Uniwersytet Jagielloński w Krakowie

Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej

Krzysztof Biedroń

Nr albumu: 1052070

Atomy w nieseparowalnej sieci optycznejPraca magisterska

na kierunku fizyka doświadczalna

Praca wykonana pod kierunkiemProf. dr. hab. Jakuba Zakrzewskiego

Zakład Optyki Atomowej

Kraków 2014

2

Wstęp

Sieci optyczne są w ostatnim czasie jednym z najdynamiczniej rozwijających się obszarówbadań fizyki atomowej. Kontrola nad parametrami i swoboda w ustalaniu postaci potencjałuprzy wykorzystaniu laserów pozwalają symulować układy dotąd znane wyłącznie z fizyki ciałastałego, dając cenne spojrzenie na problematykę oddziaływań w takich układach i możliwość lep-szego zrozumienia zachodzących tam procesów i stanowią krok w stronę utworzenia kwantowychsymulatorów. Równie ważne jak doświadczalne realizacje takich układów są narzędzia, które po-zwalają matematycznie opisać tworzone, czy też postulowane układy. W mojej pracy chciałbymprzedstawić jedno z takich narzędzi, które od niedawna wykorzystywane jest w tym celu [1][2],to jest konstrukcję funkcji Wanniera poprzez diagonalizację operatora położenia w przestrzenistanów Blocha i pokazać, że ta prosta koncepcyjnie metoda daje wyniki porównywalne z innymiobecnie stosowanymi w tym celu.

Pierwszy rozdział pracy zawiera krótki opis zasad działania sieci optycznych. W drugimrozdziale wprowadzone zostają potrzebne pojęcia z zakresu opisu sieci i model Bosego-Hub-barda. Trzeci rozdział otwiera opis metody konstrukcji funkcji Wanniera wykorzystywanej w tejpracy w przypadku jednowymiarowym wraz z prostym przykładem jej zastosowania, a następnieprzechodzi do porównania wyników otrzymanych tą metodą z wynikami, które zostały uzyskaneinnymi sposobami. Czwarty rozdział zawiera rozszerzenie metody na przypadek dwuwymiarowyi analizę dwóch potencjałów. Ostatni rozdział zawiera krótkie podsumowanie całej pracy.

3

4

Spis treści

1 Konstrukcja sieci optycznych 71.1 Chłodzenie atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Pułapkowanie atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Potencjał w sieci optycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Teoretyczny opis sieci optycznych 92.1 Geometria układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Funkcje Blocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Funkcje Wanniera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Funkcje Wanniera jako stany własne operatora położenia . . . . . . . . . . . . . 112.5 Model Bosego-Hubbarda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Jednowymiarowe sieci optyczne 133.1 Przykład prostej sieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Jednowymiarowa supersieć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Inny przykład sieci podwójnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Dwuwymiarowe sieci optyczne 214.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Sieć trójkątna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Potencjał dwuwymiarowy z dwoma minimami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Podsumowanie 29

5

Spis treści 6

Rozdział 1

Konstrukcja sieci optycznych

1.1 Chłodzenie atomów

Podstawowym elementem sieci optycznej jest schłodzony, rozrzedzony gaz atomów, któryjest w sieci pułapkowany. Wymóg niskiej temperatury związany jest po pierwsze z ogranicze-niem oddziaływań pomiędzy atomami, a po drugie z koniecznością utrzymania energii kinetycz-nej atomów mniejszej niż głębokość potencjału pułapukującego. Możliwość schładzania gazówatomowych do niskich temperatur (rzędu mK, a nawet nK) istnieje dzięki rozwojowi techniklaserowych, który nastąpił pod koniec XX wieku.

Pierwszą techniką, o której warto wspomnieć, jest chłodzenie przy zastosowaniu lekko od-strojonych i odpowiednio spolaryzowanych wiązek laserowych, tworzących tzw. melasę optyczną.Aby przybliżyć zasadę działania takiego chłodzenia, rozpatrzymy 2 wiązki laserowe o wektorachfalowych odpowiednio ~k i −~k skierowane przeciwbieżnie w jednym kierunku (dla uproszczeniaprzyjmijmy, że jest to kierunek x). Światło laserowe posiada częstotliwość odstrojoną od czę-stotliwości rezonansowej przejścia pomiędzy dwoma stanami w atomie, 1 i 2, tak że ω = ωR− δ,δ > 0. Atom poruszający się z prędkością vx w kierunku wiązek laserowych będzie, w wynikuefektu Dopplera, efektywnie oddziaływał ze światłem odstrojonym o δ±vx, gdzie znak ± zależyod tego, czy rozpatrujemy laser k czy laser −k. Silniejsza absorpcja światła będzie zachodzićdla wiązki, która efektywnie będzie bliżej częstotliwości rezonansowej ωR, a w procesie absorpcjipęd atomu zostanie zmieniony o pęd zaabsorbowanego fotonu. Atom we wstanie wzbudzonymmoże albo deekscytować poprzez emisję wymuszoną, albo spontaniczną - w pierwszym przy-padku zmiana pędu będzie przeciwna do zmiany pędu w wyniku absorpcji, natomiast średniazmiana pędu po wielu aktach emisji spontanicznej (foton emitowany jest w losowym kierunku)będzie wynosiła zero. Podsumowując, atomy będą absorbowały więcej fotonów poruszających sięw kierunku przeciwnym do ich ruchu, jednocześnie efektywnie nie zmieniając pędu przy wieluaktach emisji spontanicznej, czyli łącznie będą spowalniane. Możemy wprowadzić dodatkowewiązki przeciwbieżne w pozostałych, prostopadłych kierunkach, żeby chłodzić atomy w dwóchalbo trzech wymiarach.

1.2 Pułapkowanie atomów

Wspomniany powyżej mechanizm oddziaływania światła z atomami sieci można opisać wpro-wadzeniem dyssypatywnej siły Fdiss, która zmienia energię atomów ochładzając je. Poza nim,na atomy działa konserwatywna siła zależna od gradientu natężenia pola elektrycznego, możnawięc opisać ją wprowadzając potencjał Udip[3]. Takie oddziaływanie nazywane jest dipolowymi jest ono głównym źródłem potencjału sieci optycznej.

7

Rozdział 1. Konstrukcja sieci optycznych 8

Rozważmy oddziaływanie atomu (różnica energii pomiędzy dwoma poziomami energetycz-nymi wynosi ~ω0) ze światłem o częstotliwości ω. Moment dipolowy rozważanego ośrodka mapostać:

~p = α~E, (1.1)

gdzie α jest zespolonym współczynnikiem określającym polaryzowalność, ~E(~r,t) i ~p(~r,t) zapisu-jemy w postaci zespolonej. Potencjał oddziaływania otrzymanego momentu dipolowego z polemma postać:

Udip = −12〈~p ~E〉 = − 1

2ε0cRe(α)I, (1.2)

natomiast tempo rozpraszania (określające częstość aktów emisji spontanicznej):

Γsc(~r) =〈~p ~E〉~ω

Im(α)I(~r). (1.3)

Korzystając z klasycznego modelu Lorentza, w którym opisujemy atom jako oscylator harmo-niczny (x+ Γωx+ ω2

0x = −eE(t)/me), możemy otrzymać:

α = 6πε0c3 Γ/ω20

ω20 − ω2 − i(ω3/ω2

0)Γ, (1.4)

przy czym Γ = (ω0/ω)2Γω. Wstawiając α z równania (1.4) do (1.2) i (1.3) otrzymujemy, korzy-stając z przybliżenia fali wirującej (rotating-wave approximation, RWA, |∆| = |ω − ω0| ω0):

Udip(~r) =3πc2

2ω30

Γ∆I(~r) (1.5)

Γsc(~r) =3πc2

2~ω30

(Γ∆

)2I(~r) (1.6)

Widzimy, że powyższe proste rozważania prowadzą do dwóch ważnych wniosków:

• Potencjał oddziaływania Udip jest proporcjonalny do natężenia światła I(~r) i ma znakzależny od tego, czy światło jest odstrojone ku czerwieni (red detuned, ∆ < 0) czy kuniebieskiemu (blue detuned, ∆ > 0).

• Γsc/Udip ∝ 1/∆, a więc korzystne są duże odstrojenia, dla których Γsc jest małe.

1.3 Potencjał w sieci optycznej

Podstawowym sposobem na otrzymanie periodycznego potencjału jest ustawienie naprze-ciwko siebie dwóch laserów o długościach fali ~k i −~k (lub równoważnie, układ złożony z laserai lustra). Natężenie światła w takim układzie będzie mieć postać fali stojącej (przyjmujemy tupostać fali płaskiej światła laserowego):

I(~r) = | ~E1(~r,t) + ~E2(~r,t)|2 = 2|E0 cos(ωt) cos(~k · ~r)|2 ≈ E20 cos2(~k · ~r), (1.7)

gdzie w ostatnim przybliżeniu wykorzystaliśmy, że rozważamy procesy w skali czasowej t ω−1,natomiast 〈cos2(x)〉 = 1/2. Jeżeli w naszym układzie zastosujemy lasery ustawione w trzechprostopadłych kierunkach (oznaczmy je x, y, z), wypadkowy potencjał będzie mieć postać:

V (~r) = Vx cos2(kxx) + Vy cos2(kyy) + Vz cos2(kzz) (1.8)

Powstałą w ten sposób trójwymiarową sieć jesteśmy w stanie efektywnie ograniczyć do mniejszejliczby wymiarów poprzez zwiększenie wartości potencjałów w określonych kierunkach (oddzia-ływania z sąsiednimi oczkami sieci w tych kierunkach będzie na tyle małe, że będzie możnaje pominąć). Dla Vx Vy, Vz będziemy mieli do czynienia z siecią dwuwymiarową (w y i z),natomiast dla Vx, Vy Vz z siecią jednowymiarową (dla z).

Rozdział 2

Teoretyczny opis sieci optycznych

2.1 Geometria układu

Przy opisie sieci optycznych używa się terminologii znanej z fizyki stała ciałego i sieci kry-stalicznych. Wektorami sieci krytalicznej ~ai nazywamy najmniejsze takie wektory, że sieć jestsymetryczna względem translacji o dowolny wektor ~R =

∑i ni~ai, gdzie ni są liczbami całkowi-

tymi. Wybór wektorów ~ai nie jest jednoznaczny.Dla wybranych wektorów ~ai możemy zdefiniować wektory sieci odwrotnej ~bi, które spełniają

warunki:~ai ·~bj = 2πδij (2.1)

Wektory rozpinają sieć zwaną siecią odwrotną. Użycie wektorów ~G =∑i ni~bi pozwala w wy-

godny sposób opisać układ periodyczny względem wektorów ~ai. Potencjał (a także dowolną innąfunkcję o takiej samej periodyczności) można rozpisać w szereg Fouriera jako:

V (~r) =∑~G

V ~Gei ~G~r. (2.2)

Współczynniki V ~G można wyliczyć jako:

V ~G =1Ω

∫Ωd3rV (~r)e−i

~G~r, (2.3)

przy czym Ω jest objętością komórki elementarnej, po której wykonywane jest całkowanie.

2.2 Funkcje Blocha

Dla danego potencjału V (~r) opisu układu fizycznego w kwantowej mechanice nierelatywi-stycznej dokonuje się przy pomocy równania Schrodingera:

Hψ(~r) ≡(− ~2

2m∇2 + V (~r)

)ψ(~r) = Eψ(~r). (2.4)

Po rozwiązaniu tego równania otrzymujemy dozwolone wartości energii E stanów stacjonarnychψ(~r) w układzie.

Periodyczność potencjału V (~r) wymusza specjalną postać rozwiązań (2.4), określaną mianemfunkcji Blocha:

ψ~k,α(~r) = ei~k~ru~k,α(~r), (2.5)

9

Rozdział 2. Teoretyczny opis sieci optycznych 10

gdzie ~k jest wektorem należącym do sieci odwrotnej i ze względu na podobieństwo do pędunazywany jest kwazipędem. Indeks α numeruje kolejno wartości energii dla danego k, przy czymdla stanu podstawowego α = 0. Dostępne wartości energii dla danego k określa się mianempasma Blocha. u~k,α(~r) jest określoną dla danych k i α funkcją o periodyczności sieci, możemyją więc rozpisać jako:

u~k,α(~r) =1√A

∑~G

c(~k,α)~G

ei~G~r, (2.6)

gdzie 1√A

jest stałą normalizacyjną.Można pokazać, że funkcje Blocha są periodyczne w przestrzeni sieci odwrotnej względem

~bi. Narzucając na funkcje (2.5) warunki brzegowe Borna-von Karmana można pokazać ([4]), żejeśli rozpatrujemy sieć o Ni oczkach w i-tym kierunku, dozwolone wartości ~k mają postać:

~k =3∑i=1

mi

Ni

~bi, mi ∈ Z. (2.7)

2.3 Funkcje Wanniera

Przy określaniu dynamiki sieci, korzystne okazuje się znalezienie bazy funkcji, które nieposiadają określonego kwazipędu, tylko są zlokalizowane w konkretnych oczkach sieci. Sposóbna otrzymanie takiej bazy podał w 1937 roku Gregory Wannier [5]:

wα(~r − ~R) = w~R,α(~r) =1√N

∑~k

e−i~k ~Rψ~k,α(~r), (2.8)

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich dostępnych kwazipędach (w szczególności w granicynieskończonej sieci można sumę zastąpić całką), natomiast N jest ilością oczek w sieci. Wzór(2.8) określa funkcję zlokalizowaną w oczku sieci znajdującym się w ~R (oczywiście ~R =

∑i ni~ai),

α określa poziom wzbudzenia danego stanu. Pierwszy problem, który napotykamy próbując zna-leźć funkcje Wanniera związany jest z tym, że istnieje dowolność ustalenia fazy funkcji Blocha,tzn. jeżeli pewne ψ~k,α spełnia (2.4), wtedy dla dowolnego ϕ funkcja eiϕψ~k,α także spełnia tę

nierówność. Ponieważ funkcje dla różnych ~k mogą mieć różnie określone ϕ, istnieje wiele moż-liwości wyboru w~R,α, które będą różniły się właściwościami. Dla naszych zastosowań chcemy,żeby w~R,α były rzeczywiste i eksponencjalnie zlokalizowane.

To, czy takie funkcje zawsze istnieją pozostaje otwartą kwestią. Dla przypadku jednowy-miarowego dokonano dowodu istnienia takich funkcji [6], dla większej liczby wymiarów próbujesię natomiast udowodnić to dla szczególnych przypadków [7] albo numerycznie znajduje takiefunkcje [8]. Dla jednowymiarowego przypadku istnieje także heurystyczna zasada pozwalającaw odpowiedni sposób dobrać fazy funkcji Blocha[1]. Dla nieparzystych α1 faza ϕ musi być takdobrana, żeby ψ~k,α(~x = ~x0) było rzeczywiste i dodatnie dla każdego ~k, natomiast dla α parzy-

stych ddxψ~k,α(~x = ~x0) musi być rzeczywiste i dodatnie dla każdego ~k (~x0 jest położeniem oczka,

w którym zlokalizowana jest funkcja Wanniera).Wzór (2.8) jest poprawny, jeżeli struktura pasm Blocha jest prosta i nie zachodzą one na

siebie. W przypadku, w którym mamy do czynienia z degeneracją energii w obrębie J pasm,możemy uogólnić dowolność określenia fazy funkcji Blocha na unitarną macierz mieszania fazwśród funkcji z różnych pasm:

|ψ~k,α〉 =J∑β=1

U(~k)βα |ψ~k,α〉 (2.9)

1dla stanu podstawowego α = 1.

11 2.4. Funkcje Wanniera jako stany własne operatora położenia

Jednym z możliwych sposobów konstrukcjia funkcji Wanniera dla skomplikowanych potencja-łów jest opracowana przez N. Marzariego i D. Vanderbilta metoda znalezienia macierzy U (~k),która prowadzi do otrzymania zlokalizowanych funkcji Wanniera poprzez minimalizację funk-cjonału

∑n〈r2〉n−〈~r〉2n (metoda ta określana jest mianem MLWF (Maximally localized Wannier

functions) [9].

2.4 Funkcje Wanniera jako stany własne operatora położenia

Inne podejście opiera się na sposobie otrzymania funkcji Wanniera podanym przez S. Ki-velsona [10], który w swojej pracy pokazał równoważność tego podejścia dla prostych sieci.W przypadku, gdy mamy do czynienia z izolowanym pasmem α2, możemy rozważać przestrzeństanów układu związanych z tym pasmem, Sα. Operator rzutowania na przestrzeń Sα nazwijmyPα. Możemy zdefiniować funkcje Wanniera jako stany własne rzutowanego operatora położenia:

rα|R,α〉 = R|R,α〉, (2.10)

rα = PαrPα (2.11)

Taka definicja stanów zapewnia ortogonalność stanów otrzymanych dla różnych położeń. Możnasprawdzić, że dla prostych potencjałów otrzymujemy funkcje Wanniera dokładnie zgodne z (2.8).Zaletą używania definicji (2.10) jest to, że nie musimy przejmować się nieokreśloną fazą funkcjiBlocha - diagonalizując macierz operatora xα w bazie funkcji Blocha z ustalonymi już (nieko-niecznie zgodną) fazami, znajdujemy współrzędne określone dla tych ustalonych funkcji.

2.5 Model Bosego-Hubbarda

Rozpatrzmy układ składający się z gazu bozonów spułapkowanych w sieci optycznej, dlauproszczenia ograniczając się do jednowymiarowej sieci optycznej. Hamiltonian takiego układuma postać[11]:

H =∫dxΨ†(x)

(− ~2

2m∂2

∂x2 + V0(x) + VT (x)

)Ψ(x) +

g

2

∫dxΨ†(x)Ψ†(x)Ψ(x)Ψ(x), (2.12)

gdzie Ψ(x) i Ψ†(x) to operatory pola bozonowego, V0(x) to potencjał rozpatrywanej sieci optycz-nej, VT (x) to pozostała część potencjału (związana np. z pułapkowaniem atomów), a g jeststałą związaną z oddziaływaniem pomiędzy dwoma bozonami. Jeśli zapiszemy operator Ψ jako:Ψ(x) =

∑i biwRi,0(x) (gdzie bi to operator anihilacji bozonu w oczku znajdującym się w ~xi a su-

mowanie przebiega po wszystkich wektorach sieci, to hamiltonian (2.12) można będzie zapisaćw postaci:

H = −∑i,j

Jij b†i bj +

12

∑i,j,k,l

Ui,j,k,lb†i b†j bk bl, (2.13)

przy czym:

Jij ≡ −∫dx (wxi,0(x))∗

(− ~2

2m∂2

∂x2 + V0(x) + VT (x)

)wxj ,0(x), (2.14)

Ui,j,k,l ≡ g∫dx (wxi,0(x))∗ · (wxj ,0(x))∗ · wxk,0(x) · wxl,0(x), (2.15)

a także uwzględniliśmy w naszym modelu wyłącznie atomy w stanie podstawowym i zakładamy,że funkcje Wanniera są rzeczywiste. Część Jij jest związana z energią potrzebną na przejście

2można dalsze rozważania uogólnić dla przypadku, w którym izolowana jest grupa pasm

Rozdział 2. Teoretyczny opis sieci optycznych 12

cząstki z oczka i do oczka j, natomiast Ui,j,k,l określają energię oddziaływania między cząstecz-kami. Aby otrzymać hamiltonian w modelu Bosego-Hubbarda musimy zmodyfikować ten hamil-tonian, ograniczając się do tunelowań (Jij) wyłącznie pomiędzy sąsiednimi oczkami (sumowaniepo najbliższych sąsiadach oznaczymy

∑〈i,j〉, natomiast Ji,i+1 ≡ J) i do oddziaływań pomiędzy

atomami znajdującymi się w tym samym oczku sieci (Uijkl = Uiiiiδijδikδil ≡ Uδijδikδil):

HBH = −J∑〈i,j〉

b†i bj +U

2

∑j

b†j b†j bj bj +

∑j

εj b†j bj , (2.16)

przy czym εj =∫dx |wxj ,0(x)|2VT (x) ≈ VT (xj). Możemy rozszerzyć otrzymany w (2.16) hamil-

tonian, uwzględniając wyższe pasma:

HBH = −∑〈i,j〉,α

Jα(bαi )†bαj +12

∑α,β,γ,δ

Uα,β,γ,δ∑j

(bαj )†(bβ)†j bγj bδj +

∑j,α

εj(bαj )†bαj . (2.17)

Aby otrzymane hamiltoniany (2.16) i (2.17) dobrze opisywały układ, potencjał V0(x) musibyć wystaczająco głęboki (dla prostej sieci V0 cos2(x), V0 & 5Er). W zależności od względnychwielkości J i U można określić dwie fazy rozważanego gazu atomowego:

• Izolator Motta (MI), dla małych wartości J - cząstki są „uwięzione” w oczkach sieci i niema oddziaływań dalekozasięgowych. W granicy J → 0 można otrzymać: |ΨMI〉 ∝ Πib

†i |0〉

• Nadprzewodnik (SF), dla dużych wartości J - w tej granicy cząstki są zdelokalizowanew przestrzeni całej sieci. W granicy U → 0 dla N cząstek w stanie podstawowym |ΨSF 〉 ∝(∑i b†i )N |0〉.

Rozdział 3

Jednowymiarowe sieci optyczne

3.1 Przykład prostej sieci

Istnieje prosta numeryczna metoda wyliczenia funkcji Blocha, które są potrzebne do kon-strukcji funkcji Wanniera. W przestawionych poniżej wyliczeniach rozpatrzmy funkcję Wannieraokreśloną do pojedynczego pasma α.

Chcąc obliczyć funkcje Blocha wstawiamy postać funkcji (2.6) i potencjału (2.3) do równaniaSchrodingera (2.4):

∑n

~2

2m(k + 2nkl)2c(k,α)

n ei(k+2nkl)x +∑n′

∑n′′

Vn′′c(k,α)n′ ei(k+2(n′′+n′)kl)x = Ek

∑n

c(k,α)n ei(k+2nkl)x.

(3.1)Porównując w powyższym równaniu składniki, które mają tą samą potęgę eix (co wymuszan′′ = n− n′), otrzymujemy równania na współczynniki w rozwinięciu funkcji Blocha:

Er

(k

kl+ 2n

)2

c(k,α)n +

∑n′

Vn−n′c(k,α)n′ = Ekc

(k,α)n , (3.2)

gdzie Er = ~2k2l2m jest energią odrzutu.

W obliczeniach numerycznych musimy ograniczyć się do skończonej ilości składników sumy,dlatego dokonuje się jej obcięcia dla wartości |n| większych od pewnego F (które ustalamy tak,żeby nasze przybliżenie było wystarczająco dla nas dokładne). Dodatkowo załóżmy, że rozwa-żana sieć optyczna składa się z L oczek (dla uproszczenia załóżmy, że L jest liczbą nieparzystą:L = 2s + 1, s ∈ Z), a stała sieci wynosi a. Wprowadza to ograniczenie na dostępne wartościkwazipędów, zgodnie z (2.7), a więc k = m

L b, m = −s,−s+1, . . . ,s. Aby otrzymać funkcje Wan-niera, można zdiagonalizować reprezentację operatora położenia w bazie otrzymanych funkcjiBlocha (metoda ta została zastosowana np. w [1] i [2]). Operator położenia x możemy zapisaćw postaci macierzy, którego element macierzowy dany jest wzorem:

Xm,m′ = 〈ψk,α|x|ψk′,α〉 (3.3)

Dla naszej sieci X jest macierzą L-wymiarową, której stany własne odpowiadają funkcjomWanniera:

x|wxi,α〉 = xi|wxi,α〉|wxi,α〉 =

∑k g

(xi,α)k |ψk,α〉

(3.4)

13

Rozdział 3. Jednowymiarowe sieci optyczne 14

Element macierzowy możemy policzyć w reprezentacji położeniowej, przy czym całkowanieodbywa się od −La/2 do La/2 (dzięki temu najdokładniejsze rozwiązania będą w okolicy x = 0):

〈ψk,α|x|ψk′,α〉 =1A

∫ La/2

x=−La/2dx (ψk,α(x))∗ x ψk′,α(x) (3.5)

Dla ułatwienia całkowania wprowadźmy zmienną λ taką, że:

x =(λ− 1

2

)La (3.6)

Ponadto, przyjmijmy normalizację funkcji Blocha taką, że wycałkowanie jej po rozpatrywanejsieci daje 1, czyli A = La. Teraz:

Xm,m′ = La∑n,n′

∫ 1

λ=0dλ (c(k,α)

n )∗c(k′,α)n′ e−iπ(m′−m+L(n′−n))e2πi[m′−m+L(n′−n)](λ− 0.5), (3.7)

gdzie wykorzystaliśmy ab = 2π. Następnie zauważmy, że e−iπd = (−1)d, jeżeli d ∈ Z oraz(−1)L = −1. Dodatkowo wprowadźmy t = 2πi[m′ −m+ L(n′ − n)]:

Xm,m′ = La∑n,n′

(c(k,α)n

)∗c

(k′,α)n′ (−1)m

′−m+n′−n∫ 1

λ=0dλ

(λ− 1

2

)eitλ (3.8)

∫ 1

0dλ eitλλ =

− 1t2 +

(1t2 −

it

)eit t 6= 0

12 t = 0

(3.9)

∫ 1

0dλ eitλ =

− it(e

it − 1) t 6= 01 t = 0

(3.10)

Xm,m′ = ia∑

n,n′:t6=0

(ck,αn )∗ck′,αn′

(−1)m′−m+n′−n

2π[(m′ −m)/L+ n′ − n], (3.11)

przy czym, jak zostało zaznaczone, sumowanie przebiega po takich n,n′, że t 6= 0, co (ponieważn,n′,m,m′ ∈ Z oraz m′ −m < L) można zapisać w inny sposób: n 6= n′ ∨m 6= m′ Rozpatrzmyjednowymiarową sieć optyczną opisaną potencjałem (jednowymiarowy odpowiednik potencjałuz (1.8)):

V (x) = V0 cos2(klx) (3.12)

Stała sieci wynosi a = πk , natomiast długość wektora sieci odwrotnej b = 2kl. Możemy zgodnie

z (2.3) rozpisać potencjał na współczynniki Vn, otrzymując:

V−1 = V1 = 14

V0 = 12 .

(3.13)

Po pierwsze, możemy się zastanowić nad energiami dostępnymi dla atomów w poszczególnychpasmach. Wykres (3.1) przedstawia kilka najniższych pasm Blocha dla rozważanego potencjałui kształt samego potencjału dla dwóch wartości V0(5Er i 20Er).

Policzone metodą opisaną w poprzednim rozdziale funkcje przedstawione są na wykresie(3.2) dla zmiennego V0. Dla takich funkcji Wanniera danych wzorem (3.4) jesteśmy w staniepoliczyć J (2.14). Ponieważ funkcja Wanniera w oczku i+ 1 jest po prostu przesuniętą o stałą

15 3.1. Przykład prostej sieci

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.40

5

10

15

20

25

30

kb

EE r

HaL

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.40

5

10

15

20

25

30

kb

EE r

HbL

Rysunek 3.1: Dyspersja energii w zależności od kwazipędu k w pierwszej strefie Brillouina.Linią przerywaną oznaczona jest wielkość potencjału w zakresie komórki elementarnej. Dla (a)V0 = 5Er, a dla (b) V0 = 20Er.

V0=5Er

V0=10Er

V0=20Er

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xa

w0,0

HxL

5 10 15 20 25

0.001

0.002

0.005

0.010

0.020

0.050

0.100

V0

Er

ÈJÈE

r1.00

0.50

0.20

2.00

0.30

1.50

0.70

aU

HgE

rL

Rysunek 3.2: Lewa strona: funkcje Wanniera dla stanu podstawowego (α = 1) i różnych wartościV0; prawa strona: J/Er i U/Er(przeskalowane przez a/(gEr)) dla różnych wartości parametruV0.

sieci a funkcją w oczku i, można zapisać wi+1,α(x) = wi,α(x− a). Dodatkowo, V (x) = V (x− a)i ∂2

∂(x−a)2 = ∂2

∂x2 . Łącząc powyższe informacje:

J =Ji,i+1 = −∫dx∑k,k′

g∗kgk′(ψk,α(x))∗Hψk′,α(x− a)

=∑k,k′

∫dx g∗kgk′(ψk,α(x))∗Ek′,αψk′,α(x− a) =

∑k,k′

∑n,n′

∫dx g∗kgk′

(c(k)n

)∗c

(k′)n−n′Ek′,α·

· e−i[(k+nb)+(k′+n′b)]xe−i(k′+n′b)a =

∑k,n

|gk|2|cn|2Ek,αe−2πik =∑k

|gk|2Ek,αe−2πik

(3.14)

W podobny sposób można wyliczyć U :

U0,0,0,0 =g

La

∑n1,n2,n3,n4:n1+n2=n3+n4

∑k1,k2,k3,k4:k1+k2=k3+k4

(gk1gk2cn1cn2)∗gk3gk4cn3cn4 (3.15)

Wyliczone przy pomocy powyższych wzorów wartości J i U przedstawione zostały w prawejczęści (3.2). Jak należałoby się spodziewać, zwiększanie potencjału sieci optycznej prowadzi dospadku tunelowania pomiędzy sąsiednimi oczkami sieci (przeskoki atomów pomiędzy oczkami)i wzrostu U (odpychanie atomów znajdujących się w tym samym oczku).

Rozdział 3. Jednowymiarowe sieci optyczne 16

3.2 Jednowymiarowa supersieć

W obecnym podrozdziale zajmiemy się analizą sieci optycznej, której potencjał posiada dwaminima w jednej komórce elementarnej:

V (x) = V0[sin2(kLx) + ε sin2(2kLx)]. (3.16)

Szczegółowa analiza potencjału (3.16) dla rezonansowego przypadku (patrz poniżej) przy użyciuanalitycznego podejścia została zawarta w pracy [12]. W pracy [13] dodatkowo analiza zostałarozszerzona dla potencjałów bez rezonansu, przy czym wykorzystano w tym celu metodę MLWF(patrz podrozdział (2.3)). Tutaj zostanie pokazane, że użycie metody diagonalizacji operatorapołożenia daje wyniki zgodne z tymi przedstawionymi w wyżej wymienionych pracach.

Modyfikując parametry ε i V0 możemy doprowadzić do sytuacji, w której 2 i 3 pasmo Blochabędą się przecinać, a ich średnia energia będzie równa. Dla przybliżenia harmonicznego możnawyliczyć, że warunkiem tego rezonansu jest ε = V0/(16Er). Ze względu na degenerację energii,nie możemy ograniczyć się do jednego α przy konstrukcji funkcji Wanniera. Z tego powodu:

|wxi,n〉 =∑α

∑k

g(xi,α)k |ψk,α〉, (3.17)

gdzie sumowanie przebiega po α leżących w zdegenerowanym paśmie. W naszym przypadku,w każdej komórce elementarnej sieci znajdują się dwa minima o różnej głębokości. Pierwszepasmo energetyczne odpowiada energii stanu zlokalizowanego w głębszym minimum. Drugiei trzecie pasmo natomiast posiadają energie pozwalające na lokalizację w obu minimach - stądfunkcje Wanniera dobrze jest zdefiniować jako kombinacje stanów należących do obu pasm, skądotrzymujemy stany zlokalizowane na każdym z minimów z osobna - w przypadku głębokiegominimum będą to stany wzbudzone p, natomiast dla płytkiego minimum stany s. Uzyskane me-todą diagonalizacji operatora położenia funkcje Wanniera w dwóch przypadkach: rezonansowym(ε = 2, V0 = 32Er) oraz odległym od rezonansu (ε = 1, V0 = 32Er) zostały przedstawione narys. (3.3). Otrzymane funkcje zachowują wszystkie własności funkcji wyliczonych metodami ana-litycznymi i MLWF - szczególnie ważny jest eksponencjalny spadek wartości funkcji. Kolejnymtestem zgodności funkcji otrzymanych przez diagonalizację operatora położenia jest policzeniewprowadzonych w modelu Bosego-Hubbarda tunelowań pomiędzy funkcjami zlokalizowanymiw różnych oczkach potencjału.

Ponieważ w sąsiednich oczkach mamy do czynienia z różnymi stanami, możemy zdefinio-wać 4 podstawowe współczynniki tunelowania: tunelowanie Js pomiędzy dwoma najbliższymi(a więc oddalonymi o a) stanami s, tunelowanie Jp pomiędzy dwoma najbliższymi stanami p,i dwa tunelowania: Jr i Jl pomiędzy sąsiadującymi stanami s i p. Inna wartość tunelowaniastanu p w jedną i w drugą stronę wynika z tego, że funkcja jest niesymetryczna, ale ze względuna jej parzystość Jr = −Jl, stąd można zdefiniować Jsp ≡ |Jr|. Aby wyliczyć wartości Ji w na-szym modelu, musimy uwzględnić w wyprowadzeniu (3.14) więcej niż jedno pasmo energetycznei więcej niż jedną funkcję wanniera. Dla funkcji w1(x) i w2(x) oddalonych od siebie o l długościsieci otrzymujemy (wykorzystując m.in. ortogonalność stanów różnych pasm Blocha):

J1,2,l =∑α

∑k

(g

(1,α)k

)∗g

(2,α)k Ek,αe

−2πikl. (3.18)

W szczególności, dla Js i Jp mamy w1(x) = w2(x) i l = 1, natomiast dla Jsp mamy w1(x) 6= w2(x)i l = 0. Średnią energię Ei danego stanu opisanego wi(x) da się wyliczyć z powyższego wzorujako: Ei = Ji,i,0. Wyliczone w ten sposób wartości Ei i Ji dla ustalonego V0 = 32Er i ε zmiennegood 1 do 3 zostały przedstawione na wyk. (3.4).

17 3.3. Inny przykład sieci podwójnej

-4 -2 0 2 410-35

10-29

10-23

10-17

10-11

10-5

xa

ÈwHxL2

-4 -2 0 2 4

10-18

10-14

10-10

10-6

0.01

xa

ÈwHxL2

Rysunek 3.3: Kwadrat modułu funkcji Wanniera w skali liniowej (góra) i logarytmicznej (dół)dla (a): przypadku rezonansowego (ε = 2, V0 = 32Er) i (b): przypadku odległym od rezonansu(ε = 1, V0 = 32Er). Ciągłą, czarną linią przedstawiona została funkcja stanu p, a czerwoną,przerywaną stanu s. Niebieska, przerywana linia przedstawia wartości potencjału (skala nie-przedstawiona na wykresie)

Ep Es

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

35.

40.

45.

50.

55.

Ε

EjE

r

Jsp Jp Js

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

10-4

0.001

0.01

0.1

1

Ε

ÈJ iÈE r

Rysunek 3.4: Wykresy średnich energii w stanach s i p oraz tunelowań pomiędzy tymi stanamidla V0 = 32Er w zależności od wartości ε

Otrzymane wyniki są w pełni zgodne z tymi otrzymanymi metodą MLWF - a więc, w prze-ciwieństwie do wyników otrzymanych metodą analityczną, Js 6= Jp dla rezonansowej wartościε.

3.3 Inny przykład sieci podwójnej

W obecnym podrozdziale rozpatrzmy potencjał:

V (x) = V1 sin2(klx+ ϕ0) + V2 sin2(2klx+ θ0 + 2ϕ0). (3.19)

Jedyną różnicą pomiędzy potencjałem (3.19) i (3.16) jest przesunięcie dla V2 o θ0. ϕ0 pozwalana ustawienie potencjału tak, żeby oba minima były ustawione symetrycznie po obu stronach

Rozdział 3. Jednowymiarowe sieci optyczne 18

x = 0. Opis takiego potencjału przy użyciu funkcji Wanniera znalezionych metodą MLWF zostałzawarty w pracy [14]. Okazuje się, że także w tym przypadku metoda diagonalizacji operatorapołożenia daje podobne wyniki.

Rozważane tam przypadki dotyczyły takich wartości V1, V2 i θ0, że dwa najniższe pasmaBlocha mają energię powyżej wartości tych minimów. Przez to, rozpatrując przestrzeń rozpiętąprzez stany z obu tych pasm możemy uzyskać dwie funkcje Wanniera zlokalizowane odpowiedniow pierwszym i drugim z minimów (oznaczmy te minima A i B). Dla θ 6= 0 potencjał (3.19)nie jest symetryczny względem swoich minimów. Możemy tym samym wprowadzić 5 różnychwspółczynników tunelowania, liczone dla funkcji wiA i wiB, zlokalizowanych odpowiednio w i-tym minimum A i B odpowiednio(schematycznie przedstawione na wyk. (3.5):

• Tunelowania Jν = −〈wiν |H|w(i+1)ν〉

• Tunelowanie TAB = −〈wiA|H|wiB〉

• Tunelowania JAB± = −〈wiA|H|w(i±1)B〉

Rysunek 3.5: Schematyczne przedstawienie tunelowań pomiędzy stanami w minimach A i B(schemat pochodzi z pracy [14])

Do obliczenia funkcji Wanniera i tunelowań można zastosować metody użytej w poprzednimpodrozdziale. Znalezione w ten sposób funkcje Wanniera dla przypadku V1 = 10Er, V2 = 20Eri θ0 = π

2 przedstawione są na wykresie (3.6). Jak widać, także i tutaj znalezione funkcje są

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

xa

ÈwHxL2

-4 -2 0 2 4

10-20

10-15

10-10

10-5

1

xa

ÈwHxL2

Rysunek 3.6: Kwadrat modułu funkcji Wanniera w skali liniowej (lewa strona) i logarytmicznej(prawa strona); czarny kolor - funkcja zlokalizowana w A, czerwony - w B.

eksponencjalnie zlokalizowane. Współczynniki Jν , TAB i JAB± zostały wyliczone dla różnych

19 3.3. Inny przykład sieci podwójnej

wartości θ i V2 w zakresie zmienności takim samym, jak w pracy M. Modugno w celu porównaniawyników. Znalezione metodą diagonalizacji operatora położenia wartości przedstawione zostałyna wykresach (3.7). Wartości zgadzają się z tymi, które zostały otrzymane metodą z MLWF, za

JA JB TAB JAB- JAB+

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

10-4

0.001

0.01

0.1

1

ΘΠ

JT

AB

JA,JB TAB JAB-JAB+

10 15 20 25 30 35 40

10-5

10-4

0.001

0.01

0.1

1

V2

Er

JT

AB

Rysunek 3.7: Zależność tunelowań J od θ0 (dla V1 = 5Er i V2 = 20Er, lewa strona) i od V2 (dlaV1 = 5Er i θ0 = π

2 , prawa strona)

wyjątkiem wartości JAB+ dla θ0 = π2 - dla wyników otrzymanych przez diagonalizację operatora

położenia JAB+(θ0) jest funkcją malejącą dla θ0 ∈ [0,π2 ], podczas gdy otrzymane metodą MLWFJAB+(θ0) posiada w tym zakresie minimum w okolicach θ0 = 0.4π.

Rozdział 3. Jednowymiarowe sieci optyczne 20

Rozdział 4

Dwuwymiarowe sieci optyczne

4.1 Wprowadzenie

Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, także dla dwóch wymiarów możemy zna-leźć funkcje Wanniera poprzez diagonalizację operatorów położenia. Dla danego potencjałujesteśmy w stanie określić wektory sieci ~a1, ~a2 i wektory sieci krystalicznej ~b1 i ~b2. W tymprzypadku wektory ~G z sum we wzorach (2.2) i (2.6) możemy sparametryzować przez n1 i n2

takie, że ~G = n1 ~b1 + n2 ~b2, więc V ~G ≡ Vn1,n2 oraz c ~G ≡ cn1,n2 . Postępując podobnie jak w przy-padku jednowymiarowym otrzymujemy analogiczne do (3.2) równanie:

Er

(~k + n1 ~b1 + n2 ~b2

kl

)2

c(~k,α)n1,n2 +

∑n′1,n

′2

Vn1−n′1,n2−n′2c(~k,α)n′1,n

′2

= E~kc(~k,α)n1,n2 (4.1)

Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, ograniczmy rozważaną tutaj sieć do L×L oczek(znowu dla uproszczenia przyjmijmy L = 2s+1, s ∈ Z), przez co dozwolone wartości kwazipędumają postać:

~k =m1

L~b1 +

m2

L~b2 (4.2)

3by dodatkowo ułatwić wyliczenia, można posłużyć się sposobem wykorzystanym w pracy[2]: zamiast diagonalizować operatory x i y, użyjemy operatorów r1 i r2 zdefiniowanych jako:

r1 = ~b1 ·(xy

)(4.3)

r2 = ~b2 ·(xy

)(4.4)

Element macierzowy Rm,m′ ≡ Rm1,m2;m′1,m′2 wyliczymy całkując po obszarze rozpatrywanejsieci, stąd normalizacja funkcji Blocha:

1√A

=1√L2S

=1

L√a1xa2y − a1ya2x

, (4.5)

gdzie S jest polem powierzchni komórki elementarnej. Układ współrzędnych x i y przyjmijmytak, że (0,0) leży w środku obszaru całkowania. Przydatna jest transformacja zmiennych (x,y)→(λ1,λ2) taka, że całkowanie będzie przebiegać od 0 do 1:

x = L[(λ1 − 12)a1x + (λ2 − 1

2)a2x]y = L[(λ1 − 1

2)a1y + (λ2 − 12)a2y]

, (4.6)

21

Rozdział 4. Dwuwymiarowe sieci optyczne 22

przy czym: ∣∣∣∣∣ ∂x∂λ1 ∂x∂λ2

∂y∂λ1

∂y∂λ2

∣∣∣∣∣ = L2(a1xa2y − a1ya2x). (4.7)

Korzystając z (4.3),(4.4) i (4.6) można wyliczyć, że operatory ri wewnątrz całki po zmianietransformacji będą miały postać:

r1 → 2πλ1 − πLr2 → 2πλ2 − πL

(4.8)

Możemy wreszcie przystąpić do wyliczenia elementu macierzowego operatora ri:

Rim,m′ =∫∫

dxdy(ψ~k,α(x))∗riψ~k′,α(x) =∫ 1

λ1=0

∫ 1

λ2=0dλ1dλ2

∑n,n′

(c(~k,α)n )∗c(~k′,α)

n′ (2πLλi − πL)·

· exp[(n′1 − n1 +

m′1 −m1

L

)~b1 · ~r +

(n′2 − n2 +

m′2 −m2

L

)~b2 · ~r

]=

=∑n,n′

(−1)n′1−n1+n′2−n2+m′1−m1+m′2−m2(c(~k,α)

n )∗c(~k′,α)n′ ·

·∫ 1

λ1=0

∫ 1

λ2=0dλ1dλ2(2πLλi − πL)eit1λ1eit2λ2 ,

(4.9)

gdzie ti ≡ 2π[L(n′i − ni) +m′i −mi]. Wykorzystując (3.9) i (3.10) otrzymujemy wynik:

R1(2)m,m′ = −

∑n,n′

iL

t1(2)(−1)n

′1−n1+n′2−n2+m′1−m1+m′2−m2(c(~k,α)

n )∗c(~k′,α)n′ , (4.10)

jeżeli t1(2) 6= 0 i t2(1) = 0, natomiast w innych przypadkach R1(2) = 0.Funkcje Wanniera chcemy otrzymać jako wektory własne operatorów r1 i r2, a więc pierw-

szym krokiem jest diagonalizacja macierzy odpowiadającej któremuś z tych operatorów (np.r1). Przykładowe wartości własne otrzymane dla operatora r1 (dla L = 7 i prostego potencjału)przedstawione są na wykresie (4.1). Aby otrzymać stany zlokalizowane zarówno w r1 jak i w r2,

æ æ æ æ æ æ æ

æ æ æ æ æ æ æ

æ æ æ æ æ æ æ

æ æ æ æ æ æ æ

æ æ æ æ æ æ æ

æ æ æ æ æ æ æ

æ æ æ æ æ æ æ

0 10 20 30 40 50

- 15

- 10

- 5

0

5

10

15

r1

Rysunek 4.1: Wartości własne otrzymane w wyniku diagonalizacji operatora położenia

w podprzestrzeni rozpiętej na zdegenerowanych stanach własnych do określonej wartości własnej(np. 0) należy zdiagonalizować drugi operator. Otrzymane w wyniku tego działania stany wła-sne są już niezdegenerowane i mają postać analogiczną do (3.17). Podobnie jak w przypadku

23 4.2. Sieć trójkątna

jednowymiarowym, można tę metodę rozszerzyć na bardziej skomplikowane przypadki, którewymagają wykorzystania więcej niż jednego pasma Blocha przy konstrukcji funkcji Wanniera.

Można w prosty sposób policzyć wartość tunelowania J1,2,l1,l2 pomiędzy stanami opisanymifunkcjami w1(x)(zlokalizowaną w pewnym oczku sieci) i w2(x)(zlokalizowaną w oczku sieci od-dalonym o ~R = l1~a1 + l2~a2):

J1,2,l1,l2 =∑α

∑k

(g

(1,α)~k

)∗g

(2,α)~k

E~k,αe−2πi(kl1+kl2). (4.11)

4.2 Sieć trójkątna

Jako przykład rozpatrzmy sieć trójkątną, którą można uzyskać wykorzystując światło z 3laserów, z których każdy ustawiony jest pod kątem 120. Potencjał opisujący taki układ mapostać:

V (x,y) = −V0

[3 + 4 cos

(32klx

)cos

(√3

2kly

)+ 2 cos

(√3kly

)]. (4.12)

Rysunek 4.2: Wykres konturowy po-tencjału (4.12) z oznaczeniami tunelo-wań

Wykres konturowy przedstawiający dany potencjałjest przedstawiony na rys. (4.2) Dla tej sieci mamy~a1 = ( 4π

3kl, 0), ~a2 = 4π

6kl(1,√

3), b1 = (32kl,−

√3

2 kl),

b2 = (0,√

3). W dalszym opisie przyjmijmy taki układjednostek, w którym kl = 1.

Opisaną w poprzednim porozdziale metodą możnawyliczyć funkcję Wanniera dla stanu podstawowego. Nawykresie (4.3) przedstawiona została taka funkcja dlapotencjału o V0 = 0.4Er. Można zobaczyć, że funkcjaposiada symetrię sieci. Na wykresie (4.4) wykreślonyjest przekrój funkcji |w(x,y)|2 dla y = 0 w logarytmicz-nej skali. Wyraźnie widać eksponencjalny zanik warto-ści funkcji w miarę oddalania się od oczka, w którymfunkcja jest zlokalizowana.

Dla otrzymanych funkcji Wanniera możemy poli-czyć tunelowanie między oczkami, J10, J11 i J20 (któ-rych oznaczenia są zapisane na rys. (4.2) korzystając ze wzoru (4.11) (przy czym funkcja Wan-niera jest tylko jedna, więc indeksy dolne oznaczają l1 i l2).

Otrzymane wartości przedstawione zostały na wykresie (4.5).

Rozdział 4. Dwuwymiarowe sieci optyczne 24

Rysunek 4.3: Lewa strona: funkcja Wanniera w(x,y) stanu podstawowego dla potencjału V0 =0.4Er; prawa strona: wykres gęstości |w(x,y)|2 tej samej funkcji

-15 -10 -5 0 5 10 15

10-8

10-6

10-4

0.01

1

x

ÈwHx,0

L2

Rysunek 4.4: Wykres funkcji |w(x,0)|2w skali logarytmicznej

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

ì

ì

ì

ì

ì

ì

ì

ì

ì

ì

ì

J10

J11

J20

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

10-10

10-8

10-6

10-4

0.01

1

V0

Er

ÈJÈE

r

Rysunek 4.5: Wartość J pomiędzy sąsied-nimi oczkami sieci w zależności od V0 w za-kresie od 0.1 do 3

4.3 Potencjał dwuwymiarowy z dwoma minimami

Rozważane w podrozdziałach 3.2 i 3.3 potencjały zawierające dwa minima można rozszerzyćdo dwóch wymiarów. Jednym ze sposobów na to jest dodanie do potencjału (3.19) zależnościw prostopadłym kierunku, dzięki czemu otrzymujemy potencjał:

V (x,y) = Vx sin2(kx) + V1 sin2(ky) + V2 sin2(2ky +ϕ

2). (4.13)

Powyższy potencjał rozpatrywany jest w pracy [15]. Jednym z założeń na których bazowaliautorzy pracy było to, że istnieją tunelowania „na ukos” (Jps+ i Jps−, dokładniej opisane po-niżej, wyk. (4.7)). Okazuje się, że dla takiego potencjału te tunelowania są równe 0. W dalszejczęści podrozdziału pokażę lekko zmieniony potencjał, dla którego te tunelowania są różne od0.

Można potencjał (4.13) zmodyfikować, jeżeli rozpatrzymy wektory k1 i k2 o różnej długości,które nie muszą przecinać się pod kątem prostym. W szczególności, możemy przyjąć |~k2| =0.5|~k1|, ~k1 = (k, 0), i oznaczyć jako α miarę odstępstwa kąta pomiędzy ~k1 i ~k2 od kąta prostego

25 4.3. Potencjał dwuwymiarowy z dwoma minimami

(α = π2 − θ~k1,~k2). Wtedy:

V2(x,y) = Vx sin2(k(x cosα+ y sinα)) + V1 sin2(0.5ky) + V2 sin2(ky +ϕ

2). (4.14)

W ogólności, w kierunku określonym przez ~k2 będą dwa minima o różnej głębokości. Mo-żemy tak dobrać parametry, żeby drugie i trzecie pasmo energetyczne (odpowiadające stanowis w płytszym oczku i px w głębszym oczku) miały zbliżone energie. Odpowiednie parametryto np. Vx = 14.5Er, V1 = 12Er, V2 = 18Er, ϕ = 0.6π. Relacje dyspersji dla takich wartościparametrów dla α = 0 przedstawione są na rys. (4.6), a wykresy konturowe potencjału dla α 0i π/4 znajdują się na odpowiednio lewej i prawej stronie rys. (4.7). Dodatkowo na pierwszym

G X M G X '

0

5

10

15

20

G X M G X '

0

5

10

15

20

25

30

Γ X

MX '

b1b2

Rysunek 4.6: Cztery najniższe pasma energetyczne dla potencjału (4.14) narysowane dla ~kz pierwszej strefy Brillouina idąc po ścieżce przedstawionej w prawej części wykresu. Dodatkowozaznaczono wartości potencjału dla najgłębszego minimum wzdłuż x (lewa strona) i wzdłuż y(środek).

wykresie zaznaczone zostały kierunki największych tunelowań.Uwzględniając oba pasma przy wyliczaniu funkcji Wanniera możemy znaleźć metodą diago-

nalizacji operatora położenia funkcje odpowiadające obu tym stanom. Przykłady znalezionychfunkcji (dla przypadku α = 0 i α = π/4) przedstawione są na wykresie (4.8).

Posiadając funkcje Wanniera, możemy przystąpić do wyliczenia energii stanów i tunelowań(oznaczonych na rys. (4.7)) korzystając z (4.11). Wyliczone wartości w zależności od kąta αzostały przedstawione na wykresie (4.9). Widać, że już dla niewielkich wartości α pojawiająsię tunelowania pomiędzy stanami s i p. Poza tym można zobaczyć, że istnieje wartość α 6= 0(α ≈ 0.117π), dla której wartość jednego z tunelowań „na ukos” (Jsp−) gwałtownie się obniża.

Rozdział 4. Dwuwymiarowe sieci optyczne 26

Rysunek 4.7: Potencjał (4.14) dla Vx = 14.5Er, V1 = 12Er, V2 = 18Er, ϕ = 0.6π, lewa strona:α = 0, prawa strona: α = π/4; dodatkowo po lewej stronie zostały zaznaczone oznaczeniatunelowań.

Rysunek 4.8: Wykresy konturowe znalezionych funkcji z nałożonymi położeniami minimów po-tencjału; lewa strona: α = 0, prawa strona: α = π/4; góra: stan s, dół: stan px

27 4.3. Potencjał dwuwymiarowy z dwoma minimami

Js Jp Jps Jsp

Jps- Jps+

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

10-6

10-5

10-4

0.001

0.01

0.1

1

ΑΠ

ÈJ iÈE r

Rysunek 4.9: Wartości tunelowań |J |/Er w zależności od kąta α

Rozdział 4. Dwuwymiarowe sieci optyczne 28

Rozdział 5

Podsumowanie

W mojej pracy przedstawiłem podstawowe zasady działania i opisu sieci optycznych, w któ-rym szczególną rolę odgrywają funkcje Wanniera. Rozważając różnej postaci nieseperowalnesieci, supersieci, etc. (np. [15]) można pokazać topologiczne efekty występujące w tych sieciach.W celach dokładnej analizy fizyki takich sieci istnieje zapotrzebowanie na metody pozwalającena konstrukcję tych funkcji dla nietrywialnych potencjałów wspomnianych wcześniej sieci.

Do znajdywania funkcji Wanniera najczęściej korzysta się podejścia opartego na MLWF[9]. Na przykładach jednowymiarowych sieci pokazałem, że inne podejście opierające się nadiagonalizacji macierzy operatora (operatorów) położenia, które zostało użyte w [1] daje dlarozpatrywanych sieci wyniki, które są zgodne z metodą MLWF. Poza tym, użyłem tej metodytakże dla dwuwymiarowych potencjałów pokazując szeroki zakres jej stosowalności.

29

Rozdział 5. Podsumowanie 30

Bibliografia

[1] Ulf Bissbort. Dynamical effects and disorder in ultracold bosonic matter. PhD thesis, 2012.

[2] Thomas Uehlinger, Gregor Jotzu, Michael Messer, Daniel Greif, Walter Hofstetter, UlfBissbort, and Tilman Esslinger. Artificial graphene with tunable interactions. Phys. Rev.Lett., 111:185307, Oct 2013.

[3] Rudolf Grimm, Matthias Weidemuller, and Yurii B Ovchinnikov. Optical dipole traps forneutral atoms. Advances in atomic, molecular, and optical physics, 42:95–170, 2000.

[4] Neil W. Ashcroft and N. David Mermin. Fizyka ciała stałego. PWN, Warszawa, 1986.

[5] Gregory H. Wannier. The structure of electronic excitation levels in insulating crystals.Phys. Rev., 52:191–197, Aug 1937.

[6] W. Kohn. Analytic properties of bloch waves and wannier functions. Phys. Rev., 115:809–821, Aug 1959.

[7] Christian Brouder, Gianluca Panati, Matteo Calandra, Christophe Mourougane, and NicolaMarzari. Exponential localization of wannier functions in insulators. Phys. Rev. Lett.,98:046402, Jan 2007.

[8] I. Schnell, G. Czycholl, and R. C. Albers. Hubbard-u calculations for cu from first-principlewannier functions. Phys. Rev. B, 65:075103, Jan 2002.

[9] Nicola Marzari and David Vanderbilt. Maximally localized generalized wannier functionsfor composite energy bands. Physical review B, 56(20):12847, 1997.

[10] Steven Kivelson. Wannier functions in one-dimensional disordered systems: Application tofractionally charged solitons. Physical Review B, 26(8):4269, 1982.

[11] Dieter Jaksch and Peter Zoller. The cold atom hubbard toolbox. Annals of physics,315(1):52–79, 2005.

[12] Wojciech Ganczarek. Ultracold atoms in optical lattices: One-dimensional superlatticeswith s-p resonance. Master’s thesis.

[13] Wojciech Ganczarek, Michele Modugnio, Giulio Pettini, and Jakub Zakrzewski. One-dimensional sp superlattice. arXiv preprint, 2014.

[14] Michele Modugno and Giulio Pettini. Maximally localized wannier functions for ultra-cold atoms in one-dimensional double-well periodic potentials. New Journal of Physics,14(5):055004, 2012.

[15] Xiaopeng Li, Erhai Zhao, and W Vincent Liu. Topological states in a ladder-like opticallattice containing ultracold atoms in higher orbital bands. Nature communications, 4:1523,2013.

31