Wprowadzenie do teorii grafówzrzut.edl.pl/md/grafy_w1_4.pdfWagę drogi nazywamy czasem długością tej drogi

5.05.08 Dr inż. Krzysztof Lisiecki 1

Wprowadzenie do teorii grafów


Reguły gry (1):

Nie używamy telefonów

Uczymy się systematycznie

Zaliczamy

w terminie




Kontakt:

konsultacje poniedziałek 8.45 – 10.15 (pokój wykładowców)

e-mail : [email protected] lub [email protected]

http: www.lisiecki.org.pl (materiały dydaktyczne, terminy, ważne komunikaty)

tel. do pok. 512 (akwarium) (0-42) 631-36-15

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

http://www.lisiecki.org.pli/


Reguły gry:Sposób zaliczenia przedmiotu:• Kolokwium wykładowe (30 pytań, każde 1p.)• Praca domowa max. 6 punktów• Przeliczanie punktów

na oceny

532-36 p.

4,530-31 p.

427-29 p.

3,524-26 p.

318-23 p.



Reguły gry (3):• Terminy wykładów:

poniedziałki 10.15-12.00

• Termin zaliczenia – przedostatni wykład 2.06.2007r. (poniedziałek) godz. 10.15

• Termin oddania pracy domowej - 9.06 (ostatni wykład)




Czy można przejść przez wszystkie mosty, przez każdy przechodząc dokładnie jeden raz?



x

rzeka Pregoła

wyspa Kneiphof

Czy można przejść przez wszystkie mosty, przez każdy przechodząc dokładnie jeden raz?



Odpowiedź na postawione pytanie jest negatywna i wynika z twierdzenia, które zapoczątkowało teorię grafów:

W grafie można znaleźć cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy graf jest spójny i każdy jego wierzchołek ma parzysty stopień.



Grafem nazywamy parę G=(X,G), złożoną ze skończonego zbioru punktów X oraz skończonego zbioru linii G. Punkty ze zbioru X nazywamy wierzchołkami grafu G, a linie zbioru G krawędziami grafu.



Krawędzie stanowią połączenia pomiędzy wierzchołkami grafu.

Dopuszczamy przy tym, aby krawędź łączyła wierzchołek sam ze sobą. Nazywamy ją wtedy pętlą.



Schematycznie graf przedstawiamy w postaci rysunku.





Zagadnienie mostów królewieckich (L.Euler, 1736)

Zagadnienie najkrótszej drogi (algorytm Dijkstry)

Problem chińskiego listonosza(Mei Ku Kwan, 1962)

Problem komiwojażera (cykl Hamiltona)




Wprowadzenie do teorii grafówInne zastosowania

Analiza wzorów strukturalnych związków chemicznychAnaliza obwodów elektrycznychProblemy kolorowania map (twierdzenie o czterech barwach)Problem kojarzenia małżeństw



Krawędź łączącą wierzchołki Xi oraz Xj będziemy zapisywać jako parę nieuporządkowaną Xi , Xj . Gdy nie da się stwierdzić, który z wierzchołków jest początkiem, a który końcem krawędzi to taki graf nazywamy nieskierowanym.



Gdy określimy, który z wierzchołków jest początkiem, a który końcem krawędzi, to wówczas taką krawędź nazywamy łukiem. Łuk łączący wierzchołek Xi z wierzchołkiem Xj (od wierzchołka Xi do wierzchołka Xj ) będziemy zapisywać jako parę uporządkowaną (Xi , Xj ).



Graf G=(X,G), nazywamy nieskierowanym (niezorientowanym) , gdy zbiór G składa się z samych krawędzi.



Graf G=(X,G), nazywamy digrafem (directed graph) lub grafem skierowanym (zorientowanym), gdy zbiór G składa się z samych łuków.



Grafem pustym nazywamy graf składający się jedynie z wierzchołków, nie zawierający żadnych krawędzi.



Podgrafem grafu G=(X,G), nazywamy każdy graf G’=(X’,G’) taki, że

X’X oraz G’ G .

Dopuszczamy przypadki, gdy X’=X lub G’=G .



Przykładem podgrafu danego grafu jest on sam.Przykładem podgrafu jest także dowolny graf powstały z danego grafu przez usunięcie z niego dowolnej liczby krawędzi (nawet wszystkich ) lub dowolnej liczby wierzchołków (nie wszystkich)



Przykład podgrafu



Grafem prostym nazywamy graf, który nie zawiera pętli i, w którym zbiór krawędzi jest zbiorem bez powtórzeń.

Multigrafem nazywamy graf, w którym zbiór krawędzi zawiera powtórzenia.



Grafem zupełnym (grafem pełnym) nazywamy graf, w którym dla każdej pary wierzchołków istnieje krawędź łącząca te wierzchołki.Graf zupełny o n wierzchołkach oznaczamy często Kn



Przykłady grafów zupełnych









Dopełnieniem grafu G nazywamy graf o tym samym zbiorze wierzchołków, który zawiera te wszystkie krawędzie grafu zupełnego o zbiorze wierzchołków , które nie występują w grafie G.



Wymiarem grafu G nazywamy liczbę jego

wierzchołków. Oznaczamy ją dimG



Grafem rzadkim nazywamy graf, w którym liczba krawędzi ( łuków) jest dużo mniejsza od kwadratu liczby wierzchołków

Grafem gęstym nazywamy graf, w którym liczba krawędzi ( łuków) jest bliska kwadratowi liczby wierzchołków.



Jeżeli do wierzchołka Xi „dochodzi” krawędź gk, to mówimy, że wierzchołek Xi jest incydentny z krawędzią gk. Dwa wierzchołki incydentne z tą samą krawędzią nazywamy sąsiednimi lub zależnymi. Inaczej mówiąc, dwa wierzchołki sąsiadują ze sobą, jeżeli istnieje krawędź (łuk) łącząca te wierzchołki.



Mówimy, że wierzchołek jest izolowany, jeśli nie jest incydentny z żadną krawędzią.



Stopniem wierzchołka w grafie (nieskierowanym) nazywamy liczbę krawędzi grafu incydentnych z tym wierzchołkiem. stopień wierzchołka Xi

oznaczać będziemy deg Xi.

Każda pętla w wierzchołku zwiększa jego stopień o 2.

Wierzchołek izolowany ma stopień zero.



Przykład



Jeśli graf posiada m krawędzi oraz

∑=

=n

ii mX

12deg

nXXX ,...,1= to



Wniosek

W dowolnym grafie jest parzysta ilość wierzchołków nieparzystego stopnia.



Graf nazywamy regularnym, gdy każdy jego wierzchołek ma ten sam stopień.



Drogą w grafie G (zorientowanym lub nie) nazywamy każdy ciąg

X g X X g Xn n n1 1 2 1, , ,..., , , +

taki, że koniec jednej krawędzi (łuku) jest początkiem innej.

X X X g g Gn n1 1 1,..., , ,...,+ ∈ ∈



Drogę w grafie G nazywamy zamkniętą, gdy

X Xn+ =1 1



Drogę w grafie nazywamy elementarną, gdy wszystkie jej wierzchołki są różne.

Drogę w grafie nazywamy prostą, jeżeli wszystkie jej krawędzie (łuki) są różne.

Drogę prostą zamkniętą nazywamy cyklem (obwodem).

Cykl nazywamy elementarnym, jeżeli jest drogą elementarną (wszystkie wierzchołki są różne).



Graf, który nie zawiera cykli nazywamy grafem acyklicznym.

Drogą acykliczna nazywamy drogę, dla której graf składający się z wierzchołków i łuków tworzących drogę jest acykliczny.



TwierdzenieJeżeli droga zamknięta X g X X g Xn n1 1 2 1, , ,..., , ,

jest długości co najmniej 3 i wierzchołki X X n1 ,..., są różne, to jest cyklem.



Mówimy, że droga ma długość n jeśli jest postaci

oraz przyporządkowanie łukowi pary wierzchołków

jest funkcją.

X g X X g Xn n n1 1 2 1, , ,..., , , +

( , )X Xi i + 1

Dopuszczamy sytuacje, w których łuk łączy wierzchołek ze sobą. Taką drogę nazywamy pętlą.



Odległością między dwoma wierzchołkami w grafie nazywamy długość najkrótszej drogi łączącej te wierzchołki.

Średnicą grafu nazywamy maksimum spośród wszystkich odległości między wierzchołkami grafu.



Poniżej widzimy graf o średnicy 4



Grafem z wagami (grafem ważonym) nazywamy graf, w którym każdej krawędzi (łukowi) przypisana jest pewna liczba nieujemna zwana wagą danej krawędzi. Innymi słowy, na zbiorze krawędzi (łuków) każdego grafu możemy określić pewną funkcję, która danej krawędzi (łukowi) łączącej wierzchołek Xi z wierzchołkiem Xk

przypisuje pewna liczbę w(i,k).



Gdy nie istnieje krawędź (łuk) łącząca wierzchołek z wierzchołkiem Xi z wierzchołkiem

Xk wówczas przyjmujemy w(i,k)=, chociaż w

niektórych przypadkach wygodnie jest przyjąćw(i,k)=0.



Wagą drogi w grafie ważonym nazywamy sumę wag krawędzi (łuków) tworzących tę drogę.



Uwaga:

Każdy graf, w którym nie jest określona funkcja wagowa możemy traktować jako graf z wagami przyjmując wagę każdej krawędzi równą jeden. Wówczas droga o najmniejszej wadze łącząca dane dwa wierzchołki jest równa odległości tych wierzchołków.



Wagą grafu nazywamy sumę wag wszystkich jego krawędzi



Waga poniższego grafu wynosi 28.



Graf nazywamy spójnym, jeżeli dla każdej pary jego wierzchołków istnieje droga łącząca te wierzchołki.



Składową spójną grafu nazywamy każdy jego spójny podgraf, który nie jest jednocześnie podgrafem innego grafu spójnego.

Składową spójną jest też wierzchołek izolowany.



Graf o trzech spójnych składowych



Krawędź grafu, której usunięcie zwiększa liczbą jego spójnych składowych nazywamy mostem.

most

most



Twierdzenie

Jeżeli G jest grafem prostym wymiaru n, posiada m krawędzi oraz k spójnych składowych, to spełniona jest nierówność

( ) ( )2

1+−−≤≤− knknmkn



Dla n=8 oraz k=3 mamy 155 ≤≤ m

Rys.1 Rys.2



Wniosek

Jeżeli graf prosty wymiaru ma więcej niż

krawędzi, to jest spójny.

( )( )2

21 −− nn



Wniosek

Jeśli graf prosty jest spójny wymiaru n posiada m krawędzi, to

( )2

11 −⋅≤≤− nnmn



Przykład

Dla n=4 mamy 63 ≤≤ m



Dwa grafy ( )111 GX ,=G oraz ( )222 GX ,=G

nazywamy izomorficznymi, gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie (bijekcja) zbiorów ich wierzchołków takie, że liczba krawędzi łączących dane dwa wierzchołki pierwszego grafu jest równa liczbie krawędzi łączących odpowiadające im wierzchołki grafu drugiego.



Wprost z definicji izomorfizmu grafów wynika, że grafy izomorficzne mają:

ten sam wymiar (liczbę wierzchołków),

tę samą liczbę krawędzi,

tę samą liczbę pętli,

tę sama liczbę wierzchołków o danym stopniu.



Przykład

Rys. a Rys. b


Grafy z rysunków są izomorficzne, a odpowiednie odwzorowanie zbioru wierzchołków grafu z rysunku a) na zbiór wierzchołków grafu z rysunku b) przedstawia poniższa tabelka:

Wierzchołek z grafu z rys. a)

1 2 3 4 5

Wierzchołek z grafu z rys. b)

D A C E B



UWAGA:Spełnienie powyższych czterech warunków dla dwóch grafów nie upoważnia nas jeszcze do stwierdzenia, że są one izomorficzne!



Przykład

Grafy nieizomorficzne spełniające warunki 1-4



Grafem planarnym nazywamy graf, który możemy narysować na płaszczyźnie tak, aby jego krawędzie nie przecinały się.

Uwaga:

Fakt, że rysunek grafu zawiera przecinające się krawędzie nie oznacza, że graf nie jest planarny.



Przykładem jest graf (rys. a), który można narysować w ten sposób, by jego krawędzie nie przecinały się (rys. b). Jest to zatem graf planarny.

Rys. a Rys. b



Twierdzenie

Każdy prosty graf planarny można narysować za pomocą odcinków.









Grafy platońskie, to grafy utworzone z wierzchołków i krawędzi pięciu wielościanów foremnych



Grafy platońskie – czworościan foremny (tetraedr)



Grafy platońskie – sześcian (heksaedr)



Grafy platońskie – ośmiościan foremny (oktaedr)



Grafy platońskie – dwunastościan foremny (dodekaedr)



Grafy platońskie – dwudziestościan foremny (ikosaedr)



Miarą „nieplanarności” grafu jest liczba przecięć.

Liczbą przecięć grafu G nazywamy najmniejszą liczbę przecięć, które muszą wystąpić, aby dany graf narysować na płaszczyźnie. Liczbę przecięć grafu G oznaczamy cr(G).

Dla dowolnego grafu planarnego liczba przecięć jest równa zero.



cr (G). =1



Rysunek grafu planarnego dzieli płaszczyznę na obszary (ściany), z których jeden jest nieograniczony (rys. poniżej).



Twierdzenie Eulera (1750)

Jeżeli G jest grafem planarnym spójnym wymiaru n, posiadającym m krawędzi oraz f ścian, to

2=+− fmn



Przykład

n=8, m=11, f=5 n-m+f=8-11+5=2



Wniosek z tw. Eulera

Jeżeli G jest grafem planarnym wymiaru n, posiadającym k spójnych składowych,m krawędzi oraz f ścian, to

1+=+− kfmn



Przykład

n=9, k=2

m=10, f=4

9-10+4=2+1



Dla danego grafu możemy stworzyć jego opis macierzowy budując:

macierz sąsiedztwa,

macierz incydencji, lub

macierz cykli (obwodów)



Niech G=(X,G) będzie dowolnym grafem

nieskierowanym wymiaru n. Macierzą sąsiedztwa grafu G nazywamy macierz kwadratową,

do wierzchołka

njiija ≤= ,][A

której elementy określamy następująco:aij jest liczbą krawędzi od wierzchołka

X j



Widzimy więc, że elementy macierzy są liczbami dodatnimi lub zerami, przy czym element aij = 0wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje krawędź od wierzchołka X i do wierzchołka X j

Macierz sąsiedztwa grafu nieskierowanego niesie wiele informacji na temat grafu.



wymiar macierzy nn mówi, że graf ma wymiar n (liczba wierzchołków),

ilość jedynek na głównej przekątnej jest równa ilości pętli,

Jeśli graf nie ma pętli, to suma wszystkich elementów macierzy jest równa podwojonej liczbie krawędzi w grafie,



macierz sąsiedztwa grafu nieskierowanego jest macierzą symetryczną,

Jeżeli graf nie ma pętli, to suma elementów i-tego wiersza (i-tej kolumny) jest równa stopniowi wierzchołka



Niech G=(X,G) będzie dowolnym grafem

skierowanym wymiaru n. Macierzą sąsiedztwa grafu G nazywamy macierz kwadratową,

do wierzchołka

njiija ≤= ,][A

której elementy określamy następująco:aij jest liczbą łuków od wierzchołka

X j

X i



Macierz sąsiedztwa grafu skierowanego niesie takie informacje na temat grafu skierowanego jak macierz grafu nieskierowanego. Wystarczy we własnościach 1 –5 zamienić słowo krawędź na słowo łuk.



Przykład

Graf nieskierowany i jego macierz sąsiedztwa

101011110



Przykład

Graf skierowany i jego macierz sąsiedztwa

001210100



Macierzą incydencji grafu wymiaru n bez pętli posiadającego m krawędzi nazywamy macierz A wymiaru nm, której elementy określone są wzorem

−−

= razie przeciwnym w

iemwierzcholktymizincydentna jest krawędźtajeśli,

0

1 jaij



Przykład

Graf i jego macierz incydencji

a b c d e f g

1 1 0 0 0 0 0 0

2 1 1 1 0 0 0 0

3 0 1 0 1 1 0 0

4 0 0 1 1 0 1 1

5 0 0 0 0 1 1 1



Własności macierzy incydencji

Każda kolumna macierzy zawiera dokładnie dwie jedynki,

Liczba jedynek w każdym wierszu jest równa stopniowi odpowiadającego mu wierzchołka,



Własności macierzy incydencji c.d.

2. Wiersz złożony z samych zer reprezentuje wierzchołek izolowany,

3. Krawędzie równoległe tworzą w macierzy identyczne kolumny,




2. Jeśli graf ma dwie spójne składowe, to jego macierz incydencji jest macierzą blokową postaci

2

1

A00A

gdzie macierze w lewym górnym i prawym dolnym rogu są, odpowiednio, macierzami incydencji każdej składowej spójnej grafu



Uwaga:

Jeśli składowych spójnych jest k, to macierz incydencji można zapisać w postaci blokowej

kA00000000A0000A

2

1




2. Permutacja dwóch wierszy lub kolumn w macierzy incydencji odpowiada przeetykietowaniu wierzchołków i krawędzi tego samego grafu.



Wniosek:

Dwa grafy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy i tylko wtedy gdy ich macierze incydencji różnią się tylko permutacją wierszy i kolumn.



Przykład

10000011101011101001



Twierdzenie

Rząd macierzy incydencji grafu spójnego wymiaru n jest równy n-1.



Twierdzenie o rzędzie macierzy grafu spójnego mówi, że jeden z wierszy jego macierzy incydencji jest liniowo zależny od pozostałych. Sugeruje to, że wszystkie informacje o grafie wymiaru n zawarte są w n-1 wierszach macierzy incydencji.



Zredukowaną macierzą incydencji grafu nazywamy macierz otrzymaną z macierzy incydencji przez usunięcie dowolnego wiersza. Macierz ta ma wymiary (n-1)m



Wprost z definicji wynika

Twierdzenie

Macierz incydencji grafu spójnego wymiaru n posiadającego n-1 krawędzi jest nieosobliwą macierzą kwadratową wymiaru n-1



Macierzą cykli (obwodów) grafu posiadającego m krawędzi nazywamy macierz A wymiaru nm, której elementy określone są wzorem

−−

= razie przeciwnym w

krawędźtąjzawiera tyjeśli,

0

1 cykliaij



Przykład

Graf i jego cykle





100000010101010011000110

Macierz cykli grafu



Własności macierzy cykli

Kolumna zer odpowiada krawędzi nie należącej do żadnego cyklu,

Każdy wiersz zawiera te i tylko te krawędzie, które tworzą odpowiadający mu cykl



Własności macierzy cykli c.d.

2. Wiersz odpowiadający pętli zawiera tylko pojedynczą jedynkę,

3. Liczba jedynek w wierszu jest równa liczbie krawędzi w odpowiadającym mu cyklu,



Własności macierzy cykli c.d.

2. Przestawienie dowolnych dwóch wierszy lub kolumn w macierzy cykli odpowiada przeetykietowaniu cykli i krawędzi,

3. Grafy o identycznych macierzach cykli nie muszą być izomorficzne



Zastosowanie macierzy sąsiedztwa

Problemy:

Ile krawędzi łączy dwa dane wierzchołki grafu?

Ile dróg długości n łączy dwa dane wierzchołki grafu?


Wprowadzenie do teorii grafówIle jest dróg łączących

wierzchołek 2 z wierzchołkiem 4 o długości:

b) 1,

c) 2,

d) 3.



Twierdzenie

Jeżeli A jest macierzą grafu o wierzchołkach X1, X2,…,Xn , to element aij w macierzy Am jest

równy liczbie dróg długości m łączących wierzchołek Xi z wierzchołkiem Xj



=

101011110

A

=

211121112

2A

=

323233332

3A



Drogą Eulera w grafie nazywamy każdą drogę prostą, która zawiera wszystkie krawędzie grafu.



Przykład drogi Eulera

66554433211237681 XgXgXgXgXgXgXgXgX ,,,,,,,,,,,,,,,,



Przykład grafu, który nie zawiera drogi Eulera



Cyklem Eulera nazywamy

zamkniętą drogę Eulera.



PrzykładCyklem Eulera jest droga

X g X g X g X g X g X g X g X1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 3 7 1, , , , , , , , , , , , , ,



Twierdzenie

W grafie spójnym, posiadającym co najwyżej dwa wierzchołki stopnia nieparzystego istnieje droga Eulera.



Twierdzenie (Euler, 1736)

Jeżeli graf G posiada cykl Eulera, to jest spójny i każdy jego wierzchołek ma parzysty stopień.



Przykład grafu posiadającego cykl Eulera



Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.

Twierdzenie

Jeżeli graf G jest spójny i stopień każdego wierzchołka jest parzysty to posiada cykl Eulera





Algorytm wyznaczania drogi Eulera w grafie.

Wybieramy w grafie dowolny wierzchołek nieparzystego stopnia. Jeśli taki nie istnieje wybieramy dowolny parzystego stopnia. Wybrany wierzchołek oznaczamy przez X.



1. Dopóki w grafie są krawędzie incydentne z wierzchołkiem X wykonujemy jedną z poniższych czynności



a) jeżeli z wierzchołkiem X jest incydentna dokładnie jedna krawędź g, łącząca ten wierzchołek z wierzchołkiem Y, to podstawiamy X:=Y, zapisujemy g jako kolejny wyraz ciągu oraz usuwamy tę krawędź z grafu.



b) jeżeli z wierzchołkiem X incydentna jest więcej niż jedna krawędź, to wybieramy dowolną, która nie jest mostem o

postępujemy dalej tak jak w punkcie a.



3. a) jeśli otrzymany przez nas ciąg zawiera wszystkie krawędzie grafu oznacza to, że znaleźliśmy drogę Eulera



3. b) jeśli otrzymany przez nas ciąg nie zawiera wszystkich krawędzi grafu oznacza to, że graf nie jest spójny



Przykład

322 ,, XgX



43322 ,,,, XgXgX



5443322 ,,,,,, XgXgXgX



255443322 ,,,,,,,, XgXgXgXgX



11255443322 ,,,,,,,,,, XgXgXgXgXgX



6911255443322 ,,,,,,,,,,,, XgXgXgXgXgXgX



486911255443322 ,,,,,,,,,,,,,, XgXgXgXgXgXgXgX



67486911255443322 ,,,,,,,,,,,,,,,, XgXgXgXgXgXgXgXgX



5667486911255443322 ,,,,,,,,,,,,,,,,,, XgXgXgXgXgXgXgXgXgX



Animacja 1 Animacja 2

http://www.wpk.p.lodz.pl/~lisiecki/graf1.swf

http://www.wpk.p.lodz.pl/~lisiecki/euler.swf



Definicja

Stopniem wejściowym wierzchołka w grafie zorientowanym nazywamy ilość łuków wchodzących do wierzchołka. Stopień wejściowy wierzchołka Xi oznaczamy indegXi .



Definicja

Stopniem wyjściowym wierzchołka w grafie zorientowanym nazywamy ilość łuków wychodzących z wierzchołka. Stopień wejściowy wierzchołka Xi oznaczamy outdegXi .



Wniosek

Dla dowolnego wierzchołka Xi w grafie zorientowanym zachodzi równość

in X out X Xi i ideg deg deg+ =



Twierdzenie

Załóżmy, że graf skierowany traktowany jako nieskierowany jest spójny. Wówczas istnieje w nim cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy stopień wejściowy każdego wierzchołka jest równy jego stopniowi wyjściowemu.



Graf, który nie posiada cyklu Eulera



Graf, który posiada cykl Eulera



Wcześniej podana była zależność między ilością krawędzi w grafie niezorientowanym a sumą stopni wierzchołków. Teraz przytoczymy udowodnione przez Istvana Reimana twierdzenie pozwalające oszacować z góry ilość krawędzi w grafie wymiaru n nie zawierającym cykli o długości 4.



Twierdzenie.

Jeżeli graf G=(X,G) wymiaru n nie zawiera cykli długości 4, to ilość krawędzi m spełnia nierówność

−+⋅≤ )341(

4nnm



Przykład.

Jeśli graf ma wymiar 6 i nie zawiera cykli o długości 4, to

37,8)211(23)3641(

46 ≈+⋅=

−⋅+⋅≤m



Definicja.

Drzewem nazywamy graf spójny bez cykli.



Definicja.

Lasem nazywamy graf bez cykli



Twierdzenie

Niech G będzie grafem wymiaru n. Wówczas następujące stwierdzenia są równoważne:

3. G jest drzewem

4. G nie zawiera cykli i ma n-1 krawędzi

5. G jest spójny i ma n-1 krawędzi



• G jest spójny i każda krawędź jest mostem

• dowolne dwa wierzchołki grafu G są połączone dokładnie jedną droga

• graf G nie zawiera cykli a dołączenie dowolnej nowej krawędzi do G tworzy dokładnie jeden cykl

• G jest grafem acyklicznym mającym n-1 krawędzi



Wniosek

W drzewie o co najmniej dwóch wierzchołkach, co najmniej dwa z nich są stopnia 1.



Definicja

Drzewem ukorzenionym nazywamy drzewo z wyróżnionym wierzchołkiem



Przykład



Definicja.

Dla grafu spójnego G=(X,G) każde drzewo GT=(X,T) takie, że

nazywamy drzewem spinającym grafu G.

GT ⊆



Twierdzenie.

Każdy graf skończony spójny ma drzewo spinające.



Twierdzenie.

Każdy graf skończony ma las spinający.



Twierdzenie (Cayley, 1889)

Graf pełny Kn (dla ) ma n n-2 różnych drzew spinających.

2≥n







Definicja

Wagą drzewa (jako grafu z wagami) nazywamy sumę wag jego krawędzi (łuków).



Przykład

Waga drzewa przedstawionego na rysunku poniżej wynosi 21.



Listy sąsiedztwa, to tablica złożona z list, których liczba jest równa wymiarowi grafu (liczbie jego wierzchołków).

Dla każdego wierzchołka odpowiadająca mu lista składa się z tych, i tylko tych, wierzchołków grafu, które z nim sąsiadują.



Listy sąsiedztwa najlepiej nadają się do reprezentowania grafów rzadkich, natomiast dla reprezentacji grafów gęstych zdecydowanie lepiej wybrać macierz.



Twierdzenie

Suma długości wszystkich list sąsiedztwa grafu (nieskierowanego) jest równa podwojonej liczbie krawędzi tego grafu.

Suma długości wszystkich list sąsiedztwa digrafu (grafu skierowanego) jest równa liczbie łuków tego grafu.



Przykład







Najważniejszymi i najbardziej znanymi algorytmami grafowymi są:

•przeszukiwanie wszerz oraz

•przeszukiwanie w głąb.



W trakcie działania algorytmu przeszukiwania możemy wyróżnić w zbiorze wierzchołków grafu dwa rozłączne podzbiory: wierzchołków już odwiedzonych i wierzchołków jeszcze nie odwiedzonych.



W przypadku drzewa ukorzenionego, narysowanego tak, że korzeń jest na górze granica pomiędzy tymi zbiorami przebiega poziomo dla przeszukiwania wszerz, natomiast pionowo dla przeszukiwania w głąb .



Przeszukiwanie wszerz



Przeszukiwanie w głąb



Algorytm przeszukiwania wszerz polega na kolejnym odwiedzaniu najpierw wierzchołków, których odległość od korzenia wynosi 1, następnie 2, potem 3 itd.

Zatem zanim zagłębimy się bardziej w grafie sprawdzamy wcześniej wszystkie możliwe wierzchołki „na danym poziomie”.



Idea algorytmu przeszukiwania w głąb polega na odwiedzeniu jak największej liczby wierzchołków przesuwając się możliwie najdalej w głąb grafu, a dopiero później przejściu do pozostałych wierzchołków.



W trakcie przeszukiwania grafów za pomocą obu algorytmów budowane jest znakowane drzewo przeszukiwań. Rozpoczynając od korzenia nadajemy każdemu wierzchołkowi etykietę ze zbioru liniowo uporządkowanego, najczęściej ze zbioru n...,,,, 321



Algorytm przeszukiwania grafu wszerz

Zakładamy, że przeszukiwany graf jest reprezentowany przez listy sąsiedztwa. Przeszukiwanie zaczynamy od wierzchołków znajdujących się na liście sąsiedztwa korzenia – przeszukujemy je kolejno dołączając do drzewa przeszukiwań kolejne wierzchołki z listy i łączące je z korzeniem krawędzie.



Następnie przechodzimy do listy sąsiedztwa wierzchołka, który był pierwszy na liście sąsiedztwa korzenia i kolejno przeszukujemy znajdujące się tam wierzchołki dołączając jednocześnie te wierzchołki do drzewa przeszukiwań. Analogicznie postępujemy z listami sąsiedztwa kolejnych wierzchołków znajdujących się na liście sąsiedztwa korzenia.



Po wyczerpaniu się wierzchołków na liście sąsiedztwa korzenia przechodzimy do przeszukiwania wierzchołków znajdujących się na listach sąsiedztwa wierzchołków, które znalazły się na listach sąsiedztwa wierzchołków z listy sąsiedztwa korzenia, itd.



Przykład

Stosując algorytm przeszukiwania wszerz zbudować drzewo przeszukiwań poniższego grafu przyjmując, że korzeniem jest wierzchołek b.





b



b,a



b,a,e



b,a,e,f



b,a,e,f,c



b,a,e,f,c,d



b,a,e,f,c,d,g



b,a,e,f,c,d,g,h

Listy puste - stop



Algorytm przeszukiwania grafów w głąb

Podobnie jak w przypadku algorytmu przeszukiwania wszerz, do przeszukiwania w głąb wygodnie jest reprezentować graf za pomocą list sąsiedztwa.



Przeszukiwanie zaczynamy od korzenia, ale w przeciwieństwie do przeszukiwania wszerz, nie przeszukujemy kolejno wszystkich wierzchołków z listy sąsiedztwa korzenia, ale najpierw jeden z nich (pierwszy) a następnie pierwszy wierzchołek na liście sąsiedztwa tego wierzchołka.



Postępujemy tak do momentu, w którym nie możemy już wejść „głębiej” a dalsze przeszukiwanie wymaga cofnięcia się do poprzednio odwiedzonego wierzchołkai przeszukiwanie kolejnego wierzchołka na liście sąsiedztwa.





b



b,a



b,a,c



b,a,c,g



b,a,c,g,h



b,a,c,g,h,d



b,a,c,g,h,d,e



b,a,c,g,h,d,e,f

Listy puste - stop



Najkrótsze drogi w grafie

Wagę drogi nazywamy czasem długością tej drogi. Jednak nie zawsze waga musi oznaczać długość. Często waga krawędzi w grafie oznacza czas potrzebny na pokonanie jakiegoś odcinka drogi, czas wykonania jakiejś czynności, koszt wykonania tej czynności. Stąd waga drogi oznaczać może łączny czas potrzebny na przebycie tej drogi, łączny czas wykonania jakiejś czynności lub też całkowity koszt.



Problem:

Znaleźć najkrótszą drogę w grafie ważonym, czyli drogę o najmniejszej wadze łączącej dane dwa wierzchołki.



Algorytm Dijkstry Polega na ustaleniu wierzchołka początkowego,przeglądaniu pozostałych wierzchołkówi wybraniu wierzchołka, dla którego waga drogi od wierzchołka początkowego jest najmniejsza. Jednocześnie uaktualniane są najmniejsze wagi dróg od wierzchołka początkowego do innych wierzchołków.



Przykład

Wyznaczyć drogę o najmniejszej wadze (najkrótszą drogę) łączącą wierzchołki A oraz D poniższego grafu z wagami używając algorytmu Dijkstry.



d(A)=0



krok 1

d(B)=mind(B) ; d(A)+5= min∞ ; 5=5 d(F)=mind(F) ; d(A)+3= min∞ ; 3=3



krok 2

d(C)=mind(C) ; d(F)+7= min∞ ; 3+7=10d(I)=mind(I) ; d(F)+5= min∞ ; 3+5=8d(K)=mind(K) ; d(F)+3= min∞ ; 3+3=6.



krok 3

d(E)=mind(E) ; d(B)+2= min∞ ; 5+2=7.

d(G)=mind(G) ; d(B)+6= min∞ ; 5+6=11.



krok 4

d(G)=mind(G) ; d(K)+4= min11 ; 6+4=10

d(J)=mind(J) ; d(K)+5= min∞ ; 6+5=11

d(L)=mind(L) ; d(K)+2= min∞ ; 6+2=8



krok 5

d(I)=mind(I) ; d(E)+1= min8 ; 7+1=8

d(J)=mind(J) ; d(E)+2= min11 ; 7+2=9



krok 6



krok 7

d(G)=mind(G) ; d(L)+8= min10 ; 8+8=10



krok 8



krok 9

d(D)=mind(D) ; d(G)+1= min∞ ; 10+1=11

d(H)=mind(H) ; d(G)+2= min∞ ; 10+2=12



krok 10

d(D)=mind(D) ; d(C)+2= min11 ; 10+2=11

d(H)=mind(H) ; d(G)+2= min12 ; 10+5=12



krok 11



krok 12



W trakcie działania przedstawionego algorytmu każdemu wierzchołkowi przypisana została liczba oznaczająca najmniejszą spośród wag dróg łączących wierzchołek A z tym wierzchołkiem.





Nas interesuje najkrótsza (o najmniejszej wadze) droga łącząca wierzchołki A oraz D. W tabeli odczytujemy d(D)=11.

Najkrótsza droga ma zatem wagę 11 i wystarczy ją teraz odczytać z naszej tabeli.



Widzimy kolejno, że:wierzchołkiem poprzedzającym wierzchołek D jest wierzchołek G,

wierzchołkiem, który poprzedza G jest wierzchołek K,

wierzchołkiem poprzedzającym K jest wierzchołek F,

wierzchołkiem poprzedzającym F jest wierzchołek A, czyli wierzchołek początkowy.

Ostatecznie drogą o najmniejszej wadze łączącą wierzchołki A oraz D jest droga przebiegająca kolejno przez wierzchołki A, F, K, G, D



Najkrótsza droga łącząca wierzchołki A oraz D



Algorytm Dijkstry daje nam wagi najkrótszych dróg łączących dany wierzchołek ze wszystkimi pozostałymi.

Wykonując ten algorytm n*(n-1)/2 razy otrzymalibyśmy macierz (tablicę) odległości pomiędzy każdą parą wierzchołków.



Minimalne drzewa spinające

Jak zauważyliśmy wcześniej każdy graf spójny posiada drzewo spinające.

Z twierdzenia Cayley’a wiemy też, że graf pełny wymiaru n posiada nn-2 drzew spinających. Wobec tego dowolny graf prosty wymiaru n posiada co najwyżej nn-2 drzew spinających.



W zagadnieniach, które można przedstawić za pomocą grafu z wagami istotne jest często znalezienie minimalnego drzewa spinającego, czyli drzewa o minimalnej wadze. Najbardziej znanymi algorytmami służącymi do rozwiązania tego problemu są:

- algorytm Kruskala, oraz

- algorytm Prima



Oba algorytmy są algorytmami zachłannymi, to znaczy takimi algorytmami, które w każdym kolejnym kroku wykonują tę operację, która wydaje się w danym momencie najkorzystniejsza.

Algorytmy te polegają na wybieraniu krawędzi o najmniejszej wadze tak, aby nie utworzyć cyklu.



Algorytmy znajdowania minimalnego drzewa spinającego nie są jednoznaczne, gdyż minimalne drzewo spinające nie musi być dokładnie jedno.



Inaczej jest w grafach, których krawędzie mają różne wagi. Dla takich grafów można udowodnić następujące twierdzenie.

Twierdzenie.

W grafie spójnym ważonym, którego krawędziom przypisano różne wagi istnieje dokładnie jedno minimalne drzewo spinające.



Algorytm Kruskala

Algorytm ten składa się z dwóch etapów. W pierwszym dokonujemy sortowania krawędzi według niemalejących wag, a w drugim dopiero wyznaczamy minimalne drzewo spinające. Zachłanność tego algorytmu polega na tym, że w każdym kolejnym kroku dodajemy do budowanego grafu krawędź o najmniejszej możliwej wadze.



Budowane minimalne drzewo spinające jest najpierw lasem ponieważ na początku działania algorytmu tworzymy las złożony z samych tylko wierzchołków grafu wyjściowego.

Czasami taki las dopiero w końcowej fazie działania algorytmu staje się drzewem.



Teraz z posortowanego zbioru wszystkich krawędzi wybieramy krawędź o najmniejszej wadze. Jeśli jest ich kilka, to wybieramy dowolną. Dołączamy tę krawędź do budowanego drzewa.

Następnie, spośród pozostałych krawędzi grafu wybieramy krawędź o najmniejszej wadze i również ją dołączamy.



Przy wyborze trzeciej i następnych krawędzi poza najmniejszą wagą musimy zwracać uwagę na fakt, czy wybrana krawędź nie spowoduje utworzenia cyklu.

Krawędź o najmniejszej wadze, której dołączenie do grafu nie spowoduje utworzenia w nim cyklu nazywać będziemy krawędzią bezpieczną.



Krawędzi bezpiecznych może być w danym momencie działania algorytmu wiele i zbiór tych krawędzi zmienia się w trakcie działania algorytmu.

Powyższe postępowanie kontynuujemy do momentu, gdy w posortowanym zbiorze krawędzi nie będzie już krawędzi bezpiecznych.



Przykład

Znaleść drzewo spinające grafu spójnego stosując algorytm Kruskala.



AC AB CD CE AE DE CG EG EF FG DF BF

1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7

Na początku porządkujemy krawędzie grafu według niemalejących wag.



Oznaczmy budowane minimalne drzewo spinające przez T.

Oczywiście na początku działania algorytmu T jest grafem pustym – lasem złożonym z 12. drzew.



Działanie algorytmu rozpoczynamy od dołączenia do zbioru T krawędzi o najmniejszej wadze, czyli krawędzi AC.

Krok 1. Zbiór T=AC



Krok 2. Zbiór T=AC, CD



Krok 3. Zbiór T=AC, CD, CE.



Krok 4. Zbiór T=AC, CD, CE, AB.



Krok 5. Zbiór T=AC, CD, CE, AB, CG.



Krok 6. Zbiór T=AC, CD, CE, AB, CG, EF.



Algorytm Prima

W odróżnieniu od algorytmu Kruskala algorytm Prima nie wymaga sortowania krawędzi według wag.

Konieczne jest tylko arbitralne wybranie wierzchołka startowego.



Zwykle wybieramy wierzchołek najbardziej „wysunięty” na lewo i dołączając kolejne krawędzie przechodzimy na prawo przez kolejne wierzchołki.

Wierzchołek ten jest „zaczynem” budowanego minimalnego drzewa spinającego.



Działanie algorytmu polega na kolejnym dołączaniu do budowanego drzewa jednej z bezpiecznych krawędzi, to znaczy takich, które sąsiadują z wierzchołkami aktualnego drzewa i nie tworzą cyklu.

W odróżnieniu od algorytmu Kruskala, w trakcie działania algorytmu Prima konstruowane drzewo nigdy nie jest lasem.



Spośród bezpiecznych krawędzi sąsiadujących z wierzchołkami dołączonymi już do drzewa, dołączamy do niego krawędź o najmniejszej wadze.

Działanie algorytmu kończymy, gdy zbiór bezpiecznych krawędzi jest pusty.



Może to oznaczać, że:

1) otrzymane drzewo zawiera wszystkie wierzchołki grafu wyjściowego i jest minimalnym drzewem spinającym naszego grafu, lub

2) otrzymane drzewo nie zawiera wszystkich wierzchołków grafu wyjściowego, co oznacza, że graf nie jest spójny, a otrzymane drzewo jest minimalnym drzewem spinającym jednej ze składowych spójnych grafu wyjściowego.



Uwaga:

Algorytm Prima można zmodyfikować tak, aby działał również dla grafów, które nie są spójne a jego działanie dawało w wyniku minimalny las spinający grafu.



Przykład

Znajdziemy drzewo spinające grafu spójnego stosując algorytm Prima.



















Problem kolorowania map pojawił się w roku 1852, gdy niejaki Francis Guthrie próbował pokolorować mapę przedstawiającą hrabstwa w Anglii. Zadał on sobie pytanie:

Jaka jest najmniejsza liczba barw wystarczająca do pokolorowania mapy przedstawiającej wiele hrabstw tak, aby żadne dwa hrabstwa mające wspólną granicę nie były oznaczone tą samą barwą?



Hipoteza postawiona przez Guthrie

wystarczą cztery kolory

trafiła do de Morgana (tego „od praw de Morgana”, a następnie do Cayley’a (1878).



Pierwszy pełny i poprawny dowód pojawił się dopiero w roku 1977 (Appel i Haken), czyli 125 lat od postawienia problemu i sformułowania hipotezy!



Przykład mapy, której nie da się pokolorować za pomocą trzech barw



Definicja

Grafem silnie spójnym nazywamy digraf (graf skierowany), w którym dla każdej pary wierzchołków istnieje łącząca je droga.

Wniosek

Każdy graf spójny (nieskierowany) jest silnie spójny.



Przykład grafu silnie spójnego



Definicja

Silnie spójną składową digrafu nazywamy największy silnie spójny podgraf tego digrafu.



Graf i jego silnie spójne składowe



Rozważmy teraz relację ℜ określoną w zbiorze wierzchołków digrafu w następujący sposób:

„wierzchołek X w relacji z wierzchołkiem Y, gdy istnieje droga łącząca X z Y oraz droga łącząca Y z X.”



Tak określona relacja jest relacja równoważności, tzn. jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Można udowodnić, że klasy abstrakcji tak określonej relacji ℜ są zbiorami wierzchołków silnie spójnych składowych digrafu.



Definicja

Zbiór tych krawędzi grafu, których usunięcie spowoduje zwiększenie liczby składowych spójnych nazywamy zbiorem rozspajającym grafu G.

Przykładem zbioru rozspajającego grafu jest każdy most.



Definicja

Rozcięciem grafu nazywamy każdy zbiór rozspajający, którego żaden podzbiór właściwy nie jest zbiorem rozspajającym.



Przykłady rozcięć

a, b,c, c,d,e, e,f,g, c,d,f,g



Definicja

Spójnością krawędziową grafu spójnego G nazywamy liczbę λ(G) równą liczności najmniej licznego rozcięcia grafu G.



Twierdzenie

Spójność krawędziowa grafu spójnego G nie może przekroczyć stopnia wierzchołka o najmniejszym stopniu w grafie.



Definicja

Graf G nazywamy k-spójnym krawędziowo, jeżeli λ(G) k≥



Graf 1-spójny krawędziowo

Graf 2-spójny krawędziowo



Definicja

Zbiorem rozdzielającym grafu spójnego G nazywamy zbiór wierzchołków tego grafu, których usunięcie wraz z krawędziami z nimi incydentnymi powoduje, że graf przestaje być spójny.

Zbiór rozdzielający składający się z jednego tylko wierzchołka nazywamy wierzchołkiem rozcinającym.



Graf i jego zbiór rozdzielający (wierzchołki x i y). Kolorem szarym zaznaczone są krawędzie incydentne z wierzchołkami zbioru rozdzielającymi.



Graf i jego wierzchołek rozcinający (x). Kolorem szarym zaznaczone są krawędzie incydentne z wierzchołkami rozdzielającym.



Definicja

Spójnością wierzchołkową grafu spójnego G, który nie jest pełny, nazywamy liczbę κ(G) równą liczności najmniej licznego rozcięcia grafu G.



Definicja

Graf nazywamy k-spójnym wierzchołkowo, gdy κ(G) k≥

Twierdzenie

W dowolnym grafie spójnym κ(G) λ(G). ≤



Twierdzenie

Maksymalna spójność wierzchołkowa w grafie wymiaru n, posiadającym m krawędzi jest równa całkowitej części liczby

nm2



Dowód:Niech oznacza spójność krawędziową grafu G. Istnieje zatem zbiór rozspajający S posiadający krawędzi. Niech S dzieli wierzchołki grafu na podzbiory V1 oraz V2.

Przez usunięcie co najwyżej wierzchołków z V1 (lub V2), do których krawędzie ze zbioru rozspajającego są incydentne usuniemy cały zbiór S.

c.n.u.



κ(G)

Wniosek

W dowolnym spójnym grafie wymiaru n, posiadającym m krawędzi prawdziwa jest nierówność λ(G)

≤ λ(G)

≤nm2



Definicja

Graf nazywamy k-spójnym, jeżeli jego spójność wierzchołkowa wynosi k.



Twierdzenie

Graf spójny jest k-spójny wtedy i tylko wtedy, gdy każda para jego wierzchołków jest połączona przez k lub więcej wzajemnie nie przecinających się dróg, a co najmniej jedna para wierzchołków jest połączona przez dokładnie k takich dróg.



Definicja

Dwie drogi w grafie nazywamy rozłącznymi krawędziowo, jeżeli nie mają wspólnych krawędzi, choć mogą się przecinać.



Twierdzenie

Spójność krawędziowa grafu wynosi k wtedy i tylko wtedy, gdy każda para wierzchołków w tym grafie połączona jest przez k lub więcej dróg rozłącznych krawędziowo, a co najmniej jedna para wierzchołków jest połączona przez dokładnie k takich dróg.



Definicja

Pokolorowaniem (właściwym) obszarów wyznaczonych przez graf nazywamy takie przyporządkowanie obszarom kolorów, aby żadne dwa sąsiednie obszary nie miały tej samej barwy.



Definicja

Mapą nazywamy każdy 3-spójny graf planarny.

Twierdzenie (o czterech barwach)

Każdą mapę można pokolorować właściwie używając co najwyżej czterech kolorów.



Przykład



Twierdzenie

Mapę można pokolorować dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w niej cykl Eulera.



Przykład



Kolorowanie grafu to także kolorowanie wierzchołków i krawędzi.

Istnieje szeroka gama zastosowań zarówno kolorowania wierzchołków jak i krawędzi:

•podział logiki w komputerach

•problem ułożenia planu lekcji w szkole

•teoria kodowania

•logistyce



Definicja

Graf prosty nazwiemy k-kolorowalnym, gdy istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu wierzchołkowi jeden z k kolorów tak, aby każdym dwóm sąsiadującym wierzchołkom przyporządkowane były różne kolory.



Uwaga:Zajmując się kolorowaniem grafu rozpatrujemy tylko grafy spójne, gdyż w przypadku grafu, który nie jest spójny kolory użyte do pokolorowania jednej składowej spójnej nie mają wpływu na kolory, których użyjemy do pokolorowania innej składowej.

Oczywiście, liczba kolorów potrzebna do pokolorowania całego grafu jest równa maksimum spośród liczb kolorów użytych do pokolorowania jego składowych spójnych.



Definicja

Liczbą chromatyczną grafu nazywamy k,jeżeli graf jest k-kolorowalny i jednocześnie nie jest (k-1)-kolorowalny. Liczbę chromatyczna grafu G oznaczamy χ(G) .



Przykład

Liczba chromatyczna poniższego grafu wynosi 3.



Przykład

Liczba chromatyczna poniższego grafu wynosi 4.



Twierdzenie

Liczba chromatyczna grafu pełnego wymiaru n jest równa n, zaś grafu pustego jest równa 1.



Twierdzenie

Graf wymiaru składający się z jednego tylko cyklu ma liczbę chromatyczną

2, gdy n jest liczbą parzysta,

3, gdy n jest liczą nieparzystą.



Twierdzenie

Liczba chromatyczna drzewa składającego się z co najmniej dwóch wierzchołków jest równa 2.



TwierdzenieLiczba chromatyczna dowolnego grafu prostego o m krawędziach spełnia nierówność

412

21 ++≤ mG)(χ



Przykład

Kolorowanie wierzchołków grafu

http://oneweb.utc.edu/~Christopher-Mawata/petersen/lesson8.htm



Przykład (zastosowanie do układania planu zajęć 1)

Mamy 3 przedmioty obowiązkowe a, b, c oraz 4 przedmioty do wyboru:d, e, f, g

Chcemy ułożyć plan tak, aby w tym samym czasie nie odbywały się przedmioty, na które powinien chodzić student




Rysujemy graf, w którym wierzchołki oznaczają przedmioty, a krawędzie łączą wierzchołki odpowiadające przedmiotom, które nie mogą się odbywać w tym samym czasie




Liczba chromatyczna narysowanego grafu jest równa liczbie różnych terminów zajęć jest koniecznych, aby zajęcie się nie pokrywały.

4=)(Gχ




Mamy 3 przedmioty obowiązkowe a, b, c oraz 4 przedmioty do wyboru:d, e, f, g, przy czym każdy student musi wybrać jeden z przedmiotów d lub e oraz jeden z przedmiotów f lub g.

Chcemy ułożyć plan tak, aby w tym samym czasie nie odbywały się przedmioty, na które powinien chodzić student




Rysujemy graf, w którym wierzchołki oznaczają przedmioty, a krawędzie łączą wierzchołki odpowiadające przedmiotom, które nie mogą się odbywać w tym samym czasie




Liczba chromatyczna narysowanego grafu jest równa liczbie różnych terminów zajęć jest koniecznych, aby zajęcie się nie pokrywały.

5=)(Gχ



Przykład (rozsadzenie gości na przyjęciu 1)

Na przyjęcie przyjdzie ośmioro gości:Anna, Ewa, Maria, Zofia, Jan, Marcin, Tomek i Stefan.

Wiemy, że :Ewa nie lubi się ze Stefanem, Zofia z Marią i Tomkiem, Maria z Janem, Jan z Marcinem, a Marcin ze Stefanem.

Ile trzeba przygotować stolików, aby nielubiące się osoby nie siedziały przy tym samym stoliku?




Rysujemy graf, w którym wierzchołki oznaczają gości, a krawędzie łączą wierzchołki odpowiadające osobom, które się nie lubią.




Liczba chromatyczna narysowanego grafu jest równa liczbie potrzebnych stolików.

2=)(Gχ







Na przyjęcie przyjdzie ośmioro gości:Anna, Ewa, Maria, Zofia, Jan, Marcin, Tomek i Stefan.

Wiemy, że :Ewa nie lubi się ze Stefanem i z Marcinem,Zofia z Marią i Tomkiem, Maria z Janem, Jan z Marcinem, a Marcin ze Stefanem.

Ile trzeba przygotować stolików, aby nielubiące się osoby nie siedziały przy tym samym stoliku?




Rysujemy graf, w którym wierzchołki oznaczają gości, a krawędzie łączą wierzchołki odpowiadające osobom, które się nie lubią.




Liczba chromatyczna narysowanego grafu jest równa liczbie potrzebnych stolików.

3=)(Gχ






Definicja

Graf nazywamy k-kolorowalnym krawędziowo, jeśli można pokolorować jego krawędzie k kolorami tak, aby żadne dwie sąsiednie krawędzie nie miały tego samego koloru.



Definicja

Indeksem chromatycznym grafu nazywamy liczbę k, jeżeli graf jest k-kolorowalny krawędziowo i jednocześnie nie jest (k-1)-kolorowalny krawędziowo.

Indeks chromatyczny grafu G oznaczamy χ’(G).



Przykład

Indeks chromatyczny grafu z rysunku jest równy 3.



Twierdzenie Vizinga (1964).

Indeks chromatyczny χ’(G) grafu G , w którym najwyższy stopień wierzchołka wynosi p, spełnia nierówność

1+≤ pχ’(G)≤p



Drogą Hamiltona nazywamy drogę, który przechodzi przez każdy wierzchołek grafu dokładnie jeden raz

Cyklem Hamiltona nazywamy cykl, który przechodzi przez każdy wierzchołek grafu dokładnie jeden raz



Grafem półhamiltonowskim nazywamy graf, w którym istnieje droga przechodząca przez każdy wierzchołek grafu.

Grafem hamiltonowskim nazywamy graf, w którym istnieje cykl Hamiltona.



Twierdzenie (Ore, 1960)

Jeżeli graf prosty ma n wierzchołków, oraz

dla każdej pary wierzchołków niesąsiednich, to jest hamiltonowski.

nXX ji ≥+ )deg()deg(3≥n



Twierdzenie (Dirac, 19552)

Jeżeli graf prosty ma n, wierzchołków oraz

dla każdego wierzchołka, to jest hamiltonowski.

3≥n

2nX i ≥)deg(



Twierdzenie

Jeżeli graf prosty ma n wierzchołków, oraz co najmniej

krawędzi, to jest hamiltonowski.

3≥n

22121 +−− ))(( nn



Kod Graya

Kodem Graya długości n nazywamy ciąg wszystkich różnych ciągów n-wyrazowych, których wyrazami są liczby 0 lub 1 i które różnią się od siebie dokładnie jedną cyfrą.

Ciągów takich jest n2



Jeśli każdemu z ciągów Graya długości n, przypiszemy wierzchołki pewnego grafu wymiaru i połączymy krawędzią te ciągi, które różnią się od siebie dokładnie jedna cyfrą, to otrzymamy cykl Hamiltona.

n2



Twierdzenie

Jeżeli w grafie prostym najwyższy stopień

wierzchołka wynosi n, to graf ten jest n+1

kolorowalny wierzchołkowo.



Grafem dwudzielnym nazywamy graf (G,X), w którym zbiór wierzchołków X można podzielić na dwa rozłączne i niepuste podzbiory X1 oraz X2 tak, że każda krawędź w grafie łączy wierzchołek z jednego podzbioru z wierzchołkiem drugiego podzbioru.



Grafy dwudzielne



Grafy dwudzielne



Przykład

Grafe dwudzielnym jest graf kodu Graya (dzielimy zbiór wierzchołków na dwa podzbiory, w których wierzchołki mają parzystą bądź nieparzystą liczbę jedynek.



Graf dwudzielny nazywamy pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru X1 jest połączony dokładnie jedną krawędzią z każdym wierzchołkiem zbioru X2.



Grafy pełne dwudzielne



Dla dowolnych liczb naturalnych m i n wszystkie pełne grafy dwudzielne takie, że |X1|=m oraz |X2|=n są izomorficzne.

Grafy takie oznaczamy Km,n

Łatwo zauważyć, że grafy Km,n oraz Kn,m są izomorficzne.



Twierdzenie

Jeżeli graf dwudzielny jest hamiltonowski, to liczba wierzchołków jednego podzbioru jest równa liczbie wierzchołków drugiego podzbioru.

Jeżeli graf jest półhamiltonowski, to liczby te różnią się co najwyżej o jeden.



Uwaga:

Dla pełnych grafów dwudzielnych wymiaru co najmniej 3, prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.



Def. Listą nazywamy uporządkowany ciąg elementów

Przykładem listy jest tablica jednowymiarowa



Często wygodniej jest posługiwać się listą bez konieczności odwoływania się do indeksów.

Przykładami takich list są kolejki i stosy.



Def. Kolejką nazywamy listę z trzema operacjami na jej elementach:

2. dodawania nowego elementu,

3. zdejmowania pierwszego elementu,

4. sprawdzania, czy kolejka jest pusta

(FIFO – first in first out)



Def. Stosem nazywamy listę z trzema operacjami na jej elementach:

2. dodawania nowego elementu na wierzch stosu,

3. zdejmowania elementu z wierzchu stosu,

4. sprawdzania, czy stos jest pusty

(LIFO – last in first out)



Implementacja kolejki

Tworzymy tablicę KOLEJKA[0..max] oraz dwie zmienne PoczątekKolejki i KoniecKolejki.

Zmienna PoczątekKolejki wskazuje pierwszy element kolejki, zaś zmienna KoniecKolejki wskazuje pierwsze wolne miejsce poza kolejką.



Kolejka jest pusta, jeżeli KoniecKolejki=PoczątekKolejki

Operacje włożenia nowego elementu x do kolejki implementujemy za pomocą instrukcji:

KOLEJKA[KoniecKolejki]:=x

KoniecKolejki:=KoniecKolejki+1



Operacje zdjęcia elementu z KOLEJKI implementujemy za pomocą instrukcji:

x:=KOLEJKA[PoczątekKolejki];

PoczątekKolejki:=PoczątekKolejki+1

Operacja zdejmowania elementu z kolejki może być wykonana tylko wtedy gdy KoniecKolejkiPoczątekKolejki



Implementacja stosu

Tworzymy tablicę STOS[0..max] oraz zmienną WierzchStosu

Zmienna WierzchStosu wskazuje na pierwsze wolne miejsce w tablicy STOS



Operacje włożenia nowego elementu x na STOS implementujemy za pomocą instrukcji:

STOS[WierzchStosu]:=x

WierzchStosu:= WierzchStosu+1

Jeżeli wartość zmiennej WierzchStosu=max+1 to stos jest pełny i nie można na niego wkładać nowych elementów



Operacje zdjęcia elementu z wierzchu STOSU implementujemy za pomocą instrukcji:

WierzchStosu:= WierzchStosu-1 x:=STOS[WierzchStosu]

Operację tę można wykonać, jeżeli stos nie jest pusty, czyli, gdy zmienna WierzchStosu>0



Algorytm znajdowania drogi Hamiltona

Poniższy algorytm jest algorytmem z nawrotami z zastosowaniem stosu jako struktury danych.



Dane wejściowe:

2. Graf (X,G), w którym X oznacza zbiór wierzchołków, a G zbiór krawędzi,

3. Wierzchołek początkowy

Dane wyjściowe:

Droga Hamiltona zaczynająca się od wierzchołka x lub informacja o jej braku

Xx ∈



• Włóż x na stos

• Dopóki stos nie jest pusty, powtarzaj:* niech y będzie wierzchołkiem na wierzchu stosu* szukamy wierzchołka w o najniższym numerze, takiego, że - w jest połączone z y, - w nie wystepuje na stosie, - jeżeli w poprzedniej iteracji zdjęto ze stosu wierzchołek z, to numer w powinien być większy od numeru z



Jeżeli takie w znajdziemy, to wkładamy w na stos, jeżeli wierzchołki na stosie tworzą już drogę Hamiltona, to koniec algorytmu – znaleziono drogę Hamiltona

Jeżeli takiego w nie znajdziemy, to zdejmujemy y ze stosu

• Jeżeli stos jest pusty i nie znaleziono drogi Hamiltona, tow grafie nie ma drogi Hamiltona.



PrzykładSprawdzić, czy w

podanym grafie istnieje droga Hamiltona rozpoczynająca się w wierzchołku a





























Stos pusty – nie znaleziono drogi Hamiltona



Przykład

Sprawdzić, czy w podanym grafie istnieje droga Hamiltona rozpoczynająca się w wierzchołku a









Przykład

Sprawdzić, czy w podanym grafie istnieje droga Hamiltona rozpoczynająca się w wierzchołku a



































Stos pełny – znaleziono drogę Hamiltona


Notacja asymptotyczna

Do szacowania złożoności czasowej algorytmów, czyli szacowania czasu pracy algorytmów używa się notacji asymptotycznej

Pozwala nam to podzielić problemy na:

•łatwo rozwiązywalne

•trudno rozwiązywalne



Niech f i g będą dwiema funkcjami określonymi na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich

0>∈→ xRxNgf ::,



Mówimy, że funkcja g jest o duże od f, gdy istnieje dodatnia taka stała c oraz taka liczba naturalna N0, że dla dowolnego n> N0 zachodzi nierówność

)()( nfcng ⋅≤Zapisujemy ten fakt

))(()( nfOng =



Przykład)( 44 352 nOnn =−+

gdyż dla dowolnego n

4444 752352 nnnnn =+≤−+



Mówimy, że funkcja g jest o małe od f, gdy

0=+ ∞→ )(

)(limnfng

n

Zapisujemy ten fakt

))(()( nfong =



Przykład)( 54 352 nonn =−+

gdyż

03525

4

=−++ ∞→ n

nnnlim



Mówimy, że funkcja g jest omega duże od f, gdy istnieje dodatnia taka stała c oraz taka liczba naturalna N0, że dla dowolnego n> N0 zachodzi nierówność

)()( nfcng ⋅≥Zapisujemy ten fakt

))(()( nfng Ω=



...... ≤≤≤≤≤≤ 323 nnnnn

nnn m dużych iedostateczn dlalog <2

42 ≥<< nnn nn dla!



Twierdzenie

Każda z poniższych funkcji jest O od wszystkich funkcji na prawo od niej:

nn nnnnnnnnnnnn ,!,...,,,log,,,,...,log, 21 322

32 ⋅



Twierdzenie

• Jeżeli f(n)=O(g(n)) i c jest stałą, to cf(n)=O(g(n)),

• Jeżeli f(n)=O(g(n)) i h(n)=O(g(n)), to f(n)+h(n)=O(g(n)),

• Jeżeli f(n)=O(a(n)) i g(n)=O(b(n)), to f(n)g(n)=O(a(n)g(n))),

• Jeżeli f(n)=O(g(n)) i g(n)=O(h(n)), to f(n)=O(h(n)).



Twierdzenie

Dla dowolnych funkcji f(n) i g(n) mamy:

3. O(f(n))+O(g(n))=O(max|f(n)|,|g(n)|)

4. O(f(n))O(g(n))=O(f(n)g(n))



Klasa złożoności to zbiór problemów obliczeniowych o podobnej złożoności obliczeniowej (problemy do których rozwiązania potrzebna jest podobna ilość zasobów) . Podobne określenia stosujemy do algorytmów.



Problem P (ang. deterministic polynomial - deterministycznie wielomianowy) to problem, dla którego rozwiązanie można znaleźć w czasie wielomianowym.



Przykłady

2. Znajdowanie najkrótszej drogi w grafie

3. Wyznaczanie minimalnego drzewa spinającego

4. Znajdowanie drogi Eulera

5. Algorytm sortowania bąbelkowego



Problem NP (niedeterminstycznie wielomianowy, ang. nondeterministic polynomial) to problem decyzyjny, dla którego rozwiązanie można zweryfikować w czasie wielomianowym



Oczywiście każdy problem P jest problemem NP, ale nie odwrotnie.

Jak dotąd nikomu nie udało się udowodnić, ani zaprzeczyć, że P=NP. Problem ten został sformułowany w roku 1971 i pozostaje otwarty do dziś



Przykłady

2. Problem kliki



Problem NP-zupełny (NPC) to problem, którego status nie jest znany, inaczej jest NP oraz jest NP-trudny (co najmniej tak trudny jak problem NP



Przykłady

2. Znalezienie cyklu Hamiltona

3. Problem maksymalnej kliki

4. Problem izomorfizmu dwóch grafów










Wprowadzenie do teorii grup

Mówimy, że w zbiorze G określone jest działanie dwuargumentowe wewnętrzne, jeżeli określona jest funkcja

GGGf →×:



Uwaga:

Działanie dwuargumentowe wewnętrzne na parze zwykle oznaczamy , , lub

( ) Gba ∈, ba ba + ba ∗



Działanie nazywamy

łącznym, gdy dla dowolnych elementów zachodzi równość

przemiennym, gdy dla dowolnych elementów zachodzi równość

GGG →×:

Gcba ∈,, ( ) ( )cbacba =

Gcba ∈,,

abba =


















Twierdzenie (Appel, Haken, 1976)

Każdy graf planarny prosty jest

4-kolorowalny wierzchołkowo.

Documents

Wprowadzenie do teorii grafówzrzut.edl.pl/md/grafy_w1_4.pdfWagę drogi nazywamy czasem długością tej drogi