wielomianu ograniczymy do pierwszego:

wówczas mówimy o interpolacji liniowej, która stosowana jest dość często. Dokładność tego

odwzorowania silnie zależy od wielkości kroku próbkowania. Przy małym kroku daje zazwyczaj akceptowalną

dokładność.

Wartości współczynników wielomianu możemy wyznaczyć jak poprzednio, możemy również policzyć

je wprost z równania prostej (Rys. 24).

Rys. 24. Interpolacja liniowa

Przykład 1 - Interpolacja wielomianami naturalnymi

Dla ilustracji różnych metod interpolacji dokonamy "ręcznych" obliczeń na tym samym zbiorze

wartości. Zakładamy, że mamy funkcję zdyskretyzowaną, której wartości zebrane są w Tabela 6 .

Tabela 6. Dane wyjściowe

węzły wartości węzłowe

x0 1 y0 4

x1 2 y1 8

x2 3 y2 3

Szukamy wyrazów macierzy A z równania ( 14):

( 14)

gdzie:

By układ równań ( 14) miał rozwiązanie, należy sprawdzić, czy wyznacznik macierzy X różny jest od

zera. Potrzebny jest on również do znalezienia macierzy odwrotnej X-1.

xi xi+1 x

yi

y

yi+1

y(x)

x

31

WYZNACZANIE MACIERZY ODWROTNEJ

gdzie: det X - wyznacznik macierzy X DT - transponowana macierz dopełnień algebraicznych macierzy X

DOPEŁNIENIE ALGEBRAICZNE MACIERZY

W algebrze liniowej dopełnienie algebraiczne elementu xij danej macierzy kwadratowej X stopnia n

jest iloczynem (-1)i+j oraz minora Mij czyli wyznacznika podmacierzy stopnia (n-1) powstałego z usunięcia i-

tego wiersza oraz j-ej kolumny macierzy X.

WYZNACZNIK MACIERZY

Wyznacznikiem nazywamy takie odwzorowanie, które danej macierzy X = [xij]n×n przyporządkowuje

dokładnie jedną liczbę rzeczywistą detX.

( 15)

Obliczamy wyznacznik macierzy X. Ponieważ jest to macierz (3x3), wykorzystamy metodę Sarrusa

(Uwaga - tylko dla macierzy 3x3)

Jeśli mamy macierz większą, darujmy sobie "ręczne" rachunki. Jeśli możemy skorzystać z

Excela, to wyznacznik obliczamy przy pomocy funkcji

WYZNACZNIK.MACIERZY (zakres)

pamiętając, że jest to funkcja tablicowa, którą wprowadza się do zaznaczonego obszaru

i kończy wprowadzanie sekwencją klawiszy CTR+SHIFT+ENTER

Wartość tego wyznacznika obliczyć można również z definicji ( 15):

Wyznacznik jest różny od zera - układ równań ma jedno rozwiązanie ze względu na ai. Odwracamy

macierz X. W tym celu obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy X.

32

Mając wszystkie wyrazy macierzy dopełnień można znaleźć jej postać transponowaną, potrzebną do

wyznaczenia macierzy X-1.

;

;

;

Obliczamy macierz współczynników A.

Ostatecznie wielomian interpolacyjny ma postać ( 16):

( 16)

Węzły funkcji dyskretnej należą do przedziału x<1,3> i dla dowolnej wartości z tego przedziału

wyznaczyć możemy wartość W(x), która jest przybliżoną wartością funkcji dyskretnej dla danego x. Jeśli

potrzebna nam jest przybliżona wartość funkcji y dla x=2,5, obliczamy ją z wielomianu interpolującego:

Na Rys. 25 pokazano wykres funkcji dyskretnej, wielomian interpolujący oraz wyznaczoną,

interpolowaną wartość y(2,5). Oczywiście gałąź krzywej na lewo od 1 (w kierunku wskazanym strzałką)

NIE MOŻE BYĆ STOSOWANA do wyznaczania przybliżonej wartości funkcji y(x).

Podobnie jest z obszarem na prawo od 3 (w kierunku wskazanym strzałką). Wielomian interpolacyjny

miał przechodzić przez zadane węzły. I na tym polega istota interpolacji.

33

Rys. 25. Ilustracja graficzna przykładu 1

2.1.2 Interpolacja wielomianami Czebyszewa pierwszego rodzaju

Poprzednio wspomnieliśmy, że interpolacja wielomianami wysokich stopni prowadzi do efektu

Rungego, który można uniknąć stosując zmienny krok próbkowania i że rozwiązaniem może być przyjęcie

węzłów w zerach wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju. Wielomian interpolacyjny wyraża sie

klasycznym wzorem ( 17):

( 17)

Funkcje bazowe są wielomianami Czebyszewa I rodzaju. W postaci rekurencyjnej, wygodnej

w obliczeniach, opisuje się je następującymi wzorami ( 18):

( 18)

Wielomiany te mają wartości określone dla .

Jeśli funkcja dyskretna rozpięta jest na węzłach , to należy je przeskalować:

Przeliczając "w drugą stronę" mamy:

Oczywiście zgodnie z założeniami przekształcenia wielomian musi spełniać warunki równości

w węzłach z funkcją dyskretną:

Współczynniki wielomianu wyznaczane są jak np. w przypadku wielomianów naturalnych z układu

równań:

6,625

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4

Dyskretna yi(xi)

W(x)

wartość interpolowana

34

Ponieważ wartości węzłów mieszczą sie w granicach <-1,1>, więc wyrazy macierzy Φ i jej macierzy

odwrotnej mieszczą się również w tych granicach, co powoduje, że interpolacja tymi wielomianami jest mniej

wrażliwa na błędy zaokrągleń.

Przykład 2 - Interpolacja wielomianami Czebyszewa

Mamy dane jak w Tabela 7

Tabela 7. Dane do interpolacji metodą wielomianów Czebyszew I rodzaju

Czas [s] t0 t1 t2 t3 t4

1 2 3 4 5

Temp.[°C] 21 22 26 30 31

y0 y1 y2 y3 y4

Jest to funkcja postaci rozpięta na węzłach . Musimy przeskalować wartości tak,

by mieściły się w zakresie :

Tak skalując węzły dostaniemy ciąg wartości:

Ponieważ postać rekurencyjna ( 18) jest bardzo wygodna jest do obliczeń numerycznych, to

korzystamy z niej w przypadku obliczeń zautomatyzowanych (program w jakimś języku lub formuły w arkuszu

kalkulacyjnym).

By pokazać postaci funkcji bazowych wyznaczymy je dla naszego przypadku kolejno:

Macierz Φ jest następująca:

35

Macierz odwrotna Φ-1 ma wartości również mieszczące się w granicach <-1,1>:

0,166667 0,333333 0 0,333333 0,166667

-0,33333 -0,33333 0 0,333333 0,333333

0,25 0 -0,5 0 0,25

-0,16667 0,333333 0 -0,33333 0,166667 0,083333 -0,33333 0,5 -0,33333 0,083333

Mając macierz współczynników A, można znaleźć wartość interpolowaną dla każdego

Dla

Przykład 3 - Interpolacja wielomianami Czebyszewa

Niezależnie od postaci funkcji bazowych wielomiany interpolacyjne maja taką samą postać

analityczną. Sprawdźmy, czy wielomian Czebyszewa dla danych z Przykład 1 będzie dokładnie taki sam.

Dla ułatwienia powtórzono tabelę wartości funkcji z przykładu 1 (Tabela 6).

węzły wartości węzłowe

x0 1 y0 4

x1 2 y1 8

x2 3 y2 3

.

Funkcje bazowe mają postać ( 19):

( 19)

Skalujemy wartości węzłów tak, by były zawarte w granicach <-1,1>:

Wartości przeskalowane w kolejnych punktach liczymy tak:

Φ-1 =

36

Obliczamy wartości podstawiając przeskalowane wartości xi do wzorów ( 19).

Mamy więc układ równań postaci ( 20), możemy przekształcić go do postaci ( 21) i znaleźć wartości

współczynników ai.

( 20)

( 21)

Rozwiązując ten układ równań dostajemy wartości współczynników ai ( 22):

( 22)

Wielomian W(x) po podstawieniu ( 19) i ( 21) do wyrażenia ( 17) sprowadzimy do postaci

algebraicznej ( 23):

( 23)

Podstawiając sprowadzimy wielomian do postaci:

( 24)

Algebraicznie jest to taki sam wielomian, jak wyznaczony dla tych danych z wielomianów

naturalnych.

2.1.3 Interpolacja wielomianem Lagrange’a

Interpolacja wielomianami naturalnymi jest pracochłonne i wymaga odwracania macierzy.

Wspominaliśmy już, że bywa to przyczyną błędów. Poszukiwano więc innej postaci funkcji bazowych, które

ułatwiałyby obliczenia.

Pan Lagrange przyjął wielomian w postaci ( 25), gdzie funkcje bazowe mają specyficzna postać,

przedstawioną równaniami ( 26). W tym zapisie przyjęliśmy jawną wartość 1 w miejscu niewystępujących

różnic. Ułatwia to prezentację zapisu.

37

Wielomian interpolujący ma ogólną postać jak poprzednio:

( 25)

a funkcje bazowe są iloczynami różnic pomiędzy wartością bieżącą argumentu i wartościami węzłów ( 26):

)1())()()(()(

)())(1)()(()(

)())()(1)(()(

)())()()(1()(

3210

3102

3201

3210

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

n

n

n

n

( 26)

W każdej z funkcji bazowych nie występuje czynnik .

Macierz interpolacyjna Φ ma postać ( 27).

)()()(

)()()(

)()()(

10

11111

00100

nnnn

n

n

xxx

xxx

xxx

( 27)

Znając wartość węzłów 0x ,1x nx wyznaczymy wyrazy macierzy .

0)(,,0)(,0)(

)())()(()(

0)(

0)(

0)(,,0)(,0)(

)())()(()(

0)(

0)(,,0)(,0)(

)())(()(

22423

232120222

21

20

11312

131210111

10

00201

0201000

xxx

xxxxxxxxx

x

x

xxx

xxxxxxxxx

x

xxx

xxxxxxx

n

n

n

n

n

n

Wynika z tego, że macierz interpolacyjna jest macierzą diagonalną – ma wartości różne od zera tylko

na głównej przekątnej ( 28)

)(000

0)(00

00)(0

000)(

22

11

00

nn x

x

x

x

( 28)

38

Każda z funkcji bazowych )( ii x ma wartość, natomiast pozostałe się zerują. Przy takiej postaci

macierzy łatwo wyznaczyć współczynniki wielomianu interpolacyjnego z równania ( 29). Równanie to po

rozwinięciu ma postać ( 30).

( 29)

nnnn y

y

y

y

a

a

a

a

x

x

x

x

2

1

0

2

1

0

22

11

00

)(000

0)(00

00)(0

000)(

( 30)

Z definicji działania mnożenia macierzy wynika, że:

)()(

00

00000

x

yayax o

)()(

11

111111

x

yayax

)()(

nn

nnnnnn

x

yayax

( 31)

Wielomian interpolacyjny ma więc postać ( 32).

dla j=0,1,2,...,n

( 32)

Sumując wyrazy po ni 1,0 otrzymujemy postać wielomianu ( 33)

nj

xx

xx

yxWn

in

ij

ji

n

ij

j

i ,,2,1,0;

)(

)(

)(0

( 33)

Jak widać wielomiany Langrange’a w stosunku do wielomianów naturalnych wymagają prostszych

operacji. Brak jest odwracania macierzy, wnoszącego często duże błędy.

Metoda Lagrange’a nie ma istotnych wad. Zaletą jej jest możliwość prowadzenia obliczeń „ręcznie”,

nawet na znacznych zbiorach danych.

39

Przykład 4 - Interpolacja wielomianem Lagrange'a

Korzystając z metody Lagrange’a wyznaczymy wielomian interpolacyjny dla danych z Przykład 1.

Dla ułatwienia przytoczymy dane ponownie (Tabela 6).

Węzły Wartości węzłowe

10 x 40 y

21 x 81 y

32 x 32 y

Wyznaczamy wartości funkcji bazowych dla kolejnych węzłów ( 34).

2)2)(1()31)(21())(()( 201000 xxxxx

1)1(1)32)(12())(()( 210111 xxxxx

212)23)(13())(()( 120222 xxxxx

( 34)

Znając wartości funkcji )( ii x obliczymy wartość współczynników ia wielomianu interpolacyjnego ( 35).

22

4

)( 00

00

x

ya

8)1(

8

)( 11

11

x

ya

5,12

3

)( 22

22

x

ya

( 35)

Wielomian interpolacyjny ma więc postać ( 36).

))(())(())(()( 102201210 xxxxaxxxxaxxxxaxW

)2)(1(5,1)3)(1(8)3)(2(2)( xxxxxxxW

( 36)

Chcąc wyznaczyć wartość interpolowaną wartość )5,2( xfy podstawimy w miejsce x liczbę 2,5.

625,6125,165,0

5,05,15,1)5,0(5,18)5,0(5,02

)25,2)(15,2(5,1)35,2)(15,2(8)35,2)(25,2(2)5,2(

xfy

Wynik jest ten sam, co w przykładzie 1. Pomimo, że „wizualnie” postać wielomianu Lagrange’a jest

pozornie inna, to jednak jest to nadal ten sam wielomian, co w przykładzie 1. Sprawdźmy, sprowadzając

postać ( 36) do postaci naturalnej.

)22(5,1)33(8)623(2)( 222 xxxxxxxxxxW

35,45,12432812102)( 222 xxxxxxxW

95,175,4)( 2 xxxW ( 37)

Jest to dokładnie ta sama postać co w równaniu ( 16).

40

2.1.4 Wielomiany Newtona

Interpolacja metodą Newtona stosowana jest dla funkcji dyskretnych, spróbkowanych stałym

krokiem ii xxh 1 idem dla ni ,,1,0 .

Zanim opiszemy oba z wzorów Newtona, wprowadzimy pojęcie różnicy skończonej.

2.1.4.1 Różnice skończone.

Różnicą skończoną progresywną rzędu pierwszego dla argumentu ix nazywamy różnicą wartości

węzłowych ( 38).

iiiii yyxfhxfy 1)()( dla i = 0,1,...,n ( 38)

Różnice skończone wyższych rzędów definiuje się rekurencyjnie. Np. różnica skończona rzędu

drugiego ma postać ( 39).

iiii yyyy 1

2 )( ( 39)

gdzie:

iii yyy 1 121 iii yyy

Ostatecznie otrzymujemy wyrażenie ( 40):

iiiiiiii yyyyyyyy 12112

2 2)()(

( 40)

Podobnie definiujemy różnicę skończoną rzędu k ( 41).

1

0

1

1

11 )1()(

ki

k

j

j

i

k

i

k

i

k

i

k yj

kyyyy

( 41)

Mając zbiór węzłów xi i wartości węzłowych yi buduje się tablicę różnic skończonych (Tabela 8), które

wykorzystamy w pierwszym wzorze Newtona.

Tabela 8.Tablica progresywnych różnic skończonych dla węzłów.

index ix iy iy iy

2 iy

3

i

n y2 i

n y1 i

n y

0 0x 0y 0y 0

2 y 0

3y

0

2 yn 0

1yn

1 1x 1y 1y 1

2 y 1

3y

1

2 yn

2 2x 2y 2y 2

2 y 2

3y

n-2 2nx 2ny 2 ny 2

2

ny

n-1 1nx 1ny 1 ny

n nx ny

41

Podobnie definiuje się różnice wsteczne. Różnica pierwszego stopnia tak, jak poprzednio jest różnicą

wartości funkcji iy i poprzedzającej jej wartości 1iy ( 42).

1 iii yyy ( 42)

Analogicznie, jak dla różnic progresywnych, definiujemy kolejne stopnie różnic wstecznych,

korzystając z zależności rekurencyjnej ( 43).

1

11

i

k

i

k

i

k yyy ( 43)

Jak w przypadku różnic progresywnych budujemy tablicę skończonych różnic wstecznych (Tabela 9),

którą to ograniczymy do np. 6 punktów.

Tabela 9. Przykładowa tabela różnic wstecznych

index ix iy iy iy

2 iy

3 iy

4 iy

5

0 0x 0y

1 1x 1y 1y

2 2x 2y 2y 2

2 y

3 3x 3y 3y 3

2 y 3

3y

4 4x 4y 4y 4

2 y 4

3y 4

4y

6 5x 5y 5y 5

2 y 5

3y 5

4 y 5

5y

2.1.4.2 I wzór Newtona.

I wzór Newtona stosowany jest w interpolacji funkcji dyskretnej spróbkowanej z krokiem stałym dla górnej części tabeli wartości. Funkcja interpolowana ma wartości węzłowe odległe od siebie o h=idem (Tabela 10).

Tabela 10. Funkcja spróbkowana z krokiem stałym

index ix iy

0 0x 0y

1 hxx 01 1y

2 hxy 202 2y

n hnxyn 0 ny

Podstawiając h

xxq 0 wyznaczyć można wartości q dla kolejnych węzłów ( 44).

42

0xxdla 000

h

xxq

1xxdla 100011

h

xhx

h

xxq

2xxdla 22 0002

2

h

xhx

h

xxq

nxxdla nqn

( 44)

Wielomian Newtona ma postać taką, jak każdy wielomian interpolacyjny ( 45).

)()()()()( 221100 qaqaqaqaqW nn ( 45)

Funkcje bazowe wyrażają się następującymi formułami ( 46):

Podstawiając ( 46) do ( 45) mamy ( 47).

)1)(2)(1()1()( 210 nqqqqaqqaqaaqW n ( 47)

Parametr q w węzłach przyjmuje wartości, które są liczbami całkowitymi ( 48).

nh

xhnx

h

xxqxx

h

xhx

h

xxqxx

h

xhx

h

xxqxx

h

xxqxx

nnn

000

000222

000111

0000

22

1

0

( 48)

)]1([)2)(1()(

)2)(1()(

)1()(

)(

1)(

3

2

1

0

nqqqqq

qqqq

qqq

qq

q

n

( 46)

43

Wielomian interpolacyjny można zapisać macierzowo jako ( 49):

( 49)

gdzie:

Φ- kwadratowa macierz wartości funkcji bazowych (n+1)x(n+1)

A - macierz współczynników wielowartościowa (kolumnowa (n+1)x1)

- macierz wartości węzłowych (kolumnowa (n+1)x1)

Rozpisując wyrazy macierzy mamy ( 50):

nnnnnn

n

n

y

y

y

a

a

a

qqq

qqq

qqq

1

0

1

0

10

11100

00100

)()()(

)()()(

)()()(

( 50)

Wstawiając do ( 50) wartości funkcji bazowych dla parametrów q wyznaczonych z ( 48) mamy ( 51).

nn y

y

y

y

y

y

a

a

a

a

a

a

nnnnnnn

4

3

2

1

0

4

3

2

1

0

!)2)(1()1(1

06631

00231

00221

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

( 51)

Weźmy macierz 3x3 i wyznaczmy wartości współczynników a .

2

1

0

1

0

221

011

001

y

y

y

a

a

a

a

Wyznaczamy wartości a odpowiednio mnożąc wyrazy macierzy:

2210

110

00

22 yaaa

yaa

ya

Przekształcając otrzymujemy:

0

2

01201021022

00011

00

2)(222

)(

yyyyyyyyaaya

yaprogresywnróżniayyya

ya

44

Porządkując wartości mamy:

Analogicznie dostaniemy wzór na współczynnik ( 52):

( 52)

Procedura wyznaczania wartości współczynników wielomianu jest więc bardzo prosta. Budujemy dla

swoich danych tablicę różnic skończonych, wyznaczając kolejne ich wartości, a współczynniki wielomianu

obliczamy z zależności ( 52).

Zaletą tego algorytmu jest to, że wartości współczynników łatwo jest policzyć dla rozszerzonego

zakresu węzłów. Nie trzeba całej procedury powtarzać. Łatwo jest interpolować funkcję wielomianu

wybranego rzędu na wybranych węzłach, co pokażemy na przykładach.

Przykład 5 - I wzór Newtona

Wyznaczyć wartość y(x) dla x=2,5 stosując I wzór Newtona. Dane do obliczeń zawarto w Tabela 11.

Tabela 11. I wzór Newtona - dane do obliczeń

index ix iy iy iy2

0 1 4 8 - 4 = 4 -5 - 4 = -9

1 2 8 3 - 8 = -5

2 3 3

Wartości współczynników ia wyznaczamy z zależności ( 52).

= 4

Wartość interpolowaną )5,2()5,2( Wy wyznaczamy, przyjmując q :

5,11

15,20

h

xxq

45

i podstawiając wyliczoną wartość do wzoru ( 47) mamy:

)1()( 210 qqaqaaqW

625,6375,364)15,1(5,15,45,144)5,2( W

Wartość oczywiście taka sama, jak wyznaczona dla tych danych we wcześniejszych przykładach

(innymi wielomianami).

Wielomian sprowadzony do postaci naturalnej musi mieć oczywiście tę samą postać co

w przykładzie 1.

Podstawiając )1(1

10

xx

h

xxq do ( 47) otrzymujemy następującą postać wielomianu:

)2)(1()1()( 210 xxaxaaxW

)2)(1(5,4)1(44)( xxxxW

)22(5,4444)( 2 xxxxxW

95,135,44)( 2 xxxxW

95,175,4)( 2 xxxW Jest to analitycznie dokładnie ten sam wielomian co w przykładzie 1.

Interpolacja wielomianem wg I wzoru Newtona umożliwia dowolny wybór stopnia wielomianu

k <= n, jeśli punktów jest n+1. Musimy oczywiście pamiętać o tym, że przyjęcie stopnia wielomianu k<n

wymaga k+1 punktów. Oznacza to, że w przypadku interpolacji w końcowej, prawej części zbioru węzłów,

może nam "zabraknąć" punktów, by użyć wielomianu stopnia k. Brak nam progresywnych różnic

skończonych. Dlatego dla wartości z prawej strony przedziału używamy różnic wstecznych i opartego na nich

II wzoru Newtona.

Przykład 6 - Interpolacja wg I wzoru Newtona

Tabela 12 zawiera stabelaryzowaną funkcję y(x), która spróbkowana jest z krokiem stałym h=1

Tabela 12. Tabel wartości dla przykładu interpolacji I wzorem Newtona

x y Δy Δ2y Δ3y Δ4y Δ5y Δ6y Δ7y Δ8y Δ9y

x0 0 1,00 6,50 8,60 -2,40 2,72 -25,60 76,80 -179,20 358,40 -645,12

x1 1 7,50 15,10 6,20 0,32 -22,88 51,20 -102,40 179,20 -286,72

x2 2 22,60 21,30 6,52 -22,56 28,32 -51,20 76,80 -107,52

x3 3 43,90 27,82 -16,04 5,76 -22,88 25,60 -30,72

x4 4 71,72 11,78 -10,28 -17,12 2,72 -5,12

x5 5 83,50 1,50 -27,40 -14,40 -2,40

x6 6 85,00 -25,90 -41,80 -16,80

x7 7 59,10 -67,70 -58,60

x8 8 -8,60 -126,30

x9 9 -134,90

a

b

c

46

Interpolując tę funkcję wielomianem 3 stopnia rozpiętym na węzłach 0,1,2,3 (klamra a w Tabela 12)

otrzymamy wartości współczynników wyliczone z pierwszego wiersza tabeli:

i wielomian w postaci:

gdzie:

Zmieniając zakres węzłów - rozpinamy wielomian na węzłach 4,5,6,7 (klamra b w tabeli) - mamy

wartości współczynników wyliczone z różnic skończonych z wiersza 5 tabeli:

i wielomian w postaci:

gdzie:

; x0 = 64, więc

Próba wyznaczenia wielomianu interpolacyjnego stopnia 3 na węzłach od 7 począwszy musi

zakończyć się niepowodzeniem - brak jednego węzła - i w tym przypadku trzeba przejść na II wzór Newtona

oparty na różnicach wstecznych.

2.1.4.3 II wzór Newtona - różnice wsteczne

Interpolując funkcję dyskretną w prawej części przedziału węzłów korzystamy z II wzoru Newtona,

który przytoczymy bez wyprowadzania.

Podstawiając:

II wór Newtona oparty na różnicach wsteczny ma postać:

Dla danych z poprzedniego przykładu zbudujemy tablicę różnic skończonych i wyznaczymy wartości

współczynników dla wielomianu stopnia 3, rozpiętego na węzłach 5,6,7,8 (Tabela 13)

47

Tabela 13. Różnice wsteczne

x y

1yn 2yn

3yn 4yn

5yn 6yn

7yn 8yn

9yn

x0 0 1,00 x1 1 7,50 6,50

x2 2 22,60 15,10 8,60 x3 3 43,90 21,30 6,20 -2,40

x4 4 71,72 27,82 6,52 0,32 2,72 x5 5 83,50 11,78 -16,04 -22,56 -22,88 -25,60

x6 6 85,00 1,50 -10,28 5,76 28,32 51,20 76,80 x7 7 59,10 -25,90 -27,40 -17,12 -22,88 -51,20 -102,40 -179,20

x8 8 -8,60 -67,70 -41,80 -14,40 2,72 25,60 76,80 179,20 358,40 x9 9 -134,90 -126,30 -58,60 -16,80 -2,40 -5,12 -30,72 -107,52 -286,72 -645,12

Wartości współczynników wyliczamy z różnic skończony z ostatniego wiersza zakresu:

Mamy więc wielomian postaci:

gdzie:

Zalety Interpolacji metodami różnic skończonych

Raz policzone różnice skończone dla węzłów 0,1,...,n umożliwiają interpolację wielomianem

dowolnego stopnia kn dla dowolnego podzbioru węzłów.

Można powiększać zbiór węzłów rozszerzając go w prawo

Metoda wygodna do obliczeń ręcznych i numerycznych

2.1.5 Schemat Aitkena.

Wyznaczanie wartości wielomianu Lagrange’a dla dowolnej wartości argumentu nxxx ,0 jest

dość pracochłonne.

Metoda Aitkena pozwala na wyznaczenie wartości interpolowanej tego wielomianu bez konieczności

wyznaczania współczynników i jego pełnej postaci.

48

Żeby obliczyć wartość wielomianu opartego na n węzłach wyznacza się wartość wielomianów

kolejnych stopni, przechodzących przez zadane węzły, dla konkretnego punktu x.

Definiujemy wielomiany stopnia n, oparte na węzłach

- wielomian pierwszego stopnia rozpięty na punktach

- wielomian stopnia drugiego przechodzący przez

- wielomian stopnia n przechodzący przez punkty gdzie

Wartości tych wielomianów dla zadanej wartości argumentów xwyznaczamy ze wzorów ( 53)

( 53)

Wartości wielomianów umieszczamy w tabeli trójkątnej i obliczamy od góry w prawo kolejne wyrazy ( ) dla zadanej wartości x (Tabela 14).

Tabela 14. Schemat Aitkena

0x 0y

1x 1y 1,0W

2x 2y 2,0W 2,1,0W

3x 3y 3,0W 3,1,0W 3,2,1,0W

4x 4y 4,0W

4,1,0W 4,2,1,0W 4,3,2,1,0W

nx nW ,0 nW ,1,0 nW ,2,1,0 nW ,3,2,1,0 nW ,,1,0 ny

49

Przykład 7 -Schemat Aitkena

Wyznaczyć metodą Aitkena wartość wielomianu interpolacyjnego )(2,1,0 xW dla punktu 5,2x dla

danych z przykładu 2 (Tabela 6) - wartości powtórzono w tabeli niżej.

Rozwiązanie:

Nr ix iy 0 1 4

1 2 8 101,0 W

2 3 3 25,32,0 W

625,62,1,0 W

Zawarte w tablicy wielomiany wyznaczamy następująco:

10)12(

)5,21(8)5,22(4

01

11

00

,1,0

xx

xxy

xxy

Wji

25,3)13(

)5,21(3)5,23(4

02

22

00

,2,0

xx

xxy

xxy

Wji

625,623

)5,22(25,3)5,23(10

12

22,0

11,0

2,1,0

xx

xxW

xxW

W

Oczywiście wynik jest dokładnie taki sam, jak w przykładach poprzednich. Oszczędziliśmy trochę na

rachunkach, ponieważ kolejne wartości wielomianów zawierały wartości już wyliczone. Algorytm Aitkena jest

skuteczny zarówno w obliczeniach „ręcznych”, jak i numerycznych.

Na Rys. 26 pokazano geometryczną interpretację schematu Aitkena

Rys. 26. Geometryczna interpretacja schematu Aitkena

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4

dyskretna

wo1

w02

w012

50

2.1.6 Schemat Neville’a.

W schemacie Neville’a podobnie, jak w schemacie Aitkena definiujemy wielomiany interpolacyjne

i obliczamy wartość interpolowaną w punkcie x .

Wartość wielomianu stopnia zerowego, przechodzącego przez punkt ),( ii yx dla pewnego x jest iP

)(xPyP iii dla ni ,,1,0

Wartość wielomianu stopnia pierwszego przechodzącego przez punkty ),( ii yx oraz ),( 11 ii yx jest

)1( iiP :

nidlaxpP iiii ,...,1,0)()1()1(

Wartości wielomianów stopni wyższych wyznaczyć można z zależności rekurencyjnej:

kii

kiiiikiiini

niiixx

PxxPxxP

)(,),2)(1()1(,),1(

)(,),1(

)()(

gdzie:

k - stopień wielomianu; nk ,,2,1

ni ,,1,0 Budujemy tablicę symetryczną ( 54).

000; pyx

1,0p

111; pyx

2,1,0p

2,1p

3,2,1,0p

222; pyx

3,2,1p

4,3,2,1p

3,2p

4,3,2,1p

333; pyx

4,3,2p

4,3p

444; pyx

( 54)

Kolejne elementy tablicy wyznacza się na podstawie wartości uprzednio wyliczonych.

Stosując oznaczenie ( 55) sprowadza się ten schemat do bardzo przyjaznej formy ( 56).

)(,),1(),( kiiikki pt ( 55)

51

0,000; tyx

1,1t

0,111; tyx

2,2t

1,2t

3,3t

0,222; tyx

2,3t

4,4t

1,3t

2,4t

0,333; tyx

2,4t

1,4t

0,444; tyx

( 56)

gdzie:

kii

kiikiki

kixx

txxtxxt

1,11,

,

)()(niik ,,2,1,0;1; ( 57)

Przykład 8 - Schemat Neville'a

Obliczyć wartość interpolowaną dla danych z poprzednich przykładów (Tabela 6) dla 5,2x

schematem Neville’a.

węzły wartości węzłowe

x0 1 y0 4

x1 2 y1 8

x2 3 y2 3

Mamy tylko trzy punkty, więc tabela ma postać:

x0 y0 t0,0 1 4

t1,1 1

x1 y1 t1,0 t2,2 2 8 6,625

t2,1 5,5

x2 y2 t2,0 3 3

Wartości wyrazów jit , wyznaczono rekurencyjnie , korzystając ze wzoru ( 57).

40,0 t

80,1 t

30.2 t

1012

4)25,2(8)15,2()()(

01

0,010,10

1,1

xx

txxtxxt

5,523

8)35,2(3)25,2()()(

12

0,120,21

1,2

xx

txxtxxt

625,613

10)35,2(5,5)15,2()()(

02

1,121,20

2,2

xx

txxtxxt

(

30)

52

Interpolowana wartość jest oczywiście ta sama co poprzednio, bo schemat Neville'a oparty jest na

wielomianie Lagrange'a.

2.2 Interpolacja funkcjami trygonometrycznymi

W przypadku funkcji okresowych, czyli takich, że , które powtarzają swoje wartości

co okres T, wygodnie jest je interpolować funkcjami trygonometrycznymi. Funkcje trygonometryczne:

stanowią bazę dla funkcji o okresie 2π.

Warunkiem jest, by funkcja określona w dziedzinie liczb rzeczywistych, ograniczona, okresowa

okresie T spełniała warunki Dirichleta, tzn.:

przedział można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że jest ciągła i

monotoniczna na wnętrzu każdego z nich;

dla każdego x mamy

gdzie granice są właściwe.

Zakładamy, że mamy węzłów, które należą do przedziału

to możemy taką funkcję interpolować wielomianem postaci ogólnej:

( 58)

gdzie:

W obu przypadkach liczy się współczynniki Ak oraz Bk wg wzorów ( 59):

( 59)

Jeżeli jest funkcją parzystą na przedziale

to dla każdego k = 1, 2, . . . ,m;

co oznacza, że w szeregu ( 58) nie występują sinusy.

53

Gdy jest funkcją nieparzystą na przedziale

to dla każdego k = 1, 2, . . . m+1.

Wówczas w szeregu ( 58) nie występują cosinusy.

Funkcja nieparzysta to taka, która spełnia warunek:

Dla funkcji parzystej:

Rys. 27. Ilustracja parzystości funkcji

Przykład 9 - Interpolacja wielomianami trygonometrycznymi

Funkcja dyskretna, którą będziemy interpolować jest zadana w Tabela 15 Interpolacja

trygonometryczna - dane Tabela 15. Wartości x mają stały krok h = 0,5 π.

Tabela 15 Interpolacja trygonometryczna - dane

Ponieważ n=3 jest nieparzyste,

i .

Wyznaczamy wartości Ak

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-3 -2 -1 0 1 2 3

funkcja nieparzysta

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-3 -2 -1 0 1 2 3

Funkcja parzysta

nr pkt. x y=f(x)

0 0 0

1

2

3

54

Wyznaczamy współczynnik B1:

0

Ostatecznie postać funkcji interpolującej jest następująca:

Dla x=2 wartość interpolowana tym wielomianem jest W(2,6)=2,9168

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

dyskretna

w(x)

wielomiany naturalne

Rys. 28. Wykres wielomianu trygonometrycznego dla funkcji z przykładu 9

Na wykresie pokazano również wielomian interpolacyjny w postaci naturalnej, wyznaczony na tych

samych węzłach.

Interpolowana tym wielomianem wartość funkcji dyskretnej w punkcie x=2,6 wynosi

.

55

Nie należało się spodziewać identycznych wartości, choć w węzłach wartości są zgodne - taki był

warunek interpolacji.

2.3 Interpolacja – Podsumowanie Interpolacja polega na wyznaczeniu postaci funkcji, która będzie w węzłach przyjmowała wartości

węzłowe funkcji dyskretnej – funkcja interpolująca przechodzi przez wszystkie punkty funkcji

dyskretnej, którą interpoluje.

Interpolację przeprowadzamy, gdy:

znamy postać algebraiczną funkcji, lecz jest ona skomplikowana i wyznaczanie jej wartości dla

dowolnej wartości argumentu jest kosztowne – funkcję tablicujemy, a dla wartości innej niż

węzłowa przeprowadzamy interpolację.

mamy funkcję dyskretną, chcemy oszacować jej wartość dla argumentu z wnętrza przedziału

węzłów, czyli wyznaczyć jej wartość dla innej wartości argumentu niż węzeł.

mamy funkcję dyskretną i chcemy policzyć jej pochodną w punkcie lub całkę z niej

w określonym przedziale.

Interpolacja wielomianami algebraicznymi niezależnie od metody daje dokładnie tę sama postać

wielomianu naturalnego – wielomian niezależnie od metody wyznaczania współczynników zawsze

przechodzi przez te same punkty i jest tego samego stopnia N-1 (N – liczba węzłów).

Różne metody interpolacji wielomianowej różnią się nakładem pracy i dokładnością wyznaczenia

wartości współczynników.

W przypadku stałego kroku próbkowania i dużych stopni wielomianu występuje efekt Runge’go,

charakteryzujący się znacznym „rozfalowaniem” wartości wielomianu na krańcach przedziałów.

Uniknięcie efektu Runge’go możliwe jest poprzez zagęszczenie węzłów na krańcach przedziału (np.

punkty Czebyszewa)

Wielomian interpolacyjny obowiązuje tylko w zakresie węzłów użytych do interpolacji.

Wartość wielomianu interpolującego dla dowolnej wartości argumentu z zakresu węzłów wyznaczyć

można bez znajdowania postaci wielomianu bezpośrednio np. ze schematy Aitken’a.

56

3 Aproksymacja

Aproksymacja

Proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych.

Aproksymacja w naszym wykładzie sprowadza się do procedur przybliżania wartości funkcji

dyskretnej (empirycznej lub uzyskanej w wyniku rozwiązania złożonych równań opisujących stan jakiegoś

modelu) możliwie prostą funkcją, która w naszym mniemaniu najlepiej przystaje do zbioru wartości

węzłowych. Zadaniem aproksymacji jest znalezienie najlepszej z funkcji danej klasy - najlepszej w sensie

przyjętego kryterium oceny.

Podstawą aproksymacji jest twierdzenie Stona-Weierstrassa (Rys. 29):

Każdą funkcję ciągłą o wartościach rzeczywistych na przedziale domkniętym <a,b> można

przybliżyć jednostajnie wielomianem z dowolną dokładnością ε.

Rys. 29. Ilustracja twierdzenia Stona-Weierstrassa.

Nie oznacza to, że przybliżenie będzie obowiązywało na całej jej dziedzinie. Poza przedziałem <a,b>, z

której wartości pobrano do aproksymacji, funkcja aproksymującą może dramatycznie odbiegać wartością od

funkcji aproksymowanej. Podobnie było podczas interpolacji, która jest szczególnym przypadkiem

aproksymacji.

Różnica pomiędzy aproksymacją i interpolacją polega na tym, że funkcja interpolująca przechodzi

przez wszystkie wartości węzłowe, a funkcja aproksymująca może przez nie przechodzić, ale najczęściej tak

nie jest.

Drugą różnicą jest fakt, że w przypadku aproksymacji sami wybieramy postać funkcji zakładając, że

najlepiej przystający do zbioru wartości węzłowych będzie np. wielomian drugiego stopnia. W przypadku

interpolacji wielomianowej stopień wielomianu zależy od liczby punktów wziętych do procedury

interpolacyjnej.

Teoria aproksymacji w zastosowaniach inżynierskich dotyczy dwóch podstawowych zadań:

uproszczenia skomplikowanej postaci znanej funkcji prostszą, łatwiejszą do obliczeń,

dopasowanie możliwie prostej funkcji do danych eksperymentalnych.

Funkcja pierwotna y(x)

Funkcja aproksymująca W(x)

x

y

ε

ε

a b

57

W przypadku wielu punktów uzyskanych z eksperymentów (np. tysiąca) trudno wyobrazić sobie

interpolację tak wysokim stopniem wielomianu gdy np. punkty układają się jak na Rys. 30.

Rys. 30. Zbiór wartości uzyskanych z eksperymentów, dobrze aproksymowalny prostą.

Widać, że wartości funkcji z Rys. 30 układają się dość wyraźnie wg prostej, a odchyłki wartości

zmierzonych wynikają chyba z błędów pomiaru. W tej sytuacji interpolacja na całym zbiorze wartości funkcji

dyskretnej jest bez sensu. Z góry zakładamy, że zależność jest postaci:

Problemem jest wyznaczenie wartości współczynników tej funkcji, która w każdym z węzłów odbiega

od wartości węzłowych.

Jeśli wybierzemy funkcję, która (naszym zdaniem) najlepiej będzie przystawała do zbioru punktów, to

funkcja ta będzie miała jakieś współczynniki. Jak wyznaczyć ich wartości by funkcja NAJLEPIEJ przystawała do

węzłów?

Należy przyjąć miarę tego przystawania, czyli sposób określania błędu wartości funkcji

aproksymującej w stosunku do wartości węzłowych.

By dokonać aproksymacji musimy:

wybrać postać funkcji;

wybrać normę, wg której będziemy określać błąd.

Dokonując minimalizacji błędu, wyznaczymy parametry funkcji aproksymującej.

Skupiamy się w naszych rozważaniach nad jedną normą - euklidesową ( 60):

( 60)

gdzie:

- wartości węzłowe (znane); - wartość funkcji aproksymującej w węzłach ; - punkty funkcji dyskretnej.

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30

Funkcja dyskretna

W(x)=a0+a1*x

58

Przyjmując postać wielomianową funkcji aproksymującej ( 61):

( 61)

Warunek aproksymacji w sensie minimalizacji błędu ( 60) sprowadzimy do warunku( 62), podnosząc

stronami ( 60) do kwadratu:

( 62)

Szukając minimum przy znanych (założonych) postaciach funkcji bazowych musimy

przyrównać do zera pochodną po ( 63):

( 63)

Będziemy mieć więc równań ( 64):

( 64)

Różniczkujemy stronami dostając ( 65):

( 65)

Dzielimy stronami przez 2 i robimy porządek w sumowaniu, sprowadzając do postaci ( 66):

( 66)

Wprowadzamy oznaczenia ( 67):

( 67)

59

0

5

10

15

20

0 5

Równanie ( 66) sprowadzamy do postaci ( 68):

( 68)

W postaci macierzowej równanie ( 68) można przedstawić następująco ( 69):

( 69)

Możemy więc zapisać ten układ równań krótko ( 70):

( 70)

Z równania ( 67) wynika, że macierz jest symetryczna.

Przykład 10. Aproksymacja wielomianem kwadratowym

Mamy funkcję dyskretną, uzyskaną w wyniku eksperymentu, której rozkład punktów sugeruje

zależność kwadratową (Rys. 31).

Rys. 31. Funkcja dyskretna dobrze aproksymowalna wielomianem drugiego stopnia

Przyjmiemy więc, że wielomian aproksymujący jest wielomianem drugiego stopnia :

( 71)

Funkcje bazowe są więc postaci ( 72):

( 72)

i 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

4 1 3 10 16

60

Wyznaczmy wartości wyrazów macierzy ( 69) pamiętając, że punktów mamy .

Współczynniki mają indeksy ; .

Macierz ma więc postać ( 73):

Ponieważ .

Wyznaczymy teraz wartości wyrazów macierzy . Wartości wyrazów wyznaczymy ze

wzorów ( 67):

( 73)

61

Równania ( 69) z konkretnymi wartości wyrazów macierzy zawiera ( 74):

( 74)

Wyliczone stąd wartości współczynników są następujące:

Równanie funkcji aproksymującej jest następujące:

i jest to najlepsza z funkcji kwadratowych, jaką można przybliżyć naszą funkcje dyskretną.

Wykres funkcji pokazano na Rys. 32

Rys. 32. Wykres funkcji aproksymującej G(x) dla przykładu 1

Jak widać dla każdego z węzłów odbiega od wartości węzłowej .

Miarą oszacowania była z założenia (1) suma kwadratów odchyleń, której wartość wynosi

.

Pytanie, czy funkcja drugiego stopnia jest najlepsza? Nie wiadomo. Sprawdźmy, jaki błąd da funkcja

trzeciego stopnia.

Przyjmując:

wyznaczymy wartości współczynników dla naszego

zbioru danych:

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

G(x)=a0+a1*x+a2*x^2 Funkcja dyskretna

62

Postać wielomianu aproksymującego jest więc następująca:

Wykres funkcji pokazano na Rys. 33

Rys. 33. Wielomian aproksymujący trzeciego stopnia dla danych z przykładu 1

Suma kwadratów odchyleń ma wartość

Wartość ε jest mniejsza niż poprzednio. Ale czy może stanowić to podstawę odrzucenia funkcji

stopnia drugiego jako najlepszego przybliżenia? Niekoniecznie. Być może charakter zjawiska badanego

należy jednak opisać funkcją drugiego stopnia, a pomiary nie są zbyt dokładne.

Jeżeli użyjemy wielomianu czwartego stopnia do aproksymacji dostaniemy jeszcze mniejszy błąd. U

nas , bo przecież wielomian tego stopnia jest wielomianem interpolującym. Rzeczywiście ten wielomian

wykazuje najmniejszą sumę kwadratów odchyleń, bo przechodzi przez wartości węzłowe.

Na Rys. 34 pokazano wykres wielomianu aproksymującego 4-stopnia na tle funkcji dyskretnej

, który oczywiście interpoluje zadaną funkcję dyskretną.

Rys. 34. Wykres wielomianu aproksymującego czwartego stopnia dla danych z przykładu 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

G(x)=a0+a1*x+a2*x^2

Funkcja dyskretna

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

Funkcja dyskretna

W(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4

63

3.1.1 Aproksymacja liniowa.

Bardzo często w technice spotyka się liniową zależność pomiędzy zmiennymi (np. wydłużenie

materiału rozciąganego w funkcji siły rozciągającej w zakresie obowiązywania prawa Hook'a). Błędy pomiaru

sprawiają, że wartości zmierzone nie układają się dokładnie po prostej, lecz wykazują pewien rozrzut.

W tej sytuacji aproksymacji dokonujemy funkcją ( 75),

( 75)

czyli funkcją liniową. Taki proces aproksymacji (jej szczególny przypadek ogólnej procedury aproksymacji)

nazywa się w statystyce regresją liniową.

Zgodnie z wyprowadzonymi wcześniej zależnościami mamy w tym wypadku zapisany macierzowo

układ równań ( 76):

gdzie:

Ponieważ , a to układ równań ma postać :

( 77)

Dokonując mnożenia macierzy mamy ( 78):

( 78)

( 76)

64

Rozwiązując ten układ względem mamy ( 79):

( 79)

gdzie znak oznacza jeśli indeksy punktów są

Zakładając, że niepewność wartości jest zaniedbywalna, a niepewność wartości jest dla

wszystkich taka sama, możemy obliczyć średnie odchylenie standardowe (błąd standardowy). Musimy

jednak uwzględnić fakt, że dodatkowe błędy wnosi rachunek i . Wyliczając wartości współczynników

podwyższyliśmy błąd aproksymowanych wartości funkcji. Uwzględnimy ten fakt obniżając liczbę stopni

swobody układu (była o tym mowa na wykładzie ze statystyki).

Średni błąd kwadratowy wyznaczymy więc z zależności ( 80):

( 80)

gdzie:

Błędy standardowe wartości współczynników wyznaczymy ze wzorów ( 81) gdzie S jest średnim

odchyleniem standardowe od prostej z zależności ( 80):

( 81)

3.1.2 Aproksymacja z wagami.

Dotychczasowa analiza oparta była na założeniu, że mamy do czynienia z funkcją dyskretną, która jest

wynikami pomiarów pewnej wielkości fizycznej.

Poszukiwanie najlepszej (w sensie sumy kwadratów odległości wartości funkcji aproksymującej

w węzłach od wartości węzłowych funkcji dyskretnej) funkcji aproksymującej bazowało na przyjęciu takich

samych błędów wartości funkcji dyskretnej.

65

Możemy jednak mieć do czynienia z taką sytuacją, że pewne punkty obarczone są mniejszymi

błędami niż inne. Należy więc przypisać im jakieś wagi tak, by funkcja aproksymująca przebiegała bliżej tych

wartości.

Biorąc więc pod uwagę większy stopień zaufania do wartości pewnych punktów lub ich wyższy

poziom istotności zróżnicujemy punkty co do ich znaczenia dla przebiegu funkcji aproksymującej. Dodamy im

wagi , .

W każdym węźle wyznaczymy więc odległości zwiększając je wagą ( 82):

( 82)

Szukając minimum ze względu na otrzymamy ( 83):

( 83)

Tak jak poprzednio przyjmujemy oznaczenia ( 84):

( 84)

i rozwiązujemy układ równań :

( 85)

Przykład 11. Aproksymacja z wagami

Mając dane jak w przykładzie 10, przypiszemy wyższe wagi pewnym punktom, zakładając że są one

pewniejsze. Funkcja aproksymująca powinna zbliżyć się do tych wartości węzłowych bardziej, niż było to przy

równych poprzednio wagach (wszystkie punkty miały wagę 1).

Tabela danych poszerzy się więc o dodatkowy wiersz (Tabela 16).

Tabela 16. Dane do aproksymacji z wagami

indeks 0 1 2 3 4

Węzeł 0 1 2 3 4

Wartość węzłowa 4 1 3 10 16

Waga 5 1 10 1 1

66

Zakładając jak w przykładzie x, że aproksymujemy wielomianem kwadratowym ( 86):

( 86)

Czyli funkcje bazowe są następujące:

Wyznaczamy wartości wyrazów macierzy i :

67

Ostatecznie mamy układ równań ( 87):

( 87)

Wyliczone współczynniki wielomianu maja wartości:

Wielomian ma postać:

Jego wykres na tle wielomianu aproksymującego bez wag pokazano na Rys. 35.

Rys. 35. Wielomiany aproksymujące drugiego stopnia z wagami różnymi i równymi

3.1.3 Aproksymacja - jakobiany.

Mając wielomian aproksymujący postaci :

( 88)

liczymy jego pochodne po współczynnikach :

( 89)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

G(x)=a0+a1*x+a2*x^2 Funkcja dyskretna G(x) z wagami

68

Pochodne te dla węzłów mają konkretne wartości liczbowe:

Pochodne zamieścimy w macierzy dla kolejnych -wierszami- wartości , otrzymując taką jej postać,

jak w ( 90) i oznaczymy ją przez . Jest to tak zwany jakobian lub macierz Jakobiego.

( 90)

Jeżeli pomnożymy transponowaną macierz przez macierz ,to dostaniemy potrzebną nam

macierz aproksymacyjną .

Przykład 12. Aproksymacja - Jakobiany

Mamy 5 punktów o wartościach:

Jakobian dla aproksymacji funkcją drugiego stopnia: ma postać ( 91), a

jakobian transponowany JT ( 92).

( 91)

( 92)

Iloczyn ma postać ( 93).

( 93)

Tworzenie macierzy aproksymującej jest więc bardzo uproszczone. Dalsza procedura sprowadza

się do wyznaczenia wartości wyrazów macierzy i wartości współczynników A.

69

3.1.4 Aproksymacja funkcjami innymi niż wielomiany.

Nie zawsze łatwo jest dokonać aproksymacji funkcjami o złożonej postaci. Stosunkowo łatwo można

stworzyć z funkcji wykładniczych i niezależnie od tego, czy zmienna jest wykładnikiem potęgi czy jej bazą.

Jeżeli zależność jest typu ( 94):

( 94)

to można taką funkcję sprowadzić do postaci liniowej, logarytmując stronami:

pamiętamy oczywiście, że:

Równanie ( 94) sprowadzamy więc do postaci ( 95):

( 95)

Podstawiając:

otrzymamy równanie liniowe ( 96):

( 96)

Zadanie sprowadziliśmy do aproksymacji liniowej.

Podobnie możemy postąpić np. z funkcją :

( 97)

Taką funkcję wykładniczą również logarytmujemy obustronnie:

Pamiętamy, że:

tzn. że

70

Podstawiamy:

i ostatecznie mamy zadanie aproksymacji liniowej:

Innym przykładem równania aproksymującego dla zadanej funkcji dyskretnej (xi, yi; i=0,1,...,n) być

może funkcja:

Jeżeli zlogarytmujemy ją stronami:

i podstawimy:

to otrzymamy postać liniową:

Po wyznaczeniu współczynników ai należy wyznaczyć wartości a i b:

71

3.1.5 Wybór postaci funkcji aproksymującej

W zależności od obrazu funkcji dyskretnej (rozkładu punktów) dobiera się a'priori postać analityczną

funkcji aproksymującej, pamiętając oczywiście o charakterze zjawiska, opisanego danym zbiorem punktów.

Wiemy, że zasadniczą różnicą pomiędzy interpolacją i aproksymacją jest fakt, że w procesie

aproksymacji sami dokonujemy wyboru postaci funkcji. Funkcja aproksymująca jest NAJLEPSZĄ z danej klasy

funkcji, to znaczy, że przy aproksymacji np. wielomianem drugiego stopnia żaden inny wielomian drugiego

stopnia nie będzie „lepiej pasował” do zadanej funkcji dyskretnej, ale np. wielomian trzeciego stopnia może

być „lepszy” w sensie przyjętej przez nas miary. Tą miarą była suma kwadratów odchyleń wartości funkcji

aproksymującej od funkcji pierwotnej w węzłach.

Wybór postaci funkcji, jeśli nie znamy charakteru zjawiska może być trudny, co zobaczymy na

kolejnych przykładach.

Przykład 13. Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład A

Dla obrazu funkcji z Rys. 36 można przyjąć kilka postaci funkcji aproksymującej. Zazwyczaj przyjmuje

się:

Rys. 36. Obraz funkcji często aproksymowanej funkcjami: y(x)=ax; y(x)=ax

b; y(x)= a0+a1x+a2x

2

Wielomian drugiego stopnia

Dla danych z Rys. 36 wielomian kwadratowy ma postać:

W(x) = 0,160818 = 1,69373 x + 0,483627 x2

Wykres tego wielomianu dla danych z Rys. 36 pokazano na Rys. 37.

0,0000

50,0000

100,0000

150,0000

200,0000

250,0000

0 5 10 15

x y

1 10,26409

1,5 18,13839

2 16,33833

2,5 27,67513

3 31,93106

3,5 31,69358

4 39,90332

4,5 47,64701

5 56,94139

5,5 70,93218

6 76,31533

6,5 82,6266

7 93,91267

7,5 107,4252

8 122,8234

8,5 133,2796

9 150,9927

9,5 164,9183

10 180,5422

10,5 197,5936

11 218,4368

11,5 235,3555

72

Rys. 37. Wielomian aproksymujący y(x)= a0+a1x+a2x2

na tle pierwotnej funkcji dyskretnej

Funkcja wykładnicza typu y(x)=bax

Logarytmując funkcję stronami dostajemy:

i po podstawieniu

otrzymujemy funkcję liniową:

Po wyznaczeniu wartości współczynników a0 i a1 należy wyznaczyć wartości i i b:

Dla danych z Rys. 36 wartości współczynników są następujące:

a0 = 1,147721; a1 = 0,317705

Po obliczeniu a i b postać funkcji jest następująca:

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15

a0+a1x+a2x^2

dyskretna

x w(x) y(x)

1 13,6022 10,26409

1,5 16,13939 18,13839

2 19,47551 16,33833

2,5 23,61056 27,67513

3 28,54453 31,93106

3,5 34,27743 31,69358

4 40,80925 39,90332

4,5 48,14 47,64701

5 56,26968 56,94139

5,5 65,19828 70,93218

6 74,92581 76,31533

6,5 85,45226 82,6266

7 96,77765 93,91267

7,5 108,902 107,4252

8 121,8252 122,8234

8,5 135,5473 133,2796

9 150,0684 150,9927

9,5 165,3884 164,9183

10 181,5074 180,5422

10,5 198,4253 197,5936

11 216,142 218,4368

11,5 234,6578 235,3555

73

Rys. 38. Funkcja typu y=b*a^x na tlE funkcji dyskretnej z poprzedniego przykładu

Funkcja wykładnicza typu y(x)=axb

Podobnie jak poprzednio logarytmujemy równanie stronami:

Podstawiając:

Otrzymujemy funkcję liniową;

Po wyznaczeniu wartości współczynników równania liniowego należy wyznaczyć współczynniki a i b:

Dla danych z Rys. 36 wartości współczynników i postać równania są następujące:

Na Rys. 39 pokazana jest ta funkcja na tle pierwotnej funkcji dyskretnej.

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14

funkcja ba^x funkcja dyskretna

x w(x) y

1 7,900649 10,26409

1,5 13,45885 18,13839

2 19,64038 16,33833

2,5 26,33106 27,67513

3 33,45763 31,93106

3,5 40,96835 31,69358

4 48,82443 39,90332

4,5 56,99547 47,64701

5 65,45693 56,94139

5,5 74,18848 70,93218

6 83,173 76,31533

6,5 92,39578 82,6266

7 101,8441 93,91267

7,5 111,5067 107,4252

8 121,3736 122,8234

8,5 131,4361 133,2796

9 141,6862 150,9927

9,5 152,1166 164,9183

10 162,7207 180,5422

10,5 173,4926 197,5936

11 184,4267 218,4368

11,5 195,5179 235,3555

74

Rys. 39. Aproksymacja danych z przykładu A funkcją wykładniczą postaci y(x)=axb

Przykład 14. Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład B

Dla obrazu funkcji dyskretnej z Rys. 40 można przyjąć wielomian drugiego lub trzeciego stopnia.

Rys. 40. Obraz funkcji zazwyczaj aproksymowanej wielomianem stopnia drugiego lub trzeciego

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14

funkcja y=ax^b funkcja dyskretna

0

10

20

30

40

50

60

70

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Funkcja dyskretna

x w(x) y

1 7,900649 10,26409

1,5 13,45885 18,13839

2 19,64038 16,33833

2,5 26,33106 27,67513

3 33,45763 31,93106

3,5 40,96835 31,69358

4 48,82443 39,90332

4,5 56,99547 47,64701

5 65,45693 56,94139

5,5 74,18848 70,93218

6 83,173 76,31533

6,5 92,39578 82,6266

7 101,8441 93,91267

7,5 111,5067 107,4252

8 121,3736 122,8234

8,5 131,4361 133,2796

9 141,6862 150,9927

9,5 152,1166 164,9183

10 162,7207 180,5422

10,5 173,4926 197,5936

11 184,4267 218,4368

11,5 195,5179 235,3555

x y

-6 60,35714

-5,5 51,49436

-5 42,08595

-4,5 33,51013

-4 27,71882

-3,5 21,55592

-3 13,1015

-2,5 9,434605

-2 8,480443

-1,5 2,217345

-1 3,445157

-0,5 1,103069

0 2,686819

0,5 6,046892

1 4,132631

1,5 10,38439

2 13,22364

2,5 20,43989

3 26,95131

3,5 30,769

4 39,23798

4,5 48,73261

75

Wielomian stopnia drugiego

Dla danych z Rys. 40 wielomian drugiego stopnia ma postać:

Wykres tego wielomianu na tle funkcji dyskretnej ilustruje Rys. 41.

Rys. 41. Wykres kwadratowego wielomianu aproksymującego na tle pierwotnej funkcji dyskretnej

Wielomian stopnia trzeciego

Wielomian stopnia trzeciego, aproksymujący funkcję dyskretną z Rys. 40 ma postać:

a jego wykres zamieszczono na Rys. 42. Patrząc na wykresy wielomianów stopnia drugiego i trzeciego

z przykładu B trudno określić, który wielomian lepiej aproksymuje zadaną funkcję. W tym przykładzie

zjawisko opisane funkcją dyskretną ma charakter funkcji kwadratowej, jednak błędy pomiaru dość mocno

zniekształciły wyniki w pobliżu punktu przegięcia. Wprowadzenie wag mogłoby poprawić aproksymację.

Jeśli nie jest znany charakter zjawiska, trudno jest podjąć decyzję co do wyboru funkcji.

Dla funkcji kwadratowej norma Euklidesowa L2:

ma wartość ε=5,989399; a dla funkcji trzeciego stopnia ε=5,972595. Różnica znikoma.

0

10

20

30

40

50

60

70

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Funkcja dyskretna

y=a0+a1x+a2x^2

x y w(x)

-6 60,35714 64,38264

-5,5 51,49436 52,87776

-5 42,08595 42,45703

-4,5 33,51013 33,12045

-4 27,71882 24,86801

-3,5 21,55592 17,69972

-3 13,1015 11,61558

-2,5 9,434605 6,61558

-2 8,480443 2,699727

-1,5 2,217345 -0,13198

-1 3,445157 -1,87954

-0,5 1,103069 -2,54295

0 2,686819 -2,12222

0,5 6,046892 -0,61734

1 4,132631 1,971687

1,5 10,38439 5,644859

2 13,22364 10,40218

2,5 20,43989 16,24364

3 26,95131 23,16925

3,5 30,769 31,17901

4 39,23798 40,27291

4,5 48,73261 50,45096

76

Rys. 42. Wykres wielomianu stopnia trzeciego na tle pierwotnej funkcji dyskretnej

Przykład 15. Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład C

Innym przykładem funkcji dyskretnej jest typ z Rys. 43. Taką funkcję aproksymuje się najczęściej

funkcjami:

Rys. 43. Funkcja dyskretna do przykładu C

0

10

20

30

40

50

60

70

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

funkcja dyskretna y=a0+a1x+a2x^2+a3x^4

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15

dyskretna

x y w(x)

-6 60,35714 61,34859

-5,5 51,49436 51,12343

-5 42,08595 41,87918

-4,5 33,51013 33,61295

-4 27,71882 26,32186

-3,5 21,55592 20,003

-3 13,1015 14,65349

-2,5 9,434605 10,27043

-2 8,480443 6,850938

-1,5 2,217345 4,392114

-1 3,445157 2,891069

-0,5 1,103069 2,34491

0 2,686819 2,750746

0,5 6,046892 4,105684

1 4,132631 6,406833

1,5 10,38439 9,651301

2 13,22364 13,8362

2,5 20,43989 18,95862

3 26,95131 25,0157

3,5 30,769 32,00452

4 39,23798 39,9222

4,5 48,73261 48,76585

x y

1,5 2,135143

2 2,581393

2,5 3,045766

3 3,317045

3,5 3,564143

4 3,959968

4,5 3,98638

5 4,531821

5,5 4,668154

6 4,631705

6,5 4,560971

7 4,698253

7,5 5,150301

8 4,969443

8,5 5,296484

9 5,499992

9,5 5,513682

10 5,298985

10,5 5,495209

11 5,750427

11,5 5,523703

12 5,790473

77

Funkcja aproksymująca postaci y(x)=b+a log(x)

Funkcję aproksymującą sprowadzamy do postaci:

podstawiając:

Wyznaczając wartości współczynników mamy:

Wykres tej funkcji na tle funkcji pierwotnej pokazano na Rys. 44.

Rys. 44. Funkcja aproksymująca y(x) = b +a log(x) na tle funkcji pierwotnej

Funkcja aproksymująca postaci y(x)=b xa

Tego typu funkcja rozpatrywana była już wcześniej i sprowadzaliśmy ją do postaci liniowej

logarytmując stronami:

i podstawiając:

Otrzymana funkcja była więc postaci:

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15

W(x)=b+alog(x)

Funkcja dyskretna

x W(x) y(x)

1,5 2,14994 2,135143

2 2,656336 2,581393

2,5 3,049127 3,045766

3 3,370061 3,317045

3,5 3,641406 3,564143

4 3,876457 3,959968

4,5 4,083786 3,98638

5 4,269248 4,531821

5,5 4,437019 4,668154

6 4,590181 4,631705

6,5 4,731078 4,560971

7 4,861527 4,698253

7,5 4,982973 5,150301

8 5,096577 4,969443

8,5 5,203293 5,296484

9 5,303906 5,499992

9,5 5,399079 5,513682

10 5,489369 5,298985

10,5 5,575252 5,495209

11 5,65714 5,750427

11,5 5,735386 5,523703

12 5,810302 5,790473

78

Po wyznaczeniu wartości współczynników równania liniowego należy wyznaczyć współczynniki a i b:

Postać funkcji dla danych z Rys. 43 jest następująca:

Wykres tej funkcji zawiera Rys. 45

Rys. 45. Funkcja aproksymująca y=b*x^a

Funkcja aproksymująca postaci

Wybierając taką postać funkcji musimy dokonać przekształcenia:

Podstawiając:

otrzymamy:

Wielomian aproksymujący funkcję z Rys. 43 ma poniższą postać a jego obraz jest na Rys. 46.

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15

W(x)=b*x^a

dyskretna

x Wx) y

1,5 3,192133 2,135143

2 3,357552 2,581393

2,5 3,501413 3,045766

3 3,63014 3,317045

3,5 3,747508 3,564143

4 3,855954 3,959968

4,5 3,957159 3,98638

5 4,052338 4,531821

5,5 4,142405 4,668154

6 4,228064 4,631705

6,5 4,309873 4,560971

7 4,388282 4,698253

7,5 4,463663 5,150301

8 4,536322 4,969443

8,5 4,60652 5,296484

9 4,674478 5,499992

9,5 4,740385 5,513682

10 4,804407 5,298985

10,5 4,866689 5,495209

11 4,927357 5,750427

11,5 4,986524 5,523703

12 5,04429 5,790473

79

Rys. 46. Funkcja aproksymująca postaci y(x)=ax/(x+b)

Przykład 16. Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład D

Nie dokonując już aproksymacji na Rys. 47 pokazano obraz funkcji dyskretnej aproksymowanej

często funkcjami:

Rys. 47. Inny przykład postaci funkcji dyskretnej i jej aproksymaty

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15

W(x)=ax/(x+b)

dyskretna

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 10 20 30 40

x Wx) y

1,5 2,137044 2,135143

2 2,604452 2,581393

2,5 2,997863 3,045766

3 3,333559 3,317045

3,5 3,623374 3,564143

4 3,876111 3,959968

4,5 4,098458 3,98638

5 4,295586 4,531821

5,5 4,471555 4,668154

6 4,629599 4,631705

6,5 4,772323 4,560971

7 4,901851 4,698253

7,5 5,019934 5,150301

8 5,128024 4,969443

8,5 5,227338 5,296484

9 5,318903 5,499992

9,5 5,403592 5,513682

10 5,482151 5,298985

10,5 5,555223 5,495209

11 5,623363 5,750427

11,5 5,687055 5,523703

12 5,746719 5,790473

80

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6

y=a0+aa1*x+a2*x^2+a3*x^3

Przykład 17.Aproksymacja funkcja nieliniowa - przykład E

Na Rys. 48 pokazano przykłady funkcji dyskretnych

Rys. 48. Przykłady funkcji dyskretnych i zależności dobrze je aproksymujących

3.1.6 Aproksymacja - podsumowanie

Aproksymacja tym różni się od interpolacji, że postać funkcji przybliżającej funkcję dyskretną

wybierana jest a’priori.

Wybór postaci aproksymaty w przypadku analizy wyników pomiarów zależy ściśle od charakteru

badanego zjawiska.

Funkcja aproksymująca może przechodzić przez wartości węzłowe, ale najczęściej tak nie jest.

Jeżeli jako wielomian aproksymujący funkcję dyskretną o N węzłach wybierzemy wielomian stopnia N-

1, to stanie się on wielomianem interpolującym – interpolacja jest szczególnym przypadkiem

aproksymacji.

W przypadku wielomianów trygonometrycznych jakość aproksymacji mierzona odchyleniem

średniokwadratowym jest lepsza niż wielomianami algebraicznymi.

Unika się aproksymacji wielomianami wyższych rzędów, ponieważ tak jak interpolacja (o czym była

mowa wcześniej) może być źle uwarunkowana – błędy odwracania macierzy.

W przypadku analizy eksperymentu aproksymacja w porównaniu do interpolacji uwzględnia błędy

pomiarów.

Stosowanie wag pozwala na sterowanie przebiegiem funkcji aproksymującej tak, by przebiegała bliżej

punktów zmierzonych dokładniej.

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-5 0 5 10

𝑦=𝑘/(1+𝑏𝑒^(−𝑎𝑥)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6 8

y=a1*x^b1; y=1/(a2*x+b2); y=(x/(a3*x+b)

81

4 Różniczkowanie funkcji dyskretnej

Co to jest różniczkowanie?

Różniczką nazywamy nieskończenie małą zmianę danej zmiennej. Jeśli zmianę wartości oznaczymy

przez , to nazywamy ją różnicą skończoną, jeśli jednak ta różnica zmierza do zera ( 98):

( 98)

wówczas oznaczamy ją i nazywamy różniczką.

Różniczkowanie to z definicji proces wyznaczania stosunku przyrostu wartości funkcji do

przyrostu argumentu , gdy przyrost ten zmierza do zera ( 99):

( 99)

Gdy przyrost skończony zastąpimy różniczką ,wówczas używamy definicji pochodnej funkcji ( 100):

( 100)

Pochodna funkcji mówi o prędkości jej zmian, przy najmniejszej zmianie argumentu, a jej graficzną

interpretacją jest kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji w zadanym punkcie (Rys. 49).

Rys. 49. Geometryczna interpretacja pochodnej

Wartości pochodnej funkcji dyskretnej dla węzła można przybliżyć stosunkiem różnic skończonych ( 101)

- Rys. 50:

( 101)

Pochodna funkcji jest liczbą i to liczbą mianowaną, gdy funkcja opisuje jakieś zjawiska fizyczne.

Mówiliśmy, że wartość pochodnej oddaje prędkość zmian wartości funkcji wraz ze zmianą wartości

argumentu. Na Rys. 50 pokazano interpretację pochodnej różnicami skończonymi.

x1

α

y

x

82

`

Rys. 50. Interpretacja różnicowa pochodnej

Funkcja wolniej przyrasta dla tej samej zmiany , niż funkcja , to znaczy, że pochodna funkcji

jest w punkcie mniejsza niż (zakładając, że wyznaczyliśmy ją tak, jak na rysunku). Wiemy, że funkcja

dyskretna nie może mieć pochodnej w ścisłym sensie, jednak możemy znaleźć jej przybliżona wartość dla

wybranego węzła, korzystając z dalej opisanych metod.

Kiedy liczymy pochodną funkcji dyskretnej?

gdy mierzymy jakąś wielkość fizyczną, np. drogę w funkcji czasu i chcemy z przebiegu tej zmiennej

odczytać jej pochodną - tu prędkość:

gdy szukamy gradientu w metodach optymalizacyjnych (kierunku najszybszego wzrostu funkcji).

Szukając np. ekstremum wyznaczamy numerycznie (dla złożonych przypadków) wartości funkcji celu,

poruszając się po takiej drodze, by jak najszybciej dotrzeć do celu. Wędrować więc będziemy po ścieżce

najszybszego wzrostu (szukamy maksimum) lub spadku (szukamy minimum) wartości funkcji celu (Rys. 51).

Rys. 51. Graficzna interpretacja gradientu

Wędrujemy więc po punktach, w których pochodna jest największa.

Jak liczyć pochodną funkcji dyskretnej?

Mając funkcję dyskretną nie można policzyć pochodnej, ponieważ można ją wyznaczyć tylko dla

funkcji ciągłej.

Ścieżka najszybszego wzrostu x1

y=f(x1,x2)

x2

Ekstremum

Δy1

Δy2

Δx x

y

y1=f1(x)

y2=f2

(x)

x0

83

Zbiór wartości węzłowych należy przybliżyć gładką, ciągłą, różniczkowalna funkcją. Najprościej jest

rozpiąć na węzłach wielomian interpolacyjny. Wiemy jednak, że stosowanie wysokich stopni wielomianu przy

stałym kroku próbkowania oznacza wystąpienie efektu Rungego. Wartość pochodnej w pobliżu końców

przedziału może rażąco odbiegać od wartości oczekiwanych.

Do różniczkowania obniżamy więc stopień wielomianu, co oznacza, że interpolację przeprowadzamy

na wybranej liczbie kolejnych węzłów. W interpolacji wielomianu nie stosujemy wielomianów stopnia

wyższego niż 5 lub max. 6. Dla policzenia pochodnej obniżamy najczęściej stopień wielomianu do max.2.

4.1 Pierwsza pochodna funkcji dyskretnej.

Załóżmy, że punkty węzłowe rozłożone są równomiernie, a krok próbkowania ma wartość h

.

W takiej sytuacji skorzystać możemy z wielomianu Newtona ( 102).

( 102)

Zastosowaliśmy podstawienie ( 103):

( 103)

Wiemy, że współczynniki tego wielomianu wyznacza się z różnic skończonych:

przy czym

Zastosowaliśmy I wzór Newtona, oparty na różnicach progresywnych.

Możemy przyjąć, że:

Mając zbiór wartości dokonajmy najpierw interpolacji liniowej, ograniczając stopień

wielomianu do pierwszego:

Podstawiamy

i mamy:

84

czyli:

Ponieważ nas interesuje zależność , więc:

Ostatecznie pierwsza pochodna funkcji dyskretnej ma wartość ( 104) - Rys. 52:

( 104)

Rys. 52. Pierwsza pochodna liczona z różnic progresywnych

W przypadku osiągnięcia prawego kresu obszaru węzłów mamy problem, bo skończyły nam się

różnice progresywne . Przechodzimy więc na różnice wsteczne i II wzór Newtona:

gdzie:

Szukamy pochodnej tego wielomianu, ograniczonego do dwóch pierwszych wyrazów:

(Δy0)

Δy0

h

x

y=f (x)

(y1)

x2 x1 x0

h h

x3 xn

(x0) x1 x0 h h x1 x1 Δy1 Δy2 h x y y1=f1(x) y2=f2

(x) x2

(x1) x1 x0 h h x1 x1 Δy1 Δy2 h x y y1=f1(x) y2=f2

(x) x2

y0

y1

(y0)

Dla ostatniego węzła nie ma różnicy skończonej progresywnej Δyn=yn+1-yn

85

Interesuje nas jednak zależność do :

Różniczkujemy stronami po :

Przyjmując, że indeksy obu punktów są 0 i 1 pochodną tę zapiszemy ( 105):

( 105)

Ilustracją rachunku jest Rys. 53

Rys. 53. Pierwsza pochodna liczona z różnic wstecznych

Uwaga: Pochodna w punkcie liczona z różnic progresywnych i wstecznych może mieć różne

wartości (Rys. 54)

Rys. 54. Różnice wartości pochodnej dla tego samego węzła liczonej z różnic progresywnych i wstecznych

(Δy0)

y1

h

x

y=f (x)

(y1) (x)

x2 x1 x0 h h x3 xn

(x0) x1 x0 h h x1 x1 Δy1 Δy2

(x1) x1 x0 h h x1 x1 Δy1 Δy2

y0

(x)

y1;(y0) (x) α1

α

(y1)

y1

h

x

y=f (x)

(y1)

x2 x1 x0

h h

x3 xn

(x0) x1 x0 h h x1 x1 Δy1 Δy2 h x y y1=f1(x) y2=f2

(x) x2

(x1) x1 x0 h h x1 x1 Δy1 Δy2 h x y y1=f1(x) y2=f2

(x) x2

y0

y1

(y0)

Dla pierwszego węzła nie ma różnicy skończonej wstecznej

y0=y0-y0-1

86

W przypadku wyznaczania wartości pochodnej w punkcie korzysta się również z definicji różnicy

centralnej, którą w przypadku funkcji dyskretnej definiuje się jako różnicę wartości następującej i poprzedniej

( 106):

( 106)

Korzystając z różnic centralnych pierwszą pochodna można wyznaczyć następująco ( 107):

( 107)

Dla krańców przedziału nie istnieje różnica centralna, więc nie można dla tych węzłów określić

pochodnej ze wzoru ( 107).

Rys. 55. Różnice w wartościach pierwszych pochodnych liczonych z różnic skończonych

4.2 Druga pochodna funkcji dyskretnej.

Z interpolacji liniowej nie da się wyznaczyć drugiej pochodnej funkcji. Trzeba użyć co najmniej

wielomianu stopnia drugiego, czyli musimy rozpiąć wielomian na trzech punktach.

Ponieważ:

to na różnicach skończonych:

Druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej;

Korzystając z I wzoru Newtona opisującego wielomian drugiego stopnia rozpięty na węzłach:

mamy:

y

h h

xi-1 xi+1

2

1

3

x

xi

1. pochodna z różnic progresywnych dla xi

3. pochodna z różnic centralnych dla xi

2.pochodna z różnic wstecznych dla xi

87

Jeśli zbudowaliśmy tablicę różnic skończonych, to łatwo odczytać , jeśli nie, to:

Ostatecznie wzór na pochodną drugiego rzędu wyznaczony z różnic progresywnych ma postać ( 108).

( 108)

Oczywiście na prawym końcu przedziału zabraknie nam znowu różnic skończonych i musimy przejść

na różnice wsteczne:

Dla naszych trzech punktów o indeksach 0,1 i 2 mamy:

Pochodna drugiego rzędu wyznaczona dla funkcji dyskretnej z różnic wstecznych wyraża się wzorem ( 109)

( 109)

88

4.3 Pochodna funkcji dyskretnej - podsumowanie

Wartości pochodnych funkcji dyskretnej wyznaczać można na wiele sposobów. W Tabela 17 zebrano

najczęściej używane zależności do wyznaczania pierwszej i drugiej pochodnej takiej funkcji.

Tabela 17. Definicje pochodnych funkcji dyskretnej

Pierwsza pochodna

Dwupunktowa różnica progresywna

Trzypunktowa różnica progresywna

Dwupunktowa różnica wsteczna

Trzypunktowa różnica wsteczna

Dwupunktowa różnica centralna

Druga pochodna

Trzypunktowa różnica progresywna

Trzypunktowa różnica wsteczna

Trzypunktowa różnica centralna

89

5 Całkowanie funkcji dyskretnej

Interpretacją geometryczną całki:

jest pole A pod funkcją w przedziale wartości argumentu (Rys.7)

Rys. 56. Geometryczna interpretacja całki oznaczonej

W przypadku funkcji dyskretnej musimy zastąpić ją gładką, ciągłą funkcją, tak jak i przy

różniczkowaniu.

5.1 Metoda prostokątów: Wielomian Newtona ograniczamy do pierwszego wyrazu; bazując na różnicach progresywnych:

Całka z ma postać ( 110):

( 110)

Tak będzie, jeżeli przyjmiemy różnice progresywne. Na różnicach wstecznych rachunek wygląda

następująco ( 111).

( 111)

Z Rys. 57 widać, że są to dane różnej wartości. Całka jest w tym wypadku przeszacowana, a

niedoszacowana.

x

y

y=f(x)

(x)

a

b

90

Rys. 57. Całkowanie metodą prostokątów

Licząc całkę z funkcji dyskretnej w całym zakresie węzłów dla różnic progresywnych

dostaniemy ( 112):

( 112)

a dla różnic wstecznych ( 113):

( 113)

5.2 Modyfikowana metoda prostokątów

Całkę policzyć można również modyfikowana metodą prostokątów z różnic centralnych (bierzemy

wówczas pod uwagę trzy węzły), ale jeszcze lepszym odwzorowaniem będzie potraktowanie średniej

wartości funkcji dyskretnej w przedziale jako pozornego węzła dla różnicy centralnej z krokiem próbkowania

h/2 (Rys. 58).

Rys. 58. Modyfikowana metoda prostokątów

Różnice progresywne

x

y

y=f(x)

(x)

x0 x1

y0

y1

Różnice wsteczne

x

y y

=f(x)

(

x)

x

0

x

1

y

0

y

1

x

y y=f(x)

(x)

x0

x1

y0

y1

(y1+ y2)/2

h/2 h/2

91

5.3 Metoda trapezów

Bazując na I wzorze Newtona (różnica progresywna):

czyli wielomian rozpięty na węzłach 0 i 1 wyznaczymy całkę:

Ostatecznie wzór na całkę opartą na różnicach progresywnych ma postać ( 114).

( 114)

Całkę tą ilustruje Rys. 59

Rys. 59. Całkowanie metodą trapezów

Całkę z funkcji dyskretnej w całym zbiorze węzłów liczymy wg wzoru ( 115):

( 115)

x

y

y=f(x)

(x)

x0

x1

y0

y1

Różnice progresywne

x

y

y=f(x)

(x)

x0

x1

y0

y1

Różnice wsteczne

92

Metoda trapezów na różnicach wstecznych oparta jest na II wzorze Newtona, na jego dwóch

pierwszych wyrazach:

Mamy wielomian rozpięty na węzłach 0 i 1 wyznaczony całką w granicach :

Wzór na całkę metoda trapezów na różnicach wstecznych ma więc postać ( 116):

( 116)

Całka w całym zakresie węzłów liczona jest wg wzoru ( 117):

( 117)

5.4 Metoda Simpsona 1/3 W metodzie Simpsona zakłada się, że mamy wielomian interpolacyjny drugiego stopnia rozpięty na

trzech kolejnych węzłach.

Wychodząc z I wzoru Newtona mamy ( 118):

( 118)

Podstawiam:

dla

Przekształcam zależność ( 118):

93

( 119)

Szukając całki z wielomianu:

całkujemy wielomian ( 119) w granicach :

( 120)

`Wyznaczam:

Wyliczone wartości podstawiam do ( 120).

Wzór na całkę ze wzoru Simpsona

ma więc postać ( 121):

( 121)

Korzystając ze wzoru Simpsona ( 121) pamiętać należy, że musi być parzyste.

94

Na Rys. 60 pokazano schemat całkowania tą metodą:

Rys. 60. Całkowanie metodą Simpsona 1/3

Patrząc na Rys. 60 widać, że licząc po całym obszarze wartości i bierzemy raz, wartości

nieparzyste czterokrotnie, a wartości parzyste dwukrotnie.

Stąd wzór ( 122) na całkę po przedziale :

( 122)

5.5 Metoda Simpsona 3/8

Metoda Simpsona

polega na liczeniu całki z wielomianu interpolacyjnego trzeciego stopnia,

opartego na czterech kolejnych węzłach.

Nie wyprowadzając już zależności przytoczymy wzór ( 123):

( 123)

Rys. 61 ilustruje schemat całkowania po całym zakresie węzłów .

Rys. 61. Całkowanie metodą Simpsona 3/8

0 x0 x1 x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

y0 y1 y2 y4 y5 y6 y7 y8

1 3 3 1

I1 I2

x

y

I3

y3

1 3 3 1

1 3 3 1

0 x0 x1 x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

1 4 1

1 4 1

1 4 1

1 4 1

I1 I2 I3 I4

x

y

95

W tej metodzie liczba węzłów musi stanowić wielokrotność liczby 3:

Całka po całym zakresie węzłów wyraża się wzorem ( 124):

( 124)

5.6 Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo jest metodą losową. Polega na zliczaniu trafień w obszar pod funkcją w

stosunku do ogólnej liczby trafień w założone pole ( 125) -Rys. 62.

Rys. 62. Metoda Monte Carlo liczenia całki.

( 125)

Metod całkowania numerycznego jest więcej (nazywa się je często kwadraturami), ale innych nie

będziemy już omawiać.

a b

x

y

A

Nog y=W(x)

Ntr

96

6 Analiza widmowa.

W technice wiele sygnałów ma charakter okresowy, tzn. że wartości sygnałów powtarzają się co stały

okres (Rys. 63).

Rys. 63. Sygnał okresowy

Taki sygnał ma więc określoną częstotliwość

zwaną częstotliwością podstawową. Można

również zdefiniować dla niego częstość kołową

zwaną również częstością podstawową.

Jeżeli taki sygnał spełnia warunki Dirichleta, czyli:

przedział można podzielić na nieskończoną liczbę podprzedziałów takich, że funkcja

we wnętrzu każdego z nich jest ciągła i monotoniczna,

że funkcja ma skończoną liczbę punktów nieciągłości I-go rodzaju, czyli takich, że:

gdzie granice

są właściwe,

funkcja ma skończone wartości maksimów i minimów w każdym z podprzedziałów,

to można rozłożyć ten sygnał na sumę sygnałów harmonicznych i składowej stałej. Najmniejszą

częstotliwością tych harmonicznych jest częstotliwość podstawowa

, a częstotliwości kolejnych

składowych harmonicznych są całkowitymi jej wielokrotnościami.

Amplitudy tych składowych i składową stałą wyznaczyć można z szeregu Fouriera i taką procedurę

nazywa się transformatą Fouriera. Działanie odwrotne, czyli składanie sygnałów wyznaczonych

z transformaty by uzyskać funkcję pierwotną, nazywamy odwrotną transformatą Fouriera.

Przykładem drgania poliharmonicznego (czyli złożonego z wielu funkcji harmonicznych) jest drganie

struny np. gitary (Rys. 64):

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2

f(t)

T T

97

Rys. 64. Drgania struny gitary

Struna teoretycznie może mieć każdą postać drgań, która charakteryzuje się falą mającą węzły w

punktach podparcia struny. Najdłuższa z fal ma długość i dłuższej fali nie można wygenerować. Jeżeli

tak drgająca struna daje dźwięk a1, to drganie ma częstotliwość .

Dla każdej kolejnej postaci drgań długość fali musi być taka, by jej węzły leżały w punktach podparcia

struny A i B (Rys. 64). Długość fali maleje więc i-krotnie, gdzie .

Zależność pomiędzy długością fali a częstotliwością jest odwrotnie proporcjonalna:

gdzie:

- długość fali (czyli najmniejsza odległość między dwoma punktami o tej samej fazie drgań),

- częstotliwość,

- prędkość fazowa fali w danym ośrodku.

Częstotliwości drgań składowych (lub częstości kołowe) są więc całkowitymi wielokrotnościami

częstotliwości podstawowej. Oczywiście ze względu na fizyczne właściwości struny (masa, tłumienie) nie

może ona przenosić wszystkich (do ) możliwych częstotliwości. Ma określone "pasmo przenoszenia". Te

wyższe częstotliwości, które przenosi struna nazywa się alikwotami i decydują one o barwie dźwięku (zależy

ona od budowy układu rezonansowego, typu struny itd.). Częstotliwość podstawowa decyduje o wysokości

dźwięku.

Tak jak struna drgają np. konstrukcje stalowe suwnic. Drgania te są sumą drgań własnych konstrukcji

(jak struny) i wymuszeń np. od napędów, parcia wiatru itp. Znajomość wartości częstotliwości drgań

konstrukcji i elementów mechanizmów jest bardzo ważna dla właściwego wymiarowania

wytrzymałościowego konstrukcji.

Częstości drgań mają również duży wpływ na ergonomię - bardzo istotnie mogą wpływać na zdrowie

operatorów maszyn ale również (zwłaszcza w przypadku mechanizmów) decydują o emisji hałasu.

A B

L

98

6.1 Szeregi Fouriera.

Na Rys. 65 mamy funkcję , która jest sumą następujących funkcji harmonicznych:

( 126)

Rys. 65.Wykresy funkcji z równań(1).

Kolejne sumy funkcji harmonicznych coraz bardziej przybliżają się do postaci piłokształtnej (Rys. 66).

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8

y1=sin(x)

y2=1/2*sin(2x)

f1=y1+y2

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8

y3=1/3*sin(3x)

f2=f1+y3

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8

y4=1/4*sin(4x)

f3=f2+y4

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8

y5=1/5*sin(5x)

f4=f3+y5

99

Rys. 66.Funkcja piłokształtna

Mając taki przebieg, jak na Rys. 65, czy Rys. 66 można znaleźć składowe funkcje harmoniczne,

rozkładając funkcję w szereg Fouriera ( 127).

( 127)

Współczynnik nazywa się współczynnikami Fouriera i wyznacza się ich wartości ze wzorów ( 128):

( 128)

gdzie:

- okres funkcji ,

- funkcja wyjściowa,

- częstość podstawowa

,

- liczba całkowita

Zadanie polega więc na wyznaczeniu wartości współczynników dla funkcji harmonicznych,

których częstości równe są:

a amplitudy .

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

piła suma 15 kolejnych harmonicznych f(2T+)

f(2T-)

100

6.1.1 Wyprowadzenie wartości współczynników Fouriera

Żeby wyznaczyć wartości współczynnika mnożymy obie strony równania ( 127) przez i

wyliczamy wartości średnie obu stron równania w całym zakresie zmienności .

Średnią wyznaczamy z całki ( 129):

( 129)

Wyznaczymy ar ć współczynnika ,postępując zgodnie z opisaną procedurą:

( 130)

Pod znakami sum mamy iloczyny stałych oraz:

Wyznaczymy całki z tych iloczynów po przedziale , pamiętając, że:

Iloczyn zapiszemy jako i przekształcamy:

( 131)

Podobnie wyznaczamy wartości iloczynów oraz iloczyn , który

później będzie nam potrzebny do wyznaczenia wartości współczynnika .

Ostatecznie:

( 132)

101

Wartości średnie tych iloczynów, czyli całki z przedziału dzielone przez okres będą miały

wartości:

dla

Analogicznie policzymy średnie w okresie z pozostałych iloczynów i ostatecznie:

Współczynniki i mają więc wartości ( 133):

( 133)

Wartości współczynników Fouriera są amplitudami kolejnych drgań cosinusoidalnych i

sinusoidalnych . Zakładając, że składowa stała ma wartość , wartości współczynników można

przedstawić w funkcji częstotliwości lub częstości (Rys. 67):

Rys. 67.Wykres wartości amplitud harmonicznych funkcji składowych

Wartości współczynników Fouriera są wartościami dyskretnymi. Wykres ich wartości jest tzw.

widmem prążkowym.

A(f)

f

fp 2fp 3fp 4fp 5fp

A0

A1

A2

A3

A4

A5

B(f)

f

fp 2fp 3fp 4fp 5fp

B1

B2

B3

B4

B5

102

Szereg Fouriera można przedstawić w innej postaci, jako sumę funkcji wyłącznie sinus lub cosinus, ale

przesuniętych wzajemnie w fazie.

Podstawiamy:

ponieważ:

możemy napisać:

( 134)

gdzie:

Możemy również funkcję przedstawić jako sumę wyłącznie funkcji sinus ( 135):

( 135)

gdzie:

Wyznaczenie wsp. szeregu Fouriera jest tzw. prostym przekształceniem Fouriera, a proces

odtwarzania sygnału pierwotnego z sumy składowych harmonicznych nazywamy odwrotnym

przekształceniem Fouriera.

Przykład 18. Rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji prostokątnej

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję prostokątną z Rys. 68:

( 136)

Rys. 68. Funkcja prostokątna

T/2 T

g=1

y=f(t)

t

103

Wyznaczamy współczynniki Fouriera:

;

;

dla:

Na Rys. 69 pokazano transformatę odwrotną:

Rys. 69, Transformata odwrotna

Na Rys. 69 zaznaczono kółkiem tzw. efekt Gibbsa. Jest on również dobrze widoczny na Rys. 66.

Efekt Gibbsa jest charakterystycznym obrazem odwrotnej transformaty Fouriera w punktach

nieciągłości. "Zafalowanie" w punkcie nieciągłości przekracza wartość funkcji pierwotnej o ok 9%. By uniknąć

tego efektu stosuje się tzw. okienkowanie lub mnożenie danych przez "współczynnik sumy Lanczos'a"

podczas obliczania transformaty. Te zagadnienia nie wchodzą jednak w zakres niniejszego wykładu.

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6

suma 9 harmonicznych

częstość podstawowa

104

Przykład 19. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f(t)-t

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję na przedziale (Rys. 70)

Rys. 70. Funkcja f(t)=t

Ponieważ omawiając interpolację wielomianem trygonometrycznym stwierdziliśmy, że funkcja

nieparzysta nie zawiera składowych postaci , więc i w tym przypadku poszukamy tylko

współczynników , które stoją przy .

Całkę wyznaczamy przez części:

Dla naszego przypadku:

Wyliczamy całkę:

Całka oznaczona we wzorze na

t

y y=f(t)

π -π

π

-π

105

dla kolejnych :

Szereg Fouriera jest następujący:

Na Rys. 71 jest ilustracja odwrotnej transformaty Fouriera ograniczonej do 9 pierwszych

harmonicznych. Również w tym przypadku widoczny jest efekt Gibbsa.

Rys. 71. Odwrotna transformata Fouriera funkcji z Rys. 70

6.2 Postać zespolona transformaty Fouriera

Szereg Fouriera można przedstawić również w postaci zespolonej. Ponieważ liczby zespolone nie

należą wśród studentów wydziału mechanicznego do szczególnie lubianego działu matematyki, ograniczymy

się tylko do podania wzorów, bez ich wyprowadzania.

Taka postać transformaty Fouriera będzie nam potrzebna ze względu na fakt, że algorytm jej

wyznaczania w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel bazuje na tej postaci.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

suma 9 pierwszych harmonicznych

częstość podstawowa

106

Wzór ( 137) zawiera taką postać transformaty Fouriera:

( 137)

gdzie

jest amplitudą zespoloną

Ciąg nazywa się widmem amplitudowym funkcji , a ciąg nazywa się widmem

fazowym funkcji .

Widmo fazowe wyznacza się następująco:

Widmo z szeregu trygonometrycznego nie ma częstotliwości ujemnych, a widmo z szeregu

zespolonego ma i dodatnie i ujemne.

107

6.3 Dyskretne przekształcenie Fouriera

Dyskretne przekształcenie Fouriera dotyczy funkcji, która jest funkcją dyskretną. Przyjmuje się, że w

okresie T funkcja ma N próbek, czyli . Mamy więc okresową funkcję dyskretną (Rys. 72):

Rys. 72. Okresowa funkcja dyskretna

Dla N-elementowego ciągu xn dyskretną transformatę Fourier'a definiujemy następująco:

Po wyliczeniu amplitudy zespolonej xn widmo amplitudowe wyliczamy z zależności:

a widmo fazowe następująco:

Wyliczone widmo trzeba przeskalować - częstości (lub częstotliwości) wyliczamy następująco:

,

gdzie:

jest częstotliwością próbkowania

t - czas bieżący

N liczba próbek

Dzielimy więc fp przez liczbę przedziałów (N-1) otrzymując Δf. Pierwsza częstotliwość jest równa zeru a

kolejne są większe od siebie o Δf. Amplitudę normujemy, dzieląc ją przez połowę liczby punktów (bo zgodnie

z kryterium Nyquista bierzemy pod uwagę połowę zakresu częstotliwości).

T

t

0 1 2

x(n)

Δt

x(t)

T=N*Δt

N-1

108

Algorytm DFT zaimplementowany w Excelu wymaga, by liczba próbek wynosiła . Najczęściej

128 lub 256 próbek.

Na pokazano przykład widma amplitudowego wyznaczonego w arkuszu Excel z funkcji dyskretnej

podanej w Tabela 1, zawierającej również wyniki analizy widmowej. Pierwotną była funkcja harmoniczna :

y(t)= Asin(2πft), przy czym A = 4, a okres funkcji wynosi T=1 [s] (f0=1 Hz). Przyjmujemy N+1 =32 punkty i

częstotliwość próbkowania fp=7 Hz.

Tabela 18. Wyjściowa funkcja dyskretna i wyniki analizy widmowej

nr t y widmo zespolone częstotliwość

Amplituda składowych

harmonicznych

1 0 0 8,76257253506962 0 0,565327

2 0,142857 3,127326 9,1871412031541+0,473818021581604i 0,22580645 0,593507

3 0,285714 3,899712 10,7631610716784+1,10549796873685i 0,4516129 0,698051

4 0,428571 1,735535 15,1598980936657+2,31804125150958i 0,67741935 0,989426

5 0,571429 -1,73553 36,4164639287741+7,33827355742665i 0,90322581 2,396676

6 0,714286 -3,89971 -42,8968598160841-10,623187117189i 1,12903226 2,85114

7 0,857143 -3,12733 -11,4760696988538-3,32928324863725i 1,35483871 0,770919

8 1 -8,1E-15 -6,07079047082578-1,98668207948881i 1,58064516 0,412103

9 1,142857 3,127326 -3,89971164872731-1,39179097340187i 1,80645161 0,267138

10 1,285714 3,899712 -2,76348929130975-1,03971931963955i 2,03225806 0,190491

11 1,428571 1,735535 -2,08646993847421-0,796793817258333i 2,25806452 0,144093

12 1,571429 -1,73553 -1,65328702985206-0,611947031833169i 2,48387097 0,113736

13 1,714286 -3,89971 -1,36617378849538-0,461149740027777i 2,70967742 0,093026

14 1,857143 -3,12733 -1,17522738973442-0,331353421543958i 2,93548387 0,078777

15 2 -1,6E-14 -1,05321838481072-0,214609550344356i 3,16129032 0,069346

16 2,142857 3,127326 -0,985078488832067-0,10552618976375i 3,38709677 0,063917

17 2,285714 3,899712 -0,963149237615059 3,61290323 0,062139

18 2,428571 1,735535 -0,98507848883207+0,105526189763742i

19 2,571429 -1,73553 -1,05321838481072+0,214609550344357i

20 2,714286 -3,89971 -1,17522738973441+0,331353421543946i

21 2,857143 -3,12733 -1,3661737884954+0,461149740027816i

22 3 -3,1E-14 -1,65328702985206+0,611947031833153i

23 3,142857 3,127326 -2,08646993847421+0,796793817258333i

24 3,285714 3,899712 -2,76348929130974+1,03971931963955i

25 3,428571 1,735535 -3,8997116487273+1,39179097340187i

26 3,571429 -1,73553 -6,07079047082576+1,98668207948881i

27 3,714286 -3,89971 -11,4760696988538+3,32928324863728i

28 3,857143 -3,12733 -42,8968598160841+10,6231871171891i

29 4 -3,2E-14 36,4164639287741-7,33827355742669i

30 4,142857 3,127326 15,1598980936657-2,31804125150964i

31 4,285714 3,899712 10,7631610716784-1,10549796873688i

32 4,428571 1,735535 9,18714120315407-0,473818021581636i

-5

0

5

0 1 2 3 4 5

109

Rys. 73. Widmo funkcji z Tabela 18

Nasza funkcja wyjściowa była czystym drganiem harmonicznym, a wykres ujawnia wiele składowych

o różnych amplitudach. Nie ma tylko jednego prążka o częstotliwości 1 Hz. Również amplituda drgania o f=1

Hz jest mniejsza od A=4 (taka amplitudę miał nasz sygnał wyjściowy. Jest to efekt tzw. przecieku.

Przeciek pojawia się dlatego, że Dyskretna Transformata Fouriera (zdefiniowana dla granic

skończonych, a nie <-∞,∞>) zakłada okresowość sygnału i rozciąga sygnał do nieskończoności powielając go).

Powoduje to powstanie nieciągłości (patrz Rys. 74). Moc sygnału całkowita jest taka jak sygnału wyjściowego,

stąd prążek dominujący nie osiąga wartości amplitudy sygnału wyjściowego.

Rys. 74. Powielanie sygnału w DFT

Jeśli w oknie próbkowania zmieści się całkowita liczba okresów, to widmo powinno nie mieć

przecieku (patrz Tabela 19, Rys. 1)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,00 0,23 0,45 0,68 0,90 1,13 1,35 1,58 1,81 2,03 2,26 2,48 2,71 2,94 3,16 3,39 3,61

110

Tabela 19. Sygnał harmoniczny jak poprzednio, próbkowany z częstotliwością 10,66667 Hz (okres próbkowania 0,09375 s)

nr t y widmo

zespolone

częstotliwość Amplituda

składowych harmonicznych

1 0 0 0 0 0

2 0,09375 2,222280932 0 0,333333333 0

3 0,1875 3,69551813 0 0,666666667 0

4 0,28125 3,923141122 -64i 1 4

5 0,375 2,828427125 0 1,333333333 0

6 0,46875 0,780361288 0 1,666666667 0

7 0,5625 -1,530733729 0 2 0

8 0,65625 -3,325878449 0 2,333333333 0

9 0,75 -4 0 2,666666667 0

10 0,84375 -3,325878449 0 3 0

11 0,9375 -1,530733729 0 3,333333333 0

12 1,03125 0,780361288 0 3,666666667 0

13 1,125 2,828427125 0 4 0

14 1,21875 3,923141122 0 4,333333333 0

15 1,3125 3,69551813 0 4,666666667 0

16 1,40625 2,222280932 0 5 0

17 1,5 1,47018E-15 0 5,333333333 0

18 1,59375 -2,222280932 0 5,666666667 0

19 1,6875 -3,69551813 0 6 0

20 1,78125 -3,923141122 0 6,333333333 0

21 1,875 -2,828427125 0 6,666666667 0

22 1,96875 -0,780361288 0 7 0

23 2,0625 1,530733729 0 7,333333333 0

24 2,15625 3,325878449 0 7,666666667 0

25 2,25 4 0 8 0

26 2,34375 3,325878449 0 8,333333333 0

27 2,4375 1,530733729 0 8,666666667 0

28 2,53125 -0,780361288 0 9 0

29 2,625 -2,828427125 0 9,333333333 0

30 2,71875 -3,923141122 64i 9,666666667 4

31 2,8125 -3,69551813 0 10 0

32 2,90625 -2,222280932 0 10,33333333 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

y=4sin(2*pi()*t)

0

2

4

6

0,0 0,3 0,7 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 4,3 4,7 5,0

Widmo amplitudowe

111

Kolejnym przykładem jest funkcja z .

Rys. 75. Przykład funkcji okresowej - funkcja dyskretna i jej widmo amplitudowe

W widmie widoczne są wyraźne słupki częstotliwości dominujących.

-10

-5

0

5

10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

0,0

7,5

15

,0

22

,6

30

,1

37

,6

45

,1

52

,6

60

,2

67

,7

75

,2

82

,7

90

,2

97

,8

10

5,3

11

2,8

12

0,3

12

7,8

13

5,4

14

2,9

15

0,4

15

7,9

16

5,4

17

2,9

18

0,5

18

8,0

19

5,5

20

3,0

21

0,5

21

8,1

22

5,6

23

3,1

24

0,6

24

8,1

25

5,7

26

3,2

27

0,7

Widmo amplitudowe

112

7 Równania nieliniowe

Rozwiązywanie równań polega na znalezieniu miejsc zerowych funkcji, która może mieć ich wiele.

Trzeba więc najpierw oszacować przedział, w którym znajduje się poszukiwany pierwiastek równania.

Nazywa się go przedziałem izolacji pierwiastka. Poszukiwanie miejsc zerowych opiera się na twierdzeniu

Bolzano-Cauchy'ego.

Twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego

Jeżeli funkcja ciągła ma na końcach przedziału domkniętego wartości różnych znaków

, to wewnątrz tego przedziału istnieje co najmniej jeden pierwiastek równania (Rys. 76)

Rys. 76. Ilustracja twierdzenia Bolzano-Cauchy'ego

Poszukiwanie miejsc zerowych odbywać się może różnymi metodami. W przypadku funkcji dyskretnej

stosowaliśmy metodę interpolacji odwrotnej, ale istnieje wiele metod numerycznych rozwiązywania równań

nieliniowych.

7.1 Metoda bisekcji Metoda bisekcji zwana również metodą równego podziału (czy połowienia) polega na sukcesywnym

dzieleniu przedziału izolacji pierwiastka na pół.

Najpierw musimy znaleźć przedział, w którym istnieje jeden pierwiastek i obrać granice tego

przedziału . Najczęściej tworzy się w tym celu wykres funkcji lub analizuje jej stabelaryzowane wartości.

W tym przedziale muszą być spełnione następujące warunki:

funkcja jest w przedziale ciągła,

funkcja na krańcach przedziału ma różne znaki:

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20

y=f(x)

f(b)

a b

f

(a)

113

Algorytm poszukiwania miejsca zerowego polega na tym, że:

a) Przedział dzielimy na pół:

b) Sprawdzamy, czy , gdzie bliskie zera jest dokładnością wyznaczenia pierwiastka

równania (szukając "dokładnego" zera, algorytm pewnie sie nie skończy).

a) Jeśli , to algorytm się kończy i miejscem zerowym jest , tzn. .

b) Jeśli , to szukamy dalej.

c) Jeśli , to za podstawiamy i proces dzielenia przedziału powtarzamy.

d) Jeśli , to za podstawiamy i powtarzamy czynności od punktu a).

Na Rys. 77 jest schemat algorytmu i jego ilustracja graficzna.

Start

Dane:a, b, ε

y=f(a)

x=(a+b)/2

y1=f(x)

y*y1<0 a=x

b=x

y1<=ε koniecx1=x

TAK

NIE

TAK

NIE

Rys. 77. Schemat metody bisekcji

Metoda bisekcji jest zawsze zbieżna, ale ma wady. Jest niestety wolnozbieżna i im bliżej pierwiastka,

tym bardziej prędkość obliczeń maleje.

Przykład 20 - Bisekcja

Mamy równanie:

( 138)

Znaleźć miejsce zerowe w przedziale <1,22> z dokładnością ε=0,001. W zadanym przedziale funkcja

jest ściśle monotoniczna.

a b

f(x)

x1 x2 x3

f(x1)

f(x2)

f(x3)

Przedział I

Przedział II

Przedział III

y

x

114

W pierwszym kroku wyznaczamy połowę przedziału wartości argumentów:

I wartość funkcji dla x1:

Wartość ta nie spełnia warunku miejsca zerowego:

( 139)

By dzielić przedział dalej, trzeba podjąć decyzję co do kierunku podziału - w stronę lewego, czy

prawego krańca przedziału zmienności x. W tym celu sprawdzamy znak iloczynu:

( 140)

Jeżeli warunek jest spełniony, to znaczy, że poszukiwać należy pierwiastka w przedziale <a;x1>,

ponieważ wartość funkcji na krańcach tego przedziału ma różne znaki. Podstawiamy więc za b wartość x1

i powtarzamy rachunki, wyznaczając połowę nowego przedziału. Gdy warunek ( 140) nie jest spełniony,

wówczas za a podstawiamy x1, pozostawiając wartość prawego końca przedziału bez zmian (b) i powtarzamy

rachunki tak długo, aż spełnimy warunek ( 139).

W Tabela 20 zebrano wyniki kolejnych iteracji. Ostatecznie miejscem zerowym funkcji ( 138) jest

x=13,01906.

Tabela 20. Kolejne kroki iteracji dla przykładu 1.

Nr iteracji

a b f(a) f(b) x f(x) |f(x)]<=ε f(a)*f(x)<0

1 1 22 2993,1 -5329,2 11,5 656,5875 FAŁSZ FAŁSZ

2 11,5 22 656,5875 -5329,2 16,75 -1923,56 FAŁSZ PRAWDA

3 11,5 16,75 656,5875 -1923,56 14,125 -524,872 FAŁSZ PRAWDA

4 11,5 14,125 656,5875 -524,872 12,8125 93,68958 FAŁSZ FAŁSZ

5 12,8125 14,125 93,68958 -524,872 13,46875 -208,718 FAŁSZ PRAWDA

6 12,8125 13,46875 93,68958 -208,718 13,14063 -55,7853 FAŁSZ PRAWDA

7 12,8125 13,14063 93,68958 -55,7853 12,97656 19,38569 FAŁSZ FAŁSZ

8 12,97656 13,14063 19,38569 -55,7853 13,05859 -18,0916 FAŁSZ PRAWDA

9 12,97656 13,05859 19,38569 -18,0916 13,01758 0,674127 FAŁSZ FAŁSZ

10 13,01758 13,05859 0,674127 -18,0916 13,03809 -8,70196 FAŁSZ PRAWDA

11 13,01758 13,03809 0,674127 -8,70196 13,02783 -4,01223 FAŁSZ PRAWDA

12 13,01758 13,02783 0,674127 -4,01223 13,02271 -1,66863 FAŁSZ PRAWDA

13 13,01758 13,02271 0,674127 -1,66863 13,02014 -0,49714 FAŁSZ PRAWDA

14 13,01758 13,02014 0,674127 -0,49714 13,01886 0,088518 FAŁSZ FAŁSZ

15 13,01886 13,02014 0,088518 -0,49714 13,0195 -0,20431 FAŁSZ PRAWDA

16 13,01886 13,0195 0,088518 -0,20431 13,01918 -0,05789 FAŁSZ PRAWDA

17 13,01886 13,01918 0,088518 -0,05789 13,01902 0,015314 FAŁSZ FAŁSZ

18 13,01902 13,01918 0,015314 -0,05789 13,0191 -0,02129 FAŁSZ PRAWDA

19 13,01902 13,0191 0,015314 -0,02129 13,01906 -0,00299 FAŁSZ PRAWDA

20 13,01902 13,01906 0,015314 -0,00299 13,01904 0,006163 FAŁSZ FAŁSZ

21 13,01904 13,01906 0,006163 -0,00299 13,01905 0,001588 FAŁSZ FAŁSZ

22 13,01905 13,01906 0,001588 -0,00299 13,01906 -0,0007 PRAWDA

115

Na Rys. 78 pokazano ilustrację trzech pierwszych kroków oszacowania miejsca zerowego.

Rys. 78. Ilustracja rozwiązania przykładu 1

7.2 Metoda "regula falsi" Reguła falsi znaczy z łac. fałszywa prosta. Jest to nazwa metody poszukiwania miejsc zerowych funkcji

, która:

jest funkcją ciągłą w przedziale ;

jest w tym przedziale różnowartościowa ;

w przedziale jest monotoniczna - pochodna pierwsza i druga istnieją i nie zmieniają znaku.

Algorytm wyznaczania miejsc zerowych odbywa się w kolejnych krokach:

a) Przez punkt i prowadzi się cięciwę.

b) Wyznaczamy punkt przecięcia tej cięciwy z osią odciętych .

c) Sprawdzamy, czy (dokładność obliczeń):

jeśli TAK - jest miejscem zerowym.

jeśli NIE - to d).

d) Sprawdzamy, czy :

e) jeśli TAK, to i wracamy do a).

f) jeśli NIE, to i wracamy do a).

Wybierając przedział izolacji pierwiastka staramy się tak go wybrać, by funkcja w analizowanym

przedziale <a,b> była ściśle monotoniczna. Mamy wtedy gwarancję, że algorytm nam się nie rozbiega. Na Rys.

79 pokazano przebieg kolejnego kroku algorytmu, w zależności od wartości pierwszej i drugiej pochodnej w

pierwszym przybliżeniu miejsca zerowego (x1). Schemat algorytmu zawiera Rys. 80

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 5 10 15 20 25

f(x) a b x1 x2 x3 x4 miejsce zerowe

a

b

x xxx

116

Rys. 79. Wybór krańców w "regula falsi"

Start

Dane:a,b,ε

ya=f(a)yb=f(b)

x=a-ya*(b-a)/[yb-ya]

y=f(x)

Y<=ε x1=x Koniec

a=x

TAK

NIE

Jeżeli f’(x)*f(x)>0 to a=xJeżeli f’(x)*f(x)<0 to b=x

Rys. 80. Metoda "regula falsi" – algorytm dla f’(x)*f(x)>0

x

y

a b

x1 x2

f(x1) f(x)

f'(x1)<0 a=xi f"(x1)<0 b=b

x

y

a b x1 x2

f(x1)

f(x)

f'(x1)<0 a=a f"(x1)>0 b= xi

x

y

a b x1 x2

f(x1)

f(x)

f'(x1)>0 a=a f"(x1)<0 b= xi

x

y

a b x1 x2

f(x1)

f(x)

f'(x1)>0 a=a f"(x1)>0 b= xi

oszacowanie pierwiastka z niedomiarem oszacowanie pierwiastka z nadmiarem

oszacowanie pierwiastka z niedomiarem oszacowanie pierwiastka z nadmiarem

117

Z Rys. 79 wynika, że:

Zatem wartości w kolejnym kroku:

Przykład 21. Metoda "regula falsi"

Mamy równanie:

Znaleźć miejsce zerowe w przedziale <1,22> z dokładnością ε=0,001. W zadanym przedziale funkcja

jest ściśle monotoniczna.

Wartość x1 wyznaczamy ze wzoru:

Dla pierwszego przybliżenia wartości pierwszej i drugiej pochodnej wynoszą:

118

Obie pochodne są ujemne, tzn. że dolny kraniec przedziału przyjmuje wartości xi, a prawy pozostaje

niezmienny.

Kolejne kroki obliczeń zawarto w Tabela 21. Z rachunków uzyskano wynik x=13,01905 w 12 iteracji.

Poprzednio - w metodzie bisekcji potrzebowaliśmy aż 22 iteracje i wyznaczone w tej metodzie miejsce

zerowe z taką samą dokładnością jak i teraz występowało dla x=13,01906.

Tabela 21. Kolejne kroki iteracji - metoda "regula falsi"

Nr iteracji

a b f(a) f(b) x f(x) |f(x)|<=ε

1 1 22 2993,1 -5329,2 8,552612 1710,801 FAŁSZ

2 8,552612 22 1710,801 -5329,2 11,82048 524,3512 FAŁSZ

3 11,82048 22 524,3512 -5329,2 12,73234 129,6758 FAŁSZ

4 12,73234 22 129,6758 -5329,2 12,9525 30,33873 FAŁSZ

5 12,9525 22 30,33873 -5329,2 13,00371 7,005362 FAŁSZ

6 13,00371 22 7,005362 -5329,2 13,01552 1,61266 FAŁSZ

7 13,01552 22 1,61266 -5329,2 13,01824 0,37098 FAŁSZ

8 13,01824 22 0,37098 -5329,2 13,01887 0,085327 FAŁSZ

9 13,01887 22 0,085327 -5329,2 13,01901 0,019625 FAŁSZ

10 13,01901 22 0,019625 -5329,2 13,01904 0,004514 FAŁSZ

11 13,01904 22 0,004514 -5329,2 13,01905 0,001038 FAŁSZ

12 13,01905 22 0,001038 -5329,2 13,01905 0,000239 PRAWDA

7.3 Metoda siecznych Metoda siecznych jest modyfikacją metody "regula falsi". Końce przedziału <a;b> zastępujemy

przedziałem <xn-1;xn>, czyli poprzednio wyliczonymi oszacowaniami pierwiastka równania.

Warunki, które musi spełnić funkcja w przedziale izolacji pierwiastka są następujące:

funkcja jest w przedziale ciągła i określona;

funkcja na krańcach przedziału jest różnowartościowa ;

funkcja jest w przedziale ściśle monotoniczna - nie ma w przedziale lokalnych ekstremów.

Kolejne przybliżenia pierwiastka wyznaczamy ze wzoru ( 141):

( 141)

Algorytm przebiega następująco:

a) Podstawiamy x1=a; x2=b

b) Przez końce przedziału <x1;x2 > prowadzimy sieczną i wyznaczamy x3 ze wzoru ( 141)

oraz wartość f(x3)

c) Sprawdzamy, czy x3 spełnia warunek miejsca zerowego , jeśli tak,

kończymy algorytm, jeśli nie, to dalej d).

d) Podstawiamy x1=x2 oraz x2=x3 i wracamy do b),

e) Metoda siecznych i jest dość szybko zbieżna.

119

Na Rys. 81 pokazano schemat graficzny metody i jej schemat blokowy.

Rys. 81. Schemat graficzny metody siecznych

W metodzie siecznych nie obowiązuje już założenie, że funkcja na końcach przedziału ma mieć różne

znaki, jednak należy śledzić wyniki algorytmu, ponieważ metoda może dać ciąg rozbieżny.

Przykład 22. Metoda siecznych

W tym przykładzie rozwiążemy zadanie rozwiązywane obiema poprzednimi metodami.

Mamy więc równanie:

Znaleźć miejsce zerowe w przedziale <1,22> z dokładnością ε=0,001. W zadanym przedziale funkcja

jest ściśle monotoniczna.

Kolejne kroki algorytmu zawarto Tabela 22. Już w 6 iteracji znaleźliśmy miejsce zerowe z zadaną

dokładnością. W przypadku metody bisekcji kroków było 22, "regula falsi" 12, a w tej metodzie już po 6

iteracjach znaleźliśmy wynik.

Tabela 22. Wyniki obliczeń metodą siecznych

Nr iteracji

x1 x2 f(x1) f(x2) x3 f(x3) f(x3)<=ε

1 1 22 2993,1 -5329,2 8,552612 1710,801 FAŁSZ

2 22 8,552612 -5329,2 1710,801 11,82048 524,3512 FAŁSZ

3 8,552612 11,82048 1710,801 524,3512 13,26472 -113,216 FAŁSZ

4 11,82048 13,26472 524,3512 -113,216 13,00826 4,931937 FAŁSZ

Start

Dane:a,b,ε

ya=f(a)yb=f(b)

x=a-ya*(b-a)/[yb-ya]

y=f(x)

Y<=ε x1=x Koniec

a=x

TAK

NIE

Jeżeli f’(x)*f(x)>0 to a=xJeżeli f’(x)*f(x)<0 to b=x

x1=a

x2=b

x3 x4

x5

x6

y

x

120

5 13,26472 13,00826 -113,216 4,931937 13,01896 0,042281 FAŁSZ

6 13,00826 13,01896 4,931937 0,042281 13,01905 -1,6E-05 PRAWDA

7.4 Metoda stycznych

W metodzie Newtona funkcja musi spełniać następujące warunki:

Funkcja w przedziale jest ciągła i określona.

Na krańcach przedziału ma różne znaki:

Funkcja w przedziale jest ściśle monotoniczna - ma pierwszą pochodną o stałym znaku.

Metoda stycznych jest modyfikacją metody siecznych, w której wyznaczaliśmy kolejne punkty

przecięcia siecznych z osią wg wzoru ( 142):

( 142)

Jeśli będzie zbliżać się do , to w granicy ułamek ze wzoru ( 142) stanie się odwrotnością

pochodnej funkcji w punkcie ( 143):

( 143)

121

Start

Dane:a, b, x,ε

y=f(x)

y’=f’(x)

x1=x-f(x)/f’(x)

y1<=ε STOPx1=x

TAK

NIE

y1=f(x1)

y1<=ε x1=x STOP

TAK

NIE

y=y1x=x1

Rys. 82. Ilustracja graficzna i algorytm metody stycznych

Z Rys. 82 wynika, że:

a

Ostatecznie:

Startujemy z punktu , leżącego dostatecznie blisko miejsca zerowego. Pożądanym jest, by znaki

drugiej pochodnej i funkcji w punkcie były zgodne. Jeśli tak nie będzie, algorytm będzie rozbieżny i nie

wyznaczymy pierwiastka. W punkcie wyznaczamy wartości funkcji i jej pochodną pierwszego rzędu i ze

wzoru (3) wyznaczamy . Jeśli (przyjęta dokładność oszacowania pierwiastka), to kończymy

obliczenia przyjmując, że . Jeśli nie, to dla wyznaczamy i oraz nowy punkt .

Sprawdzamy, czy punkt spełnia założone warunki odwzorowania zera . Jeśli tak, kończymy

algorytm. Jeśli nie, kontynuujemy dla kolejnego punktu.

Algorytm (Rys. 82) przebiega więc w następującej kolejności działań:

a) Obieramy punkt startowy x możliwie blisko miejsca zerowego

b) Dla x wyznaczamy wartość funkcji f(x) i wartość jej pierwszej pochodnej f'(x).

c) Jeżeli:

x

y

x1 x

f(x)

f(x1)

α

tgα=f'(x)

122

Algorytm się kończy i miejscem zerowym jest x. Jeśli nie, wyznaczamy x1

d) Wyznaczamy x1:

e) Podstawiamy x=x1 i wracamy do b)

W metodzie stycznych odwrotnie niż w metodzie "regula falsi" (Rys. 79) pierwiastek jest

niedoszacowany lub przeszacowany.

Przykład 23. Metoda stycznych

Tak jak w poprzednich przykładach mamy rozwiązać równanie:

Mamy znaleźć miejsce zerowe w przedziale <1,22> z dokładnością ε=0,001. W zadanym przedziale

funkcja jest ściśle monotoniczna. Jako punkt startowy obrano x=4.

W przedstawiono przebieg obliczeń. Tym razem z zadaną dokładnością ε=0,001 znaleziono miejsce

zerowe w 10 iteracji - wartość odciętej, odpowiadającej |f(x)|<= ε wynosi x= 13,01905 . Metoda jest szybko

zbieżna.

Tabela 23. Wyniki obliczeń metodą stycznych.

Nr iteracji

x f(x) f'(x) |f(x)|<=ε x1=x-f(x)/f'(x)

1 4 2738,4 -145,8 FAŁSZ 22,781893

2 22,78189 -5901,71 -891,441 FAŁSZ 16,1614731

3 16,16147 -1591,64 -628,61 FAŁSZ 13,62947842

4 13,62948 -284,886 -528,09 FAŁSZ 13,09001466

5 13,09001 -32,5041 -506,674 FAŁSZ 13,02586277

6 13,02586 -3,11195 -504,127 FAŁSZ 13,01968982

7 13,01969 -0,29071 -503,882 FAŁSZ 13,01911289

8 13,01911 -0,02709 -503,859 FAŁSZ 13,01905912

9 13,01906 -0,00252 -503,857 FAŁSZ 13,01905411

10 13,01905 -0,00024 -503,856 PRAWDA

7.5 Metoda kolejnych przybliżeń Metoda kolejnych przybliżeń nazywana jest metodą sukcesywnej aproksymacji. Niestety nie

wszystkie typy równań można rozwiązać tą metodą. Tylko równania postaci x=φ(x), spełniające warunek

|φ'(x)|<1 można rozwiązać w ten sposób. Algorytm jest następujący:

obieramy punkt startowy,

123

wyznaczamy wartość φ(x)

przyjmujemy x= φ(x)

sprawdzamy, czy |φ(x)-x|<=ε (gdzie ε jest założoną dokładnością), jeśli tak, to koniec algorytmu i x jest

pierwiastkiem równania; jeśli nie, to b)

Jak wspomniano metoda ta może dawać szereg rozbieżny. Przykłady zbieżnego algorytmu

pokazano na Rys. 83, a algorytmu rozbieżnego na Rys. 84.

Rys. 83 . Metoda kolejnych przybliżeń - algorytm zbieżny

Rys. 84. Metoda kolejnych przybliżeń - algorytm rozbieżny

Schemat blokowy algorytmu zawiera Rys. 85.

y

x0 x1 x2 x

y=f(x)

y=φ(x)

xz x0 x1 x2

x

y=f(x)

y=φ(x)

xz x3

y φ'(x)>0 |φ'(x)|>1

φ'(x)<0 |φ'(x)|>1

y

y=φ(x)

x

y=x

x0 x1 x2

φ'(x)>0 |φ'(x)|<1

y

x

y=x

x0 x1 x2 x3

φ'(x)<0 |φ'(x)|<1

xz x

z

124

Start

a;b

x1=a;x2=b

y1=fx1);y2=f(x2)

x3=x2-y2*(x2-x1)/(y2-y1)

y3=f(x3)

|y3|<=ε x =x3 STOP

x1=x2 x2=x3 y1=y2 y2=y3

TAK

NIE

Rys. 85. Metoda kolejnych przybliżeń

Przykład 24. Metoda kolejnych przybliżeń

Tak jak w poprzednich przykładach mamy rozwiązać równanie z dokladnością ε=0,001:

,

czyli równanie postaci:

Równanie musimy przekształcić do postaci .

Możemy zrobić to na wiele sposobów, np:

125

przy czym nie wszystkie dadzą szereg zbieżny.

Na Rys. 86 pokazano trzy pierwsze postaci i wybrano do obliczeń postać:

ponieważ φ'(x)<0 oraz |φ'(x)|<1.

Rys. 86. Wybór postaci przkształcenia

W Tabela 24 pokazano kolejne kroki iteracji.

Tabela 24. Kolejne kroki iteracji (metoda kolejnych przybliżeń)

Nr iteracji x y2=f(x) |x-y2]<ε Nr iteracji x y2=f(x) |x-y2]<ε

1 12 13,87 FAŁSZ 15 12,99818 13,03484 FAŁSZ

2 13,87 12,42659 FAŁSZ 16 13,03484 13,00716 FAŁSZ

3 12,42659 13,49299 FAŁSZ 17 13,00716 13,02804 FAŁSZ

4 13,49299 12,67719 FAŁSZ 18 13,02804 13,01227 FAŁSZ

5 12,67719 13,28583 FAŁSZ 19 13,01227 13,02417 FAŁSZ

6 13,28583 12,82279 FAŁSZ 20 13,02417 13,01519 FAŁSZ

7 12,82279 13,17004 FAŁSZ 21 13,01519 13,02197 FAŁSZ

8 13,17004 12,90673 FAŁSZ 22 13,02197 13,01685 FAŁSZ

9 12,90673 13,10476 FAŁSZ 23 13,01685 13,02072 FAŁSZ

10 13,10476 12,9549 FAŁSZ 24 13,02072 13,0178 FAŁSZ

11 12,9549 13,06778 FAŁSZ 25 13,0178 13,02 FAŁSZ

12 13,06778 12,98245 FAŁSZ 26 13,02 13,01834 FAŁSZ

13 12,98245 13,04678 FAŁSZ 27 13,01834 13,01959 FAŁSZ

14 13,04678 12,99818 FAŁSZ 28 13,01959 13,01865 PRAWDA

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 2 4 6 8 10 12 14

y=x

φ1

φ2

φ3