wykład 5 MNE

Seria: InformatykaElementy teorii niezawodności Wykład 5Niezawodność systemów

dr hab. inż. Tadeusz Nowicki prof. nadzw. WAT

e-mail:[email protected], tel. 6-837118

ni eeeeeE ,...,,...,,, 321 zbiór elementów struktury niezawodnościowej systemu

1,0 Y,X , Y , X ii

Y X , ,S1

i

n

i

R

Y X ... X :)(fR n1

(n) x

zbiory stanów niezawodnoś-ciowych elementów i systemu

struktura niezawodnościo-wa systemu

Rozpatrujemy systemy o elementach dwustanowych w sensie nieza-wodności uszkadzających się niezależnie (podejście klasyczne). Zatem strukturalna funkcja niezawodnościowa systemu ma postać:

1,0 1,0 :)(f (n) nx Dla elementów i systemu dwustano-wych w sensie niezawodności

Przypomnienie

Wyrażenie bulowskie nie zawierające znaku działania negacji nazywane jest wyrażeniem alternatywno-koniunkcyjnym (wak). Każdą funkcje monotoniczną (koherentną) można przedstawić za pomocą wak.

Oznaczmy symbolem „+” alternatywę, a symbolem „·” koniunkcję. Wtedy przykładem takiej funkcji może być poniższy zapis

4312321

(4) x)xx(xxx x (x)f Każde wak można przedstawić w postaci formuły alternatywnej

(sumoiloczyn) lub w postaci formuły koniunkcyjnej (iloczyn sum)43412321

(4) xxxxxxx x (x)f

)xx)(xx(x

)xxx)(xx(x (x)f

42421

432321

(4)

Analityczny zapis struktur niezawodnościowych

Minimalną formułą alternatywną (mfa) funkcji monotonicznej nazywamy formułę alternatywną o najmniejszej liczbie składników sumy (nieredukowalną)

(mfa) xxxx x (x)f 43412

(4) Minimalną formułą koniunkcyjną (mfk) funkcji monotonicznej nazywamy formułę koniunkcyjną o najmniejszej liczbie czynników (sum)

(mfk)

)xx)(xx(x (x)f 42321

(4)

Analityczny zapis struktur niezawodnościowych

Podzbiór W E elementów systemu nazywa się ścieżką zdatności, jeśli przy zdatności wszystkich elementów należących do W system jest w stanie zdatności niezależnie od stanu pozostałych elementów systemu.

Ścieżka zdatności jest minimalną, jeśli nie zawiera żadnej innej ścieżki zdatności.

Minimalna formuła alternatywna (mfa) określa jednoznacznie zbiór wszystkich minimalnych ścieżek zdatności - każdemu składnikowi sumy (iloczynowi) odpowiada wzajemnie jednoznacznie minimalna ścieżka zdatności.

Podzbiór C E elementów systemu nazywa się cięciem (przekrojem), jeśli przy niezdatności wszystkich elementów należących do C system jest w stanie niezdatności niezależnie od stanu pozostałych elementów systemu.

Cięcie jest minimalne, jeśli nie zawiera żadnych innych cięć.

Minimalna formuła koniunkcyjna (mfk) określa jednoznacznie zbiór wszystkich minimalnych cięć - każdemu czynnikowi (sumie) odpowiada wzajemnie jednoznacznie minimalne cięcie.

Ścieżki zdatności i cięcia w systemie

(mfa) xxxx x (x)f 43412

(4)

(mfk) )xx)(xx(x (x)f 42321

(4)

x1

x3

x2

x4

Przykład

Schemat blokowy struktury niezawodnościowej

Ścieżki zdatności i cięcia w systemie

Dla każdej struktury monotonicznej (koherentnej) określonej przez f(n)(x) istnieje dualna struktura koherentna określona przez funkcję monotoniczna f(n)

D(x). Wyrażenie bulowskie, określające funkcję dualną

otrzymujemy w ten sposób, że w wyrażeniu bulowskim, określającym f(n)

(x)m, zamieniamy wszystkie znaki alternatywy na znaki koniunkcji, a znaki koniunkcji na znaki alternatywy. Dla funkcji

4312321

(4) x)xx(xxx x (x)f Funkcja dualna ma postać

)xxx)(x)(xx(x (x)f 4312321

(4)

D Z definicji wynika, że mfa funkcji f(n)

D(x) otrzymujemy bezpośrednio z mfk

funkcji f(n)(x), a mfk funkcji f(n)D(x) bezpośrednio z mfk f(n)(x). Przykład :

)xx)(xx)((x (x)f 43412

(4)

D xxxx x (x)f 42321

(4)

D

Struktury dualne

Wyróżnia się niektóre podstawowe struktury, które mogą być podstrukturami bardziej złożonych struktur.1. Struktura szeregowa - gdy niezdatność dowolnego elementu struktury powoduje niezdatność całego systemu

n

1i

(n) x (x)fi

Funkcja dualna dla struktury szeregowej ma postać

n

1ii

(n)

D x (x)f

Schemat blokowy dla struktury szeregowej ma postać

x1 x2 x3 xn

Elementarne struktury niezawodnościowe

2. Struktura równoległa - gdy zdatność dowolnego elementu struktury powoduje zdatność całego systemu

n

1ii

(n) x (x)f

Funkcja dualna dla struktury równoległej ma postać

n

i 1i

(n)

D x (x)f

Schemat blokowy dla struktury równoległej ma postać

x1

x2

x3

xn


3. Struktury progowe (tak zwane struktury „k z n”)- gdy zdatność dowolnych co najmniej k elementów struktury powoduje zdatność całego systemu.Przykładem może być struktura progowa „2 z 3”

323121

(3) xxxxx x (x)f

Funkcja dualna dla tej struktury ma postać

)x)(xx)(xxx( (x)f 323121

(3)

D Schemat blokowy dla struktury progowej nie istnieje ! Oznacza to, że nie zawsze można skonstruować schematy blokowe dla struktur niezawodnościowych.

Uwaga: zauważmy, że

struktura progowa „1 z n” jest strukturąstruktura progowa „n z n” jest strukturą

równoległąszeregową


Stany niezawodnościowe elementów są binarnymi procesami stochastycznymi xi(t). Argument funkcji f(n)(x) jest dla ustalonej chwili t

n-wymiarową zmienną losowąni1 X,...,X,...,XX

To znaczy binarnym wektorem losowym o odpowiednim rozkładzie prawdopodobieństwa. Oznaczmy

1..ni ,p-1q0XP , p1XP iiiii

oraz ni1 x,...,x,...,xx wektor binarny. Wtedy otrzymujemy

)x-(1i

n

1i

xi

ii qpXP

x

że w ustalonej chwili stany niezawodnościowe elementów są takie, jak określono to w wektorze x.

co jest prawdopodobieństwem tego,

Probabilistyczny model niezawodnościowy

Stan niezawodnościowy systemu jest bulowską zmienną losową Y, określoną jako funkcja bulowska wektora losowego X

1Xx

)ix-(1

i

n

1i

ix

i1Xx

(n) qpxXP1(X)fP1YP

(X)f Y (n)Zatem rozkład zmiennej losowej Y jest jednoznacznie określony przez rozkład wektora losowego X

Gdzie X1 jest podzbiorem tych wszystkich wektorów binarnych x, dla których zachodzi f(n)(x) = 1. Gdy oznaczymy X0 jako podzbiór tych wszystkich wektorów binarnych x, dla których zachodzi f(n)(x) = 0, to

0Xx

)ix-(1

i

n

1i

ix

i0Xx

qp1xXP11YP


Prawdopodobieństwa pi oraz qi określone zostały dla wybranej, ustalonej

chwili t. Co zrobić, gdy chcemy znać charakterystyki niezawodnościowe systemu nie tylko dla ustalonych momentów czasu. Rozpatrzmy poniższe przypadki.

1. Elementy systemu są elementami prostymi nieodnawialnymiWtedy prawdopodobieństwa pi oraz qi zastępujemy odpowiednio

funkcjami

t ii i TP(t)R p funkcja niezawodności elementu prostego nieodnawialnego

t ii i TP(t)F q dystrybuanta elementu prostego nieodnawialnego

Wtedy otrzymujemy

)x-(1 i

Xx

n

1i

xi

(n) i

1

i (t)F (t)R1(X(t))fP1Y(t)P


2. Elementy systemu są elementami prostymi odnawialnymiZauważmy, że muszą być to elementy z niezerową odnową, bo w przeciwnym przypadku system byłby zawsze w stanie zdatności.Wtedy prawdopodobieństwa pi oraz qi zastępujemy odpowiednio funkcjami

1(t)XP(t)k p iigi współczynnik gotowości elementu odnawialnego z niezerową odnową

0(t)XP(t)k-1 q iigi

Wtedy otrzymujemy

)x-(1

igXx

n

1i

x

ig(n) i

1

i (t)k1 (t)k1(X(t))fP1Y(t)P


3. Elementy systemu są mieszane, niektóre są elementami prostymi nieodnawialnymi, a niektóre są elementami prostymi odnawialnymiWtedy prawdopodobieństwa pi oraz qi zastępujemy odpowiednio

1(t)XP(t)k p iigi

0(t)XP(t)k-1 q iigi

Dla elementów nieodnawialnych prostych

natomiast dla elementów odnawialnych prostych o niezerowej odnowie

t ii i TP(t)R p

t ii i TP(t)F q


Czy nie będziemy mieli żadnych kłopotów w wyznaczeniu wartości P{f(n)(X(t)) = 1}? Niestety, będziemy mieli. Wynika to z następującego faktu: liczności zbiorów X1 oraz X0 są olbrzymie.Istnieją metody wyznaczania formuł o minimalnej postaci służące obliczaniu wartości P{f(n)(X(t)) = 1}. (Przeczytać skrypt Korzana - punkt 6.11). Warto zauważyć, że można obliczyć takie wartości dla elementarnych struktur niezawodnościowych i uogólnić to dla struktur bardziej złożonych.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdatności systemu

tT,...,T,TminP TP (t)R n21ss t

1. Struktury szeregowe (elementy nieodnawialne proste)Niech Ti oznacza czas zdatności elementu i-tego, natomiast Ts oznacza

czas zdatności systemu. Wtedy mamy

n1,2,...,i ,Tmin T is co daje w efekcie

co dla niezależności uszkodzeń elementów powoduje równość powyższego z

(t)R(t)RtTP

tTt,...,Tt,TPtT,...,T,TminP

S

n

1ii

n

1ii

n21n21

Z kolei dla dystrybuant otrzymujemy formułę postaci

n

1iiss tF-11tTP(t)F


tT,...,T,TmaxP TP (t)F n21ss t

2. Struktury równoległe (elementy nieodnawialne proste)Niech Ti oznacza czas zdatności elementu i-tego, natomiast Ts oznacza

czas zdatności systemu. Wtedy mamy

n1,2,...,i ,Tmax T is co daje w efekcie

co dla niezależności uszkodzeń elementów powoduje równość powyższego z

(t)F(t)FtTP

tTt,...,Tt,TPtT,...,T,TmaxP

S

n

1ii

n

1ii

n21n21

Z kolei dla funkcji niezawodności otrzymujemy formułę postaci

n

1iiss tR-11tTP(t)R


n

ki Dj)(i, Dc Dllcss tF tR tTP(t)R

i j

3. Struktury progowe (elementy nieodnawialne proste)Dla przypadku ogólnego struktur progowych musimy obliczyć wszystkie możliwe kombinacje dla poprawnych co najmniej k elementów z n możliwych :

gdzie (i,j)D oznacza wszystkie możliwe kombinacje par (i,j) spełniające i+j=n oraz założenie, że i oznacza liczbę elementów zdatnych, a j liczbę elementów niezdatnych, natomiast zbiory Di oraz Dj

n,...,2,1DD , j D , i D jiji


4. Struktury szeregowo-równoległe lub równoległo-szeregowe Dekomponujemy wtedy cały system na podsystemy szeregowe i równo-ległe stosując otrzymane formuły. Przykład

x1 x2 x3

x4 x5

x6

Podsystem II

Podsystem I

Otrzymujemy teraz formuły składowe

))(t(t)])(RR-(t)][1R-[1-(1))(t(t)(RR(t)R 6III6II-Is (t)(t)FF(t)F IIIII-I

(t)(t)R(t)RR(t)R 321I (t)(t)RR(t)R 54II

) (t)R-1(t)F : uwaga ( II-III-I


5. Struktury z elementami prostymi odnawialnymi o niezerowej odnowie

Jeśli pewne elementy (lub nawet wszystkie) są elementami odnawialnymi, to stosujemy podstawienie

)(k1(t)F , )(k(t)Rigiigi tt i-te elementy są odnawialne

Ciąg dalszy Przykładu (jeśli elementy o numerach 1, 5 i 6 są odnawialne, to system jest nieodnawialny (w końcu uszkodzą się elementy 2, 3 oraz 4 i nie będzie dla dużych t żadnej ścieżki zdatności o zdatnych wszystkich elementach). Podsystemy I i II są obiektami nieodnawialnymi. Zatem system jest nieodna-wialny i liczymy dla niego charakterystyki (np. Rs(t) ) jak dla obiektu nieodna-wialnego

))(t(t)])(kR-(t)][1R-[1-(1))(t(t)(kR(t)R6gIII6gII-Is

(t)(t)FF(t)F IIIII-I

(t)(t)R(t)Rk(t)R 321gI (t)(t)kR(t)R5g4II


W przypadku, gdy mamy do czynienia z identycznymi w sensie rozkładu elementami ( R(t) = Ri(t), i=1..n ) to wiele formuł upraszcza się znacznie.

1. Struktury szeregowe o identycznych elementach

n

S

n

S F(t)-11(t)F , R(t)(t)R 2. Struktury równoległe o identycznych elementach

n

S

n

S R(t)-11(t)R , F(t)(t)F

3. Struktury progowe

n

ki

iniss tFtR

i

ntTP(t)R

Wzór ten dla struktur „n-1 z n” upraszcza się do postaci

n1-ns tR1)-(ntRn(t)R

Systemy o jednakowych elementach

Założenia: elementy dwustanowe w sensie niezawodności o wykładniczych rozkładach czasów poprawnej pracy i odnowy (model Markowa); system wielostanowy w sensie niezawodności, a jego stany definiowane są stanami elementów.

Dowolny stan systemu opisany jest stanami jego elementów, czyli wektorem:

ni1 x,...,x,...,xx Poszczególne, zdefiniowane wcześniej stany niezawodnościowe systemu stanowią podzbiory stanów jego elementów, czyli podzbiory wektorów x. Zatem przechodzenie procesu zmian stanów systemu wynika jednoznacznie z procesów przechodzenia elementów pomiędzy swoimi stanami. Przy założeniu o wykładniczym charakterze rozkładu czasu przechodzenia do kolejnych stanów i przebywania w stanach rozkłady łączne procesu zmian definiuje się za pomocą macierzy intensywności przejść. W efekcie uzyskać można metodą równań stanów charakterystyki chwilowe lub graniczne prawdopodobieństw przebywania procesu w poszczególnych stanach, z których z kolei wyznacza się kolejne istotne wartości miar niezawodnościowych systemu.

Model systemu wielostanowego w sensie niezawodności

Metodę tę zilustrujemy przykładem.

Przykład System ma strukturę przedstawioną na schemacie

x1

x2

x3

Czasy poprawnej pracy elementów x1 i x2 mają rozkład wykładniczy z parametrem a, elementu x3 z parametrem b natomiast wszystkie czasy odnowy mają rozkład wykładniczy z parametrem c. Można zatem zdefiniować trzy stany niezawodnościowe systemu:

Stan pełnej wydajności x1 = (1,1,1), stany częściowej wydajności x2 = (0,1,1), x3 = (1,0,1) oraz stan awarii x4 = (0,0,1), x5 = (1,1,0), x6 = (0,1,0), x7 = (1,0,0), x8 = (0,0,0). Oznacza to, że elementy mogą uszkadzać się nawet po uszkodzeniu systemu, chociaż nie trzeba czynić takiego założenia. Wtedy po prostu liczba możliwych w realizacji stanów zmniejszy się istotnie.

Uszkodzony element naprawiany jest przez jednego konserwatora i najpierw zawsze naprawiany jest element trzeci (jeśli jest uszkodzony), a następnie któryś z elementów pozostałych, załóżmy, że pierwszy.


Daje to nam w efekcie następujący graf stanów procesu zmian stanów elementów i systemu:

(1,1,1)

(0,1,1) (1,0,1)

(1,1,0)

(0,0,1)(0,1,0)

(0,0,0)

(1,0,0)

a a

b

b

a

a

a a

b

ab

c

c

c c

c c

Pełna wydajność

Częściowa wydajność

Stan awarii

Uwaga:intensywności (pętle) na wierzchołkach grafu to minus suma intensywności wychodzących z wierzchołka.


a

c

(1,1,1)

(0,1,1), (1,0,1)

(1,1,0)

(0,0,1)

2a

b

b

b

cc

Pełna wydajność

Częściowa wydajność

Stan awarii

2ac

stan1

stan2

stan4

stan5(1,0,0),(0,1,0)

(0,0,0)

stan3

stan6

c

ca

a

Stany te można zredukować

Uwaga:intensywności (pętle) na wierzchołkach grafu to minus suma intensywności wychodzących z wierzchołka.


b

Stąd układ równań różniczkowych stanu (Kołmogorowa) ma postać :

(t)cp(t)cp (t)b)pa2((t)pdt

d4211

Zamiast jednego z równań (6) dajemy równanie normujące postaci

(t)cp(t)cp(t)c)pb(a -(t)pa2(t)pdt

d53212

(t)p2(t)c)p(a- (t)bp(t)pdt

d4323 a

(t)c)pa2((t)bp(t)pdt

d414

1(t)p(t)p(t)p(t)p(t)p(t)p 654321

(t)cp(t)c)p(b -(t)ap(t)pdt

d6525

)0,0,0,0,0,1((0))p(0),p(0),p(0),p(0),p(0),(pp(0) 654321 oraz warunek początkowy


1pppppp 654321

Równania te można rozwiązać stosując transformatę Laplace’a. Otrzymujemy wtedy wektor p(t)=(p1(t), p2(t), p3(t), p4(t), p5(t), p6(t)) będący podstawa obliczania charakterystyk niezawodnościowych wielostanowego w sensie niezawodności systemu. Chcąc uzyskać charakterystyki graniczne przekształcamy uzyskany układ równań (gdzie pi = lim pi(t) i=1..6) do postaci:

5321 cpcpc)pb(a -pa20

432 p2c)p(a- bp0 a41 c)pa2(bp0

652 cpc)p(b -ap0 z warunkiem normującym

321 cpcp b)pa2(0

Ten układ równań liniowych można rozwiązać np. metodą Gaussa. Otrzymujemy wtedy wektor p=(p1, p2, p3, p4, p5, p6) granicznych prawdopo-dobieństw będący podstawa obliczania granicznych charakterystyk nieza-wodnościowych wielostanowego w sensie niezawodności systemu.


Należy zawsze dokonać identyfikacji wszystkich elementów - czy są odnawialne, czy nie; jakie są ich rozkłady prawdopodobieństwa czasu życia lub (o ile jest to potrzebne) czasów odnowy, itp.,

należy zbadać ścieżki zdatności i cięcia systemu; duża liczba ścieżek świadczy o odporności systemu, a duża liczba cięć świadczy o wrażliwości systemu; odnosi się to w dużej mierze do odporności systemu na uszkodzenia pojedynczych elementów,

należy ustalić, czy system jest obiektem nieodnawialnym, czy odnawialnym; miary niezawodności obliczane dla systemu muszą być charakterystyczne dla ustalonej klasy systemu - obiektu.

Wnioski końcowe

Documents

wykład 5 MNE